Cette bidouille devrait parler aux informaticiens et leur montrer le lien qui peut être établi entre théorie déterministe de l’information (algèbre de Boole, calcul propositionnel et calcul des prédicats) et physique fondamentale.

 

Dans le plan réel R², choisissons un point quelconque pour origine d’un système d’axes orthogonaux entre eux. Les vecteurs unités qui servent de base à tout calcul vectoriel dans R² ont pour composantes e⁰ = (1,0), e¹ = (0,1), e² = -e¹ et e³ = -e². Comme e⁵ = e¹ recommence un cycle, on a un modulo 4. Si A et B sont des booléens dans {0,1}, on sait que le MOT BINAIRE (AB)₂ correspond algébriquement à 2A + B et couvre de 0 à 3. Par conséquent, les vecteurs unités se regroupent tous au sein de la formule :

 

(1)               e^{2A + B} = (-1)^Ae^B                (A,B) dans {0,1}²

 

Chaque vecteur ayant 2 composantes, les 8 composantes sont fournies par :

 

(2)               e^2A+B,C = (-1)^Ae^BC

(3)               e^BB = 1 , e^B,1-B = 0

 

Le cycle modulo 4 est représenté par :

 

(4)               e^2A+B+4k = e^2A+B                k dans N

 

Si l’on introduit l’oscillation élémentaire e(.) = cos(.pi/2), qui est une fonction paire, on peut voir e(A) comme une proposition, puisque e(0) = 1 et e(1) = 0 [voir e(A) comme le complémentaire 1 - A de A serait une très mauvaise idée, car cette identification n’est tolérable que dans le cas booléen. Elle est fausse en général]. Etant donné que e(2A) = (-1)^A est une tautologie, on peut déjà réécrire la formule (1) sous la forme :

 

(5)               e^{2A + B} = e(2A)e^B              (A,B) dans {0,1}²

 

Les composantes (3) correspondent à :

 

(6)               e^AB = e(A - B) = e(B - A) = e^BA

 

Leur symétrie est due à la parité +1 de cos(.). En associant les deux, on trouve :

 

(7)               e^2A+B,C = e(2A)e(B - C)

 

Les deux vecteurs de base les plus fondamentaux sont e^A (A = 0,1). Les deux autres s’en déduisent par simple changement de signe. Si je forme le produit TENSORIEL e^A x_t e^B, j’obtiens 4 matrices, toutes de déterminant nul (et donc, non inversibles) :

 

(8)               e^0Ae^0B = e(A)e(B) = (1,0,0,0)

(9)               e^0Ae^1B = e(A)e(1 - B)        = (0,1,0,0)

(10)           e^1Ae^0B = e(1 - A)e(B)        = (0,0,1,0)

(11)           e^1Ae^1B = e(1 - A)e(1 - B)   = (0,0,0,1)

 

On remarque que :

 

(12)           e^CAe^DB = e(C - A)e(D - B)

 

Il en résulte aussitôt que, pour C = D, les matrices e^C x_t e^C sont symétriques. Pour D = 1 - C, la seule identité fournie par la trigonométrie est :

 

(13)           e²(C) + e²(1 - C) = 1

 

C’est une relation quadratique en général. Elle n’est linéaire pour C booléen qu’en raison de l’idempotence C² = C, qui donne (1 - C)² + C² = 1 - C + C = 1. Mais cette propriété-là est spécifique de la base 2 et, même dans ce cas, e(C - A)e(1 - C - B) <> e(1 - C - A)e(C - B) pour B = 1 - A : e^0Ae^1,1-A = e²(A) , e^1Ae^0,1-A = e²(1 - A). Par conséquent, les matrices e^CAe^1-C,B sont asymétriques en toute généralité. Seules leurs diagonales sont communes. Leur partie symétrique est fournie par l’anti-commutateur :

 

(14)           s^10,AB = e^CAe^1-C,B + e^1-C,Ae^CB = e(A + B - 1) = (0,1,1,0)

 

et leur partie antisymétrique, par le commutateur,

 

(15)           s^00,AB = e^CAe^1-C,B - e^1-C,Ae^CB = e(A - B + 1) = (0,1,-1,0)

 

Les deux autres combinaisons linéaires sont :

 

(16)           s^11,AB = e^0Ae^0B + e^1Ae^1B = e(A - B) = (1,0,0,1)

(17)           s^01,AB = e^0Ae^0B - e^1Ae^1B = e(A + B) = (1,0,0,-1)

 

De ces 4 nouvelles matrices de base, seule s⁰⁰ est antisymétrique, en vertu du fait que :

 

cos[(B - A - 1)pi/2] = sin[(B - A)pi/2] = -sin[(A - B)pi/2] = -cos[(A - B - 1)pi/2]

 

soit,

 

(18)           e(A - B + 1) = -e(A - B - 1)

 

Contrairement aux matrices unités e^A x_t e^B, les matrices s sont toutes inversibles :

 

(19)           Det(s^AA) = -Det(s^A,1-A) = +1

(20)           (s^-1)_AB = (s^t)^AB = (-1)^(1-A)(1-B)s^AB = s^BA

 

Leurs traces sont :

 

(21)           Tr(s^AB) = 2AB

 

Les carrés vérifient :

 

(22)           (s²)^AB = -s₀₀s₀₁s₁₀ = (-1)^(1-A)(1-B)s₁₁

 

Enfin, les produits :

 

(23)           s⁰⁰s⁰¹ = -s⁰¹s⁰⁰ = -s¹⁰ , s⁰¹s¹⁰ = -s¹⁰s⁰¹ = s⁰⁰ , s¹⁰s⁰⁰ = -s⁰⁰s¹⁰ = -s⁰¹

 

anticommutent tandis que les produits

 

(24)           s¹¹s⁰⁰ = s⁰⁰s¹¹ = s⁰⁰ , s¹¹s⁰¹ = s⁰¹s¹¹ = s⁰¹ , s¹¹s¹⁰ = s¹⁰s¹¹ = s¹⁰

 

commutent. Ces différences ont toutes pour origine commune la propriété cyclique :

 

(25)           e(A - 2) = e(A + 2) = -e(A)

 

qui ne s’applique qu’une fois aux produits (23) et deux fois aux produits (24). Pour les modernistes, on est en présence d’une algèbre Z₂-graduée (pour les archaïques, ceux qui savaient encore se faire comprendre lol, c’est une algèbre qui inclut les commutateurs comme les anti-commutateurs). Inversement :

 

(26)           e(C - A)e(C - B) = ½ [e(A - B) + (-1)^Ce(A + B)]

(27)           e(C - A)e(1 - C - B) = ½ [e(A + B - 1) + (-1)^Ce(A - B + 1)]

 

soit,

 

(28)           e^0Ae^0B = ½ (s^11,AB + s^01,AB) , e^1Ae^1B = ½ (s^11,AB - s^01,AB)

(29)           e^0Ae^1B = ½ (s^10,AB + s^00,AB) , e^1Ae^0B = ½ (s^10,AB - s^00,AB)

 

L’alternance de signe ressort bien dans les formules (26-27).

 

Le fait que le produit de deux matrices s redonne une matrice s (au signe près) et que toutes les matrices s soient de trace nulle sauf s¹¹ [formule (21)] a une conséquence majeure sur la structure du CADRE PHYSIQUE. Les matrices s sont les matrices de base de l’algèbre M₂(R) des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels. Ce ne sont pas des nombres, mais des REPRESENTATIONS D’OPERATEURS. En tant qu’espace vectoriel NON commutatif vis-à-vis du produit usuel de nombres, l’espace M₂(R) peut être rendu COMMUTATIF en remplaçant le produit usuel (.) par un PRODUIT TRANSPOSé (.,^t) : si M et N sont deux matrices quelconques de M₂(R), on a en effet toujours :

 

(30)           MN = (N^tM^t)^t

 

C’est ce que montraient Moon et Spencer : qu’en composantes, le produit convolutif (discret),

 

(MN)^AC = M^ABN_B^C = N_B^CM^AB = (N^t)^C_B(M^t)^BA = (N^tM^t)^CA = {[(N^tM^t)]^t}^AC

 

puisque s’agissant à présent de nombres usuels. Une fois rendue commutative vis-à-vis du produit transposé, M₂(R), de dimension réelle 4, devient isomorphe à l’espace R^3,1 (qui, lui, EST commutatif, c’est l’algèbre des quaternions qui ne l’est pas). D’autre part, M₂(R) est également un espace TOPOLOGIQUE. En ce sens, il devient alors isomorphe à L’ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI V₀ dont le tenseur métrique se construit A L’AIDE DES MATRICES s :

 

(31)           g₍₀₎^AB,CD = -½ Tr(s^ABs^CD) = g₍₀₎^CD,AB

 

Ce tenseur est symétrique par rapport à la permutation de PAIRES d’indices booléens (donc, de mots binaires à 2 lettres). Pour (A,B) <> (C,D), la trace est nulle, rendant g₍₀₎ automatiquement diagonal. Pour (A,B) = (C,D), (22) donne :

 

g₍₀₎^AB,AB = -½ Tr[(s²)^AB] = -½ (-1)^(1-A)(1-B)Tr(s₁₁) = (-1)^{1 + (1-A)(1-B)}

 

soit,

 

(32)           g₍₀₎^AB,AB = (-1)^{(A OU B)} = e[2(A OU B)]

(33)           g₍₀₎^00,00 = -g₍₀₎^01,01 = -g₍₀₎^10,10 = -g₍₀₎^11,11 = +1

 

la signature « du genre temps ». Comment un espace EUCLIDIEN comme R² peut-il mener à un espace-temps PSEUDO-euclidien comme V₀ ? C’est uniquement dû au caractère symplectique de s⁰⁰ [(s⁰⁰)² = -s¹¹], qui est l’analogue réelle de l’unité imaginaire i du corps C des nombres complexes. Mais comprendre comment s’opère la « magie » est impossible en partant d’un espace topologique de Stone, car s⁰⁰ ne s’annule que pour A = B + 2k, ce qui donne A = B pour des booléens : précisément la DIAGONALE de s⁰⁰ (modulo 2)… Donc, on tourne en rond, on aboutit toujours à une évidence et on n’apprend rien de plus. Tout ce que l’on peut dire, c’est que s⁰⁰ résulte de l’asymétrie des matrices produit e^CAe^1-C,B pour C = 1,2.

 

Toute matrice de M₂(R) est donc décomposable sur la base, soit des matrices unités e^A x_t e^B, soit des matrices s :

 

(34)           M = m_AB(e^A x_t e^B) = m’_ABs^AB

 

On constate qu’en tant que MATRICE, M est un INVARIANT. Ce sont ces COMPOSANTES qui dépendent explicitement des indices :

 

(35)           M^CD = m_ABe^CAe^DB = m’_ABs^AB,CD

 

La distinction est importante : la matrice M est la représentation d’un OPERATEUR. Ses composantes sont des nombres usuels. Dans la base unité e^A x_t e^B, ces composantes sont les m_AB ; dans la base s^AB, ce sont les m’_AB. Comme pour les tenseurs, ce sont les COEFFICIENTS qui s’expriment différemment suivant la base utilisée. L’OBJET considéré (matrice, tenseur, peu importe, ce n’est que du vocabulaire), lui, est le même DANS TOUTES LES BASES. On peut dire « qu’intrinsèquement », il est invariant et « qu’extrinsèquement », dans une base contravariante, il est covariant. C’est ce que cherchais à exprimer Gauss dans sa synthèse sur les objets géométriques.

 

Un vecteur étant un tenseur d’ordre 1, tout vecteur v du plan R² se développe sur la base e^A en :

 

(36)           v = v_Ae^A

 

L’objet v est invariant, ses coefficients v_A sont covariants. La matrice M OPERE sur v pour le transformer en un vecteur w:

 

(37)           M^ABv_B = w^A = v_BM^BA  <=>  M.v = w = v.M^t

 

De nouveau, le produit transposé (.,^t) : l’action à droite est transposée de celle à gauche (et réciproquement, puisque la transposition est une idempotence). L’exemple… de base est fourni par les matrices s elles-mêmes :

 

(38)           s.v = w = v.s^t  <=>  s^ABv = w^AB

 

(il y a 4 matrices) conduit à,

 

(39)           w^AB,C = (-1)^(1-A)Cv^{BC + (1-B)(1-C)}  

 

où BC + (1 - B)(1 - C) est le ET inclusif de B et C. Les transformations subies par le vecteur v sous l’action des opérateurs s se voient mieux si l’on se rappelle que la notation indicielle est utilisée pour des variables discrètes, ce qui est le cas ici. En notation fonctionnelle :

 

(40)           s(A,B)v = w(A,B)  ,  w(A,B,C) = (-1)^(1-A)Cv[BC + (1 - B)(1 - C)]

 

ça devient flagrant : la variable C de v(C) est remplacé par BC + (1 - B)(1 - C) et le vecteur v est ensuite affublé d’un signe.

 

Les principaux résultats sont regroupés dans un formulaire qui suit cette bidouille.

 

Le reste suit le même modèle de construction. Ainsi, pour obtenir l’espace-temps « à 2 états » de Minkowski, on utilise le produit tensoriel e^A x_t e^B x_t e^C, qui fournit les 8 matrices unités souhaitées. Conformément à (34), j’aurai bien :

 

(41)           M = m_ABC(e^A x_t e^B x_t e^C) = m’_ABCs^ABC

 

et 8 matrices s de base, 4 pour chaque état. Nous n’en aurons pas besoin mais, si je poursuis le procédé, j’obtiens des matrices à n indices, n dans N fini, >= 1. Si, au contraire, je remplace l’intervalle booléen {0,1} par {0,…,n-1}, je construis M_n(R), l’algèbre des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels.

 

Pour n = oo dénombrable (cardinalité aleph₀ selon la classification ensembliste de Cantor), l’algèbre M_oo(R) opère sur un espace d’état R^oo dénombrable. Cette situation peut s’appliquer aux OSCILLATEURS HARMONIQUES. On sait, en effet, que tout champ physique confiné à l’intérieur d’un volume spatial fermé se décompose en modes DISCRETS (Planck) et donc, en série d’harmoniques.

 

Pour n = oo NON dénombrable (cardinalité 2^aleph₀), on a ENCORE des applications, cette fois, aux champs NON confinés (spectres continus). Ce cas est intéressant parce que la fonction scalaire e(A) y prend ses valeurs dans l’intervalle CONTINU [0,1]. Lorsque A parcourt toutes les valeurs de cet intervalle, les composantes (1) couvre LE CERCLE UNITé. Pour les champs continus, i.e. à la limite thermodynamique, on trouve donc une structure en cercle.

 

Comme je l’ai dit plus haut, je vais rassembler les formules techniques au sein de la bidouille suivante et puis nous tenterons de reconstruire les choses comme elles ont pu se produire.

 

Revu et corrigé le 08 Août 2020

 

Soit maintenant V un espace(-temps) STANDARD de dimension D. Introduisons un ANGLE DE MELANGE ksi, 0 =< ksi < 2pi, complètement indépendant des points de V. Cette donnée supplémentaire étend V à V x [0,2pi[. Si x est un point de V de coordonnées xⁱ, alors, en introduisant les POLARISATIONS :

 

(1)               e⁽¹⁾ = e₍₁₎ = cos(ksi)  ,  e⁽²⁾ = e₍₂₎ = sin(ksi)

(2)               e_(A)e^(A) = 1                             pour tout ksi

 

on peut construire des COORDONNEES PROJECTIVES,

 

(3)               x^(A)i = e^(A)xⁱ                        (A = 1,2)

 

de POINT DE BASE x qui, une fois appliquées à L’ENSEMBLE des points x de V, va générer des VARIETES PROJECTIVES V^(A), de points x^(A), coordonnées x^(A)i.

 

L’introduction de l’angle de mélange ksi permet ainsi de construire, par projection, un espace(-temps) de dimension D à DEUX états V⁽¹⁾ et V⁽²⁾.

 

Lorsque ksi = 0 ou pi, V⁽¹⁾ coïncide avec V au signe près et V⁽²⁾ se contracte en un point {0}. Au contraire, lorsque ksi = pi/2 ou 3pi/2, c’est V⁽²⁾ qui coïncide avec V (au signe près) et V⁽¹⁾ qui se contracte en un point {0}. On n’a donc même pas besoin d’introduire une orientation sur V, celle-ci est automatiquement générée par les polarisations et ce sont les variétés projectives qui en héritent.

 

En utilisant (2), on peut inverser (3) et faire apparaître V comme un MELANGE D’ETATS :

 

(4)               xⁱ = e_(A)x^(A)i = x⁽¹⁾ⁱcos(ksi) + x⁽²⁾ⁱsin(ksi)

 

ce qui ne rend pas les xⁱ dépendant de l’angle de mélange ksi pour autant, en raison de (2). Cette identité permet d’ailleurs de montrer que la matrice produit e_(A)e^(B), dont le déterminant est automatiquement nul, est PROJECTIVE :

 

(5)               P_(A)^(B) = e_(A)e^(B)  =>  P_(A)^(B)P_(B)^(C) = P_(A)^(C)

 

Puisque ksi est un paramètre continu sur [0,2pi[, les propriétés de cos et sin aboutissent à :

 

(6)               e_(A)de^(A) = e^(A)de_(A) = 0

(7)               e^(A)d/de^(A) = e_(A)d/de_(A) = 0

 

Si nous désignons par J la matrice antisymétrique unité J_(A)(A) = 0, J₍₁₎₍₂₎ = -J₍₂₎₍₁₎ = +1, alors :

 

(8)               J^-1 = -J , J² = -Id , det(J) = +1

 

et il est facile de voir qu’on a, en plus,

 

(9)               de^(A) = J^(A)(B)e_(B)dksi  ,  de_(A) = -J_(A)(B)e^(B)dksi

 

et

 

(10)           d/de^(A) = -J_(A)(B)e^(B)d/dksi  ,  d/de_(A) = J^(A)(B)e_(B)d/dksi

 

Il en résulte que, si :

 

(11)           dx^(A)i = e^(A)dxⁱ + xⁱde^(A) = e_(B)(d^(A)(B)dxⁱ + xⁱJ^(A)(B)dksi)

(12)           dx_(A)ⁱ = e_(A)dxⁱ + xⁱde_(A) = e^(B)(d_(A)(B)dxⁱ - xⁱJ_(A)(B)dksi)

 

et,

 

(13)           d/dx^(A)i = e_(A)d/dxⁱ - k_iJ_(A)(B)e^(B)d/dksi = e^(B)(d_(A)(B)d/dxⁱ - k_iJ_(A)(B)d/dksi)

(14)           d/dx_(A)ⁱ = e^(A)d/dxⁱ + k_iJ^(A)(B)e_(B)d/dksi = e_(B)(d^(A)(B)d/dxⁱ + k_iJ^(A)(B)d/dksi)

 

avec

 

(15)           k_i = 1/xⁱ                 (i = 1,…,D)

 

en revanche,

 

(16)           dxⁱ = e_(A)dx^(A)i = e^(A)dx_(A)ⁱ

(17)           d/dxⁱ = e^(A)d/dx^(A)i = e_(A)d/dx_(A)ⁱ

 

Tous ces résultats vont nous être utiles car, si l’on connaît les variations dxⁱ et d/dxⁱ entre deux points immédiatement voisins de V, on ne connaît pas les variations dksi et d/dksi à partir de la seule donnée de V. Il nous faut donc formuler une hypothèse complémentaire et vérifier si elle s’accorde bien avec le caractère « standard » et « non standard » étudié jusqu’ici. Cette hypothèse complémentaire consiste à dire que le produit cartésien V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ des espaces(-temps) projectifs, qui forme une variété de dimension 2D, est à la fois RIEMANNIEN ET STANDARD.

 

On formule donc l’hypothèse que le Modèle Standard se laisse étendre à la dimension 2D, mais en conservant à l’esprit que l’espace(-temps) PHYSIQUE n’est PAS de dimension 2D, mais de dimension D A DEUX ETATS (au lieu d’un seul).

 

Cela veut dire que la variété produit V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ est PUREMENT ABSTRAITE (un simple espace de calculs) et que la VERITABLE VARIETE PHYSIQUE reste V. Sinon, on rencontre des décalages insolubles dans les unités physiques. Par exemple, en dimension spatiale 3, on ne trouve qu’un seul volume, x¹x²x³, et des densités en m^-3, alors qu’en dimension 6, on trouve C₃⁶ = 6!/3!3! = 20 volumes 3D, 1 seul HYPER-volume de dimension 6, x¹…x⁶, et des densités en m^-6…

 

Quoi qu’il en soit, les projections V^(A) sont CONTRACTABLES JUSQU'A UN POINT PAR SIMPLE EFFET GEOMETRIQUE (une rotation dans le plan des états) : comment des espaces(-temps) PHYSIQUES pourraient-ils correspondre à cela ? Il est clair, au contraire, que les V^(A) sont « INERTIELS », c’est-à-dire qu’ils ne sauraient constituer que des « PSEUDO-ESPACES(-TEMPS) » : un véritable espace(-temps) physique ne peut s’éliminer par aucune transformation géométrique, quelle qu’elle soit…

 

Pour éviter ces inconvénients, qui ne correspondent d’ailleurs PAS à la réalité (le passage du « classique » au « quantique » préserve les systèmes d’unités), on va transférer les ingrédients de la géométrie riemannienne à V⁽¹⁾ x V⁽²⁾, introduire des indices I,J,K,… à 2D dimensions, identifier chaque indice à une PAIRE (A)i, (B)j, (C)k,… polarisée et on obtiendra les comportements supplémentaires recherchés. On vérifiera ensuite si les résultats sont conformes ou pas avec l’extension du Modèle Standard au « non standard » en dimension D.

 

Les équations de champ pour une v.r. standard de dimension 2D sont (B166, 169 et 170) :

 

(18)           R_IK = (8pi k/c⁴)[T_IK - Tg⁽⁰⁾_IK/2(D - 1)]

(19)           R = -8pi kT/c⁴(D - 1)

(20)           T_IJKL = (T_IKg⁽⁰⁾_JL - T_JKg⁽⁰⁾_IL + T_JLg⁽⁰⁾_IK - T_ILg⁽⁰⁾_JK)/2(D - 1) -

      - T(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/2(D - 1)(2D - 1)

(21)           R_IJKL = (R_IKg⁽⁰⁾_JL - R_JKg⁽⁰⁾_IL + R_JLg⁽⁰⁾_IK - R_ILg⁽⁰⁾_JK)/2(D - 1) -

      - R(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/2(D - 1)(2D - 1) =

   = (8pi k/c⁴)[T_IJKL - T(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/(D - 1)(2D - 1)]

(22)           e^K_I = exp(½ S_V(1)xV(2)S_V(1)xV(2) R_IJ^K_Ldx^Jdx^L)

 

Le lien entre les composantes 2D-dimensionnelles et les composantes D-dimensionnelles est simple. Pour un champ vectoriel, il s’agit d’une généralisation de (3) et (4) :

 

(23)           Fⁱ(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i(x,ksi)

(24)           F^(A)i(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)Fⁱ(x,ksi)

(25)           e_F,(1)(x,ksi) = e_F⁽¹⁾(x,ksi) = cos[PHI(x,ksi)]

(26)           e_F,(2)(x,ksi) = e_F⁽²⁾(x,ksi) = sin[PHI(x,ksi)]

(27)           e_F,(A)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi) = 1              pour tout (x,ksi)

 

avec l’identification F^(A)i = F^I, où e_F est le vecteur polarisation associé à Fⁱ. Pour un champ de 2-tenseurs contravariants, c’est :

 

(28)           F^ij(x,ksi) = e_F,(B)(x,ksi)e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i(B)j(x,ksi)

(29)           F^(A)i(B)j(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)e_F^(B)(x,ksi)F^ij(x,ksi)

 

Les produits e_F,(B)e_F,(A) et e_F^(A)e_F^(B) sont symétriques. Néanmoins, F^(A)i(B)j s’identifie à F^IJ et les parties symétrique et antisymétrique de ce dernier sont :

 

F₊^IJ = ½ (F^IJ + F^JI)  =>  F₊^(A)i(B)j = ½ (F^(A)i(B)j + F^(B)j(A)i) = F₊^(B)j(A)i

F_-^IJ = ½ (F^IJ - F^JI)  =>  F_-^(A)i(B)j = ½ (F^(A)i(B)j - F^(B)j(A)i) = -F_-^(B)j(A)i

 

On remarque cependant que :

 

F^ij NON symétrique en dim D  <=>  F^IJ NON symétrique en dim 2D

 

Pour que F^IJ soit symétrique, il faut donc que F^ij le soit (et réciproquement). Pour un champ de 2-tenseurs mixtes et covariants :

 

(30)           Fⁱ_j(x,ksi) = e_F^(B)(x,ksi)e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i_(B)j(x,ksi)

(31)           F^(A)i_(B)j(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)e_F,(B)(x,ksi)Fⁱ_j(x,ksi)

 

(32)           F_i^j(x,ksi) = e_F,(B)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi)F_(A)i^(B)j(x,ksi)

(33)           F_(A)i^(B)j(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)e_F^(B)(x,ksi)F_i^j(x,ksi)

 

(34)           F_ij(x,ksi) = e_F^(B)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi)F_(A)i(B)j(x,ksi)

(35)           F_(A)i(B)j(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)e_F,(B)(x,ksi)F_ij(x,ksi)

 

Le procédé est évidemment identique pour les tenseurs d’ordre n :

 

(36)           F^i1…in = e_F,(A1)…e_F,(An)F^{(A1)i1…(An)in}

(37)           F^{(A1)i1…(An)in} = e_F^(A1)…e_F^(An)F^i1…in

 

et des formules analogues pour les tenseurs mixtes et covariants. Ainsi, pour R_ijkl(x,ksi), on aura (sans expliciter la dépendance en les variables) :

 

(38)           R_ijkl = e_R^(D)e_R^(C)e_R^(B)e_R^(A)R_{(A)i(B)j(C)k(D)l}

(39)           R_{(A)i(B)j(C)k(D)l} = R_IJKL

(40)           e_R⁽¹⁾(x,ksi) = e_R,(1)(x,ksi) = cos[RHO(x,ksi)]

(41)           e_R⁽²⁾(x,ksi) = e_R,(2)(x,ksi) = sin[RHO(x,ksi)]

(42)           e_R,(A)e_R^(A) = 1

 

Le champ de contraintes T_IJ(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) s’identifie à T_(A)i(B)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾). Il n’est symétrique qu’en la permutation des indices I et J, de sorte qu’on a seulement T_(A)i(B)j = T_(B)j(A)i. Les composantes T_(A)i(A)j sont donc systématiquement symétriques. La composante T_(1)i(2)j ne l’est pas. Elle présente une partie symétrique,

 

T_+(1)i(2)j = ½ (T_(1)i(2)j + T_(2)i(1)j) = T_+(2)i(1)j

 

et une partie antisymétrique,

 

T_-(1)i(2)j = ½ (T_(1)i(2)j - T_(2)i(1)j) = -T_-(2)i(1)j

 

La variété produit V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ n’est donc PAS riemannienne vis-à-vis de la permutation des axes de coordonnées ni des axes d’états, mais uniquement DES DEUX A LA FOIS.

 

La composante T_(1)i(1)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) fait référence à une substance standard sur V⁽¹⁾, à la différence qu’elle varie généralement d’un point à un autre de V⁽¹⁾ COMME DE V⁽²⁾. Il s’agit donc déjà d’une première EXTENSION du champ de matière T_(1)i(1)j(x⁽¹⁾) du Modèle Standard, qui ne dépend PAS des coordonnées x⁽²⁾ⁱ sur V⁽²⁾ : il y est GLOBAL. Ici, nous le localisons.

 

La composante T_(2)i(2)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) fait référence à une substance standard sur V⁽²⁾. Est-ce notre « substance non standard » recherchée ? Pour éviter les projections croisées T_(1)i(2)j et T_(2)i(1)j qui portent sur le PLAN d’état, on va diagonaliser la matrice d’état (asymétrique) T_(A)(B) de manière à ne conserver que les projections relatives à V⁽¹⁾ et V⁽²⁾ (et les notations). Les équations de champ (18) à (22) nous disent que, dans ce cas :

 

(43)           T = g₍₀₎^IKT_IK = g₍₀₎^(A)i(C)kT_(A)i(C)k = g₍₀₎^ik(T_(1)i(1)k + T_(2)i(2)k) = T₍₁₎ + T₍₂₎

(44)           R_(A)i(A)k = (8pi k/c⁴)[T_(A)i(A)k - Tg⁽⁰⁾_(A)i(A)k/2(D - 1)]

 

Pour T_(A)i(A)k = 0, on a R_(A)i(A)k = 0 et la variété V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ est plane : pas de substance, pas de géométrie.

 

Mais, pour T_(1)i(1)k = 0, on trouve :

 

(45)           T = T₍₂₎

(46)           R_(1)i(1)k = -(8pi k/c⁴)T₍₂₎g⁽⁰⁾_ik/2(D - 1)

(47)           R_(2)i(2)k = (8pi k/c⁴)[T_(2)i(2)k - T₍₂₎g⁽⁰⁾_ik/2(D - 1)]

 

LA COURBURE R_(1)i(1)k N’EST PAS NULLE, GRÂCE A L’INVARIANT T₍₂₎ ! :)

 

Elle s’exprime même entièrement à l’aide de T₍₂₎. Le résultat est que :

 

(48)           T_{(1)i(1)j(1)k(1)l} = -T₍₂₎(g⁽⁰⁾_ikg⁽⁰⁾_jl - g⁽⁰⁾_jkg⁽⁰⁾_il)/2(D - 1)(2D - 1)

(49)           R_{(1)i(1)j(1)k(1)l} = -(12pi k/c⁴)T₍₂₎(g⁽⁰⁾_ikg⁽⁰⁾_jl - g⁽⁰⁾_jkg⁽⁰⁾_il)/(D - 1)(2D - 1)

 

De plus, comme T₍₂₎ dépend généralement des x⁽¹⁾ et des x⁽²⁾, il en va de même pour les quantités ci-dessus. Même si T₍₂₎ est partout constant, on a quand même une courbure DE RIEMANN pour V⁽¹⁾. Il faut vraiment que T₍₂₎ soit partout nul pour que l’on ne trouve rien. Mais alors, ceci renvoie à V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ plane. Si T₍₂₎ n’est partout constante que sur V⁽²⁾, la géométrie de V⁽¹⁾ RESTE LOCALE, puisque elle dépend encore des x⁽¹⁾. Mais, ce qui est encore plus intéressant, c’est le cas où T₍₂₎ est partout constante SUR V⁽¹⁾ : dans ce cas, T₍₂₎ ne dépend que des x⁽²⁾ et, SI L’ON NE PREND PAS LE 2EME ETAT EN COMPTE, ON EST BIEN EN MAL DE DIRE D’Où POURRAIT BIEN PROVENIR UNE TELLE SOURCE DE COURBURE…

 

C’est exactement la difficulté conceptuelle à laquelle nous nous sommes confrontés quand nous avons étendu la RG à la « substance non standard » : d’où pouvait bien provenir cette substance qui n’entrait PAS dans le Modèle Standard ? Mystère. Eh bien, le mystère semble résolu. La réciprocité en prime : si l’on permute les indices d’état, on s’aperçoit que, lorsque T_(2)i(2)k = 0, c’est V⁽²⁾ qui présente de la substance « non orthodoxe » provenant de T₍₁₎.

 

Ça veut dire quoi ? ça veut dire que la notion de « standard » et de « non standard » est, là encore, toute RELATIVE : la « substance non standard » observée dans V⁽²⁾ est tout à fait « standard » dans V⁽¹⁾. Donc, la réciproque est vraie :

 

LE « STANDARD » DANS V⁽¹⁾ APPARAIT « NON STANDARD » DANS V⁽²⁾.

LE « STANDARD » DANS V⁽²⁾ APPARAIT « NON STANDARD » DANS V⁽¹⁾.

 

Or, qu’est-ce que V ? D’après (4), c’est un MELANGE DE V⁽¹⁾ ET DE V⁽²⁾ :

 

(50)           V = e_(A)V^(A) = V⁽¹⁾cos(ksi) + V⁽²⁾sin(ksi)

 

Une somme directe algébrique de deux espaces(-temps). C’est ce qui donne l’impression qu’on est en présence de dimensions physiques supplémentaires (celles de V⁽²⁾). En fait, non seulement il n’en est rien, mais ce n’est même pas nécessaire. Il suffit simplement de passer d’un seul état physique à deux. Les variétés projectives V^(A) peuvent alors s’interpréter comme des « ETATS PURS » et la réalité D-dimensionnelle est un MELANGE de ces états purs.

 

Mis à jour le 08 Août 2020

 

 

Un modèle physico-mathématique, ça se travaille, ça se façonne, comme la glaise d’une poterie, jusqu’à obtenir la version la plus satisfaisante, même si ça ne reste qu’un modèle.

 

Conformément à ce qui a été dit en B169, on part donc d’un (hyper)plan V₀. La donnée d’une source PNS T^(ns)_ijkl(x) va donner naissance à une première courbure de Riemann-Christoffel,

 

(1)               R^(ns)_ij^k_l(x) = (8pi k/c⁴)T^(ns)_ij^k_l(x)

 

dépourvue de tout invariant géométrique :

 

(2)               R^(ns)_ijⁱ_l(x) = 0          pour tout x

 

La métrique de la variété PNS V_(ns) est donnée par [B169, (14-15)]:

 

(3)               g^(ns)_ij(x) = g⁽⁰⁾_kle^(ns)k_i(x)e^(ns)l_j(x) = e^(ns)_i(x).e^(ns)_j(x)

(4)               e^(ns)k_i(x) = exp[½ S_V0S_V0 R^(ns)_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

d’où l’importance de travailler à partir de R et non de sa duale R*.

 

Si l’on superpose maintenant à T^(ns)_ijkl(x) une source standard T^(s)_ijkl(x), la géométrie PNS va se trouver perturbée par cette source additionnelle et donc, modifiée.

 

De quelle manière ?

 

Le principe est simple : g^(ns)_ij(x) va remplacer le tenseur métrique constant g⁽⁰⁾_ij de V₀. En conséquence, les intervalles de distance dxⁱ de départ vont être remplacés par les intervalles e^(ns)i_m(x)dx^m sur V_(ns). Les invariants de T^(s)_ijkl(x) vont donc se calculer PAR RAPPORT AU TENSEUR METRIQUE g^(ns) et à son inverse g_(ns)^-1 :

 

(5)               T^(s)_ik(x) = g_(ns)^jl(x)T^(s)_ijkl(x)

(6)               T^(s)(x) = g_(ns)^ik(x)T^(s)_ik(x)

 

puisque c’est la source qui PRODUIT la nouvelle géométrie. On ne peut donc se baser que sur la géométrie DEJA EXISTANTE… :)

 

La suite s’énonce simplement. On utilise [B166, (8-10)] sur V_(ns), ce qui nous fournit R^(s)_ijkl(x) et ses invariants (qui n’ont pas besoin d’être étiquettés « s ») :

 

(7)               R^(s)_ijkl = (8pi k/c⁴)[T^(s)_ijkl - T(g^(ns)_ikg^(ns)_jl - g^(ns)_jkg^(ns)_il)/(D - 1)(D - 2)]

(8)               R_ik = (8pi k/c⁴)[T_ik - Tg^(ns)_ik/(D - 2)]

(9)               R = -16pi kT/c⁴(D - 2)

 

Ensuite, on généralise [B169, (13)] A LA NOUVELLE VARIETE V_(ns) :

 

(10)           R^(s) = D_(ns)²[Ln(g^(s))]

 

Cette équation a LA MEME SOLUTION QUE [B169, (13)] à condition d’y remplacer dx^j par e^(ns)j_m(x)dx^m :

 

(11)           g^(s)_ij(x) = g^(ns)_kl(x)e^(s)k_i(x)e^(s)l_j(x) = e^(s)_i(x).e^(s)_j(x)

(12)           e^(s)k_i(x) = exp[½ S_V(ns)S_V(ns) R^(s)_im^k_n(x)e^(ns)m_p(x)e^(ns)n_q(x)dx^pdx^q]

 

Naturellement, si l’on combine cette solution avec la solution de départ (2-3), on voit que le résultat est loin d’être simple et n’a rien à voir avec une superposition linéaire ni même un produit de métriques. Bien au contraire, le procédé est ITERATIF : à chaque fois qu’on va introduire une nouvelle source, on va modifier la géométrie précédente, qui va servir de base. On le voit clairement dans (11) : sur V₀, les vecteurs-repère ont toutes leurs composantes égales à 1 (au signe près) ; sur V_(ns), elles deviennent e^(ns)i_j(x) ; sur V_(s), e^(s)i_j ; etc. Si bien que, sur un « assemblage » de N + 1 variétés riemanniennes V₍₀₎,…,V_(N), on trouvera :

 

(13)           e^(A+1)k_i(x) = exp[½ S_V(A)S_V(A) R^(A+1)_im^k_n(x)e^(A)m_p(x)e^(A)n_q(x)dx^pdx^q]

 

pour 0 =< A =< N. Si l’un des R^(A+1) est nul, on en reste à la géométrie existante, puisque les e^(A+1) se réduisent à l’identité partout. La métrique locale de la variété V_(A+1) a pour expression :

 

(14)           ds_(A+1)² = g^(A+1)_ij(x)dxⁱdx^j = g^(A)_kl(x)e^(A+1)k_i(x)e^(A+1)l_j(x)dxⁱdx^j

 

Partant donc de e^(0)k_i(x) = d_i^k, on aboutit à un enchaînement de produits de vecteurs-repère.

 

Si l’on décompose canoniquement R^(s)* en ses invariants Ric et Gau :

 

(15)           R^(s)_ijkl(x) = [R_jl(x)g^(ns)_ik(x) - R_il(x)g^(ns)_jk(x) + R_ik(x)g^(ns)_jl(x) - R_jk(x)g^(ns)_il(x)]/(D - 2) - R(x)[g^(ns)_ik(x)g^(ns)_jl(x) - g^(ns)_jk(x)g^(ns)_il(x)]/(D - 1)(D - 2)

(16)           R_jl(x) = g_(ns)^ikR^(s)_ijkl(x)

(17)           R(x) = g_(ns)^jlR_jl(x)

 

On constate immédiatement que, pour R_jl(x) = 0, e^(s)k_i(x) = d^k_i, ce qui correspond bien à la variété PNS V_(ns) : on retombe sur [B169, (16-17)].

 

Un mot sur le mouvement libre des corps dans le champ d’un autre corps source. D’abord, les corps incidents sont de nature QUELCONQUE. Le corps physique le plus général possèdera une composante standard et une, non standard. Sur V₀ (métrique ds₀²), le mouvement s’effectue sur un (hyper)plan. Comme V₀ correspond à un « néant », cette situation est purement théorique. La première variété physique est V_(ns) : on la trouve dans les corps NON standards, c’est-à-dire, dans les VIDES STANDARDS. La seconde est V_(s), on la trouve A L’INTERIEUR des corps standards. A L’EXTERIEUR de ceux-ci, on retrouve une variété V_(ns).

 

Le mouvement libre sur V₀ correspond à :

 

(18)           du₍₀₎^k(s₀)/ds₀ = 0

(19)           u₍₀₎^k(s₀) = dx^k(s₀)/ds₀

(20)           ds₀² = g⁽⁰⁾_ijdxⁱdx^j

 

J’insiste sur le fait qu’il est purement idéaliste. Celui sur V_(ns) correspond à :

 

(21)           (D_(ns)/ds_(ns))u_(ns)^k(s_(ns)) = (d/ds_(ns))u_(ns)^k(s_(ns)) + C^(ns)_ij^k(x)u_(ns)ⁱ(s_(ns))u_(ns)^j(s_(ns)) = 0

(22)           u_(ns)ⁱ(s_(ns)) = dx^k(s_(ns))/ds_(ns)

(23)           ds_(ns)² = g^(ns)_ij(x)dxⁱdx^j = g⁽⁰⁾_kle^(ns)k_i(x)e^(ns)l_j(x)dxⁱdx^j

 

Il traduit donc le mouvement libre de corps incidents quelconques à l’intérieur d’une substance PNS, donc d’un « vide standard ». Enfin :

 

(24)           (D_(s)/ds_(s))u_(s)^k(s_(s)) = (d/ds_(s))u_(s)^k(s_(s)) + C^(s)_ij^k(x)u_(s)ⁱ(s_(s))u_(s)^j(s_(s)) = 0

(25)           u_(s)ⁱ(s_(s)) = dx^k(s_(s))/ds_(s)

(26)           ds_(s)² = g^(s)_ij(x)dxⁱdx^j = g^(ns)_kle^(s)k_i(x)e^(s)l_j(x)dxⁱdx^j

 

exprime le mouvement libre de ces corps à l’intérieur d’une substance standard. On voit que seul le point x est le même dans tous les cas. Toutes les autres données géométriques changent selon la variété considérée, impliquant le changement de la paramétrisation en s et donc, la trajectoire x(s).

 

 

Nous allons à présent fournir les solutions EXACTES des équations de la RG, car le système d’EDPs EST exactement résoluble. J’ai d’ailleurs du mal à comprendre pourquoi ça n’a pas été fait depuis longtemps, dès Hermann Weyl, en fait…

 

On reprend les ingrédients de base des variétés riemanniennes. Il s’agit de variétés munies d’un champ de tenseurs métriques symétriques g_ij(x) = g_ji(x), qui joue le rôle de « potentiels » en Relativité Générale. Ce champ est compatible avec la connexion de Lévi-Civita D sur la variété :

 

(1)               Dg_ij(x) = dg_ij(x) - [C_ik^l(x)g_lj(x) + C_jk^l(x)g_il(x)]dx^k = 0

 

En notation intrinsèque (i.e. indépendante du choix de la base vectorielle) :

 

(2)               Dg = dg - Cg = 0

 

où Cg désigne le produit holoriel habituel, montre que la connexion C de symboles de Christoffel C_ij^k(x) est la différentielle du logarithme népérien de g :

 

(3)               C_ij^k(x)  <->  C = (dg)g^-1 = d[Ln(g)]

 

En dépit des apparences liées à l’absence d’indices, C N’EST PAS une forme exacte, car g est tensoriel d’ordre 2, de même que Ln(g), de sorte que seul la TRACE PARTIELLE de C, de coefficients :

 

(4)               C_ij^j(x) = ½ g^jk(x)d_ig_jk(x) = d_iLn{Det[g(x)]}  <->  Tr(C)

 

constitue une 1-forme exacte. La connexion DUALE C* est donc, comme le montre (2), la différentielle de g :

 

(5)               C* = Cg = dg  <->  C_ij,k(x) = C_ij^l(x)g_lk(x)

 

Il s’agit de bien identifier les termes en présence, car la résolution des équations de Riemann-Christoffel (équations de la RG étendue) dépend essentiellement de cela. En effet, le champ de tenseurs courbure R_ij^k_l(x) sur la v.r. est défini à partir du commutateur :

 

(6)               [D_i,D_j]V^k(x) = R_ij^k_l(x)V^l(x)

 

appliqué à un champ de tenseurs CONTRAVARIANTS V^k(x). En coefficients :

 

(7)               R_ij^k_l(x) = d_iC_jl^k(x) - d_jC_il^k(x) + C_im^k(x)C_jl^m(x) - C_jm^k(x)C_il^m(x)

 

La 2-forme DUALE de R :

 

(8)               R* = gR

 

a, elle, pour composantes le champ de tenseurs COMPLETEMENT COVARIANT,

 

(9)               R_ijkl(x) = d_iC_jl,k(x) - d_jC_il,k(x) - g^mn(x)[C_ik,m(x)C_jl,n(x) - C_jk,m(x)C_il,n(x)]

 

En intrinsèque :

 

(10)           R* = dC* - Tr(g^-1[C*,C*])

 

où d agit ici comme différentielle EXTERIEURE et [C*,C*] est le crochet tensoriel de Schouten qui NE S’ANNULE PAS SUR UNE MEME FORME (c’est un produit tensoriel antisymétrique sur les coefficients). D’après (5), on trouve donc :

 

(11)           R* = d²g - Tr(g^-1[dg,dg])

 

Idem : le d²g ne s’annule pas, puisque C* est inexacte.

 

Regardez maintenant cette dernière expression. Ce n’est autre que :

 

(12)           R* = gd²[Ln(g)]

 

Par conséquent :

 

(13)           R = d²[Ln(g)]

 

C’EST CETTE EQUATION-Là QUE NOUS AVONS A RESOUDRE, PAS (12). On a de la chance, sa solution est immédiate, c’est, en coefficients :

 

(14)           g_ij(x) = g_0,kle^k_i(x)e^l_j(x) = e_i(x).e_j(x)

(15)           e^k_i(x) = exp[½ S_VS_V R_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

Pour R = 0, on retrouve bien la variété plane au sens de Riemann : g = g₀.

 

ATTENTION :

 

Bien que l’équation (13) soit linéaire en Ln(g), le principe de superposition NE S’APPLIQUE PAS, en raison du fait que, si g₃ = g₁g₂ est un 2-tenseur métrique produit des 2-tenseurs métriques g₁ et g₂, ce produit est CONTRACTé, de sorte qu’il s’agit en réalité d’une SOMME de produits et non d’un produit simple. Si l’on avait considéré le produit TENSORIEL (symétrique) de g₁ et de g₂, g₃ serait un tenseur d’ordre 4, de même que Ln(g₃) et d²[Ln(g₃)] serait un tenseur d’ordre 6 : là encore, ça ne cadrerait pas avec une somme R₁ + R₂ de tenseurs d’ordre 4.

 

Lorsque l’invariant de Ricci Ric = 0, R se réduit à sa composante non standard R^(ns) dont tous les invariants sont nuls. La solution, dans ce cas, s’exprime sous la forme :

 

(16)           g^(ns)_ij(x) = g_0,kle^(ns)k_i(x)e^(ns)l_j(x) = e^(ns)_i(x).e^(ns)_j(x)

(17)           e^(ns)k_i(x) = exp[½ S_VS_V R^(ns)_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

Le fait que cette composante irréductible R^(ns) EST COMPLETEMENT INDEPENDANTE DU TENSEUR METRIQUE RECHERCHé signifie qu’elle PRE-EXISTE A LA GEOMETRIE DE LA VARIETE. Cela paraît surprenant parce qu’on a l’habitude de traiter le problème DIRECT, qui consiste à DEDUIRE la courbure de la métrique (dérivation). Mais Einstein traite déjà le problème INVERSE : déduire LA METRIQUE à partir des données du tenseur des contraintes (intégration). Chez Einstein, le système boucle sur lui-même, puisque le tenseur des contraintes dépend lui-même de la métrique recherchée. Si l’on n’en connaît pas les coefficients, on ne peut donc espérer résoudre l’équation tensorielle d’Einstein, même par méthodes numériques (on ne sait pas ce que l’on cherche…). Dans le cadre étendu, on a de la « substance purement non standard (PNS) » de tenseur contraintes T^(ns). Le tenseur courbure correspondant lui est directement proportionnel [B166, système (4-5) où l’on a posé Ric = 0 => Gau = 0 - courbure scalaire nulle] :

 

(18)           R^(ns) = (8pi k/c⁴)T^(ns)

 

C’est donc CE tenseur des contraintes qui est pré-existant, puisqu’il va donner naissance à la géométrie de la variété :

 

(19)           e^(ns)k_i(x) = exp[(4pi k/c⁴) S_VS_V T^(ns)_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

On ne fait là qu’exprimer l’axiome de Riemann, rien de plus : qu’il faut un ENSEMBLE DE CONTRAINTES pour qu’une variété se courbe D’ELLE-MÊME (sous l’effet de ces contraintes), sans qu’il soit nécessaire de la plonger dans un espace de dimension supérieure à elle. C’est justement ça qui distingue les géométries de nature PHYSIQUE des géométries « INERTIELLES » où la courbure n’est QU’APPARENTE mais qui sont en réalité PLANES : dans une variété réellement courbe, aucun changement de représentation ne peut ramener sa géométrie à un (hyper)plan dans L’ENSEMBLE de la variété. Ceci n’est possible que LOCALEMENT, au voisinage immédiat de CHAQUE point.

 

Rien de « déroutant », donc, dans la formule (19) : les contraintes « fondamentales » T^(ns) sont DONNEES A L’AVANCE et elles INDUISENT la géométrie PHYSIQUE de la variété. S’agissant, sous l’intégrale seconde, d’une TRACE (ne serait-ce que partielle), (19), tout comme sa version complète (15), est INDEPENDANTE DU CHOIX DU REFERENTIEL LOCAL. La variable « x » y figurant fait donc bien référence à un POINT de l’espace (pseudo-)euclidien de dimension D, qui va se retrouver POINT DE LA VARIETE NAISSANTE : de T^(ns)_ij^k_l(x) dans E_p+q, avec p + q = D, à e^(ns)k_i(x) dans la v.r. V.

 

La variété se construit point par point. La question de la REPRESENTATION, i.e. du choix du système de coordonnées locales, est COMPLEMENTAIRE : dans (15), les champs de vecteurs-repère e_i(x) peuvent aussi bien exprimer de simples CHANGEMENTS DE REPRESENTATIONS comme de véritables DEPLACEMENTS PHYSIQUES. La formule est la même :

 

(20)           x’^k(x) = S e^k_i(x)dxⁱ

 

A partir de (14), l’expression du déterminant de g en dimension D donne lieu à une formule très agréable :

 

(21)           Det(g) = (D - 2)!(e₁…e_D)²S_i=1^D-1S_j=i+1^D sin²(f_i - f_j)

(22)           e_i² = e_i.e_i

(23)           f_i - f_j = (e_i,^,e_j) = angle entre e_i et e_j

 

On constate que Det(g) est maximal pour tous les e_i orthogonaux entre eux. Dans ce cas, g est diagonale. Etant donné que les e_i ne sont PAS colinéaires entre eux :

 

(24)           Det(g) = 0  <=>  (e₁…e_D)² = 0

 

Comme Det(g) NE PEUT PAS ETRE NEGATIF DANS LE CAS EUCLIDIEN, cette dernière valeur est MINIMALE dans ce cas et correspond à D’ vecteurs-repère de longueur nulle (1 =< D’ =< D - 2). Le problème est ainsi ramené à la dimension inférieure D - D’.

 

Il en va tout autrement dans le cas non-euclidien, car e_i² = 0 correspond, soit à un vecteur-repère de longueur nulle, comme précédemment, soit à :

 

(25)           (e¹_i)² +…+ (e^p_i)² = (e^p+1_i)² +…+ (e^D_i)²

 

en signature p + q = D. Dans le cas physique qui nous intéresse de prime abord (p = 1, q = 3), e_i est du genre lumière.

 

D = 1 + 3 :

D’ vecteurs-repère e_i du genre lumière (1 =< D’ =< D - 2) => Det(g) = 0

Det(g) = 0 => D’ vecteurs-repère e_i nuls ou du genre lumière

 

La nullité de e_i² n’exige absolument pas la divergence de l’intégrale seconde de la courbure, car il s’agit d’un produit SCALAIRE et donc, d’une SOMME d’exponentielles.

 

On conviendra d’appeler DOMAINES PHYSIQUES les régions d’une variété riemannienne dans lesquelles la métrique (15) est PARTOUT REGULIERE, i.e. renvoie une valeur (tensorielle) FINIE. Pour qu’une solution soit PHYSIQUE, il faut (et il suffit) en effet que TOUTES les composantes du tenseur métrique soit CONVERGENTES.

 

Et on appellera DOMAINES CRITIQUES les régions d’une v.r. où le DETERMINANT (24) de la métrique s’annule.

 

Donc, même les endroits où la v.r. se réduit à un POINT (g = 0) font partie d’un domaine physique. Seuls les points ou lieux géométriques qui font diverger L’UNE, seulement, des composantes de g sont exclus. On ne peut pas avoir, en effet, un potentiel tenseur qui converge dans certaines directions et diverge en même temps dans d’autres.

 

Quant aux domaines critiques, l’annulation du déterminant de la métrique fait automatiquement diverger TOUTES les composantes de l’inverse g^-1. Ceci n’est que le révélateur du fait que le problème réel se situe en dimension INFERIEURE. Rien de dramatique là-dedans : on aura simplement visé « un peu trop large »…

 

 

REMARQUE FINALE :

 

Le tenseur des contraintes est soumis à une condition plutôt drastique : pour qu’il puisse représenter quoi que ce soit de physique, même de la matière standard sous forme de poussière ou du vide standard, il FAUT qu’il reste COMPACT, c’est-à-dire, contenu, soit dans un volume d’espace, soit dans un hyper-volume spatio-temporel FINI. Si le problème direct conduit à des divergences de T dans quelque direction que ce soit, la métrique considérée N’EST PAS ADAPTEE à une situation physique réaliste.

 

C’est la seule exigence qu’il y ait, mais il faut en passer par là.

 

 

Non, ce qui suit n’est pas une blague… Reprenez les équations de la RG étendue,

 

(1)               R_ijkl - R(g_ikg_jl - g_jkg_il)/2(D - 1) = (8pi k/c⁴)T_ijkl

(2)               T_ijkl - T(g_ikg_jl - g_jkg_il)/(D - 1)(D - 2) = (c⁴/8pi k)R_ijkl

 

tirée de [B166, (4), (5) et (8)] : quelle belle symétrie, n’est ce pas ?... :) La première correspond à l’approche « directe » : à droite, un tenseur contraintes T_ijkl, considéré comme « source » d’une géométrie riemannienne. La seconde a l’air de dire L’INVERSE : à droite, un tenseur courbure riemannien, qui semble jouer le rôle de « source » d’un champ de contraintes, si l’on adopte le même sens de lecture (« à gauche, les variations de potentiels ; à droite, les sources, excitations ou perturbations »).

 

Peut-être cette symétrie serait-elle beaucoup plus évidente chez les invariants, en dimension D = 4 ?

 

(3)               R_ik - ½ Rg_ik = (8pi k/c⁴)T_ik

(4)               T_ik - ½ Tg_ik = (c⁴/8pi k)R_ik

 

Là, ça saute carrément aux yeux…

 

Commençons donc par mettre le tenseur contraintes sous une forme analogue à celle du tenseur de Riemann :

 

(5)               T_ijkl = W_ijkl - (c⁴/8pi k)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)                 en J/m³

 

Le f_ij est un tenseur FORCES (en N) et son inverse f^ij se mesurera en N^-1. Pour conserver le système d’unités physiques, les invariants du tenseur W_ijkl (qui, faut-il le préciser, présente les mêmes symétries que R_ijkl) devront être définis sous la forme suivante :

 

(6)               W_ik = (c⁴/8pi k)f^jlW_ijkl

(7)               W = (c⁴/8pi k)f^ikW_ik

 

En reportant (5) dans (1), il vient donc :

 

(8)               R_ijkl - R(g_ikg_jl - g_jkg_il)/2(D - 1) =

= (8pi k/c⁴)[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

 

Contractons des deux côtés par g^jl :

 

(9)               R_ik - ½ Rg_ik =

= (8pi k/c⁴)g^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

 

En vertu de (3), cette expression doit être égale à :

 

(10)           (8pi k/c⁴)T_ik = (8pi k/c⁴)[W_ik - ½ (8pi k/c⁴)²Wf_ik]

 

Il en résulte déjà que :

 

(11)           g^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)] = W_ik - ½ (8pi k/c⁴)²Wf_ik

 

Contractons de nouveau (9), cette fois par g^ik :

 

(12)           ½ (D - 2)R =

= -(8pi k/c⁴)g^ikg^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

 

Cette dernière expression devant être égale à :

 

(13)           -(8pi k/c⁴)T = ½ (D - 2)(8pi k/c⁴)W

 

il en découle que,

 

(14)           ½ (D - 2)R =

= -(8pi k/c⁴)g^ikg^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

= ½ (D - 2)(8pi k/c⁴)W

 

On obtient donc :

 

(15)           R = (8pi k/c⁴)W

(16)           (8pi k/c⁴)W_ik = R_ik - ½ R[g_ik - (8pi k/c⁴)f_ik]

(17)           (8pi k/c⁴)W_ijkl =

= R_ijkl - R[g_ikg_jl - g_jkg_il - (8pi k/c⁴)(f_ikf_jl - f_jkf_il)]/2(D - 1)

 

de sorte qu’en DEFINISSANT f_ij par,

 

(18)           g_ij = (8pi k/c⁴)f_ij

 

l’inverse sera défini au moyen de

 

(19)           g^ik = (c⁴/8pi k)f^ik

 

et on obtiendra successivement,

 

(20)           W_ik = g^jlW_ijkl

(21)           W = g^ikW_ik

(22)           (8pi k/c⁴)W_ik = R_ik

(23)           (8pi k/c⁴)W_ijkl = R_ijkl

 

ce qui nous fera retomber sur (1). La conclusion s’impose d’elle-même :

 

LA SOLUTION DES EQUATIONS DE LA RG EST :

(24)           f_ij = (c⁴/8pi k)g_ij  ,  g_ij = (8pi k/c⁴)f_ij

 

Autrement dit :

 

1)      Le tenseur contraintes T_ijkl est ENTIEREMENT GEOMETRIQUE, il s’obtient par simple substitution du tenseur métrique riemannien g_ij par un tenseur « forces » f_ij, également SYMETRIQUE ;

2)      TOUTE géométrie (pseudo-)riemannienne OPTIMALE est solution des équations de la RG.

 

On sait déjà que les « variétés d’Einstein », solutions de (3), sont automatiquement optimales, puisqu’elle découle d’un principe variationnel. Les espaces-temps ainsi obtenus sont donc, soit minimaux, soit maximaux. Si :

 

(25)           S_champ = (c⁴/8pi k)S R(-g)^1/2d⁴x

 

représente l’action du champ et

 

(26)           d’ = d’g_ijd/dg_ij + d’(d_kg_ij)d/d(d_kg_ij) + d’(d_kd_lg_ij)d/d(d_kd_lg_ij)

 

la variation d’Euler, alors

 

(27)           (8pi k/c⁴)d’S_champ = S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x + S E_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x

 

avec

 

(28)           E_ik = R_ik - ½ Rg_ik

 

le tenseur de courbure d’Einstein. Si l’espace-temps est dépourvu de bord, alors :

 

(29)           S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x = 0

 

(condition isopérimétrique « pas de bord »). Or, E_ik est l’invariant de E_ijkl. En conséquence :

 

S E_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x = S E_ijklg^jld’g^ik(-g)^1/2d⁴x

= S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x - S E_ijklg^ikd’g^jl(-g)^1/2d⁴x

= S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x - S E_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x

= S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x + S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x - d’S

 

si bien que,

 

(30)           (8pi k/c⁴)d’S_champ = S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x + ½ S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x

 

On obtient un résultat similaire pour :

 

(31)           S_subs = S T_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x

 

qui montre que les équations de la RG étendue (1) résulte DU MÊME PRINCIPE VARIATIONNEL AVEC LES MÊMES CONDITIONS AU BORD. Il en résulte bien que :

 

LES ESPACES(-TEMPS) SOLUTIONS DE (1) SONT TOUS OPTIMAUX.

 

Or, ce critère d’optimalité se traduit géométriquement par le fait que tous ces espaces(-temps) ont une courbure MOYENNE :

 

(32)           <R> = ¼ (X₁ + X₂)²R² = 0

 

 où X₁ et X₂ sont les rayons de courbure principaux sur une variété optimale considérée et

 

(33)           R = 1/X₁X₂

 

est notre courbure scalaire.

 

La condition (32) a deux solutions. La première est :

 

(34)           X₂ = -X₁ = -X       FINI NON NUL

 

qui implique,

 

(35)           R = -1/X² < 0

 

Dans ce cas :

 

LES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE LA RG SONT DES ESPACES(-TEMPS) HYPERBOLIQUES (« OUVERTS »)

 

La seconde est :

 

(36)           <R> = ¼ (1/X₁ + 1/X₂)² = 0

 

qui, s’agissant d’une expression ELLIPTIQUE REELLE, ne peut être satisfaite que pour

 

(37)           X₁ = oo  ET  X₂ = oo  MAIS  X₂ <> -X₁

 

aux signes près. Dans ce cas :

 

LES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE LA RG SONT DES ESPACES(-TEMPS) PARABOLIQUES (plans AU SENS DE GAUSS)

 

Les premiers, les hyperboliques, ne sont pas développables. Seuls les paraboliques le sont et peuvent être projetés SANS DEFORMATION sur l’espace-temps de Minkowski, plan AU SENS DE RIEMANN. Quant aux elliptiques, ils ne peuvent être solutions des équations de la RG, car ils ne satisfont pas le critère d’optimalité. En découlent les résultats suivants :

 

LES ESPACES(-TEMPS) PUREMENT NON STANDARDS (PNS) SONT TOUS PARABOLIQUES ET DONC, DEVELOPPABLES. ILS NE FERONT DONC PAS L’OBJET DE DISTORSIONS APRES PROJECTION DANS L’ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI.

 

Est automatiquement inclus le vide standard symétrique, puisque R^(ns)_ijkl a tous ses invariants nuls (de même que T^(ns)_ijkl). Exit, par la même occasion, les arguments concernant les « images brouillées » dans les témoignages sur des faits « paranormaux » :

 

Si des « manifestations paranormales » quelconques ne renvoient à rien de connu dans le Modèle Standard, alors les « projections paranormales » NE PEUVENT PAS APPARAÎTRE, SOIT « BROUILLEES », SOIT « DEFORMEES ».

 

« No-go theorem » : soit elles renvoient à du standard et elles n’ont alors rien de « supranaturel », soit elles renvoient à du non standard et alors, le témoignage ne peut qu’être bidon. Plus une déformation MENTALE de l’observateur qu’une manifestation paranormale.

 

Les espaces(-temps) possédant une composante PNS ET une composante standard DE TRACE NULLE (comme pour de la substance standard ultra-relativiste non visqueuse, par exemple) sont tout aussi plans au sens de Gauss et donc, développables.

 

Le critère de sélection se durcit encore plus. En fait :

 

Seuls les espaces(-temps) HYPERBOLIQUES apparaîtront déformés après projection. Mais ces espaces(-temps) ont automatiquement une composante standard de trace NON NULLE et c’est alors précisément cette composante-là qui EMPECHE toute projection conforme.

 

Si l’on veut progresser, il faut rester le plus objectif possible. Nous avons déjà étendu le cadre géométrique de la RG. Nous avons ensuite élargi son application au rang de paradigme. Il est difficile d’aller plus loin : non seulement TOUT ce qui est standard, « classique » ou « quantique » est inclus, mais tout ce qui n’est PAS spécifique à la gravitation l’est. Nous disposons donc désormais d’un cadre d’analyse suffisamment large pour réaliser des sélections objectives et METTRE EN DOUTE certains témoignages, pour ne RENFORCER que les autres.

 

Nous pouvons par exemple dès maintenant AFFIRMER, avec fort peu de marge d’erreur, que les histoires de « revenants » et autres « détecteurs d’activité électromagnétique », c’est du FOLKLORE… du « TOURISME PARANORMAL ». Il n’y a absolument RIEN de parapsychique là-dedans. Rien qui puisse trouver une justification physique quelconque.

 

Le « métaphysique » ne peut se trouver que dans le NON standard. B167 sur le champ unifié montre bien que l’électromagnétisme dont il est couramment question en parapsychologie ne représente que L’INVARIANT du pseudo-tenseur A_ij,k. Il existe donc un électromagnétisme ELARGI qui PEUT faire référence à du non standard. Mais, en aucun cas, celui de Maxwell.