L’objet de ce nouvel article va être de démontrer le résultat général suivant :

 

 

THEOREME « SPIN - SIGNATURE »

 

Soient :

-         s dans ½ N, un « NOMBRE QUANTIQUE DE SPIN » (c'est-à-dire, de moment cinétique de spectre DISCRET) ;

-         D(s) = 2^2s+1, la dimension de l’algèbre de Clifford réelle spin_R(2s) ;

-         S, l’espace topologique de Stone d’une algèbre de Boole B = {0,1,NON,OU,ET} ;

et

 

(1)               W : S^2s+1 -> R^D(s) , (A₁,…,A_2s+1) -> W(A₁,…,A_2s+1) = W^{A(1)…A(2s+1)}

 

une application qui associe au (2s+1)-uplet de variables booléennes (A₁,…,A_2s+1) un vecteur à D(s) composantes réelles. Alors :

 

1)                 l’application TRANSPOSEE de l’application W est l’application définie comme,

 

(2)               W^t : S^2s+1 -> R^D(s) , (A₁,…,A_2s+1) -> W^t(A₁,…,A_2s+1) = W(A_2s+1,…,A₁)

 

et obtenue à partir de W en « lisant les variables à l’envers » ou « dans le miroir » ;

 

2)                 le produit scalaire,

 

(3)               W.W^t = W^{A(1)…A(2s+1)}W_{A(2s+1)…A(1)}

 

est de signature [2^2s + 2^E(s) , 2^2s - 2^E(s)], où E(.) désigne la fonction partie entière.

 

 

Preuve :

 

On commence par dénombrer les composantes du D(s)-vecteur W qui ne sont pas affectées par l’opération de transposition. Il s’agit de toutes celles qui vérifient :

 

W(A₁,…,A_2s+1) = W(A_2s+1,…,A₁),

 

soit pour A_2s+1 = A₁, A_2s = A₂,… Si s est demi-entier (« type fermionique » ou « F », en abrégé), s = E(s) + ½ et 2s + 1 = 2[E(s) + 1] est pair. Dans ce cas, on dénombre exactement (par une simple récurrence sur la valeur de s) 2^E(s)+1 composantes invariantes. Si s est l’entier immédiatement inférieur, s = E(s), 2s + 1 = 2E(s) + 1 est impair (« type bosonique » ou « B ») et il existe un élément « central » A_E(s)+1 qui est forcément laissé invariant par ^t. Comme E(.) « écrête » la valeur de s à l’entier immédiatement inférieur, ceci ne change pas le nombre total de composantes invariantes, qui reste à 2^E(s)+1. Etant donné que W^{A(1)…A(2s+1)} possède 2^2s+1 composantes, on dénombre donc 2^2s+1 - 2^E(s)+1 variables qui permutent sous ^t. Aussi, lorsque l’on va former le produit scalaire de W et de son transposé, on va trouver une somme de 2^E(s)+1 carrés euclidiens portant sur les composantes invariantes + une somme de [2^2s+1 - 2^E(s)+1] produits bilinéaires de composantes qui permutent. Or, tout produit bilinéaire XY se décompose canoniquement en :

 

XY = ¼ [(X + Y)² - (X - Y)²]

 

alors que toute somme de deux carrés euclidiens,

 

X² + Y² = ½ [(X + Y)² + (X - Y)²]

 

reste euclidienne. Par conséquent, sur les 2^2s+1 - 2^E(s)+1 produits bilinéaires dénombrés, la moitié, soit 2^2s - 2^E(s), va entrer dans WW^t avec un signe (+) et l’autre moitié, avec un signe (-). Le total est de 2^E(s)+1 + 2^2s - 2^E(s) = 2^2s + 2^E(s) carrés avec un signe (+) et 2^2s - 2^E(s) carrés avec un signe (-), conduisant à une signature [2^2s + 2^E(s) , 2^2s - 2^E(s)], comme énoncé. :)

 

 

A l’instar de son prédécesseur, le théorème « spin - statistique », qui établissait un lien entre le nombre quantique de spin et le type de statistique quantique, le « théorème spin - signature » permet d’établir le lien entre la structure spinorielle des univers de dimension 2^2s+1 et la signature de leur métrique, qui n’a donc plus rien « d’arbitraire ». Il apporte une réponse directe et même définitive à la question « pourquoi l’espace-temps possède-t-il tant de dimensions ‘du genre espace’ et tant ‘du genre temps’ ? », au moins dans le cas des univers dont la dimension est une puissance entière de 2.

 

 

COROLLAIRE 1

 

TOUS les univers de dimension 2^2s+1 > 2 sont COMPOSITES.

 

 

Preuve : ceci résulte directement de ce que,

 

(4)               spin_R(2s) = (x_t)^2s+1 spin_R(0)

 

est la (2s+1)-ème puissance tensorielle de spin_R(0). :)

 

 

Exemples.

 

s = 0 : D(0) = 2, W : S -> R², (W^A)^t = W^A,

 

(5)               W.W^t = (W⁰)² + (W¹)²

    = ½ [(W⁰ + W¹)² + (W⁰ - W¹)²]

    = (W’⁰)² + (W’¹)²

 

la signature est (2,0) et la géométrie, euclidienne. Comme nous allons le voir, mais qui résulte déjà du théorème, c’est LA SEULE géométrie qui reste EUCLIDIENNE, puisque 2^2s = 2^E(s) => 2s = E(s) => s = 0, vue la monotonie de l’application puissance et le fait que E(s) renvoie toujours l’entier immédiatement INFERIEUR à s. Le tenseur métrique g⁽⁰⁾_AB a pour composantes :

 

(6)               g⁽⁰⁾₀₀ = g⁽⁰⁾₁₁ = 1  ,  g⁽⁰⁾₀₁ = g⁽⁰⁾₁₀ = 0

 

Dans le référentiel W^A comme dans le référentiel,

 

(7)               W’⁰ = 2^-1/2(W⁰ - W¹)  ,  W’¹ = 2^-1/2(W⁰ + W¹)

 

obtenu après rotation des axes, au facteur conforme constant 2^-1/2 près (qu’on ne spécifiera plus par la suite).

 

 

s = ½ : D(1) = 4, W : S² -> R⁴,

 

(8)               W^AB = (W⁰⁰,W⁰¹,W¹⁰,W¹¹) = (W⁰,W¹,W²,W³) = Wⁱ        (i = 0,1,2,3)

(9)               (W^AB)^t = W^BA = (W⁰⁰,W¹⁰,W⁰¹,W¹¹) = (W⁰,W²,W¹,W³) = (Wⁱ)^t

 

La permutation des composantes W⁰¹ et W¹⁰ équivaut à l’échange des axes (1) et (2) de R⁴.

 

(10)           W.W^t = (W⁰)² + (W³)² + 2W¹W²

    = ½ [(W⁰ - W³)² + (W⁰ + W³)² + (W¹ + W²)² - (W¹ - W²)²]

    = (W’¹)² + (W’²)² + (W’³)² - (W’⁰)²

 

Dans le référentiel W^A, les composantes non nulles de g⁽⁰⁾_ij sont,

 

(11)           g⁽⁰⁾₀₀ = g⁽⁰⁾₃₃ = g⁽⁰⁾₁₂ = 1

 

Après rotation des axes, la signature est (3,1) avec un tenseur métrique qui prend la forme diagonale, dite « de Minkowski, genre espace » :

 

(12)           g’⁽⁰⁾₁₁ = g’⁽⁰⁾₂₂ = g’⁽⁰⁾₃₃ = -g’⁽⁰⁾₀₀ = +1

 

 

s = 1 : D = 8, W : S³ -> R⁸,

 

(13)           W^ABC = (W⁰⁰⁰,W⁰⁰¹,W⁰¹⁰,W⁰¹¹,W¹⁰⁰,W¹⁰¹,W¹¹⁰,W¹¹¹)

    = (W⁰,W¹,W²,W³,W⁴,W⁵,W⁶,W⁷) = W^I                 (I = 0,…,7)

 

(14)           (W^ABC)^t = W^CBA = (W⁰⁰⁰,W¹⁰⁰,W⁰¹⁰,W¹¹⁰,W⁰⁰¹,W¹⁰¹,W⁰¹¹,W¹¹¹)

         = (W⁰,W⁴,W²,W⁶,W¹,W⁵,W³,W⁷) = (W^I)^t

 

4 axes sont laissés invariants : (0), (2), (5) et (7). 4 axes permutent : (1) avec (4), (3) avec (6).

 

(15)           W.W^t = (W⁰)² + (W²)² + (W⁵)² + (W⁷)² + 2(W¹W⁴ + W³W⁶)

    = ½ [(W⁰ + W²)² + (W⁰ - W²)² + (W⁵ + W⁷)² - (W¹ - W⁴)² +

+ (W¹ + W⁴)² + (W⁵ - W⁷)² + (W³ + W⁶)² - (W³ - W⁶)²]

    = (W’¹)² + (W’²)² + (W’³)² - (W’⁰)² + (W’⁵)² + (W’⁶)² + (W’⁷)² - (W’⁴)²

 

Dans le référentiel W’^I, la signature est (6,2) et le tenseur métrique est minkowskien, diagonal bloc :

 

(16)           g’^(A)(A)_ij = g’⁽⁰⁾_ij  ,    g’^(A)(1-A)_ij = 0                (i,j = 0,1,2,3)

 

 

Le cas W’.W’^t = 1 nous ramène aux polarisations (B 171). On note, en abrégé, cos(ksi_n) = c_n, sin(ksi_n) = s_n , ch(ksi_n) = ch_n et sh(ksi_n) = sh_n pour des angles ksi_n et un n dans N*.

 

Pour s = 0, la paramétrisation est :

 

(17)           W’⁰ = W’₀ = c₁ , W’¹ = W’₁ = s₁

 

On n’a qu’un seul angle de rotation, autant que SO(2). Les états purs sont x’^A = s₂W’^A ; le mélange, s₂ = W’_Ax’^A.

 

Pour s = ½, c’est :

 

(18)           W’¹ = W’₁ = c₁c₂ch₃ , W’² = W’₂ = c₁s₂ch₃

W’³ = W’₃ = s₁ch₃ , W’⁰ = -W’₀ = sh₃

 

Il y a 3 angles de rotation, autant que SO(3). Les états purs sont x’ⁱ = s_3,1W’ⁱ ; le mélange, s_3,1 = W’_ix’ⁱ.

 

Pour s = 1,

 

(19)           W’¹ = W’₁ = c₁c₂c₃c₄c₅ch₆ , W’² = W’₂ = c₁c₂c₃c₄s₅ch₆

W’³ = W’₃ = c₁c₂c₃s₄ch₆ , W’⁵ = W’₅ = c₁c₂s₃ch₆ , W’⁶ = W’₆ = c₁s₂ch₆

W’⁷ = W’₇ = s₁ch₆ , W’⁰ = -W’₀ = c₁sh₆ , W’⁴ = -W’₄ = s₁sh₆

 

Il y a 6 angles de rotation, autant que SO(4). Les états purs sont x’^I = s_6,2W’^I ; le mélange, s_6,2 = W’_Ix^I.

 

On établit sans difficulté que, pour s = 3/2, on dénombre 10 angles de rotation, autant que SO(5), ce qui donne :

 

W’¹ = c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇c₈c₉ch₁₀ , W’² = c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇c₈s₉ch₁₀ , W’³ = c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇s₈ch₁₀ ,

W’⁴ = c₁c₂c₃c₄c₅c₆s₇ch₁₀ , W’⁵ = c₁c₂c₃c₄c₅s₆ch₁₀ , W’⁶ = c₁c₂c₃c₄s₅ch₁₀ ,

W’⁷ = c₁c₂c₃s₄ch₁₀ , W’⁸ = c₁c₂s₃ch₁₀ , W’⁹ = c₁s₂ch₁₀ , W’¹⁰ = s₁ch₁₀ ,

W’¹¹ = c₁c₂c₃c₄c₅sh₁₀ , W’¹² = c₁c₂c₃c₄s₅sh₁₀ , W’¹³ = c₁c₂c₃s₄sh₁₀ , W’¹⁴ = c₁c₂s₃sh₁₀ ,

 

pour,

 

(W’¹)² + (W’²)² + (W’³)² + (W’⁴)² + (W’⁵)² + (W’⁶)² + (W’⁷)² + (W’⁸)² +

+ (W’⁹)² + (W’¹⁰)² - [(W’¹¹)² + (W’¹²)² + (W’¹³)² + (W’¹⁴)² + (W’¹⁵)² + (W’¹⁶)²] = 1

 

On tient la récurrence. Pour une signature [2^2s + 2^E(s) , 2^2s - 2^E(s)], il faut autant d’angles de rotation que le nombre de générateurs du groupe des rotations réelles SO(2s + 2), soit (s + 1)(2s + 1). Le (s + 1)(2s + 1)-ième de ces angles apparaît comme arguments des fonctions de l’hyperbole ch(.) et sh(.). Tous les autres sont arguments des fonctions du cercle cos(.) et sin(.). Nous venons d’établir le :

 

 

COROLLAIRE 2

 

Pour une signature [p(s) = 2^2s + 2^E(s) , q(s) = 2^2s - 2^E(s)], p(s) + q(s) = D(s),

 

a) le nombre total d’angles de polarisation est de :

 

(20)           dim[SO(2s + 2)] = (s + 1)(2s + 1)

 

s(2s + 3) de ces angles sont sphériques, seul le dernier est hyperbolique.

 

b) Dans les référentiels primés, les états purs sont :

 

(21)           x’ⁱ = s_p(s),q(s)W’ⁱ                  [i = 1,…,D(s)]

 

c) les covecteurs polarisation,

 

(22)           W’_i = g⁽⁰⁾_ijW’^j                   [i,j = 1,…,D(s)]

 

d) et le mélange,

 

(23)           s_p(s),q(s) = W’_ix’ⁱ

 

:)

 

On termine par deux définitions qui vont rappeler des souvenirs familiers à tout le monde :

 

 

DEFINITIONS :

 

Les états purs tels que décrits par (21) sont connus sous le nom de DIMENSIONS PHYSIQUES et le mélange (23) sous celui D’INTERVALLE SPATIO-TEMPOREL.

 

 

Cette fois-ci, je crois que la description physico-géométrique du paradigme est complète.

 

On devrait pouvoir passer aux applications.

 

ON A UN PROBLEME DE CONSTRUCTION Lié AU CHOIX DE LA DEFINITION DES UNITéS DE M₂(R). VEUILLEZ NE PLUS TENIR COMPTE DE LA BIDOUILLE B172 ET DU FORMULAIRE B173.

 

Je laisse ces articles en place car les retirer décalerait les dates de publication. Les calculs sont corrects, mais c’est le choix de e(A) = cos(Api/2) qui ne va pas lorsque A est booléen. J’avais fait ce choix pour obtenir un comportement oscillant dans le cas continu, mais la fonction et ses propriétés s’avèrent incompatibles avec la situation booléenne. J’aurais dû vérifier cela plus tôt, c’est tout…

 

J’ai souvenir d’une étude de M₂(R) qui partait de matrices unités nilpotentes notées 1 et 1*, mais je ne sais plus où dans ce blog… Ce sera l’occasion de la reprendre sous une forme légèrement différente et, ce faisant, de rafraîchir un peu des idées plus anciennes.

 

On repart de variables d’états A,B,C,… booléennes, pas de changement à ce niveau-là. L’unité la plus fondamentale de M₂(R) est la matrice 1, de composantes :

 

(1)               1^AB = (1 - A)B = (0,1,0,0)

 

Cette matrice a trace et déterminant nuls. Elle n’est donc pas inversible. Pour se construire, elle ne requiert que les opérations de base :

 

(2)               I : S -> S , A -> I(A) = 1 - A                                (inversion logique)

(3)               ET : S² -> S² , (A,B) -> A ET B = AB                  (produit logique)

 

où S est l’espace de Stone comme précédemment. A l’aide de l’opération de permutation :

 

(4)               P : S² -> S² , (A,B) -> P(A,B) = (B,A)

 

on construit la transposée de (1) comme la matrice de composantes,

 

(5)               1^P(A,B) = 1^BA = (1 - B)A = (0,0,1,0)

 

A l’aide des propriétés de l’algèbre de Boole, les identités suivantes sont faciles à établir :

 

(6)               (1²)^AB = 0                                                                         (nilpotence)

(7)               1^AC1^B_C = ½ (1^A,1-B + 1^B,1-A) = (1 - A)(1 - B)                    (OU logique inversé)

(8)               1^CA1_C^B = ½ (1^1-A,B + 1^1-B,A) = AB                        (ET logique)

(9)               1^AC1_DC1^DB = 1^AB , 1^CA1_CD1^BD = 1^BA                                 (redondances)

(10)           1^AC1_DC1^DE1^B_E = 1^AC1^B_C , 1^CA1_CD1^ED1_E^B = 1^CA1_C^B            (redondances)

 

L’action de ces unités sur un vecteur à 2 états v^A est :

 

(11)           1^ABv_B = S_B=0¹ (1 - A)Bv_B = (1 - A)v¹ = (v¹,0)

(12)           1^BAv_B = S_B=0¹ (1 - B)Av_B = Av⁰ = (0,v⁰)

(13)           1^ABv_Bv_A = S_B=0¹S_A=0¹ (1 - A)Bv_Bv_A = 1^BAv_Bv_A = v¹v⁰

 

Ensuite, les superpositions linéaires :

 

(14)           (s^C)^AB = 1^AB + (-1)^1-C1^BA = (-1)^1-C(s^C)^BA

 

fournissent deux unités INVERSIBLES de M₂(R), s⁰ et s¹, qui remplacent les anciennes notations s⁰⁰ et s¹⁰. Sous forme logique :

 

(15)           (s⁰)^AB = -(A - B) = (0,1,-1,0)

(16)           (s¹)^AB = A XOR B = (0,1,1,0)

(17)           Tr(s^C) = 0 , Det(s^C) = (-1)^C

 

Inversement :

 

(18)           1^AB = ½ (s⁰ + s¹)^AB

 

Les deux autres unités inversibles, s⁰¹ et s¹¹, se DEDUISENT en fait des matrices s⁰ et s¹, puisque :

 

(19)           (s⁰¹)^AB = ½ (1^A,1-B - 1^1-B,A + 1^B,1-A - 1^1-A,B) = 1 - A - B = (1,0,0,-1)

(20)           (s⁰¹)^AA = (s⁰⁰)^A,1-A  ,  (s⁰¹)^A,1-A = 0

 

et

 

(21)           (s¹¹)^AB = ½ (1^A,1-B + 1^1-B,A + 1^B,1-A + 1^1-A,B)

     = A IAND B = 1 - (A XOR B) = (1,0,0,1)

(22)           (s¹¹)^AA = (s¹⁰)^A,1-A  ,  (s¹¹)^A,1-A = 0

 

L’IDENTITE s¹¹ DE M₂(R) N’EST DONC PAS SI FONDAMENTALE QUE CA.

 

Les relations (7) et (8) fournissent déjà des ET logiques. Les autres opérations booléennes de base sont la somme arithmétique :

 

(23)           A + B = 1^AB + 1^BA + 1^1-A,B + 1^1-B,A

 

et la somme logique,

 

(24)           A OU B = A + B - AB = 1^AB + 1^BA + ½ (1^1-A,B + 1^1-B,A)

 

Les propriétés vraiment essentielles des matrices s se réduisent maintenant à :

 

(25)           (s^-1)^C = (-1)^1-Cs^C

(26)           (s^C)² = (-1)^1-Cs¹¹

(27)           s¹s⁰ = -s⁰s¹ = -s⁰¹  

 

car les deux dernières offrent UNE AUTRE MANIERE de reconstruire s⁰¹ et s¹¹. Toutes les autres relations de commutation ou d’anti-commutation de B173 se déduisent des propriétés de COMMUTATIVITé :

 

(28)           (s⁰)²s¹ = s¹(s⁰)² = -s¹ , s⁰(s¹)² = (s¹)²s⁰ = s⁰

 

Les invariants de (s^-1)^C et de (s^C)² sont :

 

(29)           Tr[(s^-1)^C] = 0 , Det[(s^-1)^C] = (-1)^C

(30)           Tr[(s^C)²] = 2(-1)^1-C , Det[(s^C)²] = 1

 

Si l’on regarde les choses en termes de nombres et d’états, un scalaire est un nombre usuel, c’est-à-dire, dans un seul état ; un vecteur à n composantes, un nombre dans n états et un tenseur d’ordre p, un nombre dans n^p états au plus. L’action d’un tel nombre sur un nombre à n états donne un nombre à n^p+1 états au plus : c’est le fameux produit tensoriel. L’action DE CONVOLUTION, elle, donne un nombre à n^p-1 états au plus : c’est le produit tensoriel contracté sur une paire d’indices (somme sur des états « intermédiaires »). Par conséquent, lorsque n = 2, les vecteurs apparaissent comme des nombres à 2 états sur lesquels peuvent agir des nombres à 2² = 4 états qui sont les matrices de M₂(R) et, en particulier, ses unités inversibles s⁰ et s¹. Pourquoi ce « changement de langage » ? Parce qu’on sait qu’un nombre réel à un seul état ne peut être de carré négatif, alors que, dès que son nombre d’états est >= 2, c’est tout à fait possible. C’est le cas de s⁰. Autrement dit :

 

C’est PARCE QU’IL Y A 2 ETATS et non un seul qu’un nombre tel que s⁰ peut apparaître, amenant avec lui une structure SYMPLECTIQUE.

 

Si je multiplie s⁰ par lui-même, je n’obtiens qu’un nombre à 16 états, de composantes :

 

(s⁰)^AB(s⁰)^CD = (0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0)        (n = p = 2, 2² x 2² = 16)

 

C’est son produit DE CONVOLUTION, de composantes :

 

(s⁰)^AB(s⁰)_B^D = S_B=0¹ (s⁰)^AB(s⁰)^BD = (-1,0,0,-1) = -Id    (n = p = 2, 2^4-2 = 4)

 

qui donne (s⁰)² = -Id et la structure symplectique (comme nous n’aurons plus besoin, ni de s¹¹, ni de s⁰¹, je reviens à la notation habituelle s¹¹ = Id). Le produit contracté, ce n’est ni plus ni moins qu’une trace partielle. Si je recontracte, j’obtiens un nombre usuel :

 

(s⁰)^AB(s⁰)_BA = Tr[(s⁰)²] = -Tr(Id) = -2

 

Ce nombre est NEGATIF.

 

C’est donc L’ECART 1^AB - 1^BA = 1^AB - 1^P(A,B), i.e. LE DEFAUT DE SYMETRIE de l’unité NON inversible de M₂(R), joint au fait que 1 est NILPOTENTE, qui donne naissance à la structure symplectique.

 

Les matrices carrées d’ordre 2 symétriques non nulles ne peuvent en effet être nilpotentes d’ordre 2. Par contre, les antisymétriques le peuvent : ce sont les matrices (non inversibles et de trace nulle) a(1,1,-1,-1) et a(1,-1,1,-1) pour a réel non nul. L’affirmation « M est nilpotente d’ordre 2 <=> M est asymétrique » est donc fausse en général, les nilpotentes non nulles de M₂(R) étant b1^AB, c1^BA et (a,b,-a²/b,-a) pour a,b et c réels non nuls. Il faut donc bien que les DEUX conditions soient réalisées en même temps (asymétrie + nilpotence) pour que la structure symplectique puisse apparaître : c’est tout sauf accidentel. Rien de « hasardeux » à cela. C’est, au contraire, dû à la propriété du nombre à 4 états (0,1,0,0) qui est la représentation d’un OPERATEUR UNITé. Les produits de convolution (7) et (8) le montre bien ensuite :

 

(31)           S_B=0¹ (1 - A)(1 - B)v_B = (1 - A)v⁰ = (v⁰,0)

(32)           S_B=0¹ ABv_B = Av¹ = (0,v¹)

 

donnent naissance aux PROJECTEURS : le OU inversé, sur l’axe (0) ; le ET, sur l’axe (1).

 

On pousse donc vraiment l’analyse jusqu’aux éléments les plus fondamentaux de l’algèbre M₂(R). Le passage de la métrique EUCLIDIENNE :

 

(33)           ds₄² = d_ACd_BDdx^ABdx^CD = dx^ABdx_AB = Tr[dx(dx)^t]

 

à la métrique PSEUDO-euclidienne,

 

(34)           ds_3,1² = g⁽⁰⁾_ijdxⁱdx^j = S_a=1³ (dx^a)² - (dx⁰)²

 

n’a donc RIEN DE FORTUIT. C’est dû au fait que le tenseur métrique de Minkowski se construit composante par composante à partir des relations :

 

(35)           g⁽⁰⁾₀₀ = ½ Tr[(s⁰)²] = -1 , g⁽⁰⁾₁₁ = ½ Tr[(s⁰s¹)²] = +1

g⁽⁰⁾₂₂ = g⁽⁰⁾₃₃ = ½ Tr[(s¹)²] = -½ Tr[(s⁰)²] = +1

 

la nullité de toutes les autres composantes non diagonales résultant directement des relations (28). En fait, les propriétés (26-28) des matrices s^C induisent un résultat beaucoup plus général. Toute matrice M de M₂(R) étant décomposable sur la base des s^C suivant :

 

(36)           M = m₀₀s⁰ + m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

 

si l’on voit M comme une APPLICATION,

 

(37)           M : M₂(R) x M₂(R) -> M₂(R)

(38)           (s⁰,s¹) -> M(s⁰,s¹) = m₀₀s⁰ + m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

 

alors TOUTE PUISSANCE DE M OU DE MM^t est de la forme (38). C’est la raison pour laquelle le résultat se trouvera TOUJOURS dans M₂(R) : seuls les coefficients changeront. Mais l’application résultante ne sera jamais qu’au plus BILINEAIRE en s⁰ et s¹ (c’est la structure de groupe additif et multiplicatif à l’origine de celle d’algèbre). De plus, comme seule s⁰ est antisymétrique, la transposée de M s’obtiendra toujours à partir de M par INVERSION DU SIGNE DE m₀₀ :

 

(39)           M^t = -m₀₀s⁰ + m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

 

Par suite, la partie SYMETRIQUE de M :

 

(40)           M_s = ½ (M + M^t) = m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

(41)           M_s² = m₁₁(m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹) + (m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)Id

(42)           Tr(M_s²) = 2(m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²) >= 0

 

sera associée au « genre espace » sur l’espace-temps de Minkowski E_3,1, tandis que la partie ANTISYMETRIQUE de M,

 

(43)           M_a = ½ (M - M^t) = m₀₀s⁰

(44)           M_a² = -m₀₀²Id

(45)           Tr(M_a²) = -2m₀₀² =< 0

 

sera associée au « genre temps ». Puisque M = M_s + M_a et M^t = M_s - M_a, on a donc :

 

(46)           M_sM_a - M_aM_s = [M_s,M_a]_- = m₀₀(m₀₁Id - m₁₀s⁰)s¹

(47)           M_sM_a + M_aM_s = [M_s,M_a]₊ = m₀₀m₁₁s⁰

(48)           MM^t = M_s² - M_a² - [M_s,M_a]_-

(49)           M^tM = M_s² - M_a² + [M_s,M_a]_-

(50)           [M,M^t]_- = -2[M_s,M_a]_-  ,  [M,M^t]₊ = 2(M_s² - M_a²)

(51)           M² = M_s² + M_a² + [M_s,M_a]₊

 

On comprend alors que c’est parce que Tr(M_a²) est négative et que MM^t, comme M^tM, ont pour partie SYMETRIQUE M_s² - M_a² alors que M² a pour partie symétrique M_s² + M_a² que :

 

(52)           Tr(MM^t) = Tr(M^tM) = Tr(M_s²) - Tr(M_a)² = Tr(M_s²) + Abs[Tr(M_a)²]

= 2(m₀₀² + m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)

(53)           Tr(M²) = Tr(M_s²) + Tr(M_a)² = Tr(M_s²) - Abs[Tr(M_a)²]

= 2(-m₀₀² + m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)

 

Le passage de la signature (+,+,+,+) à la signature (-,+,+,+) est uniquement dû à la partie ANTISYMETRIQUE de M. Si m₀₀ = 0, cette partie est ABSENTE, M est donc SYMETRIQUE et :

 

(54)           M_a = 0 <=> MM^t = M^tM = M² = M_s² <=> Tr(M²) = 2(m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)

 

La réciproque est, en effet, toute aussi vraie : si Tr(M²) = Tr(M_s²), alors, en vertu de (51), M_a ne peut être que nulle et non seulement de carré nul (en raison de l’anti-commutateur).

 

Si l’on avait affaire à des nombres usuels, des nombres à un seul état, M^t = M et MM^t = M^tM = M², de sorte que M_s² - M_a² = M_s² + M_a² et [M_s,M_a]_- = [M_s,M_a]₊ = 2M_sM_a = 0, entraînant de facto M_a = 0 (M_s = 0 conduirait à M_a = 0, soit M = 0). Mais on a affaire à des nombres à QUATRE états. Non seulement le commutateur n’a plus de raison d’être nul en général, mais la condition M_a² < 0 est désormais autorisée. CE QUI EST LE CAS. Aussi et contrairement aux apparences, lorsqu’on fait appel à la valeur absolue de la trace de M_a² qui, elle, EST un nombre usuel, on s’aperçoit que c’est M_s² - M_a² qui est de type ELLIPTIQUE et donc, EUCLIDIEN, tandis que M_s² + M_a² s’avère de type HYPERBOLIQUE et donc, PSEUDO-euclidien. :) Conclusion :

 

LE FAIT MÊME de constater la présence d’un « espace-temps » autour de soi, même s’il ne devient vraiment perceptible qu’aux vitesses proches de c, PROUVE que la structure sous-jacente NE PEUT PAS ETRE A UN SEUL ETAT. C’EST IMPOSSIBLE.

 

Je viens de découvrir un résultat pour le moins étonnant concernant la réduction des bases de numération. On reprend les notations et conditions (1) de B175. Le résultat s’étend sans difficulté à Z, mais il faut tenir compte des signes, ce qui alourdit le texte et n’apporte rien de nouveau.

 

On commence par la partie entière d’un nombre A(m+n), c’est-à-dire, les puissances positives de B :

 

(1)               E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_iBⁱ = Bⁿ⁺¹S_i=0ⁿ a’_i(n) = Bⁿ⁺¹E_1,A’(n)

 

Contrairement aux chiffres a_i, uniquement soumis à la condition 0 =< a_i =< B - 1, les coefficients :

 

(2)               a’_i(n,B) = a_iB^-(n+1-i)             (i = 0,…,n)

 

dépendent à la fois de la base de départ et de la longueur du mot construit. Le gain en souplesse est considérable :

 

(3)               a_i = 0,1,2,…,B - 1 => a’_i(n) = 0,B^-(n+1-i),2B^-(n+1-i),…,(B - 1)B^-(n+1-i)

 

On a remplacé un alphabet UNIQUE, {0,1,2,…,B - 1}, de pas d’incrémentation FIXé A 1, par n + 1 alphabets B^-(n+1-i){0,1,2,…,B - 1}, de pas d’incrémentation variant suivant la longueur du mot, d’un facteur 1/Bⁿ⁺¹ pour i = 0 à un facteur 1/B pour i = n.

 

En conséquence, le mot REDUIT :

 

(4)               0 =< E_1,A’(n) = S_i=0ⁿ a’_i(n) =< (Bⁿ⁺¹ - 1)/Bⁿ⁺¹ = 1 - 1/Bⁿ⁺¹

 

Au contraire du mot originel E_B,A(n) dont on sait qu’il diverge avec B et n [B 175, remarque suivant la définition (10)], le mot RENORMALISé E_1,A’(n), écrit en base B’ = 1, est maintenant strictement inférieure à l’unité, quelle que soit sa longueur et la base choisie. Mieux encore : plus B ou n augmente, plus l’écart 1 - 1/Bⁿ⁺¹ se rétrécit et tend vers 1.

 

Pour la partie décimale du nombre A(m+n) :

 

(5)               D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_-(m-i)B^-(m-i)

 

une renormalisation n’est pas nécessaire, puisque les bornes 0 =< a_-(m-i) =< B - 1 garantissent

 

(6)               0 =< D_B,A(m-1) =< 1 - 1/B^m < 1

 

Il suffit donc de se ramener à la base unité :

 

(7)               a’_-(m-i)(m-1,B) = a_-(m-i)B^-(m-i) = (a_-(m-i)/a_i)a’_i(m-1,B)

 

pour obtenir,

 

(8)               D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a’_-(m-i)(m-1,B) = D_1,A’(m - 1)

 

Au contraire de la partie entière de A(m+n), contractée d’un facteur Bⁿ⁺¹, la partie décimale du nombre RESTE INVARIANTE DE BASE.

 

Si le mot originel :

 

(9)               A(m+n) = S_i=-mⁿ a_iBⁱ = E_B,A(n) + D_B,A(m-1)

 

écrit en base B >= 2 n’est majoré que par une progression GEOMETRIQUE

 

(10)           0 =< A(m+n) =< (B^n+m+1 - 1)/B^m

 

en revanche, le mot « renormalisé »

 

(11)           A’(m+n) = S_i=-mⁿ a’_i = E_1,A’(n) + D_1,A’(m-1)

 

pourtant de même longueur, est écrit en base B’ = 1 et majoré par une progression ANTI-GEOMETRIQUE

 

(12)           0 =< A’(m+n) =< 2 - 1/Bⁿ⁺¹ - 1/B^m < 2

 

qui permet de le maintenir strictement inférieur à une CONSTANTE.

 

L’éventail de chiffres disponibles restant le même en base unité qu’en base B et les formules (2) et (7) étant inversibles, si l’on PART, cette fois, de la donnée de B chiffres a’_i(n) en base B’ = 1, on reconstruit n’importe quel mot de longueur n en base B à partir de son renormalisé de même longueur.

 

Si l’on avait posé dès le départ B = 1, on n’aurait évidemment rien trouvé d’intéressant, puisque le seul chiffre disponible y est 0.

 

Le procédé de renormalisation de la base de numération permet, au contraire, de faire ressortir une SOUS-STRUCTURE DEPENDANTE D’ECHELLE en « éclatant » la structure complètement triviale de la base 1.

 

En L’ABSENCE de partie décimale, m = 1 et a_-1 = 0, la majoration est donnée par (4). En l’absence de partie ENTIERE, n = 0, a₀ = 0 et la majoration est donnée par (6). Comme B est pris >= 2, l’écart le plus significatif dans (12) se situe en base B = 2 :

 

(13)           2 - 1/Bⁿ⁺¹ - 1/B^m =< 2 - 1/2ⁿ⁺¹ - 1/2^m < 2

 

Dans cette base, (3) et (7) donnent :

 

(14)           a_i = 0,1 => a’_i(n) = 0,1/2^(n+1-i) => a’₀(n) = 0,1/2ⁿ⁺¹,…,a’_n(n) = 0,½

(15)           a’_-(m-i)(m-1) = 0,1/2^m-i => a’_-m(m-1) = 0,1/2^m,…, a’_-1(m-1) = 0,½

 

Si B₀ = {0,1 ; 1 -., ET, OU} désigne l’algèbre de Boole conventionnelle, le plus grand entier non négatif FINI étant égal à Card(N) - 1 :

 

(16)           B_Card(N) = B₀/2^Card(N) = B₀/Card(R₊)

 

L’algèbre de Boole TRANSFINIE B_Card(N) est donc égale à l’algèbre de Boole conventionnelle B₀ divisée par la « puissance du continu ».

 

Cette algèbre-là peut raisonnablement être considérée comme « infinitésimale » au sens du continu, puisque ses éléments sont 0 et 1/Card(R₊), qui représente « l’infiniment petit du 1^er ordre » lors du passage du discret au continu.

 

A toute algèbre de Boole B_p = B₀/2^p pouvant être associé un espace topologique de Stone S_p = S₀/2^p de dimension 1, l’espace S_Card(N) peut donc être utilisé pour DEFINIR l’intervalle « différentiel » [0,dx] sur R₊, au moins au 1^er ordre de petitesse près. Entre 0 et dx -> 0⁺, on ne trouve en effet aucun élément intermédiaire, ce qui revient à dire que le pas le plus petit est dx.

 

En pratique, la renormalisation des bases de numération permet de réduire considérablement le volume des calculs. Prenez l’exemple de l’addition arithmétique en base B = 2. C’est la seule à pouvoir vraiment être décomposée en produit et somme « logiques », c’est-à-dire arithmétiques « modulo 2 ». Décomposez ne serait-ce que :

 

a₀ + a₁ + a₂ = (a₀ XOR a₁) + 2(a₀ ET a₁) + a₂

      = (a₀ XOR a₁ XOR a₂) + 2{[(a₀ XOR a₁) ET a₂] + (a₀ ET a₁)}

      = (a₀ XOR a₁ XOR a₂) + 2[(a₀ ET a₁) XOR (a₁ ET a₂) XOR (a₂ ET a₀)]

 

car (a_i XOR a_j)(a_i ET a_j) = 0. Le volume de calcul augmente très rapidement avec le nombre de sommes à effectuer, que l’on utilise l’architecture avec retenue série, parallèle ou anticipée : pour calculer 3 = 11₂, il faut déjà 3 étages de calcul…

 

Au contraire, pour calculer 1 + 1 + 1 en base 2 par la méthode de renormalisation, vous écrivez d’abord :

 

3 = (1/8 + 1/8 + 1/8) x 8 = (3/8) x 8

 

La quantité 3/8 est compréhensible en base 1. Vous avez alors le choix : soit l’utiliser telle quelle dans un dispositif ANALOGIQUE et la multiplier par un facteur 8 pour obtenir le résultat, soit la TRADUIRE en base 2, ce qui va vous donner un DECIMAL 2^-2 + 2^-3, que vous n’aurez plus qu’à DECALER DE 3 : (2^-2 + 2^-3)2³ = 2¹ + 2⁰ = 11₂.

 

Soit maintenant à calculer :

 

(17)           S = S_i=0ⁿ a_i

 

Cette expression ressemble à un MOT qui serait « mal construit » ou « inadapté », car constitué en base B’ = 1, mais avec des chiffres a_i dans une base B >= 2. Qu’importe, vous divisez chaque a_i par Bⁿ⁺¹, en choisissant B comme la plus petite base de numération dans laquelle tous les a_i à additionner sont des chiffres. Vous obtenez des a’_i(n,B) = a_i/Bⁿ⁺¹ dont la somme arithmétique :

 

(18)           0 =< S’ = S_i=0ⁿ a’_i(n,B) = S/Bⁿ⁺¹ =< (1 - 1/B)/Bⁿ < 1

 

est systématiquement lisible en base 1. Cette somme S’, soit vous choisissez la transcrire en base B, auquel cas, vous obtenez un DECIMAL,

 

(19)           S’ = S_i=0^m-1 s’_-(m-i)B^-(m-i)

 

que vous n’aurez plus qu’à DECALER en amont de n + 1 registres, soit vous l’utilisez telle quelle et vous la RE-MULTIPLIEZ par un facteur Bⁿ⁺¹.

 

De quoi avez-vous besoin ?

 

-         d’un montage à diodes pour Bⁿ⁺¹, puisque Bⁿ⁺¹ = exp[(n+1)Ln(B)] ;

-         d’un pont diviseur pour a’_i(n,B) = a_i/Bⁿ⁺¹ ;

-         d’un additionneur analogique pour S’, l’AO n’étant jamais saturé ;

-         d’un transcripteur numérique en base B, si vous choisissez de le faire à cette étape ;

-         d’un registre à décalages, si vous avez choisi l’option transcripteur ;

-         sinon, d’un second montage à diodes identique au premier, suivi du trancripteur en base B pour l’affichage du résultat final.

 

C’EST TOUT. Vous pouvez même recourir à des VARISTANCES pour jouer sur les valeurs de n, ça limite à un seul montage pour une gamme d’additions.

 

Vous n’avez plus à vous préoccuper de rechercher des opérations arithmétiques « modulo la base » (ce qui se révèle beaucoup plus théorique que pratique) et de tout décomposer en ces opérations (ce qui nécessite des blocs de calcul numériques).

 

Vous concevez un montage ANALOGIQUE, sachant qu’il fonctionnera TOUJOURS en régime linéaire et vous ne lui adjoignez un bloc numérique que pour L’AFFICHAGE du résultat final. Vous n’avez plus à reporter les retenues, juste à décaler. Si, vous, vous ne lisez pas le résultat intermédiaire S’, vous vous en fichez complètement : le circuit analogique, lui, reconnaît cette quantité, c’est tout ce qui importe. Dans l’exemple ci-dessus, ce n’est pas 3/8 qui vous intéresse, mais 3.

 

Pour la MULTIPLICATION, vous faites :

 

(20)           a_i = a         pour i = 0,…,n

(21)           S = S_i=0ⁿ a = (n + 1)a

 

C’est le produit de l’entier a par l’entier n + 1.

 

C’EST UN CAS PARTICULIER DE (17).

 

Plus besoin d’algorithmes « optimisateurs » comme celui de Booth parce que… vous avez un volume de calcul de dingue… Vous divisez a par Bⁿ⁺¹, c’est garanti que S/Bⁿ⁺¹ restera inférieure à 1 (et strictement) : entre la « tortue » (n + 1)a et le « lièvre » Bⁿ⁺¹, aucun souci à se faire.

 

Si vous étendez les résultats de cette bidouille à Z, vous construirez de même la soustraction.

 

La bidouille précédente a tenté de pointer du doigt les difficultés CONCEPTUELLES à représenter des quantités NUMERIQUES dès que l’on cherche à s’extraire du discret. Et même dans le cas discret, le papier est une chose, les possibilités technologiques de réalisation en sont une toute autre : même si l’effet transistor est typiquement quantique, on ne conçoit pas un transistor dont le régime de commutation a plus de 2 états en claquant des doigts… Les logiques supraconductrices restent à 2 états, leur temps de commutation est seulement considérablement réduit. Pour envisager du 3 états, il faut être en mesure de fabriquer des barrières d’énergie suffisamment fines. Il ne suffit pas de compter en base 3. :) Ensuite, il s’agit de construire des logiques qui, même si elles s’avèrent contradictoires par rapport à la logique de Boole, doivent tout de même rester COHERENTES, c’est-à-dire, conduire à des résultats CORRECTS.

 

On ne calcule donc pas aussi facilement avec des circuits électroniques ou photoniques que sur ses doigts ou sur le papier. Surtout quand on passe à l’analogique.

 

Or, il est incontestable que, pour des calculs évolués, l’analogique surpasse le numérique à un point tel que la comparaison n’est pas possible. Il suffit de considérer le montage intégrateur ou dérivateur pour s’en convaincre : un AO, une résistance, un condensateur, pour l’analogique, suffisent à fournir DIRECTEMENT un résultat EXACT ; en numérique 2 états, LE MÊME CALCUL nécessite un « bloc de calcul entier »… Quant aux intégrales gaussiennes ou elliptiques, certaines nécessitent parfois des SUPER-CALCULATEURS… Et, de toute façon, les résultats ne seront QU’APPROCHéS, avec une précision d’autant plus fine que le bloc servant au calcul sera important. Et ce, QUELQUE SOIT LA METHODE UTILISEE : rien à faire, il faudra un pas d’intégration et un maillage, parfois multi-dimensionnel, pour des fonctions à plusieurs variables. Un vrai casse-tête…

 

Sur le sujet, je me réfère souvent à l’équipe de Jacques Laskar, du Bureau des Longitudes, qui a développé entièrement, sur papier, les équations d’Einstein, soit plus de 500 pages, pour REDUIRE LE TEMPS DE CALCUL… et pour éviter d’avoir recours à un super-calculateur (et de le faire chauffer !). Des trucs de fou… :(

 

Ainsi, lorsqu’on aborde l’analogique au niveau du CALCUL à proprement parler, toute la question est :

 

FAUT-IL CONSERVER LES BASES DE NUMERATION, AUSSI SOPHISTIQUEES SOIENT-ELLES ?

 

En d’autres termes : comment faire du calcul NUMERIQUE dans le continu ?...

 

B175 montre, assez clairement je pense (du moins, je l’espère), que l’exercice s’avère QUASI-IMPOSSIBLE. Pour faire du calcul numérique, il faut se REPRESENTER des « chiffres » qui, une fois assemblés, vont donner des « nombres ».

 

Or, une telle représentation, si elle s’avère, non seulement utile, mais nécessaire à l’apprentissage du calcul, NE L’EST PLUS EN CALCUL EVOLUé.

 

En « maths pures » comme en « maths applis », les « applications numériques » n’interviennent, en effet, QU’A LA TOUTE DERNIERE ETAPE. Tout le reste se fait en LITTERAL. En sciences fondamentales ou appliquées, on travaille fort bien, on échafaude fort bien des théories, en se contentant de NOMMER les constantes fondamentales, sans éprouver le besoin de donner leur VALEUR NUMERIQUE ne serait-ce qu’une seule fois. On ne va pas écrire à chaque fois que c = 2,997928 x 10⁸ m/s à chaque fois. Ni que h = 6,6363 x 10^-34 Js. On utilise les LETTRES « c » et « h ». Idem pour toutes les VARIABLES, FONCTIONS et tous les PARAMETRES.

 

Le calcul, c’est 99% de TEXTE et 1% de NUMERIQUE.

 

Et même dans les applications numériques, la représentation d’une même valeur est toute RELATIVE : elle n’a aucun caractère d’absolu, puisqu’elle dépend de la BASE DE NUMERATION dans laquelle on se place. Que représente, par exemple, le « nombre 15 » ? En lui-même, RIEN, si vous ne précisez pas la BASE dans laquelle vous l’écrivez. En base 10, vous l’écrirez « 15 » ; en base 16, « F » ; en base 8, 17 et en base 2, 1111. C’est la même grandeur. Aussi, dire, par exemple, que « les données constructeur fixe l’alimentation de cet AO à 15 Volts », c’est se référer, sans le dire, à la base 10, la plus couramment utilisée. Mais vous pourriez tous aussi bien dire « F Volts » ou « 17 Volts » ou encore « 1111 Volts ». Si vous ne précisez pas la base, vos interlocuteurs penseront de facto en base 10 et risquent d’écarquiller les yeux à l’annonce de certains RESULTATS… parce que « 1111 Volts en base 10 », ça fait un ampli op’ COSTAUD…

 

Toute de la science de la COMMUNICATION tourne donc autour du SYMBOLISME : on se fixe une symbolique, qui ne forme pas forcément un alphabet, on établit des REGLES que l’on regroupe dans une « grammaire » et une « syntaxe », on la PARTAGE avec d’autres et tout cela forme un LANGAGE. On communique en s’échangeant une symbolique, verbale et/ou écrite.

 

De nouveau, quelle est la valeur de 15 si vous ne précisez pas préalablement la base ? VOUS NE POUVEZ PAS LE DIRE. Pourtant, cette valeur EXISTE. Vous ne pouvez simplement pas la NOMMER.

 

Et c’est exactement ce qu’il se passe avec l’analogique. Vous y rencontrez un problème de REPRESENTATION DES VALEURS NUMERIQUES. Vous allez être en mesure de calculer le nombre pi en entrant un bruit blanc dans un montage intégrateur. Si votre AO est de haute précision, vous pourrez en extraire une valeur fine de la constante. Mais serez-vous en mesure de fournir ses décimales ? NON… Il n’en reste pas moins que le circuit CONNAÎT LE NOMBRE PI. Mais, lui, n’éprouve PAS le besoin de le nommer. Nous, si, parce qu’on en a pris l’habitude depuis l’école primaire…

 

Je n’ai jamais rien eu contre les « maths modernes », je me suis seulement opposé à leur enseignement dès l’entrée en secondaire (dès la 6^ème), pour deux raisons. La première est que ça provoque une rupture trop brutale avec le calcul élémentaire appris dans le primaire. La seconde est que l’on demande à des élèves D’ACCEPTER des règles et des structures qui ne sont approfondies et justifiées qu’en niveau Maitrise 2^ème année et 3^ème cycle de mathématiques… On leur demande d’assimiler la théorie des ensembles SANS posséder les bases de logique mathématique requises pour cela. On leur demande d’utiliser des grandeurs ABSTRAITES, alors qu’ils sortent d’un enseignement de calcul NUMERIQUE APPLIQUé. Le résultat est compréhensible, mais catastrophique : la plupart des élèves sont rapidement dégouttés des maths… :( Ils ne comprennent plus. Il aurait fallu, au contraire, les sensibiliser PROGRESSIVEMENT au passage du calcul « sur les doigts », à base de chiffres et de nombres, au calcul « abstrait », à base de « lettres et mots variables ». Leur expliquer POURQUOI l’écrasante majorité des calculs est LITTERALE, PAS NUMERIQUE…

 

En développant des circuits à base de transistors fonctionnant en mode « saturé / bloqué », on est REVENU aux systèmes de numération et donc, au « comptage sur les doigts ». Si la technologie a considérablement évolué dans le traitement de calculs complexes, grâce, surtout, à la rapidité des circuits, bien supérieure à celle du cerveau humain, en revanche, on a considérablement REGRESSé DANS LE RAISONNEMENT… et ça se paie en VOLUMES DE CALCULS, en TAILLES MEMOIRE, en TEMPS DE CALCUL…

 

Quand vous apprenez les bases de l’électronique numérique, vous voyez bien le temps que vous mettez à réaliser des opérations binaires sur papier par rapport au temps passé à faire les mêmes calculs en décimal… Même avec une gymnastique mentale, acquise par la pratique, vous ne pouvez éviter qu’accumuler des lignes de « 0 » et de « 1 ». Aujourd’hui, plus personne ne conçoit de programmes informatiques en binaire depuis longtemps. Ni même en héxa : c’est illisible… Pourtant, il y a bel et bien des LANGAGES LOGIQUES, des SEMANTIQUES, mais elles sont bien trop rudimentaires pour être exploitables dans la pratique courante. Meilleure des preuves : une fois compilée, essayez donc de retrouver le code source d’une simple routine…

 

Replacez-vous en base 10. Vous avez le choix : soit utiliser les chiffres de 0 à 9, soit utiliser une VARIABLE LITTERALE x, que vous doterez de la possibilité de prendre TOUTES LES VALEURS DE 0 A 9. UNE SEULE QUANTITé, « x », POUR 10 VALEURS, ou bien 10 VALEURS SPECIFIQUES DISTINCTES. Le choix n°1 est celui des applications numériques ; le choix n°2, celui de l’approche ensembliste. Vous direz que la grandeur x « est dans (ou appartient à) l’ensemble de valeurs numériques {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} » pour exprimer le fait que x peut être FIXEE à n’importe laquelle de ces 10 valeurs. En fixant x, vous SPECIFIEZ sa valeur. A chaque fois, vous allez EXCLURE les 9 autres possibilités… Au contraire, en raisonnant de manière ensembliste, vous INCLUEZ TOUTES LES POSSIBILITES EN MÊME TEMPS. Quelle est la valeur numérique EXACTE de x ? Vous ne pouvez pas le dire ET VOUS VOUS EN FICHEZ, PARCE QUE CETTE QUESTION N’A PLUS DE SENS… et le fait de l’ignorer ne vous empêche nullement de faire des calculs ! Mais ces calculs sont LITTERAUX. Vous manipulez toujours des SYMBOLES, mais vous permettez désormais à ces symboles d’être LIBRES et non plus figés à une valeur donnée.

 

Je vous rappelle d’ailleurs au passage que « 0 » n’est toujours pas considéré comme un NOMBRE, ni même un CHIFFRE, en mathématiques. Ça n’a jamais empêché personne de l’utiliser… « 0 » symbolise surtout et avant tout L’ABSENCE DE CHIFFRE. C’est comme ça que les Indiens l’avaient présenté aux Arabes, qui nous l’ont transmis : comme un symbole de VIDE, de MANQUE.

 

En calculant 2 + 3 = 5 en base 10, vous effectuez une opération FIGEE. En calculant x + y = z, vous réaliser une opération tout aussi arithmétique, mais LIBRE. Peu importe les valeurs prises par x et y, surtout si elles sont continues. Que voyez-vous dans la relation x + y = z ? L’équation d’un PLAN. Vous voyez UN OBJET MATHEMATIQUE, plus une simple valeur. Vous voyez TOUT UN ENSEMBLE CONTINU DE VALEURS BI-DIMENSIONNELLES.

 

Donc, votre intégrateur analogique vous fournit « pi » en sortie. Eh bin, c’est bien, c’est ce que vous attendiez de lui. Donc, le montage est correct. Et vous utilisez ce nombre « pi », EN LITTERAL, pour la suite des calculs, SANS PLUS VOUS PREOCCUPEZ DE SES CHIFFRES, NI DANS QUELLE BASE DE NUMERATION. De toute façon, vous ne connaîtrez jamais tous ses chiffres. Alors ? A quoi bon, alors que ça fait des lustres qu’on utilise le MOT « pi » dans les calculs littéraux ? Et que, jusqu’à présent, cela n’a pas conduit à des résultats absurdes ?

 

Calculez la machine analogique sur le papier. Concevez-la. Et laissez-lui faire ses calculs. Ne cherchez plus le DETAIL SUPERFLU. Seul les RESULTATS vous intéressent. Concentrez plutôt vos recherches sur une LEXIQUE, une SEMANTIQUE, une GRAMMAIRE, qui vous permette de communiquer avec elle. Vous n’avez nul besoin d’applications numériques pour concevoir des LANGAGES. Vous avez juste besoin de LOGIQUES LITTERALES pour cela. Le reste, la machine gère. Si les résultats sont faux, c’est qu’elle aura été mal conçue, donc, c’est que VOS calculs de réalisation comporteront des erreurs.

 

L’analogique n’est pas le numérique. Le continu n’est pas le discret. Le passage du discret au continu n’est d’ailleurs pas si direct que cela. Il ne suffit pas, comme la tradition le veut, de faire tendre les entiers vers « l’infini » : l’infini DENOMBRABLE n’est pas l’infini NON dénombrable. Entre Card(N) et 2^Card(N), il y a beaucoup trop de nombres QUI NE SONT PAS DES ENTIERS. Des nombres qui, comme B175 s’est efforcé de le prouver, ne sont même pas (tous) représentables dans une quelconque base de numération entière, ni même non entière. Beaucoup de ces nombres nécessitent en fait des bases « flottantes », sans aucune garantie de gain à la clé par rapport aux bases fixes.

 

Pourquoi donc risquer de se pourrir l’existence à s’efforcer de continuer à travailler, concevoir et raisonner comme dans le numérique ? Forcer un monde dans l’autre ?

 

Même les plus vastes généralisations du numérique n’engloberont jamais tous les réels. La classification cantorienne peut s’avérer trompeuse. En réalité, on n’a pas du tout affaire aux mêmes mondes mathématiques : on a « l’univers du régime en commutation » d’un côté et « l’univers du régime linéaire » de l’autre. Le linéaire, le NON linéaire.

 

Presque « la thèse » et « l’antithèse ».

 

 

Ça fait du bien de faire des « intermèdes » à la physique de temps à autre, pas toujours traiter des mêmes sujets. Je n’aime pas la routine, je préfère la variété. :)

En toute chose, il ne faut pas que ça tourne à l’obsession. On se change les idées en abordant d’autres « problématiques ». ça permet aussi de « décanter » sur les thèmes précédents.

 

Soient B, m, n, i et a_i des entiers naturels avec :

 

(1)               B >= 2 , 0 =< a_i =< B - 1 , n < Card(N) , m =< Card(N)

 

Tout nombre A(m+n) admettant un développement en base B sous la forme :

 

(2)               A(m+n) = S_i=-mⁿ a_iBⁱ = S_i=0^m-1 a_i-mB^i-m + S_i=0ⁿ a_iBⁱ

 

est la somme de sa partie entière

 

(3)               E_B[A(m+n)] = E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_iBⁱ

 

et de sa partie « décimale »

 

(4)               D_B[A(m+n)] = D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_i-mB^i-m = S_i=0^m-1 a_-(m-i)/B^m-i

 

Les coefficients du développement (3) en puissances de B se définissent par récurrence :

 

(5)               a_i = E{[E_B,A(n) - E_B,A(n-i-1)]B^-i}                          (0 =< i =< n)

 

et ceux du développement (4), par

 

(6)               a_-(m-i) = E{[D_B,A(m-1) - D_B,A(m-i-2)]B^m-i}             (0 =< i =< m-1)

 

En posant :

 

(7)               k = Ln(B)

 

on trouve E_B,A(n) et D_B,A(m) sous la forme,

 

E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_ie^ki = k^-1S_i=0ⁿ ka_ie^ki

D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_-(m-i)e^-k(m-i) = k^-1S_i=0^m-1 ka_-(m-i)e^-k(m-i)

 

soit encore,

 

(8)               E_B,A(n) = k^-1£_d;B,n.a(i)

(9)               D_B,A(m-1) = k^-1£_d;B,m-1.a[-(m-i)]

 

avec

 

(10)           £_d;B,n.a(i) = S_i=0ⁿ ka_ie^ki

 

LA TRANSFORMEE DISCRETE DE a(i) = a_i EN BASE B.

 

Pour m = Card(N) = aleph₀, le nombre A[Card(N)+n] possède un nombre illimité de « décimales ». Comme l’argument m - i est toujours > 0 dans D_B,A[Card(N)-1] et que (cf. 1a) B a été pris >= 2, k = Ln(B) > 0 et la convergence de la partie décimale est assurée. Par contre, s’il s’agissait de la borne SUPERIEURE n, on voit tout de suite que E_B,A[Card(N)] divergerait en B^Card(N), comme il se doit. Ce qui est possible pour la partie décimale ne l’est donc plus pour la partie entière.

 

(11)           £_{d;B,Card(N)-1}.a{-[Card(N)-i]} = S_i=0^Card(N)-1 ka_-[Card(N)-i]e^{-k[Card(N)-i]}

 

s’identifie à la TRANSFORMEE DE LAPLACE DISCRETE DE a{-[Card(N)-i]} = a_-[Card(N)-i] EN BASE B.

 

Lorsqu’on passe au continu, le raisonnement adéquat consiste EN TOUT PREMIER LIEU à remplacer N par R. On passe alors de Card(N) = aleph₀ à Card(R) = 2^Card(N), ce qui fait déjà une différence plus que significative étant donné que 2^Card(N) - Card(N) >> Card(N). On a en fait Card(Z) = 2Card(N) - 1, puisque 0 ne doit être compté qu’une seule fois, d’où Card(N) = ½ [Card(Z) + 1] et :

 

Card(R) = 2^{½ [Card(Z) + 1]} >> Card(Z) + 1

 

puisque la progression est exponentielle à gauche et seulement linéaire à droite. Entre Card(R) et Card(Z), on a donc 2^{½ [Card(Z) + 1]} - Card(Z) valeurs de la variable qui n’apparaissent PAS dans (2) (tous les NON entiers avec leur signe). D’où la nécessité de commencer par la substitution des espaces ambiants. Une fois cette modification prise en compte, on peut substituer à la somme discrète (2) une somme continue et écrire A sous la forme :

 

(12)           A(x+y) = S_-x^y a(x’)B^x’dx’

      = S₀^x a[-(x-x’)]B^-(x-x’)dx’ + S₀^y a(x’)B^x’dx’ - a(0)

 

L’analogue continu de la partie entière (3) de A(m+n) est :

 

(13)           E_B[A(x+y)] = E_B,A(y) = S₀^y a(x’)B^x’dx’

 

et celui de la partie décimale (4),

 

(14)           D_B[A(x+y)] = D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]B^-(x-x’)dx’

 

On a retiré a(0) à (12) parce qu’il est compté deux fois dans les intégrales : une fois dans E_B,A(y) pour x’ = 0 et une fois dans D_B,A(x) pour x’ = x. Toujours moyennant (7), qui ne change pas lors du passage au continu, on a :

 

(15)           E_B,A(y) = S₀^y a(x’)e^kx’dx’ = k^-1£_c;B,y.a(x’)

(16)           D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]e^-k(x-x’)dx’ = k^-1£_c;B,x.a[-(x-x’)]

 

où

 

(17)           £_c;B,x.a(x’) = S₀^x ka(x’)e^kx’dx’

 

est LA TRANSFORMEE CONTINUE DE a(x’) EN BASE B.

 

Lorsque x = Card(R₊) = ½ [Card(R) + 1],

 

(18)           £_c;B,Card(R+).a(x’) = S₀^Card(R+) ka(x’)e^kx’dx’

 

s’identifie à LA TRANSFORMEE DE LAPLACE DE a(x’) avec k = Ln(B).

 

Il apparaît alors une différence significative avec le cas discret. En effet :

 

0 =< a(x’) , a[-(x-x’)] < B pour tout x’ =>

 

0 =< E_B,A(y) < e^kS₀^y e^kx’dx’ = k^-1e^k(e^ky - 1)

0 =< D_B,A(x) < e^kS₀^x e^-k(x-x’)dx’ = k^-1e^k(1 - e^-kx)

 

Par conséquent :

 

(19)           E_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[e^kCard(R+) - 1]

(20)           D_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[1 - e^-kCard(R+)]

 

Or, la variable y (resp. x) mesure la longueur totale de la partie entière (resp. décimale). Pour 0 < B < 1, k < 0 et :

 

(21)           E_B,A[Card(R₊)] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)[1 - e^{-Abs(k)Card(R+)}] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)

(22)           D_B,A[Card(R₊)] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)[e^{Abs(k)Card(R+)} - 1] < Abs(k^-1)e^{Abs(k)[Card(R+)-1]}

 

[Abs(.) est la valeur absolue]. Dans ce cas, la valeur de la partie entière est LIMITEE, mais pas forcément celle de la partie décimale, qui n’est majorée que par une quantité exponentiellement plus grande que [Card(R₊) - 1] ~ Card(R₊).

 

Au contraire, pour B > 1, k > 0 et :

 

(23)           E_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[e^kCard(R+) - 1] < k^-1e^{k[Card(R+)+1]}

(24)           D_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[1 - e^-kCard(R+)] < k^-1e^k

 

C’est la valeur de la partie décimale qui est limitée, tandis que celle de la partie entière n’est majorée que par une quantité exponentiellement plus grande que [Card(R₊) + 1] ~ Card(R₊).

 

On aboutit de ce fait à des propriétés asymptotiques assez intéressantes des nombres réels. Ainsi, pour k = Card(R₊), soit en base B = e^Card(R+) >> 1, (19) et (20) deviennent :

 

(25)           E_B,A[Card(R₊)] < e^Card(R+)[e^Card²(R+) - 1]/Card(R₊)

(26)           D_B,A[Card(R₊)] < 2sh[Card(R₊)]/Card(R₊)

 

tandis que, pour k = -Card(R₊), soit en base B = e^-Card(R+) << 1, les rôles sont permutés,

 

(27)           E_B,A[Card(R₊)] < 2sh[Card(R₊)]/Card(R₊)

(28)           D_B,A[Card(R₊)] < e^Card(R+)[e^Card²(R+) - 1]/Card(R₊)

 

Enfin, en ce qui concerne la valeur « critique » B = 1, qui n’offre rien d’intéressant dans le cas discret, étant donné que a(.) est une fonction BORNEE, (15) et (16) donnent directement :

 

(29)           B = 1 => E_1,A(y) < y , D_1,A(x) < x

 

EN BASE 1, LES VALEURS DES PARTIES ENTIERES ET DECIMALES DES REELS RESTENT STRICTEMENT INFERIEURES A LEURS LONGUEURS RESPECTIVES.

 

Toutefois, tous les noyaux intégraux NE SONT PAS en e^kx’, loin s’en faut. Ceci nous incite à une GENERALISATION de la méthode, en remplaçant kx’ par S₀^x’ k(x’’)dx’’, où k(x’’) est une fonction sommable et donc, au minimum continue sur l’intervalle [0,x’]. En posant que :

 

(30)           k(x’’) = Ln[B(x’’)]

 

on aboutit à,

 

S₀^x’ k(x’’)dx’’ = S₀^x’ Ln[B(x’’)]dx’’ = x’k₁(x’) = x’Ln[B₁(x’)]

 

Or, x’ = S₀^x’ dx’’. Donc :

 

(31)           k₁(x’) = [S₀^x’ k(x’’)dx’’]/x’ = < k(x’’) >

 

est la MOYENNE ARITHMETIQUE de k(x’’) SUR L’INTERVALLE [0,x’] et

 

(32)           B₁(x’) = exp[k₁(x’)] = exp{<Ln[B(x’’)] >}

 

une « BASE FLOTTANTE ».

 

Les formules (15) et (16) se généralisent alors en :

 

(33)           E_B,A(y) = S₀^y a(x’)exp[S₀^x’ k(x’’)dx’’]dx’

      = S₀^y a(x’)B₁(x’)^x’dx’

(34)           D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]exp[-S₀^x-x’ k(x’’)dx’’]dx’

      = S₀^x a[-(x-x’)]B₁(x-x’)^-(x-x’)dx’

 

Comme toujours en analyse fonctionnelle, la question centrale porte sur la régularité des noyaux intégraux, puisque la régularité de la transformée est reportée sur eux (ce qui permet d’envisager des « originaux » seulement continus sur l’intervalle d’intégration). Pour les noyaux exponentiels figurant dans (33) et (34), si :

 

f(x’) = S₀^x’ k(x’’)dx’’ , g(x’) = exp[f(x’)],

 

alors,

 

g⁽ⁿ⁾(x’) = g(x’)S_i=0^n-1 k⁽ⁱ⁾(x’)  ,  k⁽⁰⁾ = k ,  n dans N

 

Donc, g de classe Cⁿ => k de classe C^n-1. Ainsi, pour que g soit « lisse » (C^oo), il faut (et il suffit) que k le soit. Or, d’après (30), ceci n’est possible que ssi B est de classe C^oo. Quant aux coefficients, on n’exige que 0 =< a(x’) < B(x’). Toujours est-il que, contrairement au cas B = cte, l’exponentiation ne suffit plus pour garantir la « lissitude » de g(x’). En pratique, est-ce un réel problème ? Quelque part, c’est au moins une LIMITATION à prendre en compte parce que, si l’on passe au CONTINU, on s’attend le moins possible à trouver des DISCONTINUITéS aussi bien dans les parties entières que dans les parties décimales. Ceci irait A L’ENCONTRE de l’esprit des transformations fonctionnelles, qui veulent justement que, si « l’original » n’est que continu par morceaux, le « transformé » soit aussi régulier que possible, sous peine de rencontrer de (très) brutales VARIATIONS aux points de discontinuité, « sauts » qui pourraient nuire à la fiabilité des calculs.

 

Tout aussi logique que cela paraisse aussi, il vaut mieux éviter les PÔLES de B(x’) sur l’intervalle d’intégration. Considérons, par exemple, un pôle x_p’’ de degré p, entier naturel fini. Alors B(x_p’’) est en Card^p(R₊). Donc, k(x_p’’) est en pLn[Card(R₊)]. En isolant cette divergence dans [0,x’] :

 

S₀^x’ k(x’’)dx’’ = S₀^xp’’- k(x’’)dx’’ + S_xp’’+^x’+ k(x’’)dx’’ + k(x_p’’)

 

où x_p’’^- (resp. x_p’’⁺) désigne l’approche asymptotique du pôle à gauche (resp. à droite). Ceci donne :

 

Ln[B₁(x’)] = [S₀^xp’’- k(x’’)dx’’ + S_xp’’+^x’+ k(x’’)dx’’]/x’ + k(x_p’’)/x’

 

et, en exponentiant,

 

B₁(x’) = {partie régulière}.{divergence en[Card^p/x’(R₊)]}

 

(les puristes préfèreront sans doute utiliser, soit le calcul des résidus, mais qui nécessitent l’utilisation des nombres complexes, soit le théorème de résolution des singularités d’Hironaka. Moi, je fais dans le « basique » - cas de le dire ! J)

 

A moins que x’ soit elle-même de l’ordre de Card(R₊), auquel cas, la divergence se « normalise » aux environs de l’unité, on voit bien le problème posé par la présence d’un pôle à l’intérieur de l’intervalle d’intégration. Si l’on utilise des circuits à base d’amplificateurs opérationnels, les divergences sont écrêtées, mais le résultat est forcément faussé, puisque tronqué. Or, on aura recours à des circuits ANALOGIQUES pour obtenir des résultats EXACTS et non pas seulement APPROCHéS. Sinon, autant en rester au numérique…

 

Si l’on « redescend » de R₊ vers N, base de numération et coefficients deviennent des fonctions d’un intervalle de N dans N et la transformée discrète (10) prend la forme plus générale :

 

(35)           £_d;B(i),n.a(i) = S_i=0ⁿ k_ia_iexp(S_j=0^i-1 k_j)  ,  0 =< a_i =< B_i - 1

 

(pour k₀ = k₁ =… = k, on doit retrouver i fois k). Il m’apparaît que l’intérêt d’une telle généralisation à des bases « flottantes » réside vraiment dans le cas où ces bases sont des NOMBRES PREMIERS SUCCESSIFS. En voici deux exemples :

 

47₁₀ = 101111₂ = 57₈ = 2F₁₆ = 3³ + 4.5¹ = (1000)₃ + (40)₅

32₁₀ = 100000₂ = 40₈ = 20₁₆ = 5² + 7¹ = (100)₅ + (10)₇

 

Question occupation mémoire, on a peu de gain, voire pas du tout par rapport au binaire. En outre, on a besoin de DEUX registres, un en base 3 et un en base 5 pour 47, un en base 5 et un en base 7 pour 32.

 

EST-CE BIEN NECESSAIRE ?...

 

On va apporter une réponse à cette question dans la bidouille suivante, basée sur un CONSTAT.