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B 167: LIENS SOURCES - POTENTIELS

Le 04/12/2019

Si l’on veut pousser plus loin dans la compréhension des mécanismes en jeu, il est absolument nécessaire de comprendre comment s’articulent les potentiels de champ gravitationnel.

 

On sait que le tenseur substance Tijkl est une quantité ADDITIVE. Par suite, tout tenseur substance sera la superposition linéaire d’une composante « non standard » et d’une composante « standard » :

 

(1)               Tijkl = T(ns)ijkl + T(s)ijkl

 

La composante non standard est irréductible :

 

(2)               gjlT(ns)ijkl = 0

 

La composante standard possède un seul invariant d’ordre 2, symétrique :

 

(3)               gjlT(s)ijkl = Tik

 

Ainsi, dès que Tik = 0, on sait que l’on a affaire à une substance NON standard :

 

(4)               gjlTijkl = Tik = gjlT(s)ijkl

 

Il n’est donc pas nécessaire de préciser le label « s » pour les invariants : ceux-ci sont automatiquement standards.

 

Ensuite, lorsque l’on regroupe les formules B166, (4) à (10), on s’aperçoit que le tenseur de courbure de Riemann présente, à son tour, une composante non standard et une composante standard. La non standard vérifie :

 

(5)               R(ns)ijkl = (8pi k/c4)T(ns)ijkl

 

tandis que la standard contient les invariants de courbure. En effet, puisque, d’après B166, (4) :

 

(6)               R(s)ijkl - R(gikgjl - gjkgil)/2(D - 1) = (8pi k/c4)T(s)ijkl

 

on va trouver,

 

(7)               R(s)ijkl = (Rikgjl - Rjkgil + Rjlgik - Rilgjk)/(D - 2) -

       - R(gikgjl - gjkgil)/(D - 1)(D - 2)

 

de sorte que l’équation

 

(8)               Rik = 0

 

est LE critère caractérisant le champ gravitationnel produit par de la substance NON standard.

 

Les solutions de (8) seront notées g(ns)ij. Du fait de la non-linéarité des équations de champ, il ne faut pas s’attendre à ce que les potentiels solutions de B166, (4), soient une superposition linéaire de g(ns)ij et de g(s)ij. C’est peut-être valable uniquement dans le référentiel « galiléen », où les symboles de Christoffel s’annulent (mais pas leurs variations), mais sûrement pas dans tout autre référentiel.

 

Il s’agit de comprendre comment ces solutions s’articulent. Si l’on part d’une solution NON standard g(ns)ij et qu’on lui fait subir une TRANSFORMATION D’ECHELLE, on sait que l’on va générer des termes SUPPLEMENTAIRES dans les symboles de Christoffel qui, par variation, vont se répercuter dans la courbure de Riemann. Cette opération va donc avoir pour effet D’AJOUTER DE LA COURBURE et, justement, une combinaison linéaire d’invariants de courbure comme dans (7). Cette voie-là semble donc la plus prometteuse. On va en redétailler les différentes étapes.

 

 

Etape 1 : transformation conforme.

 

On commence par définir les potentiels du tenseur de courbure TOTAL Rijkl par :

 

(9)               gij = g(ns)ijexp(2f)

 

Partout où g(ns) = det(g(ns)ij) <> 0, l’inverse est :

 

(10)           gjk = g(ns)jkexp(-2f)

 

où la dépendance en x est sous-entendue partout. Comme :

 

dkgij = exp(2f)(dkg(ns)ij + 2g(ns)ijdkf)

 

les symboles de Christoffel covariants vont apparaître comme une supersposition LINEAIRE,

 

(11)           Ck,ij = ½ (-dkgij + digjk + djgik) = exp(2f)(C(ns)k,ij + C(s)k,ij)

(12)           C(ns)k,ij = ½ (-dkg(ns)ij + dig(ns)jk + djg(ns)ik)

(13)           C(s)k,ij = (-g(ns)ijdk + g(ns)jkdi + g(ns)ikdj)f

 

Quant aux symboles mixtes :

 

(14)           Ckij = gklCl,ij = g(ns)kl(C(ns)l,ij + C(s)l,ij)

  = (C(ns)kij + C(s)kij)

(15)           C(ns)kij = g(ns)klC(ns)l,ij

(16)           C(s)kij = (-g(ns)ijg(ns)kldl + djkdi + dikdj)f

 

La dérivation NON standard de Lévi-Civita étant construite à partir des symboles non standards :

 

(17)           D(ns)iVk = diVk + C(ns)kijVj

(18)           D(ns)iVk = diVk - C(ns)jikVj

 

et les scalaires n’étant pas concernés,

 

(19)           D(ns)if = dif

 

on peut écrire (16) sous la forme covariante

 

(20)           C(s)kij = (-g(ns)ijD(ns)k + djkD(ns)i + dikD(ns)j)f

(21)           D(ns)k = g(ns)klD(ns)l

 

De nouveau, par linéarité, la dérivation covariante TOTALE sera :

 

(22)           DiVk = diVk + CkijVj = diVk + (C(ns)kij + C(s)kij)Vj

   = D(ns)iVk + C(s)kijVj

(23)           DiVk = diVk - CjikVj = diVk - (C(ns)jik + C(s)jik)Vj

   = D(ns)iVk - C(s)jikVj

 

 

Etape 2 : courbures.

 

Bien que le calcul tensoriel (et, plus généralement, holoriel) soit commutatif pour les FONCTIONS, il ne l’est pas et n’a aucune raison de l’être pour les OPERATEURS. La seule exception est la dérivation di = d/dxi. C’est cette non-commutativité OPERATORIELLE qui est à l’origine de l’apparition de COURBURE. De :

 

DiDjVk = D(ns)i(D(ns)jVk + C(s)kjlVl) - C(s)lijDlVk + C(s)kil(D(ns)jVl + C(s)ljmVm)

= D(ns)iD(ns)jVk + (D(ns)iC(s)kjl + C(s)kimC(s)mjl)Vl +

   + (C(s)kjlD(ns)i + C(s)kilD(ns)j)Vl - C(s)lijDlVk

 

on tire,

 

[Di,Dj]-Vk = (DiDj - DjDi)Vk = RijklVl = [D(ns)i,D(ns)j]-Vk +

+ (D(ns)iC(s)kjl - D(ns)jC(s)kil + C(s)kimC(s)mjl - C(s)kjmC(s)mil)Vl

 

soit,

 

(24)           Rijkl = R(ns)ijkl + R(s)ijkl

(25)           R(s)ijkl = D(ns)iC(s)kjl - D(ns)jC(s)kil + C(s)kimC(s)mjl - C(s)kjmC(s)mil

 

R(ns)ijkl étant évidemment la courbure générée par la dérivation covariante D(ns)i. La forme complètement covariante est donnée par :

 

(26)           Rijkl = gkmRijml = exp(2f)g(ns)km(R(ns)ijml + R(s)ijml)

      = exp(2f)(R(ns)ijkl + R(s)ijkl)

(27)           R(s)ijkl = D(ns)iC(s)k,jl - D(ns)jC(s)k,il + g(ns)mn(C(s)k,imC(s)n,jl - C(s)k,jmC(s)n,il)

 

L’invariant de Ricci peut se calculer directement à partir de (24) par convolution i = k :

 

(28)           Rijil = Rjl = R(s)ijil

(29)           R(s)ijil = D(ns)iC(s)ijl - D(ns)jC(s)iil + C(s)iimC(s)mjl - C(s)ijmC(s)mil

 

Par contre, la courbure scalaire nécessite gjl :

 

(30)           R = gjlRjl = exp(-2f)g(ns)jlRjl = exp(-2f)R(s)

(31)           R(s) = g(ns)jlRjl  

 

Faisons un point intermédiaire.

 

La courbure NON STANDARD n’utilise que la métrique NON STANDARD et sa connexion. Elle est irréductible (cf. plus haut).

La courbure STANDARD est beaucoup plus compliquée. On trouve un premier COUPLAGE entre la métrique non standard et les dérivées de phase f dès les symboles de Christoffel, puis un SECOND couplage entre ces symboles et les dérivées covariantes NON standard. Cette courbure-là est réductible par convolution avec la métrique NON standard [cf. (29) et 31].

 

Première conséquence de cela, si l’on prend tous les g(ns)ij PARTOUT CONSTANTS, on trouvera quand même de la courbure et de la courbure STANDARD :

 

(32)           C(s)kij = (-g(ns)ijg(ns)kldl + djkdi + dikdj)f

(33)           R(s)ijkl = diC(s)kjl - djC(s)kil + C(s)kimC(s)mjl - C(s)kjmC(s)mil

(34)           R(s)jl = diC(s)ijl - djC(s)iil + C(s)iimC(s)mjl - C(s)ijmC(s)mil

(35)           R(s) = g(ns)jlRjl  

 

Or, d’après la RG étendue, s’il y a courbure standard, c’est qu’il y a forcément substance standard. Ceci montre que la phase f(x) est DIRECTEMENT RELIEE aux invariants de courbure et donc, au tenseur impulsion-énergie de la substance standard. Une propriété qui nous sera utile dans l’étape 3.

 

Pour le moment, il nous reste à exprimer la courbure standard et ses invariants en fonction de cette phase f. Posons d’abord :

 

(36)           Ki = D(ns)if = dif

 

On a alors :

 

(37)           DiKj = DjKi

 

D’après (20) et (25) :

 

(38)           C(s)kij = -g(ns)ijKk + djkKi + dikKj

(39)           R(s)ijkl = (g(ns)ilD(ns)j - g(ns)jlD(ns)i)Kk - (dikD(ns)j - djkD(ns)i)Kl +

      + (g(ns)jlKi - g(ns)ilKj)Kk + (dikKj - djkKi)Kl - (dikg(ns)jl - djkg(ns)il)KmKm

(40)           Rjl = -(D - 2)(D(ns)jKl - KjKl + g(ns)jlKmKm) - g(ns)jlD(ns)mKm

(41)           R(s) =  -(D - 1)[2D(ns)mKm + (D - 2)KmKm]

 

On vérifie que l’on a bien :

 

(42)           R(s)ijkl = (Rikg(ns)jl - Rjkg(ns)il + Rjlg(ns)ik - Rilg(ns)jk)/(D - 2) -

       - R(s)(g(ns)ikg(ns)jl - g(ns)jkg(ns)il)/(D - 1)(D - 2)

 

 

Etape 3 : résolution.

 

Vues telles quelles, les équations (40) et (41) sont de Riccati pour Kl et donc, insolubles par quadratures. On va quand même tenter une résolution. On sait déjà que :

 

(43)           f = 0  =>  R(s)ijkl = 0

 

Réciproquement, Rik = 0 => R(s)ijkl = 0 d’après (42). Toute la question est : existe-t-il des solutions à R(s)ijkl = 0 autres que f = 0 ?

 

Si f’(x) est une transformation conforme qui ne génère aucune courbure standard, alors, en vertu de (40) :

 

(44)           R’jl = 0

 

Avec K’i = dif’. D’autre part, le changement d’échelle local :

 

(45)           f’’ = f + f’

 

génère une courbure de Ricci,

 

(46)           R’’jl = -(D - 2)(D(ns)jK’’l - K’’jK’’l + g(ns)jlK’’mK’’m) - g(ns)jlD(ns)mK’’m

 

avec

 

(47)           K’’i = Ki + K’i

 

En développant les produits bilinéaires symétriques dans (46), on obtient, moyennant (44) :

 

(48)           R’’jl = Rjl + (D - 2)(KjK’l + K’jKl + 2g(ns)jlKmK’m)

 

Il faut que R’’jl = Rjl. Par conséquent, on doit avoir :

 

(49)           KjK’l + K’jKl + 2g(ns)jlKmK’m = 0

 

Cette dernière identité étant algébrique, on ne réduit pas les possibilités en prenant sa trace :

 

(50)           KmK’m = 0

 

qui montre que K’i doit être perpendiculaire à Ki. En reportant ce résultat dans (49), on obtient la nouvelle identité :

 

(51)           KjK’l + K’jKl = 0

 

En résolvant par rapport à K :

 

Kl = -KjK’lK’j/K’mK’m = dljKj

 

d’où,

 

K’lK’j = -dljK’mK’m

 

et, par contraction tensorielle :

 

(52)           K’mK’m = 0 => K’lK’j = 0 => K’l = 0 => f’ = 0

 

à une transformation globale près, qui peut être absorbée dans f.

 

Le résultat est sans appel :

 

(53)           f = 0  <=> R(s)ijkl = 0

 

SEULES LES PHASES NULLES NE GENERENT AUCUNE COURBURE STANDARD.

 

Le modèle de RG étendu nous montre alors sans aucune ambiguïté que :

 

(54)           Tik <> 0  <=>  gij = exp(2f)g(ns)ij  ,  f variable

 

LA PRESENCE D’UNE COMPOSANTE STANDARD DE SOURCE TRADUIT UNE GEOMETRIE CONFORMEMENT NON STANDARD ET RECIPROQUEMENT.

 

Voilà pourquoi il était nécessaire de comprendre le lien entre sources substantielles et potentiels de champ.

 

 

B 166: MATIERE NON STANDARD

Le 05/08/2019

On connaît le dicton : il n’y a que les imbéciles qui ne changent jamais d’avis.

 

La dépendance explicite en les coordonnées spatio-temporelles sera partout sous-entendue dans ce qui suit.

 

A supposer que la théorie d’Einstein représente correctement le champ de gravitation, alors c’est la seule théorie de physique fondamentale connue à ce jour qui possède la propriété d’être non seulement UNIVERSELLE, mais AUTO-SUFFISANTE. En effet, dans les équations de champ :

 

(1)               Eij = Rij - ½ Rgij = (8pi k/c4)Tij

 

le concept de « matière », représentée par le tenseur symétrique Tik, est si général que, d’un point de vue purement terminologique, je préfère le désigner sous le nom de « substances standards », c’est-à-dire, les substances reconnues dans le Modèle Standard. Ces substances, on le sait, se classent en deux grandes catégories :

 

-         celles dites « matérielles », de type fermionique (à spins demi-entiers) et leurs vrais vides associés ;

-         celles dites « radiatives », de type bosonique (à spins entiers) et leurs vrais vides associés.

 

En effet, les états de vrai vide, qui ont un caractère global, présentent un potentiel absolument minimal, mais NON NUL. Ces valeurs de potentiel, couplées au tenseur métrique gij de l’espace-temps, fournissent alors des SOURCES SUBSTANTIELLES à des CHAMPS de gravitation. Ces vrais vides sont standards, parce que reconnus dans le Modèle Standard, bien qu’ils ne comportent aucun composant substantiel.

 

En fait, la valeur Tij = 0 (identiquement) ne peut s’obtenir que dans le cas de vides SYMETRIQUES. Dès qu’il y a brisure spontanée de symétrie, il y a apparition de vrais vides et de sources de gravité. Les ONDES DE GRAVITATION (« ondes G »), solutions de :

 

(2)               Rij = 0

 

ne peuvent donc apparaître qu’en l’absence de tout ordre global.

 

En ce qui concerne L’AUTO-SUFFISANCE de la théorie, comme le démontrent Landau et Lifchitz dans leur chapitre consacré à ces ondes, elles peuvent ELLES-MÊMES servir de « champ de fond » (« background field ») A LEUR PROPRE PROPAGATION DANS L’ESPACE-TEMPS. Ceci, parce que l’espace-temps PLAN obéit aux conditions Rijkl = 0, plus générales que (2).

 

Enfin, dernier aspect essentiel de la théorie, les équations (1) contiennent les équations du mouvement des substances standards créant le champ :

 

(3)               DiTij = 0

 

La seule chose qu’il manque, c’est l’équation d’état de cette matière, puisque la théorie d’Einstein est purement mécanique.

 

Il s’avère tout à fait possible de généraliser ENCORE PLUS la théorie d’Einstein. Le tenseur d’Einstein Eij n’est que l’invariant du tenseur de 4ème ordre :

 

(4)               Eijkl = Rijkl - R(gikgjl - gjkgil)/2(D - 1)         (D = 3 ou 4)

 

Il en résulte que les équations de la RG (1) peuvent aussi s’obtenir comme invariants du 2nd ordre des équations de champ plus générales :

 

(5)               Eijkl = (8pi k/c4)Tijkl

 

Tijkl est un « tenseur substance » du 4ème ordre, dont seul L’INVARIANT DU 2ND ORDRE fournit des substances « standards » :

 

(6)               Tik = Tijklgjl

 

Du point de vue physique, cela exprime le fait que toute substance « standard » , Y COMPRIS LES VIDES SYMETRIQUES, s’obtient par superposition linéaire de matière « NON standard » puisque Tik = 0 N’IMPLIQUE PAS Tijkl = 0. On voit bien que cette forme de « substance » :

 

(7)               Tijkl  ,  Tik = 0

 

ne peut que présenter des propriétés physiques TOTALEMENT ETRANGERES A TOUT CE QUI EST CONNU, bien que la matière connue en découle. En dimension D = 3 ou 4 (les valeurs qui nous intéressent) :

 

(8)               Rijkl = (8pi k/c4)[Tijkl - T(gikgjl - gjkgil)/(D - 1)(D - 2)]

(9)               Rik = (8pi k/c4)[Tik - Tgik/(D - 2)]

(10)           R = -16pi kT/c4(D - 2)

 

On déduit de ces équations que :

 

(11)           Tijkl = 0  <=>  Rijkl = 0

 

L’espace-temps plan est vide de toute substance, standard ou non, et réciproquement. On retrouve, bon gré, mal gré, une notion de « néant ». Afin d’interpréter correctement les nouvelles équations de champ, il faut partir de la forme la plus générale, soit (4-5) ou (8). Et la conclusion est la suivante :

 

UNE SUBSTANCE NON STANDARD PRODUIT UN CHAMP DE GRAVITATION.

 

SI CETTE SUBSTANCE DONNE LIEU, PAR COUPLAGE AVEC LES POTENTIELS DU CHAMP AINSI Créé ET SUPERPOSITION LINEAIRE, A UN VIDE SYMETRIQUE, ON EST EN PRESENCE D’ONDES GRAVITATIONNELLES.

 

SINON, SI SEUL UN COUPLAGE DU 2ND ORDRE FOURNIT UN RESULTAT NUL (T = 0), ON EST EN PRESENCE D’UN CHAMP DE GRAVITATION DANS UN ESPACE-TEMPS PLAT (R = 0).

 

Les équations de champ sont claires, en effet : Rijkl fait référence à un champ G de potentiels gij. Il n’y a pas de « champ G non standard produit par des substances non standards » : ce sont les SOURCES de champ qui sont standards ou non.

 

Pour ce qui est de la conservation des objets physiques en présence, la conservation des sources standards SEULES répond à l’équation :

 

(12)           diTik = 0

 

La conservation de ces sources ET DU CHAMP G QU’ELLES PRODUISENT, elle, s’écrit :

 

(13)           DiTik = 0

 

Il s’ensuit que, si l’on souhaite exprimer la conservation des sources NON standards, étant donné que celles-ci NE PEUVENT PLUS EXISTER EN DEHORS DU CHAMP G QU’ELLES CREENT [cf (11)], on ne peut partir que des seules relations vérifiées en toutes circonstances, les identités de Bianchi sur le tenseur courbure :

 

(14)           DmRijkl + DiRjmkl + DjRmikl = 0

 

qui donnent, par contraction tensorielle,

 

(15)           DiRik = ½ dkR  =>  DiEik = 0

(16)           DkRijkl = DiRjl - DjRil

 

Des équations (8) à (10), on en tire :

 

(17)           DkTijkl = DiTjl - DjTil - (gjldiT - gildjT)/(D - 1)

     = Di[Tjl - gjlT/(D - 1)] - Dj[Til - gilT/(D - 1)]

 

dont l’invariant est (3).

 

Les équations (17) établissent les conditions générales de conservation des sources non standards. On voit qu’elles dépendent généralement des sources STANDARDS, via un ROTATIONNEL. On constate aussi qu’à cause de (11), il n’est plus possible de les dissocier du champ qu’elles créent : on a affaire à un « TOUT », un système « sources/champ » indissociable. Si l’on est dans un vide symétrique :

 

(18)           Tik = 0  =>  DkTijkl = 0

 

Je me demande sérieusement si je n’ai pas fini par trouver ce que je cherchais…

 

 

B 165: PAS DE "REVOLUTION QUANTIQUE"...

Le 25/06/2019

Cette bidouille s’adresse tout particulièrement aux théoriciens de la physique.

 

Non. Y a jamais eu de « révolution quantique ». C’est vous qui vous êtes faits une soupe pas possible. Il serait faux de dire que vous n’avez rien conçu de nouveau : vous avez développé les outils mathématiques pour l’analyse des signaux probabilistes. Ça, oui. Pour le reste :

 

IL N’Y A AUCUNE DIFFERENCE ENTRE LE « CLASSIQUE » ET LE « QUANTIQUE ».

 

Naturellement, on va démontrer tout ça.

 

Quand vous localisez le cdg d’un système de corps à D ddls en un point x de l’espace de configuration (de dimension D, donc), vous choisissez une base {e*a}a=1,…,D de représentation et vous exprimez x d’après ses composantes x:

 

(1)               x = xae*a

 

Les grandeurs covariantes seront notées avec une étoile, pour signifier leur caractère dual. On réécrit (1) sous la forme parfaitement équivalente :

 

(2)               x = x(a)e*(a)

 

la sommation sur l’indice a étant encore sous-entendue. On voit que l’on a deux applications :

 

(3)               x , e* : {1,…,D} -> R  ,  a -> x(a) , e*(a)

 

J’ai un nombre de ddls ENTIER parce que a est un paramètre DISCRET. Or, tout SIGNAL confiné dans un volume DELIMITé et FINI est AUTOMATIQUEMENT DISCRET, qu’il représente un système macroscopique ou microscopique. Il n’y a donc pas de différence entre signal « classique » (i.e. « macroscopique ») et signal « quantique » (i.e. « microscopique ») : la quantification au sens de Planck vaut pour les deux et c’est d’ailleurs pour cela qu’on trouve des comportements « de type quantique » en astronomie, là ou, a priori, ils n’auraient rien à faire.

 

C’EST L’EXISTENCE DE CONDITIONS AUX LIMITES FINIES QUI DISCRETISE LES SIGNAUX.

 

Mais, poussons plus loin l’analyse et prenons, cette fois, un volume OUVERT. Le spectre du signal devient CONTINU. Mathématiquement, cela s’exprime par le fait que a est devenu un paramètre CONTINU : a est dans un intervalle I inclus ou égal à R. On se retrouve en dimension INFINIE. Pour étendre (1) et (2) à la dimension infinie, on fait appel à Cantor. On commence déjà par faire tendre D vers l’infini DENOMBRABLE, puisque D était auparavant discret. Ça nous donne la dimension cantorienne dénombrable omega, ou « puissance du dénombrable ». Comme il n’y a qu’un seul paramètre, cette dimension sera de 1 AU SENS DE CANTOR :

 

(4)               a dans N  => ccd(a) = 1

 

(ccd = countable Cantor dimension). Ensuite, on passe à la « puissance du continu » : aleph = 2^omega et on obtient une dimension cantorienne NON-DENOMBRABLE 1 :

 

(5)               a dans I inclus ou égal à R  => ucd(a) = 1

 

(ucd = uncountable Cantor dimension).

 

Y a des DEGRéS D’INFINITé chez Cantor…

 

Une fois que votre paramètre a est devenu continu, vous pouvez remplacer les sommes discrètes (1) et (2) par des intégrales :

 

(6)               x = SI x(a)e*(a)da = SI xae*ada

 

Ces notations ont un sens et l’intégrale retourne une valeur, INDEPENDANTE DE a. Vous êtes dans un espace FONCTIONNEL. Expliquez-moi la différence avec la « mécanique quantique »… on trouve la même chose en « mécanique classique ».

 

Ensuite, vous dites qu’en mécanique quantique, les observables (qui sont les seules grandeurs mesurables) sont représentées par des opérateurs, alors qu’en mécanique classique, elles le sont par des fonctions (ou des fonctionnelles).

 

Y a pas d’opérateur en mécanique classique… :| l’opérateur rotation, les opérateurs de transformation, c’est quoi ?

 

Vous prenez un opérateur quelconque T. Si vous le faites agir à gauche sur e*b,

 

Te*b = f*b

 

va représenter un autre covecteur, qui ne sera plus forcément unitaire. Si vous réalisez alors le produit tensoriel de ce nouveau covecteur avec e*a, vous obtenez un 2-tenseur qui n’a aucune raison d’être symétrique :

 

(7)               e*aTe*b = e*af*b = T*ab

 

mais, au contraire, dont les parties symétrique et antisymétrique seront données par

 

(8)               ½ (e*aTe*b + e*bTe*a) = T*(s)ab = T*(s)ba

(9)               ½ (e*aTe*b - e*bTe*a) = T*(a)ab = -T*(a)ba

 

Si vous recherchez plutôt un 2-tenseur mixte, vous pouvez prendre :

 

(10)           eaTe*b = eaf*b = Tab

 

ou bien,

 

(11)           e*aTeb = e*afb = Tab

 

Si vous passez en dimension infinie, vous remplacez les sommes discrètes par des intégrales.

 

Qu’y-a-t-il de « quantique » là-dedans ?...

 

En plus, vous parlez de « mécanique des MATRICES », alors qu’il s’agit, en réalité, de « mécanique des TENSEURS », pour ne pas dire des « HOLEURS »…

 

Enfin, dernier point de la construction : les probabilités de présence.

 

MINCE ! ON N’AVAIT PAS REMARQUé QUE LA « FONCTION DE DISTRIBUTION » D’UN SYSTEME DE CORPS EST DEFINIE SUR L’ESPACE DES ETATS DE CARTAN, CONSTRUIT EN MECANIQUE « CLASSIQUE »…

 

Que cherchez-vous à démontrer avec vos « probabilités de présence » omniprésentes en microphysique ? C’est une propriété GENERALE des signaux qu’il est, non seulement physiquement, mais MATHEMATIQUEMENT, impossible de localiser simultanément le signal et son spectre avec une précision infinie… Du coup, les probabilités apparaissent PARTOUT… Elles apparaissent dans les faisceaux de trajectoires dès qu’il y a plus de 2 corps en interaction, elles apparaissent dans tous les cas REALISTES de signaux, c’est-à-dire, ceux transportant une INFORMATION UTILE et elles apparaissent dans les systèmes à très grand nombre de composants.

 

Avec Schrödinger, on fait donc de la physique STATISTIQUE. Forcément, y a des corrélations. Forcément, on va déterminer des MOYENNES et des FLUCTUATIONS.

 

Et alors ? Qu’est-ce que ça a de si différent des systèmes macroscopiques ?...

 

Vous voulez mieux ? Parlons de la théorie « classique » du champ vectoriel. On a un potentiel quadrivectoriel Aa(x1,…,x4), a = 1,2,3,4. ça s’écrit aussi A[x(a),a] : ça, ça s’appelle une FONCTIONNELLE. Le paramètre a est discret, il ne prend que 4 valeurs. Il y a quatre variables x(a) et quatre « potentiels de champ » A[x(a),a]. Les x(a) peuvent être continus : voyez (3) ci-dessus. Vous voulez aussi rendre a continu ? Pas de problème. Vous serez alors en ucd = 1 (1 paramètre).

 

Vous préférez un champ tensoriel gab(x1,…,x4) ? allez :

 

gab(x1,…,x4) = g[x(a),a,b] ou g[x(b),a,b]

 

peu importe. Vous avez deux paramètres a et b, vous êtes dans {1,2,3,4}². Si vous passez au continu, vous serez en ucd = 2. Et ainsi de suite.

 

Vous nous associez un « opérateur impulsion » p^ avec la dérivée par rapport à la variable position correspondante et vous appelez ça une « quantification », QUAND TOUT LE MONDE APPELLE CA UNE TRANSFORMATION DE FOURIER… :|

 

Vous « quantifiez » que dalle… vous « linéarisez » que dalle. D’ailleurs, on avait présenté la « théorie quantique » comme une théorie LINEARISANTE, avant de proposer des équations « quantiques » NON LINEAIRES… :|

 

Que vous appeliez ça de la mécanique statistique du signal, tout à fait d’accord.

 

Mais alors, revenez au commutatif et remettez de l’ordre dans votre bordel, parce qu’on a assez perdu de temps comme ça, à rechercher des différences entre macro- et microphysique QUI N’EXISTENT PAS.

 

J’en ai rien à foutre de votre constante h et de vos tentatives de justification à partir de sa valeur. Tout ce que je vois, c’est que je passe mon temps A RECTIFIER VOS ERREURS, A REMETTRE DE L’ORDRE DANS VOTRE FOUTOIR, au lieu d’avancer. J’ai déjà un mal fou à essayer de trouver quoi que ce soit d’un tantinet cohérent dans un cadre de recherche où il n’y a quasiment aucune donnée fiable, je n’ai pas vocation à faire votre travail. Mais, si je ne le fais pas, JE NE COMPRENDS RIEN…

 

J’ai passé des années à croire que la « théorie quantique » pourrait apporter des réponses aux phénomènes « paranormaux », PARCE QU’ELLE ETAIT DIFFERENTE DE LA « THEORIE CLASSIQUE »…

 

PARCE QUE C’EST-CE QUE VOUS ECRIVEZ DANS VOS BOUQUINS. TOUS.

 

Et qu’on n’apprend certes pas la physique en apprenant par cœur, mais on n’a pas non plus vocation à devenir épistémologue… On est censé suivre un raisonnement LOGIQUE, FORMEL, on ne pense donc pas à remettre en cause les prédécesseurs. Mais, quand ils nous envoient dans un mur, faut bien s’y résoudre… :(

 

Toutefois, on est bien loin de se douter qu’on va trouver un merdier aussi INCOMMENSURABLE, où tout est mélangé, les paramètres, les variables, les espaces, tout.

 

Faut tout remettre en ordre. Alors, oui, je gueule.

 

Vous voulez bien m’expliquer pourquoi la physique APPLIQUEE fait des bonds de géant, alors que la physique FONDAMENTALE stagne depuis des décennies ?...

 

Chez nous, on ne peut pas faire de science appliquée. On ne peut pas mettre des gens en état de mort cérébrale pour « voir comment que ça se passe » : c’est illégal. Donc, on ne peut s’appuyer que sur les PRINCIPES. Et, si la construction théorique foire… faut rechercher l’origine de la panne…

 

 

B 164: Théories COMMUTATIVES du champ

Le 25/06/2019

Bonne nouvelle, le calcul « holoriel » est toujours d’actualité :

 

https://www.amazon.fr/Theory-Holors-Generalization-Moon-Spencer/dp/0521019001

 

mais sous 2 ISBNs différents du premier (0 521 24585 0) et pas tout à fait au prix que je l’ai acheté (51 euros pour la version brochée, contre 5 £ en 1992 version reliée - je te le revends quand tu veux, Zarma, même à moitié prix, je fais encore la bonne marge… lol).

 

L’argument des auteurs n’a, en lui-même, rien de nouveau, c’est une propriété bien connue en calcul tensoriel : si A et B sont des n- et p-tenseurs, respectivement, le produit TENSORIEL de A par B est un (n + p)-tenseur égal au produit tensoriel de B par A. Le produit tensoriel est donc COMMUTATIF. Par exemple, pour n = p = 2 :

 

Cabcd = AabBcd = BcdAab

 

C’est assez évident, s’agissant de NOMBRES USUELS. Cette commutativité du produit tensoriel n’a RIEN A VOIR avec les éventuelles propriétés de SYMETRIE de C, qui s’appliquent aux INDICES. Par exemple, si C est symétrique en la permutation des paires (ab) et (cd), alors :

 

Cabcd = Ccdab = AabBcd = AcdBab

 

Si le produit tensoriel est commutatif, il semble tout aussi évident que tout INVARIANT de ce produit sera également commutatif. Or, avec un 4-tenseur, on peut déjà construire les 6 invariants d’ordre 2 suivants :

 

Caacd = AaaBcd = Tr(A)Bcd  ->  Tr(A)B

Cabad = AabBad = (tA)baBad  ->  (tA)B

Cabca = AabBca = BcaAab      ->  (tB)A

Cabbd = AabBbd                     ->  AB

Cabcb = AabBcb = Aab(tB)bc  ->  A(tB)

Cabcc = AabBcc = AabTr(B)  ->  Tr(B)A

 

Après les flèches, j’ai écrit le résultat en calcul MATRICIEL. Le 3ème semble incorrect : on pourrait plutôt s’attendre à BA. En Réalité, c’est ça qui s’avère incorrect. L’explication sera fournie plus bas. Pour le moment, on se focalise sur la différence entre produit MATRICIEL et produit TENSORIEL CONTRACTé (ou produit « invariant » ou encore « de convolution ») : le produit matriciel est SPECIFIQUE ; il stipule que le produit de deux matrices DOIT s’effectuer comme suit : AabBbc ou AabBbc. Soit, le dernier indice de A contracté avec le premier indice de B et ainsi de suite, pour les invariants d’ordres supérieurs. Il en résulte que :

 

Le produit matriciel est un SOUS-PRODUIT du produit convolutif. Ce dernier ne requiert aucune spécificité, il se contente de sommer sur deux indices. QUELLE QUE SOIT LEUR PLACE.

 

Il existe nombre d’ouvrages dans lesquels les auteurs tentaient de justifier la « différence de nature » entre matrices et tenseurs : « attention, une matrice N’EST PAS un tenseur ; un tenseur est associé à des transformations de SYSTEMES DE COORDONNEES ; une matrice est associée à des transformations LAISSANT UNE FORME MULTILINEAIRE INVARIANTE »… :|

 

C’est assez absurde comme tentative de justification, puisque les matrices comme les tenseurs sont des chapitres de l’algèbre multilinéaire… Il suffit de lire Laurent Schwartz pour se convaincre DU CONTRAIRE : lui, donne une définition UNIVERSELLE des tenseurs comme solution d’un problème de linéarisation. Et, pour cette raison, il va travailler le plus possible SANS DEFINIR DE BASES. C’est-à-dire qu’il va fournir des définitions et propriétés INTRINSEQUES des tenseurs et des champs de tenseurs, INDEPENDANTES DU CHOIX D’UN SYSTEME DE COORDONNEES, de manière à pouvoir les utiliser DANS N’IMPORTE QUEL CONTEXTE ALGEBRIQUE. Pas seulement dans des espaces, « métriques » (i.e. riemanniens) ou non, mais aussi dans des anneaux, des algèbres, des modules…

 

Il n’y a donc aucune différence fondamentale entre matrices et tenseurs. En fait, les tenseurs ont été introduits en relation avec des systèmes d’axes. C’est seulement par la suite qu’on leur a donné des définitions beaucoup plus générales, liées à l’algèbre multilinéaire. La différence est donc essentiellement HISTORIQUE…

 

C’est ce qu’ont voulu montrer les auteurs. Ensuite, ils sont allé plus loin et ont cherché à regrouper la notion de tenseur et celle de PSEUDO-tenseur, c’est-à-dire d’un objet géométrique qui se présente COMME un tenseur, mais qui NE SE TRANSFORME PAS comme un tenseur. Le cas typique, c’est le symbole de Christoffel, qui peut s’annuler dans un système de coordonnées, mais pas dans les autres, si l’hypothèse de Riemann s’applique à l’espace étudié. Or, un tenseur qui s’annule dans UN système de coordonnées s’annule dans TOUS LES AUTRES. Pas facile de réconcilier deux objets apparemment contradictoires. Et c’est là que les « holeurs » sont apparus : comme GENERALISATIONS DES TENSEURS.

 

Tout tenseur est un holeur et tout pseudo-tenseur est un « akineteur », qui est une VARIETE d’holeur. Donc, les deux objets entre dans la même CATEGORIE…

 

La suite est une question D’INDICES et D’INVARIANTS. Comme on l’a vu plus haut, à partir de deux tenseurs d’ordre 2, on obtient un tenseur d’ordre 4 dont on peut déjà tirer SIX invariants, six « sous-tenseurs » d’ordre 2. En comparaison, le produit matriciel n’en autorise QU’UN SEUL…

 

Dès lors, on comprend mieux l’apparente « perte de commutativité » dans le calcul matriciel…

 

En observant les objets géométriques dans cette « super-catégorie » des holeurs, les auteurs en sont arrivés à la conclusion que toutes les opérations INDICIELLES tournaient autour de deux REGLES, deux « conventions », qu’ils auraient très bien pu nommer « axiomes de base » :

 

-         la première convention stipule que les éléments de l’algèbre holorielle (nombres usuels, matrices, tenseurs ou pseudo-tenseurs) soient disposés de manière à ce que les indices apparaissent toujours en ordre CROISSANT DE GAUCHE A DROITE ET DU HAUT VERS LE BAS ;

-         la seconde, qui démontre pleinement la commutativité et l’associativité du produit, contracté ou non, stipule que, pour un holeur bivalent avec des indices placés DANS L’ORDRE ALPHABETIQUE (on peut utiliser l’alphabet que l’on veut), les éléments sont disposés COMME POUR LE CALCUL MATRICIEL.

 

Ainsi, règle n°1 : je dois écrire les vecteurs dans l’ordre Va = (V1,V2,…,Vn) et Va = (V1,V2,…,Vn) ; les 2-tenseurs, comme Tab, Tab, Tab ou Tab ; etc. Si j’écris Tba, Tba, Tba ou Tba, j’obtiens les TRANSPOSéS des tenseurs précédents.

 

Règle n°2 : quand il existe, l’inverse du 2-tenseur Tab est le 2-tenseur Uca tel que UcaTab = dcb. Comme Uca est écrit dans l’ordre ANTI-alphabétique, il désigne le TRANSPOSé tU de U. C’est pour cette raison que Cabca = AabBca = BcaAab se lit  « (tB)A » en calcul matriciel et non « BA ».

 

Si l’on respecte ces deux règles, les calculs sont CORRECTS, les équations, EQUILIBREES et l’algèbre holorielle est une algèbre COMMUTATIVE, ASSOCIATIVE ET DISTRIBUTIVE PAR RAPPORT A L’ADDITION. Si l’on définit une algèbre unifère comme étant une algèbre possédant AU MOINS une unité, alors l’algèbre holorielle est unifère. Par contre, elle ne constitue pas un corps algébrique, parce que les éléments dont le déterminant est nul n’ont pas d’inverse fini.

 

L’ALGEBRE HOLORIELLE EST UN ANNEAU COMMUTATIF UNIFERE (au sens large), MAIS PAS INTEGRE.

 

C’est quand même toujours mieux que les algèbres de Lie…

 

 

B 163: HYPERCHAMPS

Le 25/06/2019

Je crois avoir déjà mentionné le terme « d’hyperchamps » dans ce blog, mais je vais revenir dessus. Concrètement, un champ donne naissance à un mouvement et le modifie par la suite. Un hyperchamp crée un champ et modifie ensuite sa dynamique.

 

Pour bien fixer le contexte, on revient d’abord sur le mouvement d’un corps dans l’espace 3D, plongé dans un champ extérieur de type gravitationnel, parce que ce type de champ est universel et permet de construire des champs plus spécifiques. Il s’agit tout d’abord de bien identifier les objets physiques. L’espace PARAMETRIQUE est de dimension 1, le paramètre dynamique est le temps t. L’espace PHYSIQUE est de dimension 3, les variables sont les coordonnées spatiales xa (a = 1,2,3). L’espace des TRAJECTOIRES xa(t) AU COURS DU TEMPS est l’espace MOBILE E3(t), de dimension infinie, dans l’hypothèse du continuum temporel. Le paramètre temporel a un caractère « absolu », c’est-à-dire qu’il est le même partout, alors que les variables de position xa ont un caractère « relatif », c’est-à-dire qu’elles prennent des aspects différents d’un système de coordonnées (ou « référentiel physique ») à un autre. Ces rappels étant effectués, la dynamique du système corps - champ est décrite par le lagrangien :

 

(1)               L[x(t),v(t),t] = ½ m(t)va(t)va(t) + m(t)va(t)Ga[x(t),t]

(2)               va(t) = dxa(t)/dt

 

On notera également Dt, da et da(t), la dérivée totale par rapport au temps, la dérivée partielle par rapport à la coordonnée FIXE xa et celle par rapport à la coordonnée MOBILE xa(t), respectivement :

 

(3)               Dt = d/dt + va(t)da(t) , da = d/dxa , da(t) = d/dxa(t)

 

L’impulsion du système étant :

 

(4)               dL/dva(t) = m(t){va(t) + Ga[x(t),t]} = pa(t) + m(t)Ga[x(t),t]

 

les équations de mouvement du corps incident seront,

 

(5)               dpa(t)/dt = -(d/dt){m(t)Ga[x(t),t]} + m(t)Wab[x(t),t]pb(t)

(6)               Wab[x(t),t] = da(t)Gb[x(t),t] - db(t)Ga[x(t),t]

 

Ainsi, même si les Ga ne sont que continus en les xb(t) :

 

(7)               Ga[x(t),t] = G0,a(t)  =>  Wab[x(t),t] = 0       pour tout xb(t)

 

les équations (5) fournissent encore,

 

(8)               dpa(t)/dt = -(d/dt)[m(t)G0,a(t)]  =>  pa(t) = -m(t)G0,a(t) + pa(0)

 

C’est le champ qui donne naissance au mouvement du corps.

 

Le terme de droite dans (8) joue alors le rôle de force globale. Pour que cette force soit définie sur un intervalle de temps non nul, il suffit que le produit m(t)G0,a(t) soit C1 en t sur cet intervalle. Les conditions de l’apparition d’un mouvement sont donc très souples.

 

On transpose ces résultats au champ lui-même. L’espace paramétrique devient l’espace-temps 4D. Les paramètres dynamiques xa (a = 1,2,3,4) prennent un caractère absolu. L’espace de configuration est un « espace-temps gravitationnel » de coordonnées Ga. Ce sont ces variables qui prennent maintenant un caractère relatif. L’espace mobile correspondant est un espace de dimension infinie de coordonnées Ga(x), dans l’hypothèse d’un continuum spatio-temporel. Ces substitutions étant effectuées, les vitesses va(t) sont remplacées par les intensités de champ Wab(x), qui apparaissent comme des FREQUENCES, la masse m(t) du corps incident est remplacée par une DENSITE D’INERTIE i(x) et les potentiels de champ Ga[x(t),t], par des potentiels « d’hyperchamp » GAMab[G(x),x], antisymétriques. Le lagrangien du système corps - champ est remplacé par une DENSITE DE LAGRANGIEN champ - hyperchamp :

 

(9)               L[G(x),W(x),x] = ½ i(x)Wab(x)Wab(x) + i(x)Wab(x)GAMab[G(x),x]

(10)           Wab(x) = daGb(x) - dbGa(x)

 

Petite mise au point pas forcément inutile : en mécanique analytique, on raisonne en termes de lagrangiens et de densités de lagrangiens, mais le principe de base est le minimum d’action. Je préfère donc exprimer (1) comme une DENSITE TEMPORELLE D’ACTION, en Js/s = J et (9) comme une DENSITE SPATIO-TEMPORELLE D’ACTION, en Js/m4, au lieu des J/m3 habituels, qui traitent le paramètre du genre temps A PART des paramètres du genre espace. Or, la relativité d’Einstein rapporte cette différence de nature physique au niveau des propriétés METRIQUES de l’espace-temps. En dehors de ça, les 4 coordonnées xa se retrouvent au même pied d’égalité. Il est donc préférable d’intégrer sur un 4-VOLUME SPATIO-TEMPOREL, plutôt que sur un volume spatial 3D, PUIS intégrer sur le temps. La densité d’inertie i(x) va donc être une densité SPATIO-TEMPORELLE, ce qui est d’ailleurs plus logique vis-à-vis de la géométrie : en dimension d, les densités sont des d-formes.

 

La dérivée totale Dt dans (3) est remplacée par les dérivées TOTALES par rapport à CHAQUE paramètre:

 

(11)           Da = da + Wab(x)d/dGb(x)  , 

 

L’impulsion du champ étant :

 

(12)           dL/dWab(x) = i(x){Wab(x) + GAMab[G(x),x]}

 

les équations d’Euler-Lagrange,

 

(13)           DadL/dWab(x) = dL/dGb(x)

 

vont donner les équations de la dynamique du champ,

 

(14)           da[i(x)Wab(x)] = -da{i(x)GAMab[G(x),x]} + i(x)OMEabc[G(x),x]Wac(x)

(15)           OMEabc[G(x),x] = [d/dGb(x)]GAMac[G(x),x] - [d/dGc(x)]GAMab[G(x),x]

 

Les OMEabc sont antisymétriques en b et c et se mesurent en m-1. Les identités de Bianchi sur W restent inchangées :

 

(16)           daWbc(x) + dbWca(x) + dcWab(x) = 0

 

de sorte que l’invariance de jauge reste valable dans tous les cas,

 

(17)           Ga(x) -> Ga(x) + daf(x)  =>  Wab(x) -> Wab(x)

 

Si bien qu’on peut toujours se placer dans la jauge de Lorentz,

 

(18)           daGa(x) = 0            pour tout x

 

Comme dans le cas du système corps - champ, il suffit que les GAMab soient continus en les Gc(x) et C1 sur un domaine de l’espace-temps pour provoquer l’apparition du champ :

 

(19)           GAMab[G(x),x] = GAM0,ab(x)  =>  OMEabc[G(x),x] = 0         pour tout Gb(x)

=> Wab(x) = -GAM0,ab(x) + i(0)Wab(0)/i(x)

 

C’EST L’HYPERCHAMP QUI CREE LE CHAMP.

 

Le terme -da[i(x)GAM0,ab(x)] joue alors le rôle de DENSITE DE 4-IMPULSION. En prenant i(x) en kg/m², on trouve :

 

(20)           pb(x) = -da[i(x)GAM0,ab(x)]            en kg/m3s = (kgm/s)/m4

 

comme il se doit.

 

La relation (20) peut, de prime abord, donner l’impression que l’on tourne en rond et que l’introduction des hyperchamps n’apporte rien de nouveau. Tout au contraire :

 

L’INTERET MAJEUR DES HYPERCHAMPS EST DE RENFERMER EN UN SEUL OBJET GEOMETRIQUE LE CHAMP ET SA SOURCE.

 

Pour des GAMab CN en les Gc(x) :

 

(21)           GAMab[G(x),x] = GAM0,ab(x) +

+ Sn=1N GAMn,abc(1)…c(n)(x)Gc(1)(x)…Gc(n)(x)/n!

 

(on peut même inclure un reste intégral à l’ordre N+1), les coefficients sont calculés A CHAMP NUL. Ils ne sont donc forcément de nature différente. (21) exprime plutôt la superposition linéaire de COUPLAGES SOURCE - CHAMP à des degrés allant de 0 à N. Ensuite, c’est une question de statistiques quantiques. Ici, nous avons pris l’exemple d’un champ 4-vectoriel de type gravitationnel, donc bosonique, de spin 1. Mais, s’agissant d’espaces de CONFIGURATION, on peut considérer des sources et des champs aussi bien bosoniques que fermioniques. Rien n’est spécifié sur les coefficients de GAMab, hormis qu’ils sont symétriques en les indices c(1) à c(n).

 

Pour passer à des champs non gravitationnels, on utilise les relations bien connues :

 

(22)           q(t)Aa[x(t),t] = m(t)Ga[x(t),t]

 

entre masses et charges.

 

Enfin, contrairement à la supersymétrie, on n’a plus besoin d’étendre l’espace-temps PHYSIQUE en un « super-espace-temps » de dimension 8. Avec les hyperchamps, l’espace-temps ne fait que passer « au second plan ». C’est un espace ABSTRAIT qui passe « au premier plan » mais ceci n’a aucune importance, puisque l’on ne retrouve que des composantes de CHAMPS dès que l’on décompose les hyperchamps en séries de puissances.

 

Je ne peux pas encore dire si les hyperchamps peuvent nous êtres utiles à quelque chose par la suite. Tout ce que je peux dire, c’est que nous en avons des exemples à foison en TQRC. Ce n’est donc pas qu’un simple exercice « esthétique »…

 

Quant à Maxwell, regardez (19-20) : c’est une théorie « d’ordre zéro ». Par contre, en TQRC, ça devient une théorie « d’ordre 1 » (GAMab linéaires en les Gc). ça explique pourquoi, du point de vue « classique », la portée de l’interaction électromagnétique est illimitée, alors que, du point de vue « quantique », sa portée est limitée : parce que l’hyperchamp y est un peu plus régulier (moins « grossier »).

 

 

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