Bonne nouvelle, le calcul « holoriel » est toujours d’actualité :

 

https://www.amazon.fr/Theory-Holors-Generalization-Moon-Spencer/dp/0521019001

 

mais sous 2 ISBNs différents du premier (0 521 24585 0) et pas tout à fait au prix que je l’ai acheté (51 euros pour la version brochée, contre 5 £ en 1992 version reliée - je te le revends quand tu veux, Zarma, même à moitié prix, je fais encore la bonne marge… lol).

 

L’argument des auteurs n’a, en lui-même, rien de nouveau, c’est une propriété bien connue en calcul tensoriel : si A et B sont des n- et p-tenseurs, respectivement, le produit TENSORIEL de A par B est un (n + p)-tenseur égal au produit tensoriel de B par A. Le produit tensoriel est donc COMMUTATIF. Par exemple, pour n = p = 2 :

 

C_abcd = A_abB_cd = B_cdA_ab

 

C’est assez évident, s’agissant de NOMBRES USUELS. Cette commutativité du produit tensoriel n’a RIEN A VOIR avec les éventuelles propriétés de SYMETRIE de C, qui s’appliquent aux INDICES. Par exemple, si C est symétrique en la permutation des paires (ab) et (cd), alors :

 

C_abcd = C_cdab = A_abB_cd = A_cdB_ab

 

Si le produit tensoriel est commutatif, il semble tout aussi évident que tout INVARIANT de ce produit sera également commutatif. Or, avec un 4-tenseur, on peut déjà construire les 6 invariants d’ordre 2 suivants :

 

C_a^a_cd = A_a^aB_cd = Tr(A)B_cd  ->  Tr(A)B

C_ab^a_d = A_abB^a_d = (^tA)_baB^a_d  ->  (^tA)B

C_abc^a = A_abB_c^a = B_c^aA_ab      ->  (^tB)A

C_ab^b_d = A_abB^b_d                     ->  AB

C_abc^b = A_abB_c^b = A_ab(^tB)^b_c  ->  A(^tB)

C_abc^c = A_abB_c^c = A_abTr(B)  ->  Tr(B)A

 

Après les flèches, j’ai écrit le résultat en calcul MATRICIEL. Le 3^ème semble incorrect : on pourrait plutôt s’attendre à BA. En Réalité, c’est ça qui s’avère incorrect. L’explication sera fournie plus bas. Pour le moment, on se focalise sur la différence entre produit MATRICIEL et produit TENSORIEL CONTRACTé (ou produit « invariant » ou encore « de convolution ») : le produit matriciel est SPECIFIQUE ; il stipule que le produit de deux matrices DOIT s’effectuer comme suit : A_abB^b_c ou A_a^bB_bc. Soit, le dernier indice de A contracté avec le premier indice de B et ainsi de suite, pour les invariants d’ordres supérieurs. Il en résulte que :

 

Le produit matriciel est un SOUS-PRODUIT du produit convolutif. Ce dernier ne requiert aucune spécificité, il se contente de sommer sur deux indices. QUELLE QUE SOIT LEUR PLACE.

 

Il existe nombre d’ouvrages dans lesquels les auteurs tentaient de justifier la « différence de nature » entre matrices et tenseurs : « attention, une matrice N’EST PAS un tenseur ; un tenseur est associé à des transformations de SYSTEMES DE COORDONNEES ; une matrice est associée à des transformations LAISSANT UNE FORME MULTILINEAIRE INVARIANTE »… :|

 

C’est assez absurde comme tentative de justification, puisque les matrices comme les tenseurs sont des chapitres de l’algèbre multilinéaire… Il suffit de lire Laurent Schwartz pour se convaincre DU CONTRAIRE : lui, donne une définition UNIVERSELLE des tenseurs comme solution d’un problème de linéarisation. Et, pour cette raison, il va travailler le plus possible SANS DEFINIR DE BASES. C’est-à-dire qu’il va fournir des définitions et propriétés INTRINSEQUES des tenseurs et des champs de tenseurs, INDEPENDANTES DU CHOIX D’UN SYSTEME DE COORDONNEES, de manière à pouvoir les utiliser DANS N’IMPORTE QUEL CONTEXTE ALGEBRIQUE. Pas seulement dans des espaces, « métriques » (i.e. riemanniens) ou non, mais aussi dans des anneaux, des algèbres, des modules…

 

Il n’y a donc aucune différence fondamentale entre matrices et tenseurs. En fait, les tenseurs ont été introduits en relation avec des systèmes d’axes. C’est seulement par la suite qu’on leur a donné des définitions beaucoup plus générales, liées à l’algèbre multilinéaire. La différence est donc essentiellement HISTORIQUE…

 

C’est ce qu’ont voulu montrer les auteurs. Ensuite, ils sont allé plus loin et ont cherché à regrouper la notion de tenseur et celle de PSEUDO-tenseur, c’est-à-dire d’un objet géométrique qui se présente COMME un tenseur, mais qui NE SE TRANSFORME PAS comme un tenseur. Le cas typique, c’est le symbole de Christoffel, qui peut s’annuler dans un système de coordonnées, mais pas dans les autres, si l’hypothèse de Riemann s’applique à l’espace étudié. Or, un tenseur qui s’annule dans UN système de coordonnées s’annule dans TOUS LES AUTRES. Pas facile de réconcilier deux objets apparemment contradictoires. Et c’est là que les « holeurs » sont apparus : comme GENERALISATIONS DES TENSEURS.

 

Tout tenseur est un holeur et tout pseudo-tenseur est un « akineteur », qui est une VARIETE d’holeur. Donc, les deux objets entre dans la même CATEGORIE…

 

La suite est une question D’INDICES et D’INVARIANTS. Comme on l’a vu plus haut, à partir de deux tenseurs d’ordre 2, on obtient un tenseur d’ordre 4 dont on peut déjà tirer SIX invariants, six « sous-tenseurs » d’ordre 2. En comparaison, le produit matriciel n’en autorise QU’UN SEUL…

 

Dès lors, on comprend mieux l’apparente « perte de commutativité » dans le calcul matriciel…

 

En observant les objets géométriques dans cette « super-catégorie » des holeurs, les auteurs en sont arrivés à la conclusion que toutes les opérations INDICIELLES tournaient autour de deux REGLES, deux « conventions », qu’ils auraient très bien pu nommer « axiomes de base » :

 

-         la première convention stipule que les éléments de l’algèbre holorielle (nombres usuels, matrices, tenseurs ou pseudo-tenseurs) soient disposés de manière à ce que les indices apparaissent toujours en ordre CROISSANT DE GAUCHE A DROITE ET DU HAUT VERS LE BAS ;

-         la seconde, qui démontre pleinement la commutativité et l’associativité du produit, contracté ou non, stipule que, pour un holeur bivalent avec des indices placés DANS L’ORDRE ALPHABETIQUE (on peut utiliser l’alphabet que l’on veut), les éléments sont disposés COMME POUR LE CALCUL MATRICIEL.

 

Ainsi, règle n°1 : je dois écrire les vecteurs dans l’ordre V^a = (V¹,V²,…,Vⁿ) et V_a = (V₁,V₂,…,V_n) ; les 2-tenseurs, comme T_ab, T_a^b, T^a_b ou T^ab ; etc. Si j’écris T_ba, T^b_a, T_b^a ou T^ba, j’obtiens les TRANSPOSéS des tenseurs précédents.

 

Règle n°2 : quand il existe, l’inverse du 2-tenseur T^ab est le 2-tenseur U_ca tel que U_caT^ab = d_c^b. Comme U_ca est écrit dans l’ordre ANTI-alphabétique, il désigne le TRANSPOSé ^tU de U. C’est pour cette raison que C_abc^a = A_abB_c^a = B_c^aA_ab se lit  « (^tB)A » en calcul matriciel et non « BA ».

 

Si l’on respecte ces deux règles, les calculs sont CORRECTS, les équations, EQUILIBREES et l’algèbre holorielle est une algèbre COMMUTATIVE, ASSOCIATIVE ET DISTRIBUTIVE PAR RAPPORT A L’ADDITION. Si l’on définit une algèbre unifère comme étant une algèbre possédant AU MOINS une unité, alors l’algèbre holorielle est unifère. Par contre, elle ne constitue pas un corps algébrique, parce que les éléments dont le déterminant est nul n’ont pas d’inverse fini.

 

L’ALGEBRE HOLORIELLE EST UN ANNEAU COMMUTATIF UNIFERE (au sens large), MAIS PAS INTEGRE.

 

C’est quand même toujours mieux que les algèbres de Lie…

 

Je crois avoir déjà mentionné le terme « d’hyperchamps » dans ce blog, mais je vais revenir dessus. Concrètement, un champ donne naissance à un mouvement et le modifie par la suite. Un hyperchamp crée un champ et modifie ensuite sa dynamique.

 

Pour bien fixer le contexte, on revient d’abord sur le mouvement d’un corps dans l’espace 3D, plongé dans un champ extérieur de type gravitationnel, parce que ce type de champ est universel et permet de construire des champs plus spécifiques. Il s’agit tout d’abord de bien identifier les objets physiques. L’espace PARAMETRIQUE est de dimension 1, le paramètre dynamique est le temps t. L’espace PHYSIQUE est de dimension 3, les variables sont les coordonnées spatiales x^a (a = 1,2,3). L’espace des TRAJECTOIRES x^a(t) AU COURS DU TEMPS est l’espace MOBILE E₃(t), de dimension infinie, dans l’hypothèse du continuum temporel. Le paramètre temporel a un caractère « absolu », c’est-à-dire qu’il est le même partout, alors que les variables de position x^a ont un caractère « relatif », c’est-à-dire qu’elles prennent des aspects différents d’un système de coordonnées (ou « référentiel physique ») à un autre. Ces rappels étant effectués, la dynamique du système corps - champ est décrite par le lagrangien :

 

(1)               L[x(t),v(t),t] = ½ m(t)v^a(t)v_a(t) + m(t)v^a(t)G_a[x(t),t]

(2)               v^a(t) = dx^a(t)/dt

 

On notera également D_t, d_a et d_a(t), la dérivée totale par rapport au temps, la dérivée partielle par rapport à la coordonnée FIXE x^a et celle par rapport à la coordonnée MOBILE x^a(t), respectivement :

 

(3)               D_t = d/dt + v^a(t)d_a(t) , d_a = d/dx^a , d_a(t) = d/dx^a(t)

 

L’impulsion du système étant :

 

(4)               dL/dv^a(t) = m(t){v_a(t) + G_a[x(t),t]} = p_a(t) + m(t)G_a[x(t),t]

 

les équations de mouvement du corps incident seront,

 

(5)               dp_a(t)/dt = -(d/dt){m(t)G_a[x(t),t]} + m(t)W_ab[x(t),t]p^b(t)

(6)               W_ab[x(t),t] = d_a(t)G_b[x(t),t] - d_b(t)G_a[x(t),t]

 

Ainsi, même si les G_a ne sont que continus en les x^b(t) :

 

(7)               G_a[x(t),t] = G_0,a(t)  =>  W_ab[x(t),t] = 0       pour tout x^b(t)

 

les équations (5) fournissent encore,

 

(8)               dp_a(t)/dt = -(d/dt)[m(t)G_0,a(t)]  =>  p_a(t) = -m(t)G_0,a(t) + p_a(0)

 

C’est le champ qui donne naissance au mouvement du corps.

 

Le terme de droite dans (8) joue alors le rôle de force globale. Pour que cette force soit définie sur un intervalle de temps non nul, il suffit que le produit m(t)G_0,a(t) soit C¹ en t sur cet intervalle. Les conditions de l’apparition d’un mouvement sont donc très souples.

 

On transpose ces résultats au champ lui-même. L’espace paramétrique devient l’espace-temps 4D. Les paramètres dynamiques x^a (a = 1,2,3,4) prennent un caractère absolu. L’espace de configuration est un « espace-temps gravitationnel » de coordonnées G_a. Ce sont ces variables qui prennent maintenant un caractère relatif. L’espace mobile correspondant est un espace de dimension infinie de coordonnées G_a(x), dans l’hypothèse d’un continuum spatio-temporel. Ces substitutions étant effectuées, les vitesses v^a(t) sont remplacées par les intensités de champ W_ab(x), qui apparaissent comme des FREQUENCES, la masse m(t) du corps incident est remplacée par une DENSITE D’INERTIE i(x) et les potentiels de champ G_a[x(t),t], par des potentiels « d’hyperchamp » GAM_ab[G(x),x], antisymétriques. Le lagrangien du système corps - champ est remplacé par une DENSITE DE LAGRANGIEN champ - hyperchamp :

 

(9)               L[G(x),W(x),x] = ½ i(x)W_ab(x)W^ab(x) + i(x)W^ab(x)GAM_ab[G(x),x]

(10)           W_ab(x) = d_aG_b(x) - d_bG_a(x)

 

Petite mise au point pas forcément inutile : en mécanique analytique, on raisonne en termes de lagrangiens et de densités de lagrangiens, mais le principe de base est le minimum d’action. Je préfère donc exprimer (1) comme une DENSITE TEMPORELLE D’ACTION, en Js/s = J et (9) comme une DENSITE SPATIO-TEMPORELLE D’ACTION, en Js/m⁴, au lieu des J/m³ habituels, qui traitent le paramètre du genre temps A PART des paramètres du genre espace. Or, la relativité d’Einstein rapporte cette différence de nature physique au niveau des propriétés METRIQUES de l’espace-temps. En dehors de ça, les 4 coordonnées x^a se retrouvent au même pied d’égalité. Il est donc préférable d’intégrer sur un 4-VOLUME SPATIO-TEMPOREL, plutôt que sur un volume spatial 3D, PUIS intégrer sur le temps. La densité d’inertie i(x) va donc être une densité SPATIO-TEMPORELLE, ce qui est d’ailleurs plus logique vis-à-vis de la géométrie : en dimension d, les densités sont des d-formes.

 

La dérivée totale D_t dans (3) est remplacée par les dérivées TOTALES par rapport à CHAQUE paramètre:

 

(11)           D_a = d_a + W_ab(x)d/dG^b(x)  , 

 

L’impulsion du champ étant :

 

(12)           dL/dW^ab(x) = i(x){W_ab(x) + GAM_ab[G(x),x]}

 

les équations d’Euler-Lagrange,

 

(13)           D^adL/dW^ab(x) = dL/dG^b(x)

 

vont donner les équations de la dynamique du champ,

 

(14)           d^a[i(x)W_ab(x)] = -d^a{i(x)GAM_ab[G(x),x]} + i(x)OME_abc[G(x),x]W^a_c(x)

(15)           OME_abc[G(x),x] = [d/dG^b(x)]GAM_ac[G(x),x] - [d/dG^c(x)]GAM_ab[G(x),x]

 

Les OME_abc sont antisymétriques en b et c et se mesurent en m^-1. Les identités de Bianchi sur W restent inchangées :

 

(16)           d_aW_bc(x) + d_bW_ca(x) + d_cW_ab(x) = 0

 

de sorte que l’invariance de jauge reste valable dans tous les cas,

 

(17)           G_a(x) -> G_a(x) + d_af(x)  =>  W_ab(x) -> W_ab(x)

 

Si bien qu’on peut toujours se placer dans la jauge de Lorentz,

 

(18)           d^aG_a(x) = 0            pour tout x

 

Comme dans le cas du système corps - champ, il suffit que les GAM_ab soient continus en les G_c(x) et C¹ sur un domaine de l’espace-temps pour provoquer l’apparition du champ :

 

(19)           GAM_ab[G(x),x] = GAM_0,ab(x)  =>  OME_abc[G(x),x] = 0         pour tout G^b(x)

=> W_ab(x) = -GAM_0,ab(x) + i(0)W_ab(0)/i(x)

 

C’EST L’HYPERCHAMP QUI CREE LE CHAMP.

 

Le terme -d^a[i(x)GAM_0,ab(x)] joue alors le rôle de DENSITE DE 4-IMPULSION. En prenant i(x) en kg/m², on trouve :

 

(20)           p_b(x) = -d^a[i(x)GAM_0,ab(x)]            en kg/m³s = (kgm/s)/m⁴

 

comme il se doit.

 

La relation (20) peut, de prime abord, donner l’impression que l’on tourne en rond et que l’introduction des hyperchamps n’apporte rien de nouveau. Tout au contraire :

 

L’INTERET MAJEUR DES HYPERCHAMPS EST DE RENFERMER EN UN SEUL OBJET GEOMETRIQUE LE CHAMP ET SA SOURCE.

 

Pour des GAM_ab C^N en les G^c(x) :

 

(21)           GAM_ab[G(x),x] = GAM_0,ab(x) +

+ S_n=1^N GAM_{n,abc(1)…c(n)}(x)G^c(1)(x)…G^c(n)(x)/n!

 

(on peut même inclure un reste intégral à l’ordre N+1), les coefficients sont calculés A CHAMP NUL. Ils ne sont donc forcément de nature différente. (21) exprime plutôt la superposition linéaire de COUPLAGES SOURCE - CHAMP à des degrés allant de 0 à N. Ensuite, c’est une question de statistiques quantiques. Ici, nous avons pris l’exemple d’un champ 4-vectoriel de type gravitationnel, donc bosonique, de spin 1. Mais, s’agissant d’espaces de CONFIGURATION, on peut considérer des sources et des champs aussi bien bosoniques que fermioniques. Rien n’est spécifié sur les coefficients de GAM_ab, hormis qu’ils sont symétriques en les indices c(1) à c(n).

 

Pour passer à des champs non gravitationnels, on utilise les relations bien connues :

 

(22)           q(t)A_a[x(t),t] = m(t)G_a[x(t),t]

 

entre masses et charges.

 

Enfin, contrairement à la supersymétrie, on n’a plus besoin d’étendre l’espace-temps PHYSIQUE en un « super-espace-temps » de dimension 8. Avec les hyperchamps, l’espace-temps ne fait que passer « au second plan ». C’est un espace ABSTRAIT qui passe « au premier plan » mais ceci n’a aucune importance, puisque l’on ne retrouve que des composantes de CHAMPS dès que l’on décompose les hyperchamps en séries de puissances.

 

Je ne peux pas encore dire si les hyperchamps peuvent nous êtres utiles à quelque chose par la suite. Tout ce que je peux dire, c’est que nous en avons des exemples à foison en TQRC. Ce n’est donc pas qu’un simple exercice « esthétique »…

 

Quant à Maxwell, regardez (19-20) : c’est une théorie « d’ordre zéro ». Par contre, en TQRC, ça devient une théorie « d’ordre 1 » (GAM_ab linéaires en les G^c). ça explique pourquoi, du point de vue « classique », la portée de l’interaction électromagnétique est illimitée, alors que, du point de vue « quantique », sa portée est limitée : parce que l’hyperchamp y est un peu plus régulier (moins « grossier »).

 

Dans la théorie mathématique des ENVELOPPES. Regardez.

 

Soit F(x,y) = 0 la forme implicite de l’équation d’une courbe et F(x,y,a) = 0, celle d’une famille de courbes paramétrées par a. On suppose que a varie continûment et que F est continûment dérivable en a. Pour CHAQUE valeur de a,

 

(1)               F(x,y,a) = 0

 

est une formule LOCALE, puisqu’elle correspond à une seule courbe. Par contre, l’élimination de a entre (1) et :

 

(2)               (d/da)F(x,y,a) = 0

 

conduit à une formule GLOBALE, puisqu’indépendante du paramètre a. Plus précisément, posons :

 

(3)               (d/da)F(x,y,a) = F₁(x,y,a)

 

Alors, F₁(x,y,a) = 0 donne, sous forme explicite, la surface :

 

(4)               a = f₁(x,y)

 

qui, une fois reportée dans (1), conduit à l’expression,

 

(5)               F[x,y,f₁(x,y)] = F’(x,y) = 0  =>  y = y(x)

 

soit la courbe ENVELOPPE des courbes (1). Cette dernière courbe est bien GLOBALE et elle ne dépend PLUS de a. ça veut dire que :

 

QUELLE QUE SOIT LA VALEUR DE a, LA COURBE ENVELOPPE (5) RESTE LA MEME.

 

L’intérêt, c’est qu’on a un FAISCEAU (1) de courbes, on n’est donc plus local et on a une courbe enveloppe, au niveau GLOBAL de description, qui ne dépend plus du paramètre, PAS MEME IMPLICITEMENT et ce, SANS NECESSITER LE RECOURS AUX FORMULES INTEGRALES. Au contraire, on DERIVE par rapport au paramètre.

 

L’ENVELOPPE SE DEBARRASSE DE TOUS LES PARAMETRES « GÊNANTS ».

 

J’ai déjà publié une bidouille là-dessus, concernant les systèmes à énergie totale nulle. Le paramètre était alors le vecteur impulsion p du système et la fonction implicite, le lagrangien. On sait, en outre, que les enveloppes sont des objets géométriques SINGULIERS, PAR DEFINITION MEME [formules (1) et surtout (2)]. C’est-à-dire que :

 

LES ENVELOPPES N’ENTRENT PAS DANS LE CADRE DES COMPORTEMENTS REGULIERS D’UN MODELE.

 

Ce qui correspond bien à ce que l’on recherche. Je prends un autre exemple (parmi tant d’autres), beaucoup plus explicite (si je peux dire). Considérons l’équation implicite :

 

(6)               F(x,y,z,T) = 0

 

avec T, un paramètre de température. Cette équation correspond au champ de températures :

 

(7)               T = T(x,y,z)

 

qui est un champ SPATIAL et VOLUMIQUE. Prenons l’enveloppe des champs (6) lorsque T parcourt TOUTES LES VALEURS NON-NEGATIVES POSSIBLES (T est en Kelvins) :

 

(8)               (d/dT)F(x,y,z,T) = F₁(x,y,z,T) = 0

(9)               T = f₁(x,y,z)           en K

(10)           F[x,y,z,f₁(x,y,z)] = F’(x,y,z) = 0  =>  z = z(x,y)

 

On obtient une surface, enveloppe des SURFACES (6) obtenues pour CHAQUE valeur de T. L’objet géométrique :

 

(11)           {F(x,y,z,T) = 0 , T dans R₊}

 

est en effet un FAISCEAU DE SURFACES. L’enveloppe est donc, elle aussi, une surface. Mais cette surface est GLOBAL, SINGULIERE ET TOTALEMENT INDEPENDANTE DE LA TEMPERATURE. Ça signifie que, vous la plongez dans le zéro absolu ou au cœur d’une étoile, voire même aux températures de Grande Unification, ELLE N’Y EST PAS SENSIBLE.

 

Ce qui n’empêche absolument pas le FAISCEAU, lui, d’y être : quand on passera d’une température à l’autre, on passera d’une surface à l’autre. Pas l’enveloppe : sa forme restera la même à toute température.

 

Vous voulez vous débarrasser de la viscosité ? Vous la prenez pour paramètre. L’enveloppe n’en dépendra plus. Etc.

 

Cela répond-t-il à toutes les questions ? En tous cas, ça élimine la plupart des obstructions et ne nécessite pas l’introduction de dimensions physiques supplémentaires.

 

Faut toujours se fier à sa première intuition : des COMPORTEMENTS NOUVEAUX plutôt que de nouvelles dimensions. La théorie des enveloppes permet aussi autre chose : d’obtenir des comportements nouveaux et singuliers A PARTIR DE DYNAMIQUES CONNUES.

 

Du coup, je me suis dit : au lieu de rechercher une « matière exotique », qu’on est bien en mal de détecter et d’observer, pourquoi ne pas regarder LES ENVELOPPES DES CHAMPS DE MATIERE ? Ce sont forcément des champs singuliers et globaux. Donc, des champs issus, au niveau fondamental, des équations de Dirac, MAIS QUI NE VERIFIENT PLUS LA DYNAMIQUE FERMIONIQUE. Ils se comporteront donc forcément de manière TRES DIFFERENTE de leurs homologues ordinaires.

 

Soit un champ de particules de spin s, entier ou demi-entier. On sait que, dans le référentiel de repos, ce champ est représentable par un spineur de rang 2s à 2s+1 composantes complexes, soit 2(2s+1) composantes réelles :

 

(12)           psi^A = f^A(x¹,…,x⁴)              [A = 1,…, 2(2s+1)]

 

Si 2(2s + 1) < 4, soit pour s = 0, ce système d’équations n’est pas inversible (2 équations pour 4 inconnues x^a). Si 2(2s + 1) > 4, soit pour s > ½, ce système est redondant. Introduisons à la place les variables de champ modifiées :

 

(13)           psi’^A(x) = psi^A - f^A(x¹,…,x⁴)

 

Lorsque (12) sera vérifié, tous les psi’^A(x) s’annuleront (et réciproquement). Considérons donc la fonctionnelle F[psi’(x),x]. Si F est N continûment dérivable en les psi’^A(x) au voisinage de psi’^A(x) = 0, alors F admet un développement de Mac-Laurin :

 

(14)           F[psi’(x),x] = S F_{n(1)…n[2(2s+1)]}(x)[psi’¹(x)]ⁿ⁽¹⁾…[psi’^2(2s+1)]^n[2(2s+1)]/n(1)!...n[2(2s+1)]!

 

où la somme s’étend sur tous les n(1) +…+ n[2(2s+1)] = N. La contribution d’ordre 0 donnant un terme F_0…0(x) = F(0,x), on la retire de F[psi’(x),x] :

 

(15)           F’[psi’(x),x] = F[psi’(x),x] - F(0,x)

 

Cette nouvelle fonctionnelle vérifie automatiquement :

 

(16)           F’(0,x) = 0            pour tout x

 

Etant donné que toutes les puissances du développement (14) sont positives ou nulles, tous les zéros de F’ seront bien situés en (12). Cela veut dire que l’équation :

 

(17)           F’[psi’(x),x] = 0

 

est bien la forme implicite de (12). Elle n’y présente aucun pôle. Nous pouvons dès lors prendre les x^a pour paramètres et les psi’^A(x) pour variables de champ. Cette description correspond bien à celle du modèle standard. Mais, contrairement à (12), le système :

 

(18)           d_aF’[psi’(x),x] = 0  ,  d_a = d/dx^a

 

est toujours résoluble, puisqu’il présente autant d’équations que d’inconnues. En le résolvant, on trouve donc les x^a en fonction des psi’^A(x) :

 

(19)           x^a = X^a[psi’(x)]

 

Ce n’est pas encore tout à fait convenable. On repasse donc en variables psi^A en utilisant (13) :

 

(20)           x^a = X^a[psi - f(x)]  =>  x^a = x^a(psi)

 

et on obtient enfin une expression convenable des x^a en fonction des psi^A. Il ne reste plus qu’à insérer ces dépendances fonctionnelles dans (17) en utilisant (15) et (13) pour obtenir :

 

(21)           F{psi - f[x(psi)],x(psi)} - F[0,x(psi)] = G(psi) = 0

 

qui ne dépend PLUS des x^a. Comme les psi^A forment un « volume » 2(2s+1) dimensionnel dans un « espace spinoriel » FICTIF (on n’ajoute pas de dimensions physiques), l’équation (21) représentera une sous-variété « spinorielle » réelle de dimension 2(2s + 1) - 1 = 4s + 1 et d’équation explicite :

 

(22)           psi^2(2s+1) = PSI[psi¹,…,psi^{(4s + 1)}]

 

à 4s + 1 degrés de liberté. On obtient de la sorte une enveloppe GLOBALE INDEPENDANTE DU POINT D’ESPACE-TEMPS. Si l’on n’ajoute aucune dimension physique à l’espace-temps, cette enveloppe restera a priori INOBSERVABLE et même INDETECTABLE. Ce qui EST observable et détectable, ce sont les champs (12). Il n’en reste pas moins que l’enveloppe en question EXISTE BEL ET BIEN mais, n’ayant plus aucune dépendance, même implicite, avec l’espace-temps physique, RIEN NE PERMET PLUS DE LA DETECTER. On peut néanmoins s’assurer de son existence de manière indirecte, un peu comme on procède avec les quarks. En effet, la fonctionnelle (14) utilisant des variables de champ « externes », c’est-à-dire, dépendant du point d’espace-temps, cette fonctionnelle-là EST observable et peut donc être modélisée. Ce qui reste inobservable, c’est (21) [ou (22)]. Mais cela n’empêche nullement de calculer l’enveloppe.

 

Il faut donc plutôt partir du principe qu’on n’aura peu ou prou de chances d’observer directement des enveloppes spatio-temporelles de champs de matière ou de rayonnement, mais qu’on pourra toujours s’assurer de leur existence via l’observation des composantes de champ (12) et d’une fonctionnelle « externe » (14) et qu’on pourra aussi toujours modéliser ces enveloppes. Après tout, c’est amplement suffisant.

 

Pour un spin 0 (champ de bosons scalaires), (22) donne une courbe psi² = PSI(psi¹) ; pour un spin ½ (champ de fermions « élémentaires »), elle donne déjà un volume psi⁴ = PSI(psi¹,psi²,psi³) ; pour un spin 1 (champs de bosons vectoriels, a priori renormalisables par le théorème de t’Hooft), un hypervolume pentadimensionnel psi⁶ = PSI(psi¹,…,psi⁵) ; etc.

 

Il doit sembler évident que toutes ces enveloppes ne vont plus du tout se comporter de la même manière que chacune de leurs composantes de champ, BIEN QU’ELLES EN SOIENT ISSUES.

 

Pour illustrer ces différences frappantes de comportement (ce n’est pas forcément du poltergeist, mais c’est frappant quand même lol), donnons un dernier exemple.

 

Dans le cadre d’un modèle (ultra-)simplificateur, considérons un champ de matière organique modélisable par une fonction implicite F(x,y,z,t,n), où n représente un nombre de cellules biologiques. On a désormais compris que l’équation :

 

(23)           F(x,y,z,t,n) = 0

 

pouvait fournir une description explicite,

 

(24)           n = n(x,y,z,t)

 

du nombre (éventuellement moyen) de cellules au point (x,y,z) à l’instant t. Il suffit pour cela de se placer à un niveau de description « mésoscopique », grand par rapport à la dimension caractéristique d’une cellule (de l’ordre du micron), mais petit par rapport à celle d’un organe ou de l’organisme en question. Si je prends l’enveloppe de tous les volumes (23) obtenus pour chaque valeur de n, j’obtiens un volume t = t(x,y,z) QUI NE DEPEND PLUS DE n. J’en déduis immédiatement que, MÊME POUR n = 0, UN TEL VOLUME EXISTE.

 

Wow… ça signifie qu’il ne dépend plus de la constitution cellulaire de l’organe ou de l’organisme dont il est pourtant issu…

 

Si, ça, ça n’est pas singulier, alors qu’est-ce qui l’est ?...

 

On a un organe(isme) biologique dont l’enveloppe N’A PLUS RIEN DE BIOLOGIQUE…

 

Mince : on dirait que ça ne correspond pas trop mal à ce que l’on recherche…

 

En phase de multiplication cellulaire (développement, croissance), le nombre n de cellules augmente et le faisceau F(x,y,z,t,n) se constitue. Or, pour obtenir l’enveloppe de ce faisceau, il faut en fait L’ANNULER et annuler SIMULTANEMENT sa variation par rapport à n. On obtient alors un « objet » dont la dynamique (dans le modèle ici présent) se réduit à un volume spatial et une loi d’évolution t = t(x,y,z) au cours du temps. Néanmoins, chaque composante F(x,y,z,t,n) du faisceau, pour n fixé, contribuant à la complexification de l’ensemble, on peut raisonnablement s’attendre à ce que, soit l’enveloppe hérite de cette complexité, soit qu’elle ait un rapport quelconque avec elle. Mais sa structure SINGULIERE fait qu’elle est complètement DESOLIDARISEE du nombre croissant de cellules qui lui a donné naissance. C’est en fait ce que veut dire « exister même pour n = 0 » : ça ne veut pas forcément dire « pré-exister à », mais « ne plus dépendre de ». Et cette dernière assertion est beaucoup plus forte, parce qu’elle dit que :

 

MÊME APRES UN DEMANTELEMENT CELLULAIRE COMPLET (n décroit alors jusqu’à n = 0), L’ENVELOPPE « BIOLOGIQUE » PERSISTE.

 

Alors que le « substrat » qui lui aura donné naissance, lui, se sera complètement désagrégé.

 

Moi, ça me va déjà bien mieux, même dans un modèle aussi simpliste. Il faudrait le confirmer dans des modèles plus réalistes, mais de tels modèles ne font qu’ajouter plus de paramètres non spatiaux-temporels et les enveloppes n’en sont que plus sophistiquées.

 

L’introduction d’un signe d’échelle devrait nous simplifier considérablement le problème de la comparaison de deux grandeurs quantiques, notamment en ce qui concerne les quantités INFINITESIMALES qui apparaissent dans tous les calculs de mécanique statistique ou de géométrie locale. A PRIORI, je n’ai pas trouvé de différence significative avec les arguments avancés en classique pour définir entropie, quantité de chaleur et température. Au contraire, les conditions d’équilibre entre deux systèmes peuvent même être incluses dans le quantique comme première série de conditions de Cauchy-Riemann ! En effet, si j’ai une fonction quantique f(x) de la variable quantique x, j’ai forcément df(x)/dx* = 0, d’où df₁/dx₁ = df₂/dx₂. Quant à la loi de probabilité binomiale, qui conduit à la loi de Gauss des grands nombres, c’est du DETERMINISME : vous piochez dans une boite où ne figure que des boules, soit noires, soit blanches, vous n’avez qu’une proba P de sortir une boule noire et une proba 1 - P de sortir une blanche ; c’est un processus EXCLUSIF. En quantique, c’est le MELANGE, c’est-à-dire, le METISSAGE, qui prime : vous pouvez être, soit noire, soit blanche, mais vous êtes surtout et avant tout, EN PARTIE NOIRE ET EN PARTIE BLANCHE. La loi binomiale n’a donc plus cours et vous ne pouvez plus en déduire le concept de probabilité quantique.

 

On va donc reprendre les formules classiques stricto sensu et les complexifier, en commençant par l’entropie :

 

(1)               S = -k_BPLn(P)

 

On conserve le « -«  pour le retrouver dans le cas classique « pur ». Comme pour l’information, on va trouver PLUS D’ENTROPIE que dans le cas pur :

 

S = -k_B|P|exp(iPI)[Ln(|P|) + iPI]

 

Il faut s’attendre à ce que l’amplitude de cette entropie reste une quantité positive ou nulle (il ne s’agit pas ici d’une différence entre deux quantités quantiques) :

 

(2)               |S| = k_B|P|[Ln²(|P|) + PI²]^1/2

 

On va donc inclure le signe dans la PHASE de l’entropie quantique :

 

SIG_n = PI + Arctan[PI/Ln(|P|)] + (2n + 1)pi + pi ,  n dans Z

 

de sorte que SIG est en réalité UNIVALUEE,

 

(3)               SIG = PI + Arctan[PI/Ln(|P|)]

 

puisqu’un nombre entier de tours COMPLETS n’apporte rien de plus à la détermination principale de la phase, ni au signe de l’expression. Lorsque PI = 0, |P| = P¹, SIG = 0 et on retrouve la formule classique sous la forme « neutre » S¹ = |S| = k_BP¹|Ln(P¹)|. Pour tout autre valeur de PI, l’information supplémentaire apportée par la phase AUGMENTE l’entropie du système :

 

LES SYSTEMES QUANTIQUES SONT PLUS DESORDONNéS QUE LES CLASSIQUES.

 

Il suffit de considérer le cas du laser, lumière monochromatique (« cohérente ») : elle est plus ordonnée que la lumière « blanche », polychromatique ou « incohérente ». Le laser, c’est de la lumière dans un état PUR.

 

Comme à l’habitude maintenant, on ne s’étonnera plus de trouver des projections SIGNEES sur les états purs :

 

(4)               S¹ = |S|cos(SIG)  ,  S² = |S|sin(SIG)

 

En revanche, un observateur de l’un ou l’autre état, limité à cet état et qui ne se douterait pas qu’il a affaire à un système quantique se dirait sans doute qu’il a commis une erreur de mesure si jamais il trouvait une S^A < 0 ! Et si, en revérifiant les mesures, il ne trouvait aucune erreur de protocole, ce serait l’incompréhension totale : « dans quel état j’erre ?... » comme disait Coluche… :) Dans nos prévisions théoriques, il n’y a pas d’erreur : l’entropie DE MELANGE (2) est bien une quantité positive ou nulle. Après, conformément à la discussion que nous avons eue à ce sujet dans la bidouille 159, le signe des S^A n’est qu’une affaire de convention. Dans aucun cas, on n’est « plus ordonné que l’ordre total » : il n’y a « d’ultra-déterminisme » nulle part.

 

Si l’une quelconque des entropies d’état pur est constante, l’autre l’est forcément, sinon, |S| et/ou SIG varierai(en)t. Donc :

 

(5)               S¹ = cte <=> S² = cte <=> |S| = cte <=> SIG = cte

 

SI L’ON EST ISENTROPIQUE DANS UN ETAT, ON L’EST PARTOUT.

 

Par conséquent, si S¹ est variable, le système quantique tout entier NE PEUT PAS être isentropique. En ce qui concerne les variations S(s) d’entropie par rapport à une abscisse curviligne s :

 

(6)               S’(s) = dS(s)/ds = -k_BP’(s){Ln[P(s)] + 1}

 

S’(s) = 0 a pour solutions P’(s) = 0 ou P(s) = 1/e. Dans les deux cas, la probabilité est constante :

 

ISENTROPIE <=> CONSERVATION DE LA PROBABILITE

<=> EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.

 

Ensuite, eh bien, B160 est tellement ETENDU qu’il suffit de reprendre les résultats classiques. Là où les choses divergent franchement, c’est au niveau de la distribution de Gibbs ou « fonction de partition ». Dans le classique, les températures absolues n’étant jamais négatives, exp(-E/k_BT) converge pour E > 0. Elle n’est pas envisageable pour E < 0. Le signe, lui, provient directement de l’entropie et de sa relation linéaire avec la moyenne énergétique <E>, l’énergie mesurable du système macroscopique. Dans le quantique :

 

E/T = (|E|/|T|)exp[i(EPS - TAU)]

      = (|E|/|T|){cos[(EPS - TAU)] + isin[(EPS - TAU)]}

 

Or, nous avons vu en début d’article que S = |S|exp(iSIG) avec SIG UNIvaluée : exit le signe devant le S quantique. On va donc pouvoir envisager DEUX « semi-distributions de Gibbs » :

 

(7)               g₊ = A₊exp(E/k_BT)            pour cos[(EPS - TAU)] > 0  (secteurs I et IV)

 

et

 

(8)               g_- = A_-exp(-E/k_BT)            pour cos[(EPS - TAU)] < 0  (secteurs II et III)

 

avec un raccordement en cos[(EPS - TAU)] = 0 et des coefficients de « normalisation »,

 

(9)               A₊ = S_T*X exp[E(x,q)/k_BT]d^dxd^dq

(10)           A_- = S_T*X exp[-E(x,q)/k_BT]d^dxd^dq

 

Comme par hasard (…), les systèmes à un seul état correspondent à EPS = TAU = 0 et à la condition de raccordement, moyennant le retour du signe de S.

 

C’est LA SEULE nouveauté apportée aux formules classiques après application du signe d’échelle, parce qu’elle se réfère à une question de CONVERGENCE. Pour tout le reste, il suffit maintenant de remplacer les quantités réelles par des quantités complexes, d’appliquer le théorème sur le signe d’échelle dès qu’on a affaire à une différence ou une variation et… c’est tout.

 

Je ne m’étends pas plus sur le cas de particules identiques, parce que, même si nous convenons de considérer la cellule vivante comme une « particule » d’un organisme (ce qui est envisageable, vue la différence d’échelle entre les deux), il existe une telle variété de cellules que le modèle des particules identiques est tout simplement irréaliste. Je note, par ailleurs, l’optimisme d’un auteur, qui a au moins la franchise d’annoncer, de but en blanc, qu’hormis dans le cas de particules identiques, les distributions de Gibbs sont AVANT TOUT THEORIQUES et QUASI-IMPOSSIBLES A CALCULER EN PRATIQUE… :|

 

Toujours très utile de disposer de THEORIES PUISSANTES, mais INAPPLICABLES EN PRATIQUE… lol

 

Le tout, c’est de le savoir.

 

Avant de poursuivre, un résultat, à valeur de théorème mathématique, qui va nous aider à comparer deux grandeurs quantiques entre elles.

 

Nous avons déjà noté la présence de deux orientations distinctes dans l’espace quantique : l’externe et l’interne. Il en existe en fait une troisième, qui n’est, ni externe, ni interne, mais relative à la COMPARAISON D’AMPLITUDES. Géométriquement, aux RAYONS DE CERCLES.

 

Soient |x|’ et |x| deux grandeurs réelles > 0 quelconques, mais scalaires. La différence :

 

(1)               |x|’ - |x| = (|x|’/|x| - 1)|x|

 

sera positive ssi le RAPPORT D’ECHELLE |x|’/|x| > 1. Sinon, elle sera négative. Du point de vue géométrique, cela revient à retirer au cercle de rayon |x|’ un cercle de rayon |x| : si ce second cercle est plus petit que le premier, le résultat sera un cercle de rayon |x|’’ > 0. Sinon, |x|’’ sera < 0. C’est tout bête, mais ça permet de comparer deux grandeurs quantiques x = |x|exp(iksi) et x’ = |x|’exp(iksi’) INDEPENDAMMENT DES VALEURS PRISES PAR LEURS PHASES.

 

On a l’habitude de calculer la différence QUANTIQUE x’ - x, ce qui conduit à une amplitude présentant un terme d’interférence et à un décalage de phase souvent compliqué. Or, cela ne nous renseigne EN RIEN sur le résultat, puisque ||x|’ - |x|| =< |x’ - x| =< |x|’ + |x| couvre une TRES LARGE GAMME de valeurs. Du coup, j’ai eu l’idée d’utiliser le QUOTIENT |x|’/|x|, qui a valeur de rapport d’échelle, puisqu’il n’est jamais dimensionné, et de le COMPARER à l’unité. D’où le théorème suivant :

 

 SIGNE D’ECHELLE : THEOREME

 

Soient x = |x|exp(iksi) et x’ = |x|’exp(iksi’) deux scalaires quantiques d’amplitudes |x| > 0 et |x|’ > 0 et soit x’’ = |x|’’exp(iksi’’) = x’ - x leur différence. Alors, |x|’’ devra être comptée POSITIVEMENT si le RAPPORT D’ECHELLE |x|’/|x| > 1, sinon, elle devra être comptée NEGATIVEMENT et ce, INDEPENDAMMENT DE L’ORIENTATION INTERNE. Dans le cas de vecteurs, ce « SIGNE D’ECHELLE » sera également INDEPENDANT DE L’ORIENTATION EXTERNE.

 

Si l’on passe de x à x’, on aura donc une AUGMENTATION pour |x|’/|x| > 1 (signe d’échelle POSITIF) et une DIMINUTION pour |x|’/|x| < 1 (signe d’échelle NEGATIF).

 

 SIGNE D’ECHELLE : CONSTRUCTION

 

Soit Y(.) la fonction d’Heaviside. Alors :

 

(2)               s(|x|’,|x|) = 2Y(|x|’/|x| - 1) - 1  ,  s(|x|,|x|) = 0

 

est le SIGNE D’ECHELLE ENTRE |x|’ et |x|.

 

En effet, Y(x) = 0 pour x < 0 et Y(x) = 1 pour x >= 0. Par convention assez logique et naturelle, on ajoute la condition s(|x|,|x|) = 0 pour signifier qu’une différence nulle est algébriquement neutre.

 

 SIGNE D’ECHELLE : REGLE D’EXTENSION

 

On conviendra d’écrire :

 

(3)               « x’ > x »  ou bien  « x’ - x > 0 »  si  s(|x|’,|x|) = +1

(4)               « x’ < x »  ou bien  « x’ - x < 0 »  si  s(|x|’,|x|) = -1

 

L’écriture conventionnelle « x’ = x » ou bien « x’ - x = 0 » correspondant à s(|x|’,|x|) = 0.