Soient B, m, n, i et a_i des entiers naturels avec :

 

(1)               B >= 2 , 0 =< a_i =< B - 1 , n < Card(N) , m =< Card(N)

 

Tout nombre A(m+n) admettant un développement en base B sous la forme :

 

(2)               A(m+n) = S_i=-mⁿ a_iBⁱ = S_i=0^m-1 a_i-mB^i-m + S_i=0ⁿ a_iBⁱ

 

est la somme de sa partie entière

 

(3)               E_B[A(m+n)] = E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_iBⁱ

 

et de sa partie « décimale »

 

(4)               D_B[A(m+n)] = D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_i-mB^i-m = S_i=0^m-1 a_-(m-i)/B^m-i

 

Les coefficients du développement (3) en puissances de B se définissent par récurrence :

 

(5)               a_i = E{[E_B,A(n) - E_B,A(n-i-1)]B^-i}                          (0 =< i =< n)

 

et ceux du développement (4), par

 

(6)               a_-(m-i) = E{[D_B,A(m-1) - D_B,A(m-i-2)]B^m-i}             (0 =< i =< m-1)

 

En posant :

 

(7)               k = Ln(B)

 

on trouve E_B,A(n) et D_B,A(m) sous la forme,

 

E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_ie^ki = k^-1S_i=0ⁿ ka_ie^ki

D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_-(m-i)e^-k(m-i) = k^-1S_i=0^m-1 ka_-(m-i)e^-k(m-i)

 

soit encore,

 

(8)               E_B,A(n) = k^-1£_d;B,n.a(i)

(9)               D_B,A(m-1) = k^-1£_d;B,m-1.a[-(m-i)]

 

avec

 

(10)           £_d;B,n.a(i) = S_i=0ⁿ ka_ie^ki

 

LA TRANSFORMEE DISCRETE DE a(i) = a_i EN BASE B.

 

Pour m = Card(N) = aleph₀, le nombre A[Card(N)+n] possède un nombre illimité de « décimales ». Comme l’argument m - i est toujours > 0 dans D_B,A[Card(N)-1] et que (cf. 1a) B a été pris >= 2, k = Ln(B) > 0 et la convergence de la partie décimale est assurée. Par contre, s’il s’agissait de la borne SUPERIEURE n, on voit tout de suite que E_B,A[Card(N)] divergerait en B^Card(N), comme il se doit. Ce qui est possible pour la partie décimale ne l’est donc plus pour la partie entière.

 

(11)           £_{d;B,Card(N)-1}.a{-[Card(N)-i]} = S_i=0^Card(N)-1 ka_-[Card(N)-i]e^{-k[Card(N)-i]}

 

s’identifie à la TRANSFORMEE DE LAPLACE DISCRETE DE a{-[Card(N)-i]} = a_-[Card(N)-i] EN BASE B.

 

Lorsqu’on passe au continu, le raisonnement adéquat consiste EN TOUT PREMIER LIEU à remplacer N par R. On passe alors de Card(N) = aleph₀ à Card(R) = 2^Card(N), ce qui fait déjà une différence plus que significative étant donné que 2^Card(N) - Card(N) >> Card(N). On a en fait Card(Z) = 2Card(N) - 1, puisque 0 ne doit être compté qu’une seule fois, d’où Card(N) = ½ [Card(Z) + 1] et :

 

Card(R) = 2^{½ [Card(Z) + 1]} >> Card(Z) + 1

 

puisque la progression est exponentielle à gauche et seulement linéaire à droite. Entre Card(R) et Card(Z), on a donc 2^{½ [Card(Z) + 1]} - Card(Z) valeurs de la variable qui n’apparaissent PAS dans (2) (tous les NON entiers avec leur signe). D’où la nécessité de commencer par la substitution des espaces ambiants. Une fois cette modification prise en compte, on peut substituer à la somme discrète (2) une somme continue et écrire A sous la forme :

 

(12)           A(x+y) = S_-x^y a(x’)B^x’dx’

      = S₀^x a[-(x-x’)]B^-(x-x’)dx’ + S₀^y a(x’)B^x’dx’ - a(0)

 

L’analogue continu de la partie entière (3) de A(m+n) est :

 

(13)           E_B[A(x+y)] = E_B,A(y) = S₀^y a(x’)B^x’dx’

 

et celui de la partie décimale (4),

 

(14)           D_B[A(x+y)] = D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]B^-(x-x’)dx’

 

On a retiré a(0) à (12) parce qu’il est compté deux fois dans les intégrales : une fois dans E_B,A(y) pour x’ = 0 et une fois dans D_B,A(x) pour x’ = x. Toujours moyennant (7), qui ne change pas lors du passage au continu, on a :

 

(15)           E_B,A(y) = S₀^y a(x’)e^kx’dx’ = k^-1£_c;B,y.a(x’)

(16)           D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]e^-k(x-x’)dx’ = k^-1£_c;B,x.a[-(x-x’)]

 

où

 

(17)           £_c;B,x.a(x’) = S₀^x ka(x’)e^kx’dx’

 

est LA TRANSFORMEE CONTINUE DE a(x’) EN BASE B.

 

Lorsque x = Card(R₊) = ½ [Card(R) + 1],

 

(18)           £_c;B,Card(R+).a(x’) = S₀^Card(R+) ka(x’)e^kx’dx’

 

s’identifie à LA TRANSFORMEE DE LAPLACE DE a(x’) avec k = Ln(B).

 

Il apparaît alors une différence significative avec le cas discret. En effet :

 

0 =< a(x’) , a[-(x-x’)] < B pour tout x’ =>

 

0 =< E_B,A(y) < e^kS₀^y e^kx’dx’ = k^-1e^k(e^ky - 1)

0 =< D_B,A(x) < e^kS₀^x e^-k(x-x’)dx’ = k^-1e^k(1 - e^-kx)

 

Par conséquent :

 

(19)           E_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[e^kCard(R+) - 1]

(20)           D_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[1 - e^-kCard(R+)]

 

Or, la variable y (resp. x) mesure la longueur totale de la partie entière (resp. décimale). Pour 0 < B < 1, k < 0 et :

 

(21)           E_B,A[Card(R₊)] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)[1 - e^{-Abs(k)Card(R+)}] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)

(22)           D_B,A[Card(R₊)] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)[e^{Abs(k)Card(R+)} - 1] < Abs(k^-1)e^{Abs(k)[Card(R+)-1]}

 

[Abs(.) est la valeur absolue]. Dans ce cas, la valeur de la partie entière est LIMITEE, mais pas forcément celle de la partie décimale, qui n’est majorée que par une quantité exponentiellement plus grande que [Card(R₊) - 1] ~ Card(R₊).

 

Au contraire, pour B > 1, k > 0 et :

 

(23)           E_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[e^kCard(R+) - 1] < k^-1e^{k[Card(R+)+1]}

(24)           D_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[1 - e^-kCard(R+)] < k^-1e^k

 

C’est la valeur de la partie décimale qui est limitée, tandis que celle de la partie entière n’est majorée que par une quantité exponentiellement plus grande que [Card(R₊) + 1] ~ Card(R₊).

 

On aboutit de ce fait à des propriétés asymptotiques assez intéressantes des nombres réels. Ainsi, pour k = Card(R₊), soit en base B = e^Card(R+) >> 1, (19) et (20) deviennent :

 

(25)           E_B,A[Card(R₊)] < e^Card(R+)[e^Card²(R+) - 1]/Card(R₊)

(26)           D_B,A[Card(R₊)] < 2sh[Card(R₊)]/Card(R₊)

 

tandis que, pour k = -Card(R₊), soit en base B = e^-Card(R+) << 1, les rôles sont permutés,

 

(27)           E_B,A[Card(R₊)] < 2sh[Card(R₊)]/Card(R₊)

(28)           D_B,A[Card(R₊)] < e^Card(R+)[e^Card²(R+) - 1]/Card(R₊)

 

Enfin, en ce qui concerne la valeur « critique » B = 1, qui n’offre rien d’intéressant dans le cas discret, étant donné que a(.) est une fonction BORNEE, (15) et (16) donnent directement :

 

(29)           B = 1 => E_1,A(y) < y , D_1,A(x) < x

 

EN BASE 1, LES VALEURS DES PARTIES ENTIERES ET DECIMALES DES REELS RESTENT STRICTEMENT INFERIEURES A LEURS LONGUEURS RESPECTIVES.

 

Toutefois, tous les noyaux intégraux NE SONT PAS en e^kx’, loin s’en faut. Ceci nous incite à une GENERALISATION de la méthode, en remplaçant kx’ par S₀^x’ k(x’’)dx’’, où k(x’’) est une fonction sommable et donc, au minimum continue sur l’intervalle [0,x’]. En posant que :

 

(30)           k(x’’) = Ln[B(x’’)]

 

on aboutit à,

 

S₀^x’ k(x’’)dx’’ = S₀^x’ Ln[B(x’’)]dx’’ = x’k₁(x’) = x’Ln[B₁(x’)]

 

Or, x’ = S₀^x’ dx’’. Donc :

 

(31)           k₁(x’) = [S₀^x’ k(x’’)dx’’]/x’ = < k(x’’) >

 

est la MOYENNE ARITHMETIQUE de k(x’’) SUR L’INTERVALLE [0,x’] et

 

(32)           B₁(x’) = exp[k₁(x’)] = exp{<Ln[B(x’’)] >}

 

une « BASE FLOTTANTE ».

 

Les formules (15) et (16) se généralisent alors en :

 

(33)           E_B,A(y) = S₀^y a(x’)exp[S₀^x’ k(x’’)dx’’]dx’

      = S₀^y a(x’)B₁(x’)^x’dx’

(34)           D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]exp[-S₀^x-x’ k(x’’)dx’’]dx’

      = S₀^x a[-(x-x’)]B₁(x-x’)^-(x-x’)dx’

 

Comme toujours en analyse fonctionnelle, la question centrale porte sur la régularité des noyaux intégraux, puisque la régularité de la transformée est reportée sur eux (ce qui permet d’envisager des « originaux » seulement continus sur l’intervalle d’intégration). Pour les noyaux exponentiels figurant dans (33) et (34), si :

 

f(x’) = S₀^x’ k(x’’)dx’’ , g(x’) = exp[f(x’)],

 

alors,

 

g⁽ⁿ⁾(x’) = g(x’)S_i=0^n-1 k⁽ⁱ⁾(x’)  ,  k⁽⁰⁾ = k ,  n dans N

 

Donc, g de classe Cⁿ => k de classe C^n-1. Ainsi, pour que g soit « lisse » (C^oo), il faut (et il suffit) que k le soit. Or, d’après (30), ceci n’est possible que ssi B est de classe C^oo. Quant aux coefficients, on n’exige que 0 =< a(x’) < B(x’). Toujours est-il que, contrairement au cas B = cte, l’exponentiation ne suffit plus pour garantir la « lissitude » de g(x’). En pratique, est-ce un réel problème ? Quelque part, c’est au moins une LIMITATION à prendre en compte parce que, si l’on passe au CONTINU, on s’attend le moins possible à trouver des DISCONTINUITéS aussi bien dans les parties entières que dans les parties décimales. Ceci irait A L’ENCONTRE de l’esprit des transformations fonctionnelles, qui veulent justement que, si « l’original » n’est que continu par morceaux, le « transformé » soit aussi régulier que possible, sous peine de rencontrer de (très) brutales VARIATIONS aux points de discontinuité, « sauts » qui pourraient nuire à la fiabilité des calculs.

 

Tout aussi logique que cela paraisse aussi, il vaut mieux éviter les PÔLES de B(x’) sur l’intervalle d’intégration. Considérons, par exemple, un pôle x_p’’ de degré p, entier naturel fini. Alors B(x_p’’) est en Card^p(R₊). Donc, k(x_p’’) est en pLn[Card(R₊)]. En isolant cette divergence dans [0,x’] :

 

S₀^x’ k(x’’)dx’’ = S₀^xp’’- k(x’’)dx’’ + S_xp’’+^x’+ k(x’’)dx’’ + k(x_p’’)

 

où x_p’’^- (resp. x_p’’⁺) désigne l’approche asymptotique du pôle à gauche (resp. à droite). Ceci donne :

 

Ln[B₁(x’)] = [S₀^xp’’- k(x’’)dx’’ + S_xp’’+^x’+ k(x’’)dx’’]/x’ + k(x_p’’)/x’

 

et, en exponentiant,

 

B₁(x’) = {partie régulière}.{divergence en[Card^p/x’(R₊)]}

 

(les puristes préfèreront sans doute utiliser, soit le calcul des résidus, mais qui nécessitent l’utilisation des nombres complexes, soit le théorème de résolution des singularités d’Hironaka. Moi, je fais dans le « basique » - cas de le dire ! J)

 

A moins que x’ soit elle-même de l’ordre de Card(R₊), auquel cas, la divergence se « normalise » aux environs de l’unité, on voit bien le problème posé par la présence d’un pôle à l’intérieur de l’intervalle d’intégration. Si l’on utilise des circuits à base d’amplificateurs opérationnels, les divergences sont écrêtées, mais le résultat est forcément faussé, puisque tronqué. Or, on aura recours à des circuits ANALOGIQUES pour obtenir des résultats EXACTS et non pas seulement APPROCHéS. Sinon, autant en rester au numérique…

 

Si l’on « redescend » de R₊ vers N, base de numération et coefficients deviennent des fonctions d’un intervalle de N dans N et la transformée discrète (10) prend la forme plus générale :

 

(35)           £_d;B(i),n.a(i) = S_i=0ⁿ k_ia_iexp(S_j=0^i-1 k_j)  ,  0 =< a_i =< B_i - 1

 

(pour k₀ = k₁ =… = k, on doit retrouver i fois k). Il m’apparaît que l’intérêt d’une telle généralisation à des bases « flottantes » réside vraiment dans le cas où ces bases sont des NOMBRES PREMIERS SUCCESSIFS. En voici deux exemples :

 

47₁₀ = 101111₂ = 57₈ = 2F₁₆ = 3³ + 4.5¹ = (1000)₃ + (40)₅

32₁₀ = 100000₂ = 40₈ = 20₁₆ = 5² + 7¹ = (100)₅ + (10)₇

 

Question occupation mémoire, on a peu de gain, voire pas du tout par rapport au binaire. En outre, on a besoin de DEUX registres, un en base 3 et un en base 5 pour 47, un en base 5 et un en base 7 pour 32.

 

EST-CE BIEN NECESSAIRE ?...

 

On va apporter une réponse à cette question dans la bidouille suivante, basée sur un CONSTAT.

 

J’ai, sous les yeux, un PROCES-VERBAL DE CONSTAT établi par le cabinet d’huissiers Andrieu (Pau) le 2 mars 2000, attestant de plusieurs « concepts innovants » (sic) dont un article ayant pour titre « Some basic elements for the development of a N-states logic with N >= 2 ». Il concerne la logique mathématique et les sciences de l’information. Je commence par y parler de la nature quantique de l’espace de Stone d’une algèbre de Boole, au sens de la « géométrie non commutative » de Connes. Ensuite, de manière beaucoup plus pratique, de comment généraliser les résultats de l’algèbre de Boole B₂ à une algèbre B_N de base N >= 2 en faisant usage extensif des COMPARATEURS Min(.,.) et Max(.,.) : Min généralise le ET logique de Boole et Max, son OU logique. Je montre enfin, par récurrence, comment les théorèmes de complémentarité de de Morgan sont PRESERVéS dans une algèbre discrète modulo N. Ce travail était motivé par, entre autres, la logique ternaire de l’informatique quantique et la logique quaternaire (voire quinaire) de la bio-informatique. Il n’incluait pas, rigoureusement parlant, de preuve formelle dans le cas dénombrable (N = aleph₀ dans la classification de Cantor). Ici, on va carrément « sauter le pas » et l’étendre à l’intervalle CONTINU ET SIGNé [-1,+1].

 

C’est parti, en commençant par rappeler définitions et propriétés de base. Pour des tensions de seuil V_min et V_max positives ou nulles, la tension d’utilisation :

 

(1)               -V_min =< V =< V_max

 

est équivalente à un état logique compris entre -1 et +1,

 

(2)               -1 =< A = (2V + V_min - V_max)/(V_min + V_max) =< +1

 

Réciproquement :

 

(3)               V = ½ A(V_min + V_max) + ½ (V_max - V_min) = AV₊ + V_-

 

On utilise un montage comparateur analogique à base d’AO (amplificateur opérationnel ou « ampli op’ ») pour établir, en sortie, le minimum et le maximum entre deux tensions d’utilisation V_A et V_B, associée aux états logiques A et B :

 

(4)               C = Min(A,B) = A  si  A < B , = B  si  A > B

(5)               C = Max(A,B) = A  si  A > B , = B  si  A < B

 

On a tout d’abord l’idempotence pour les deux :

 

(6)               Min(A,A) = Max(A,A) = A

 

Le COMPLEMENTAIRE d’un état A dans [-1,+1] étant son OPPOSé EN SIGNE :

 

(7)               A* = -A

 

L’élément central (ou pivot) est 0 (0* = 0), il est unique et,

 

(8)               C = Min(A,-A) = A  si  A < 0 , = -A  si  A > 0

(9)               C = Max(A,-A) = A  si  A > 0 , = -A  si  A < 0

 

On peut rassembler ces deux formules en une seule :

 

(10)           Min(A,-A) = -Max(A,-A) = -Abs(A)

 

où Abs(.) désigne la valeur absolue de A (montage diode de redressement). Les opérateurs Min(.,.) et Max(.,.) étant symétriques, ils sont commutatifs :

 

(11)           Min(A,B) = Min(B,A)  ,  Max(A,B) = Max(B,A)

 

ce qui ne veut pas dire pour autant que les ENTREES DE L’AO sont symétriques ! La commutativité de ces OPERATEURS est néanmoins importante, s’agissant de nombres USUELS. On est tranquille sur ce point. Il nous reste à revoir :

 

(12)           C = Min(A,0) = A  si  A < 0 , = 0  si  A > 0

(13)           C = Max(A,0) = A  si  A > 0 , = 0  si  A < 0

 

A noter la différence entre (8) et (12) et entre (9) et (13). Pour 3 états logiques signés A, B et C, l’associativité se vérifie sans difficulté, en comparant les états deux à deux :

 

(14)           Min[Min(A,B),C] = Min[A,Min(B,C)] = Min(A,B,C)

(15)           Max[Max(A,B),C] = Max[A,Max(B,C)] = Max(A,B,C)

 

Un montage comparateur à 3 entrées est donc équivalent, en sortie, à un montage à deux comparateurs en cascade. De même que la multiplication arithmétique est distributive par rapport à l’addition, Min(.,.) est distributif par rapport à Max(.,.) :

 

(16)           Min[A,Max(B,C)] = Max[Min(A,B),Min(A,C)]

 

forme analogue à a(b + c) = ab + ac. Les théorèmes de complémentarité de de Morgan sont conservés sous la forme :

 

(17)           Min(-A,-B) = -Max(A,B)  ,  Max(-A,-B) = -Min(A,B)

 

L’inversion de signe est normale : nous sommes dans [-1,+1] avec 0 pour élément central. Les modifications sur le OU exclusif XOR booléen sont :

 

(18)           A XOR B = Max[Min(A,-B),Min(-A,B)]

(19)           A XOR (-1) = A

(20)           A XOR 0 = 0

(21)           A XOR +1 = -A

(22)           A XOR A = -Abs(A)

(23)           A XOR (-A) = Abs(A) = -(A XOR A)

 

et celles sur le ET inclusif AND,

 

(24)           A AND B = Max[Min(A,B),Min(-A,-B)] = -(A XOR B)

 

Une PROPOSITION VECTORIELLE est une formule :

 

(25)           P : [-1,+1]ⁿ -> [-1,+1]^p , A = (A₁,…,A_n) -> P(A) = [P₁(A),…,P_p(A)]

 

à n entrées et p sorties qui utilise les opérations analogiques ci-dessus. Un SYSTEME ANALOGIQUE est une formule :

 

(26)           S : [-1,+1]^n+p -> [-1,+1]^p , [A,P(A)] -> S(A) = S[A,P(A)]

 

qui transforme une formule P(A) en une formule S(A). Un ETAT MEMOIRE est une formule P(A) laissée INVARIANTE par S :

 

(27)           P(A) = S[A,P(A)]

 

C’est donc un ETAT STATIONNAIRE du système S. Enfin, un SYSTEME ANALOGIQUE COMMANDé est une formule :

 

(28)           S : [-1,+1]^n+p+q -> [-1,+1]^p , [A,C,P(A)] -> S(A) = S[A,C,P(A)]

 

où C = (C₁,…,C_q) est un « vecteur commande » qui vient s’ajouter aux entrées (A₁,…,A_n).

 

 

La machine binaire ne « parle » que le « 0 » et le « 1 ». Cette limitation la force à reconstruire tous les autres chiffres en base B > 2, puis tous les autres nombres dans cette base. Une cellule mémoire élémentaire (typiquement, une bascule) ne peut conserver qu’un chiffre binaire. La reconstruction de nombres entiers de longueur n nécessite donc déjà n cellules mémoire : on obtient alors les entiers de 0 à 2ⁿ - 1. Ensuite, il faut reconstruire les rationnels FINIS. Pour les rationnels ILLIMITéS, il faut isoler le CYCLE et le répéter un nombre évidemment limité de fois. Quant aux irrationnels, ils ne présentent aucun cycle, la détermination des chiffres lointains se fait par la statistique et, quoi qu’il en soit, ils ne peuvent s’afficher que TRONQUéS, puisque le nombre de registres est nécessairement limité.

 

La machine analogique « parle » TOUS CES NOMBRES A LA FOIS. Elle les connaît tous, dès sa conception, sous la forme de CHIFFRES contenus dans l’intervalle continu [-1,+1]. ELLE CONNAIT MÊME LES DEUX INFINIS, sous les chiffres « -1 » et « +1 ». Pour elle, les « nombres » commencent AU-DELA de l’intervalle [-1,+1]. Pour faire correspondre les chiffres de son langage à ceux de la droite réelle, il suffit d’appliquer l’argument de la tangente hyperbolique : Argth est une application monotone non singulière (donc bijective et partout inversible) de [-1,+1] dans R, prolongeable par extension aux deux infinis en incluant les deux axes hyperbolique x = -1 et x = +1. C’est la complétion classique de R. Ainsi, CHAQUE cellule mémoire élémentaire est en mesure de recevoir et de stocker, pendant une durée de temps T, N’IMPORTE QUEL EQUIVALENT REEL. Tout dépend de la valeur EXACTE (physique) de la tension d’entrée. Ce n’est plus de la base 2, mais 2^aleph₀, la « puissance du continu » selon la terminologie de Cantor. PLUS BESOIN DE RECONSTRUIRE AUCUN REEL… Vous envoyez une impulsion micro-physique, la machine la reconnaît. Même si VOUS, vous ne la percevez pas, ELLE, SI. Et elle SAIT que cette impulsion fait partie de ses « petits chiffres ». Exactement comme vous savez, depuis la naissance et sauf accident de la vie, que vous avez 10 doigts à vos mains.

 

Quand on voit l’utilisation extensive des comparateurs Min et Max et du signe, ça prête à sourire. Mais, dès qu’on passe aux INCIDENCES… c’est carrément « un truc de fou »… on entre dans un tout autre monde… Un monde auquel même nous n’avons pas accès, celui des TRANSFINIS…

 

J’ai déjà travaillé dessus il y a quelques temps et j’avais décidé de ne pas le mettre sur le blog.

 

Des machines « à 2 balles » dotées d’une puissance de calcul « cosmique », je me suis dit « pas moyen »… Aujourd’hui, je m’en fiche. J’en ai besoin pour mes recherches. Et, de toute façon, quoi que l’on fasse, quoi que l’on tente, on n’empêchera jamais les utilisations malveillantes de n’importe quelle découverte : si l’on s’arrêtait à ça, on ne ferait rien du tout… Et, au vu de la fréquentation de ce blog, on ne risque pas grand-chose… Je n’ai jamais recherché la notoriété mais, quand je regarde les stats de visite, je me dis qu’il n’y a rien à craindre…

 

Avec DEUX cellules mémoires seulement, vous construisez donc un nombre PLUS GRAND QUE L’INFINI… C’est ce qu’avait commencé à faire Cantor. Le problème, c’est qu’il a posé, un peu comme un axiome, que ooⁿ = oo pour tout entier n > 0. Autrement dit, il n’a pas OSé aller « au-delà ». Il a raisonné de manière logique en se disant « qu’après l’illimité, il n’y avait rien ». Mais ce raisonnement se contredit très vite : il suffit d’ajouter 1 à oo pour constater que « oo + 1 » est plus grand que oo. Ou on entre en contradiction avec les lois de l’arithmétique…

 

Si vous voulez, on s’est « débarrassé » de cette quantité « encombrante » qui est oo en la classant comme « SYMBOLE » et non pas en la considérant comme un chiffre ou un nombre A PART ENTIERE. Parce que ça heurtait la logique humaine… :) Mais -1 comme +1 ne heurte personne. Donc, Argth(-1) comme Argth(+1) ne devrait heurter personne…

 

Si, au contraire, on admet comme AXIOME DE DEPART que oo est « LE CHIFFRE LE PLUS GRAND DE TOUS », alors on peut bâtir une arithmétique « transfinie ». Appelez-le 2^aleph₀ si vous préférez, c’est le même chiffre. Il n’est plus fini, c’est tout. Et après ? Les irrationnels ne sont pas finis… même les rationnels cycliques ne le sont pas… et ça ne choque personne d’utiliser des nombres (en base 10) comme pi, SANS EN CONNAITRE TOUTES LES DECIMALES… on le fait depuis les Grecs !

 

Du coup, en traitant oo comme « symbole », on a été obligé d’inventer tout un tas de règles, comme celle de l’Hôpital, par exemple, pour déterminer des « valeurs limites ». On a POSé que 0/0 était « indéterminé », mais sans toujours être capable de dire A QUEL DEGRé… Que veut dire « indéterminé » ? Rien. Ça ne veut rien dire. Seulement que « on a échoué à obtenir le résultat de l’opération »… L’indétermination, c’est un CONSTAT D’ECHEC… :) Rien n’est indéterminé, dans la pratique. Ni dans la nature. Tout est déterminable un jour ou l’autre ou d’une manière ou d’une autre. Ou alors, CA N’EXISTE PAS.

 

Toutes ces réflexions sur les incidences à repasser à l’analogique, jeté un peu trop rapidement aux oubliettes, comme on sait un peu trop rapidement le faire dès qu’on passe d’une mode à l’autre (…), m’ont amené à une INTUITION. Ce n’est qu’une intuition, mais je me fie à mes intuitions pour faire avancer les choses, en commençant par les vérifier.

 

Le cerveau animal ne fonctionne pas du tout comme une machine binaire, soit. PAR CONTRE, la cellule nerveuse naturelle, SI. Son fonctionnement est plus compliqué que celui d’un circuit numérique à cause des cascades biochimiques qui s’y produisent, mais ce qui rend le soma neuronal binaire, c’est son COMPARATEUR A SEUIL…

 

UTILISEZ LE MOINS POSSIBLE DE COMPARATEURS A SEUIL EN LOGIQUE ANALOGIQUE, VOUS ALLEZ TOUT DECIMER… C’EST LE MEILLEUR MOYEN DE REVENIR AU BINAIRE… :(

 

Le neurone peut recevoir jusqu’à 10.000 entrées en moyenne, les unes excitatrices, les autres inhibitrices, donc SIGNEES, il les superpose et qu’en fait-il ensuite ? IL LES COMPARE A UN SEUIL DE DECLENCHEMENT… ça tue tout ! Il reçoit de L’ANALOGIQUE, il sort DU BINAIRE… 8(( Alors, la machine cérébrale peut ensuite fort bien fonctionner de manière beaucoup plus sophistiquée qu’une machine de Turing, A LA BASE, son fonctionnement est EN TOUT OU RIEN…

 

Je me pose donc la question : le fait de ne PAS percevoir bon nombre de choses autour de nous ne remonte-t-il pas à cette LIMITATION, qui DECIME littéralement toutes les informations reçues, tous les signaux en entrée, pour n’émettre qu’une impulsion de seuil ?...

 

Si nos neurones étaient des machines analogiques, COMMENT PERCEVRIONS-NOUS LE MONDE PHYSIQUE ?...

 

 

Espace d’état

 

C’est l’espace de Stone S à 2 points d’une algèbre de Boole B muni de sa topologie de Zariski qui en fait un espace arithmétique (= discret) métrisable. Variables A,B,C,…dans {0,1}. Opérations : opérations logiques.

 

Oscillation élémentaire :

 

(1)               e : R -> [-1,+1] , y -> e(y) = cos(ypi/2)

(2)               e(-y) = e(y) , e(2y) = (-1)^y = cos(ypi)

(3)               e(y + 1) = -e(y - 1) , e(y - 2) = e(y + 2) = -e(y)

(4)               e²(y) + e²(y - 1) = e²(y) + e²(y + 1) = 1

 

L’application réduite e : S -> S s’identifie au complémentaire logique :

 

(5)               e(A) = 1 - A  ,  A dans S

 

On a :

 

(6)               e(C - A)e(C - B) = ½ [e(A - B) + (-1)^Ce(A + B)]

(7)               e(C - A)e(1 - C - B) = ½ [e(A + B - 1) + (-1)^Ce(A - B + 1)]

 

 

Plan réel R² :

 

Vecteurs de base e⁰ = (1,0), e¹ = (0,1) étendus à :

 

(8)               e^{2A + B} = (-1)^Ae^B = e(2A)e^B          (A,B) dans {0,1}²

 

Composantes :

 

(9)               e^2A+B,C = (-1)^Ae^BC = e(2A)e(B - C)

(10)           e^BB = 1 , e^B,1-B = 0

 

Cycle modulo 4 :

 

(11)           e^2A+B+4k = e^2A+B                k dans N

 

Vecteurs :

 

(12)           v = v_Ae^A

 

 

Générateurs

 

Produit tensoriel asymétrique (e^A x_t e^B). e^A x_t e^B, base unité de R² x_t R² ~ R⁴. Matrices unités :

 

(13)           e^CAe^DB = e(C - A)e(D - B)

(14)           e^0Ae^0B = e(A)e(B) = (1,0,0,0)

(15)           e^0Ae^1B = e(A)e(1 - B)        = (0,1,0,0)

(16)           e^1Ae^0B = e(1 - A)e(B)        = (0,0,1,0)

(17)           e^1Ae^1B = e(1 - A)e(1 - B)   = (0,0,0,1)

 

Récurrences :

 

(18)           P_n=1^2N+1 (a_ne^0Ae^1B + b_ne^1Ae^0B) = (P_n=0^N a_2n+1)(P_n=1^N b_2n)e^0Ae^1B +

+ (P_n=0^N b_2n+1)(P_n=1^N a_2n)e^1Ae^0B

(19)           P_n=1^2N (a_ne^0Ae^1B + b_ne^1Ae^0B) = (P_n=0^N-1 a_2n+1)(P_n=1^N b_2n)e^0Ae^0B +

+ (P_n=0^N-1 b_2n+1)(P_n=1^N a_2n)e^1Ae^1B

     (a_n et b_n dans R, N dans N)

 

 

Matrices s

 

(20)           s^00,AB = e^CAe^1-C,B - e^1-C,Ae^CB = e(A - B + 1) = (0,1,-1,0) = -s^00,BA

(21)           s^01,AB = e^0Ae^0B - e^1Ae^1B = e(A + B) = (1,0,0,-1) = s^01,BA

(22)           s^10,AB = e^CAe^1-C,B + e^1-C,Ae^CB = e(A + B - 1) = (0,1,1,0) = s^10,BA

(23)           s^11,AB = e^0Ae^0B + e^1Ae^1B = e(A - B) = (1,0,0,1) = s^11,BA = e^AB

(24)           Det(s^AA) = -Det(s^A,1-A) = +1

(25)           (s^-1)_AB = (s^t)^AB = (-1)^(1-A)(1-B)s^AB = s^BA

(26)           Tr(s^AB) = 2AB

(27)           (s²)^AB = -s₀₀s₀₁s₁₀ = (-1)^(1-A)(1-B)s₁₁

(28)           s⁰⁰s⁰¹ = -s⁰¹s⁰⁰ = -s¹⁰ , s⁰¹s¹⁰ = -s¹⁰s⁰¹ = s⁰⁰ , s¹⁰s⁰⁰ = -s⁰⁰s¹⁰ = -s⁰¹

(29)           s¹¹s⁰⁰ = s⁰⁰s¹¹ = s⁰⁰ , s¹¹s⁰¹ = s⁰¹s¹¹ = s⁰¹ , s¹¹s¹⁰ = s¹⁰s¹¹ = s¹⁰

 

 

Conversion :

 

(30)           e^0Ae^0B = ½ (s^11,AB + s^01,AB) , e^1Ae^1B = ½ (s^11,AB - s^01,AB)

(31)           e^0Ae^1B = ½ (s^10,AB + s^00,AB) , e^1Ae^0B = ½ (s^10,AB - s^00,AB)

 

 

Algèbre à deux états :

 

Algèbre M₂(R) des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels munie du PRODUIT TRANSPOSé (.,^t) :

 

(32)           MN = (N^tM^t)^t

(33)           (MN)^AC = M^ABN_B^C = N_B^CM^AB = (N^t)^C_B(M^t)^BA

  = (N^tM^t)^CA = {[(N^tM^t)]^t}^AC

 

qui en fait une algèbre COMMUTATIVE.

 

(34)           M = m_AB(e^A x_t e^B) = m’_ABs^AB                   INVARIANTE DE BASE

 

Coefficients :

 

(35)           M^CD = m_ABe^CAe^DB = m’_ABs^AB,CD                CONTRAVARIANTS

(36)           m_AB = -½ g⁽⁰⁾_AB,CDTr[(e^C x_t e^D)M]

(37)           m’_AB = -½ g⁽⁰⁾_AB,CDTr(s^CDM)                     (pour g⁽⁰⁾, voir + bas)

 

Propriétés remarquables :

 

(38)           M² = -Det(M)s₂₂ + Tr(M)M  =>  Tr(M²) = Tr²(M) - 2Det(M)

(39)           Mⁿ⁺¹ = a_n+1M + b_n+1s₂₂ , a_n+1 = a₁a_n + b_n , b_n+1 = a_nb₁ , n dans N

      a₀ = 1 , b₀ = 0 , a₁ = Tr(M) , b₁ = -Det(M) , M⁰ = s₂₂

(40)           Tr(M) = 0 => M²ⁿ⁺¹ = (-1)ⁿDetⁿ(M)M , M²ⁿ = (-1)ⁿDetⁿ(M)s₂₂

(41)           Det(M) = 0 => Mⁿ⁺¹ = Trⁿ(M)M

(42)           Det(M) = 0 ET Tr(M) = 0 <=> M² = 0

 

Action :

 

(43)           M^ABv_B = w^A = v_BM^BA  <=>  M.v = w = v.M^t

 

Action des matrices s :

 

(44)           s.v = w = v.s^t  <=>  s^ABv = w^AB

(45)           w^AB,C = (-1)^(1-A)Cv^{BC + (1-B)(1-C)} 

 

En variables :

 

(46)           s(A,B)v = w(A,B)  ,  w(A,B,C) = (-1)^(1-A)Cv[BC + (1 - B)(1 - C)]

 

 

Espace-temps de Minkowski V₀

 

Isomorphisme M₂(R) ~ R^3,1 ~ V₀. Tenseur métrique :

 

(47)           g₍₀₎^AB,CD = -½ Tr(s^ABs^CD) = g₍₀₎^CD,AB

(48)           g₍₀₎^AB,AB = (-1)^{(A OU B)} = e[2(A OU B)]

(49)           g₍₀₎^00,00 = -g₍₀₎^01,01 = -g₍₀₎^10,10 = -g₍₀₎^11,11 = +1

 

Opérateur position :

 

(50)           x = x_AB(e^A x_t e^B) = x’_ABs^AB

 

Positions dans la base e^A x_t e^B :

 

(51)           x_AB = (x.e^B)^A

(52)           x_AA = (-1)^Ax’₀₁ + x’₁₁ , x_A,1-A = (-1)^Ax’₀₀ + x’₁₀

 

Positions dans la base s^AB :

 

(53)           x’_AB = -½ g⁽⁰⁾_ABCDTr(s^CDx)

(54)           x’₀₀ = ½ (x₀₁ - x₁₀) , x’₀₁ = ½ (x₀₀ - x₁₁)

x’₁₀ = ½ (x₀₁ + x₁₀) , x’₁₁ = ½ (x₀₀ + x₁₁)

 

Dualités sur V₀ :

 

(55)           x_AB = g⁽⁰⁾_AB,CDx^DC , x^AB = g₍₀₎^AB,CDx_DC 

 

Métrique sur V₀ :

 

(56)           s² = g⁽⁰⁾_AB,CDx^ABx^CD = Det(x) - ½ Tr²(x)

 

 

Cette bidouille devrait parler aux informaticiens et leur montrer le lien qui peut être établi entre théorie déterministe de l’information (algèbre de Boole, calcul propositionnel et calcul des prédicats) et physique fondamentale.

 

Dans le plan réel R², choisissons un point quelconque pour origine d’un système d’axes orthogonaux entre eux. Les vecteurs unités qui servent de base à tout calcul vectoriel dans R² ont pour composantes e⁰ = (1,0), e¹ = (0,1), e² = -e¹ et e³ = -e². Comme e⁵ = e¹ recommence un cycle, on a un modulo 4. Si A et B sont des booléens dans {0,1}, on sait que le MOT BINAIRE (AB)₂ correspond algébriquement à 2A + B et couvre de 0 à 3. Par conséquent, les vecteurs unités se regroupent tous au sein de la formule :

 

(1)               e^{2A + B} = (-1)^Ae^B                (A,B) dans {0,1}²

 

Chaque vecteur ayant 2 composantes, les 8 composantes sont fournies par :

 

(2)               e^2A+B,C = (-1)^Ae^BC

(3)               e^BB = 1 , e^B,1-B = 0

 

Le cycle modulo 4 est représenté par :

 

(4)               e^2A+B+4k = e^2A+B                k dans N

 

Si l’on introduit l’oscillation élémentaire e(.) = cos(.pi/2), qui est une fonction paire, on peut voir e(A) comme une proposition, puisque e(0) = 1 et e(1) = 0 [voir e(A) comme le complémentaire 1 - A de A serait une très mauvaise idée, car cette identification n’est tolérable que dans le cas booléen. Elle est fausse en général]. Etant donné que e(2A) = (-1)^A est une tautologie, on peut déjà réécrire la formule (1) sous la forme :

 

(5)               e^{2A + B} = e(2A)e^B              (A,B) dans {0,1}²

 

Les composantes (3) correspondent à :

 

(6)               e^AB = e(A - B) = e(B - A) = e^BA

 

Leur symétrie est due à la parité +1 de cos(.). En associant les deux, on trouve :

 

(7)               e^2A+B,C = e(2A)e(B - C)

 

Les deux vecteurs de base les plus fondamentaux sont e^A (A = 0,1). Les deux autres s’en déduisent par simple changement de signe. Si je forme le produit TENSORIEL e^A x_t e^B, j’obtiens 4 matrices, toutes de déterminant nul (et donc, non inversibles) :

 

(8)               e^0Ae^0B = e(A)e(B) = (1,0,0,0)

(9)               e^0Ae^1B = e(A)e(1 - B)        = (0,1,0,0)

(10)           e^1Ae^0B = e(1 - A)e(B)        = (0,0,1,0)

(11)           e^1Ae^1B = e(1 - A)e(1 - B)   = (0,0,0,1)

 

On remarque que :

 

(12)           e^CAe^DB = e(C - A)e(D - B)

 

Il en résulte aussitôt que, pour C = D, les matrices e^C x_t e^C sont symétriques. Pour D = 1 - C, la seule identité fournie par la trigonométrie est :

 

(13)           e²(C) + e²(1 - C) = 1

 

C’est une relation quadratique en général. Elle n’est linéaire pour C booléen qu’en raison de l’idempotence C² = C, qui donne (1 - C)² + C² = 1 - C + C = 1. Mais cette propriété-là est spécifique de la base 2 et, même dans ce cas, e(C - A)e(1 - C - B) <> e(1 - C - A)e(C - B) pour B = 1 - A : e^0Ae^1,1-A = e²(A) , e^1Ae^0,1-A = e²(1 - A). Par conséquent, les matrices e^CAe^1-C,B sont asymétriques en toute généralité. Seules leurs diagonales sont communes. Leur partie symétrique est fournie par l’anti-commutateur :

 

(14)           s^10,AB = e^CAe^1-C,B + e^1-C,Ae^CB = e(A + B - 1) = (0,1,1,0)

 

et leur partie antisymétrique, par le commutateur,

 

(15)           s^00,AB = e^CAe^1-C,B - e^1-C,Ae^CB = e(A - B + 1) = (0,1,-1,0)

 

Les deux autres combinaisons linéaires sont :

 

(16)           s^11,AB = e^0Ae^0B + e^1Ae^1B = e(A - B) = (1,0,0,1)

(17)           s^01,AB = e^0Ae^0B - e^1Ae^1B = e(A + B) = (1,0,0,-1)

 

De ces 4 nouvelles matrices de base, seule s⁰⁰ est antisymétrique, en vertu du fait que :

 

cos[(B - A - 1)pi/2] = sin[(B - A)pi/2] = -sin[(A - B)pi/2] = -cos[(A - B - 1)pi/2]

 

soit,

 

(18)           e(A - B + 1) = -e(A - B - 1)

 

Contrairement aux matrices unités e^A x_t e^B, les matrices s sont toutes inversibles :

 

(19)           Det(s^AA) = -Det(s^A,1-A) = +1

(20)           (s^-1)_AB = (s^t)^AB = (-1)^(1-A)(1-B)s^AB = s^BA

 

Leurs traces sont :

 

(21)           Tr(s^AB) = 2AB

 

Les carrés vérifient :

 

(22)           (s²)^AB = -s₀₀s₀₁s₁₀ = (-1)^(1-A)(1-B)s₁₁

 

Enfin, les produits :

 

(23)           s⁰⁰s⁰¹ = -s⁰¹s⁰⁰ = -s¹⁰ , s⁰¹s¹⁰ = -s¹⁰s⁰¹ = s⁰⁰ , s¹⁰s⁰⁰ = -s⁰⁰s¹⁰ = -s⁰¹

 

anticommutent tandis que les produits

 

(24)           s¹¹s⁰⁰ = s⁰⁰s¹¹ = s⁰⁰ , s¹¹s⁰¹ = s⁰¹s¹¹ = s⁰¹ , s¹¹s¹⁰ = s¹⁰s¹¹ = s¹⁰

 

commutent. Ces différences ont toutes pour origine commune la propriété cyclique :

 

(25)           e(A - 2) = e(A + 2) = -e(A)

 

qui ne s’applique qu’une fois aux produits (23) et deux fois aux produits (24). Pour les modernistes, on est en présence d’une algèbre Z₂-graduée (pour les archaïques, ceux qui savaient encore se faire comprendre lol, c’est une algèbre qui inclut les commutateurs comme les anti-commutateurs). Inversement :

 

(26)           e(C - A)e(C - B) = ½ [e(A - B) + (-1)^Ce(A + B)]

(27)           e(C - A)e(1 - C - B) = ½ [e(A + B - 1) + (-1)^Ce(A - B + 1)]

 

soit,

 

(28)           e^0Ae^0B = ½ (s^11,AB + s^01,AB) , e^1Ae^1B = ½ (s^11,AB - s^01,AB)

(29)           e^0Ae^1B = ½ (s^10,AB + s^00,AB) , e^1Ae^0B = ½ (s^10,AB - s^00,AB)

 

L’alternance de signe ressort bien dans les formules (26-27).

 

Le fait que le produit de deux matrices s redonne une matrice s (au signe près) et que toutes les matrices s soient de trace nulle sauf s¹¹ [formule (21)] a une conséquence majeure sur la structure du CADRE PHYSIQUE. Les matrices s sont les matrices de base de l’algèbre M₂(R) des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Ce ne sont pas des nombres, mais des REPRESENTATIONS D’OPERATEURS. En tant qu’espace vectoriel NON commutatif vis-à-vis du produit usuel de nombres, l’espace M₂(R) peut être rendu COMMUTATIF en remplaçant le produit usuel (.) par un PRODUIT TRANSPOSé (.,^t) : si M et N sont deux matrices quelconques de M₂(R), on a en effet toujours :

 

(30)           MN = (N^tM^t)^t

 

C’est ce que montraient Moon et Spencer : qu’en composantes, le produit convolutif (discret),

 

(MN)^AC = M^ABN_B^C = N_B^CM^AB = (N^t)^C_B(M^t)^BA = (N^tM^t)^CA = {[(N^tM^t)]^t}^AC

 

puisque s’agissant à présent de nombres usuels. Une fois rendue commutative vis-à-vis du produit transposé, M₂(R), de dimension réelle 4, devient isomorphe à l’espace R^3,1 (qui, lui, EST commutatif, c’est l’algèbre des quaternions qui ne l’est pas). D’autre part, M₂(R) est également un espace TOPOLOGIQUE. En ce sens, il devient alors isomorphe à L’ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI V₀ dont le tenseur métrique se construit A L’AIDE DES MATRICES s :

 

(31)           g₍₀₎^AB,CD = -½ Tr(s^ABs^CD) = g₍₀₎^CD,AB

 

Ce tenseur est symétrique par rapport à la permutation de PAIRES d’indices booléens (donc, de mots binaires à 2 lettres). Pour (A,B) <> (C,D), la trace est nulle, rendant g₍₀₎ automatiquement diagonal. Pour (A,B) = (C,D), (22) donne :

 

g₍₀₎^AB,AB = -½ Tr[(s²)^AB] = -½ (-1)^(1-A)(1-B)Tr(s₁₁) = (-1)^{1 + (1-A)(1-B)}

 

soit,

 

(32)           g₍₀₎^AB,AB = (-1)^{(A OU B)} = e[2(A OU B)]

(33)           g₍₀₎^00,00 = -g₍₀₎^01,01 = -g₍₀₎^10,10 = -g₍₀₎^11,11 = +1

 

la signature « du genre temps ». Comment un espace EUCLIDIEN comme R² peut-il mener à un espace-temps PSEUDO-euclidien comme V₀ ? C’est uniquement dû au caractère symplectique de s⁰⁰ [(s⁰⁰)² = -s¹¹], qui est l’analogue réelle de l’unité imaginaire i du corps C des nombres complexes. Mais comprendre comment s’opère la « magie » est impossible en partant d’un espace topologique de Stone, car s⁰⁰ ne s’annule que pour A = B + 2k, ce qui donne A = B pour des booléens : précisément la DIAGONALE de s⁰⁰ (modulo 2)… Donc, on tourne en rond, on aboutit toujours à une évidence et on n’apprend rien de plus. Tout ce que l’on peut dire, c’est que s⁰⁰ résulte de l’asymétrie des matrices produit e^CAe^1-C,B pour C = 1,2.

 

Toute matrice de M₂(R) est donc décomposable sur la base, soit des matrices unités e^A x_t e^B, soit des matrices s :

 

(34)           M = m_AB(e^A x_t e^B) = m’_ABs^AB

 

On constate qu’en tant que MATRICE, M est un INVARIANT. Ce sont ces COMPOSANTES qui dépendent explicitement des indices :

 

(35)           M^CD = m_ABe^CAe^DB = m’_ABs^AB,CD

 

La distinction est importante : la matrice M est la représentation d’un OPERATEUR. Ses composantes sont des nombres usuels. Dans la base unité e^A x_t e^B, ces composantes sont les m_AB ; dans la base s^AB, ce sont les m’_AB. Comme pour les tenseurs, ce sont les COEFFICIENTS qui s’expriment différemment suivant la base utilisée. L’OBJET considéré (matrice, tenseur, peu importe, ce n’est que du vocabulaire), lui, est le même DANS TOUTES LES BASES. On peut dire « qu’intrinsèquement », il est invariant et « qu’extrinsèquement », dans une base contravariante, il est covariant. C’est ce que cherchais à exprimer Gauss dans sa synthèse sur les objets géométriques.

 

Un vecteur étant un tenseur d’ordre 1, tout vecteur v du plan R² se développe sur la base e^A en :

 

(36)           v = v_Ae^A

 

L’objet v est invariant, ses coefficients v_A sont covariants. La matrice M OPERE sur v pour le transformer en un vecteur w:

 

(37)           M^ABv_B = w^A = v_BM^BA  <=>  M.v = w = v.M^t

 

De nouveau, le produit transposé (.,^t) : l’action à droite est transposée de celle à gauche (et réciproquement, puisque la transposition est une idempotence). L’exemple… de base est fourni par les matrices s elles-mêmes :

 

(38)           s.v = w = v.s^t  <=>  s^ABv = w^AB

 

(il y a 4 matrices) conduit à,

 

(39)           w^AB,C = (-1)^(1-A)Cv^{BC + (1-B)(1-C)}  

 

où BC + (1 - B)(1 - C) est le ET inclusif de B et C. Les transformations subies par le vecteur v sous l’action des opérateurs s se voient mieux si l’on se rappelle que la notation indicielle est utilisée pour des variables discrètes, ce qui est le cas ici. En notation fonctionnelle :

 

(40)           s(A,B)v = w(A,B)  ,  w(A,B,C) = (-1)^(1-A)Cv[BC + (1 - B)(1 - C)]

 

ça devient flagrant : la variable C de v(C) est remplacé par BC + (1 - B)(1 - C) et le vecteur v est ensuite affublé d’un signe.

 

Les principaux résultats sont regroupés dans un formulaire qui suit cette bidouille.

 

Le reste suit le même modèle de construction. Ainsi, pour obtenir l’espace-temps « à 2 états » de Minkowski, on utilise le produit tensoriel e^A x_t e^B x_t e^C, qui fournit les 8 matrices unités souhaitées. Conformément à (34), j’aurai bien :

 

(41)           M = m_ABC(e^A x_t e^B x_t e^C) = m’_ABCs^ABC

 

et 8 matrices s de base, 4 pour chaque état. Nous n’en aurons pas besoin mais, si je poursuis le procédé, j’obtiens des matrices à n indices, n dans N fini, >= 1. Si, au contraire, je remplace l’intervalle booléen {0,1} par {0,…,n-1}, je construis M_n(R), l’algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.

 

Pour n = oo dénombrable (cardinalité aleph₀ selon la classification ensembliste de Cantor), l’algèbre M_oo(R) opère sur un espace d’état R^oo dénombrable. Cette situation peut s’appliquer aux OSCILLATEURS HARMONIQUES. On sait, en effet, que tout champ physique confiné à l’intérieur d’un volume spatial fermé se décompose en modes DISCRETS (Planck) et donc, en série d’harmoniques.

 

Pour n = oo NON dénombrable (cardinalité 2^aleph₀), on a ENCORE des applications, cette fois, aux champs NON confinés (spectres continus). Ce cas est intéressant parce que la fonction scalaire e(A) y prend ses valeurs dans l’intervalle CONTINU [0,1]. Lorsque A parcourt toutes les valeurs de cet intervalle, les composantes (1) couvre LE CERCLE UNITé. Pour les champs continus, i.e. à la limite thermodynamique, on trouve donc une structure en cercle.

 

Comme je l’ai dit plus haut, je vais rassembler les formules techniques au sein de la bidouille suivante et puis nous tenterons de reconstruire les choses comme elles ont pu se produire.

 

Revu et corrigé le 08 Août 2020

 

Soit maintenant V un espace(-temps) STANDARD de dimension D. Introduisons un ANGLE DE MELANGE ksi, 0 =< ksi < 2pi, complètement indépendant des points de V. Cette donnée supplémentaire étend V à V x [0,2pi[. Si x est un point de V de coordonnées xⁱ, alors, en introduisant les POLARISATIONS :

 

(1)               e⁽¹⁾ = e₍₁₎ = cos(ksi)  ,  e⁽²⁾ = e₍₂₎ = sin(ksi)

(2)               e_(A)e^(A) = 1                             pour tout ksi

 

on peut construire des COORDONNEES PROJECTIVES,

 

(3)               x^(A)i = e^(A)xⁱ                        (A = 1,2)

 

de POINT DE BASE x qui, une fois appliquées à L’ENSEMBLE des points x de V, va générer des VARIETES PROJECTIVES V^(A), de points x^(A), coordonnées x^(A)i.

 

L’introduction de l’angle de mélange ksi permet ainsi de construire, par projection, un espace(-temps) de dimension D à DEUX états V⁽¹⁾ et V⁽²⁾.

 

Lorsque ksi = 0 ou pi, V⁽¹⁾ coïncide avec V au signe près et V⁽²⁾ se contracte en un point {0}. Au contraire, lorsque ksi = pi/2 ou 3pi/2, c’est V⁽²⁾ qui coïncide avec V (au signe près) et V⁽¹⁾ qui se contracte en un point {0}. On n’a donc même pas besoin d’introduire une orientation sur V, celle-ci est automatiquement générée par les polarisations et ce sont les variétés projectives qui en héritent.

 

En utilisant (2), on peut inverser (3) et faire apparaître V comme un MELANGE D’ETATS :

 

(4)               xⁱ = e_(A)x^(A)i = x⁽¹⁾ⁱcos(ksi) + x⁽²⁾ⁱsin(ksi)

 

ce qui ne rend pas les xⁱ dépendant de l’angle de mélange ksi pour autant, en raison de (2). Cette identité permet d’ailleurs de montrer que la matrice produit e_(A)e^(B), dont le déterminant est automatiquement nul, est PROJECTIVE :

 

(5)               P_(A)^(B) = e_(A)e^(B)  =>  P_(A)^(B)P_(B)^(C) = P_(A)^(C)

 

Puisque ksi est un paramètre continu sur [0,2pi[, les propriétés de cos et sin aboutissent à :

 

(6)               e_(A)de^(A) = e^(A)de_(A) = 0

(7)               e^(A)d/de^(A) = e_(A)d/de_(A) = 0

 

Si nous désignons par J la matrice antisymétrique unité J_(A)(A) = 0, J₍₁₎₍₂₎ = -J₍₂₎₍₁₎ = +1, alors :

 

(8)               J^-1 = -J , J² = -Id , det(J) = +1

 

et il est facile de voir qu’on a, en plus,

 

(9)               de^(A) = J^(A)(B)e_(B)dksi  ,  de_(A) = -J_(A)(B)e^(B)dksi

 

et

 

(10)           d/de^(A) = -J_(A)(B)e^(B)d/dksi  ,  d/de_(A) = J^(A)(B)e_(B)d/dksi

 

Il en résulte que, si :

 

(11)           dx^(A)i = e^(A)dxⁱ + xⁱde^(A) = e_(B)(d^(A)(B)dxⁱ + xⁱJ^(A)(B)dksi)

(12)           dx_(A)ⁱ = e_(A)dxⁱ + xⁱde_(A) = e^(B)(d_(A)(B)dxⁱ - xⁱJ_(A)(B)dksi)

 

et,

 

(13)           d/dx^(A)i = e_(A)d/dxⁱ - k_iJ_(A)(B)e^(B)d/dksi = e^(B)(d_(A)(B)d/dxⁱ - k_iJ_(A)(B)d/dksi)

(14)           d/dx_(A)ⁱ = e^(A)d/dxⁱ + k_iJ^(A)(B)e_(B)d/dksi = e_(B)(d^(A)(B)d/dxⁱ + k_iJ^(A)(B)d/dksi)

 

avec

 

(15)           k_i = 1/xⁱ                 (i = 1,…,D)

 

en revanche,

 

(16)           dxⁱ = e_(A)dx^(A)i = e^(A)dx_(A)ⁱ

(17)           d/dxⁱ = e^(A)d/dx^(A)i = e_(A)d/dx_(A)ⁱ

 

Tous ces résultats vont nous être utiles car, si l’on connaît les variations dxⁱ et d/dxⁱ entre deux points immédiatement voisins de V, on ne connaît pas les variations dksi et d/dksi à partir de la seule donnée de V. Il nous faut donc formuler une hypothèse complémentaire et vérifier si elle s’accorde bien avec le caractère « standard » et « non standard » étudié jusqu’ici. Cette hypothèse complémentaire consiste à dire que le produit cartésien V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ des espaces(-temps) projectifs, qui forme une variété de dimension 2D, est à la fois RIEMANNIEN ET STANDARD.

 

On formule donc l’hypothèse que le Modèle Standard se laisse étendre à la dimension 2D, mais en conservant à l’esprit que l’espace(-temps) PHYSIQUE n’est PAS de dimension 2D, mais de dimension D A DEUX ETATS (au lieu d’un seul).

 

Cela veut dire que la variété produit V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ est PUREMENT ABSTRAITE (un simple espace de calculs) et que la VERITABLE VARIETE PHYSIQUE reste V. Sinon, on rencontre des décalages insolubles dans les unités physiques. Par exemple, en dimension spatiale 3, on ne trouve qu’un seul volume, x¹x²x³, et des densités en m^-3, alors qu’en dimension 6, on trouve C₃⁶ = 6!/3!3! = 20 volumes 3D, 1 seul HYPER-volume de dimension 6, x¹…x⁶, et des densités en m^-6…

 

Quoi qu’il en soit, les projections V^(A) sont CONTRACTABLES JUSQU'A UN POINT PAR SIMPLE EFFET GEOMETRIQUE (une rotation dans le plan des états) : comment des espaces(-temps) PHYSIQUES pourraient-ils correspondre à cela ? Il est clair, au contraire, que les V^(A) sont « INERTIELS », c’est-à-dire qu’ils ne sauraient constituer que des « PSEUDO-ESPACES(-TEMPS) » : un véritable espace(-temps) physique ne peut s’éliminer par aucune transformation géométrique, quelle qu’elle soit…

 

Pour éviter ces inconvénients, qui ne correspondent d’ailleurs PAS à la réalité (le passage du « classique » au « quantique » préserve les systèmes d’unités), on va transférer les ingrédients de la géométrie riemannienne à V⁽¹⁾ x V⁽²⁾, introduire des indices I,J,K,… à 2D dimensions, identifier chaque indice à une PAIRE (A)i, (B)j, (C)k,… polarisée et on obtiendra les comportements supplémentaires recherchés. On vérifiera ensuite si les résultats sont conformes ou pas avec l’extension du Modèle Standard au « non standard » en dimension D.

 

Les équations de champ pour une v.r. standard de dimension 2D sont (B166, 169 et 170) :

 

(18)           R_IK = (8pi k/c⁴)[T_IK - Tg⁽⁰⁾_IK/2(D - 1)]

(19)           R = -8pi kT/c⁴(D - 1)

(20)           T_IJKL = (T_IKg⁽⁰⁾_JL - T_JKg⁽⁰⁾_IL + T_JLg⁽⁰⁾_IK - T_ILg⁽⁰⁾_JK)/2(D - 1) -

      - T(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/2(D - 1)(2D - 1)

(21)           R_IJKL = (R_IKg⁽⁰⁾_JL - R_JKg⁽⁰⁾_IL + R_JLg⁽⁰⁾_IK - R_ILg⁽⁰⁾_JK)/2(D - 1) -

      - R(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/2(D - 1)(2D - 1) =

   = (8pi k/c⁴)[T_IJKL - T(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/(D - 1)(2D - 1)]

(22)           e^K_I = exp(½ S_V(1)xV(2)S_V(1)xV(2) R_IJ^K_Ldx^Jdx^L)

 

Le lien entre les composantes 2D-dimensionnelles et les composantes D-dimensionnelles est simple. Pour un champ vectoriel, il s’agit d’une généralisation de (3) et (4) :

 

(23)           Fⁱ(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i(x,ksi)

(24)           F^(A)i(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)Fⁱ(x,ksi)

(25)           e_F,(1)(x,ksi) = e_F⁽¹⁾(x,ksi) = cos[PHI(x,ksi)]

(26)           e_F,(2)(x,ksi) = e_F⁽²⁾(x,ksi) = sin[PHI(x,ksi)]

(27)           e_F,(A)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi) = 1              pour tout (x,ksi)

 

avec l’identification F^(A)i = F^I, où e_F est le vecteur polarisation associé à Fⁱ. Pour un champ de 2-tenseurs contravariants, c’est :

 

(28)           F^ij(x,ksi) = e_F,(B)(x,ksi)e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i(B)j(x,ksi)

(29)           F^(A)i(B)j(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)e_F^(B)(x,ksi)F^ij(x,ksi)

 

Les produits e_F,(B)e_F,(A) et e_F^(A)e_F^(B) sont symétriques. Néanmoins, F^(A)i(B)j s’identifie à F^IJ et les parties symétrique et antisymétrique de ce dernier sont :

 

F₊^IJ = ½ (F^IJ + F^JI)  =>  F₊^(A)i(B)j = ½ (F^(A)i(B)j + F^(B)j(A)i) = F₊^(B)j(A)i

F_-^IJ = ½ (F^IJ - F^JI)  =>  F_-^(A)i(B)j = ½ (F^(A)i(B)j - F^(B)j(A)i) = -F_-^(B)j(A)i

 

On remarque cependant que :

 

F^ij NON symétrique en dim D  <=>  F^IJ NON symétrique en dim 2D

 

Pour que F^IJ soit symétrique, il faut donc que F^ij le soit (et réciproquement). Pour un champ de 2-tenseurs mixtes et covariants :

 

(30)           Fⁱ_j(x,ksi) = e_F^(B)(x,ksi)e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i_(B)j(x,ksi)

(31)           F^(A)i_(B)j(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)e_F,(B)(x,ksi)Fⁱ_j(x,ksi)

 

(32)           F_i^j(x,ksi) = e_F,(B)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi)F_(A)i^(B)j(x,ksi)

(33)           F_(A)i^(B)j(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)e_F^(B)(x,ksi)F_i^j(x,ksi)

 

(34)           F_ij(x,ksi) = e_F^(B)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi)F_(A)i(B)j(x,ksi)

(35)           F_(A)i(B)j(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)e_F,(B)(x,ksi)F_ij(x,ksi)

 

Le procédé est évidemment identique pour les tenseurs d’ordre n :

 

(36)           F^i1…in = e_F,(A1)…e_F,(An)F^{(A1)i1…(An)in}

(37)           F^{(A1)i1…(An)in} = e_F^(A1)…e_F^(An)F^i1…in

 

et des formules analogues pour les tenseurs mixtes et covariants. Ainsi, pour R_ijkl(x,ksi), on aura (sans expliciter la dépendance en les variables) :

 

(38)           R_ijkl = e_R^(D)e_R^(C)e_R^(B)e_R^(A)R_{(A)i(B)j(C)k(D)l}

(39)           R_{(A)i(B)j(C)k(D)l} = R_IJKL

(40)           e_R⁽¹⁾(x,ksi) = e_R,(1)(x,ksi) = cos[RHO(x,ksi)]

(41)           e_R⁽²⁾(x,ksi) = e_R,(2)(x,ksi) = sin[RHO(x,ksi)]

(42)           e_R,(A)e_R^(A) = 1

 

Le champ de contraintes T_IJ(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) s’identifie à T_(A)i(B)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾). Il n’est symétrique qu’en la permutation des indices I et J, de sorte qu’on a seulement T_(A)i(B)j = T_(B)j(A)i. Les composantes T_(A)i(A)j sont donc systématiquement symétriques. La composante T_(1)i(2)j ne l’est pas. Elle présente une partie symétrique,

 

T_+(1)i(2)j = ½ (T_(1)i(2)j + T_(2)i(1)j) = T_+(2)i(1)j

 

et une partie antisymétrique,

 

T_-(1)i(2)j = ½ (T_(1)i(2)j - T_(2)i(1)j) = -T_-(2)i(1)j

 

La variété produit V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ n’est donc PAS riemannienne vis-à-vis de la permutation des axes de coordonnées ni des axes d’états, mais uniquement DES DEUX A LA FOIS.

 

La composante T_(1)i(1)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) fait référence à une substance standard sur V⁽¹⁾, à la différence qu’elle varie généralement d’un point à un autre de V⁽¹⁾ COMME DE V⁽²⁾. Il s’agit donc déjà d’une première EXTENSION du champ de matière T_(1)i(1)j(x⁽¹⁾) du Modèle Standard, qui ne dépend PAS des coordonnées x⁽²⁾ⁱ sur V⁽²⁾ : il y est GLOBAL. Ici, nous le localisons.

 

La composante T_(2)i(2)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) fait référence à une substance standard sur V⁽²⁾. Est-ce notre « substance non standard » recherchée ? Pour éviter les projections croisées T_(1)i(2)j et T_(2)i(1)j qui portent sur le PLAN d’état, on va diagonaliser la matrice d’état (asymétrique) T_(A)(B) de manière à ne conserver que les projections relatives à V⁽¹⁾ et V⁽²⁾ (et les notations). Les équations de champ (18) à (22) nous disent que, dans ce cas :

 

(43)           T = g₍₀₎^IKT_IK = g₍₀₎^(A)i(C)kT_(A)i(C)k = g₍₀₎^ik(T_(1)i(1)k + T_(2)i(2)k) = T₍₁₎ + T₍₂₎

(44)           R_(A)i(A)k = (8pi k/c⁴)[T_(A)i(A)k - Tg⁽⁰⁾_(A)i(A)k/2(D - 1)]

 

Pour T_(A)i(A)k = 0, on a R_(A)i(A)k = 0 et la variété V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ est plane : pas de substance, pas de géométrie.

 

Mais, pour T_(1)i(1)k = 0, on trouve :

 

(45)           T = T₍₂₎

(46)           R_(1)i(1)k = -(8pi k/c⁴)T₍₂₎g⁽⁰⁾_ik/2(D - 1)

(47)           R_(2)i(2)k = (8pi k/c⁴)[T_(2)i(2)k - T₍₂₎g⁽⁰⁾_ik/2(D - 1)]

 

LA COURBURE R_(1)i(1)k N’EST PAS NULLE, GRÂCE A L’INVARIANT T₍₂₎ ! :)

 

Elle s’exprime même entièrement à l’aide de T₍₂₎. Le résultat est que :

 

(48)           T_{(1)i(1)j(1)k(1)l} = -T₍₂₎(g⁽⁰⁾_ikg⁽⁰⁾_jl - g⁽⁰⁾_jkg⁽⁰⁾_il)/2(D - 1)(2D - 1)

(49)           R_{(1)i(1)j(1)k(1)l} = -(12pi k/c⁴)T₍₂₎(g⁽⁰⁾_ikg⁽⁰⁾_jl - g⁽⁰⁾_jkg⁽⁰⁾_il)/(D - 1)(2D - 1)

 

De plus, comme T₍₂₎ dépend généralement des x⁽¹⁾ et des x⁽²⁾, il en va de même pour les quantités ci-dessus. Même si T₍₂₎ est partout constant, on a quand même une courbure DE RIEMANN pour V⁽¹⁾. Il faut vraiment que T₍₂₎ soit partout nul pour que l’on ne trouve rien. Mais alors, ceci renvoie à V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ plane. Si T₍₂₎ n’est partout constante que sur V⁽²⁾, la géométrie de V⁽¹⁾ RESTE LOCALE, puisque elle dépend encore des x⁽¹⁾. Mais, ce qui est encore plus intéressant, c’est le cas où T₍₂₎ est partout constante SUR V⁽¹⁾ : dans ce cas, T₍₂₎ ne dépend que des x⁽²⁾ et, SI L’ON NE PREND PAS LE 2EME ETAT EN COMPTE, ON EST BIEN EN MAL DE DIRE D’Où POURRAIT BIEN PROVENIR UNE TELLE SOURCE DE COURBURE…

 

C’est exactement la difficulté conceptuelle à laquelle nous nous sommes confrontés quand nous avons étendu la RG à la « substance non standard » : d’où pouvait bien provenir cette substance qui n’entrait PAS dans le Modèle Standard ? Mystère. Eh bien, le mystère semble résolu. La réciprocité en prime : si l’on permute les indices d’état, on s’aperçoit que, lorsque T_(2)i(2)k = 0, c’est V⁽²⁾ qui présente de la substance « non orthodoxe » provenant de T₍₁₎.

 

Ça veut dire quoi ? ça veut dire que la notion de « standard » et de « non standard » est, là encore, toute RELATIVE : la « substance non standard » observée dans V⁽²⁾ est tout à fait « standard » dans V⁽¹⁾. Donc, la réciproque est vraie :

 

LE « STANDARD » DANS V⁽¹⁾ APPARAIT « NON STANDARD » DANS V⁽²⁾.

LE « STANDARD » DANS V⁽²⁾ APPARAIT « NON STANDARD » DANS V⁽¹⁾.

 

Or, qu’est-ce que V ? D’après (4), c’est un MELANGE DE V⁽¹⁾ ET DE V⁽²⁾ :

 

(50)           V = e_(A)V^(A) = V⁽¹⁾cos(ksi) + V⁽²⁾sin(ksi)

 

Une somme directe algébrique de deux espaces(-temps). C’est ce qui donne l’impression qu’on est en présence de dimensions physiques supplémentaires (celles de V⁽²⁾). En fait, non seulement il n’en est rien, mais ce n’est même pas nécessaire. Il suffit simplement de passer d’un seul état physique à deux. Les variétés projectives V^(A) peuvent alors s’interpréter comme des « ETATS PURS » et la réalité D-dimensionnelle est un MELANGE de ces états purs.