Après examen approfondi de la question, il s’avère que deux corrections doivent être apportées, cette fois, aux modèles mathématiques eux-mêmes. La première concerne le calcul des “nombres complexes” ; la seconde, le “calcul des infinitésimaux”. 

Les références sur les travaux antérieurs relatifs aux nombres complexes se trouvent sur https://doclabidouille.blogs.fr/, aux bidouilles B32, B134 et B178. Il se confirme de plus en plus qu’il faut reprendre la construction à partir de la notion de “nombre à 2 états”, soit dans le plan réel R².  

Le point de désaccord s’avère plus subtil qu’il n’en a l’air. Aussi, pour ne pas donner l’impression de dire n’importe quoi, j’ai recompulsé mes références en algèbre. Je vais citer le cours de maths sup/ maths spé en 4 tomes de Lelong-Ferrand et Arnaudiès. Dans le tome I consacré à l’algèbre, il est écrit, au §III.7 “calcul dans le corps des nombres complexes”, p. 104 et 105 : 

“On obtient sur l’ensemble R x R une structure de corps commutatif en définissant l’addition par la formule (x,y) + (x’,y’) = (x + x’ , y + y’) et la multiplication, par la formule (x.y).(x’,y’) = (xx’ – yy’ , xy’ + x’y). Le corps ainsi obtenu se note C et s’appelle corps des nombres complexes. L’élément nul de C est (0,0), l’élément unité est (1,0) ; l’inverse de l’élément non nul (x,y) est [x/(x² + y²) , -y/(x² + y²)]. L’application j : R -> C telle que j(x) = (x,0) pour tout x de R est un isomorphisme du corps R sur un sous-corps de C. Habituellement, on identifie R au sous-corps j(R) de C à l’aide de j, de sorte que le nombre complexe (x,0) est simplement noté x. L’élément (0,1) de C est noté i ; on a i² = -1.” 

Revenons à la définition d’un corps algébrique, def. III.6.1, p. 99 : 

“Un corps est un anneau unifère dans lequel tout élément non nul est inversible (…).” 

Et à celle d’anneau unifère, déf. III.2.2, p. 79 : 

“Un anneau sera dit unifère s’il admet un élément neutre pour le produit, distinct de 0.” 

Et de préciser juste en-dessous : 

“Si un tel élément neutre existe, il est unique”. 

Voici comment est obtenu le corps des nombres complexes en théorie des ensembles : en choisissant (1,0) comme élément neutre. Or, R x R = R² ne possède pas qu’une seule unité, mais deux, puisqu’en raison de sa dimension, il a deux axes perpendiculaires l’un à l’autre et indépendants, de sorte que l’on peut définir sur chacun une longueur unité. C’est bien ce qui est dit ci-dessus : on a deux éléments (1,0) et (0,1) mais, pour pouvoir obtenir une structure de corps, on ne peut en retenir qu’un seul, en raison de son unicité. La propriété (0,1).(0,1) = -(1,0) ne fait pas de (0,1) une unité dépendante de (1,0) : la relation n’est pas linéaire, mais quadratique et, surtout, elle n’est pas définie dans R... Par contre, elle peut l’être dans R², si on le munit de la loi de multiplication ci-dessus. Or, algébriquement parlant, R² n’est pas un corps, mais un espace vectoriel (de dimension 2) sur R, c’est-à-dire, un module sur l’anneau unifère (ce qui est bien le cas de R, qui ne possède que 1 comme unité) intègre qu’est R. 

Donc, on a clairement un problème de construction... fortement aggravé par les résultats suivants. 

Le théorème III.7.5, p.106-107 stipule que : 

“a) il existe un homomorphisme continu surjectif f du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U (des nombres complexes de module 1), défini par f(t) = S_n>=0 (it)ⁿ/n! et un nombre pi > 0 tel que le noyau de f [l’ensemble des t tels que f(t) = 0] soit le sous-groupe 2piZ de R ; 

b) tout homomorphisme continu h du groupe additif R dans le groupe multiplicatif U est de la forme x -> f(ax), où a est un nombre réel dépendant de h.” 

Ce résultat est démontré dans le tome II, dédié à l’analyse, p.333 : 

“La règle de d’Alembert montre immédiatement que la série S_n=0^∞ zⁿ/n! est absolument convergente pour tout z dans C.” 

Le problème, c’est que l’on pose ensuite pas mal de définitions, à commencer par : 

e^ix = S_n=0^∞ iⁿxⁿ/n! 

p.336, qui montre bien qu’on part du nombre irrationnel réel e et qu’on l’élève à la puissance i. Les définitions suivantes concernent les fonctions circulaires cos(.) et sin(.). 

A partir du moment où l’on raisonne de cette manière, l’élévation de i = e^ipi/2 à la puissance i est légitime. Donc, l’absurdité de la conclusion à laquelle on aboutit pose question. La construction du corps C est bel et bien bancale... et c’est tout sauf de l’ergotage. 

Qui plus est, on ne peut pas prendre une fonction monotone comme exp(.), qui est bijective, et la transformer “magiquement” en application seulement surjective “grâce à son élévation à une puissance imaginaire” : soit on construit une exponentielle adaptée au nouveau corps, soit on raisonne dans R², avec une exponentielle à deux variables. Sinon, on se contredit... 

Il y a toutefois un moyen de “réparer” C. On part des fonctions de l’hyperbole ch(x) et sh(x), on utilise le produit défini dans C pour vérifier qu’on a bien ix = (0,1)(x,0) = (0,x), on remplace, dans la formule hyperbolique de de Moivre, 

(1)     e^x = ch(x) + sh(x) 

le réel x par “l’imaginaire pur” ix, qui s’identifie à (0,x) dans R², 

(2)     e^ix = ch(ix) + sh(ix) 

et, en recourant aux définitions de ch(.) et de sh(.), 

(3)     ch(x) = ½ (e^x + e^-x)  ,  sh(x) = ½ (e^x – e^-x) 

on retombe bien sur la formule elliptique de de Moivre : 

(4)     e^ix = ch(ix) + sh(ix) = cos(x) + isin(x) 

avec les fonctions du cercle, 

(5)     cos(x) = ½ (e^ix + e^-ix)  ,  sin(x) = -½ i(e^ix – e^-ix) 

Vous allez me dire : “c’est la procédure habituelle”. Oui. MAIS... nulle part, on ne précise l’action de l’unité i. On se contente de prendre l’irrationnel réel e et de l’élever à la puissance imaginaire ix. Il y a une action des unités sur les variables comme sur les fonctions. Pour 1, elle est complètement masquée : 

(6)     e^1.x = ch(1.x) + sh(1.x)  ,  (e^1.x)¹ = e^1.x … 

On ne précise pas la présence de 1 dans les produits, parce que 1.x = x pour tout réel x. 

Ce n’est plus le cas de i, qui est une unité cyclique : 

(7a)     i⁰ = 1         (convention) 

(7b)     i¹ = i         (idempotence due à l’action multiplicative neutre de l’unité 1) 

(7c)     i² = -1       (définition de l’unité imaginaire) 

(7d)     i³ = -i        [confirmée par le produit (-1,0).(0,1) = (0,-1) dans R² comme dans C] 

(7e)     i⁴ = i⁰ = 1  (idem) 

et le cycle recommence. De ce fait, (4) n’est que le pendant de (6) lorsqu’on remplace 1 par i. L’argument x = 1.x est remplacé par l’argument cyclique i.x, dont les puissances sont (ix)⁰ = 1, (ix)¹ = ix, (ix)² = -x² (réel négatif), (ix)³ = -ix³ et (ix)⁴ = x⁴. Conséquence : 

(8a)     (e^ix)ⁱ = [ch(ix) + sh(ix)]ⁱ         [1ère égalité (4)] 

       = cos(ix) + isin(ix)         [2ème égalité (4)] 

       = ch(x) – sh(x) 

       = ch(-x) + sh(-x)            [symétrie de ch(.), antisymétrie de sh(.)] 

       = e^i²x = e^-x    

(8b)     [(e^ix)ⁱ]ⁱ = (e^ix)^-1 = e^-ix = [ch(x) – sh(x)]ⁱ = [ch(-x) + sh(-x)]ⁱ = cos(x) – isin(x) 

(8c)     (e^-ix)ⁱ = [cos(x) – isin(x)]ⁱ = [ch(x) – sh(x)]^-1 = e^x = ch(x) + sh(x) 

et le cycle recommence. Seulement, cela veut dire que les puissances de i sont reportées dans les arguments des fonctions, comme ceci : 

(8d)     (e^x)^{i^n} = (e^{i^n})^x = ch(inx) + sh(inx) = [ch(x) + sh(x)]^{i^n}  ,  n dans Z. 

 
Voilà ce qui aurait dû constituer la formule complète de de Moivre et qui aurait évité des ambiguïtés, dont la principale :

(9)     x = pi/2 => e^ipi/2 = i , e^-pi/2 = iⁱ = ch(pi/2) – sh(pi/2)
                            e^-ipi/2 = i^i² = i^-1 = -i , e^pi/2 = ch(pi/2) + sh(pi/2)

Si j’élève maintenant e^-pi/2 à des puissances entières, j’obtiens successivement : 

(10)     e^-pi = (-1)ⁱ = ch(pi) – sh(pi) 

            e^-3pi/2 = (-i)ⁱ = (-1)ⁱiⁱ = ch(3pi/2) – sh(3pi/2) 

            e^-2pi = 1ⁱ = ch(2pi) – sh(2pi) 

            e^-5pi/2 = i⁵ⁱ = 1ⁱiⁱ = ch(5pi/2) – sh(5pi/2) 

… 

Cette fois, il n’y a plus de redémarrage du cycle de 4 : e^-5pi/2 n’est plus égale à e^-pi/2, parce que 1ⁱ n’est pas égal à 1. L’exponentiation hyperbolique est bien monotone, bijective. 

En fin de compte, il n’y avait rien de bien grave, juste une avarie à colmater.  

Il fallait aussi expliquer que c’est la présence de l’unité imaginaire cyclique i dans l’argument des fonctions qui faisaient passer alternativement de la géométrie hyperbolique à la géométrie circulaire. 

Pour l’élévation à une puissance, la table de calcul est donc la suivante : 

(11)     1¹ = 1 , (-1)¹ = -1 , i¹ = i , 1ⁱ = e^-2pi , (-1)ⁱ = e^-3pi/2 , iⁱ = e^-pi/2     

A partir de là, on peut calculer n’importe quel (x + iy)^x’+iy’ selon la formule : 

(12)     (x + iy)^x’+iy’ = (re^ia)^x’+iy’ = [e^{Ln(r) + ia}]^x’+iy’  

      = e^{x’Ln(r) – y’a + i[y’Ln(r) + x’a]} = e^{x’Ln(r) – y’a}e^{i[y’Ln(r) + x’a]}  

                   = r^x’e^-y’a{cos[y’Ln(r) + x’a] + isin[y’Ln(r) + x’a]} 

Le calcul des infinitésimaux, maintenant. L’hypothèse posée par Leibnitz est bien trop simplificatrice, elle efface beaucoup de données essentielles. Soit dx un étalon de mesure de la variable x. Dès que dx ≠ 0 se pose la question de la mesure (pratique) d’un ensemble. Et on ne parler pas ici de mesure au sens de Lebesgue : la variable x est proportionnelle à son étalon dx, 

(13a)     x = E(x) + D(x) = [E(x/dx) + D(x/dx)]dx 

E(.) désigne comme d’habitude la partie entière. D(.) est la partie décimale de x (en unité dx). C’est une quantité qui, en valeur absolue, est toujours strictement inférieure à 1. Ainsi : 

(13b)     0 ≤ |D(x)| < 1  =>  0 ≤ |D(x/dx)| < |dx| 

Si l’appareil de mesure est étalonné sur dx, il ne mesurera que les multiples entiers de dx, soit E(x) = E(x/dx)dx. Les valeurs D(x) = D(x/dx)dx ne seront pas détectées. La mesure est tronquée. Dès lors, x représente la valeur théorique de la variable, tandis que E(x) représente sa valeur expérimentale. Et puisque x suit dx en signe, le rapport x/dx est toujours positif, de sorte qu’en signant dx, on peut se limiter aux valeurs positives (ou nulles) de E(x/dx) et de D(x/dx). 

Un dx non nul ne remet pas en cause la continuité de R mais a des conséquences considérables sur les solutions des équations aux différences finies : 

(14)     f(x + dx) = f(x)     pour tout x dans R 

signifie seulement que f(x) est périodique de période dx et que ce n’est que lorsqu’on fait tendre dx vers zéro (Leibnitz) qu’on obtient une constante. 

En différences finies, les constantes sont remplacées par des signaux périodiques de période l’étalon de mesure de la variable. 

Regardons sous un œil neuf ce que devient l’exponentielle. Cette fonction obéit à l’équation aux différences finies : 

(15a)     f⁽¹⁾(x) = [f(x + dx) – f(x)]/dx = f(x) 

dont la solution est, 

(15b)     f(x) = (1 + dx)^x/dx   

L’exponentielle est maintenant de base (1 + dx)^1/dx . Chez Leibnitz : 

(15c)     Lim_dx->0 (1 + dx)^1/dx = e 

Une complication supplémentaire vient se greffer pour dx ≠ 0 qui est que : 

(1 + dx)^x/dx = (1 + dx)^E(x/dx)(1 + dx)^D(x/dx)    

et que, si (1 + dx)^E(x/dx) reste réelle même si 1 + dx < 0, il n’en va plus de même pour certaines valeurs de (1 + dx)^D(x/dx), qui se retrouvent dans C. 

La résolution des équations du second ordre : 

(16a)     f⁽²⁾(x) = [f(x + 2dx) – 2f(x + dx) + f(x)]/dx² = f(x) 

et 

(16b)     f⁽²⁾(x) = -f(x) 

est elle aussi intéressante. La première donne : 

(16c)     f_±(x) = ½ [(1 + dx)^x/dx ± (1 – dx)^x/dx]  ->  ½ (e^x ± e^-x)  pour dx -> 0 

la seconde, 

(16d)     f_±(x) = ½ [(1 + idx)^x/dx ± (1 – idx)^x/dx]  ->  ½ (e^ix ± e^-ix)  pour dx -> 0 

Ceci montre que : 

(16e)     Lim_dx->0 (1 + dx)^1/dx = e  ,  Lim_dx->0 (1 – dx)^1/dx = e^-1    

              Lim_dx->0 (1 + idx)^1/dx = eⁱ  ,  Lim_dx->0 (1 – idx)^1/dx = e^-i    

et explique a posteriori pourquoi c’est encore le réel e qui est utilisé pour construire l’exponentielle complexe. Ceci achève la réparation, on peut réutiliser C sans problème.