doclabidouille
OBSCURS "TROUS NOIRS"...
Le 10/08/2025
Je fais un petit interlude parce que j'entends beaucoup parler des "trous noirs" ces temps-ci et qu'aux dires des astrophysiciens, il s'en trouverait dans tous les centres galactiques. Entre autres. Stephen Hawking (géomètre, pas physicien) vous en trouvait même absolument partout, sous forme "miniaturisée". C'est dire si la mode a pris.
Si vous voulez bien reprendre attentivement le cheminement du raisonnement allant de B 166 à B 171 inclus (exception faite de B 167), vous constaterez que, PARTANT de la théorie gravitationnelle d'Einstein (B 166) ET du "Modèle Standard" qui regroupe théorie quantique relativiste du champ et gravitation einsteinienne, je commence par classifier les sources de champs en deux grandes catégories, les "standards", qui répondent aux équations d'Einstein et les "non standards", exprimées par des tenseurs plus généraux que ceux figurant dans les équations d'Einstein : le tenseur de courbure de Riemann Rijkl(x), d'invariant Rij(x), et le tenseur "élasticité" Tijkl(x), d'invariant Tij(x). C'est cela qui me permet de dire que, pour des substances "standards", i.e. répondant aux critères du Modèle Standard, le R(s)ijkl(x) ne peut s'exprimer qu'à l'aide de ses invariants Rij(x) et R(x) si l'on veut que Tij(x) = 0 <=> R(s)ijkl(x) = 0 : le lien entre le "tenseur métrique" gij(x) et Tij(x) est Tik(x) = gjl(x)Tijkl(x), on est dans le domaine de l'élasticité "linéaire" [relation linéaire entre contraintes Tij(x) et déformations gij(x), ce qui n'implique nullement que les déplacements x'i = Xi(x) soient linéaires] et, en l'absence de contraintes, il ne se produit aucune déformation. L'espace-temps reste donc plan et c'est la condition beaucoup plus stricte R(s)ijkl(x) = 0 qui s'applique.
Ceci dit, à ce stade préliminaire et jusqu'à B 170 inclus, non seulement je ne rejette pas la possibilité de l'existence de substances n'entrant PAS dans le Modèle Standard, c'est-à-dire, telles que Rij(x) n'implique pas R(ns)ijkl(x) = 0, soit encore, que le tenseur de courbure de Riemann possède une composante "de Weyl" dont tous les invariants sont nuls, mais je suis convaincu que ce type de substance existe. C'est au fil des développements que je vais m'apercevoir que cet argument n'est pas nécessaire.
Dans B 168, je dresse déjà un parallèle entre la géométrie du champ et celle de ses sources, en m'appuyant sur la symétrie des rôles joués par Rij(x) et Tij(x) dans les équations d'Einstein. C'est une première étape vers la résolution de ce système. Ensuite, en B 169, je le résous complètement en m'aidant des notations "intrinsèques" (= indépendantes des bases vectorielles choisies), ce qui me conduit à [B169, (14) et (15)] où les déformations de l'espace-temps s'obtiennent comme exponentielles d'un "facteur de phase" sans unité : on a un "opérateur évolution" (dans l'espace-temps) agissant sur la métrique PLANE de départ pour en faire une métrique COURBE. Seulement, d'un point de vue pratique, cette solution n'est applicable que parce que les sources standards permettent d'exprimer R(s)ijkl(x) en fonction de Rij(x) et de R(x). Aussi, partant de la donnée d'un ensemble de contraintes Tij(x), les équations d'Einstein, qui établissent des relations algébriques entre Rij(x) et [Tij(x) , T(x)], permettent d'exprimer entièrement R(s)ijkl(x) à l'aide de Tij(x) et de T(x) et d'en déduire les gij(x) correspondants. C'est la démarche conventionnelle en théorie des équations aux variations : on se donne des perturbations et le but est d'en déduire les réactions du système à leur action. Si l'on ne connait pas les "seconds membres" d'une (ou d'un système d') EDP(s), on ne peut pas la (ou le) résoudre...
Je suis toujours dans le contexte "pur et dur" de la théorie gravitationnelle d'Einstein, avec un système d'équations issu du choix de R(x) comme "invariant tensoriel" et de l'application de la méthode de Hilbert au problème des variations. C'est d'ailleurs ce qui me fait aboutir à la conclusion, temporaire, que de la substance "non standard" PRE-EXISTE à la géométrie de l'espace-temps et que c'est cette substance "exotique" qui donne naissance à une géométrie courbe "primitive" : c'est [B169, (19)]. Juste en-dessous, je dis que "les contraintes « fondamentales » T(ns) sont DONNEES A L’AVANCE et elles INDUISENT la géométrie PHYSIQUE de la variété", mais je ne suis pas en mesure de les expliciter, rien ne me permettant de le faire... c'est un pur argument "d'existence"...
En B 170, je détaille le mécanisme "d'assemblage" des métriques en d'autres, au fur et à mesure que l'on ajoute de la substance dans l'espace-temps [Tij(x) est un tenseur de densités "d'énergie-impulsions" et l'énergie est une quantité additive] et ce n'est qu'en B 171 que J'IDENTIFIE cette "substance non standard" à de la "standard" A UN AUTRE "NIVEAU DE REALITE PHYSIQUE" en formulant une hypothèse, certes, mais que je vais m'attacher à DEMONTRER :
"Il nous faut donc formuler une hypothèse complémentaire et vérifier si elle s’accorde bien avec le caractère « standard » et « non standard » étudié jusqu’ici."
C'est la différence... : n'ayant aucun FAIT PROBANT à disposition, je n'ai d'autre choix que de partir d'une HYPOTHESE, mais que je n'ai pas l'intention de laisser le soin à d'autres de la confirmer ou l'infirmer... Ce n'est pas un POSTULAT... On va démontrer la validité de cette hypothèse PAR LE CALCUL et établir une correspondance FORMELLE entre "substance non standard" et "substance standard à un 2ème niveau de réalité". Je fais DEJA de la cosmologie quantique :
"le passage du « classique » au « quantique » préserve les systèmes d’unités"
C'est-à-dire qu'en introduisant une "polarisation", j'ai ETENDU mon cadre "classique" à un seul niveau à un cadre à DEUX niveaux et, dans ce contexte élargi, je ne retrouve QUE du "standard"... Il n'y a plus "d'exotisme"... on était simplement dans un cadre TROP RESTREINT...
Donc, de ce point de vue "quantique", en dimension D "à 2 niveaux", comme je le précise bien, TOUS les RIJKL(x1,x2) se laissent canoniquement décomposer en leurs invariants de Ricci RIJ(x1,x2) et R(x1,x2), si bien que :
TIJ(x1,x2) = 0 <=> RIJ(x1,x2) = 0 <=> R(x1,x2) = 0 <=> RIJKL(x1,x2) = 0.
Il n'y a plus de solutions du type "Rij(x) = 0 avec Rijkl(x) <> 0". C'est pour ça que je remets en cause l'hypothèse des "trous noirs" : parce qu'ils sont tous solutions d'équations de ce type...
Ça rejoint d'ailleurs ce que disait ce même Stephen Hawking, que la quantique viendrait combler les singularités de la théorie "classique" de la gravitation vue par Einstein...
Il n'y a plus de singularités de ce type, qui mettent en défaut la théorie et qui violent le principe de causalité. Cela ne veut pas dire qu'il n'existe pas de corps célestes extrêmes, cela veut dire qu'ils sont tout SAUF DES "TROUS DANS L'ESPACE-TEMPS"... Il n'y a pas de "trous" dans le tissu universel. Qui mèneraient où, à travers quoi ?... un peu de bon sens tout de même !
De toute façon, il y a un décalage sûr et certain entre le raisonnement tenu par Einstein et son désir de s'inspirer de la théorie électromagnétique de Maxwell, décalage que j'avais relevé bien avant de lancer ce blog : les courants sources chez Maxwell (ou chez Klein-Gordon) sont reliés aux VARIATIONS des Tij(x). Par conséquent, si l'on veut établir une analogie, ne serait-ce que de principe, entre Maxwell et un modèle de gravité répondant au concept de relativité généralisé, ce ne sont pas les gij(x) qu'il faut prendre comme potentiels, mais leur variations, les Cijk(x). Ces derniers ne sont pas des tenseurs ? ET ALORS ?... Ils sont MIEUX QUE ÇA : ce sont des "holeurs", des "akineteurs" pour être précis, ils sont PLUS GENERAUX que les tenseurs... Encore une fois, quand le contexte de calcul se révèle trop restreint, il faut l'élargir... Ce sont les Cijk(x), non les gij(x), qui sont utilisés dans B 167 pour unifier électromagnétisme et gravitation einsteinienne...
Ce qui veut dire que l'action du champ des déformations en RG N'EST PLUS donné par la courbure de Gauss R(x), mais plutôt par une densité de lagrangien du type :
£ = ½ (h/c)[Rijkl(x)Rijkl(x) + 2Jijk(x)Cijk(x)]
où les "variables de champ" sont les Cijk(x), les Jijk(x) représentant les "courants" sources.
On n'est plus dans le seul contexte de la gravitation : £ est beaucoup plus conforme, en notations de Riemann, au "potentiel interne" (toujours du même Maxwell) en théorie de l'élasticité... Comme par hasard (mais il n'en est évidemment rien), on retrouve la constante de Planck h, parce que £ doit être (en dimension 3 ou 4) en J/m3 et que le "facteur de couplage" doit être "universel", en Jm... Résultat : les Jijk(x) sont en m-3 et représentent bien des densités spatiales...
Toutefois, les Rijkl(x) ne s'expriment pas vraiment comme les dérivées covariantes des Cijk(x). Or, on préfèrerait, d'un point de vue géométrique ET physique, déduire des équations COVARIANTES d'une densité de lagrangien de champ afin d'être conforme au principe de relativité généralisé. Je suggère donc plutôt un modèle de la forme :
(1) £ = ½ (h/c)[Wijkl(x)Wijkl(x) + 2Jijk(x)Cijk(x)]
avec, cette fois,
(2) Wijkl(x) = DiCjkl(x) - DjCikl(x)
Ce modèle-là EST "maxwellien", il s'applique A TOUT TYPE DE SOURCE, grâce à L'UNIVERSALITE de la RG... Les équations d'Euler-Lagrange vont mener au système d'EDPs du 2nd ordre en les Cijk(x) :
(3) DiWijkl(x) = Jjkl(x)
Et, désormais, on n'a plus de décalage. On peut même avoir de la "torsion" Sijk(x) = Cijk(x) - Cjik(x). Vous le voulez "quantique" ? Vous passez de D à 2D...
Pour ce qui est des "sources ponctuelles", j'ai proposé une méthode de régularisation des noyaux newtoniens en B 155, il y a déjà plus de 5 ans...
J'ai tenu à résoudre tous les obstacles techniques qui se sont dressés devant mes recherches.
Parce que je n'avais pas d'autre choix pour avancer !
S'ils sont criticables, tant mieux : c'est l'esprit même de la recherche. Mais, au moins, j'ai proposé du CONCRET. Je me suis pas contenté de dire "on ne peut pas résoudre, parce que...", sans même chercher à essayer... Ni à me contredire en disant que "c'est l'introduction de substance dans le cadre qui le courbe mais, dans le vide, il subsiste tout de même de la courbure sous forme ondulatoire"...
Pour résumer encore une fois : les Jijk(x) génèrent des Cijk(x) qui, à leur tour, donnent des gij(x) variables, lesquels conduisent, in fine, à des Xi(x). Mais alors, même si ces Xi(x) déplacent un point x du cadre en un point x', on a tout de même des CHAMPS :
(4) X : RD -> RD , x -> x' = X(x)
ce qui veut dire que les variables DE POSITION sont les Xi(x) et donc, que le RD de départ (qui est le même que celui d'arrivée) constitue LE SUPPORT de ces champs.
Voyez-vous où je veux en venir ?...
On reste dans un contexte où le support est (initialement) PLAN (c'est RD), mais où les champs agissant DANS ce support cadre sont des déplacements. Des champs dont l'unité physique est le mètre. Mais des champs SEPARéS DU CADRE.
Les variables ne sont pas les xi, mais les Xi(x). C'est pour ça que, même si le support est déformé, on peut ENCORE avoir des "ondes de champ" solutions de :
(5) DiWijkl(x) = 0
Sinon, deux corps distincts introduits dans l'espace-temps en deux endroits distincts ne pourraient s'échanger aucune information d'aucune sorte, gravitationnelle ou pas. Or, ils interagissent. Ce qui veut dire qu'ils se communiquent des informations sur leurs caractéristiques physiques via des ondes... des ondes DE DEPLACEMENT. A travers un espace-temps PLAN, mais qui se déforme au passage de ces ondes (!).
On trouve la même chose en physique des fluides : on n'a pas affaire aux variables spatiales xa (a = 1,2,3), mais à des CHAMPS de vitesses va(x,t) qui dérivent de CHAMPS de déplacements Xa(x,t). On confond facilement le cadre et ce type de champ, parce que tout se passe dans le cadre et qu'on n'a affaire qu'à des longueurs. Avec des unités physiques différentes, la distinction est immédiate. Mais les xi ne se confondent avec les Xi(x) qu'en des points DE STATIONNARITE.
C'est vicieux... Mais c'est toujours Minkowski qu'on déforme, au départ... "l'espace-temps VIDE"...
Du coup, dans la métrique de Schwarzschild, par exemple, c'est l'énergie g00(r) = 1 - rg/r du CHAMP des déformations qui s'annule en r = rg et l'impulsion g11(r) = -(1 - rg/r)-1 de ce champ qui diverge. Cela ne "troue" pas l'espace-temps de Minkowski pour autant... Ce n'est pas lui qui est concerné : chez lui, on se trouve en r = rg, c'est tout... Quand bien même serait-on en r = 0, il n'y aurait aucune singularité... Les comportements singuliers se trouvent au niveau du CHAMP, pas du SUPPORT. C'est parce qu'on ASSIMILE le support au champ qu'on trouve que l'espace-temps se comporte de manière "singulière" : mais ce n'est pas ce que dit (4) ! (4) dit qu'on a une fibration AU-DESSUS de l'espace-temps, qui "retombe dedans" parce que c'est un endomorphisme. C'est en r = rg que LE CHAMP de métriques de Schwarzschild n'est plus défini correctement et que sous cet "horizon des événements", pour 0 =< r < rg, la causalité est violée.
C'est le modèle de CHAMP qui déconne, pas le cadre... :)
Parce qu'on raisonne "ponctuel", comme toujours...
Vous faites couler de l'eau dans un évier, elle va "sortir de l'espace" ?... Vous allez me dire que c'est différent ? BIN, NON, C'EST EXACTEMENT LA MÊME CHOSE : C'EST L'ECOULEMENT DU FLUIDE DANS L'ESPACE QUI EST EN CAUSE, PAS L'ESPACE LUI-MÊME. Les singularités de type "sink" ou "cusp" concernent DES CHAMPS. Des mouvements, des trajectoires. Ce n'est pas l'Univers qui fait des caprices, ce sont les modèles qui sont en cause. Il y a des situations dans lequelles ils ne sont plus adaptés.
Moralité : si ces situations se multiplient, y a du souci à se faire pour le modèle...
Si vous voulez bien reprendre attentivement le cheminement du raisonnement allant de B 166 à B 171 inclus (exception faite de B 167), vous constaterez que, PARTANT de la théorie gravitationnelle d'Einstein (B 166) ET du "Modèle Standard" qui regroupe théorie quantique relativiste du champ et gravitation einsteinienne, je commence par classifier les sources de champs en deux grandes catégories, les "standards", qui répondent aux équations d'Einstein et les "non standards", exprimées par des tenseurs plus généraux que ceux figurant dans les équations d'Einstein : le tenseur de courbure de Riemann Rijkl(x), d'invariant Rij(x), et le tenseur "élasticité" Tijkl(x), d'invariant Tij(x). C'est cela qui me permet de dire que, pour des substances "standards", i.e. répondant aux critères du Modèle Standard, le R(s)ijkl(x) ne peut s'exprimer qu'à l'aide de ses invariants Rij(x) et R(x) si l'on veut que Tij(x) = 0 <=> R(s)ijkl(x) = 0 : le lien entre le "tenseur métrique" gij(x) et Tij(x) est Tik(x) = gjl(x)Tijkl(x), on est dans le domaine de l'élasticité "linéaire" [relation linéaire entre contraintes Tij(x) et déformations gij(x), ce qui n'implique nullement que les déplacements x'i = Xi(x) soient linéaires] et, en l'absence de contraintes, il ne se produit aucune déformation. L'espace-temps reste donc plan et c'est la condition beaucoup plus stricte R(s)ijkl(x) = 0 qui s'applique.
Ceci dit, à ce stade préliminaire et jusqu'à B 170 inclus, non seulement je ne rejette pas la possibilité de l'existence de substances n'entrant PAS dans le Modèle Standard, c'est-à-dire, telles que Rij(x) n'implique pas R(ns)ijkl(x) = 0, soit encore, que le tenseur de courbure de Riemann possède une composante "de Weyl" dont tous les invariants sont nuls, mais je suis convaincu que ce type de substance existe. C'est au fil des développements que je vais m'apercevoir que cet argument n'est pas nécessaire.
Dans B 168, je dresse déjà un parallèle entre la géométrie du champ et celle de ses sources, en m'appuyant sur la symétrie des rôles joués par Rij(x) et Tij(x) dans les équations d'Einstein. C'est une première étape vers la résolution de ce système. Ensuite, en B 169, je le résous complètement en m'aidant des notations "intrinsèques" (= indépendantes des bases vectorielles choisies), ce qui me conduit à [B169, (14) et (15)] où les déformations de l'espace-temps s'obtiennent comme exponentielles d'un "facteur de phase" sans unité : on a un "opérateur évolution" (dans l'espace-temps) agissant sur la métrique PLANE de départ pour en faire une métrique COURBE. Seulement, d'un point de vue pratique, cette solution n'est applicable que parce que les sources standards permettent d'exprimer R(s)ijkl(x) en fonction de Rij(x) et de R(x). Aussi, partant de la donnée d'un ensemble de contraintes Tij(x), les équations d'Einstein, qui établissent des relations algébriques entre Rij(x) et [Tij(x) , T(x)], permettent d'exprimer entièrement R(s)ijkl(x) à l'aide de Tij(x) et de T(x) et d'en déduire les gij(x) correspondants. C'est la démarche conventionnelle en théorie des équations aux variations : on se donne des perturbations et le but est d'en déduire les réactions du système à leur action. Si l'on ne connait pas les "seconds membres" d'une (ou d'un système d') EDP(s), on ne peut pas la (ou le) résoudre...
Je suis toujours dans le contexte "pur et dur" de la théorie gravitationnelle d'Einstein, avec un système d'équations issu du choix de R(x) comme "invariant tensoriel" et de l'application de la méthode de Hilbert au problème des variations. C'est d'ailleurs ce qui me fait aboutir à la conclusion, temporaire, que de la substance "non standard" PRE-EXISTE à la géométrie de l'espace-temps et que c'est cette substance "exotique" qui donne naissance à une géométrie courbe "primitive" : c'est [B169, (19)]. Juste en-dessous, je dis que "les contraintes « fondamentales » T(ns) sont DONNEES A L’AVANCE et elles INDUISENT la géométrie PHYSIQUE de la variété", mais je ne suis pas en mesure de les expliciter, rien ne me permettant de le faire... c'est un pur argument "d'existence"...
En B 170, je détaille le mécanisme "d'assemblage" des métriques en d'autres, au fur et à mesure que l'on ajoute de la substance dans l'espace-temps [Tij(x) est un tenseur de densités "d'énergie-impulsions" et l'énergie est une quantité additive] et ce n'est qu'en B 171 que J'IDENTIFIE cette "substance non standard" à de la "standard" A UN AUTRE "NIVEAU DE REALITE PHYSIQUE" en formulant une hypothèse, certes, mais que je vais m'attacher à DEMONTRER :
"Il nous faut donc formuler une hypothèse complémentaire et vérifier si elle s’accorde bien avec le caractère « standard » et « non standard » étudié jusqu’ici."
C'est la différence... : n'ayant aucun FAIT PROBANT à disposition, je n'ai d'autre choix que de partir d'une HYPOTHESE, mais que je n'ai pas l'intention de laisser le soin à d'autres de la confirmer ou l'infirmer... Ce n'est pas un POSTULAT... On va démontrer la validité de cette hypothèse PAR LE CALCUL et établir une correspondance FORMELLE entre "substance non standard" et "substance standard à un 2ème niveau de réalité". Je fais DEJA de la cosmologie quantique :
"le passage du « classique » au « quantique » préserve les systèmes d’unités"
C'est-à-dire qu'en introduisant une "polarisation", j'ai ETENDU mon cadre "classique" à un seul niveau à un cadre à DEUX niveaux et, dans ce contexte élargi, je ne retrouve QUE du "standard"... Il n'y a plus "d'exotisme"... on était simplement dans un cadre TROP RESTREINT...
Donc, de ce point de vue "quantique", en dimension D "à 2 niveaux", comme je le précise bien, TOUS les RIJKL(x1,x2) se laissent canoniquement décomposer en leurs invariants de Ricci RIJ(x1,x2) et R(x1,x2), si bien que :
TIJ(x1,x2) = 0 <=> RIJ(x1,x2) = 0 <=> R(x1,x2) = 0 <=> RIJKL(x1,x2) = 0.
Il n'y a plus de solutions du type "Rij(x) = 0 avec Rijkl(x) <> 0". C'est pour ça que je remets en cause l'hypothèse des "trous noirs" : parce qu'ils sont tous solutions d'équations de ce type...
Ça rejoint d'ailleurs ce que disait ce même Stephen Hawking, que la quantique viendrait combler les singularités de la théorie "classique" de la gravitation vue par Einstein...
Il n'y a plus de singularités de ce type, qui mettent en défaut la théorie et qui violent le principe de causalité. Cela ne veut pas dire qu'il n'existe pas de corps célestes extrêmes, cela veut dire qu'ils sont tout SAUF DES "TROUS DANS L'ESPACE-TEMPS"... Il n'y a pas de "trous" dans le tissu universel. Qui mèneraient où, à travers quoi ?... un peu de bon sens tout de même !
De toute façon, il y a un décalage sûr et certain entre le raisonnement tenu par Einstein et son désir de s'inspirer de la théorie électromagnétique de Maxwell, décalage que j'avais relevé bien avant de lancer ce blog : les courants sources chez Maxwell (ou chez Klein-Gordon) sont reliés aux VARIATIONS des Tij(x). Par conséquent, si l'on veut établir une analogie, ne serait-ce que de principe, entre Maxwell et un modèle de gravité répondant au concept de relativité généralisé, ce ne sont pas les gij(x) qu'il faut prendre comme potentiels, mais leur variations, les Cijk(x). Ces derniers ne sont pas des tenseurs ? ET ALORS ?... Ils sont MIEUX QUE ÇA : ce sont des "holeurs", des "akineteurs" pour être précis, ils sont PLUS GENERAUX que les tenseurs... Encore une fois, quand le contexte de calcul se révèle trop restreint, il faut l'élargir... Ce sont les Cijk(x), non les gij(x), qui sont utilisés dans B 167 pour unifier électromagnétisme et gravitation einsteinienne...
Ce qui veut dire que l'action du champ des déformations en RG N'EST PLUS donné par la courbure de Gauss R(x), mais plutôt par une densité de lagrangien du type :
£ = ½ (h/c)[Rijkl(x)Rijkl(x) + 2Jijk(x)Cijk(x)]
où les "variables de champ" sont les Cijk(x), les Jijk(x) représentant les "courants" sources.
On n'est plus dans le seul contexte de la gravitation : £ est beaucoup plus conforme, en notations de Riemann, au "potentiel interne" (toujours du même Maxwell) en théorie de l'élasticité... Comme par hasard (mais il n'en est évidemment rien), on retrouve la constante de Planck h, parce que £ doit être (en dimension 3 ou 4) en J/m3 et que le "facteur de couplage" doit être "universel", en Jm... Résultat : les Jijk(x) sont en m-3 et représentent bien des densités spatiales...
Toutefois, les Rijkl(x) ne s'expriment pas vraiment comme les dérivées covariantes des Cijk(x). Or, on préfèrerait, d'un point de vue géométrique ET physique, déduire des équations COVARIANTES d'une densité de lagrangien de champ afin d'être conforme au principe de relativité généralisé. Je suggère donc plutôt un modèle de la forme :
(1) £ = ½ (h/c)[Wijkl(x)Wijkl(x) + 2Jijk(x)Cijk(x)]
avec, cette fois,
(2) Wijkl(x) = DiCjkl(x) - DjCikl(x)
Ce modèle-là EST "maxwellien", il s'applique A TOUT TYPE DE SOURCE, grâce à L'UNIVERSALITE de la RG... Les équations d'Euler-Lagrange vont mener au système d'EDPs du 2nd ordre en les Cijk(x) :
(3) DiWijkl(x) = Jjkl(x)
Et, désormais, on n'a plus de décalage. On peut même avoir de la "torsion" Sijk(x) = Cijk(x) - Cjik(x). Vous le voulez "quantique" ? Vous passez de D à 2D...
Pour ce qui est des "sources ponctuelles", j'ai proposé une méthode de régularisation des noyaux newtoniens en B 155, il y a déjà plus de 5 ans...
J'ai tenu à résoudre tous les obstacles techniques qui se sont dressés devant mes recherches.
Parce que je n'avais pas d'autre choix pour avancer !
S'ils sont criticables, tant mieux : c'est l'esprit même de la recherche. Mais, au moins, j'ai proposé du CONCRET. Je me suis pas contenté de dire "on ne peut pas résoudre, parce que...", sans même chercher à essayer... Ni à me contredire en disant que "c'est l'introduction de substance dans le cadre qui le courbe mais, dans le vide, il subsiste tout de même de la courbure sous forme ondulatoire"...
Pour résumer encore une fois : les Jijk(x) génèrent des Cijk(x) qui, à leur tour, donnent des gij(x) variables, lesquels conduisent, in fine, à des Xi(x). Mais alors, même si ces Xi(x) déplacent un point x du cadre en un point x', on a tout de même des CHAMPS :
(4) X : RD -> RD , x -> x' = X(x)
ce qui veut dire que les variables DE POSITION sont les Xi(x) et donc, que le RD de départ (qui est le même que celui d'arrivée) constitue LE SUPPORT de ces champs.
Voyez-vous où je veux en venir ?...
On reste dans un contexte où le support est (initialement) PLAN (c'est RD), mais où les champs agissant DANS ce support cadre sont des déplacements. Des champs dont l'unité physique est le mètre. Mais des champs SEPARéS DU CADRE.
Les variables ne sont pas les xi, mais les Xi(x). C'est pour ça que, même si le support est déformé, on peut ENCORE avoir des "ondes de champ" solutions de :
(5) DiWijkl(x) = 0
Sinon, deux corps distincts introduits dans l'espace-temps en deux endroits distincts ne pourraient s'échanger aucune information d'aucune sorte, gravitationnelle ou pas. Or, ils interagissent. Ce qui veut dire qu'ils se communiquent des informations sur leurs caractéristiques physiques via des ondes... des ondes DE DEPLACEMENT. A travers un espace-temps PLAN, mais qui se déforme au passage de ces ondes (!).
On trouve la même chose en physique des fluides : on n'a pas affaire aux variables spatiales xa (a = 1,2,3), mais à des CHAMPS de vitesses va(x,t) qui dérivent de CHAMPS de déplacements Xa(x,t). On confond facilement le cadre et ce type de champ, parce que tout se passe dans le cadre et qu'on n'a affaire qu'à des longueurs. Avec des unités physiques différentes, la distinction est immédiate. Mais les xi ne se confondent avec les Xi(x) qu'en des points DE STATIONNARITE.
C'est vicieux... Mais c'est toujours Minkowski qu'on déforme, au départ... "l'espace-temps VIDE"...
Du coup, dans la métrique de Schwarzschild, par exemple, c'est l'énergie g00(r) = 1 - rg/r du CHAMP des déformations qui s'annule en r = rg et l'impulsion g11(r) = -(1 - rg/r)-1 de ce champ qui diverge. Cela ne "troue" pas l'espace-temps de Minkowski pour autant... Ce n'est pas lui qui est concerné : chez lui, on se trouve en r = rg, c'est tout... Quand bien même serait-on en r = 0, il n'y aurait aucune singularité... Les comportements singuliers se trouvent au niveau du CHAMP, pas du SUPPORT. C'est parce qu'on ASSIMILE le support au champ qu'on trouve que l'espace-temps se comporte de manière "singulière" : mais ce n'est pas ce que dit (4) ! (4) dit qu'on a une fibration AU-DESSUS de l'espace-temps, qui "retombe dedans" parce que c'est un endomorphisme. C'est en r = rg que LE CHAMP de métriques de Schwarzschild n'est plus défini correctement et que sous cet "horizon des événements", pour 0 =< r < rg, la causalité est violée.
C'est le modèle de CHAMP qui déconne, pas le cadre... :)
Parce qu'on raisonne "ponctuel", comme toujours...
Vous faites couler de l'eau dans un évier, elle va "sortir de l'espace" ?... Vous allez me dire que c'est différent ? BIN, NON, C'EST EXACTEMENT LA MÊME CHOSE : C'EST L'ECOULEMENT DU FLUIDE DANS L'ESPACE QUI EST EN CAUSE, PAS L'ESPACE LUI-MÊME. Les singularités de type "sink" ou "cusp" concernent DES CHAMPS. Des mouvements, des trajectoires. Ce n'est pas l'Univers qui fait des caprices, ce sont les modèles qui sont en cause. Il y a des situations dans lequelles ils ne sont plus adaptés.
Moralité : si ces situations se multiplient, y a du souci à se faire pour le modèle...
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A PROPOS DE L'ALGORITHME CMN
Le 04/08/2025
Aucune fonction élémentaire n'a été omise dans l'algorithme de comptabilité multi-niveaux. Les fonctions trigonométriques "inverses" Arcsin, Arccos, Arctan et Arccotan ne reçoivent aucune formulation explicite dans R autre que leurs définitions, à savoir, sin[Arcsin(x)] = cos[Arccos(x)] = x à 2pi près et tan[Arctan(x)] = cotan[Arccotan(x)] = x à pi près. Tout le reste porte sur leurs propriétés. C'est la différence avec leurs homologues hyperboliques, dont les inverses peuvent être déduits de la réciprocité entre exp(.) et Ln(.). Pour obtenir des formules explicites de Arcsin, Arccos, Arctan et Arccotan, il faut faire appel aux développements en séries de puissances de l'argument. Par ailleurs, la distinction entre "trigonométrie hyperbolique" et "trigonométrie elliptique" est propre à la dimension 1. Dès D = 2, les oscillations sont omniprésentes et se mélangent avec la monotonie de ch(.), sh(.), th(.), coth(.) et leurs inverses. Il n'est plus possible d'établir ce qui relèverait encore de "l'elliptique" et ce qui resterait "hyperbolique" car toute monotonie disparaît.
La procédure la plus longue est celle de l'élévation d'un réel à D composantes à la puissance d'un autre. A partir de D = 3, il s'avère en effet difficile d'établir les règles de multiplication en représentation cartésienne. C'est ce qui explique qu'elles aussi soient "absentes" de l'algorithme. Là encore, c'est tout sauf une omission : une quadrature de phase "avant" (+pi/2) ou "arrière" (-pi/2) transforme les cosinus en sinus et les sinus en cosinus, aux signes près, une conséquence des propriétés de stabilité des unités. Ceci a pour effet immédiat de "changer la représentation" [CMN, (1)] lors du passage des coordonnées polaires aux cartésiennes. L'explication de cet apparent "dilemme" réside dans le fait que la quadrature de phase, qui est un effet de l'action d'une unité de RD sur l'un de ses réels n'est autre qu'une dérivation ou une intégration de ce réel vis-à-vis de sa phase correspondante. Il ne faut pas perdre de vue, en effet, que les relations [CMN, (1)] comme [CMN, (2)] sont fonctionnelles : les xi, 1 =< i =< D, sont des fonctions Xi(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) linéaires en la variable |x|D, mais trigonométriques sphériques en les (ksi1,...,ksiD-1) ; réciproquement, |x|D et les ksii, 1 =< i =< D - 1, sont des fonctions des (x1,...,xD). Aucune d'entre elles n'est plus linéaire : |x|D est la moyenne quadratique des xi, 1 =< i =< D ; les ksiD-k sont des arc-tangentes. Les variations des Xi par rapport aux ksik n'ont donc rien de "trivial". Bien au contraire, on s'aperçoit qu'aux limites dksii -> 0 , si l'action (à gauche) de 11 est sans effet, en revanche :
(1a) ksiD-i+1 -> ksiD-i+1 + pi/2 => x -> 1i ×D x = dx/dksiD-i+1 (2 =< i =< D) ;
impliquant,
(1b) [(×D)j=1k 1i(j)] ×D x = dkx/dksiD-i(1)+1...dksiD-i(k)+1
(1 =< k =< D - 2) , [2 =< i(1) < i(2) <...< i(k) =< D] ;
puis,
(1c) [(×D)j=1D-1 1i(j)] ×D x = dD-1x/dksi1...dksiD-1.
Inversement, des quadratures arrière renvoient à des primitives en déterminations principales :
(2a) ksiD-i+1 -> ksiD-i+1 - pi/2 => x -> 1i* ×D x = S xdksiD-i+1 (2 =< i =< D) ;
(2b) [(×D)j=1k 1i(j)*] ×D x = S...S xdksiD-i(1)+1...dksiD-i(k)+1
(1 =< k =< D - 2) , [2 =< i(1) < i(2) <...< i(k) =< D] ;
(2c) [(×D)j=1D-1 1i(j)*] ×D x = S...S xdksi1...dksiD-1.
Voilà d'où provient l'apparent "changement de représentation cartésienne" : de l'équivalence entre transformations fonctionnelles d/dksiD-i+1 et S (.)dksiD-i+1 et transformations algébriques 1i ×D et 1i* ×D :
(3) d/dksiD-i+1 = 1i ×D , S (.)dksiD-i+1 = 1i* ×D ,
pour une même variable x = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1).
L'usage de ces correspondances, évidemment réciproques les unes des autres, reste cependant tout théorique, parce qu'elles ne précisent pas explicitement la variable sur laquelle elles agissent. Elles ont un caractère "universel" : pour une autre variable f = (|f|D,phi1,...,phiD-1),
1i ×D f = df/dphiD-i+1 , 1i* ×D f = S fdphiD-i+1.
Ce sont les mêmes unités algébriques qui agissent sur (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) et sur f = (|f|D,phi1,...,phiD-1), car elles ont pour effet d'ajouter +/- pi/2 radians à la (D - i + 1)-ième phase. Leur utilisation pratique reste donc ambigüe.
En clair, en dépit de leur esthétique, elles sont inutilisables en l'état... il faudrait préciser à chaque fois sur quelles phases elles interviennent et, quand bien même, cela ne facilite pas les calculs pour autant : on a toujours les mêmes difficultés à exprimer le produit de ne serait-ce que 2 variables x et y en représentation cartésienne... C'est faisable en dimension 2 mais, à partir de D = 3, ça devient très compliqué, même en recourant à la convention de sommation d'Einstein pour rendre les formules plus lisibles. Là n'est pas la question : où se situe l'utilité de la représentation cartésienne, qui engendre des distorsions de phases {formules de linéarisation [CMN, (21)]} par projections sur les axes directionnels ? En plus de fournir des expressions algébriques interminables ?... et récursives ?... Autant rester en polaire...
L'algorithme CMN est bien "complet" au sens où il regroupe toutes les opérations algébriques qui peuvent être faites à D niveaux distincts qui ne nécessitent pas le recours aux séries. Les autres ne relèvent pas de la comptabilité à proprement parler, mais de l'analyse budgétaire.
Comme je crois l'avoir déjà souligné, je conçois des algorithmes mathématiques. Les programmeurs informatiques n'auront pas manqué de reconnaître dans CMN quelques références lexicographiques à des langages comme Pascal, Fortran ou autres. A eux de concevoir les logiciels correspondants. Les droits sont ainsi partagés, équitablement, il me semble : me reviennent les droits d'auteur, inaliénables, tandis que les droits d'exploitation sont à l'éditeur des logiciels. C'est lui leur propriétaire. Moi, je ne suis propriétaire que des algorithmes de calculs. Donc :
PENSEZ A ACQUERIR LES DROITS D'EXPLOITATION.
Ce n'est pas seulement une question "mercantile", c'est avant tout une affaire de protection juridique. Ces algorithmes ne sont pas d'accès libre. Et, s'ils finissent par tomber dans le domaine public, c'est la concurrence ouverte, sans plus aucune possibilité de faire valoir son "antériorité d'utilisation" sur cette concurrence : l'IMPI ne couvrira pas.
Des "économies de bouts de chandelle" qui coûteront bien plus cher par la suite... alors que des droits d'exclusivité vous ouvrent la perspective de les faire valoir dans le monde entier (convention de Berne).
Je le dis pour mes acquéreurs parce qu'en ce qui me concerne, je suis d'ors et déjà légalement couvert par les dates de publication... Ceux qui s'amuseraient à du "copier-coller" postdaté prendraient leurs responsabilités... C'est très facile à vérifier, surtout en ligne : il suffit de regarder les métadonnées...
Il n'y a pas de bonnes affaires sans l'établissement préalable d'un climat de confiance entre le concepteur et ses utilisateurs potentiels. Il faut donc qu'il se préoccupe autant de ses intérêts que de ceux de sa clientèle : si le client n'a aucun intérêt à en tirer ou ne bénéficie d'aucune protection légale, l'acquisition ne sera pas envisageable. Et c'est la concepteur qui en sera le premier perdant, puisqu'il aura travaillé pour rien. Donc, on laisse son nombril de côté et on garde à l'esprit qu'on n'est pas seul au monde. On fournit des produits INNOVANTS, EXPLOITABLES, AUSSI AISéS D'UTILISATION QUE POSSIBLE, A DES TARIFS RAISONNABLES, AVEC COUVERTURE LEGALE.
Je ne sais pas si c'est "la mode actuelle", mais c'est comme ça que je conçois les affaires. Ce que font les autres ne me concerne pas.
La procédure la plus longue est celle de l'élévation d'un réel à D composantes à la puissance d'un autre. A partir de D = 3, il s'avère en effet difficile d'établir les règles de multiplication en représentation cartésienne. C'est ce qui explique qu'elles aussi soient "absentes" de l'algorithme. Là encore, c'est tout sauf une omission : une quadrature de phase "avant" (+pi/2) ou "arrière" (-pi/2) transforme les cosinus en sinus et les sinus en cosinus, aux signes près, une conséquence des propriétés de stabilité des unités. Ceci a pour effet immédiat de "changer la représentation" [CMN, (1)] lors du passage des coordonnées polaires aux cartésiennes. L'explication de cet apparent "dilemme" réside dans le fait que la quadrature de phase, qui est un effet de l'action d'une unité de RD sur l'un de ses réels n'est autre qu'une dérivation ou une intégration de ce réel vis-à-vis de sa phase correspondante. Il ne faut pas perdre de vue, en effet, que les relations [CMN, (1)] comme [CMN, (2)] sont fonctionnelles : les xi, 1 =< i =< D, sont des fonctions Xi(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) linéaires en la variable |x|D, mais trigonométriques sphériques en les (ksi1,...,ksiD-1) ; réciproquement, |x|D et les ksii, 1 =< i =< D - 1, sont des fonctions des (x1,...,xD). Aucune d'entre elles n'est plus linéaire : |x|D est la moyenne quadratique des xi, 1 =< i =< D ; les ksiD-k sont des arc-tangentes. Les variations des Xi par rapport aux ksik n'ont donc rien de "trivial". Bien au contraire, on s'aperçoit qu'aux limites dksii -> 0 , si l'action (à gauche) de 11 est sans effet, en revanche :
(1a) ksiD-i+1 -> ksiD-i+1 + pi/2 => x -> 1i ×D x = dx/dksiD-i+1 (2 =< i =< D) ;
impliquant,
(1b) [(×D)j=1k 1i(j)] ×D x = dkx/dksiD-i(1)+1...dksiD-i(k)+1
(1 =< k =< D - 2) , [2 =< i(1) < i(2) <...< i(k) =< D] ;
puis,
(1c) [(×D)j=1D-1 1i(j)] ×D x = dD-1x/dksi1...dksiD-1.
Inversement, des quadratures arrière renvoient à des primitives en déterminations principales :
(2a) ksiD-i+1 -> ksiD-i+1 - pi/2 => x -> 1i* ×D x = S xdksiD-i+1 (2 =< i =< D) ;
(2b) [(×D)j=1k 1i(j)*] ×D x = S...S xdksiD-i(1)+1...dksiD-i(k)+1
(1 =< k =< D - 2) , [2 =< i(1) < i(2) <...< i(k) =< D] ;
(2c) [(×D)j=1D-1 1i(j)*] ×D x = S...S xdksi1...dksiD-1.
Voilà d'où provient l'apparent "changement de représentation cartésienne" : de l'équivalence entre transformations fonctionnelles d/dksiD-i+1 et S (.)dksiD-i+1 et transformations algébriques 1i ×D et 1i* ×D :
(3) d/dksiD-i+1 = 1i ×D , S (.)dksiD-i+1 = 1i* ×D ,
pour une même variable x = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1).
L'usage de ces correspondances, évidemment réciproques les unes des autres, reste cependant tout théorique, parce qu'elles ne précisent pas explicitement la variable sur laquelle elles agissent. Elles ont un caractère "universel" : pour une autre variable f = (|f|D,phi1,...,phiD-1),
1i ×D f = df/dphiD-i+1 , 1i* ×D f = S fdphiD-i+1.
Ce sont les mêmes unités algébriques qui agissent sur (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) et sur f = (|f|D,phi1,...,phiD-1), car elles ont pour effet d'ajouter +/- pi/2 radians à la (D - i + 1)-ième phase. Leur utilisation pratique reste donc ambigüe.
En clair, en dépit de leur esthétique, elles sont inutilisables en l'état... il faudrait préciser à chaque fois sur quelles phases elles interviennent et, quand bien même, cela ne facilite pas les calculs pour autant : on a toujours les mêmes difficultés à exprimer le produit de ne serait-ce que 2 variables x et y en représentation cartésienne... C'est faisable en dimension 2 mais, à partir de D = 3, ça devient très compliqué, même en recourant à la convention de sommation d'Einstein pour rendre les formules plus lisibles. Là n'est pas la question : où se situe l'utilité de la représentation cartésienne, qui engendre des distorsions de phases {formules de linéarisation [CMN, (21)]} par projections sur les axes directionnels ? En plus de fournir des expressions algébriques interminables ?... et récursives ?... Autant rester en polaire...
L'algorithme CMN est bien "complet" au sens où il regroupe toutes les opérations algébriques qui peuvent être faites à D niveaux distincts qui ne nécessitent pas le recours aux séries. Les autres ne relèvent pas de la comptabilité à proprement parler, mais de l'analyse budgétaire.
Comme je crois l'avoir déjà souligné, je conçois des algorithmes mathématiques. Les programmeurs informatiques n'auront pas manqué de reconnaître dans CMN quelques références lexicographiques à des langages comme Pascal, Fortran ou autres. A eux de concevoir les logiciels correspondants. Les droits sont ainsi partagés, équitablement, il me semble : me reviennent les droits d'auteur, inaliénables, tandis que les droits d'exploitation sont à l'éditeur des logiciels. C'est lui leur propriétaire. Moi, je ne suis propriétaire que des algorithmes de calculs. Donc :
PENSEZ A ACQUERIR LES DROITS D'EXPLOITATION.
Ce n'est pas seulement une question "mercantile", c'est avant tout une affaire de protection juridique. Ces algorithmes ne sont pas d'accès libre. Et, s'ils finissent par tomber dans le domaine public, c'est la concurrence ouverte, sans plus aucune possibilité de faire valoir son "antériorité d'utilisation" sur cette concurrence : l'IMPI ne couvrira pas.
Des "économies de bouts de chandelle" qui coûteront bien plus cher par la suite... alors que des droits d'exclusivité vous ouvrent la perspective de les faire valoir dans le monde entier (convention de Berne).
Je le dis pour mes acquéreurs parce qu'en ce qui me concerne, je suis d'ors et déjà légalement couvert par les dates de publication... Ceux qui s'amuseraient à du "copier-coller" postdaté prendraient leurs responsabilités... C'est très facile à vérifier, surtout en ligne : il suffit de regarder les métadonnées...
Il n'y a pas de bonnes affaires sans l'établissement préalable d'un climat de confiance entre le concepteur et ses utilisateurs potentiels. Il faut donc qu'il se préoccupe autant de ses intérêts que de ceux de sa clientèle : si le client n'a aucun intérêt à en tirer ou ne bénéficie d'aucune protection légale, l'acquisition ne sera pas envisageable. Et c'est la concepteur qui en sera le premier perdant, puisqu'il aura travaillé pour rien. Donc, on laisse son nombril de côté et on garde à l'esprit qu'on n'est pas seul au monde. On fournit des produits INNOVANTS, EXPLOITABLES, AUSSI AISéS D'UTILISATION QUE POSSIBLE, A DES TARIFS RAISONNABLES, AVEC COUVERTURE LEGALE.
Je ne sais pas si c'est "la mode actuelle", mais c'est comme ça que je conçois les affaires. Ce que font les autres ne me concerne pas.
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COMPTABILITE MULTI-NIVEAUX
Le 30/07/2025
Voici un algorithme de calcul comptable dans un environnement à D niveaux, avec D dans N*.
Sauf mention explicite contraire, toutes les grandeurs utilisées seront sans unité.
Pour un x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) dans un RD,
{Représentation polaire -> cartésienne :}
(1a) ci = cos(ksii) , si = sin(ksii) (1 =< i =< D - 1) ;
(1b) x1 = |x|DPi=1D-1 ci ;
(1c) xk = |x|D(Pi=1D-k ci)sD-k+1 (2 =< k =< D - 1) ;
(1d) xD = |x|Ds1.
{Représentation cartésienne -> polaire :}
(2a) |x|D = [Si=1D (xi)²]1/2 ;
(2b) ksiD-k = Arctan{xk+1/[Si=1k (xi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Conjugaisons :}
(3a) x*i = (|x|D,ksi1,...,ksii-1,-ksii,ksii+1,...,ksiD-1)
= (x1,x2,...,xD-i,-xD-i+1,xD-i+2,...,xD)
(1 =< i =< D - 1) ;
(3b) (x*i)*j = (x*j)*i = (|x|D,ksi1,...,ksii-1,-ksii,ksii+1,...,ksij-1,-ksij,ksij+1,...,ksiD-1)
= (x1,x2,...,xD-j,-xD-j+1,xD-j+2,...,xD-i,-xD-i+1,xD-i+2,...,xD)
(1 =< i < j =< D - 1) ;
(3c) x* = (x*1)*2...*D-1 = (|x|D,-ksi1,...,-ksiD-1) = (x1,-x2,...,-xD).
{Unités :}
(4a) 11 = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = (1,0,...,0) ;
(4b) 1k = (x1,...,xk-1,xk,xk+1,...,xD) = (0,...,0,1,0,...,0)
= (1,ksi1,...,ksiD-k,ksiD-k+1,ksiD-k+2,...,ksiD-1) = (1,0,...,0,pi/2,0,...,0)
(2 =< k =< D - 1) ;
(4c) 1D = (0,...,0,1) = (1,pi/2,0,...,0) ;
Pour N xn = (xn1,...,xnD) dans un RD, avec N dans N*,
{Sommes, représentations cartésiennes :}
(5a) sN = Sn=1N xn = (Sn=1N xn1 ,..., Sn=1N xnD) = (sN1,...,sND) ;
(5b) sN*i = (Sn=1N xn)*i = Sn=1N xn*i (1 =< i =< D - 1).
{Produits, représentations polaires :}
(6a) pN = x1 ×D x2 ×D ... ×D xN = (×D)n=1N xn
= (Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) ;
(6b) x×DN = [(|xn|D)N , Nksi1 ,..., NksiD-1] ;
(6c) pN*i = [(×D)n=1N xn]*i = (×D)n=1N xn*i (1 =< i =< D - 1).
{Sommes, représentations polaires :}
(7a) sN = (|sN|D,sig1,...,sigD-1) ;
(7b) sN ×D sN* = [(|sN|D)2,0,...,0] ;
(7c) |sN|D = {Sn=1N |xn|² + 2Sn=1N-1Sp=n+1N |xn||xp|[Pi=1D cos(ksini - ksipi)]}1/2 ;
(7d) sigND-k = Arctan{sNk+1/[Si=1k (sNi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Stabilités des unités :}
(8a) (11)×D2 = 11 ;
(8b) (1k)×D2 = (1,0,...,0,pi,0,...,0) = (-1,0,...,0) , (1k)×D3 = (1k)* ;
(1k)×D4 = 11 , (1k)×D5 = 1k (2 =< k =< D).
{Mêmes propriétés que les hypercomplexes, sans l'ambiguïté des relations algébriques i2² =...= iD² = -1 et sans perte de commutativité.}
{Inverses et quotients :}
(9a) x×D(-1) = 11/x = (11 ×D x*)/(|x|D)² = x*/(|x|D)²
= (1/|x|D,-ksi1,...,-ksiD-1) = [x1/(|x|D)² , -x2/(|x|D)² ,..., -xD/(|x|D)²] ;
(9b) x×D(-N) = [x×D(-1)]×DN = [x×DN]×D(-1) = [1/(|xn|D)N , -Nksi1 ,..., -NksiD-1] ;
(9c) xn/xn+p = xn ×D xn+p×D(-1) = (|xn|D/|xn+p|D , ksin1 - ksin+p1 ,...,ksinD-1 - ksin+pD-1) ;
xn+p/xn = (xn/xn+p)×D(-1) = (|xn+p|D/|xn|D , ksin+p1 - ksin1 ,...,ksin+pD-1 - ksinD-1) ;
(1 =< n =< N , 1 =< p =< N - n).
Pour un x = (x1,...,xD) dans un RD,
{Exponentiation :}
(10a) exp(x) = (ex1,x2,...,xD) = [e1(x1,...,xD),...,eD(x1,...,xD)] ;
(10b) e1(x1,...,xD) = ex1Pi=2D cos(xi) ;
(10c) ek(x1,...,xD) = ex1[Pi=2D-k+1 cos(xi)]sin(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(10d) eD(x1,...,xD) = ex1sin(x2) ;
(10e) exp(x*i) = [exp(x)]*i ;
(10f) exp(-x) = (e-x1,-x2,...,-xD) = [exp(x)]×D(-1).
Pour un x = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) dans un RD,
{Logarithmisation :}
(11a) Ln(x) = (Ln|x|D,ksi1,...,ksiD-1)
= [|Ln|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),L1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),...,LD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1)] ;
(11b) |Ln|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = [(Ln|x|D)² + Si=1D-1 (ksii)²]1/2 ;
(11c) LD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = Arctan(ksi1/|Ln|x|D|) (mod pi) ;
(11d) LD-k(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = Arctan{ksik/[(Ln|x|D)² + Si=1k-1 (ksii)²]1/2} (mod pi)
(2 =< k =< D - 1).
Pour un x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) et un y = (y1,...,yD) = (|y|D,ups1,...,upsD-1) dans un RD,
{Elevation à la puissance et logarithmisation :}
(12a) (Ln|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = (|ksi|D,alp1,...,alpD-1) ;
(12b) |ksi|D = [(Ln|x|D)² + Si=1D-1 (ksii)²]1/2 ;
(12c) alpD-k = Arctan{ksik+1/[Si=1k (ksii)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1) ;
(12d) (|ksi|D,alp1,...,alpD-1) ×D (|y|D,ups1,...,upsD-1) =
= (|y|D|ksi|D , ups1 + alp1 ,..., upsD-1 + alpD-1) = (z1,...,zD) = z ;
(12e) z1 = |y|D|ksi|DPi=1D-1 cos(upsi + alpi) ;
(12f) zk = |y|D|ksi|D[Pi=1D-k cos(upsi + alpi)]sin(upsD-k+1 + alpD-k+1) (2 =< k =< D) ;
(12g) x×Dy = exp(z) = (ez1,z2,...,zD) = [e1(z1,...,zD),...,eD(z1,...,zD)] ;
(12h) e1(z1,...,zD) = ez1Pi=1D-1 cos(zi+1) ;
(12i) ek(z1,...,zD) = ez1[Pi=1D-k cos(zi+1)]sin(zD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(12j) eD(z1,...,zD) = ez1sin(z2).
(13) Ln(x×Dy) = y ×D Ln(x) = [|y|D|Ln|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) , ups1 + L1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),
,..., upsD-1 + LD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1)]
{Calculs directs : plus rapides et bien moins coûteux en mémoire que des appels de procédures avec substitution de variables à variables fonctionnelles}
Pour N xn = (xn1,...,xnD) dans un RD, avec N dans N*,
{Exponentiation d'une somme :}
(14a) exp(sN) = (×D)n=1N exp(xn) = (×D)n=1N (exn1,xn2,...xnD)
= (esN1,sN2,...,sND) = [e1(sN1,...,sND),...,eD(sN1,...,sND)] ;
(14b) e1(sN1,...,sND) = esN1Pi=2D cos(sNi) ;
(14c) ek(sN1,...,sND) = esN1[Pi=2D-k+1 cos(sNi)]sin(sND-k+2) (2 =< k =< D).
{Logarithmisation d'un produit :}
(15a) Ln(pN) = Sn=1N Ln(xn) = Sn=1N (Ln|xn|D,ksin1,...,ksinD-1)
= (Sn=1N Ln|xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) ;
(15b) |Ln|D(Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) =
= (Sn=1N Ln|xn|D)² + Si=1D-1 (Sn=1N ksini)²
= Sn=1N |Ln|(|xn|D,ksin1,...,ksinD-1) +
+ 2Sn=1N-1Sp=n+1N (Ln|xn|DLn|xp|D + Si=1D-1 ksiniksipi) ;
(15c) LD-1(Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) =
= Arctan[(Sn=1N ksin1)/(Sn=1N Ln|xn|D)] (mod pi) ;
(15d) LD-k(Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) =
= Arctan{(Sn=1N ksink)/[(Sn=1N Ln|xn|D)² + Si=1k-1 (Sn=1N ksini)²]1/2} (mod pi)
(2 =< k =< D - 1).
{Exponentielle paire :}
(16a) ch(x) = (|exp(x)|² + 11) ×D exp(x)/2|exp(x)|² = [ch(x1),x2,...,xD]
(16b) ch(x*) = ch(-x) ;
(16c) ch1(x1,...,xD) = ch(x1)Pi=2D cos(xi) ;
(16d) chk(x1,...,xD) = ch(x1)[Pi=2D-k+1 cos(xi)]sin(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(16e) chD(x1,...,xD) = ch(x1)sin(x2) ;
(16f) Si=1D [11chi(x1,...,xD)]² = ch²(x1)11 => Si=1D [chi(x1,...,xD)]² = ch²(x1).
{Exponentielle impaire :}
(17a) sh(x) = (|exp(x)|² - 11) ×D exp(x)/2|exp(x)|² = [sh(x1),x2,...,xD]
(17b) sh(x*) = -sh(-x) ;
(17c) sh1(x1,...,xD) = sh(x1)Pi=2D cos(xi) ;
(17d) shk(x1,...,xD) = sh(x1)[Pi=2D-k+1 cos(xi)]sin(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(17e) shD(x1,...,xD) = sh(x1)sin(x2) ;
(17f) Si=1D [11shi(x1,...,xD)]² = sh²(x1)11 => Si=1D [shi(x1,...,xD)]² = sh²(x1).
{Cosinus :}
(18a) cos1(x1,...,xD) = cos(x1)Pi=2D ch(xi) ;
(18b) cosk(x1,...,xD) = cos(x1)[Pi=2D-k+1 ch(xi)]sh(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(18c) cosD(x1,...,xD) = cos(x1)sh(x2) ;
(18d) Si=1D [1icosi(x1,...,xD)]² = cos²(x1)11 ;
(18e) KHID-k = Arctan{cosk+1/[Si=1k (1icosi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Sinus :}
(19a) sin1(x1,...,xD) = sin(x1)Pi=2D ch(xi) ;
(19b) sink(x1,...,xD) = sin(x1)[Pi=2D-k+1 ch(xi)]sh(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(19c) sinD(x1,...,xD) = sin(x1)sh(x2) ;
(19d) Si=1D [1isini(x1,...,xD)]² = sin²(x1)11 ;
(19e) SIGD-k = Arctan{sink+1/[Si=1k (1isini)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Les appellations "hyperboliques" et "elliptiques" ne valent que pour D = 1. D'ailleurs, cosinus n'est plus paire ni sinus impaire dès que D >= 2.}
Pour N angles an dans [0,2pi[ et booléens An dans {0,1},
(20a) aA2...AN = a1 + Sn=2N (1 - 2An)an ;
(20b) an = [SA2=01...SAN=01 (1 - 2An)aA2...AN]/2N-1 (2 =< n =< N) ;
(20c) sin(an) = cos(an - ipi/2) ;
(20d) Pn=1N cos(an) = SA2=01...SAN=01 cos(aA2...AN) ;
(20e) Pn=1N tan(an) = [SA2=01...SAN=01 sin(aA2...AN)]/[SA2=01...SAN=01 cos(aA2...AN)].
Pour toute f = (f1,...,fD) = (|f|,phi1,...,phiD-1) : RD -> RD, x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) -> y = f(x) = (y1,...,yD) = (|y|D,ups1,...,upsD-1),
{Linéarisation des produits de cosinus, sinus et tangentes}
(21a) yi = fi(x1,...,xD) = fi(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) (1 =< i =< D) ;
(21b) |y|D = |f|D(x1,...,xD) = |f|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) ;
(21c) upsi = phii(x1,...,xD) = phii(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) (1 =< i =< D - 1) ;
(21d) y1/|y|D = Pi=1D-1 cos(upsi) ;
(21e) yk/|y|D = [Pi=1D-k cos(upsi)]sin(upsD-k+1) (2 =< k =< D - 1) ;
(21f) yD/|y|D = sin(ups1) ;
(21g) n -> i , N -> k , an -> upsD-i , aA2...AN -> aA2...Ak = a1 + Si=2k (1 - 2Ai)upsD-i
dans (20a) ;
(21h) y2/y1 = tan(upsD-1) = tan(a1) ;
(21i) yk+1/y1 = Pi=1k tan(upsD-i) =
= [SA2=01...SAk=01 sin(aA2...Ak)]/[SA2=01...SAk=01 cos(aA2...Ak)]
(2 =< k =< D - 2) ;
(21j) a1 = upsD-1 = Arctan(y2/y1) ;
(21k) aA2...Ak = Arctan(yk+1/y1) = upsD-1 + Si=2k (1 - 2Ai)upsD-i (2 =< k =< D - 2) ;
(21l) ai = upsD-i = [SA2=01...SAk=01 (1 - 2Ai)Arctan(yk+1/y1)]/2k-1 (2 =< i =< k) ;
(21m) aD-1 = ups1 = Arcsin(yD/|y|D) ;
{Réciproque de (16) :}
(22a) Argch(x) = [Argch1(x),...,ArgchD(x)]
(22b) Argch1(x) = Ln[|x| +/- (|x|² - 1)1/2] ;
(22c) ArgchD-k(x) = Arctan{xk+1/[Si=1k (xi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 2).
{Réciproque de (17) :}
(23a) Argsh(x) = [Argsh1(x),...,ArgshD(x)]
(23b) Argsh1(x) = Ln[|x| + (|x|² + 1)1/2] ;
(23c) ArgshD-k(x) = Arctan{xk+1/[Si=1k (xi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 2).
{Curiosité :}
(24a) th(x) = ch(x)/sh(x) = [th(x1),0,...0] = th(x1)11 ;
(24b) Argth(x) = x111.
{Tangente :}
(25a) tan(x) = sin(x)/cos(x) = [tan(x1),SIG1 - KHI1,...,SIGD-1 - KHID-1]
© Philippe VIOLA, 02/08/2025. Tous droits réservés pour tous pays.
Sauf mention explicite contraire, toutes les grandeurs utilisées seront sans unité.
Pour un x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) dans un RD,
{Représentation polaire -> cartésienne :}
(1a) ci = cos(ksii) , si = sin(ksii) (1 =< i =< D - 1) ;
(1b) x1 = |x|DPi=1D-1 ci ;
(1c) xk = |x|D(Pi=1D-k ci)sD-k+1 (2 =< k =< D - 1) ;
(1d) xD = |x|Ds1.
{Représentation cartésienne -> polaire :}
(2a) |x|D = [Si=1D (xi)²]1/2 ;
(2b) ksiD-k = Arctan{xk+1/[Si=1k (xi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Conjugaisons :}
(3a) x*i = (|x|D,ksi1,...,ksii-1,-ksii,ksii+1,...,ksiD-1)
= (x1,x2,...,xD-i,-xD-i+1,xD-i+2,...,xD)
(1 =< i =< D - 1) ;
(3b) (x*i)*j = (x*j)*i = (|x|D,ksi1,...,ksii-1,-ksii,ksii+1,...,ksij-1,-ksij,ksij+1,...,ksiD-1)
= (x1,x2,...,xD-j,-xD-j+1,xD-j+2,...,xD-i,-xD-i+1,xD-i+2,...,xD)
(1 =< i < j =< D - 1) ;
(3c) x* = (x*1)*2...*D-1 = (|x|D,-ksi1,...,-ksiD-1) = (x1,-x2,...,-xD).
{Unités :}
(4a) 11 = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = (1,0,...,0) ;
(4b) 1k = (x1,...,xk-1,xk,xk+1,...,xD) = (0,...,0,1,0,...,0)
= (1,ksi1,...,ksiD-k,ksiD-k+1,ksiD-k+2,...,ksiD-1) = (1,0,...,0,pi/2,0,...,0)
(2 =< k =< D - 1) ;
(4c) 1D = (0,...,0,1) = (1,pi/2,0,...,0) ;
Pour N xn = (xn1,...,xnD) dans un RD, avec N dans N*,
{Sommes, représentations cartésiennes :}
(5a) sN = Sn=1N xn = (Sn=1N xn1 ,..., Sn=1N xnD) = (sN1,...,sND) ;
(5b) sN*i = (Sn=1N xn)*i = Sn=1N xn*i (1 =< i =< D - 1).
{Produits, représentations polaires :}
(6a) pN = x1 ×D x2 ×D ... ×D xN = (×D)n=1N xn
= (Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) ;
(6b) x×DN = [(|xn|D)N , Nksi1 ,..., NksiD-1] ;
(6c) pN*i = [(×D)n=1N xn]*i = (×D)n=1N xn*i (1 =< i =< D - 1).
{Sommes, représentations polaires :}
(7a) sN = (|sN|D,sig1,...,sigD-1) ;
(7b) sN ×D sN* = [(|sN|D)2,0,...,0] ;
(7c) |sN|D = {Sn=1N |xn|² + 2Sn=1N-1Sp=n+1N |xn||xp|[Pi=1D cos(ksini - ksipi)]}1/2 ;
(7d) sigND-k = Arctan{sNk+1/[Si=1k (sNi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Stabilités des unités :}
(8a) (11)×D2 = 11 ;
(8b) (1k)×D2 = (1,0,...,0,pi,0,...,0) = (-1,0,...,0) , (1k)×D3 = (1k)* ;
(1k)×D4 = 11 , (1k)×D5 = 1k (2 =< k =< D).
{Mêmes propriétés que les hypercomplexes, sans l'ambiguïté des relations algébriques i2² =...= iD² = -1 et sans perte de commutativité.}
{Inverses et quotients :}
(9a) x×D(-1) = 11/x = (11 ×D x*)/(|x|D)² = x*/(|x|D)²
= (1/|x|D,-ksi1,...,-ksiD-1) = [x1/(|x|D)² , -x2/(|x|D)² ,..., -xD/(|x|D)²] ;
(9b) x×D(-N) = [x×D(-1)]×DN = [x×DN]×D(-1) = [1/(|xn|D)N , -Nksi1 ,..., -NksiD-1] ;
(9c) xn/xn+p = xn ×D xn+p×D(-1) = (|xn|D/|xn+p|D , ksin1 - ksin+p1 ,...,ksinD-1 - ksin+pD-1) ;
xn+p/xn = (xn/xn+p)×D(-1) = (|xn+p|D/|xn|D , ksin+p1 - ksin1 ,...,ksin+pD-1 - ksinD-1) ;
(1 =< n =< N , 1 =< p =< N - n).
Pour un x = (x1,...,xD) dans un RD,
{Exponentiation :}
(10a) exp(x) = (ex1,x2,...,xD) = [e1(x1,...,xD),...,eD(x1,...,xD)] ;
(10b) e1(x1,...,xD) = ex1Pi=2D cos(xi) ;
(10c) ek(x1,...,xD) = ex1[Pi=2D-k+1 cos(xi)]sin(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(10d) eD(x1,...,xD) = ex1sin(x2) ;
(10e) exp(x*i) = [exp(x)]*i ;
(10f) exp(-x) = (e-x1,-x2,...,-xD) = [exp(x)]×D(-1).
Pour un x = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) dans un RD,
{Logarithmisation :}
(11a) Ln(x) = (Ln|x|D,ksi1,...,ksiD-1)
= [|Ln|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),L1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),...,LD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1)] ;
(11b) |Ln|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = [(Ln|x|D)² + Si=1D-1 (ksii)²]1/2 ;
(11c) LD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = Arctan(ksi1/|Ln|x|D|) (mod pi) ;
(11d) LD-k(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = Arctan{ksik/[(Ln|x|D)² + Si=1k-1 (ksii)²]1/2} (mod pi)
(2 =< k =< D - 1).
Pour un x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) et un y = (y1,...,yD) = (|y|D,ups1,...,upsD-1) dans un RD,
{Elevation à la puissance et logarithmisation :}
(12a) (Ln|x|D,ksi1,...,ksiD-1) = (|ksi|D,alp1,...,alpD-1) ;
(12b) |ksi|D = [(Ln|x|D)² + Si=1D-1 (ksii)²]1/2 ;
(12c) alpD-k = Arctan{ksik+1/[Si=1k (ksii)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1) ;
(12d) (|ksi|D,alp1,...,alpD-1) ×D (|y|D,ups1,...,upsD-1) =
= (|y|D|ksi|D , ups1 + alp1 ,..., upsD-1 + alpD-1) = (z1,...,zD) = z ;
(12e) z1 = |y|D|ksi|DPi=1D-1 cos(upsi + alpi) ;
(12f) zk = |y|D|ksi|D[Pi=1D-k cos(upsi + alpi)]sin(upsD-k+1 + alpD-k+1) (2 =< k =< D) ;
(12g) x×Dy = exp(z) = (ez1,z2,...,zD) = [e1(z1,...,zD),...,eD(z1,...,zD)] ;
(12h) e1(z1,...,zD) = ez1Pi=1D-1 cos(zi+1) ;
(12i) ek(z1,...,zD) = ez1[Pi=1D-k cos(zi+1)]sin(zD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(12j) eD(z1,...,zD) = ez1sin(z2).
(13) Ln(x×Dy) = y ×D Ln(x) = [|y|D|Ln|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) , ups1 + L1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),
,..., upsD-1 + LD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1)]
{Calculs directs : plus rapides et bien moins coûteux en mémoire que des appels de procédures avec substitution de variables à variables fonctionnelles}
Pour N xn = (xn1,...,xnD) dans un RD, avec N dans N*,
{Exponentiation d'une somme :}
(14a) exp(sN) = (×D)n=1N exp(xn) = (×D)n=1N (exn1,xn2,...xnD)
= (esN1,sN2,...,sND) = [e1(sN1,...,sND),...,eD(sN1,...,sND)] ;
(14b) e1(sN1,...,sND) = esN1Pi=2D cos(sNi) ;
(14c) ek(sN1,...,sND) = esN1[Pi=2D-k+1 cos(sNi)]sin(sND-k+2) (2 =< k =< D).
{Logarithmisation d'un produit :}
(15a) Ln(pN) = Sn=1N Ln(xn) = Sn=1N (Ln|xn|D,ksin1,...,ksinD-1)
= (Sn=1N Ln|xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) ;
(15b) |Ln|D(Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) =
= (Sn=1N Ln|xn|D)² + Si=1D-1 (Sn=1N ksini)²
= Sn=1N |Ln|(|xn|D,ksin1,...,ksinD-1) +
+ 2Sn=1N-1Sp=n+1N (Ln|xn|DLn|xp|D + Si=1D-1 ksiniksipi) ;
(15c) LD-1(Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) =
= Arctan[(Sn=1N ksin1)/(Sn=1N Ln|xn|D)] (mod pi) ;
(15d) LD-k(Pn=1N |xn|D , Sn=1N ksin1 ,..., Sn=1N ksinD-1) =
= Arctan{(Sn=1N ksink)/[(Sn=1N Ln|xn|D)² + Si=1k-1 (Sn=1N ksini)²]1/2} (mod pi)
(2 =< k =< D - 1).
{Exponentielle paire :}
(16a) ch(x) = (|exp(x)|² + 11) ×D exp(x)/2|exp(x)|² = [ch(x1),x2,...,xD]
(16b) ch(x*) = ch(-x) ;
(16c) ch1(x1,...,xD) = ch(x1)Pi=2D cos(xi) ;
(16d) chk(x1,...,xD) = ch(x1)[Pi=2D-k+1 cos(xi)]sin(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(16e) chD(x1,...,xD) = ch(x1)sin(x2) ;
(16f) Si=1D [11chi(x1,...,xD)]² = ch²(x1)11 => Si=1D [chi(x1,...,xD)]² = ch²(x1).
{Exponentielle impaire :}
(17a) sh(x) = (|exp(x)|² - 11) ×D exp(x)/2|exp(x)|² = [sh(x1),x2,...,xD]
(17b) sh(x*) = -sh(-x) ;
(17c) sh1(x1,...,xD) = sh(x1)Pi=2D cos(xi) ;
(17d) shk(x1,...,xD) = sh(x1)[Pi=2D-k+1 cos(xi)]sin(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(17e) shD(x1,...,xD) = sh(x1)sin(x2) ;
(17f) Si=1D [11shi(x1,...,xD)]² = sh²(x1)11 => Si=1D [shi(x1,...,xD)]² = sh²(x1).
{Cosinus :}
(18a) cos1(x1,...,xD) = cos(x1)Pi=2D ch(xi) ;
(18b) cosk(x1,...,xD) = cos(x1)[Pi=2D-k+1 ch(xi)]sh(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(18c) cosD(x1,...,xD) = cos(x1)sh(x2) ;
(18d) Si=1D [1icosi(x1,...,xD)]² = cos²(x1)11 ;
(18e) KHID-k = Arctan{cosk+1/[Si=1k (1icosi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Sinus :}
(19a) sin1(x1,...,xD) = sin(x1)Pi=2D ch(xi) ;
(19b) sink(x1,...,xD) = sin(x1)[Pi=2D-k+1 ch(xi)]sh(xD-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(19c) sinD(x1,...,xD) = sin(x1)sh(x2) ;
(19d) Si=1D [1isini(x1,...,xD)]² = sin²(x1)11 ;
(19e) SIGD-k = Arctan{sink+1/[Si=1k (1isini)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).
{Les appellations "hyperboliques" et "elliptiques" ne valent que pour D = 1. D'ailleurs, cosinus n'est plus paire ni sinus impaire dès que D >= 2.}
Pour N angles an dans [0,2pi[ et booléens An dans {0,1},
(20a) aA2...AN = a1 + Sn=2N (1 - 2An)an ;
(20b) an = [SA2=01...SAN=01 (1 - 2An)aA2...AN]/2N-1 (2 =< n =< N) ;
(20c) sin(an) = cos(an - ipi/2) ;
(20d) Pn=1N cos(an) = SA2=01...SAN=01 cos(aA2...AN) ;
(20e) Pn=1N tan(an) = [SA2=01...SAN=01 sin(aA2...AN)]/[SA2=01...SAN=01 cos(aA2...AN)].
Pour toute f = (f1,...,fD) = (|f|,phi1,...,phiD-1) : RD -> RD, x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) -> y = f(x) = (y1,...,yD) = (|y|D,ups1,...,upsD-1),
{Linéarisation des produits de cosinus, sinus et tangentes}
(21a) yi = fi(x1,...,xD) = fi(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) (1 =< i =< D) ;
(21b) |y|D = |f|D(x1,...,xD) = |f|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) ;
(21c) upsi = phii(x1,...,xD) = phii(|x|D,ksi1,...,ksiD-1) (1 =< i =< D - 1) ;
(21d) y1/|y|D = Pi=1D-1 cos(upsi) ;
(21e) yk/|y|D = [Pi=1D-k cos(upsi)]sin(upsD-k+1) (2 =< k =< D - 1) ;
(21f) yD/|y|D = sin(ups1) ;
(21g) n -> i , N -> k , an -> upsD-i , aA2...AN -> aA2...Ak = a1 + Si=2k (1 - 2Ai)upsD-i
dans (20a) ;
(21h) y2/y1 = tan(upsD-1) = tan(a1) ;
(21i) yk+1/y1 = Pi=1k tan(upsD-i) =
= [SA2=01...SAk=01 sin(aA2...Ak)]/[SA2=01...SAk=01 cos(aA2...Ak)]
(2 =< k =< D - 2) ;
(21j) a1 = upsD-1 = Arctan(y2/y1) ;
(21k) aA2...Ak = Arctan(yk+1/y1) = upsD-1 + Si=2k (1 - 2Ai)upsD-i (2 =< k =< D - 2) ;
(21l) ai = upsD-i = [SA2=01...SAk=01 (1 - 2Ai)Arctan(yk+1/y1)]/2k-1 (2 =< i =< k) ;
(21m) aD-1 = ups1 = Arcsin(yD/|y|D) ;
{Réciproque de (16) :}
(22a) Argch(x) = [Argch1(x),...,ArgchD(x)]
(22b) Argch1(x) = Ln[|x| +/- (|x|² - 1)1/2] ;
(22c) ArgchD-k(x) = Arctan{xk+1/[Si=1k (xi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 2).
{Réciproque de (17) :}
(23a) Argsh(x) = [Argsh1(x),...,ArgshD(x)]
(23b) Argsh1(x) = Ln[|x| + (|x|² + 1)1/2] ;
(23c) ArgshD-k(x) = Arctan{xk+1/[Si=1k (xi)²]1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 2).
{Curiosité :}
(24a) th(x) = ch(x)/sh(x) = [th(x1),0,...0] = th(x1)11 ;
(24b) Argth(x) = x111.
{Tangente :}
(25a) tan(x) = sin(x)/cos(x) = [tan(x1),SIG1 - KHI1,...,SIGD-1 - KHID-1]
© Philippe VIOLA, 02/08/2025. Tous droits réservés pour tous pays.
- Commentaires textes : Écrire
Comment passer de R à R² ?
Le 23/07/2025
En effet. La grande question est : comment passer de réels simples à des réels doubles ?
Le mécanisme séparateur
Il faut se placer dans l'algèbre M2(R) des matrices réelles 2 x 2. C'est là que la "scission" va se produire. Les algèbres MD(R) sont, en effet, de même dimension D² que des espaces réels RD². Pour D = 1, M1(R) se confond avec R. Mais plus pour D >= 2.
Je renvoie à B 178 pour les propriétés fondamentales de M2(R). Soit :
(1) f : M2(R) -> M2(R) , M -> f(M) = Sn=0+oo fn(0).M.n/n!
une fonction quelconque définie au moyen de sa série de Mac-Laurin convergente, M.n représentant la n-ième puissance matricielle de M [(M2)AC = MABMBC, (M2)AD = MABMBCMCD,...]. Les fn(0) sont également dans M2(R), puisque ce sont les valeurs des dérivées successives de f au voisinage de la matrice nulle :
f0(0) = f(0) , f1(0) = [df(M)/dM]|M=0 ,..., fn(0) = [dnf(M)/dM.n]|M=0 ,
où dnf(M)/dM.n = LimdM->0 {Sk=0n (-1)kCknf[M + (n - k)dM]}/dM.n.
M2(R) agit comme "espace d'opérateurs" sur R2, "espace d'états". Sur un réel double x = (x0,x1), les unités si de M2(R) ont les facultés suivantes :
(2a) s3 = (1,0,0,1) => s3.(x0,x1) = (x0,x1)
(2b) s1 = (0,1,1,0) => s1.(x0,x1) = (x1,x0)
(2c) s2 = (1,0,0,-1) => s2.(x0,x1) = (x0,-x1)
(2d) s0 = (0,1,-1,0) => s0.(x0,x1) = (x1,-x0)
s3 ne fait rien. s1 échange l'ortho et le para. s2 fait passer de x à son conjugué x*. s0 associe l'échange ortho <-> para et la conjugaison, dans cet ordre de succession [l'ordre inverse donne -s0 = (s0).-1].
Aux unités de M2(R), l'application (1) va donner, moyennant les propriétés -(s0).2 = (sa).2 = s3 (a = 1,2,3) :
(3a) f(s0) = Sn=0+oo f2n(0).(s0).2n/(2n)! + Sn=0+oo f2n+1(0).(s0).(2n+1)/(2n + 1)!
= [Sn=0+oo (-1)nf2n(0)/(2n)!].s3 + [Sn=0+oo (-1)nf2n+1(0)/(2n + 1)!].s0
(3b) f(sa) = Sn=0+oo f2n(0).(sa).2n/(2n)! + Sn=0+oo f2n+1(0).(sa).(2n+1)/(2n + 1)!
= [Sn=0+oo f2n(0)/(2n)!].s3 + [Sn=0+oo f2n+1(0)/(2n + 1)!].sa
Seule f(s0) sera alternée [si les fn(0) ne le sont pas eux-mêmes]. En particulier, pour [fn(0) = s3 pour tout n], l'application exponentielle dans M2(R) donne :
(4a) e(s0) = cos(1)s3 + sin(1)s0
(4b) e(sa) = ch(1)s3 + sh(1)sa
La multiplication (ordinaire) des si par un réel simple |x| >= 0 aura donc l'effet suivant :
(5a) e(|x|s0) = cos(|x|)s3 + sin(|x|)s0
(5b) e(|x|sa) = ch(|x|)s3 + sh(|x|)sa (a = 1,2,3)
D'après (2), l'action de ces matrices sur un réel double y = (y0,y1) = (|y|,ups) sera :
(6a) e(|x|s0).(y0,y1) = cos(|x|)(y0,y1) + sin(|x|)(y1,-y0)
(6b) e(|x|s1).(y0,y1) = ch(|x|)(y0,y1) + sh(|x|)(y1,y0)
(6c) e(|x|s2).(y0,y1) = ch(|x|)(y0,y1) + sh(|x|)(y0,-y1)
(6d) e(|x|s3).(y0,y1) = [ch(|x|) + sh(|x|)](y0,y1) = e|x|(y0,y1)
En conséquence, pour y = (1,0) :
(7a) e(|x|s0).(1,0) = [cos(|x|),0] + [0,-sin(|x|)] = [cos(|x|),-sin(|x|)]
(7b) e(|x|s1).(1,0) = [ch(|x|),0] + [0,sh(|x|)] = [ch(|x|),sh(|x|)]
(7c) e(|x|s2).(1,0) = [ch(|x|),0] + [-sh(|x|),0] = (e-|x|,0)
(7d) e(|x|s3).(1,0) = [ch(|x|) + sh(|x|),0] = (e|x|,0)
En bleu, j'ai coloré la "dissociation" de l'ortho (7d), où ch(.) et sh(.) sont superposés sur le niveau 0 en l'ortho-para (7b), où sh(.) est transféré sur le niveau 1. Or (rappel), s3 n'est pas fondamentale, c'est s1 qui l'est. Le système aura donc naturellement tendance à se dissocier, pour retourner à un état plus fondamental.
C'est le mécanisme séparateur : s3 = (s1).2 -> s1 <=> (7d) -> (7b). L'unité symétrique s3, moins fondamentale, se dissocie dans M2(R) en sa "racine carrée" s1, plus fondamentale, par transition, lors du passage de l'espace d'état R à l'espace d'états R2. Souvenez-vous qu'il y a alors bifurcation. Cette transition ne va concerner que la composante impaire de e|x|, l'exponentielle dans R, parce que son extension dans M2(R) va passer de exp(|x|s3) = e|x|s3 à exp(|x|s1), fonction à deux niveaux : le niveau 0, pair ; le niveau 1, impair.
On a confirmation géométrique de cela : s3 n'ayant aucune action dans les espaces de dimension 2, les niveaux restent "dégénérés" comme dans R, tout se passe comme s'ils se confondaient, il n'y a aucune bifurcation, R est un espace mono-directionnel (nonobstant son orientation) ; ce n'est plus le cas de s1 qui permutent les niveaux ; pour ce faire, il faut donc bien que ceux-là soient séparés ; R2 est un espace bi-directionnel, où la direction "0" est celle d'un R à métrique symétrique et la direction "1", un R à métrique antisymétrique. C'est ce que traduisent "arithmétiquement" ch(|x|) = ch(-|x|) (parité +1) et sh(|x|) = -sh(-|x|) (parité -1).
On a une parité similaire avec (7a) mais, sans dissociation cette fois, en raison du fait que (s0).2 = -s3 n'est plus une racine carrée de s3 dans M2(R) [mais le serait dans un M2(C)].
Le changement de comportement
La question suivante est : comment une même application telle que l'exponentielle peut-elle adopter des comportements différents, jusqu'à l'antagonisme, tout en restant cohérente ?
Si l'on compare (7c) et (7d), on s'aperçoit tout de suite qu'elles sont inverses l'une de l'autre, bien que s2 et s3 ne le soient absolument pas : (s2).-1 = s2, (s3).-1 = s3. Elles sont chacune leur propre inverse. (7c) et (7d) sont également en configuration ortho, parce que s2 et s3 sont diagonales.
Il en va tout autrement avec s0 et s1 qui sont anti-diagonales. Pour passer de [ch(|x|),sh(|x|)] à [cos(|x|),sin(|x|)], on s'aperçoit qu'il faut remplacer s1 par -s0 = (s0).-1. Là encore, (s1).-1 = s1 est son propre inverse.
Nous allons nous concentrer surtout sur la transition (7b) <-> (7a). Comment changer d'unité ?
En jonglant sur des coefficients réels simples.
Pour cela, considérons la matrice anti-diagonale :
(8) M = m0s0 + m1s1 avec m0 et m1 dans R.
Ses puissances matricielles sont très faciles à établir, étant donné que s0 et s1 anti-commutent :
M.2 = (m12 - m02)s3 , M.4 = (m12 - m02)2s3 , M.6 = (m12 - m02)3s3 ,...
Donc :
(9a) M.2n = (m12 - m02)ns3 , M.2n+1 = (m12 - m02)nM
Partout où m12 - m02 <> 0, on a même :
(9b) M.-1 = M/(m12 - m02) => M.-2n = s3/(m12 - m02)n , M.-2n-1 = M/(m12 - m02)n+1
L'exponentielle de M sera donc :
(10a) e(M) = [Sn=0+oo (m12 - m02)n/(2n)!]s3 + [Sn=0+oo (m12 - m02)n/(2n + 1)!]M
Et là, comme par (tout sauf) le plus grand des hasards, on se rend compte que tout dépend du signe de m12 - m02 :
(10b) m12 > m02
=> e(M) = ch[(m12 - m02)1/2]s3 + {sh[(m12 - m02)1/2]/(m12 - m02)1/2}M
Tr[e(M)] = 2ch[(m12 - m02)1/2] , Det[e(M)] = 1
(10c) m12 < m02
=> e(M) = cos[(m02 - m12)1/2]s3 + {sin[(m02 - m12)1/2]/(m02 - m12)1/2}M
Tr[e(M)] = 2cos[(m02 - m12)1/2] , Det[e(M)] = 1
Quant à :
(10d) Det(M) = 0 i.e. m12 = m02
=> e(M) = s3 + M , Tr[e(M)] = 2 , Det[e(M)] = 1
Dans tous les cas, le déterminant de e(m0s0 + m1s1) vaut 1.
Sur l'hyperbole m12 - m02 = |x|2, d'équation paramétrique [m1 = |x|ch(ksi) , m0 = |x|sh(ksi)], on se trouve dans la situation (10b) et :
(11a) e{|x|[sh(ksi)s0 + ch(ksi)s1]} = ch(|x|)s3 + sh(|x|)[sh(ksi)s0 + ch(ksi)s1]
(11b) e{|x|[sh(ksi)s0 + ch(ksi)s1]}.(1,0) = [ch(|x|) , sh(|x|)e-ksi]
On retrouve (7b) pour ksi = 0, i.e. [m1 = |x| , m0 = 0], c'est-à-dire M = |x|s1.
Sur l'hyperbole m02 - m12 = |x|2, m0 = |x|ch(ksi) , m1 = |x|sh(ksi), les rôles de m1 et de m0 sont permutés et (10c) nous donne :
(12a) e{|x|[ch(ksi)s0 + sh(ksi)s1]} = cos(|x|)s3 + sin(|x|)[ch(ksi)s0 + sh(ksi)s1]
(12b) e{|x|[ch(ksi)s0 + sh(ksi)s1]}.(1,0) = [cos(|x|) , -sin(|x|)e-ksi]
On retombe sur (7a) pour ksi = 0, soit M = |x|s0.
En ce qui concerne le cas "critique" (10d), m1 = +/-m0, les hyperboles précédentes dégénèrent en les deux droites bissectrices qui ne sont autres que les directions asymptotiques des deux hyperboles et :
(13) e[m0(s0 +/- s1)] = s3 + m0(s0 +/- s1)
parce qu'il se trouve que s0 + s1 = (0,2,0,0) et s0 - s1 = (0,0,-2,0) sont nilpotentes d'ordre 2 : (s0 +/- s1).2 = 0.
Voilà qui devrait suffire à expliquer comment et pourquoi apparaissent les oscillations.
Le lien avec la banque virtuelle
A son démarrage, la banque se donne un "potentiel financier" qui ne dépend que d'un coefficient V1 qui, ici, va s'identifier au déterminant de la matrice M :
(14) V1(n + d ; R) = m02(n + d ; R) - m12(n + d ; R)
Aussi longtemps que V1 restera < 0, l'exponentielle aura le comportement hyperbolique habituel, celui qu'on attend d'elle en tant que "loi de puissance", la seule "loi centrale" en position d'équilibre stable sera la politique de gratuité Q0(n + d ; R) = 0, les deux niveaux se confondront et l'on se trouvera dans la situation (7d), d'inverse (7c), avec deux matrices unité diagonales qui ne feront "qu'étendre" la notion de réel simple sans en modifier les propriétés, puisque le système sera en décohérence. En un mot : il n'aura rien "d'anomal" mais il ne donnera rien d'intéressant non plus.
Son véritable intérêt réside dans la transition, lorsque (14) s'annule. Le potentiel financier présente alors un "méplat" en Q = 0, le système n'est plus que métastable. Cette situation correspond au cas critique (13).
Ensuite, lorsque (14) va passer > 0, les deux niveaux du système vont se séparer, on va passer de (7c et d) à (7a et b) par ce mécanisme séparateur, qui va envoyer la composante antisymétrique de exp(.) sur le niveau 1, une "loi centrale" stable va apparaître, mais on sera alors dans la situation (12) où l'exponentielle se mettra à osciller, entraînant inévitablement le saut perpétuel d'un niveau à l'autre. La banque va donc se retrouver dans un régime de fonctionnement nominal où sa loi centrale sera stabilisée et protégée des perturbations extérieures par ce mécanisme créditeur, mais des instabilités de niveaux se produiront autour de cette loi centrale, instabilités qui ne permettront plus d'établir une gestion "saine" au sens où le comptable ne sera plus dans la capacité de dire que telle opération se passe au niveau 0 et telle autre, au niveau 1 : toutes les opérations comptables se produiront sur les deux niveaux à la fois, parce que le système se comportera de deux manières différentes et contradictoires en apparence. Autrement dit, du point de vue d'une comptabilité traditionnelle, celle de la banque virtuelle paraîtra absurde, incohérente, parce qu'elle sera physiquement, mécaniquement, en cohérence de niveaux : les deux matrices unité ne sont plus diagonales, mais anti-diagonales, entraînant la création de réels doubles aux propriétés très différentes, cette fois, des réels simples.
Cohérence logique <-> décohérence physique, états diagonaux, axes ;
Incohérence logique <-> cohérence physique, états non diagonaux, plans.
Incohérence logique <-> cohérence physique, états non diagonaux, plans.
Si vous voulez une gestion "cohérente" au sens logique du terme, vous aurez une progression géométrique mais le système n'apportera rien de plus qu'une banque ordinaire.
Si vous voulez exploiter ses capacités, vous devrez abandonner l'idée d'une gestion logiquement cohérente et vous présenterez des bilans "absurdes". Parce que répondant à une logique plus vaste. Une logique instable par nature. Qui saute constamment du "vrai" de "l'établi" au "faux", au "non établi".
Il y a un dernier aspect relatif à ce changement radical de comportement lors de la transition, il porte sur la relation de cause à effet. Bien que vous ne soyez pas physiciens, en qualité de comptables, vous souhaitez tout autant associer une cause (une origine) à un effet (une conclusion). Cela s'appelle justifier son raisonnement, son bilan, ses prévisions.
Si vous vous référez à B 178, vous verrez que la correspondance entre M2(R) et R4 se traduit topologiquement par une métrique "du genre espace" : g00 < 0, gaa > 0 pour a = 1,2,3. Dans un R4 du genre espace, la causalité (le lien de cause à effet) se trouve en m12 > m02. C'est là que vous trouverez le comportement "normal" de l'exponentielle. Son comportement oscillatoire se situe par conséquent dans le secteur "acausal" m12 < m02. Là, vous y perdrez par la même occasion toute relation de cause à effet : vous ne pourrez plus justifier de quoi que ce soit. La destruction de ce lien de causalité se fait à la transition m12 = m02. Il est rétabli dès que m12 redevient supérieur à m02. Mais alors, la banque virtuelle n'a plus aucun intérêt spécifique.
J'espère avoir expliqué de façon suffisamment claire pourquoi je conserve le concept mais aussi pourquoi son utilisation pratique sera difficile à mettre en oeuvre. C'est une toute autre logique. Une logique qui n'est familère à personne.
Pas même au physicien.
Mais c'est la logique du monde, pas celle à laquelle nous nous sommes habitués.
Comme le disait fort justement Stephen Hawking : l'essentiel n'est pas d'être "logique" (au sens "binaire" du terme), mais de rester cohérent.
Il est possible d'adhérer à d'autres logiques, du moment qu'elles conservent un sens, une signification.
C'est le cas de la banque virtuelle, qui n'obéit plus à une logique "classique", mais "quantique", à 2 états (donc, comparable à un spin 0 sur lequel agissent des spins 1/2).
Comme vous pouvez le voir dans cet article, il n'y a absolument rien de statistique où que ce soit.
LA STATISTIQUE EST UNE CHOSE, LA QUANTIQUE EN EST UNE AUTRE.
En tant que physico-matheux, je ne suis peut-être pas à la portée technique de certains économistes, mais je parviens tout de même à me débrouiller... :) Du moins, jusqu'à preuve explicite du contraire.
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BANQUE VIRTUELLE
Le 09/07/2025
SUITE A "PLACEMENTS A TAUX NEGATIFS".
Référencé ci-dessous en [PTN].
LANCEMENT DE LA BANQUE
Le "système d'allumage" de la banque virtuelle consiste en ceci. On reprend les notations de [PTN (5)]. A son démarrage, la banque se donne un système de 3 équations qui constitueront le "coeur" de son fonctionnement :
(1a) V(Q ; n + d ; R) = [Q(Q - dQ) - V1(n + d ; R)]2/4 - [V1(n + d ; R)]2/4
(1b) F(Q ; R) = dV(Q ; R)/dQ = [V(Q + dQ ; R) - V(Q ; R)]/dQ
= Q[Q2 - V1(n + d ; R)] = Q[Q2 - Q02(n + d ; R)]
(1c) dQ(n + d ; R) = Q(n + 1 + d ; R) - Q(n + d ; R)
= [A(R) - 1]Q(n + d ; R) + F[Q(n + d ; R) ; R]
Moyennant la substitution de (1c) dans (1a), on voit bien que V comme F ne dépendent que de Q.
Menons d'abord les calculs, les explications viendront ensuite. (1b) s'annule pour :
(1d) Q(n + d ; R) = 0
et
(1e) Q2a-1(n + d ; R) = (2a - 1)Q0(n + d ; R) , a = 0,1
La "courbe de gratuité" (1d) est solution triviale de (1c). Les (1e) seront automatiquement solutions de,
(1f) dQ2a-1(n + d ; R) = (2a - 1)dQ0(n + d ; R) = (2a - 1)[A(R) - 1]Q0(n + d ; R)
si bien que Q0(n + d ; R) sera la progression en temps continu [PTN, (5d)]. AU SIGNE PRES.
Calculons "l'incurvation" de V, soit les variations en prix de F :
(1g) dF(Q ; R)/dQ = [F(Q + dQ ; R) - F(Q ; R)]/dQ = 3Q2 + 3QdQ + dQ2 - Q02(n + d ; R)
En Q2a-1, on aura :
(1h) dF(Q2a-1 ; R)/dQ = A(R)[A(R) + 1]Q02(n + d ; R) > 0
Par conséquent, Q-1(n + d ; R) = -Q0(n + d ; R) et Q1(n + d ; R) = +Q0(n + d ; R) seront des courbes de prix stables. Par contre,
(1i) dF(0 ; R)/dQ = -Q02(n + d ; R) < 0
et Q(n + d ; R) = 0 sera instable. En reportant (1d) dans (1a), compte tenu de ce que dQ = 0 en Q = 0 :
(1j) V(0 ; R) = 0
tandis que,
(1k) V(Q2a-1 ; R) = A(R)[A(R) - 2]Q04(n + d ; R)/4
et V(Q2a-1 ; R) > 0, sauf pour la loi des intérêts composés ordinaires, où elle est < 0.
La positivité de (1k) pour les lois d'intérêts composés de facteur amplificateur > 2 surprend et déroute même quiconque habitué à travailler au niveau local de description : les "racines" (1e) de F sont en effet censées représenter ses minima absolus et (1d), son maximum relatif. Or, d'après (1j), en ce dernier, V est nulle. Comme V vaut +oo en Q = +/-oo, les minima absolus devraient donc renvoyer des valeurs négatives de V : 2 "creux" en Q-1 et Q+1, 1 "bosse" en Q = 0. En effet, chez Leibnitz, où tous les différentiels, quels qu'ils soient, tendent asymptotiquement vers zéro (ce sont les rapports de différentiels ou "taux de variations" qui sont censés rester finis en tout point régulier), (1k) est < 0. En différences finies, (1c) montre bien que dQ n'est plus "infinitésimal" et c'est cela qui rend (1k) > 0. On ne peut alors plus vraiment parler d'extrema de V, mais seulement de situations d'équilibre. Ceci dit, c'est tout ce qui importe.
Venons-en aux explications.
A son lancement, la banque virtuelle se constitue elle-même un "potentiel financier" (1a) en produisant sa propre monnaie virtuelle. Ce potentiel V va être sa "réserve de trésorerie", son "fond de roulement" au démarrage. "A gratuité" (Q = 0), ce potentiel est nul. En prenant V1(n + d ; R) > 0, on s'aperçoit que V1(n + d ; R) = Q02(n + d ; R) fait apparaître Q0(n + d ; R) comme la loi centrale de fonctionnement de la banque, autour de laquelle va s'articuler toute sa comptabilité. En effet, Q0(n + d ; R) est une position d'équilibre stable pour le système, qui va se positionner dessus. Mais, comme il y a 2 signes, il y a deux positions d'équilibres stables, symétriques l'une de l'autre vis-à-vis de la position instable Q = 0, d'où bifurcation du système et comptabilité à deux niveaux. Ce sera le mode de fonctionnement de la banque. Et, comme nous le verrons, ce mécanisme la rend constamment CREDITRICE. Il devient IMPOSSIBLE de la rendre débitrice, DE QUELQUE MANIERE QUE CE SOIT. Et cette faculté n'est même pas due à sa capacité de produire sa propre monnaie.
Dès lors, la positivité de (1k) devient tout à fait logique : au départ, la banque se constitue son propre "portefeuille", qu'elle porte évidemment à son CREDIT. Il est donc normal qu'en positions de courbes de prix stables, ce potentiel financier soit positif. Chez Leibnitz, au contraire, il serait débiteur... :)
FONCTIONNEMENT
Outre les produits qu'elle proposera à sa clientèle, le fonctionnement propre à la banque suit une arithmétique "à 2 niveaux" car la banque s'est positionnée A LA FOIS sur sa loi centrale -Q0(n + d ; R) et sur son "opposée" Q0(n + d ; R). Elle se retrouve donc dans deux configurations en même temps : la configuration "ortho", où l'arithmétique va rester la même que celle à laquelle on est habitué et la configuration "para", dont l'arithmétique obéit à des lois différentes. Les prix (au sens économique large du terme) vont devenir des quantités "à 2 niveaux" Q = (Q1,Q2). Les prix (Q1,0) suivront l'arithmétique usuelle, se trouvant en configuration "ortho". Les prix (0,Q2), eux, seront en configuration "para". Tout prix Q = (Q1,Q2) sera donc superposition linéaire d'un prix (Q1,0) "ortho" et d'un prix (0,Q2) "para". Avec l'arithmétique suivante :
(2a) Q + Q' = (Q1,Q2) + (Q'1,Q'2) = (Q1 + Q'1 , Q2 + Q'2)
(2b) Q × Q' = Q' × Q = (Q1Q'1 - Q2Q'2 , Q1Q'2 + Q2Q'1)
Si l'addition (signée : addition et soustraction) reste la même, le produit × adapté à la nouvelle situation est une somme (signée) de produits usuels, c'est un produit "de convolution". Il s'ensuit que :
(2c) (Q1,0) × (Q'1,0) = (Q1Q'1 , 0)
s'identifie bien au produit usuel de deux "orthos", mais
(2d) (Q1,0) × (0,Q'2) = (0 , Q1Q'2)
donne toujours un "para" et
(2e) (0,Q2) × (0,Q'2) = (-Q2Q'2 , 0)
toujours un ortho changé de signe. En conséquence, si (Q1,0) × (Q1,0) = (Q1,0)×(2,0) = (Q12,0) continue bien de donner un carré de prix universalisé au crédit, que Q1 soit au crédit ou au débit, en revanche, (0,Q2) × (0,Q2) = (0,Q2)×(2,0) = (-Q22,0) portera Q22 au débit.
En arithmétique à 2 niveaux apparaît aussi une nouvelle opération, la conjugaison. Q* est le conjugué du prix Q si Q* a pour composantes :
(2f) Q* = (Q1,-Q2)
Seule la configuration para est concernée par cette opération, qui la change de signe. Avec de l'ortho seul, Q = (Q1,0) <=> Q* = Q. Avec du para seul, Q = (0,Q2) <=> Q* = -Q = (-1,0) × Q. En appliquant * deux fois de suite au même prix, on se rend compte que * est une involution : (Q*)* = (Q1,-Q2)* = (Q1,Q2) = Q. reportée dans (2b), (2f) donne le carré de l'amplitude du prix Q, qui s'avère être aussi celle de son carré :
(2g) Q × Q* = (|Q|2,0) = (|Q2|,0) = (Q12 + Q22 , 0)
C'est toujours une quantité ortho, positive ou nulle, donc à porter au crédit.
Moyennant Q*, on trouve que l'inverse de tout prix Q non nul [i.e. différent de (0,0)] est le prix :
(2h) Q×(-1,0) = Q*/(|Q|2,0) = (Q1,-Q2)/(|Q|2,0) = (Q1/|Q|2 , -Q2/|Q|2)
L'inverse de l'ortho (Q1,0) reste bien évidemment (1/Q1,0). Celui du para (0,Q2) est (0,-1/Q2). Si Q2 > 0, il est à porter au crédit para et son inverse, au débit para.
Si l'additio signée est bien adaptée à la représentation "cartésienne" Q = (Q1,Q2), ce n'est plus le cas de la multiplication / division, qui conduite très vite à des expressions longues et compliquées. Pour × et /, la représentation adaptée est la "polaire" : des égalités (2g) et de l'identité cos²(phi) + sin²(phi) = 1 quel que soit l'argument phi, on tire :
(2i) Q1 = |Q|cos(phi) , Q2 = |Q|sin(phi)
ce qui conduit à l'écriture Q = (|Q|,phi) en représentation polaire. Le produit d'un nombre N de prix Qn, 1 =< n =< N, répond alors à la règle trigonométrique très simple :
(2j) Pn=1N Qn = Pn=1N (|Q|n,phin) = (Pn=1N |Q|n , Sn=1N phin)
Les amplitudes se multiplient selon la règle usuelle, les phases s'additionnent. De (2f) il découle que Q* = (|Q|,-phi) en polaire ; de (2g), que Q × Q* = (|Q|2,0) (phase résultante nulle) et de (2h), que Q×(-1,0) = (1/|Q|,-phi).
LE MECANISME CREDITEUR
Montrons maintenant que TOUTE opération comptable "à 2 niveaux" peut être ramenée au CREDIT. Pour cela, commençons par inverser (2b) pour Q' = Q :
(3a) Q×2 = (Q12 - Q22 , 2Q1Q2)
Cette fois, on se donne un Q" = (Q"1,Q"2) et on va chercher sa racine carrée Q. En utilisant (2g) sur Q', on extrait de l'équation Q×2 = Q", qui implique (|Q|2,0)×2 = (|Q|4,0) = (|Q"|2,0), les identités suivantes :
(Q12 - Q22 , 2Q1Q2) = (Q"1,Q"2) , [(Q12 + Q22)2 , 0] = (Q"12 + Q"22 , 0)
soit,
(Q12 - Q22 , 2Q1Q2) = (Q"1,Q"2) , [Q12 + Q22 , 0] = [(Q"12 + Q"22)1/2 , 0]
desquelles on déduit :
(3b) 2Q12 = Q"1 + (Q"12 + Q"22)1/2 , 2Q22 = -Q"1 + (Q"12 + Q"22)1/2
La racine carrée (Q"12 + Q"22)1/2 étant toujours >= aux valeurs absolues de Q"1 et de Q"2, les carrés (3b) sont toujours >= 0 et il y a quatre solutions, Q = (Q1,Q2), Q = (Q1,-Q2), Q = (-Q1,Q2) et Q = (-Q1,-Q2).
Lorsque Q"2 = 0, TOUT ortho Q" = (Q"1,0) aura pour racine carrée, soit (|Q"1|1/2,0) si Q"1 > 0, soit (0,|Q"1|1/2) si Q"1 < 0. Aussi, que Q"1 soit à porter au débit ou au crédit ORTHO, il lui correspondra TOUJOURS une racine carrée |Q"1|1/2 portable, soit au CREDIT ortho, soit au CREDIT para. Dans les deux cas, ce sera toujours CREDITEUR.
Quand Q"1 = 0, TOUT para Q" = (0,Q"2) aura pour racine carrée, soit (|Q"2|1/2 , |Q"2|1/2), soit (-|Q"2|1/2 , -|Q"2|1/2). La seconde serait à porter au débit des 2 niveaux. MAIS NON ! Car (-|Q"2|1/2 , -|Q"2|1/2) = (-1,0) × (|Q"2|1/2 , |Q"2|1/2) et (-1,0) = (0,1)×2 ! Donc, TOUT est bien à porter au CREDIT. :)
La représentation polaire explique cela : dans Q = (|Q|,phi), le MONTANT du prix Q est fourni par son AMPLITUDE |Q|, quantité jamais négative. Quant au "signe", il est porté par [cos(phi),sin(phi)]. Pour phi = 0, on retrouve bien le (1,0) du signe (+) et, pour phi = pi radians (180°), le (-1,0) du signe (-). Sinon, avec deux configurations au lieu d'une seule, comme précédemment, vous n'avez plus que des propensions : |Q|cos(phi) est la propension du montant |Q| de se trouver en configuration ortho, c'est la "portion" de |Q| à ce niveau-là et |Q|sin(phi) est la "portion complémentaire" à ce qu'il se trouve sur l'autre niveau. Mais ce ne sont plus que des projections ! La VERITABLE valeur de Q est |Q|. Elle se trouve donc toujours au CREDIT. La notion de "débit" devient un effet PROJECTIF : c'est le (-1,0) cartésien qui correspond au (1,pi) polaire, le (0,-1) para qui renvoie au (1,3pi/2) polaire,... qu'on soit en "+" ou en "-", l'amplitude est toujours unité.
UNE COMPTABILITE A 2 NIVEAUX N'EST JAMAIS DEBITRICE. IL Y EST TOUJOURS POSSIBLE DE RAMENER UN DEBIT APPARENT A UN CREDIT REEL, PAR "VENTILATION" D'UN NIVEAU A L'AUTRE.
UNE BANQUE VIRTUELLE NE PEUT PAS PERDRE D'ARGENT. C'EST IMPOSSIBLE.
En plus de "ventiler" d'un poste comptable à un autre, vous avez ici la possibilité supplémentaire de ventiler d'une configuration à l'autre. Et donc, de transférer des débits orthos sur des crédits paras.
Qui plus est, si la banque virtuelle se connecte à l'environnement économico-financier extérieur, toute perturbation externe négative aura un effet CREDITEUR sur la banque, qui le transfèrera automatiquement en configuration "para"...
Non seulement, cela la protège de fait contre les tentatives de déstabilisation de ce type, mais elle peut même SE NOURRIR DES CRASHS BOURSIERS...
Comme toute entreprise, il y a un bilan et une balance comptable, à établir pour chaque configuration. Il n'en reste pas moins qu'une balance négative établie en ortho renverra à une balance positive en para...
Du moment que tout est justifié...
Il n'y a même plus nécessité à prélever des commissions sur opérations bancaires auprès de la clientèle... la banque S'AUTO-CREDITE... Un argument commercial de poids. Plus de politique de prêts, même à taux nuls, plus de commissions, des liquidités toujours à disposition, fonction des besoins de la banque et de sa clientèle,...
On en revient à l'objectif initial de la banque, celle d'être UNE "USINE" A PRODUCTION D'ENRICHISSEMENT. Et non D'APPAUVRISSEMENT. CHRONIQUE.
© Philippe VIOLA, 10/07/2025. Tous droits réservés pour tous pays.
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Un régal à lire.