Il existe, en fin de compte, un moyen assez simple d’unifier gravitation et électromagnétisme. Il suffit pour cela de remarquer que, dans un espace(-temps) courbe de tenseurs métriques g_ij(x), les symboles de Christoffel :

 

(1)               C_ij,k = ½ (-d_kg_ij + d_ig_jk + d_jg_ik)

(2)               C_ij^k = ½ g^kl(-d_lg_ij + d_ig_jl + d_jg_il)

 

ont pour invariants,

 

(3)               C_ik^k = ½ g^kld_ig_kl = d_i{Ln[(-g)^1/2]}

(4)               C_k = g^ijC_ij,k = C_kl^l + d^lg_kl

 

Le premier est une forme EXACTE, même en géométrie riemannienne, puisque son argument est un champ scalaire. En revanche, le terme d^lg_kl = g^lmd_mg_kl donne un rotationnel non nul :

 

(5)               d_nC_m - d_mC_n = d_ng^ijd_jg_im - d_mg^ijd_jg_in + g^ijd_j(d_ng_im - d_mg_in)

   = d_ng^ijd_jg_im - d_mg^ijd_jg_in + dⁱ(d_ng_im - d_mg_in)

 

qui, en géométrie riemannienne, est le même que le rotationnel covariant, puisque les symboles de Christoffel sont symétriques.

 

On peut donc se servir des C_k pour définir A LA FOIS un champ de gravitation :

 

(6)               G_k = (h/m)C_k                     en m/s

 

et un champ électromagnétique,

 

(7)               A_k = (h/q)C_k                      en Tm

 

On peut même GENERALISER ces « potentiels de champ » en des pseudo-tenseurs :

 

(8)               G_ij,k = (h/m)C_ij,k  ,  A_ij,k = (h/q)C_ij,k

 

Les caractéristiques physiques m et q figurant dans ces formules font référence à la masse et à la charge au repos d’un corps INCIDENT. Ça peut surprendre, mais c’est tout à fait en conformité avec l’idée initiale d’Einstein, qui s’est basé sur le Principe d’Equivalence de Newton (« tous les corps INCIDENTS se meuvent de la même manière dans le champ de gravité ») pour renvoyer le problème à la géométrie riemannienne et à des « potentiels métriques » g_ij(x) :

 

LE PRINCIPE D’EQUIVALENCE DE NEWTON S’EXPRIME DANS LES g_ij(x).

Il dit bien que tous les corps INCIDENTS s’y meuvent de la même manière.

 

On constate bien une « universalité » des C_ij,k VIS-A-VIS DES CORPS INCIDENTS. En revanche, les équations d’Einstein :

 

(9)               R_ij - ½ Rg_ij = (8pi k/c⁴)T_ij

 

montrent que les g_ij solutions physiques (c’est-à-dire, représentant réellement un champ de gravité) DEPENDENT DE LA MASSE AU REPOS m’ DE LA SOURCE. Il suffit, pour s’en assurer, de considérer le tenseur impulsion-énergie :

 

(10)           T_ij(x) = m’c²rhô(x)u_iu_j  ,  u_i = g_iju^j  ,  u^j = dx^j/ds

 

où rhô(x) est une distribution de matière donnée à l’avance. Dans le cas où m’ serait nulle, on prend la conversion m’c² = hf’, où f’ est une fréquence.

 

Les C_ij,k sont donc les mêmes pour tous les corps incidents et ce sont les G_ij,k et les A_ij,k qui se SPECIALISENT suivant la caractéristique physique considérée d’un corps incident : si cette caractéristique est la masse, on a affaire à un « champ de gravitation » ; si c’est la charge, à un « champ électromagnétique ».

 

NOUS VENONS D’UNIFIER ELECTROMAGNETISME ET GRAVITATION EN UTILISANT LA RELATIVITE GENERALE COMME PARADIGME PHYSIQUE

ET NON PLUS SEULEMENT COMME UNE THEORIE DE LA GRAVITATION.

 

En se basant sur les équivalences (8), les INTENSITES de champs deviennent directement proportionnelles au tenseur de courbure de Riemann :

 

(11)           W_ijkl = (h/m)R_ijkl  ,  F_ijkl = (h/q)R_ijkl

 

Elles DIFFERENT des expressions maxwelliennes W_ij = d_iG_j - d_jG_i et F_ij = d_iA_j - d_jA_i, mais cela n’a aucune importance, comme nous le verrons par la suite. Il en résulte évidemment des invariants qui n’apparaissent pas chez Maxwell :

 

(12)           W_ik = (h/m)R_ik  ,  F_ik = (h/q)R_ik                 (symétriques)

(13)           W = (h/m)R  ,  F = (h/q)R                           (scalaires)

 

En ce qui concerne le mouvement d’un corps incident de masse au repos m dans une géométrie courbe riemannienne, le lagrangien du système est :

 

(14)           L = ½ mc² + hcu^kC_k

 

Conformément au Principe d’Equivalence de Newton-Einstein, le terme de couplage est INDEPENDANT DE LA MASSE DU CORPS INCIDENT. En tenant compte du fait que :

 

(15)           u^ku_k = g_klu^ku^l = 1

 

les équations d’Euler-Lagrange en espace(-temps) courbe,

 

(16)           (D/ds)dL/duⁱ = D_iL

 

conduisent aux équations de mouvement

 

(17)           mc²Du_i/ds = hcu^j(D_iC_j - D_jC_i) = hcu^j(d_iC_j - d_jC_i)

 

ANALOGUES AUX EQUATIONS DE MAXWELL-POINCARé-LORENTZ. On peut même les écrire sous la forme :

 

(18)           mc²Du_i/ds = hcu^jg^kl(D_iC_kl,j - D_jC_kl,i)

 

qui montrent que le terme de droite entre parenthèse diffère bel et bien de R_ijkl, ce qui n’a, en soi, aucune importance. L’essentiel est que ce terme reste invariant sous la transformation de jauge :

 

(19)           C_kl,i -> C_kl,i + g_kld_iLn[(g)^1/2]

 

qui n’induit aucune courbure supplémentaire.

 

Les équations (17) diffèrent donc notablement des équations aux géodésiques Du_i/ds = 0 en ce que, dans l’espace-temps PLAN, tous les C_kl,i sont identiquement nuls et (17) se réduit à du_i/ds = 0, soit un mouvement rectiligne uniforme. A l’inverse, l’annulation du rotationnel se produirait pour C_kl,i = g_kld_iLn[(g)^1/2] qui, par la transformation de jauge (19), ramènerait tous les C_kl,i à zéro partout, d’où retour à la situation plane. C’est parfaitement normal : pas de champ, pas de courbure, donc des géodésiques rectilignes.

 

Dans un espace(-temps) VIDE, en revanche, le mouvement des corps incidents reste influencé par des ONDES solutions de R_ij = 0. Comme R_ijkl n’est pas nul mais que tous ses invariants le sont, il en va de même des intensités de champs spécifiques.

 

Les équations de mouvement (17) se spécialisent immédiatement en :

 

(20)           Du_i/ds = u^j(D_iC_j - D_jC_i)/c = u^j(d_iG_j - d_jG_i)/c

 

pour un corps soumis à un « champ de gravité » et en

 

(21)           Du_i/ds = (q/mc)u^j(D_iA_j - D_jA_i) = (q/mc)u^j(d_iA_j - d_jA_i)

 

pour un corps soumis à un « champ électromagnétique ».

 

Revenons au lagrangien (14) : la contribution mc² = mc²uⁱu_i est entièrement cinétique (terme de gauche dans les équations de mouvement) ; dans la contribution hcuⁱC_i, lorsque l’on se ramène à une géométrie SPATIALE, on s’aperçoit aussitôt que le SEUL terme potentiel est :

 

(22)           L_pot = hcu⁰C₀

 

Il ne fait donc intervenir que la composante du genre temps de C_i (le fameux « potentiel scalaire » en théorie de Maxwell). Le terme restant, hcu^aC_a est gyroscopique : il est associé à un référentiel tournant (Coriolis chez Newton). Il s’ensuit que, dans l’interprétation newtonienne des choses, i.e. en terme « d’attractivité » et de « répulsivité » du « champ de forces », tout va dépendre du SIGNE de L_pot. En effet, la « force newtonienne » est, à proprement parler, le gradient spatial de (22) :

 

(23)           f_a = d_aL_pot

 

Les autres contributions ne sont que des EFFETS de forces, qui peuvent être éliminés en se plaçant dans un référentiel en rotation synchrone. En multipliant f_a par u^a :

 

(24)           u^af_a = u^ad_aL_pot

 

la force newtonienne apparaîtra « ATTRACTIVE » si elle est orientée en sens INVERSE du déplacement (u^af_a < 0) et « REPULSIVE » si elle est orientée DANS LE MÊME SENS que le déplacement (u^af_a > 0). C’est donc un petit peu plus compliqué que chez Newton ou Coulomb : « l’attractivité » ou la « répulsivité » du champ ne dépend plus seulement du produit des masses mm’ (pour la gravitation) ou des charges qq’ (pour l’électromagnétisme), mais encore DES EFFETS GEOMETRIQUES INDUITS PAR LES C_ij,k, qui sont loin d’être toujours en 1/r. Alors, si cela explique facilement « l’effet catapulte » dans le cas de la gravitation newtonienne, en revanche, cela impose à considérer la possibilité d’un EFFET d’attraction mutuelle ENTRE CHARGES ELECTRIQUES DE MÊME SIGNE, dans le cas de l’électromagnétisme coulombien. Néanmoins, ce genre d’effet s’explique ici par son origine GEOMETRIQUE. Exactement comme pour l’effet catapulte gravitationnel. Ça ne devrait donc pas entrer en conflit avec les observations, seulement apporter des éléments nouveaux.

 

On connaît le dicton : il n’y a que les imbéciles qui ne changent jamais d’avis.

 

La dépendance explicite en les coordonnées spatio-temporelles sera partout sous-entendue dans ce qui suit.

 

A supposer que la théorie d’Einstein représente correctement le champ de gravitation, alors c’est la seule théorie de physique fondamentale connue à ce jour qui possède la propriété d’être non seulement UNIVERSELLE, mais AUTO-SUFFISANTE. En effet, dans les équations de champ :

 

(1)               E_ij = R_ij - ½ Rg_ij = (8pi k/c⁴)T_ij

 

le concept de « matière », représentée par le tenseur symétrique T_ik, est si général que, d’un point de vue purement terminologique, je préfère le désigner sous le nom de « substances standards », c’est-à-dire, les substances reconnues dans le Modèle Standard. Ces substances, on le sait, se classent en deux grandes catégories :

 

-         celles dites « matérielles », de type fermionique (à spins demi-entiers) et leurs vrais vides associés ;

-         celles dites « radiatives », de type bosonique (à spins entiers) et leurs vrais vides associés.

 

En effet, les états de vrai vide, qui ont un caractère global, présentent un potentiel absolument minimal, mais NON NUL. Ces valeurs de potentiel, couplées au tenseur métrique g_ij de l’espace-temps, fournissent alors des SOURCES SUBSTANTIELLES à des CHAMPS de gravitation. Ces vrais vides sont standards, parce que reconnus dans le Modèle Standard, bien qu’ils ne comportent aucun composant substantiel.

 

En fait, la valeur T_ij = 0 (identiquement) ne peut s’obtenir que dans le cas de vides SYMETRIQUES. Dès qu’il y a brisure spontanée de symétrie, il y a apparition de vrais vides et de sources de gravité. Les ONDES DE GRAVITATION (« ondes G »), solutions de :

 

(2)               R_ij = 0

 

ne peuvent donc apparaître qu’en l’absence de tout ordre global.

 

En ce qui concerne L’AUTO-SUFFISANCE de la théorie, comme le démontrent Landau et Lifchitz dans leur chapitre consacré à ces ondes, elles peuvent ELLES-MÊMES servir de « champ de fond » (« background field ») A LEUR PROPRE PROPAGATION DANS L’ESPACE-TEMPS. Ceci, parce que l’espace-temps PLAN obéit aux conditions R_ijkl = 0, plus générales que (2).

 

Enfin, dernier aspect essentiel de la théorie, les équations (1) contiennent les équations du mouvement des substances standards créant le champ :

 

(3)               DⁱT_ij = 0

 

La seule chose qu’il manque, c’est l’équation d’état de cette matière, puisque la théorie d’Einstein est purement mécanique.

 

Il s’avère tout à fait possible de généraliser ENCORE PLUS la théorie d’Einstein. Le tenseur d’Einstein E_ij n’est que l’invariant du tenseur de 4^ème ordre :

 

(4)               E_ijkl = R_ijkl - R(g_ikg_jl - g_jkg_il)/2(D - 1)         (D = 3 ou 4)

 

Il en résulte que les équations de la RG (1) peuvent aussi s’obtenir comme invariants du 2^nd ordre des équations de champ plus générales :

 

(5)               E_ijkl = (8pi k/c⁴)T_ijkl

 

T_ijkl est un « tenseur substance » du 4^ème ordre, dont seul L’INVARIANT DU 2^ND ORDRE fournit des substances « standards » :

 

(6)               T_ik = T_ijklg^jl

 

Du point de vue physique, cela exprime le fait que toute substance « standard » , Y COMPRIS LES VIDES SYMETRIQUES, s’obtient par superposition linéaire de matière « NON standard » puisque T_ik = 0 N’IMPLIQUE PAS T_ijkl = 0. On voit bien que cette forme de « substance » :

 

(7)               T_ijkl  ,  T_ik = 0

 

ne peut que présenter des propriétés physiques TOTALEMENT ETRANGERES A TOUT CE QUI EST CONNU, bien que la matière connue en découle. En dimension D = 3 ou 4 (les valeurs qui nous intéressent) :

 

(8)               R_ijkl = (8pi k/c⁴)[T_ijkl - T(g_ikg_jl - g_jkg_il)/(D - 1)(D - 2)]

(9)               R_ik = (8pi k/c⁴)[T_ik - Tg_ik/(D - 2)]

(10)           R = -16pi kT/c⁴(D - 2)

 

On déduit de ces équations que :

 

(11)           T_ijkl = 0  <=>  R_ijkl = 0

 

L’espace-temps plan est vide de toute substance, standard ou non, et réciproquement. On retrouve, bon gré, mal gré, une notion de « néant ». Afin d’interpréter correctement les nouvelles équations de champ, il faut partir de la forme la plus générale, soit (4-5) ou (8). Et la conclusion est la suivante :

 

UNE SUBSTANCE NON STANDARD PRODUIT UN CHAMP DE GRAVITATION.

 

SI CETTE SUBSTANCE DONNE LIEU, PAR COUPLAGE AVEC LES POTENTIELS DU CHAMP AINSI Créé ET SUPERPOSITION LINEAIRE, A UN VIDE SYMETRIQUE, ON EST EN PRESENCE D’ONDES GRAVITATIONNELLES.

 

SINON, SI SEUL UN COUPLAGE DU 2^ND ORDRE FOURNIT UN RESULTAT NUL (T = 0), ON EST EN PRESENCE D’UN CHAMP DE GRAVITATION DANS UN ESPACE-TEMPS PLAT (R = 0).

 

Les équations de champ sont claires, en effet : R_ijkl fait référence à un champ G de potentiels g_ij. Il n’y a pas de « champ G non standard produit par des substances non standards » : ce sont les SOURCES de champ qui sont standards ou non.

 

Pour ce qui est de la conservation des objets physiques en présence, la conservation des sources standards SEULES répond à l’équation :

 

(12)           dⁱT_ik = 0

 

La conservation de ces sources ET DU CHAMP G QU’ELLES PRODUISENT, elle, s’écrit :

 

(13)           DⁱT_ik = 0

 

Il s’ensuit que, si l’on souhaite exprimer la conservation des sources NON standards, étant donné que celles-ci NE PEUVENT PLUS EXISTER EN DEHORS DU CHAMP G QU’ELLES CREENT [cf (11)], on ne peut partir que des seules relations vérifiées en toutes circonstances, les identités de Bianchi sur le tenseur courbure :

 

(14)           D_mR_ijkl + D_iR_jmkl + D_jR_mikl = 0

 

qui donnent, par contraction tensorielle,

 

(15)           DⁱR_ik = ½ d_kR  =>  DⁱE_ik = 0

(16)           D^kR_ijkl = D_iR_jl - D_jR_il

 

Des équations (8) à (10), on en tire :

 

(17)           D^kT_ijkl = D_iT_jl - D_jT_il - (g_jld_iT - g_ild_jT)/(D - 1)

     = D_i[T_jl - g_jlT/(D - 1)] - D_j[T_il - g_ilT/(D - 1)]

 

dont l’invariant est (3).

 

Les équations (17) établissent les conditions générales de conservation des sources non standards. On voit qu’elles dépendent généralement des sources STANDARDS, via un ROTATIONNEL. On constate aussi qu’à cause de (11), il n’est plus possible de les dissocier du champ qu’elles créent : on a affaire à un « TOUT », un système « sources/champ » indissociable. Si l’on est dans un vide symétrique :

 

(18)           T_ik = 0  =>  D^kT_ijkl = 0

 

Je me demande sérieusement si je n’ai pas fini par trouver ce que je cherchais…

 

Cette bidouille s’adresse tout particulièrement aux théoriciens de la physique.

 

Non. Y a jamais eu de « révolution quantique ». C’est vous qui vous êtes faits une soupe pas possible. Il serait faux de dire que vous n’avez rien conçu de nouveau : vous avez développé les outils mathématiques pour l’analyse des signaux probabilistes. Ça, oui. Pour le reste :

 

IL N’Y A AUCUNE DIFFERENCE ENTRE LE « CLASSIQUE » ET LE « QUANTIQUE ».

 

Naturellement, on va démontrer tout ça.

 

Quand vous localisez le cdg d’un système de corps à D ddls en un point x de l’espace de configuration (de dimension D, donc), vous choisissez une base {e*_a}_a=1,…,D de représentation et vous exprimez x d’après ses composantes x^a :

 

(1)               x = x^ae*_a

 

Les grandeurs covariantes seront notées avec une étoile, pour signifier leur caractère dual. On réécrit (1) sous la forme parfaitement équivalente :

 

(2)               x = x(a)e*(a)

 

la sommation sur l’indice a étant encore sous-entendue. On voit que l’on a deux applications :

 

(3)               x , e* : {1,…,D} -> R  ,  a -> x(a) , e*(a)

 

J’ai un nombre de ddls ENTIER parce que a est un paramètre DISCRET. Or, tout SIGNAL confiné dans un volume DELIMITé et FINI est AUTOMATIQUEMENT DISCRET, qu’il représente un système macroscopique ou microscopique. Il n’y a donc pas de différence entre signal « classique » (i.e. « macroscopique ») et signal « quantique » (i.e. « microscopique ») : la quantification au sens de Planck vaut pour les deux et c’est d’ailleurs pour cela qu’on trouve des comportements « de type quantique » en astronomie, là ou, a priori, ils n’auraient rien à faire.

 

C’EST L’EXISTENCE DE CONDITIONS AUX LIMITES FINIES QUI DISCRETISE LES SIGNAUX.

 

Mais, poussons plus loin l’analyse et prenons, cette fois, un volume OUVERT. Le spectre du signal devient CONTINU. Mathématiquement, cela s’exprime par le fait que a est devenu un paramètre CONTINU : a est dans un intervalle I inclus ou égal à R. On se retrouve en dimension INFINIE. Pour étendre (1) et (2) à la dimension infinie, on fait appel à Cantor. On commence déjà par faire tendre D vers l’infini DENOMBRABLE, puisque D était auparavant discret. Ça nous donne la dimension cantorienne dénombrable omega, ou « puissance du dénombrable ». Comme il n’y a qu’un seul paramètre, cette dimension sera de 1 AU SENS DE CANTOR :

 

(4)               a dans N  => ccd(a) = 1

 

(ccd = countable Cantor dimension). Ensuite, on passe à la « puissance du continu » : aleph = 2^omega et on obtient une dimension cantorienne NON-DENOMBRABLE 1 :

 

(5)               a dans I inclus ou égal à R  => ucd(a) = 1

 

(ucd = uncountable Cantor dimension).

 

Y a des DEGRéS D’INFINITé chez Cantor…

 

Une fois que votre paramètre a est devenu continu, vous pouvez remplacer les sommes discrètes (1) et (2) par des intégrales :

 

(6)               x = S_I x(a)e*(a)da = S_I x^ae*_ada

 

Ces notations ont un sens et l’intégrale retourne une valeur, INDEPENDANTE DE a. Vous êtes dans un espace FONCTIONNEL. Expliquez-moi la différence avec la « mécanique quantique »… on trouve la même chose en « mécanique classique ».

 

Ensuite, vous dites qu’en mécanique quantique, les observables (qui sont les seules grandeurs mesurables) sont représentées par des opérateurs, alors qu’en mécanique classique, elles le sont par des fonctions (ou des fonctionnelles).

 

Y a pas d’opérateur en mécanique classique… :| l’opérateur rotation, les opérateurs de transformation, c’est quoi ?

 

Vous prenez un opérateur quelconque T. Si vous le faites agir à gauche sur e*_b,

 

Te*_b = f*_b

 

va représenter un autre covecteur, qui ne sera plus forcément unitaire. Si vous réalisez alors le produit tensoriel de ce nouveau covecteur avec e*_a, vous obtenez un 2-tenseur qui n’a aucune raison d’être symétrique :

 

(7)               e*_aTe*_b = e*_af*_b = T*_ab

 

mais, au contraire, dont les parties symétrique et antisymétrique seront données par

 

(8)               ½ (e*_aTe*_b + e*_bTe*_a) = T*^(s)_ab = T*^(s)_ba

(9)               ½ (e*_aTe*_b - e*_bTe*_a) = T*^(a)_ab = -T*^(a)_ba

 

Si vous recherchez plutôt un 2-tenseur mixte, vous pouvez prendre :

 

(10)           e^aTe*_b = e^af*_b = T^a_b

 

ou bien,

 

(11)           e*_aTe^b = e*_af^b = T_a^b

 

Si vous passez en dimension infinie, vous remplacez les sommes discrètes par des intégrales.

 

Qu’y-a-t-il de « quantique » là-dedans ?...

 

En plus, vous parlez de « mécanique des MATRICES », alors qu’il s’agit, en réalité, de « mécanique des TENSEURS », pour ne pas dire des « HOLEURS »…

 

Enfin, dernier point de la construction : les probabilités de présence.

 

MINCE ! ON N’AVAIT PAS REMARQUé QUE LA « FONCTION DE DISTRIBUTION » D’UN SYSTEME DE CORPS EST DEFINIE SUR L’ESPACE DES ETATS DE CARTAN, CONSTRUIT EN MECANIQUE « CLASSIQUE »…

 

Que cherchez-vous à démontrer avec vos « probabilités de présence » omniprésentes en microphysique ? C’est une propriété GENERALE des signaux qu’il est, non seulement physiquement, mais MATHEMATIQUEMENT, impossible de localiser simultanément le signal et son spectre avec une précision infinie… Du coup, les probabilités apparaissent PARTOUT… Elles apparaissent dans les faisceaux de trajectoires dès qu’il y a plus de 2 corps en interaction, elles apparaissent dans tous les cas REALISTES de signaux, c’est-à-dire, ceux transportant une INFORMATION UTILE et elles apparaissent dans les systèmes à très grand nombre de composants.

 

Avec Schrödinger, on fait donc de la physique STATISTIQUE. Forcément, y a des corrélations. Forcément, on va déterminer des MOYENNES et des FLUCTUATIONS.

 

Et alors ? Qu’est-ce que ça a de si différent des systèmes macroscopiques ?...

 

Vous voulez mieux ? Parlons de la théorie « classique » du champ vectoriel. On a un potentiel quadrivectoriel A_a(x¹,…,x⁴), a = 1,2,3,4. ça s’écrit aussi A[x(a),a] : ça, ça s’appelle une FONCTIONNELLE. Le paramètre a est discret, il ne prend que 4 valeurs. Il y a quatre variables x(a) et quatre « potentiels de champ » A[x(a),a]. Les x(a) peuvent être continus : voyez (3) ci-dessus. Vous voulez aussi rendre a continu ? Pas de problème. Vous serez alors en ucd = 1 (1 paramètre).

 

Vous préférez un champ tensoriel g_ab(x¹,…,x⁴) ? allez :

 

g_ab(x¹,…,x⁴) = g[x(a),a,b] ou g[x(b),a,b]

 

peu importe. Vous avez deux paramètres a et b, vous êtes dans {1,2,3,4}². Si vous passez au continu, vous serez en ucd = 2. Et ainsi de suite.

 

Vous nous associez un « opérateur impulsion » p^ avec la dérivée par rapport à la variable position correspondante et vous appelez ça une « quantification », QUAND TOUT LE MONDE APPELLE CA UNE TRANSFORMATION DE FOURIER… :|

 

Vous « quantifiez » que dalle… vous « linéarisez » que dalle. D’ailleurs, on avait présenté la « théorie quantique » comme une théorie LINEARISANTE, avant de proposer des équations « quantiques » NON LINEAIRES… :|

 

Que vous appeliez ça de la mécanique statistique du signal, tout à fait d’accord.

 

Mais alors, revenez au commutatif et remettez de l’ordre dans votre bordel, parce qu’on a assez perdu de temps comme ça, à rechercher des différences entre macro- et microphysique QUI N’EXISTENT PAS.

 

J’en ai rien à foutre de votre constante h et de vos tentatives de justification à partir de sa valeur. Tout ce que je vois, c’est que je passe mon temps A RECTIFIER VOS ERREURS, A REMETTRE DE L’ORDRE DANS VOTRE FOUTOIR, au lieu d’avancer. J’ai déjà un mal fou à essayer de trouver quoi que ce soit d’un tantinet cohérent dans un cadre de recherche où il n’y a quasiment aucune donnée fiable, je n’ai pas vocation à faire votre travail. Mais, si je ne le fais pas, JE NE COMPRENDS RIEN…

 

J’ai passé des années à croire que la « théorie quantique » pourrait apporter des réponses aux phénomènes « paranormaux », PARCE QU’ELLE ETAIT DIFFERENTE DE LA « THEORIE CLASSIQUE »…

 

PARCE QUE C’EST-CE QUE VOUS ECRIVEZ DANS VOS BOUQUINS. TOUS.

 

Et qu’on n’apprend certes pas la physique en apprenant par cœur, mais on n’a pas non plus vocation à devenir épistémologue… On est censé suivre un raisonnement LOGIQUE, FORMEL, on ne pense donc pas à remettre en cause les prédécesseurs. Mais, quand ils nous envoient dans un mur, faut bien s’y résoudre… :(

 

Toutefois, on est bien loin de se douter qu’on va trouver un merdier aussi INCOMMENSURABLE, où tout est mélangé, les paramètres, les variables, les espaces, tout.

 

Faut tout remettre en ordre. Alors, oui, je gueule.

 

Vous voulez bien m’expliquer pourquoi la physique APPLIQUEE fait des bonds de géant, alors que la physique FONDAMENTALE stagne depuis des décennies ?...

 

Chez nous, on ne peut pas faire de science appliquée. On ne peut pas mettre des gens en état de mort cérébrale pour « voir comment que ça se passe » : c’est illégal. Donc, on ne peut s’appuyer que sur les PRINCIPES. Et, si la construction théorique foire… faut rechercher l’origine de la panne…

 

Bonne nouvelle, le calcul « holoriel » est toujours d’actualité :

 

https://www.amazon.fr/Theory-Holors-Generalization-Moon-Spencer/dp/0521019001

 

mais sous 2 ISBNs différents du premier (0 521 24585 0) et pas tout à fait au prix que je l’ai acheté (51 euros pour la version brochée, contre 5 £ en 1992 version reliée - je te le revends quand tu veux, Zarma, même à moitié prix, je fais encore la bonne marge… lol).

 

L’argument des auteurs n’a, en lui-même, rien de nouveau, c’est une propriété bien connue en calcul tensoriel : si A et B sont des n- et p-tenseurs, respectivement, le produit TENSORIEL de A par B est un (n + p)-tenseur égal au produit tensoriel de B par A. Le produit tensoriel est donc COMMUTATIF. Par exemple, pour n = p = 2 :

 

C_abcd = A_abB_cd = B_cdA_ab

 

C’est assez évident, s’agissant de NOMBRES USUELS. Cette commutativité du produit tensoriel n’a RIEN A VOIR avec les éventuelles propriétés de SYMETRIE de C, qui s’appliquent aux INDICES. Par exemple, si C est symétrique en la permutation des paires (ab) et (cd), alors :

 

C_abcd = C_cdab = A_abB_cd = A_cdB_ab

 

Si le produit tensoriel est commutatif, il semble tout aussi évident que tout INVARIANT de ce produit sera également commutatif. Or, avec un 4-tenseur, on peut déjà construire les 6 invariants d’ordre 2 suivants :

 

C_a^a_cd = A_a^aB_cd = Tr(A)B_cd  ->  Tr(A)B

C_ab^a_d = A_abB^a_d = (^tA)_baB^a_d  ->  (^tA)B

C_abc^a = A_abB_c^a = B_c^aA_ab      ->  (^tB)A

C_ab^b_d = A_abB^b_d                     ->  AB

C_abc^b = A_abB_c^b = A_ab(^tB)^b_c  ->  A(^tB)

C_abc^c = A_abB_c^c = A_abTr(B)  ->  Tr(B)A

 

Après les flèches, j’ai écrit le résultat en calcul MATRICIEL. Le 3^ème semble incorrect : on pourrait plutôt s’attendre à BA. En Réalité, c’est ça qui s’avère incorrect. L’explication sera fournie plus bas. Pour le moment, on se focalise sur la différence entre produit MATRICIEL et produit TENSORIEL CONTRACTé (ou produit « invariant » ou encore « de convolution ») : le produit matriciel est SPECIFIQUE ; il stipule que le produit de deux matrices DOIT s’effectuer comme suit : A_abB^b_c ou A_a^bB_bc. Soit, le dernier indice de A contracté avec le premier indice de B et ainsi de suite, pour les invariants d’ordres supérieurs. Il en résulte que :

 

Le produit matriciel est un SOUS-PRODUIT du produit convolutif. Ce dernier ne requiert aucune spécificité, il se contente de sommer sur deux indices. QUELLE QUE SOIT LEUR PLACE.

 

Il existe nombre d’ouvrages dans lesquels les auteurs tentaient de justifier la « différence de nature » entre matrices et tenseurs : « attention, une matrice N’EST PAS un tenseur ; un tenseur est associé à des transformations de SYSTEMES DE COORDONNEES ; une matrice est associée à des transformations LAISSANT UNE FORME MULTILINEAIRE INVARIANTE »… :|

 

C’est assez absurde comme tentative de justification, puisque les matrices comme les tenseurs sont des chapitres de l’algèbre multilinéaire… Il suffit de lire Laurent Schwartz pour se convaincre DU CONTRAIRE : lui, donne une définition UNIVERSELLE des tenseurs comme solution d’un problème de linéarisation. Et, pour cette raison, il va travailler le plus possible SANS DEFINIR DE BASES. C’est-à-dire qu’il va fournir des définitions et propriétés INTRINSEQUES des tenseurs et des champs de tenseurs, INDEPENDANTES DU CHOIX D’UN SYSTEME DE COORDONNEES, de manière à pouvoir les utiliser DANS N’IMPORTE QUEL CONTEXTE ALGEBRIQUE. Pas seulement dans des espaces, « métriques » (i.e. riemanniens) ou non, mais aussi dans des anneaux, des algèbres, des modules…

 

Il n’y a donc aucune différence fondamentale entre matrices et tenseurs. En fait, les tenseurs ont été introduits en relation avec des systèmes d’axes. C’est seulement par la suite qu’on leur a donné des définitions beaucoup plus générales, liées à l’algèbre multilinéaire. La différence est donc essentiellement HISTORIQUE…

 

C’est ce qu’ont voulu montrer les auteurs. Ensuite, ils sont allé plus loin et ont cherché à regrouper la notion de tenseur et celle de PSEUDO-tenseur, c’est-à-dire d’un objet géométrique qui se présente COMME un tenseur, mais qui NE SE TRANSFORME PAS comme un tenseur. Le cas typique, c’est le symbole de Christoffel, qui peut s’annuler dans un système de coordonnées, mais pas dans les autres, si l’hypothèse de Riemann s’applique à l’espace étudié. Or, un tenseur qui s’annule dans UN système de coordonnées s’annule dans TOUS LES AUTRES. Pas facile de réconcilier deux objets apparemment contradictoires. Et c’est là que les « holeurs » sont apparus : comme GENERALISATIONS DES TENSEURS.

 

Tout tenseur est un holeur et tout pseudo-tenseur est un « akineteur », qui est une VARIETE d’holeur. Donc, les deux objets entre dans la même CATEGORIE…

 

La suite est une question D’INDICES et D’INVARIANTS. Comme on l’a vu plus haut, à partir de deux tenseurs d’ordre 2, on obtient un tenseur d’ordre 4 dont on peut déjà tirer SIX invariants, six « sous-tenseurs » d’ordre 2. En comparaison, le produit matriciel n’en autorise QU’UN SEUL…

 

Dès lors, on comprend mieux l’apparente « perte de commutativité » dans le calcul matriciel…

 

En observant les objets géométriques dans cette « super-catégorie » des holeurs, les auteurs en sont arrivés à la conclusion que toutes les opérations INDICIELLES tournaient autour de deux REGLES, deux « conventions », qu’ils auraient très bien pu nommer « axiomes de base » :

 

-         la première convention stipule que les éléments de l’algèbre holorielle (nombres usuels, matrices, tenseurs ou pseudo-tenseurs) soient disposés de manière à ce que les indices apparaissent toujours en ordre CROISSANT DE GAUCHE A DROITE ET DU HAUT VERS LE BAS ;

-         la seconde, qui démontre pleinement la commutativité et l’associativité du produit, contracté ou non, stipule que, pour un holeur bivalent avec des indices placés DANS L’ORDRE ALPHABETIQUE (on peut utiliser l’alphabet que l’on veut), les éléments sont disposés COMME POUR LE CALCUL MATRICIEL.

 

Ainsi, règle n°1 : je dois écrire les vecteurs dans l’ordre V^a = (V¹,V²,…,Vⁿ) et V_a = (V₁,V₂,…,V_n) ; les 2-tenseurs, comme T_ab, T_a^b, T^a_b ou T^ab ; etc. Si j’écris T_ba, T^b_a, T_b^a ou T^ba, j’obtiens les TRANSPOSéS des tenseurs précédents.

 

Règle n°2 : quand il existe, l’inverse du 2-tenseur T^ab est le 2-tenseur U_ca tel que U_caT^ab = d_c^b. Comme U_ca est écrit dans l’ordre ANTI-alphabétique, il désigne le TRANSPOSé ^tU de U. C’est pour cette raison que C_abc^a = A_abB_c^a = B_c^aA_ab se lit  « (^tB)A » en calcul matriciel et non « BA ».

 

Si l’on respecte ces deux règles, les calculs sont CORRECTS, les équations, EQUILIBREES et l’algèbre holorielle est une algèbre COMMUTATIVE, ASSOCIATIVE ET DISTRIBUTIVE PAR RAPPORT A L’ADDITION. Si l’on définit une algèbre unifère comme étant une algèbre possédant AU MOINS une unité, alors l’algèbre holorielle est unifère. Par contre, elle ne constitue pas un corps algébrique, parce que les éléments dont le déterminant est nul n’ont pas d’inverse fini.

 

L’ALGEBRE HOLORIELLE EST UN ANNEAU COMMUTATIF UNIFERE (au sens large), MAIS PAS INTEGRE.

 

C’est quand même toujours mieux que les algèbres de Lie…

 

Je crois avoir déjà mentionné le terme « d’hyperchamps » dans ce blog, mais je vais revenir dessus. Concrètement, un champ donne naissance à un mouvement et le modifie par la suite. Un hyperchamp crée un champ et modifie ensuite sa dynamique.

 

Pour bien fixer le contexte, on revient d’abord sur le mouvement d’un corps dans l’espace 3D, plongé dans un champ extérieur de type gravitationnel, parce que ce type de champ est universel et permet de construire des champs plus spécifiques. Il s’agit tout d’abord de bien identifier les objets physiques. L’espace PARAMETRIQUE est de dimension 1, le paramètre dynamique est le temps t. L’espace PHYSIQUE est de dimension 3, les variables sont les coordonnées spatiales x^a (a = 1,2,3). L’espace des TRAJECTOIRES x^a(t) AU COURS DU TEMPS est l’espace MOBILE E₃(t), de dimension infinie, dans l’hypothèse du continuum temporel. Le paramètre temporel a un caractère « absolu », c’est-à-dire qu’il est le même partout, alors que les variables de position x^a ont un caractère « relatif », c’est-à-dire qu’elles prennent des aspects différents d’un système de coordonnées (ou « référentiel physique ») à un autre. Ces rappels étant effectués, la dynamique du système corps - champ est décrite par le lagrangien :

 

(1)               L[x(t),v(t),t] = ½ m(t)v^a(t)v_a(t) + m(t)v^a(t)G_a[x(t),t]

(2)               v^a(t) = dx^a(t)/dt

 

On notera également D_t, d_a et d_a(t), la dérivée totale par rapport au temps, la dérivée partielle par rapport à la coordonnée FIXE x^a et celle par rapport à la coordonnée MOBILE x^a(t), respectivement :

 

(3)               D_t = d/dt + v^a(t)d_a(t) , d_a = d/dx^a , d_a(t) = d/dx^a(t)

 

L’impulsion du système étant :

 

(4)               dL/dv^a(t) = m(t){v_a(t) + G_a[x(t),t]} = p_a(t) + m(t)G_a[x(t),t]

 

les équations de mouvement du corps incident seront,

 

(5)               dp_a(t)/dt = -(d/dt){m(t)G_a[x(t),t]} + m(t)W_ab[x(t),t]p^b(t)

(6)               W_ab[x(t),t] = d_a(t)G_b[x(t),t] - d_b(t)G_a[x(t),t]

 

Ainsi, même si les G_a ne sont que continus en les x^b(t) :

 

(7)               G_a[x(t),t] = G_0,a(t)  =>  W_ab[x(t),t] = 0       pour tout x^b(t)

 

les équations (5) fournissent encore,

 

(8)               dp_a(t)/dt = -(d/dt)[m(t)G_0,a(t)]  =>  p_a(t) = -m(t)G_0,a(t) + p_a(0)

 

C’est le champ qui donne naissance au mouvement du corps.

 

Le terme de droite dans (8) joue alors le rôle de force globale. Pour que cette force soit définie sur un intervalle de temps non nul, il suffit que le produit m(t)G_0,a(t) soit C¹ en t sur cet intervalle. Les conditions de l’apparition d’un mouvement sont donc très souples.

 

On transpose ces résultats au champ lui-même. L’espace paramétrique devient l’espace-temps 4D. Les paramètres dynamiques x^a (a = 1,2,3,4) prennent un caractère absolu. L’espace de configuration est un « espace-temps gravitationnel » de coordonnées G_a. Ce sont ces variables qui prennent maintenant un caractère relatif. L’espace mobile correspondant est un espace de dimension infinie de coordonnées G_a(x), dans l’hypothèse d’un continuum spatio-temporel. Ces substitutions étant effectuées, les vitesses v^a(t) sont remplacées par les intensités de champ W_ab(x), qui apparaissent comme des FREQUENCES, la masse m(t) du corps incident est remplacée par une DENSITE D’INERTIE i(x) et les potentiels de champ G_a[x(t),t], par des potentiels « d’hyperchamp » GAM_ab[G(x),x], antisymétriques. Le lagrangien du système corps - champ est remplacé par une DENSITE DE LAGRANGIEN champ - hyperchamp :

 

(9)               L[G(x),W(x),x] = ½ i(x)W_ab(x)W^ab(x) + i(x)W^ab(x)GAM_ab[G(x),x]

(10)           W_ab(x) = d_aG_b(x) - d_bG_a(x)

 

Petite mise au point pas forcément inutile : en mécanique analytique, on raisonne en termes de lagrangiens et de densités de lagrangiens, mais le principe de base est le minimum d’action. Je préfère donc exprimer (1) comme une DENSITE TEMPORELLE D’ACTION, en Js/s = J et (9) comme une DENSITE SPATIO-TEMPORELLE D’ACTION, en Js/m⁴, au lieu des J/m³ habituels, qui traitent le paramètre du genre temps A PART des paramètres du genre espace. Or, la relativité d’Einstein rapporte cette différence de nature physique au niveau des propriétés METRIQUES de l’espace-temps. En dehors de ça, les 4 coordonnées x^a se retrouvent au même pied d’égalité. Il est donc préférable d’intégrer sur un 4-VOLUME SPATIO-TEMPOREL, plutôt que sur un volume spatial 3D, PUIS intégrer sur le temps. La densité d’inertie i(x) va donc être une densité SPATIO-TEMPORELLE, ce qui est d’ailleurs plus logique vis-à-vis de la géométrie : en dimension d, les densités sont des d-formes.

 

La dérivée totale D_t dans (3) est remplacée par les dérivées TOTALES par rapport à CHAQUE paramètre:

 

(11)           D_a = d_a + W_ab(x)d/dG^b(x)  , 

 

L’impulsion du champ étant :

 

(12)           dL/dW^ab(x) = i(x){W_ab(x) + GAM_ab[G(x),x]}

 

les équations d’Euler-Lagrange,

 

(13)           D^adL/dW^ab(x) = dL/dG^b(x)

 

vont donner les équations de la dynamique du champ,

 

(14)           d^a[i(x)W_ab(x)] = -d^a{i(x)GAM_ab[G(x),x]} + i(x)OME_abc[G(x),x]W^a_c(x)

(15)           OME_abc[G(x),x] = [d/dG^b(x)]GAM_ac[G(x),x] - [d/dG^c(x)]GAM_ab[G(x),x]

 

Les OME_abc sont antisymétriques en b et c et se mesurent en m^-1. Les identités de Bianchi sur W restent inchangées :

 

(16)           d_aW_bc(x) + d_bW_ca(x) + d_cW_ab(x) = 0

 

de sorte que l’invariance de jauge reste valable dans tous les cas,

 

(17)           G_a(x) -> G_a(x) + d_af(x)  =>  W_ab(x) -> W_ab(x)

 

Si bien qu’on peut toujours se placer dans la jauge de Lorentz,

 

(18)           d^aG_a(x) = 0            pour tout x

 

Comme dans le cas du système corps - champ, il suffit que les GAM_ab soient continus en les G_c(x) et C¹ sur un domaine de l’espace-temps pour provoquer l’apparition du champ :

 

(19)           GAM_ab[G(x),x] = GAM_0,ab(x)  =>  OME_abc[G(x),x] = 0         pour tout G^b(x)

=> W_ab(x) = -GAM_0,ab(x) + i(0)W_ab(0)/i(x)

 

C’EST L’HYPERCHAMP QUI CREE LE CHAMP.

 

Le terme -d^a[i(x)GAM_0,ab(x)] joue alors le rôle de DENSITE DE 4-IMPULSION. En prenant i(x) en kg/m², on trouve :

 

(20)           p_b(x) = -d^a[i(x)GAM_0,ab(x)]            en kg/m³s = (kgm/s)/m⁴

 

comme il se doit.

 

La relation (20) peut, de prime abord, donner l’impression que l’on tourne en rond et que l’introduction des hyperchamps n’apporte rien de nouveau. Tout au contraire :

 

L’INTERET MAJEUR DES HYPERCHAMPS EST DE RENFERMER EN UN SEUL OBJET GEOMETRIQUE LE CHAMP ET SA SOURCE.

 

Pour des GAM_ab C^N en les G^c(x) :

 

(21)           GAM_ab[G(x),x] = GAM_0,ab(x) +

+ S_n=1^N GAM_{n,abc(1)…c(n)}(x)G^c(1)(x)…G^c(n)(x)/n!

 

(on peut même inclure un reste intégral à l’ordre N+1), les coefficients sont calculés A CHAMP NUL. Ils ne sont donc forcément de nature différente. (21) exprime plutôt la superposition linéaire de COUPLAGES SOURCE - CHAMP à des degrés allant de 0 à N. Ensuite, c’est une question de statistiques quantiques. Ici, nous avons pris l’exemple d’un champ 4-vectoriel de type gravitationnel, donc bosonique, de spin 1. Mais, s’agissant d’espaces de CONFIGURATION, on peut considérer des sources et des champs aussi bien bosoniques que fermioniques. Rien n’est spécifié sur les coefficients de GAM_ab, hormis qu’ils sont symétriques en les indices c(1) à c(n).

 

Pour passer à des champs non gravitationnels, on utilise les relations bien connues :

 

(22)           q(t)A_a[x(t),t] = m(t)G_a[x(t),t]

 

entre masses et charges.

 

Enfin, contrairement à la supersymétrie, on n’a plus besoin d’étendre l’espace-temps PHYSIQUE en un « super-espace-temps » de dimension 8. Avec les hyperchamps, l’espace-temps ne fait que passer « au second plan ». C’est un espace ABSTRAIT qui passe « au premier plan » mais ceci n’a aucune importance, puisque l’on ne retrouve que des composantes de CHAMPS dès que l’on décompose les hyperchamps en séries de puissances.

 

Je ne peux pas encore dire si les hyperchamps peuvent nous êtres utiles à quelque chose par la suite. Tout ce que je peux dire, c’est que nous en avons des exemples à foison en TQRC. Ce n’est donc pas qu’un simple exercice « esthétique »…

 

Quant à Maxwell, regardez (19-20) : c’est une théorie « d’ordre zéro ». Par contre, en TQRC, ça devient une théorie « d’ordre 1 » (GAM_ab linéaires en les G^c). ça explique pourquoi, du point de vue « classique », la portée de l’interaction électromagnétique est illimitée, alors que, du point de vue « quantique », sa portée est limitée : parce que l’hyperchamp y est un peu plus régulier (moins « grossier »).