Toute autre chose à présent. 3 solutions d'auto-financement qui, précision importante, ne viennent PAS concurrencer les aides financières fournies par le Fond Monétaire International (FMI) ni le groupe La Banque Mondiale (BM), mais peuvent, au contraire, être COMBINEES à ces aides pour permettre aux Etats... de les rembourser...

Parce que ces établissements se financent comment ? Par la contribution de leurs membres et sur les marchés internationaux. Qu'ils prêtent de l'argent à des Etats de difficulté, c'est bien. Au taux zéro, c'est encore mieux. Mais cela reste des sommes A REMBOURSER... Or, si le pays en question est DEJA en déficit chronique, le remboursement de ces aides ne peut que venir CREUSER ce déficit. Et si ce pays ne peut pas rembourser le prêt, ce sont cette fois ces établissements internationaux qui PERDENT de l'argent...

On est dans un cercle vicieux. Et si des pays COLONIALISTES augmentent leurs contributions à ces fonds et que le pays cible NE PEUT PAS REMBOURSER, il FAVORISE le colonialisme... parce qu'il a augmenté sa dette publique envers ces pays-là...

Donc, les SEULS à qui ça peut profiter tous ces systèmes "d'aides", de "prêts", "d'emprunts", c'est à des organisations financières comme le Groupe de Bilderberg, la Trilatérale,...

Mais que ces solutions ne leur plaisent pas... J'EN AI RIEN A FOUTRE. L'essentiel est qu'elles plaisent A TOUS LES AUTRES.

Je reproduis ci-dessous des extraits de procès verbal de constats par huissier de justice assermenté. Ces algorithmes sont en vente, en lot. Je ne les vends pas séparément car ils traitent du même sujet. Les droits de reproduction et d'exploitation seront à portée nationale. Simples "contrats de licence". Prenez la peine de lire, ça peut aider.
 

« UN MODELE ECONOMIQUE SIMPLE ET FIABLE EVITANT LE RECOURS

A LA PUBLICITE ET AU SPONSORING »

© Philippe VIOLA, dépôt légal 7/12/2000, tous droits réservés.

« Comment faire pour financer correctement son entreprise par soi-même, sans faire appel à aucun moment à des financements extérieurs, au sponsoring ou à la diffusion payante de contenus publicitaires et sans faire soi-même aucune publicité sur son entreprise ? Qui plus est, sans prospecter soi-même sa clientèle? Est-ce seulement, sinon possible, du moins envisageable ? Oui, c’est non seulement envisageable mais parfaitement possible. Et solide, qui plus est. »

« Les avantages de cette solution sont multiples. »

« Pour l’entreprise :

a) plus besoin de perdre du temps et de l’énergie sur la prospection de nouveaux clients, les clients existants s’en chargent ;

b) on peut dès lors se concentrer uniquement sur ses activités ;

c) plus besoin de financement extérieur, ce sont les nouveaux clients qui font vivre l’entreprise ;

d) plus besoin de perdre son temps et son argent à rechercher des sponsors, sans assurance de résultat ;

e) plus besoin de dilapider son argent en campagnes publicitaires, les clients existants se chargent eux-mêmes de faire connaître l’entreprise (ils ont tout à y gagner) ;

f) plus besoin de diffuser de contenus publicitaires, plus ou moins bien accueillis par les clients et visiteurs ;

g) l’expansion du parc de clientèle (et donc, du capital clients) est de type exponentiel, donc à forte croissance ;

h) plus besoin d’effectuer de déplacements pour sonder le marché potentiel ou prospecter sa clientèle ;

i) la trésorerie de l’entreprise (ressources de financement, capitaux propres, fonds de roulement) est bien réelle et non artificiellement « gonflée » par des financements extérieurs ;

j) le patron de l’entreprise est le seul maitre à bord, il n’a de compte à rendre à aucun tiers participant au financement de son entreprise. Il est donc libre de ses décisions et autonome : c’est un VRAI patron.

« Pour le client :

a) le parrainage / marrainage devient une activité rentable (sous une forme ou sous une autre : monétaire, bons d’achats, services gratuits,…) ;

b) il peur bénéficier de tarifs préférentiels par rapport aux prix publics sur le marché ;

c) il contribue au développement économique de son fournisseur et, de ce fait, à l’amélioration de la qualité des services et/ou des produits fournis. Ce faisant, il devient partenaire à part entière de son fournisseur ;

d) il est assuré de la gestion saine de son fournisseur, c’est une garantie importante pour la fidélisation et donc la pérennité du fournisseur.

« CADRE D’APPLICATION : toute personne morale ou groupement de personnes morales nouvellement créé(e), en phase de création ou déjà existante et proposant un ou plusieurs nouveau(x) service(s) ou produit(s). En particulier, toute entreprise du secteur de la nouvelle économie. »

A titre illustratif de l’efficacité de l’algorithme, j’ai établi 2 tableaux : le premier donne un aperçu de l’évolution du parc de clientèle par « génération » en fonction du seuil d’amortissement client ; le second, un ordre de grandeur du capital client de l’entreprise.

En voici un exemple. Pour un % rémunérateur de 20 % (ce qui est déjà appréciable), à la 9ème génération seulement, le parc clientèle s’élève déjà à 2.441.406 clients (pour UN client au départ) et le capital entreprise, à 1.953.125 en devises.

Pour du 10 %, ce capital atteint 1 MILLIARD à la 9ème génération...

 

« UN NOUVEAU CONCEPT ECONOMICO-FINANCIER : LE PARRAINAGE

A TAUX VARIABLE (OU REVISABLE) »

 

© Philippe VIOLA, dépôt légal 18/01/2001, tous droits réservés.

« Une opération de parrainage illimitée dans le temps, valable à tou moment pour l’ensemble de la clientèle, où le client aurait toujours quelque chose à gagner : la panacée à la fois pour le client et pour le fournisseur ! Mais comment contrôler efficacement l’expansion de la clientèle et éviter les risques d’emballement dus à une sur-motivation des clients, qui s’avèrerait nuisible pour le fournisseur (ruptures de stocks, impossibilité d’assurer un niveau minimum de qualité de services, insuffisance de personnel,…) ? C’est là que le taux variable intervient. »

Le cas particulier d’une opération de parainnage continue mais périodique est inclus dans l’algorithme. Par souci d’honnêteté, j’attire toutefois l’attention sur la précision suivante apportée dans le manuscrit :

« Le problème de savoir en combien de temps un objectif donné à l’avance peut être atteint par la méthode du parainnage à taux variable est difficile. En effet, le processus de parainnage, en apparence élémentaire, présente en fait une grande complexité intrinsèque, due au fait qu’il est développé par des clients et non mis en place par un fournisseur du début jusqu’à la fin et au fait que la progression est de type géométrique. On a donc affaire à un processus aléatoire et, qui plus est, fortement non linéaire. Un tel processus est difficile à analyser en termes d’outils mathématiques. Le nombre N(t) de clients à l’instant t ne peut être connu par avance, puisqu’il dépend des capacités des parrains à amener de nouveaux clients. Néanmoins, cela n’empêche pas de contrôler facilement le processus. »

En clair, le processus est IMPREVISIBLE, c’est son CONTRÔLE qui est facile (et c’est sans doute l’essentiel). L’algorithme confirme qu’on n’a nul besoin de recourir au calcul d’Ito pour faire de l’économie et de la finance, même à flux continus. Le calcul d’Ito, que l’on associe depuis aux « maths financières », ne concerne en réalité que le domaine très spécifique des marchés hautement spéculatifs. Si les « maths financières » devaient se limiter à cela…

 

« UN SYSTEME DE PARRAINAGE POUR LES MUTUELLES ET LES ASSURANCES »

 

© Philippe VIOLA, dépôt légal 18/01/2001, tous droits réservés.

« L’objet de ce document est de présenter un système de parainnage de nouveaux clients par des clients existants adapté aux besoins des mutuelles et des assurances. Sous réserve de modifications ultérieures éventuelles des conventions collectives de ces établissements, la méthode du parainnage rémunéré n’est pas (encore) envisageable dans certains pays comme la France. Il faut donc mettre en place un système de parainnage qui reste en accord avec la législation en vigueur dans le pays d’application.

Le système de parrainage que nous proposons aujourd’hui répond à ces exigences. Il peut être mis en œuvre dans n’importe quel pays. »

Le fonctionnement est évidemment centré sur la notion de « bonus/malus », spécifique aux mutuelles et assurances. A ce propos, je fais un peu de « psychologie de la consommation » :

« Il est important de distinguer entre la suppression de bonus et l’application de malus. Ces deux méthodes sont équivalentes en termes de coût pour le client, mais elles sont psychoologiquement opposées. Dans le présent système, le principe du malus n’est JAMAIS appliqué (du moins, au niveau du parainnage) car il pourrait présenter un effet néfaste sur la clientèle. C’est le principe de la SUPPRESSION DE BONUS qui s’applique : dans l’esprit du client, les deux procédés sont perçus de façon complètement différente ! La suppression de bonus est aisément justifiable, puisqu’elle porte ici sur le non-renouvellement de contrat ou la perte du filleul. Au contraire, l’application d’un malus peut être pris par le parrain comme une sanction injustifiée (il n’est pas responsable des décisions de ses filleuls). C’est aussi la raison pour laquelle nous nous permettons de suggérer aux sociétés mutualistes et aux compagnies d’assurance de remplacer leur système de bonus/malus actuel par le système du BONUS CROISSANT OU DEGRESSIF : quel qu’il soit, il s’agit toujours de bonus, pas de malus !"

Toujours à titre illustratif, je dresse un tableau des gains de la compagnie d’assurance (ou de la mutuelle) d’après le seuil critique de parrainages, DANS LE CAS LE + DEFAVORABLE.

Pour un seuil critique de 10 par client existant, le gain de la société s’élève à 369.444.250 dès la 5ème génération.
Pour un seuil critique de 13, à 1.337.428.200.


MERCI LES PHYSICO-MATHEUX, QUI FONT LES DEUX A LA FOIS !... :)
"DEUX CERVEAUX, UN MUSCLE !" lol
 

Il fallait donc reprendre tout le raisonnement depuis le départ et cela été fait. A PRESENT, on peut vraiment parler de "quantique".

TOUTEFOIS... Je me suis rendu hier sur le site web de l'Agence Internationale pour l'Energie Atomique (AIEA). Il n'a semblé assez clair que je n'y étais pas le bienvenu.

Les gens NE SONT PAS RAISONNABLES.

EN CONSEQUENCE et pour des raisons évidentes liées à la sécurité autour des applications de la quantique, qui touchent à TOUS les domaines scientifiques et concernent donc TOUT LE MONDE, ces corrections qui constituent la version "2.0" de l'édifice quantique seront PROPRIETE EXCLUSIVE DE LA DEFENSE INTERNATIONALE DE L'ONU OU NE SERONT TOUT SIMPLEMENT PAS DIFFUSéS.

Mais, si elles doivent l'être, alors il faut qu'elles le soient et le restent SOUS CONTRÔLE MILITAIRE STRICT. Et sous supervision INTERNATIONALE.

Vous regardez n'importe quel film d'anticipation parlant de "conquête spatiale", de quoi entendez-vous parler ? D'une "CONFEDERATION" originaire de la Terre. Cette confédération, c'est quoi ? L'actuelle ONU. PERSONNE D'AUTRE. Et qui assure la défense et la protection des colons humains ? L'ARMEE DE CETTE CONFEDERATION.

La différence avec les autres armées ? Elle est énorme : c'est une armée DE DEFENSE, PAS D'ATTAQUE. Une armée de PACIFICATION, pas D'AGRESSION. Sa mission est D'ASSISTER, S'INTERPOSER ENTRE BELLIGERANTS et ETEINDRE LES INCENDIES. Pas les déclencher ni les entretenir.

Des soldats de la PAIX, pas de la GUERRE.

Ce qui ne veut pas dire pour autant que ce soient des "nounous" : on n'aboutit pas à la paix en câlinant, mais en NEUTRALISANT LES MENACES.

Je le souligne, parce que j'ai la très désagréable impression QU'ON NOUS PREND POUR DES BISOUNOURS...

Remettons les choses à leur place et en ordre de marche : quand on est CIVIL, on n'a pas à faire obstruction à des MILITAIRES. C'est l'inverse. Sinon, on se fait rarement des copains. Donc, t'as un site web, le civil, sur lequel tu diffuses des infos EN LIBRE ACCèS, tu nous barres pas la route pour cause de "sales gueules" OU T'ES RAPPELé DE SUITE A L'ORDRE.

Y A UN PETIT PEU TROP DE "LAISSER ALLER", sous prétexte qu'on ne constitue que des agences "apparentées" à l'ONU. T'AS PAS BIEN COMPRIS LA MANIP...

Donc, comme t'as du mal à piger, ON TE COLLE SOUS TUTELLE. C'est NOUS ET NOUS SEULS qui dirigerons cette manip. Et si ça te convient pas, t'es remplaçable du jour au lendemain.

La quantique, soit tu continues à faire avec le merdier actuel, soit t'auras les solutions AUX CONDITIONS FIXEES PAR LA DEFENSE. QUI EN SERA SEULE PROPRIETAIRE.

Le gros inconvénient, quand on passe d'une armée nationale à une armée internationale, c'est qu'on S'OUVRE AUX AUTRES... Ses préjugés, acquis, soit à la maison, soit à l'école, on les perd assez vite au contact des autres. On se met à se forger SA PROPRE OPINION sur "l'autre".  Qui peut finir par DIVERGER NETTEMENT ce qu'on t'a inculqué au départ.

Je veux dire par là que ce n'est pas parce qu'on est Français, Anglais, Allemand, Espagnol, Portugais ou Américain qu'on est forcément tous des colonialistes, des racistes, des xénophobes et des antisémites. Le fait d'intégrer une défense internationale a la fâcheuse tendance à ACCENTUER cela. Ce qui fait qu'on peut vite ENTRER EN CONFLIT D'OPINIONS avec sa propre armée nationale. Qui a une vision beaucoup plus "obtus" de la chose.

Et, plus on y passe de temps, plus un "retour en arrière" est difficile, voire impossible : ON NE PARLE PLUS LE MÊME LANGAGE...

Et le langage que j'entends depuis maintenant UN PEU TROP LONGTEMPS, c'est celui du conflits de blocs. C'est celui de Yalta. Dont on se refuse obstinément, pour ne pas dire PSYCHOPATHIQUEMENT, à sortir. C'est celui de la NOSTALGIE DES EPOQUES COLONIALES. Parce qu'en réalité, on n'est pas fichu d'être concurrentiel... Donc, moins y aura de concurrents, mieux on se portera... La contribution commune à l'avancée de tout le monde, on s'en tape.

On ne voit pas les choses de la même manière. Donc, aux yeux de nos institutions, on devient "des sales Français, Anglais, Allemands,..."

Pas de problème : si on pue, on reste là où on est... on s'échange nos "odeurs de chacal" entre nous...

Tu veux plus de nous, très bien. Mais, dans ce cas, TU NE NOUS DONNES PLUS D'ORDRES NON PLUS. T'AS PLUS A NOUS EN DONNER. ON NE FAIT PLUS PARTIE DE TON ARMEE NATIONALE. On ne fait plus partie de tes "bons soldats", on fait plus office de "déserteurs"...

"Tu te dis militaire Français et tu refuses d'aller taper sur la gueule des Syriens ?..."

Et pourquoi j'irais taper sur la gueule des Syriens ? Y m'ont fait quoi, les Syriens, qui justifie ça ?... Je ne suis pas devenu militaire pour aller me défouler... et encore moins mettre la sécurité de mon pays en danger... pour rien...

Je suis devenu militaire pour REGLER les problèmes, pas pour en CREER. DEFENDRE, pas AGRESSER. PROTEGER, pas EXPOSER. On me reproche quoi ? D'APPLIQUER LE REGLEMENT MILITAIRE ?... Le sol est attaqué ? Par les armées de qui ?

C'est le contraire, moi, que je vois. Je vois voter des lois internationales, pour mieux pisser dessus ensuite...

Je vois une défense internationale traitée comme un défilé de majorettes... Comme si on était une bande de joyeux drilles destiné à "faire joli" et "amuser la galerie"... quand on ne sert pas de défouloir ou de cibles d'entraînement...

Non, non : on se tape le sale boulot, ON DIRIGE LA MANIP EN RETOUR. On n'est pas là pour se faire tirer comme des lapins, claquer les portes au nez, etc.

Ceci nous ramène au sujet de cet article : LA QUANTIQUE N'EST PLUS A VENDRE, NI AUX UNS, NI AUX AUTRES. Elle sera mise à dispo de tous, à NOS conditions. Et sous NOTRE supervision.

Si ça ne convient pas, VOUS N'AVEZ QU'A METTRE VOS PHYSICIENS AU TRAVAIL : c'est leur boulot, après tout...

Ils l'auraient fait depuis longtemps, s'ils avaient pu ? ALORS, TU FERAS AVEC NOUS ET COMME ON TE DIRA. POINT.

Si l'AIEA se comporte comme ça, c'est que leurs physiciens SE SENTENT MERDEUX... ça sent MAUVAIS sur leurs capacités à trouver des solutions...

Faudra composer avec nous, bon gré, mal gré... :)

 

Je vais me contenter de citer des passages de 2 ouvrages, on retrouve la même argumentation dans tous les autres. Et je vais les discuter.

Le premier ouvrage est intitulé "Propriétés de la matière", il a été publié aux éditions Dunod en 1969, dans le cadre de la maitrise d'électronique/électrotechnique/automatique. L'auteur en était alors Maurice Gaudaire, chargé de recherche à l'Institut d'Electronique Fondamentale de la Faculté des Sciences d'Orsay. Un physicien, donc, à l'origine.

Le second ouvrage est "Analyse de Fourier et applications", il a été rédigé par deux "mataplis" (matheux appliqués),  Claude Gasquet et Patrick Witomski, tous deux de l'Université Joseph Fourier (Grenoble 1), aux éditions Masson, en 1990.

Commençons par Maurice Gaudaire, qui donne une excellente approche de cette "mécanique quantique", très concise, très claire.

Chapitre 2, Apports principaux de la mécanique quantique.

§ 2.1, Constante de Planck : "Il est nécessaire d'utiliser la mécanique quantique pour aborder l'étude des systèmes microscopiques".

NON. C'était effectivement l'idée DE DEPART mais le développement des techniques d'astronomie et d'astrophysique, intimement liées d'ailleurs à celui de la physique des milieux désordonnés, a révélé (là aussi, par l'étude des spectres fréquentiels) que les objets stellaires dits "froids", c'est-à-dire, dont l'existence s'est prolongée au-delà de leur "séquence principale", acquièrent des propriétés QUANTIQUES. Or, nous parlons là d'objets on ne peut plus macroscopiques. Donc (et de l'avis de l'ensemble de la communauté physique internationale), la découverte de ces objets a forcé à revoir l'idée première que les phénomènes quantiques n'auraient été l'apanage que du domaine microscopique. En fait, alliée au processus de changement d'état, la quantique s'étend de l'infiniment petit à l'infiniment grand lors d'une transition de phase qui fait diverger la longueur de corrélation (statistique) entre constituants d'un même système physique.

Je pense que ce qu'entendait l'auteur par là était que la mécanique "classique" n'était plus en mesure de décrire adéquatement les phénomènes physiques microscopiques. Pas qu'elle se cantonnait à ce domaine. Dans ce chapitre, il se borne en effet à la mécanique. Il n'aborde la physique statistique qu'au chapitre 5. Donc, d'un point de vue purement mécanique, il est vrai que, si l'action d'un système physique est très grande par rapport à celle de Planck, l'approche "classique" suffit. Mais, dès qu'elle devient de l'ordre de h, il faut une "nouvelle approche".

Autrement dit : le classique équivaut à poser h = 0 ; le quantique tient compte de ce que h -> 0, mais h > 0.

Et, mine de rien, la différence est énorme. Si vous prenez toutes les constantes de Planck constructibles à partir du "quantum d'action" h, de la constante gravitationnelle de Newton G et de la vitesse de la lumière dans le vide c, le "rayon de Planck" r_pl est de l'ordre de 10^-35 m, ce qui n'a aucune incidence notable, même dans le domaine sub-nucléaire. Pour la "durée de Planck" t_pl = r_pl/c, de l'ordre de 10^-43 s, c'est encore plus vrai. Par contre, en ce qui concerne la température de Planck T_pl, elle tombe soudainement de l'ordre de 10³² K en quantique à 0 K en classique... Il est clair qu'un tel écart n'est pas admissible, aucun corps physique observable ne pouvant atteindre ce seuil de température. L'approche "classique" n'est donc pas suffisante.

§ 2.2, Nature ondulatoire des particules : "C'est, historiquement, une des raisons qui a entraîné 'l'invention' de la mécanique quantique. Expérimentalement, il s'agit du phénomène de diffraction d'électrons par un cristal. (...) La répartition dans l'espace des électrons receuillis après l'interaction avec le cristal est exactement celle d'une figure de diffraction obtenue avec une onde lumineuse."

Personne ne conteste cela, ça fait partie des observations. Des constats.

"Il faut associer à une particule matérielle une onde : c'est la dualité entre onde et corpuscule".

EH NON... C'est ici que le bât blesse : ON NE PEUT PAS ASSOCIER ENTRE EUX DEUX CHOSES DE NATURE DIFFERENTE...

Vous pouvez apparier deux particules de caractéristiques différentes, parce qu'elles forment toutes deux des corps. Par exemple, un photon (masse et charge électrique au repos nulles, spin 1) avec un électron (masse m_e ~ 10^-31 kg, q_e ~ -10^-19 C, spin 1/2), pas de problème. Les appariements de "super-partenaires" en supersymétrie sont admissibles. De même, vous pouvez former des "paires de Cooper" entre fermions de spins opposés.

Vous pouvez apparier deux mouvements : si vous avez un champ f : R^D₁ -> R^D₂, x -> f(x) et un champ g : R^D₃ -> R^D₄, y -> g(y), vous pouvez toujours former un champ h : R^D₁ x_c R^D₃ -> R^D₂ x_c R^D₄, (x,y) -> (h⁰,h¹)(x,y) tel que h⁰(x,y) se réduise à f(x) et h¹(x,y), à g(y). Ce ne sera qu'un cas particulier de champs h plus généraux à 2 composantes et 2 systèmes de variables.

MAIS VOUS NE POUVEZ PAS APPARIER UN CORPS, OBJET STATIQUE, AVEC UN MOUVEMENT, OBJET DYNAMIQUE, CAR CE NE SONT PAS DES OBJETS DE MÊME NATURE.

il ne s'agit pas de confondre un corps (ou, plus généralement, un milieu physique), qui occupe un volume V(t) d'espace à l'instant t, avec un mouvement. Même si vous prenez ses caractéristiques physiques, ce sont généralement des mouvements : par exemple, la densité de masse m(x,t) d'un milieu physique modélise la masse de l'une de ses "particules" située en x à l'instant t et, dès que ce milieu ne sera plus homogène (i.e. constitué d'espèces chimiques différentes) et/ou présentera des discontinuités, il n'y aura plus aucune raison pour que la masse de cette particule soit la même que celle d'une autre, située en x' au même instant, ni même qu'elle reste la même à tout instant. Si m(x,t) peut évoluer à la fois d'un point à un autre de l'espace et au cours du temps (ou même si l'on se borne à son évolution temporelle), on a bien un objet dynamique, un mouvement (dans l'espace fictif des masses)... Vous n'allez pas confondre le corps avec sa masse : nous sommes bien d'accord que ce sont deux choses différentes...

C'est à partir de là que ça ne va plus : les calculs effectués par Louis de Broglie sur la base de la relativité restreinte ont abouti à associer une particule avec une "onde" f(x,t). Mais les transformations de référentiels de Poincaré-Lorentz... sont DEJA des mouvements... : les formules font clairement apparaître la VITESSE de déplacement du corpuscule...

On est d'accord sur les calculs. Sur le fait de relier un mouvement dans l'espace-temps de Minkowski à un mouvement ondulatoire. C'EST L'ASSOCIATION QUI EST FAUSSE... et donc, le RAISONNEMENT...

Personne n'ira non plus contester le fait que Pauli découvrit les spins demi-entiers, parce que les rapports gyromagnétiques sur les fermions sont doubles de ceux des bosons : il y a les observations d'une part et le raisonnement, L'INTERPRETATION QUE L'ON DONNE A CES OBSERVATIONS, d'autre part. Contester les observations serait contester les faits.

§ 2.3, Incertitude des mesures de position et d'impulsions : "C'est une deuxième notion essentielle de la mécanique quantique ; elle découle de la dualité entre onde et corpuscule".

NON, NON ET NON !!! ABSOLUMENT PAS. C'est une propriété GENERALE des signaux.

Gasquet et Witomski, leçon n°22, § 22.3, Le Principe d'Incertitude :

"Nous allons voir dans ce paragraphe la relation qui existe entre la localisation d'un signal et celle de son spectre.
Etant donné f : R -> C une fonction telle que f, xf et x*f* soient dans L²(R) [je me permets de changer les notations, n'ayant pas l'alphabet grec sur ce blog - l'étoile désigne donc ici la transformée de Fourier], on note :

<x²_f> = S_R x²|f(x)|²dx             (dispersion d'énergie de f, en temps)
<x*²_f*> = S_R x*²|f*(x*)|²dx*     (dispersion d'énergie en fréquence)
et E_f = S_R |f(x)|²dx                (énergie de f).

On appelle durée utile du signal f la quantité dt définie par

dt² = <x²_f>/E_f  

et bande utile du signal la quantité dl définie par

dl² = <x*²_f*>/E_f  

Le principe d'incertitude est une relation entre dt et dl qui indique que l'on ne peut pas localiser finement et le signal et sa fréquence. Cette relation est :

dt.dl >= 1/4pi

et résulte de [RESULTE DE !]

22.3.1. Proposition. Soit f : R -> C une fonction C¹(R) telle que f, f' et xf soient dans L²(R). On a  <x²_f><x*²_f*> >= (E_f/4pi)².

La proposition suivante montre que, pour une bande utile donnée, un signal gaussien a une durée utile minimum.

22.3.1. Proposition. Soit dl une bande utile fixée. Le signal f(t) = ae^{-(2pidl)²t²} minimise la durée utile."

En mathématiques, une "proposition" n'est pas une suggestion, mais un résultat prouvable. Il est donc bien formellement démontré que le Principe d'Incertitude qui, aux dires de Richard P. Feynman, "soutient toute la mécanique quantique", s'applique A TOUTE LA PHYSIQUE.

Leçon n°1, § 1.1, Généralités : "La notion de signal est très extensive. Il ressort de l'observation d'un phénomène certaines quantités qui dépendent du temps (de l'espace, d'une fréquence, ou d'autre chose !). Ces quantités, supposées mesurables, seront appelées des signaux. Elles correspondent, en mathématiques, à la notion de fonction (d'une ou plusieurs variables : temps, espace, etc.) qui en constitue donc une modélisation. Nous verrons par la suite que la notion de distribution est une modélisation à la fois plus générale et plus satisfaisante des signaux."

TRES EXTENSIVE... Elle touche à TOUS les domaines des sciences physiques. Et les quantités en question sont bien évidemment SUPPOSEES MESURABLES, sinon, l'observation NE SERT A RIEN... Or, ce n'est pas avec l'Ecole de Copenhague que l'on parvient à faire de la "mesure quantique"... tout juste des pronostics... Parce qu'au départ, cette "mise en dualité" des "corpuscules" et des "ondes", des corps et des mouvements, de la statique et de la dynamique, N'EST PAS POSSIBLE.

A positionnement contradictoire, incohérences et paradoxes. "L'état quantique" d'un système physique étant modélisé sur ce mode de raisonnement, il échappe totalement à la compréhension...

"C'EST LA LOGIQUE MÊME", pourrait-on dire...

Du coup, on s'est tourné vers la statistique comme "échappatoire à l'apparente absurdité des faits"...

Et on en revient à notre estimable confrère Maurice :

§ 5.12, Populations d'un ensemble de particules : "Pour tous les résultats précédents, les grandeurs introduites se rapportent à l'ensemble macroscopique du système étudié. C'est évident pour les grandeurs thermodynamiques : l'entropie S, l'énergie E (ou, ce qui revient au même, <E>), etc. C'est aussi le cas pour les énergies E_n (ou E_nNi pour des nombres variables de particules) : ces niveaux d'énergie sont ceux calculés pour l'ensemble macroscopique. Pratiquement, ce calcul est impossible et même impensable, à cause du nombre extraordinairement grand de particules élémentaires (atomes, molécules) qui composent un système macroscopique."

Jusqu'ici, ça va. C'est après que ça commence à déraper, d'abord légèrement. Je vais mettre en gras les passages les plus "savoureux".

"Toutefois, les formules établies précédemment sont utiles : elles permettent, dans certains cas, de pouvoir calculer toutes les grandeurs macroscopiques, non pas en fonction des caractéristiques du système macroscopique lui-même (niveaux d'énergie E_n) mais en fonction des caractéristiques d'une seule particule, dont un très grand nombre constitue le système étudié. Or, le calcul des niveaux d'énergie pour un seul objet microscopique est possible : c'est le rôle de la mécanique quantique."

Il est vrai que, comme personne n'a cherché à résoudre l'équation de Schrödinger avec potentiel, dès que l'on dépasse le niveau de l'atome d'hydrogène, on doit faire face à des calculs pas possibles et à des APPROXIMATIONS...

Ainsi, les "certains cas" en question concernent-ils surtout les milieux PARFAITEMENT HOMOGENES constitués D'UNE SEULE ET MÊME ESPECE DE PARTICULES, TOUTES IDENTIQUES.

Genre, "t'en n'as pas grand chose à foutre en pratique"...

Mais, là ou ça dérape GRAVE vers le fossé, c'est :

"Ces cas particuliers, où les propriétés de l'ensemble peuvent être rattachées aux propriétés d'un seul constituant, sont les systèmes de particules dont les forces d'interaction sont suffisamment petites."

On se croirait revenu au temps de Newton, quand on ramenait les corps à leur centre de gravité...

Mais c'est sur ces CONDITIONS que sont calculées les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac : gaz raréfiés parfaitement homogènes, sans la moindre impureté.

Le genre, cette fois, "tellement simplifié qu'il ne correspond plus beaucoup à la réalité"...

Comme le modèle des "sphères dures"...

On part d'un CONSTAT EXPERIMENTAL (un seul fermion sur chaque niveau d'énergie, un nombre quelconque de bosons sur ce niveau), on pose ces SIMPLIFICATIONS EXTREMES et on utilise LA FONCTION DE PARTITION DE LA STATISTIQUE CLASSIQUE pour établir une "statistique QUANTIQUE"... avec des nombres totaux de particules calculés sur ces bases QU'ABSOLUMENT RIEN NE PERMET D'ASSURER DE RESTER ENTIERS... sinon "qu'aux fluctuations des variations saisonnières près"...

Tout ce que je dis dans cet article figure, plus ou moins bien expliqué, dans TOUS les ouvrages sur la mécanique quantique, SANS EXCEPTION. Et encore, Gaudaire ajoute qu'en mécanique "quantique", il y a DEUX sortes de moyennes, ce qu'on ne retrouve pas dans tous les ouvrages sur le sujet : la moyenne "macroscopique" et la moyenne "microscopique" :

§ 5.1.2 : "Il apparaît ici deux valeurs moyennes : la première est intrinsèquement liée à la mécanique quantique et est définie pour un seul objet ; la seconde est liée à la présence d'un très grand nombre d'objets identiques et est la même que celle qui a été définie pour la mécanique classique."

La "microscopique" ou "moyenne quantique" résulte du Principe d'Incertitude. La "macrocopique" ou "moyenne thermique", de la loi des grands nombres.

Voilà. Maintenant, si vous êtes toujours persuadés faire "de la quantique"... Moi, je ne fais que me référer à ses "créateurs" qui affirmaient publiquement que leur "fonction d'onde" pour l'un et leur "Principe d'Incertitude" pour l'autre N'AVAIENT RIEN DE QUANTIQUE... et reconnaissaient tous unanimement avoir un SERIEUX PROBLEME DE MESURE...

Or, nous l'avons vu avec MM Gasquet et Witomski : si vous ne parvenez pas à mesurer correctement un signal, même en temps réel, QU'ESPEREZ-VOUS DONC EN FAIRE ?...

Si vous INTERPRETEZ des transformées de Fourier comme autant "d'opérateurs de quantification" agissant, soit sur des "vecteurs d'état" à la Schrödinger, soit sur des niveaux d'énergie (chez les oscillateurs harmoniques) ?...

Si vous INTERPRETEZ des états d'énergie NEGATIVE comme des "trous" d'énergie POSITIVE ?...

Si vous mélangez des DEGRES DE LIBERTE DE MOUVEMENTS avec des dimensions PHYSIQUES ?...

Si vous faites appel à des groupes de symétries AUSSI BANCALS QUE VOS "PROCEDURES DE QUANTIFICATION" ?...

Si vous introduisez un "isospin" différent du spin, ALORS QUE LE NOMBRE QUANTIQUE DE SPIN EST SANS UNITE ET PEUT DONC REPRESENTER N'IMPORTE QUELLE GRANDEUR PHYSIQUE ?...

PAS ETONNANT QU'ILS SE TRANSFORMENT DE LA MÊME MANIERE (Clebtsch-Gordan) ! Que vous fassiez un rapport de charge, de masse ou d'action, c'est un rapport dénué d'unités physiques...

J'ai beau regarder partout, je ne vois de "quantique" que la non-nullité de h. Tout le reste, c'est de la statistique et de la théorie du signal.

C'est la raison pour laquelle IL FAUT TOUT REPRENDRE DEPUIS LE DEPART : parce qu'à partir de 1927, c'est parti complètement en vrille...

On commence par un constat mathématique (pas seulement physique) très général, dont la preuve me semble établie depuis longtemps. Nous adopterons la convention de sommation d'Einstein pour condenser les formules, mais en précisant tout de même les bornes des indices.

 
En notant N_D = N/DN = {1,2,...,D} l'ensemble des entiers naturels strictement positifs modulo D, soit :

(1)     x : N_D -> C  ,  a -> x(a) = x^a  

l'application qui définit un C-espace vectoriel ou affine de dimension entière FINIE D. Alors, x est nécessairement périodique de période D :

(2)     x(a + D) = x(a)

et admet une décomposition de Fourier,

(3)     x(a) = x^a = ½ x_(1-2A)n(D)[q(D)]^(1-2A)na     (A = 0,1 ; 1 =< a =< D ; n dans N)

avec,

(4)     q(D) = e^2ipi/D = "quantum dimensionnel" (D-ième racine de l'unité)
(5)     x_(1-2A)n(D) = D^-1S_a=1^D x(a)[q(D)]^(2A-1)na  

Le mode fondamental est la moyenne arithmétique des x(a) :

(6)     x₀(D) = D^-1S_a=1^D x(a)


Regardons bien l'expression (3). Les modes x_(1-2A)n(D) ne dépendent que de la dimension totale du cadre. Ils pondèrent les puissances du quantum dimensionnel (4). Laissons momentanément de côté l'exposant (1 - 2A)n. La direction a s'obtient par auto-couplage du quantum a fois. C'est donc q(D) qui est fondamental. A partir de lui, i.e. D'UNE SEULE DIMENSION (a = 1), toutes les autres se construisent en le couplant avec lui-même : x¹ utilise q(D) ; x², q²(D) ; x³, q³(D) ; etc.

Dans le cas des espaces PHYSIQUES, spin-signature dit que c'est le nombre quantique de spin associé au cadre, i.e. le nombre total de ses états de configuration possibles, qui détermine leur dimension. Pour les espaces quantiques, c'est D(s) = 2^2s. Partant de q[D(s)], ses auto-couplages successifs iront donc jusqu'à q^D(s)[D(s)] = 1. D'après (4) et de Moivre, pour 1 =< a =< D(s),

(7)     q^a[D(s)] = cos[2pia/D(s)] + isin[2pia/D(s)]

va générer un quantum dans la direction a. Hormis pour a = 1, ce quantum-là N'EST PLUS FONDAMENTAL. Du point de vue ensembliste, il est à rapprocher de l'auto-couplage tensoriel C^x_ta de C qui, on le sait, reste de dimension 1. Ici, q est dans C et q^a[D(s)] y reste.

Si je prends maintenant 2 directions a et b dans N_D(s), (7) me conduit à :

(8)     q^a[D(s)]q^b[D(s)] = q^{[a+b modulo D(s)]}[D(s)]

Pour s = 0, N₁ = {1} et q²(1) = q^{[2 modulo 1]}(1) = q(1) = 1.

Pour s = ½, N₂ = {1,2}, on obtient la table :

[q¹(2)]² = q^{[2 modulo 2]}(2) = [q²(2)]² = q^{[4 modulo 2]}(2) = q²(2)
q¹(2)q²(2) = q^{[3 modulo 2]}(2) = q¹(2) = q(2) = -1

Essayons encore pour s = 1 : N₄ = {1,2,3,4}, la table est,

q¹(4)q⁴(4) = q²(4)q³(4) = q¹(4) = q(4) = i
[q¹(4)]² = [q³(4)]² = q²(4)q⁴(4) = q²(4) = -1
q¹(4)q²(4) = q³(4)q⁴(4) = q³(4) = -i
[q²(4)]² = [q⁴(4)]² = q¹(4)q³(4) = q⁴(4) = 1

Voilà comment s'échangent les directions dans les espaces quantiques : par auto-couplages du quantum MODULO la dimension.

Par contre, nous avons une faculté propre à ces espaces qui n'a aucune signification en géométrie réelle.
 
On appellera "dimension négative" la dimension générée par le quantum CONJUGUé q*[D(s)]. On aura alors :

(9)     q^-1[D(s)] = q*[D(s)]


Ce nom provient du fait que, pour 1 =< a =< D(s), q^-a[D(s)] = {q^a[D(s)]}* se comporte COMME SI -D =< -a =< -1. En réalité, il n'y a pas de "dimension négative" : il est impossible d'avoir "moins de dimension qu'aucune", ça n'a pas de sens. Mais, en géométrie réelle, q* = q, alors qu'en géométrie complexe, on a q ET q*. Qui ne sont PAS en opposition de phase. Résultat : le couplage interactif de q et de q* donne,

(10)     q[D(s)]q*[D(s)] = q*[D(s)]q[D(s)] = q⁰[D(s)] = 1 = "DIMENSION ZERO"

Or, (5) montre bien que TOUS les modes de x^a sont indépendants de a, car obtenus comme des MOYENNES DIMENSIONNELLES. Ce sont donc des invariants du même type. Si l'on rejetait la "dimension zéro", il n'y aurait plus de mode fondamental. On est donc bien obligé d'en tenir compte, même si on ne l'incorpore pas à N_D(s).

LA DIMENSION ZERO EST REPRESENTATIVE DE L'ETAT DE VIDE (absence de quanta).

Elle n'est donc pas si "ésotérique" qu'elle en a l'air... Qu'est-ce, en fin de compte ? Rien d'autre que L'AMPLITUDE de q[D(s)]. La phase du quantum dimensionnel a été annulée.

Nous pouvons à présent calculer x¹ pour s = 0. D'après (4), q(1) = 1 et d'après (3) :

x(1) = x¹ = x₀(1) + ½ S_n=1^+oo [x_n(1) + x_-n(1)]

Mais (6) donne déjà x₀(1) = x(1). La somme restante est donc nulle, ce qui n'est possible que ssi tous les modes excités sont nuls, même si (5) semble dire le contraire. Le paradoxe se lève en se disant que qⁿ(1) génère la direction n. Or, il n'y a qu'une seule direction dans C et elle est retenue par le fondamental. Par conséquent, x(1) = x¹ = x₀(1) se réduit à ce mode. (5) est inopérante parce que les modes excités N'EXISTENT PAS...

Je vous ai déjà dit que la cosmologie quantique, l'étude de la structure intime de l'espace (et du temps), c'était encore plus fort que la magie ?... Il me semble. On découvre des trucs de dingues...

La TRACE de (8) est L'INVARIANT DIMENSIONNEL :

(11)     ||q[D(s)]||² = S_a=1^D(s) {q^a[D(s)]}² = S_a=1^D(s) q^{[2a modulo D(s)]}[D(s)]

Ça reste une quantité complexe. Le calcul donne :

          ||q(1)||² = q²(1) = q(1) = 1 ;
(12)     ||q(2)||² = q²(2) + q⁴(2) = q²(2) + q²(2) = 2q²(2) = 2 ;
          ||q[D(s)]||² = 2q²[D(s)]{1 + q[D(s]}/{1 - q[D(s)]}
                        = 2iq²[D(s)]cotan[pi/D(s)]          [s >= 1 , D(s) >= 4]
 
Toujours d'après (3), le carré de la norme de x^a sera donc :

(13a)     ||x(1)||² = [x₀(1)]²
(13b)     ||x[D(s)]||² = ¼ x_(1-2A)n1[D(s)]x_(1-2B)n2[D(s)]S_a=1^D(s) q^(1-2A)n₁a[D(s)]q^(1-2B)n₂a[D(s)]
                        = ¼ x²_{(1-2A)n1,(1-2B)n2}[D(s)]S_a=1^D(s) q^{[(1-2A)n₁ + (1-2B)n₂]a}[D(s)] 
                        [s >= ½ , D(s) >= 2]

Cette métrique est complexe, laissée invariante par le groupe des rotations SO[D(s),C] à D(s)[D(s) - 1]/2 paramètres complexes. Pour D(0) = 1, c'est O(1,C).

Le reste a déjà été fait : la RG comme paradigme, le théorème spin-signature,...

Il suffit de se placer dans un C^D(s) euclidien. Le C^p(s),q(s) pseudo-euclidien s'en déduit (et réciproquement) via l'algèbre des matrices M_D(s)(C). Dans la procédure ascendante, l'objet de départ est le champ de contraintes T_ab(x) appliqué à C^D(s). Il est de spin 2s, de même que le champ des courbures de Ricci, R_ab(x). Par contre, leurs invariants respectifs T(x) et R(x) sont de spin 0. Les courbures de Riemann R_abcd(x) forment un champ de spin 4s. Dans le Modèle Standard, elles sont entièrement déterminées par la donnée des T_ab(x), la métrique de base étant celle de C^D(s), Id_ab. Chez Yang-Mills, ces R_abcd(x) jouent le rôle des "intensités du champ de jauge", les "potentiels" de ce champ étant représentés par les C_ab^c(x) de Christoffel. Ces derniers étant universels, ils peuvent être spécialisés à n'importe quel contexte, suivant le type de charges auxquelles on s'intéresse. Quant à la métrique de l'Univers quantique U_D(s) obtenu par déformation de C^D(s), elle est donné par la résolution des équations de la RG, c'est un g_ab(x) symétrique de spin 2s. Pour terminer, les "potentiels de déformation e_a^b(x) forment un champ de 2-tenseurs asymétriques de spin 2s et la forme de la source s'en déduit par intégration (curviligne), c'est un X^b(x) de même spin s que le cadre.

Il n'y a rien d'autre à ajouter. C^3,1 est un espace-temps quantique de dimension 4, spin 1, qui serait donc renormalisable au sens de 't Hooft, si l'on raisonnait en diagrammes de Feynman. Dans ce cadre-là, il y a 16 "potentiels de Yang-Mills" C_a(x), complexes, donc assez pour regrouper les 4 interactions fondamentales et la matière du Modèle Standard.

Pour ce qui est de la structure "locale" des espaces physiques, on se fixe un dx = (dx¹,...,dx^D(s)) dont la norme ||dx[D(s)]|| est donnée par (13b). En euclidien, on considère que, du point de vue de la mesure, ce dx est MINIMAL : il représente "la plus petite distance accessible par l'instrument" ou encore "l'échelle de résolution de l'espace". Poursuivant sur ce principe, on en déduit qu'entre 0 et ||dx[D(s)]||, plus aucune distance n'est accessible à l'observation et donc, que du point de vue de la mesure et uniquement de ce point de vue, l'intervalle fermé [0,dx^a] dans la direction a se résume au couple de points {0,dx^a} (vu qu'il n'est plus possible d'accéder aux autres) et donc, que le "pavé" D(s)-dimensionnel (x_c)_a=1^D(s) {0,dx^a} constitue une "boite noire" de volume d^D(s)x = dx¹...dx^D(s). Aussi, si l'on veut éviter de rejeter ce volume du cadre physique, il faut changer le mode de description des objets, ne plus les considérer comme "ponctuels" mais, au contraire, de "longueurs caractéristiques" dx^a. Ce qui oblige à passer de l'analyse conventionnelle à la théorie des ensembles.

Par exemple, si une variable réelle x a pour "taille" dx, en réponse, l'application :

(14a)     f : R -> R  ,  x -> f(x)

aura pour "taille"

(14b)     df(x) = f(x + dx) - f(x)

Il s'agit donc de remplacer les objets PONCTUELS que sont x et f par les couples booléens {x,dx} et {f,df}, qui forment des ensembles à DEUX points. En place de (14a), on trouvera :

(15a)     {f,df} : {x,dx} -> {f(x),df(x)}

C'est (14a) et (14b) regroupés en un même schéma. Mais pas à 2 variables : à 2 points. Plus correctement : une seule variable DE TAILLE dx et une seule application DE TAILLE df.

Il s'agit bien d'une opération ensembliste, puisque l'ensemble {f,df} transforme l'ensemble {x,dx} en l'ensemble {f(x),df(x)} :

(15b)     {f,df}({x,dx}) = {f(x),df(x)}

Par exemple, pour f(x) = x², {f,df}({x,dx}) = {x² , 2xdx + dx²}. C'est une déformation parabolique du booléen {x,dx}. Qui tient compte de la taille des objets.

Une application a beau constituer elle-même un ensemble, cela reste insuffisant du point de vue de la mesure. Pour les maths traditionnelles, les espaces réels comme complexes sont des espaces de POINTS. Seule la topologie parle de "boules", "d'ouverts", de "fermés" (et même "d'ouvert-fermés" - perso, je n'ai jamais compris ce concept...), dans le but de définir des espaces "métrisables".

Eh bien, tout cela s'applique, par extension, aux applications à plusieurs variables et donc, aux champs physiques. Il y a toutefois une différence assez nette avec le concept de distribution, car f(x)dx est le produit d'une FONCTION par un étalon de mesure : on conserve l'environnement fonctionnel que l'on généralise en le "localisant". Dans ce cadre-là, dx tend d'ordinaire vers zéro. Dans le contexte ensembliste que je viens très brièvement de décrire, les différentielles peuvent être quelconques, entraînant forcément des non-linéarités [comme on le voit dans df(x) = 2xdx + dx²].

A tout objet géométrique, il faut adjoindre sa "taille" et former des couples booléens. Susceptibles d'agir sur d'autres. Ce n'est qu'une question d'accessibilité des objets à leur mesure.

Sinon, l'espace de travail de départ est C^3,1. Il est amplement suffisant.



 

Le Modèle Standard regroupe les "théories de jauge" : électromagnétisme, interaction nucléaire "faible", interaction nucléaire "forte", "spineurs" et gravitation einsteinienne. Hormis les "spineurs", qui décrivent la "matière", les interactions y sont décrites comme des "champs de Yang-Mills" (C.N. Yang, R. Mills, 1956). Je vais y revenir. Mais avant,  un petit rappel des symétries présentes en physique quantique.

La notion de symétrie est devenue centrale en physique depuis le théorème d'Emmy Noether, qui lie une symétrie à une loi de conservation (invariance par translation temporelle => conservation de l'énergie ; par translation spatiale => de la quantité de mouvement ; par rotation => du moment cinétique et du spin, etc.). On distingue deux grandes catégories de symétries : les externes, qui portent sur les translations, les rotations, les inversions et les changements d'échelle (les "homothéties") et les internes, qui concernent les propriétés physiques des corps, indépendamment de leurs mouvements (masse, charge électrique, étrangeté, charge "de couleur", "saveurs",...). Ce qui pourrait "faciliter" l'unification, c'est le constat que bon nombre de ces symétries internes imitent le spin. C'est pour cette raison qu'a été inventé "l'isospin". Par exemple, le proton et le neutron ne se distingue nettement que par leur charge électrique : à des corrections de nature électromagnétique dites "radiatives" près, ils ont sensiblement même masse et peuvent donc être regroupés en une seule particule appelée "nucléon". Cette particule a isospin ½, traduisant le fait que le nucléon se présente sous DEUX "états quantiques" ou "configurations internes", le proton et le neutron. Cet isospin ½ présente les mêmes propriétés mathématiques que le spin : il s'associe de la même manière, se transforme de la même manière.

Preuve supplémentaire que le nombre quantique de spin, même s'il s'exprime en unité d'action (Js) N'EST PAS, à proprement parler, un véritable moment cinétique, mais une quantité exprimant le nombre total d'états de configuration d'un système quantique.

Les théories "de jauge" (ou de Yang-Mills) ont été élaborées sur le modèle de la RG d'Einstein. Le cadre ambiant est l'espace-temps de Minkowski classique R^1,3 [avec métrique c²dt² - (dx² + dy² + dz²) "du genre temps", c'est-à-dire, positive pour des vitesses =< c]. Les symétries externes sont donc représentées par :

- le groupe des rotations SO(3,1) de Lorentz, qui se subdivise en un sous-groupe SO_s(3) des rotations spatiales et un sous-groupe SO_st(3) des rotations spatio-temporelles ; on dénombre 3 angles de rotation dans chaque sous-groupe, ce qui fait 6 angles de rotation pour R^1,3 [SO(3,1) = SO_s(3) x_c SO_st(3)] ; du point de vue topologique, les deux sous-groupes sont compactes (ils sont équivalents à des sphères), mais pas le groupe de Lorentz, la métrique spatio-temporelle étant hyperbolique ;
- le groupe des translations T(3,1), qui représente les translations dans l'espace et dans le temps et qui possède donc 4 paramètres réels ;
- le groupe des inversions I(3,1), qui inverse les longueurs (4 paramètres également) ;
- enfin, le groupe des "homothéties", qui dilate ou contracte les longueurs (1 seul paramètre).

L'association de SO(3,1) et de T(3,1) donne le groupe de Poincaré P(3,1) des "rotations + translations" ou "vissages" à 6 + 4 = 10 paramètres. Associé lui-même à I(3,1) et au groupe des homothéties, il donne le groupe "conforme" C(3,1) à 10 + 4 + 1 = 15 paramètres au total. C'est le plus gros groupe de symétries externes dans R^1,3. Il regroupe toutes les symétries de cette nature. On appelle dimension d'un groupe le nombre total de ses paramètres.

Passons aux symétries internes. Là, ce sont assez généralement des groupes complexes (plus exactement, hermitiens).

Pour l'électrodynamique quantique (QED), c'est U(1), le groupe des "rotations" de C, c'est-à-dire, de la forme e^ia, où a est une phase. Comme e^ia = cos(a) + isin(a), ce groupe est équivalent au groupe des rotations du plan réel R² : si (x⁰,x¹) est une coordonnée sur R², une rotation des axes d'un angle a les fait passer en,

(1)     x'⁰ = x⁰cos(a) + x¹sin(a)  ,  x'¹ = -x⁰sin(a) + x¹cos(a)

On remarque qu'en vertu de l'identité cos²(.) + sin²(.) = 1 :

(2)     (x'⁰)² + (x'¹)² = (x⁰)² + (x¹)²

C'est bien ce que traduit le principe d'invariance de jauge (ici, "de 1ère espèce") : une rotation n'affecte pas la métrique, ce qui veut dire que je peux définir mes coordonnées (x⁰,x¹) "à une rotation près d'angle quelconque". Vus de cette manière, une indétermination est introduite dans la description puisque, si x = x⁰ + ix¹ est le complexe de C construit à partir des réels de R², x* = x⁰ - ix¹ est son conjugué et (2) traduit alors le fait que, si j'applique la transformation :

(3)     x -> x' = xe^ia  

à x, alors l'amplitude de x n'est pas affectée par l'action de U(1),

(4)     |x'|² = x'x'* = xx* = |x|²

J'appelle e^ia le "facteur de jauge" de x. U(1) est un groupe "hermitien", parce qu'il est complexe, MAIS préserve l'amplitude de x, qui est une quantité REELLE (et jamais négative). Autrement dit, dans notre langage, U(1), le "groupe unitaire" à une seule dimension (1 seul angle) est un sous-groupe QUANTIQUE qui préserve une quantité CLASSIQUE. On l'utilise pour décrire l'interaction électromagnétique en théorie quantique parce qu'il n'y a qu'une seule sorte de charge électrique.

Ce n'est plus le cas des autres interactions.

Pour la nucléaire "faible", c'est SU(2), le groupe des rotations de C². Ce groupe décrit l'isospin ½ du nucléon : il y a deux "charges faibles", celle du proton et celle du neutron. Elles sont à distinguer de la charge électrique, même si elles s'expriment dans la même unité (le Coulomb C). SU(2) a même dimension que SO(3), il se ramène à 3 angles de rotation réels. En tant que groupe unitaire, il est hermitien et préserve les amplitudes. On le dit "spécial unitaire" uniquement parce que la matrice de rotation y a déterminant 1 [il n'existe pas de SU(1) : dans U(1), l'amplitude de e^ia est toujours de 1]. Le fait que SU(2) soit de dimension (réelle) 3 a incité les physiciens à penser que l'interaction faible était véhiculée par TROIS "bosons de jauge" : 2 électriquement chargés (le W⁺ et le W^-) et un neutre (le Z⁰). Contre un seul pour QED (le photon g⁰ - pour "gamma neutre"). Comme quoi, les symétries sont essentielles, car elles permettent de découvrir de nouvelles particules.

Dans le modèle unifié "électrofaible" de Glashow-Salam-Weinberg (GSW), qui regroupe interaction nucléaire faible et électromagnétisme, le groupe interne est SU_w(2) x_c U(1). On précise le "w" ("weak") parce qu'il y a des spécificités physiques. Etant donné que le produit euclidien additionne les dimensions (au contraire du tensoriel, qui les multiplie, nous le verrons plus loin), le groupe GSW possède 3 + 1 = 4 paramètres réels, soit (W⁺,W^-,Z⁰,g⁰).

Pour l'interaction forte, c'est encore différent. Il y a DEUX modèles en un : celui des quarks, qui sont des fermions (des particules de "matière") et celui des gluons, qui sont des bosons et les vecteurs de l'interaction. Les deux modèles utilisent le même groupe spécial unitaire SU(3), mais avec ses spécificités physiques propres. Il y a SU_s(3) de "saveurs" pour les quarks et SU_c(3) de "couleurs" pour les gluons. Ces deux groupes ont dimension réelle 8. Ils ne sont plus assimilables à des rotations réelles. Ils ont été proposé par Gell-Mann et al pour rendre compte de la "hiérarchie hadronique" : il y a chez les "hadrons" (les particules subissant l'interaction forte) une classification en "multiplets" et même "super-multiplets" qui peut s'expliquer au moyen de 6 quarks regroupés en 3 paires et de 8 gluons vecteurs. C'est un modèle moins précis que la symétrie SU(2), mais ça reste le seul, à ce jour, qui donne des résultats satisfaisants. Les quarks porteurs de l'une des 6 "saveurs" (u,d,s,c,b,t) y interagissent en échangeant leur "couleur" (R,B,G) via les gluons, chacun porteurs de 2 "couleurs" (ou charges nucléaires fortes). Les processus sont assez complexes et les schémas d'interaction ("diagrammes de Feynman") ne sont pas toujours "convergents" (i.e. ne donnent de résultats physiques que sous certaines conditions). La faute à la constante de couplage forte, la plus importante de toutes.

Voilà pour les 3 interactions fondamentales, la 4ème étant la gravitation.

Il faut se placer dans le contexte encore actuellement admis que la RG est une théorie de l'interaction gravitationnelle et que les 3 autres n'ont pas besoin d'un cadre courbe pour comprendre le mérite qu'ont eu Chen Ning Yang et Robert Mills de s'inspirer du modèle déjà connu de Yukawa des mésons pi vecteurs de l'interaction nucléaire pour proposer une géométrisation des champs "non gravitationnels" à l'image de la gravitation einsteinienne. Au lieu de courber le cadre (ce qui avait déjà été réalisé par Einstein), ils suggérèrent de s'appuyer sur la géométrie DES GROUPES pour courber les "espaces de champs". Symétries externes, symétries internes : dans le Modèle Standard, l'espace-temps "externe" R^3,1, c'est le domaine de la gravitation "classique" ; les espaces "internes" ou "iso-espaces" (isospin !), ce sont les groupes de symétries internes (plus correctement, leurs algèbres, mais elles ont même dimension).

[Pour l'anecdote, le modèle de Yukawa de l'interaction forte était, lui aussi, basé sur le groupe SU(2) plus précis que SU(3). Malheureusement, il ne rendait pas compte de la hiérarchie hadronique. Il fallut donc le remplacer.]

A partir de là, ça devient technique, on peut difficilement faire autrement. Je vais essayer d'expliquer au mieux.

Supposez que vous ayiez un ensemble de charges caractérisant un type d'interaction fondamentale. Cet ensemble forme le groupe des symétries internes de l'interaction en question. Appelons-le G. La dimension dim(G) de G représente alors le nombre total de ces charges. Pour les 3 interactions fondamentales "non gravitationnelles", G est un groupe de transformations continues (groupe de Lie) : U(1) pour l'électromagnétisme, SU(2) pour l'interaction faible et SU(3) pour la forte. A l'exception de U(1), la dimension des SU(n) est n² - 1. Donc, dans les modèles basés sur des SU(n), la dimension de l'isoespace sera n² - 1. Maintenant, les potentiels de ces 3 interactions sont tous considérés comme ayant autant de composantes EXTERNES qu'il y a de dimensions à R^3,1, soit 4, le reste des composantes étant INTERNE. Comme il y a dim(G) composantes internes pour CHAQUE direction externe, on dénombre au total (produit tensoriel) 4dim(G) potentiels de champ A_i^a(x) dans l'espace-temps de Minkowski [i = 0,1,2,3 = indice externe ; a = 1,...,dim(G) = indice interne]. Pour U(1), on retrouve les 4 potentiels A_i(x) du champ électromagnétique de Maxwell ; pour SU(2), on a 4 x 3 = 12 potentiels nucléaires faibles [A_i¹(x),A_i²(x),A_i³(x)] ; 4 x 8 = 32 potentiels "gluoniques" pour SU_c(3) de couleur [A_i¹(x),...,A_i⁸(x)].

Pour décrire la dynamique d'une l'interaction, on se tourne vers la mécanique. Dans le vide, l'interaction "pure" se propage avec une action :

(5)     S = S £[A(x),F(x),x]d³xdt

à la fois minimale (principe de moindre action) et invariante sous l'action des groupes de symétries (ce principe-là d'invariance remplace l'ancienne notion "d'absolu" : une quantité physique est invariante si elle ne change pas de valeur lorsque les systèmes de coordonnées changent. En d'autres termes, il n'y a pas de "référentiel physique" spécifique - principe de relativité). Ceci n'est possible que si et seulement si la densité de lagrangien de l'interaction :

(6)     £[A(x),F(x),x] = F_ij^a(x)F^ij_a(x)/2mu

est solution des équations de Lagrange en variables de champs A_i^a(x) et reste invariante sous l'action combinée du groupe SO(3,1) des rotations de Lorentz ET du groupe interne G. mu est une constante de couplage caractéristique de la capacité du vide à propager l'interaction. Les F_ij^a(x) sont les intensités du champ. Ce sont les variations spatio-temporelles des potentiels A_i^a(x). Dans le cas de U(1), il n'y a pas de géométrie intéressante et les F_ij(x) se réduisent simplement à ceux de Maxwell :

(7a)     F_ij(x) = d_iA_j(x) - d_jA_i(x)     pour QED.

Si je les décale au moyen de la translation :

(7b)     A_i(x) -> A_i(x) + d_if(x)

je ne modifie pas mes intensités de champ,

(7c)     F_ij(x) -> F_ij(x)

parce que la "matrice dérivation" d_id_j = d_jd_i est symétrique (que je prenne la variation dans la direction i, puis une autre dans la direction j ou que j'intervertisse les deux directions donne le même résultat).

Une transformation telle que (7b) est encore une transformation de jauge, dite "de 2nde espèce". Celles de 1ère espèce portent sur les SOURCES ; celles de 2nde espèce, sur les champs produits par ces sources.

Pour les interactions nucléaires, ce n'est plus aussi simple (faut bien trouver à s'amuser, sinon, ce serait ennuyeux...) : les groupes SU(n) sont des groupes MATRICIELS et, à ce titre, NE SONT PLUS COMMUTATIFS VIS-A-VIS DU PRODUIT MATRICIEL. A la place de (7a), je vais trouver :

(8)     F_ij^a(x) = d_iA_j^a(x) - d_jA_i^a(x) - Kf_bc^aA_i^b(x)A_j^c(x)

K est une constante de couplage propre à l'interaction. Les f_bc^a sont les constantes de structure du groupe. Et elles sont antisymétriques : f_cb^a = -f_bc^a. En plus des variations spatio-temporelles des potentiels, il y a un auto-couplage [les constantes de structure de U(1) sont nulles]. C'est cet auto-couplage qui traduit la géométrie de l'isoespace. Elle n'est pas sans rappeler celle de Riemann, utilisée en Relativité Générale (et c'est tout SAUF une coïncidence). Chez Riemann, la courbure de l'espace s'exprime au moyen d'une "dérivation covariante" de Lévi-Civita D^(LC)_i qui s'applique à des champs de vecteurs V^j(x) par :

(9a)     D^(LC)_iV^j(x) = d_iV^j(x) + C_ik^j(x)V^k(x)

Le commutateur :

(9b)     [D^(LC)_i , D^(LC)_j]V^k(x) = (D^(LC)_iD^(LC)_j - D^(LC)_jD^(LC)_i)V^k(x) = R_ij^k_l(x)V^l(x)

donne alors la courbure de Riemann R_ij^k_l(x) de l'espace en fonction des "potentiels de Christoffel" C_ik^j(x). Lorsque l'espace est plan, ces C_ik^j(x) sont partout nuls, D^(LC)_i se réduit à la dérivation habituelle d_i = d/dxⁱ dans la direction i et (on s'en doute) R_ij^k_l(x) = 0.

Il en va pareillement chez Yang et Mills. A la place de Lévi-Civita, on trouve une dérivation covariante de la forme :

(10a)     D^(YM)_i = d_i - i(q/h)A_i(x)

Le '"i" de i(q/h) est l'unité imaginaire. q est une charge. Les potentiels A_i(x) sont MATRICIELS, à l'instar des C_ik^j(x) de Christoffel vis-à-vis du groupe externe SO(3,1) : si les X^a représentent les générateurs du groupe interne G, A_i^a(x) = A_i^a_b(x)X^b. On retrouve une configuration géométrique similaire. Si j'applique le commutateur (9b) à (10a), j'obtiens ni plus ni moins que (8) avec K = i(q/h) :

(10b)     [D^(YM)_i , D^(YM)_j] = -i(q/h)F_ij^a(x)X_a  

Cette dérivation covariante de Yang-Mills ne s'applique plus à des champs de vecteurs dans l'espace-temps classique de Minkowski, mais à des champs de particules f^a(x) à dim(G) composantes. Ces champs-là ne sont plus réels, comme en RG classique, mais complexes : ce sont des paquets d'ondes. Si je les couple à l'interaction, ils me donnent :

D^(YM)_if^a(x) = d_if^a(x) - i(q/h)A_i^a_b(x)f^b(x)

On reconnait bien le produit matriciel A_i^a_b(x)f^b(x). Si je leur applique une transformation de jauge de 1ère espèce,

f^a(x) -> U^a_b(x)f^b(x) = exp[iUPS^a_b(x)]f^b(x),
D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) + if^b(x)d_iUPS^a_c(x)exp[iUPS^c_b(x)]
                    - i(q/h)A_i^a_b(x)exp[iUPS^b_c(x)]f^c(x)

Si j'applique une transformation de jauge de 2nde espèce aux A_i^a_b(x) :

A_i^a_b(x) -> A_i^a_b(x) + d_iw^a_b(x),
D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) + if^b(x)d_iUPS^a_c(x)exp[iUPS^c_b(x)]
                    - i(q/h)exp[iUPS^b_c(x)][A_i^a_b(x)f^c(x) + f^c(x)d_iw^a_b(x)]

Aussi, en prenant :

(10c)     UPS^a_b(x) = (q/h)w^a_b(x)

j'ai

D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) - i(q/h)exp[iUPS^c_b(x)]A_i^a_c(x)f^b(x)
                    = exp[iUPS^c_b(x)][Id^a_cd_i - i(q/h)A_i^a_c(x)]f^b(x)
                    = U^a_b(x)D^(YM)_if^b(x)

Lorsque je vais former le produit [D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]*, il va se transformer en :

[D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]* -> U^a_c(x)[U^b_d(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D^(YM)_jf^d(x)]*

Si je contracte "extérieurement" par g₍₀₎^ij et "intérieurement" par Id_ab, j'obtiens le scalaire hermitien :

g₍₀₎^ijId_ab[D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]* = [D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]*

qui va se transformer en,

g₍₀₎^ijId_abU^a_c(x)[U^b_d(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D^(YM)_jf^d(x)]* =
= U^a_c(x)[U_ad(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D_(YM)ⁱf^d(x)]*

Cette expression sera égale à [D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]* pour :

(10d)     U^a_c(x)[U_ad(x)]* = Id_cd  

autrement dit, lorsque le conjugué de U(x) sera aussi son inverse. Or, c'est précisément ce qu'il se passe pour les groupes spéciaux unitaires. En conséquence, la combinaison des transformations de jauge de 1ère et de 2nde espèce laisse invariante la densité de lagrangien :

(10e)     £[f(x),D^(YM)f(x),x] = -(h²/2m)[D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]*

Les composantes du champ de particules comme du champ d'interaction se déterminent à une phase MATRICIELLE près.

Il y a une analogie plus que frappante entre les champs de particules f^a(x) et des champs de vecteurs Vⁱ(x) dans R^3,1, ainsi qu'entre les potentiels d'interaction A_i^a_b(x) et les champs de Christoffel C_ij^k(x) de la RG et pour cause :

LA RELATIVITE GENERALE EST UNE THEORIE DE YANG-MILLS A GROUPE SO(3,1).

Autrement dit, YM INCLUT la RG : son contexte est "plus générale que la Relativité Générale", parce qu'il s'applique à n'importe quel groupe de symétrie, qu'il soit "externe" ou "interne". Nous en avons déjà vu un exemple lorsque j'ai proposé un modèle unifié de la gravitation et de l'électromagnétisme : les rapports (q/h)A_i^a_b(x) et (m/h)G_i^a_b(x) sont en m^-1, ce sont des champs de Christoffel. Dans B 167, le groupe était SO(p,q) pour un espace-temps de dimension D = p + q et de signature (p,q), ce qui correspond à une situation spécifique. Mais, YM ne fait pas de distinction entre "symétries externes" et "symétries internes". C'est une théorie géométrique. Elle parle de géométries COURBES construites comme des DEFORMATIONS d'espaces plans. Exactement comme la RG, exactement comme l'ensemble du programme élasticité. Dans la représentation dite "tensorielle", vous y trouverez des symétries "externes" ; dans la représentation "matricielle", des symétries "internes". En termes physiques, il devient donc possible, chez YM, de regrouper les propriétés liées aux mouvements des corps à leurs propriétés physiques. Il suffit pour cela de se donner des applications d'un espace E de dimension D dans un groupe G de dimension D'. En géométrie, on appelle cela réaliser une fibration de base E, d'espace total E x_c G de dimension D + D' et de groupe structural G.

Par exemple, f : R^3,1 -> U(1) réalise une fibration, de base l'espace-temps de Minkowski, dans le groupe de QED. Ce groupe étant de dimension 1, l'espace total de la fibration est de dimension 5 : 4 ddls "externes" xⁱ, 1 ddl "interne" (la phase). Le champ f(x) est dans l'algèbre u(1) du groupe : c'est un espace de dimension 1 (f n'a qu'une seule composante). Le fait de pouvoir définir ce champ de particules à un facteur de phase près signifie que l'on peut même se limiter à son amplitude. En TQRC, cette amplitude, c'est la racine carrée de la probabilité de présence d'une particule du champ au point x de l'espace-temps.

Un peu plus généralement, pour un groupe structural SU(n), le champ f aura n² - 1 composantes et il y aura 4 + (n² - 1) = n² + 3 degrés de liberté.

Ce n'est qu'une question de langage... :) Il y a celui des physiciens et celui des géomètres. Pour décrire les mêmes objets.

Ensuite, il s'agit de représentation des groupes. Si vous représentez le champ de Christoffel d'après ses projections sur les axes de R^3,1, vous obtenez la représentation tensorielle C_ij^k(x). Si vous le représentez vis-à-vis du groupe de Lorentz, vous l'écrivez sous la forme C_ia^b(x) qui est une "matrice de champs vectoriels C_i(x)". La matrice en question sera relative au groupe des rotations SO(3,1) de l'espace-temps 4D. C'est le même objet qui apparaît sous des formes différentes. Mais ça permet de NE PAS se limiter à un seul groupe de symétrie.

Aussi, ce que nous venons d'établir, l'invariance de jauge des densités de lagrangiens (et donc, des actions) vis-à-vis des transformations de 1ère et de 2nde espèce s'applique tout autant à la Relativité Générale...

Avec, toutefois, une "petite" différence. La théorie de la gravitation telle que proposée par Einstein se fondait sur l'axiome géométrique de Riemann qui dit que, dans un voisinage infinitésimal autour de chaque point, il est toujours possible de trouver un système de coordonnées dans lequel l'espace apparaît PLAN. Einstein a utilisé cet axiome pour traduire l'idée que la gravitation n'était pas une véritable force, mais une PSEUDO-force : un simple effet inertiel, géométrique, qui pouvait s'effacer dans un référentiel physique dit "galiléen". Mais l'axiome de Riemann N'EST PAS le seul axiome de la géométrie : comme il existait préalablement les axiomes de Gauss et de Lobatchevski, il existe AUSSI celui de Grassmann. L'axiome de Gauss concerne les géométries elliptiques ; celui de Lobatchevski, les géométries hyperboliques. L'axiome de Riemann, lui, implique la SYMETRIE C_ji^k(x) = C_ij^k(x) sur les champs de Christoffel. Cette condition DISPARAIT dans les représentations matricielles C_ia^b(x) : elle n'a plus rien "d'indispensable". Au contraire, elle s'avère plutôt contraignante.  Surtout vis-à-vis de groupes DE SPIN, qui sont typiquement grassmanniens. C'est pourquoi les théoriciens de la supersymétrie, qui ont cherché à rassembler "matière fermionique" et "rayonnement bosonique" dans un même cadre qui serait dès lors DEPOURVUS DE SOURCES, ont pris leurs distances avec l'axiome de Riemann pour inclure le cas de champs de Christoffel ANTI-symétriques C_ji^k(x) = -C_ij^k(x), ce qui implique que les espaces-temps se "tordent", i.e. qu'ils font une différence entre "gauche" et "droite" : parce que les spins demi-entiers "se reflètent dans le miroir", au contraire des spins entiers. On a donc débouché sur les géométries COMPLEXES, métrique de Kähler, etc.

Vous avez PLETHORE de tentatives d'unification : des interactions fondamentales, de la matière. Je ne retiendrais que les 3 principales : les modèles supersymétriques, les supercordes (qui sont des cordes supersymétriques) et le modèle de Coleman-Glashow basé sur le groupe SU(5) à 24 dimensions. Pourquoi celui-ci en particulier ? Parce qu'une décomposition possible (ce n'est pas la seule) de SU(5) est :

SU(5) = SU_c(3) x_c SU_s(3) x_c SU_w(2) x_c U(1) x_c Spin(1)

C'est une théorie "de grande unification" (GUT - pas de gravitation) : QCD (interaction forte) + GSW (électrofaible) + spin ½ (fermions élémentaires). Rassemblés dans un même groupe de symétrie.

Voilà, résumé du mieux que j'ai pu trouver, les raisons qui nous ont amenées à la géométrie COMPLEXE : parce que c'est le cadre adapté au quantique et qu'on y retrouve automatiquement Yang-Mills et la supersymétrie. Si vous remplacez R^3,1 par C^3,1 et le groupe de Lorentz SO_R(3,1) par son complexifié SO_C(3,1), groupe des rotations dans l'espace-temps de Minkowski QUANTIQUE, vous obtenez immédiatement une fibration :

(11)     F : C^3,1 -> SO_C(3,1)
               x^m = x^0m + ix^1m -> F^a(x^m) = F^0a(x^0m,x^1m) + iF^1a(x^0m,x^1m)

et une dérivation de Yang-Mills à groupe SO_C(3,1) sur ce fibré,

(12a)     D_iF^a(x^m) = [Id_b^ad_i + C_ib^a(x^m)]F^b(x^m)
                         = (D_iF^a)⁰(x^0m,x^1m) + i(D_iF^a)¹(x^0m,x^1m)
(12b)     (D_iF^a)⁰ = (Id_b^ad⁰_i + C⁰_ib^a)F^0b + (Id_b^ad¹_i - C¹_ib^a)F^1b  
(12c)     (D_iF^a)¹ = (Id_b^ad⁰_i + C⁰_ib^a)F^1b - (Id_b^ad¹_i - C¹_ib^a)F^0b   

L'alternance de signe devant les composantes réelles résulte tout naturellement de ce que i² = -1.

Contrairement à Riemann, chez Yang-Mills, IL N'Y A PLUS nécessité de trouver des potentiels "plus fondamentaux" que les C_ib^a(x^m) de Christoffel, qui en dériveraient par variation dans la base : les potentiels interactifs SONT représentés par les C_ib^a(x^m). Qu'ils se transforment comme des tenseurs ou pas N'A PLUS D'IMPORTANCE : de toute façon, ils se transforment comme des holeurs plus généraux... Ce sont les règles du calcul tensoriel qui sont trop exigeantes, comme l'est le produit matriciel, c'est tout.

Une autre histoire de simple langage est que, dans la représentation tensorielle, les commutateurs (9b) et (10b) sont appelés "crochets de Schouten" et, dans la représentation de groupe, "crochets de Lie". Dans les deux cas, ils vont donner les intensités de champ interactif :

(13a)     [D_i,D_j]_-F^a = (R_ijb^a - Id_b^aS_ij^kD_k)F^b  

où l'on reconnait la courbure de Riemann, cette fois, DU FIBRé (celle de la base étant nulle),

(13b)     R_ijb^a = d_iC_jb^a - d_jC_ib^a + C_ic^aC_jb^c - C_jc^aC_ib^c  

et où l'on voit apparaître un "tenseur torsion",

(13c)     S_ij^k = C_ij^k - C_ji^k  

qu'il est possible, par conversion, de relier aux constantes de structure du groupe (qui, je le rappelle, sont bien ANTI-symétriques : f_ba^c = -f_ab^c).

C'est cette "torsion" (qui n'a rien à voir avec la torsion géodésique d'un espace riemannien) qui est utilisée en super-symétrie pour incorporer la "matière fermionique" au rayonnement. Chez Yang-Mills, on voit bien qu'elle n'est pas spécifique aux spins demi-entiers, mais qu'elle est en relation directe avec les groupes de symétries. SI ces groupes sont des Spin(2s) avec 2s impair, ALORS S_ij^k est associée à des spineurs. SINON, les seuls groupes de Lie qui n'induisent pas de torsion sont SO_R(2) et U(1). Tous les autres ont des constantes de structure non nulles, provoquant de la torsion.

Vous voyez donc à quel point l'axiome de Riemann se révèle LIMITé, dès que l'on passe de la représentation tensorielle à une représentation de groupe : même ses propres groupes de symétries ont des constantes de structure dès la dimension réelle 3 et complexe 2. Localement, les espaces courbes peuvent bel et bien être ramenés à des "plans microscopiques" MAIS en y distinguant généralement la direction "droite" de la direction "gauche" : il y a une RUPTURE DE SYMETRIE qui se produit quasi-systématiquement chez Yang-Mills et qui est absente chez Riemann. Elle n'est pas forcément due aux charges que portent les corps (masses incluses), elle est également produites par leurs mouvements.

Eh bien, toutes ces "complications" supplémentaires s'expliquent très simplement dans le contexte quantique par la CONJUGAISON COMPLEXE x^m = x^0m + ix^1m <-> (x^m)* = x^0m - ix^1m : si la partie "réelle" x^0m d'une quantité complexe QUELCONQUE n'est pas affectée par l'opération du fait que cos(.) est une fonction paire (= "à parité P = +1" en langage de physicien), la partie "imaginaire" x^1m est CHANGEE DE SIGNE car sin(.) est une fonction IMPAIRE (P = -1). En d'autres termes, cos(.) est SYMETRIQUE, alors que sin(.) est ANTISYMETRIQUE. Par conséquent, cos(.) est en relation avec l'axiome DE RIEMANN et sin(.) avec celui DE GRASSMANN. Soit encore, de manière équivalente, cos(.) avec les spins ENTIERS et sin(.), avec les DEMI-ENTIERS. C'est le fait que la mécanique quantique IMPOSE de ne plus se limiter aux parties réelles des grandeurs, mais de prendre aussi leurs parties imaginaires sur le même pied d'égalité qui introduit de la "torsion", une "SYMETRIE MIROIR", dans les espaces(-temps).

Si vous raisonnez "quantique", vous n'avez PLUS cette brisure de symétrie, vous trouvez, au contraire, une NOUVELLE SYMETRIE qui est la conjugaison complexe.

Originellement, le phénomène de brisure (spontanée) de symétrie est de nature thermodynamique : au-dessus d'une température critique, un milieu physique présente une certaine symétrie, qui est "brisée" lorsque la température baisse en dessous de cette valeur critique. Mais, chez Yang-Mills, elle s'avère tout autant MECANIQUE : nous n'avons introduit aucun paramètre thermodynamique dans la description et, pourtant, la brisure SPONTANEE de symétrie est OMNI-présente. Elle a donc une toute autre signification : mécaniquement, elle indique que le cadre dans lequel on s'est placé EST TROP RESTREINT et qu'il faut en sortir.

La brisure MECANIQUE de symétrie n'est due qu'au fait que l'on décompose une géométrie COMPLEXE en ses composantes REELLES. C'est pour cette raison que la symétrie miroir est caractéristique des géométries hermitiennes : parce que leurs propriétés métriques y sont REELLES... :) Si vous vous placez dans des espaces métrisables COMPLEXES, vous n'avez plus ce problème... En revanche, il vous faut travailler avec des actions COMPLEXES. C'est normal : vous êtes quantiques... tout est complexifié, tout a une phase, tout est "paquet d'ondes", les cadres supports (même plans), les champs, les groupes, tout.

Si vous complexifiez une action s(x), que vous donne la dualité onde-corpuscule ? Une exponentielle exp[s(x)/h]. Si vous DECOMPOSEZ votre action en ses composantes réelles, alors :

exp[s(x)/h] = exp[s⁰(x⁰,x¹)/h]exp[is¹(x⁰,x¹)/h]

Vous retrouvez le facteur de phase exp[is¹(x⁰,x¹)/h] de l'analogie opto-mécanique, parce que s¹(x⁰,x¹) est une action classique dans un espace(-temps) classique de dimension dédoublée, mais vous trouvez en même temps une AMPLITUDE exp[s⁰(x⁰,x¹)/h] toujours >= 1, là encore, parce que s⁰(x⁰,x¹) est une action classique complémentaire.

Du point de vue quantique, vous n'avez QUE exp[s(x)/h], AVEC une symétrie {exp[s(x)/h]}* = exp{[s(x)]*/h}, alors que, du point de vue classique, vous avez une RUPTURE DE LA SYMETRIE DES RÔLES ATTRIBUéS A s⁰(x⁰,x¹) et à s¹(x⁰,x¹) : la première se retrouve dans le facteur D'AMPLIFICATION ; la seconde, dans le facteur DE PHASE.