Cette bidouille a pris du temps pour voir le jour, parce que j'ai encore essayé nombre de solutions de replâtrage. Je suis, en effet, retombé sur du travail bâclé... Je vais finir par passer pour un éternel insatisfait... Mais, quand c'est faux, c'est faux. Rien ne sert de se casser la tête à rechercher des moyens plus généraux de préserver l'acquis en cause.

Je veux parler, cette fois, de [B182, (14)]. Considérons l'équation plus générale :

(1a)     f⁽¹⁾(x,dx) = g(x,dx)

où l'étalon dx de la variable apparaît explicitement (ou pas). L'analyse fonctionnelle dit que g est la dérivée de f et que f est la primitive de g (en détermination principale au moins). Lorsque g est la fonction identiquement nulle, nous avons vu en seconde partie de B 182 que la solution de :

(1b)     f⁽¹⁾(x,dx) = 0     pour tout x et tout dx dans R,

N'EST PAS la fonction constante. En revanche, si f EST une fonction constante, ALORS f est automatiquement solution de (1b). Il en ressort que :

La proposition "f⁽¹⁾(x) = 0 <=> f(x) = cte pour tout x et tout dx dans R" est fausse en général.

En effet, elle ne peut, au mieux, être vrai que pour les x multiples entiers du dx, ce qui restreint le support de f à l'espace arithmétique Z|dx|. Or, Card(]-|dx|,+|dx|[) est du même ordre que Card(R), c'est-à-dire, exponentiellement plus grand que celui de Card(Z|dx|) = Card(Z), même si dx est une grandeur infinitésimale. Cela veut dire que les points de R où la solution de (1) est effectivement constante sont exceptionnels et dénombrables.

Ce n'est donc pas le fait que l'on se donne un dx quelconque, même chez Leibnitz, c'est faux. Et, puisque dx reste fini :

La solution de (1b) est une fonction périodique de période dx.

Point. J'ai trouvé des échappatoires, pour tenter de sauver le calcul différentiel et intégral, c'est inutile : ce qui n'est vrai qu'en particulier est faux en général. C'est la logique mathématique.

La meilleure des preuves réside dans la signification géométrique de l'intégrale donnée en analyse fonctionnelle : elle est censée représenter la surface comprise entre la courbe [ici, g(x) = Lim_dx->0 g(x,dx)], l'axe des x et la valeur de cette g(x) en deux points distants x₁ et x₂ (avec x₁ < x₂). Si g est la fonction NULLE... alors, son graphe s'étend sur tout l'axe des x (il ne peut en être autrement). Comment voulez-vous, dès lors, que la surface comprise entre cet axe et lui-même soit CONSTANTE (éventuellement NON NULLE) ?... Une fois encore, comment une telle absurdité a-t-elle pu échapper à la sagacité des matheux ?... C'est incompréhensible. Toujours est-il que le fait est là : la relation f(x + dx) = f(x) ne fait que traduire le report de la valeur de f en x à tous les intervalles de longueur dx. Rien d'autre. Vous avez donc f(0) = f(dx) = f(ndx) pour n dans Z mais, par exemple, f(dx/2) = f(3dx/2) = f[(n + ½)dx]. Il est clair que la valeur f(0) est généralement différente de f(dx/2), à moins de poser formellement que dx = 0, ce qui 1) n'est pas l'hypothèse posée par Leibnitz et 2) conduit seulement à l'identité triviale f(x) = f(x) qui ne nous apprend absolument rien sur f(x).

Vous savez que je n'aime pas faire des articles trop longs, aussi allons-nous décomposer le travail. Dans cette bidouille, nous n'allons établir que des résultats sur des fonctions de base : ce qui vient remplacer les monômes xⁿ/n! pour n dans N, la fonction exponentielle et la fonction logarithme.

La primitive d'ordre n de 1 donne, successivement :

M₀(x,dx) = 1     pour tout x et tout dx dans R (fonction constante) ;
M₁(x,dx) = x + f₀(x,dx) ;
M₂(x,dx) = x(x - dx)/2 + f₀(x,dx)x + f₁(x,dx) ;
M₃(x,dx) = x(x - dx)(x - 2dx)/3! + f₀(x,dx)x(x - dx)/2 + f₁(x,dx)x + f₂(x,dx), etc.

Soit, en notant P[M_n(x,dx)] la partie principale de M_n(x,dx) :

(2a)     M_n+1(x,dx) = [P_p=0ⁿ (x - pdx)]/n! + S_p=0ⁿ f_p(x,dx)P[M_n-p(x,dx)]
                          = P[M_n+1(x,dx)] + S_p=0ⁿ f_p(x,dx)P[M_n-p(x,dx)]

où les f_p(x,dx) sont toutes de période dx. On a des propriétés intéressantes, la première étant :

(2b)     M_n+1⁽¹⁾(x,dx) = M_n(x,dx)  <=> M_n+1(x,dx) primitive d'ordre n de x.

Puis, par récurrence inverse :

(2c)     M_n+1^(p)(x,dx) = M_n+1-p(x,dx)  ,  0 =< p =< n
(2d)     M_n+1⁽ⁿ⁺¹⁾(x,dx) = M₀(x,dx) = 1
(2e)     M_n+1^(p)(x,dx) = 0     pour tout p > n + 1.

Enfin, en différences finies, la dérivée d'une fonction de fonction continuant d'être le produit des dérivées,

{1/P[M_n(y,dy)]}⁽¹⁾ = -P[M_n-1(y,dy)]/P[M_n(y,dy)]{P[M_n(y,dy)] - dP[M_n(y,dy)]}
                          = -P[M_n-1(y,dy)]/P[M_n(y,dy)]{P[M_n(y,dy)] - P[M_n-1(y,dy)]dy}
                          = -1/[y - (n - 1)dy](y - ndy)P[M_n-1(y,dy)]
                          = -1/P[M_n+1(y,dy)]

d'où il ressort très facilement que :

(2f)     {1/P[M_n(y,dy)]}^(p) = (-1)^p/P[M_n+p(y,dy)]     pour tout p dans N.

Venons-en maintenant à l'exponentielle [B182, (15b)] :

(3a)     exp₊(x,dx) = [1 + k(x,dx)dx]^x/dx  ,  k de période dx.

Cette fonction, pourtant beaucoup plus complexe que e^kx, k constante, continue de vérifier :

(3b)     exp₊⁽¹⁾(x,dx) = k(x,dx)exp₊(x,dx)

Vous en déduisez par simple récurrence que :

(3c)     exp₊⁽ⁿ⁾(x,dx) = kⁿ(x,dx)exp₊(x,dx)     pour tout n dans N,

et donc que les modes de exp(x,dx) sont les puissances entières de k(x,dx). En effet :

(3d)     exp₊(x,dx) = S_n=0^+oo kⁿ(x,dx)P[M_n(x,dx)]

vous donne bien,

exp₊⁽¹⁾(x,dx) = S_n=0^+oo kⁿ(x,dx){P[M_n(x,dx)]}⁽¹⁾ = S_n=1^+oo kⁿ(x,dx)P[M_n-1(x,dx)]
                  = S_n=0^+oo kⁿ⁺¹(x,dx)P[M_n(x,dx)] = k(x,dx)exp₊(x,dx)

en vertu de (2b) sur les parties principales des M_n(x,dx). La récurrence va de soi : on retombe bien sur (3c).

Il serait toutefois préférable de raisonner dans C plutôt que dans R, afin que exp(x,dx) soit définie partout.

Ce qui remplace e^-kx = 1/e^kx est :

(3e)     exp_-(x,dx) = [1 - k(x,dx)dx]^x/dx = S_n=0^+oo (-1)ⁿkⁿ(x,dx)P[M_n(x,dx)]

Il y a donc DEUX fonctions exponentielles et non une seule, selon le signe qui se trouve devant k.

A l'aide de exp₊ et exp_- on peut étendre les fonctions trigonométriques :

(3f)     ch(x,dx) = ½ [exp₊(x,dx) + exp_-(x,dx)]
                      = ½ {[1 + k(x,dx)dx]^x/dx + [1 - k(x,dx)dx]^x/dx}
                      = S_n=0^+oo k²ⁿ(x,dx)P[M_2n(x,dx)]

(3g)     sh(x,dx) = ½ [exp₊(x,dx) - exp_-(x,dx)]
                      = ½ {[1 + k(x,dx)dx]^x/dx - [1 - k(x,dx)dx]^x/dx}
                      = S_n=0^+oo k²ⁿ⁺¹(x,dx)P[M_2n+1(x,dx)]

Ces exponentielles sont inversibles. D'après (3b) et (3e), de y₊ = exp₊(x,dx) et y_- = exp_-(x,dx), on tire :

dy₊/y₊ = -dy_-/y_- = k(x,dx)dx

d'où,

Ln(y₊) = (x/dx)Ln(1 + dy₊/y₊) = (x/dx)Ln(1 - dy_-/y_-)
Ln(y_-) = (x/dx)Ln(1 + dy_-/y_-) = (x/dx)Ln(1 - dy₊/y₊)

et

x/dx = Ln(y₊)/Ln(1 + dy₊/y₊) = Ln(y_-)/Ln(1 + dy_-/y_-)

Il en découle d'abord la relation symétrique suivante :

(4a)     Ln(y₊)Ln(1 - dy₊/y₊) = Ln(y_-)Ln(1 - dy_-/y_-)

puis,

k(x,dx)x = Ln(y₊)dy₊/y₊Ln(1 + dy₊/y₊) = -Ln(y_-)dy_-/y_-Ln(1 + dy_-/y_-) = Ln₊(y₊,dy₊) = -Ln_-(y_-,dy_-)

Ces expressions définissent les logarithmes en différences finies :

(4b)     Ln₊(y₊,dy₊) = Ln(y₊)dy₊/y₊Ln(1 + dy₊/y₊) = Ln(y₊)/Ln[(1 + dy₊/y₊)^y₊/dy₊]
(4c)     Ln_-(y_-,dy_-) = Ln(y_-)dy_-/y_-Ln(1 + dy_-/y_-) = Ln(y_-)/Ln[(1 + dy_-/y_-)^y_-/dy_-]
(4d)     Ln₊(y₊,dy₊) = -Ln_-(y_-,dy_-)
(4e)     dy₊/y₊ = -dy_-/y_-  

On retrouve bien Ln₊(y₊,0) = Ln(y₊), puisque Lim_dy+->0 (1 + dy₊/y₊)^y₊/dy₊ = e pour tout y₊. D'après (4e), (dy₊ -> 0) <=> (dy_- -> 0) pour tout couple (y₊,y_-) fini. A l'autre extrémité, Lim_dy+->oo (1 + dy₊/y₊)^y₊/dy₊ = 1 pour tout y₊ => Ln(y,oo) = oo. Toujours d'après (4e), (dy₊ -> oo) <=> (dy_- -> oo) pour tout couple (y₊,y_-) fini non nul.

En utilisant la périodicité de k(x,dx),

d[k(x,dx)x] = k(x,dx)dx = dLn₊(y₊,dy₊) = -dLn_-(y_-,dy_-) = dy₊/y₊ = -dy_-/y_-

montre (un peu contre toute attente...) que LES fonctions logarithme continuent de vérifier l'équation :

(4f)     dLn₊(y₊,dy₊)/dy₊ = 1/y₊  ,  dLn_-(y_-,dy_-)/dy_- = 1/y_-  

Attention, cependant, à utiliser des variables sans unité.

En calculant les dérivées successives de Ln₊(y₊,dy₊) entre y₊ - dy₊ et y₊, il est facile d'établir :

(4g)     Ln₊⁽ⁿ⁺¹⁾(y₊,dy₊) = (1/y₊)⁽ⁿ⁾ = (-1)ⁿ/(n + 1)P[M_n+1(y₊,dy₊)]    

De l'identité y₊Ln₊⁽¹⁾(y₊,dy₊) - 1 = 0 et de [y₊Ln(y₊,dy₊)]⁽¹⁾ = (y₊ + dy₊)Ln₊⁽¹⁾(y₊,dy₊) + Ln₊(y₊,dy₊), on tire la primitive de log₊ :

(4h)     Ln₊^(-1)(y₊,dy₊) = (y₊ - dy₊)Ln₊(y₊,dy₊) + y₊ + f₁(y₊,dy₊)

Par une nouvelle récurrence facile, on obtient :

(4i)     Ln₊^(-n)(y₊,dy₊) = P[Ln₊^(-n)(y₊,dy₊)] + S_p=1ⁿ f_p(y₊,dy₊)P[M_n-p(y₊,dy₊)]
(4j)     P[Ln₊^(-n)(y₊,dy₊)] = [P_p=1ⁿ (y₊ - pdy₊)]Ln₊(y₊,dy₊)/(n + 1) + P[M_n(y₊,dy₊)]
                                   = n!P[M_n+1(y₊,dy₊)]Ln₊(y₊,dy₊)/(n + 1)y₊ + P[M_n(y₊,dy₊)]

les f_p étant de nouveau tous de période dy₊. D'après (4g),

Ln₊⁽ⁿ⁺¹⁾(y₊,dy₊)P[M_n+1(y₊,dy₊)] = (-1)ⁿ/(n + 1)

Ce résultat est indépendant de y comme de dy. Après sommation :

(4k)     S_n=0^+oo Ln₊⁽ⁿ⁺¹⁾(y₊,dy₊)P[M_n+1(y₊,dy₊)] = S_n=0^+oo (-1)ⁿ/(n + 1) = Ln(2)

Cette identité remarquable prouve malheureusement à elle seule que les théorèmes fondamentaux du calcul différentiel (Fermat, Rolle, Lagrange, Taylor et Cauchy) n'ont plus cours, essentiellement parce que les dérivées y sont calculées par la méthode de Leibnitz.

Nous avons désormais tous les outils en main pour décrire la dynamique des corps comme des champs dans tous les espaces de spin. Nous noterons x un vecteur position dans R^D(s), x son "hypothénuse" et xⁱ = x^{A(1)...A(2s+1)} ses composantes, l'indice i allant de 1 à D(s).

Le mouvement du cdg d'un corps dans R^D(s) est une application vectorielle :

(1)     x : R -> R^D(s), x -> x(x).

Sa vitesse de déplacement est :

(2)     v(x) = cdx(x)/dx

et son accélération,

(3)     a(x) = cdv(x)/dx = c²d²x(x)/dx²

Selon ce que l'on choisira pour "hypothénuse", la dynamique apparaîtra différente.

Si l'on prend :

(4)     x² = x.x 

la dynamique se fera dans des référentiels euclidiens. Si, au contraire, on opte pour :

(5)     x² = x.x^t  

la dynamique restera euclidienne dans le référentiel (xⁱ), mais apparaîtra pseudo-euclidienne de signature [p(s),q(s)] dans le référentiel (x'ⁱ) obtenu après alignement des axes de la forme quadratique x² avec ceux des coordonnées.

Ce n'est qu'une apparence. On n'a pas changé de cadre. On est toujours dans un R^D(s), on n'est pas passé dans un R^p(s),q(s). Le cône qui semble se former dans le référentiel (x'ⁱ) disparait complètement dans le référentiel (xⁱ). Il n'a donc aucun contenu physique, ce n'est qu'une structure inertielle.

Ceci ne remet pas en cause la finitude de c, ni même l'invariance du x², qui reste le même dans les deux référentiels. C'est uniquement le fait que nous avons défini, en B179, une opération de transposition pour les vecteurs, qui n'existait auparavant que pour les matrices ou tenseurs n x n, avec n >= 2, que nous avons pu regrouper les deux possibilités (4) et (5) ci-dessus dans le même espace euclidien R^D(s). Et cette transposition des vecteurs nous a été imposée par la physique elle-même. Cette opération mathématique manquait. Nous l'avons simplement rajoutée pour nous conformer aux observations. Mais il s'avère qu'elle a une portée bien plus vaste que la physique, car elle dit en fait que :

En géométrie réelle, il n'y a pas d'espaces pseudo-euclidiens. Il n'y a que des espaces euclidiens qui, selon le choix de "l'hypothénuse", peuvent, soit rester euclidiens si son carré est irréductible [c'est le cas de (4)], soit prendre l'apparence d'espaces pseudo-euclidiens si son carré est réductible [c'est le cas de (5)], une fois les axes de la métrique alignés avec ceux des coordonnées, i.e. après réduction de la seconde forme quadratique de l'espace.

Ce sont les termes bilinéaires qui décident. Ils sont absents de (4), mais présents dans (5) en quantité q(s) [puisque la réduction fait apparaître q(s) signes "-"]. On ne peut pas appeler ça un théorème, sinon "d'inexistence".

Si vous choisissez (4), la dynamique est définie partout où la trajectoire x(x) ne diverge pas. Si vous choisissez (5), vous allez rencontrer une "contrainte" dans le référentiel (x'ⁱ) qui va limiter votre domaine physique, puisque dx² = dx.dx^t ne sera plus de signe défini. Si vous le décomposez en :

(6)     dx² = S_i=1^p(s) (dx'ⁱ)² - S_i=p(s)+1^D(s) (dx'ⁱ)² = S_i=1^p(s) (dx'ⁱ)² - c²S_i=1^q(s) (dt'ⁱ)² = dr'² - c²dt'²

votre domaine physique se retreindra à dx² >= 0 dans le référentiel (x'ⁱ). Vous aurez alors du mal à comprendre pourquoi une telle limitation, alors qu'il n'y en a manifestement pas dans le référentiel (xⁱ).

Localement sur la trajectoire, si l'on prend :

(7a)     dx² = dx(x).dx(x),

alors,

(7b)     v²(x) = v(x).v(x) = S_i=1^p(s) [vⁱ(x)]² = c²

Si l'on prend :

(8a)     dx² = dx(x).dx^t(x),

on aura,

(8b)     v²(x) = v(x).v^t(x) = c²

et on verra apparaitre un "cône de lumière" dans le référentiel tangent [v'ⁱ(x)] = [dx'ⁱ(x)/dx].

Le reste est plus que connu. Si m désigne la masse du corps et que l'on part du principe qu'elle n'a pas à dépendre explicitement de x, la fonction de Lagrange est :

(9a)     L[x(x),v(x)] = ½ mv²(x) + mG[x(x)].v(x) = ½ mv_i(x)vⁱ(x) + mG_i[x(x)]vⁱ(x)

Elle s'exprime en Joules dans tous les R^D(s). Tout dépend ensuite de la manière dont on décide de définir le dual v_i(x) de vⁱ(x) : soit comme Id_ijv^j(x), auquel cas il aura les mêmes composantes, soit comme g⁽⁰⁾_ijv^j(x) de telle manière que, dans le référentiel primé, v'_i(x) = g'⁽⁰⁾_ijv'^j(x), avec g'⁽⁰⁾_ii = +1 pour i = 1 à p(s), g'⁽⁰⁾_ii = -1 pour i = p(s)+1 à D(s) et g'⁽⁰⁾_ij = 0 pour i différent de j. Dans les deux cas, on aura v_i(x)vⁱ(x) = c², de sorte que l'énergie cinétique sera constante :

(9b)     L[x(x),v(x)] = ½ mc² + mG_i[x(x)]vⁱ(x)

L'impulsion généralisée du corps est :

(10)     P_i[x(x)] = [d/dvⁱ(x)]L[x(x),v(x)] = p_i(x) + mG_i[x(x)]

avec p_i(x) = mv_i(x), son impulsion libre. On a :

(11)     dv_i(x)/dx = W_ij[x(x)]v^j(x)

avec

(12)     W_ij[x(x)] = d_i(x)G_j[x(x)] - d_j(x)G_i[x(x)]

et d_i(x) = d/dxⁱ(x), la dérivée directionnelle. La fonction d'Hamilton, elle, est partout constante :

(13)     H[p(x),x(x)] = vⁱ(x)dL/dvⁱ(x) - L = ½ mc² = p²(x)/2m

On retrouve l'identité de la RR, p²(x) = m²c². Le mouvement est conservatif. Et, puisque nous en sommes arrivés aux champs, vous remarquerez que, dans le référentiel (xⁱ), toutes les composantes de G_i sont de type "potentiels vecteur" et toutes celles de W_ij, de type "magnétique". L'invariance des formes différentielles fait immédiatement apparaître le typage :

(14)     G = G_i(x)dxⁱ = g⁽⁰⁾_ijGⁱ(x)dx^j = G'_i(x')dx'ⁱ = g'⁽⁰⁾_ijG'ⁱ(x')dx'^j  
                                                 = S_i=1^p(s) G'ⁱ(x')dx'ⁱ - cS_i=1^q(s) G'^i+p(s)(x')dt'ⁱ   

Les G'ⁱ(x') sont de type "potentiels vecteur" et les G'^i+p(s)(x'), de type "potentiels scalaires".

(15)     W = ½ W_ij(x)dxⁱ × dx^j = ½ W'_ij(x')dx'ⁱ × dx'^j  
                                          = ½ S_i=1^p(s)-1S_j=i+1^p(s) W'_ij(x')dx'ⁱ × dx'^j +
                                             + cS_i=1^q(s)S_j=1^p(s) W'_i+p(s),j(x')dt'ⁱ × dx'^j +
                                             + ½ c²S_i=1^q(s)-1S_j=i+1^q(s) W'_{i+p(s),j+p(s)}(x')dt'ⁱ × dt'^j  

Selon la terminologie en usage, les W'_ij(x') sont de type "magnétique" et les W'_i+p(s),j(x'), de type "électrique". Les W'_{i+p(s),j+p(s)}(x') n'apparaissent qu'à partir de q(s) = 2, soit s = 1. Ils n'ont pas de type maxwellien défini. Si l'on adaptait la terminologie, on dirait que les W'_i+p(s),j(x') sont de type "magnéto-électrique", parce qu'ils mixent les deux types à la fois et les W'_{i+p(s),j+p(s)}(x') prendraient alors le type "électrique".

Que de complications inutiles... qui font passer à côté de plein de choses...

On croit que l'on a progressé, alors qu'en fait, on s'est confiné...

Si vous prenez dx² = dx.dx pour hypothénuse locale, il n'y a pas de problème, tout y est "magnétique". Si vous prenez dx² = dx.dx^t, tout reste "magnétique" dans le référentiel (xⁱ) et les types "exotiques" n'apparaissent que dans le référentiel (x'ⁱ). Avec la conséquence assez amusante suivante. Au lieu de considérer les potentiels de champs (14), regardons ses sources :

(16)     j = j_i(x)dxⁱ = g⁽⁰⁾_ijjⁱ(x)dx^j = j'_i(x')dx'ⁱ = g'⁽⁰⁾_ijj'ⁱ(x')dx'^j  
                                                 = S_i=1^p(s) j'ⁱ(x')dx'ⁱ - cS_i=1^q(s) j'^i+p(s)(x')dt'ⁱ   

Dans le référentiel (xⁱ), vous ne trouvez que D(s) densités de courant j_i(x) = q(x)v_i. Que dans le référentiel (x'ⁱ), vous trouvez p(s) densités de courants et q(s) densités de charge, j'^i+p(s)(x') = qⁱ(x)c. Ces dernières disparaissent du paysage dans le référentiel (xⁱ)... Vous en déduisez ?...

Que la notion de charge (masse incluse) est totalement inertielle.

Et là, vous commencez à vous dire que c'est peut-être la raison pour laquelle vous cherchez toujours, en 2023, l'origine de toutes ces charges... Alors qu'il suffit de partir de densités de courant (ou d'impulsion pour la masse) et de diviser par c, une superbe constante universelle, pour obtenir des équivalents charge...

ÇA PAS RIRE JAUNE ?... TOI PAS RIGOLER ?... Toi, prendre tête pour pas-grand-chose...

Vous remercierez Higgs, qui complète le tableau des particules "exotiques", mais j'avais raison : masse et autres charges ne sont que des apparences. La brisure spontanée de symétrie n'explique absolument rien là-dessus (sinon, le modèle aurait prédit la masse du boson...).

Pour la RG, c'est pareil, inutile de réécrire les équations. L'unique limitation du domaine physique dans les espaces réels ') "classiques"), c'est ds² >= 0. Ça veut dire (et toi, encore rigoler !) que, partant d'un R^D(s), on n'aboutit qu'à des régions super-luminiques (v² >= c²) et que les régions sub-luminiques ("causales") ne sont accessibles qu'à partir d'un C^D(s), un espace euclidien complexe, c'est-à-dire, quantique... Autrement dit :

Si nous évoluons dans une région causale de l'univers 4D, c'est que cet univers est quantique et non classique. C'est un C⁴, ainsi que l'avais prédit Dirac.

Dans un C^D(s), en effet, opère la magie de l'unité complexe i... qui change les signes... Vous y avez des coordonnées zⁱ =  xⁱ + iyⁱ dont le carré euclidien vaut :

(17a)     z² = x² - y² + 2ix.y = x² - y² + ½ i[(x + y)² - (x - y)²]

-y² vous donne les régions causales. Quant au produit z.z^t, il vaut :

(17b)     z.z^t = (x + iy).(x^t + iy^t) = x.x^t - y.y^t + i(x.y^t + x^t.y)
                  = x.x^t - y.y^t + ½ i[(x + y).(x^t + y^t) - (x - y).(x^t - y^t)]

Dans les deux cas, vous tombez en signature [D(s),D(s)]. Mais dans le second, vous aurez un cône inférieur x'.x'^t, qui délimitera le domaine tachyonique "par en-dessous" et un cône supérieur y'.y'^t, qui délimitera le domaine causal "par au-dessus".

NOUVELLE VERSION CORRIGEE...

 

Si vous avez rendu une petite visite au blog ces derniers temps, vous aurez pu remarquer un cafouillage au niveau de B 181. Je savais bien que quelque chose « n'allait pas » et m'empêchait de démarrer les applications. Rien de bien grave, il s'agit juste de RELATIVISER le théorème spin – signature. Ce théorème a servi pour décrire la structure spinorielle des cadres. Il était donc normal que nous partions d'un espace euclidien de dimension classique 2. Nous allons maintenant relativiser ce résultat, ce qui aura pour effet de généraliser l'usage de spin – signature à divers cadres DE BASE. Il ne s'agit pas d'établir un nouveau théorème, seulement d'y apporter des COMPLEMENTS.

 

On commence par une

 

 

DEFINITION 1

MULTIPLICITé QUANTIQUE

 

Soient U_p(s),q(s) et U_p(s'),q(s') deux univers, avec s' >= s. La multiplicité quantique de U_p(s'),q(s') par rapport à U_p(s),q(s) est l'entier positif ou nul :

 

1. m = 2(s' – s)

 

 

Si s' = s, les deux univers se confondent et m = 0 signifie que U_p(s),q(s) est classique par rapport à lui-même. Si s' = s + ½, m = 1 et U_{p(s+½),q(s+½)} est « simplement quantique » vis-à-vis de U_p(s),q(s), vu qu'il peut être obtenu par réplication de ce dernier. Si s' = s + 1, m = 2 : l'univers U_{p(s+1),q(s+1)} est « doublement quantique » par rapport à U_p(s),q(s) et donc, « simplement quantique » par rapport à U_{p(s+½),q(s+½)}. Et ainsi de suite.

 

 

DEFINITION 2

NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE

 

Soient toujours s et s' deux nombres quantiques de spin, avec s' >= s. L'entier :

 

2. N(m) = D(s')/D(s) = 2^m = dim_q U_{p(s – s'),q(s – s')}

 

mesure le nombre de NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE DE L'UNIVERS U_p(s),q(s).

 

 

D'après ce qui vient d'être dit, on a bien N(0) = 1. N(1) = 2 redonne bien deux niveaux classiques pour U_{p(s+½),q(s+½)} vis-à-vis de U_p(s),q(s) ; N(2) = 4, 4 niveaux classiques (ou 2 niveaux quantiques), etc.

 

 

Un vecteur de U_p(s),q(s)  a pour composantes W^{A(1)...A(2s+1)} ; un vecteur de U_p(s'),q(s') (s' > s), pour composantes W^{A(1)...A(2s+1)A(2s+2)...A(2s'+1)}. On sait que la transposition renverse le sens de TOUS les indices binaires. Si l'on cherche à l'appliquer séparément aux DEUX mots binaires [A(1)...A(2s+1)] et [A(2s+2)...A(2s'+1)] pris séparément, on va se compliquer inutilement la vie dès que s > 0. Ce qui importe, c'est la SIGNATURE DES UNIVERS. Celle de U_p(s),q(s)  est [p(s),q(s)] ; celle de U_p(s'),q(s'), [p(s'),q(s')]. Il est beaucoup plus profitable d'établir un LIEN entre les deux.

 

De :

 

3. 2^2s = ½ [p(s) + q(s)] , 2^E(s) = ½ [p(s) – q(s)]

4. E(s + ½) = E(s) si s entier , E(s) + 1 si s demi-tentier

 

on établit sans difficulté que,

 

5. p(s + ½) = ½ [3p(s) + q(s)] si s entier , 2p(s) si s demi-entier

6. q(s + ½) = ½ [p(s) + 3q(s)] si s entier , 2q(s) si s demi-entier

7. p(s + k) = ½ [p(s)p(k) + q(s)q(k)]

8. q(s + k) = ½ [p(s)q(k) + q(s)p(k)]

 

avec k dans N. Ces formules permettent d'établir la signature de U_p(s'),q(s') PAR RAPPORT à celle de U_p(s),q(s) et généralisent celles obtenues dans B 181 avec U_2,0 comme base. Elles garantissent que la norme des vecteurs de multiplicité quantique m dans l'univers de base U_p(s),q(s) respecteront bien la signature de l'univers U_p(s'),q(s') = U_{p(s + ½ m),q(s + ½ m)}, sans plus avoir à faire appel aux transpositions. L'opération ^t n'a, en fait, servie au départ qu'à expliquer l'origine de la signature (3,1) et non (4,0) de l'espace-temps 4D. Nous l'avons étendue à des spins s > ½ mais, à présent que nous avons les signatures des espaces-temps spinoriels, nous n'avons plus besoin de ^t, sinon que par rapport à U_2,0.

 

Les tenseurs d'ordre n >= 1 dans un univers U_p(s),q(s) correspondent à :

 

9. s' = ns + ½ (n – 1) , m = (n – 1)(2s + 1) , N = D^n-1(s)

 

puisqu'ils ont Dⁿ(s) composantes au total.

 

Les VECTEURS (n = 1 => s' = s, m = 0, N = 1) apparaissent toujours CLASSIQUES dans un univers U_p(s),q(s).

 

C'est le cas, notamment, des vecteurs positions xⁱ, i = 1,...,D(s) et des changements de représentations ou des déplacements x'ⁱ = Xⁱ(x).

 

n = 2 donne s' = 2s + ½, m = 2s + 1 et N = D(s). C'est le cas des « potentiels métriques », des « coefficients métriques », de la courbure de Ricci ou du « tenseur source ». Tous ces 2-tenseurs ont spin DEMI-entier et un nombre de niveaux de réalité égal à la dimension CLASSIQUE de leur univers-support.

 

n = 3 donne s' = 3s + 1, m = 2(2s + 1) , N = D²(s). C'est le cas des coefficients de Christoffel. Ces tenseurs obéissent à la même statistique que leur univers-support et ont tous multiplicité quantique paire.

 

n = 4 donne s' = 4s + 3/2, m = 3(2s + 1), N = D³(s). C'est le cas de la courbure de Riemann ou du tenseur des contraintes. De nouveau, ils ont tous spin demi-entier.

 

Pour n = 0, les expressions (5) tombent en défaut. Or, le cas des scalaires a DEJA été considéré, mais pas sous cet angle : dans B 179, nos vecteurs W^{A(1)...A(2s+1)} dans un univers U_p(s),q(s) sont bien des TENSEURS D'ORDRE 2s + 1 DANS UN U_2,0. En conséquence, si nous posons s = 0 dans (5), nous obtenons, pour commencer :

 

10. s = 0 => s' = ½ (n – 1) , m = n – 1 , N = D^n-1(0) = 2^n-1

 

et, pour finir,

 

11. n = 2s + 1 => s' = s , m = 2s , N = 2^2s = dim_q U_p(s),q(s)

 

Un tenseur d'ordre 2s + 1 dans un U_2,0 est TOUJOURS un VECTEUR CLASSIQUE dans un U_p(s),q(s).

 

Pour s = s' = 0, n = 1 (vecteur W^A d'un U_2,0), m = 0 (classique), N = 1 (à un seul niveau de réalité).

 

Pour s = s' = ½, n = 2 (2-tenseur W^AB d'un U_2,0), m = 1 (vecteur simplement quantique du U_2,0, classique dans un U_3,1), N = 2 (à deux niveaux de réalité).

 

Pour s = s' = 1, n = 3 (3-tenseur W^ABC d'un U_2,0), m = 2 (vecteur doublement quantique du U_2,0, simplement quantique dans un U_3,1, classique dans un U_6,2), N = 4 (à 4 niveaux de réalité).

 

Pour s = s' = 3/2, n = 4 (4-tenseur W^ABCD d'un U_2,0), m = 3 (vecteur triplement quantique du U_2,0, doublement quantique d'un U_3,1, simplement quantique d'un U_6,2, classique d'un U_10,6), N = 8 (à 8 niveaux de réalité).

 

Et ainsi de suite.

 

D'après le corollaire 2 de spin-signature, pour s' = s + ½, le nombre total d'angles de polarisation est de :

 

12. (s' + 1)(2s' + 1) = (s + 1)(2s + 3) = (s + 1)(2s + 1) + 2(s + 1)         = s(2s + 3) + 2(s + 1) + 1

 

Il y a 2(s + 1) angles sphériques de plus que pour le spin s.

 

Plus généralement, pour s' = s + k :

 

13. (s + k + 1)(2s + 2k + 1) = (s + 1)(2s + 1) + k(4s + 2k + 3)         = s(2s + 3) + k(4s + 2k + 3) + 1

 

Il y a k(4s + 2k + 3) angles sphériques de plus.

 

Quelle que soit la valeur du spin, on ne dénombre qu'un seul angle hyperbolique.

 

 

Vous voyez, ce n'était pas bien long, mais suffisant pour bloquer le passage aux applications.

 

NOUVELLE VERSION, REVUE ET CORRIGEE

 

 

L’isomorphisme purement ensembliste spin_R(0) ~ R² ~ C nous apprend surtout qu’en théorie quantique, l’espace réel de départ n’est plus R, mais un espace réel de dimension DEUX. C’est une arithmétique où il s’agit de raisonner en puissances de 2, en se fondant sur la propriété remarquable de ce chiffre, le seul à vérifier 2 + 2 = 2 x 2. Je vais exposer ici un mécanisme qui permet d’expliquer le dédoublement des dimensions au sens classique du terme et sa relation avec le nombre quantique de spin. J’ai nommé ce mécanisme la « réplication de Pauli-Cantor », en référence aux travaux de Wolfang Pauli sur le spin des particules et de Cantor sur ces ensembles qu’on appela, bien plus tard, des « fractales lacunaires ». Mais auparavant, définissons la DIMENSION QUANTIQUE de spin_R(0) comme UNITé DE BASE. Ceci revient à dire qu’elle vaut LA MOITIé de sa dimension classique, qui est 2 :

 

(1)               Dim_q[spin_R(0)] = ½ Dim_c[spin_R(0)] = 1

 

et permet de se ramener graphiquement à une « droite quantique ».

 

Le mécanisme est le suivant.

 

On part de spin_R(0), que l’on se représente donc comme une droite quantique de longueur 2r_U finie. On fixe son origine en r = 0. Des deux côtés de cette origine, vous trouvez donc des « demi-droites » de même longueur r_U. Tant que la continuité de spin_R(0) n’est pas remise en cause, vous pouvez y introduire autant de matière hypothétique d’épaisseur nulle que vous voudrez, vous ne changerez pas le spin du cadre, qui restera à zéro.

 

Pour passer de s = 0 à s = ½, vous devez ROMPRE la continuité de spin_R(0). Pour cela, vous allez introduire une SINGULARITé DE PLANCK en r = 0, de longueur 2r_pl. Sous la présence de cette « impureté », spin_R(0) va se scinder en deux REPLIQUES de lui-même (puisque, partout ailleurs, le continuum n’étant pas violé, le spin reste à s = 0). Chaque réplique sera de longueur r_U - r_pl. Si vous les COUPLEZ, vous obtenez spin_R(1) = (x_c)² spin_R(0) = (x_t)² spin_R(0) et vous passez de la signature (2,0) à la signature (3,1).

 

Pour passer de s = ½ à s = 1, vous réitérez le procédé dans CHACUNE des deux répliques de spin_R(0). Leurs centres respectifs se situent en ½ (r_U - r_pl). Vous y introduisez une nouvelle singularité de Planck. ça vous en fait 2 de plus. Vous obtenez 4 répliques de spin_R(0), de longueur ½ (r_U - r_pl) - r_pl = ½ (r_U - 3r_pl). Leur couplage donne spin_R(2) = (x_c)⁴ spin_R(0) = (x_t)³ spin_R(0) et la signature (6,2).

 

On détaille encore une transition, pour bien asseoir la récurrence.

 

s = 1 -> s = 3/2 nécessite l’introduction de 4 nouvelles singularités de Planck, une au centre de chaque réplique. Ces centres se situent en ¼ (r_U - 3r_pl). ça vous donne 8 répliques de spin_R(0), de longueur ¼ (r_U - 3r_pl) - r_pl = ¼ (r_U - 7r_pl) et spin_R(3) = (x_c)⁸ spin_R(0) = (x_t)⁴ spin_R(0) avec la signature (10,6).

 

 

Le passage de la valeur s à la valeur s + ½ s’obtient en introduisant D(s)/2 = 2^2s singularités de Planck supplémentaires dans spin_R(0). Ceci vous donne D(s) répliques de spin_R(0) de longueur :

 

(1)               r_U(s) = 2^-2s{r_U - [D(s) - 1]r_pl}

 

et

 

(2)               spin_R(2s + 1) = (x_c)^D(s) spin_R(0) = (x_t)^2s+2 spin_R(0) = spin_R(2s) x_c spin_R(2s)

 

Le processus se poursuit tant que la longueur des répliques reste strictement supérieure à 2r_pl, seuil en deçà duquel plus aucune continuité n’est possible. L’égalité :

 

(3)               r_U(s) = 2r_pl

 

mène à une LONGUEUR CRITIQUE,

 

(4)               r_U,c(s) = [D(s + ½) - 1]r_pl = (2^2s+2 - 1)r_pl

 

de sorte que la condition de poursuite du processus est :

 

(5)               r_U >  r_U,c(s)

 

 

La finitude de la longueur caractéristique de spin_R(0) qui, par produit cartésien ou tensoriel, implique celle de spin_R(2s), est assurée par le résultat général suivant sur les espaces(-temps) PHYSIQUES :

 

 

 

LEMME DE COMPACITé

 

En reprenant les notations du corollaire 2 de spin - signature (B179), soient V₂ et V_p(s),q(s) des variétés spinorielles réelles dans spin_R(0) et spin_R(2s) respectivement, avec 2s dans N*. Alors :

 

i)                    V₂ est un domaine FERMé 2D de spin_R(0) ;

ii)                   V_p(s),q(s) est fermé dans les p(s) directions spatiales de spin_R(2s), ainsi que dans ses q(s) directions temporelles.

 

 

La preuve de ce lemme repose sur le caractère euclidien de spin_R(2s) dans ses p(s) directions spatiales comme dans ses q(s) directions temporelles, qui implique nécessairement que toute variété spinorielle V_p(s),q(s) courbe est un domaine spatialement et temporellement FERMé, bien qu’il ne le soit PAS dans les D(s) = 2^2s+1 directions au total, en raison de la signature hyperbolique [p(s),q(s)] de spin_R(2s). Pour s = 0, c’est évident, puisque spin_R(0) est purement spatial.

 

 

Un dernier point de détail, purement technique, reste à préciser.

 

Lorsqu’on travaille à partir de 4-vecteurs, on a l’habitude de représenter la phase d’un mouvement oscillant élémentaire comme k_ixⁱ. Spin - signature apporte une correction à cela. Si vous regardez la formule [B179, (9)], vous vous apercevez que le k_ixⁱ = k_ABx^AB est en fait le produit ELLIPTIQUE du covecteur d’onde k_i avec le vecteur position xⁱ. Cette notation vous mène désormais à une signature (4,0). Si vous voulez la signature (3,1), vous devez former le produit HYPERBOLIQUE k_ABx^BA = k_i(xⁱ)^t = (k_i)^txⁱ. Après ajustement du système d’axes, vous retrouvez la signature voulue :

 

(1)               k_ABx^BA = k₀₀x⁰⁰ + k₀₁x¹⁰ + k₁₀x⁰¹ + k₁₁x¹¹

      = ½ [(k₀₀ + k₁₁)(x⁰⁰ + x¹¹) + (k₀₀ - k₁₁)(x⁰⁰ - x¹¹) +

  + (k₀₁ + k₁₀)(x⁰¹ + x¹⁰) - (k₀₁ - k₁₀)(x⁰¹ - x¹⁰)]

      = k’₁x’¹ + k’₂x’² + k’₃x’³ - k’₀x’⁰

 

avec,

 

(2)               k’₁ = 2^-1/2(k₀₀ - k₁₁) , k’₂ = 2^-1/2(k₀₁ + k₁₀) , k’₃ = 2^-1/2(k₀₀ + k₁₁) , k’₀ = 2^-1/2(k₀₁ - k₁₀)

(3)               x’¹ = 2^-1/2(x⁰⁰ - x¹¹) , x’² = 2^-1/2(x⁰¹ + x¹⁰) , x’³ = 2^-1/2(x⁰⁰ + x¹¹) , x’⁰ = 2^-1/2(x⁰¹ - x¹⁰)

 

soit,

 

(4)               k’_i = 2^-1/2s_i^ABk_AB , x’ⁱ = 2^-1/2sⁱ_ABx^AB

(5)               g⁽⁰⁾_ijk^jxⁱ = ½ g⁽⁰⁾_ijs^j_ABsⁱ_CDk^ABx^CD

 

Remarquez que les produits des matrices s par les matrices k et x sont ELLIPTIQUES.