Au programme, aujourd’hui, analyse de plusieurs articles Wikipedia.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Ito_calculus

 

« we are integrating with respect to a non-differentiable function”

 

Au sens des FONCTIONS, sans doute. Mais au sens des DISTRIBUTIONS ? Sans doute pas. Le processus de base est celui de Wiener, qui est gaussien. Or, comme chacun sait, la gaussienne est C⁰⁰ (C l’infini)… De toute façon, toute FONCTION C⁰ se laisse étendre, depuis Schwartz, en une DISTRIBUTION, ce qui implique automatiquement une REGULARISATION. Au contraire, il FAUT passer du cadre trop restreint des fonctions à celui, beaucoup plus vaste, des distributions, pour aborder les problèmes de non-régularité, i.e. de non-différentiabilité. Inversé, cela veut dire que la non-différentiabilité des fonctions est un indice de L’INSUFFISANCE de la notion de fonction et de la nécessité à généraliser cette notion. Conséquence :

TOUT PROCESSUS STOCHASTIQUE DEVIENT REGULIER AU SENS DES DISTRIBUTIONS.

 

« The Itō integral allows one to integrate one stochastic process (the integrand) with respect to another stochastic process (the integrator).”

 

Non. Nous allons voir pourquoi plus loin.

 

« It is common for the integrator to be the Brownian motion (also see Wiener process).”

 

Non plus. Nous allons voir que ce type de processus est “statique” et n’est donc PAS adapté (en un sens, fort général d’ailleurs, que je préciserai) aux processus dynamiques, c’est-à-dire, dépendant d’un paramètre (en général, le temps) de façon CONTINUE.

 

« Then we are constructing Riemann sums.” Parce que l’intégrale d’Ito “is a generalization of the ordinary concept of a Riemann–Stieltjes integral.”

 

Pourquoi pas ? Le problème est que ce ne sont PAS les sommes de RIEMANN qui sont adaptées dans le cas C⁰, mais celles de LEBESGUE (sommation par paquets)…

 

« It is conceptualized in mathematical finance as that we are first deciding what to do, then observing the change in the prices. The integrand is how much stock we hold, the integrator represents the movement of the prices, and the integral is how much money we have in total including what our stock is worth, at any given moment.”

 

Je n’en doute pas un seul instant et cela prouve d’ailleurs que, la modélisation selon Riemann n’étant pas adaptée, c’est, en retour, L’APPROCHE DU RAISONNEMENT FINANCIER QUI DOIT ETRE MODIFIEE : tout comme les sommations sont REORDONNEES de Riemann à Lebesgue, eh bien, le raisonnement financier doit être réordonné. Sous peine d’inadéquation entre le raisonnement et sa modélisation.

 

« Numerous technical details have to be taken care of to show that this limit exists and is independent of the particular sequence of partitions.”

 

Voici un exemple type de difficultés purement techniques exigées par l’approche “sommes de Riemann”.

 

« The prices of stocks and other traded financial assets can be modeled by stochastic processes such as Brownian motion or, more often, geometric Brownian motion (see Black–Scholes)”

 

Apparemment, NON et ceci est contesté par certains analystes financiers, l’explication technique étant que ces actifs financiers EVOLUENT AU COURS DU TEMPS DE FaçON CONTINUE.

 

« the Itō stochastic integral represents the payoff of a continuous-time trading strategy consisting of holding an amount H_t of the stock at time t. In this situation, the condition that H is adapted corresponds to the necessary restriction that the trading strategy can only make use of the available information at any time. This prevents the possibility of unlimited gains through high frequency trading: buying the stock just before each uptick in the market and selling before each downtick.”

 

Alors, là, on n’est plus seulement dans le brownien, on entre dans le MARKOVIEN : la « mémoire » du système (connaissance de l’info) se limite à l’instant immédiatement précédent, le système est « sans mémoire ». C’est un cas BIEN PARTICULIER du mouvement brownien. Qui restreint encore plus le cadre. D’après l’explication, le processus en question est alors « adapté », ce qui évite la divergence de l’intégral d’Ito. Autrement dit, DèS QU’ON SE TROUVE EN FACE D’UN SYSTEME A MEMOIRE QUELCONQUE, LA TECHNIQUE D’ITO TOMBE EN DEFAUT…

Ceci, précisément parce que l’intégrale en question est une limite de sommes de Riemann…

 

Les analystes financiers commencent à froncer les sourcils ? C’est rien à côté de ce qui arrive.

 

« the integral is often written in differential form dY = H dX, which is equivalent to Y − Y₀ = H · X.”

 

Euh… encore non. (les mecs vont péter les plombs…) Désolé, non : la forme différentielle est essentiellement LOCALE, alors que la forme intégrale, elle, est essentiellement GLOBALE : même si sa borne supérieure est variable, ça reste une SOMMATION SUR UN INTERVALLE A BORNE SUPERIEURE VARIABLE… :)

Si on procédait comme indiqué, alors toute équation intégrale se laisserait ramener à une équation différentielle et ne nécessiterait pas l’élaboration de techniques spécifiques, comme les méthodes de Volterra et al.

 

« As Itō calculus is concerned with continuous-time stochastic processes, it is assumed that an underlying filtered probability space is given”

 

HEIN : C’EST PAS MOI QUI LE DIT !

L’intégrale de Riemann-Stieltjes, quant à elle, est définie comme une limite probabiliste de sommes de Riemann. Bon, alors, on effectue une limite sur une notion qui relève de l’intégration selon LEBESGUE, puisqu’on parle de distribution (probabilité = distribution) et on l’applique à l’intégration selon RIEMANN… 8(

Pourquoi faire simple quand on peut compliquer les choses ?...

Les sommes de Riemann ne sont adaptées qu’aux FONCTIONS. OR, on vient de nous expliquer que le calcul d’Ito n’est PAS adapté aux fonctions, puisque celles-ci ne sont PLUS régulières : s’agirait de s’entendre… :))

 

« An Itō process is defined to be an adapted stochastic process…”

 

Si on le dit… (ah, mais, je ne critique absolument pas l’auteur de l’article qui, au contraire, fait, à mon goût, un très bon article sur ce qui a été convenu précédemment)

 

« …which can be expressed as the sum of an integral with respect to Brownian motion and an integral with respect to time”

 

C’est là que ça devient proprement extraordinaire… :) Parce que, dans la formulation intégrale, il est considéré que la partie stochastique se construit à l’aide de sommes de RIEMANN, tandis que la partie déterministe se construit, elle, à partir de sommes de LEBESGUE… On associe donc les processus DETERMINISTES à l’intégrale de Lebesgue et les processus NON DETERMINISTES à l’intégrale de Riemann-Stieltjes…

Pourquoi ? Lebesgue seule, ça suffit pas ?...

J’avais CRU comprendre que les filtrations probabilistes se construisaient à partir de la notion abstraite de TRIBUS DE BOREL et qu’on utilisait l’intégration selon LEBESGUE, LA PLUS GENERALE DE TOUTES…

Comme disait le géomètre et Médaille Fields Jean-Christophe Yoccoz, dans les années 1990, « le hasard n’existe pas en mathématiques » : en maths, il n’y a pas de concept tel que le « hasard » ; une « probabilité » n’est qu’une « fonction-densité » particulière au milieu d’une infinité d’autres « fonctions-densité »… Il voulait dire par là que le « hasard » N’EST PAS UN OBJET MODELISABLE : ce n’est qu’un processus parmi tant d’autres…

Revenons au sujet. Le lemme d’Ito ne fournit autre que la dérivée TOTALE GAUSSIENNE d’une fonction : c’est la même expression que la dérivée totale par rapport au temps de la distribution de Gauss ; on sait que, pour toute fonctionnelle déterministe f[x(t),t] au moins C¹ en x(t), sa dérivée totale par rapport au temps est :

 

df[x(t),t]/dt = ðf[x(t),t]/ðt + [dx(t)/dt]ðf[x(t),t]/ðx(t)

 

Notons au passage que cette expression est INCORRECTE pour des fonctions de POINTS FIXES x telles que f(x,t), puisqu’on ne peut alors pas appliquer la règle de dérivation en chaîne. Il faut pour cela une « fonction de fonction », c’est-à-dire, une fonctionnelle. Ce qui change l’espace d’application (et sa dimension).

Pour la gaussienne en dim 1, f(x,t) = exp(-x²/4Dt)/(4pi.Dt)^1/2 (attention : points FIXES x !), on a :

 

ðf(x,t)/ðt = D.ð²f(x,t)/ðx²

 

L’écart-type étant s² = 2Dt, D = coeff de diffusion. On retrouve bien la dérivée SECONDE, typique des gaussiennes, par rapport à la variable x, de sorte que la dérivée totale par rapport au temps pour des processus tout ou partie gaussiens devient :

 

d/dt = ð/ðt + [dx(t)/dt]ð/ðx(t) + Dð²/ðx²(t)

 

Ah, Ah ! Mais il faut alors une FONCTION x(t), d’accord ?... :) Sinon : problèmes de construction…

Qu’à cela ne tienne, on passe de l’espace des x à celui des x(t) et on prend une gaussienne :

 

f[x(t),t] = exp[-x²(t)/4Dt]/(4pi.Dt)^1/2 ?...

 

Malheureusement, ça ne fonctionne pas comme ça…

 

« The discontinuities of the stochastic integral are given by the jumps of the integrator multiplied by the integrand”

 

La notion de SAUTS d’une fonction est justement à la base de l’élaboration du calcul des DISTRIBUTIONS à partir de l’intégrale de LEBESGUE… c’est exactement ça qu’on nous décrit là…

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_differential_equation, “Use in probability and mathematical finance”

 

D’accord sur l’écriture de l’équation différentielle stochastique, tant qu’on reste local, mais pas sur l’écriture de l’équation intégrale correspondante : soit on intègre suivant dB_u, comme écrit, et alors on n’a pas le même domaine d’intégration, soit on passe de dB_u à (dB_u/du)du et on peut utiliser le même domaine d’intégration…

On nous explique qu’on a une partie « normale » (Hollandienne, quoi) mu(X_t,t)delta (pourquoi pas s ? bref), déterministe donc prévisible à l’avance (c’est la moyenne – ça va pas plus haut, non lol –AH BIN, C’EST PAS MOI QUI SUIS A L’ORIGINE DE L’ETHYMOLOGIE !!!) et une partie « anormale » (Sarkozienne, quoi), de variance sigma²(X_t,t).delta (c’est le terme de « gesticulation permanente et imprédictible », puisque c’est la fluctuation…), « independent of the past behavior of the process », tout à fait, Thierry, et qui a même tiré un trait dessus.

 

« There are also more general stochastic differential equations where the coefficients μ and σ depend not only on the present value of the process X_t, but also on previous values of the process and possibly on present or previous values of other processes too. In that case the solution process, X, is not a Markov process, and it is called an Itō process”

 

Là, ce seraient aux AUTEURS de s’accorder entre eux sur ce qu’il convient de définir comme un “processus d’Ito”… Y sont même pas d’accords entre eux… :(

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion

ça fonctionne (presque) au poil en finance, sauf que… dans la réalité, « there is a higher chance of large price changes ». A part ces « menus détails », tout va bien.

 

 

QUEL EST LE PROBLEME ?

 

Bin, le problème, il est double :

1. un problème de construction, comme on l’a vu, et
2. un problème d’applicabilité.

 

On ne peut appliquer de processus de Wiener pour des variables DEPENDANT DU TEMPS DE FAçON CONTINUE : dans la « marche au hasard », le marcheur visite, au cours du temps, des sites FIXES, de manière ALEATOIRE. Lorsque ces sites deviennent MOBILES, comme c’est le cas dans les équa diff stochastiques, cette description n’est PLUS VALIDE et il faut utiliser, on le sait, l’approche « chemins » : à ce moment-là, le marcheur emprunte des CHEMINS DIFFERENTS au cours du temps, de manière ALEATOIRE. Les distributions de proba ne sont plus gaussiennes, les processus de base ne sont donc plus de Wiener et on ne peut plus les utiliser dans une équation d’évolution…

Il est FORMELLEMENT FAUX de changer x²/2Dt en x²(t)/2Dt, parce que, dans x²/2Dt, les sites x sont FIXES, alors que dans x²(t), ces sites (« points ») deviennent des COURBES, on passe d’un espace de POINTS à un espace de COURBES et on ne peut plus utiliser le temps t comme paramètre d’une courbe et dans l’écart-type, parce que t s’écoule SUR LES COURBES et non ENTRE LES COURBES… Dans x²/2Dt, le temps s’écoule ENTRE LES POINTS (d’un point à l’autre).

Le résultat correct, on le sait, est une ACTION, dont la partie cinétique est l’intégrale, sur le temps, de v²(t)/2D, avec v(t) = dx(t)/dt, qu’on peut obtenir intuitivement, en procédant de la manière suivante : x²(t)/2Dt = [x²(t)/2Dt²]t ->[dx²(t)/2Ddt²]dt = v²(t)dt/2D.

Expression TRES DIFFERENTE de celle de Wiener…

 

C’est tout. Tout le reste en découle.

 

Ces derniers jours, j’ai essayé de m’y retrouver un peu dans tout ce fatras. Pas évident. Il ressort déjà de tout ceci les considérations générales suivantes :

• la matière n’est PAS un processus, mais une substance ;
• pour y voir clair, il faut revenir à des grandeurs tridimensionnelles.

 

La matière, pas un processus, mais une substance :

Ça peut paraître évident, mais ça a des conséquences peut-être insoupçonnées. Parce que la pensée est un processus. D’une part. En conséquence, elle ne saurait constituer de la matière, sous quelque forme que ce soit. Ah… D’ailleurs, ça s’accorde très bien avec le fait que l’activité cérébrale, le signal nerveux, se mesure en Volts et non en Ampères. On a donc bien affaire à un champ et non à ses sources. Or, si ses sources sont matérielles, le champ, lui, ne l’est pas. D’autre part, Changeux explique bien que les objets mentaux occupent, dans le processus mental, des espaces délimités. Lorsqu’il dit que « la matérialité des images mentales ne fait aucun doute », il se réfère évidemment aux sources physiques de ces images mentales, à savoir, les charges ioniques qui traversent les membranes neuronales et déclenchent (ou pas) l’influx nerveux. Physiquement, il est impossible que des objets quelconques obéissant à une statistique de Bose-Einstein puissent constituer une « matière » quelconque. Comme, dans la machine cérébrale, la conscience, qu’elle soit primaire ou d’ordre supérieur, est un ensemble évolutif d’objets mentaux (percepts, images de mémoire et concepts), dont l’enchaînement, régulé, constitue la pensée, si aucun de ces objets mentaux n’a de consistance matérielle (au sens le plus large du terme, j’insiste bien là-dessus), par combinaisons, la conscience ne peut constituer de matière.

Si ce n’est pas de la matière, alors qu’est-ce que ça peut bien être ?

De L’ESPACE. Et du TEMPS. Mais pas ordinaires, mentaux. Nous avons vu que les potentiels de champ constituaient un système de coordonnées Aⁱ dans l’espace-temps électromagnétique fixe EM et les champs Aⁱ(x), un système de coordonnées dans l’espace-temps électromagnétique mobile EM(x). Il s’ensuit que A est bien de l’espace et cA⁰ = phi du temps. Mais les distances dans cet espace « magnétique » se mesurent en Tm et non plus en m, tandis que les durées s’y mesurent en Vm et non plus en s. Quelle importance ? Aucune : les systèmes d’unités non rien d’universels, c’est nous qui nous les fixons. Ce qui est universel, c’est que l’espace-temps électromagnétique est de nature physique différente de celle de l’espace-temps ordinaire. C’est ça qui importe : on n’est plus du tout dans le même cadre, il faut donc s’attendre à ce que, si ce cadre est peuplé d’objets physiques, ces objets auront des natures et des propriétés radicalement différentes de la matière et du rayonnement ordinaires, même quantiques. Une nouvelle forme de matière, avec de nouveaux états.

Le tout est de savoir si nous pouvons ou non nous en faire une idée, à partir de ce que nous pouvons observer en dimension 4.

Ce n’est pas impossible, puisque nous observons bien les champs électromagnétiques. Nous observons donc les projections du cadre électromagnétique au sein de notre espace-temps. En outre, nous avons également vu que, sous réserve d’inversibilité, on pouvait se ramener à une paramétrisation interne en A(phi). Donc, pour le moment, rien ne semble hors de portée.

Revenons donc à la dynamique dans EM(x).

La position de « repos » y est donnée par F_ij(x) = 0 : c’est l’analogue de v(t) = 0 dans E³. Avec un seul paramètre de mouvement, l’invariance de v est assurée par la translation de vecteur constant x(t) -> x(t) + x₀. A plus d’un paramètre de mouvement et, a fortiori, à 4 paramètres, l’invariance de F_ij est, on le sait, on l’a dit, mais on le répète quand même, assurée par la translation A_i(x) -> A_i(x) + ð_if(x), où f(x) est un champ scalaire absolument quelconque. Il y a de l’arbitraire dans les deux translations : x₀ peut être choisi de n’importe quelle valeur, mais ð_if(x) est, en plus, variable. Il en résulte que la position de repos F_ij(x) = 0 a pour solution générale l’expression exacte A_i(x) = ð_iC(x), mais C(x) n’est plus arbitraire, car le choix de la jauge de Lorentz nous amène à ðⁱð_iC(x) = 0, c'est-à-dire C(x) harmonique dans X et donc, de la forme exp(±ikx) [quoique des solutions réelles en exp(±kx) soit également possibles, du moment que k² = kⁱk_i = 0], en régime entretenu. F_ij(x) = 0 entraînera bien sûr J_i = 0, qu’on soit en linéaire ou pas : si le « corps » considéré dans EM est au repos (ou dans son référentiel de repos), aucune « force » extérieure ne s’exerce sur lui. Par dérivation, C(x) ~ exp(±ikx) nous amène à A_i(x) ~ ± ik_iC(x) et kⁱk_i = 0, à k² = (k⁰)², soit v_ph = v_gr = c :

 

LA POSITION DE REPOS DANS L’ESPACE-TEMPS ELECTROMAGNETIQUE SE SITUE GEOMETRIQUEMENT

SUR LE CÔNE DE LUMIERE ORDINAIRE.

 

Un observateur de X verra, lui, l’objet « au repos » se déplacer à la vitesse de la lumière : c’est parfaitement normal, puisque les champs électromagnétiques se propagent à cette vitesse et donc que, par relativité, l’espace-temps EM se déplace par rapport à tout observateur de X à la vitesse de la lumière c. Rien ne devrait choquer là-dedans : dans toute la relativité einsteinienne, un observateur A, fixe, voit un observateur B en mouvement se déplacer à la vitesse v, alors que B, lui, reste fixe dans son référentiel propre.

On constate que ce résultat reste valable pour les régimes entretenus plus généraux, de la forme C(x) ~ exp[± ∫ k_i(x)dxⁱ], qui donnent ðⁱk_i(x) + ikⁱ(x)k_i(x) = 0, d’où à la fois ðⁱk_i(x) = 0 (transversalité) et kⁱ(x)k_i(x) = 0 (genre lumière local), d’où encore v_ph = v_gr = c, mais localement seulement.

Des corps au repos qui se déplaceraient déjà à c pour un observateur de X, ça augure déjà de l’exotisme… :) L’exotisme en question provient du fait qu’on change complètement de cadre, mais que ce cadre reste fonctionnellement lié à X.

Ensuite, de F_ij(x) = [E(x,t)/c , B(x,t)], on extrait deux champs de vitesses 3D dans EM(x) et non plus un seul. La raison de ceci vient du fait que A_i est 4-vectoriel et que les paramètres de mouvement forment un autre 4-vecteur xⁱ. Comme on le sait, E est polaire, tandis que B est axial. Ça veut dire que, sous inversion spatiale :

 

(1)       P : E(x,t) -> E(-x,t) = -E(x,t)   ,   B(x,t) -> B(-x,t) = B(x,t)

 

et sous renversement du temps :

 

(2)       T : E(x,t) -> E(x,-t) = -E(x,t)   ,    B(x,t) -> B(x,-t) = B(x,t)

 

Ceci, parce que A(x,t) est un vecteur polaire et f(x,t), un vrai scalaire :

 

(3)       P : A(x,t) -> A(-x,t) = -A(x,t)   ,   phi(x,t) -> phi(-x,t) = phi(x,t)

(4)       T : A(x,t) -> A(x,-t) = A(x,t)    ,    phi(x,t) -> phi(x,-t) = -phi(x,t)

 

Résultat : sous la combinaison PT,

 

(5)       PT : E(x,t) -> E(-x,-t) = E(x,t)   ,   B(x,t) -> B(-x,-t) = B(x,t)

 

et donc, F_ij(x) reste bien invariant sous PT. Et après ? Et après, la vitesse ordinaire v(t) est toujours polaire : x(t) -> -x(t) par P entraîne v(t) -> -v(t) par P : la vitesse ordinaire suit l’orientation de l’espace. Comme x(t) est polaire (puisque x l’est), x(-t) = -x(t) par T (on fait le chemin inverse), d’où v(-t) = v(t) (et à la même vitesse – on est dans le réversible). La combinaison PT me donne maintenant PT : v(t) -> -v(-t) = -v(t). La vitesse ordinaire n’est PAS conservée par PT, mais inversée. Elle n’est conservée que par T seule.

Moralité : c’est la transformation sur les paramètres qui conservent les vitesses.

Reste que v(t) est un vecteur, c’est-à-dire, un 1-tenseur, alors que F_ij(x) est un 2-tenseur. Ça veut dire que v(t) se projette sur le système d’axes de E³(t), tandis que F(x) se projette sur les plans de EM(x). Et la « vitesse » axiale B(x,t) n’a pas d’équivalent dans E³. Le mouvement dans EM(x) s’avère ainsi beaucoup plus compliqué que dans X(s) : d’abord, parce qu’il y a 2 vitesses au lieu d’une seule ; ensuite, parce que ces vitesses se projettent sur des plans et non plus sur des axes : E se trouve sur les 3 plans spatio-temporels (x⁰x¹), (x⁰x² et (x⁰x³) et B sur les 3 plans spatiaux (x²x³), (x³x¹ et (x¹x²). La situation est analogue aux spineurs : 1 spineur de Dirac = 2 spineurs de Pauli, puisqu’il s’agit de représentations de SO(3,1) » SO_s(3)xSO_st(3). Ici, 1 champ de 4-vitesses = 2 champs de 3-vitesses. On ne voit rien de tout ça en restant en dimension 4. De plus, on a besoin de regarder la statique dans EM.

Soyons logiques : si la position de repos dans EM s’observe déjà comme un mouvement à la vitesse c dans X, alors tout mouvement à des vitesses E et B différentes de zéro dans EM doit se produire, dans X, à des vitesses > c et ce, quelle que soit l’orientation spatiale et/ou temporelle des vecteurs électrique E et magnétique B. C'est-à-dire que le mouvement se situe dans le tachyonique de X et n’est donc plus observable depuis l’intérieur du cône de lumière de X. Mais, E(x,t) et B(x,t) sont parfaitement observables, alors ?...

Attends, mon frère, attends… : c’est le dawa… :)) comme d’hab’ !

OBSERVER (SA PHYSIONOMIE !) E(x,t) et B(x,t) depuis X, c’est observer des VITESSES dans EM(x). Pas compliqué, non ? alors, pourquoi je suis paumé ?...

PAR CONTRE (SA SMALA HONTE !), ni A(x,t), ni phi(x,t) ne sont directement observables dans X, puisqu’ils ne sont pas directement mesurables, se définissant à une forme exacte près. Donc, ni la POSITION, ni la DUREE dans EM ne sont observables depuis X.

Pas étonnant que je sois paumé : tu peux observer les vitesses, mais pas les positions, ni les durées… :( c’est ‘core du mouvement à la « one again », ça… lol

Il est vraiment temps que je change d’activité… lol

C’est quoi, ce truc de NAZE, franchement ? Tu peux pas évaluer la position du gonze, tu peux juste le voir débouler… et encore… sur le papier.

De toute façon, une chose est (pratiquement) acquise en physique : la région extérieure au cône de lumière n’est PLUS en dimension 4. Alors, soit on rajoute des dimensions, mais pas n’importe comment, ni pour arranger la sauce, parce que ça modifie la forme des potentiels de champs, soit on change de cadre.

On change bien de cadre entre la 3D et la 4D : d’un espace compact, on passe à un espace-temps ouvert. Bon, ici, on change complètement. Et après ?

Je vais me faire une tige.

DUGENOU QUE JE SUIS ! Si, si, je suis vraiment Duduge : la position, elle est connue PAR RAPPORT A LA POSITION DE REPOS. A_i(x) -> A_i(x) + ð_iC(x) : ð_iC(x) est la position de repos dans EM(x).

 

LA POSITION D’UN CORPS HYPOTHETIQUE DANS EM S’EVALUE

PAR RAPPORT A SA POSITION DE REPOS, DONC PAR RAPPORT AU CÔNE DE LUMIERE.

 

On est bien à l’extérieur du cône de lumière et on change bien de cadre physique ! Pour un observateur de X, de tels « mouvements » seraient interprétés comme tachyoniques, donc acausaux. Mais, pour un observateur de EM, le mouvement est A(phi) qui, lui, reste tout à fait causal, puisque A_iAⁱ >=0 est la condition de causalité dans EM (genre électrique, analogue du genre temps). En résumé :

1. les objets mentaux, la conscience, la pensée, ne constituent pas de la « matière mentale », mais de l’espace magnétique et du temps électrique ;
2. A L’INTERIEUR de ces volumes d’espace magnétique peut se trouver UNE TOUTE AUTRE FORME DE MATIERE, DONT LE MOUVEMENT S’EFFECTUE AU COURS DU « TEMPS ELECTRIQUE » ;
3. Cette matière hypothétique se trouve au repos SUR LE CÔNE DE LUMIERE et en mouvement A L’EXTERIEUR DE CE CÔNE : elle n’est pas observable depuis l’intérieur du cône et n’appartient même pas à l’espace-temps ordinaire.

 

Les champs électromagnétiques et, en particulier, l’activité nerveuse, servent de CADRE PHYSIQUE à ces objets hypothétiques. On est vraiment complètement sorti de X. Il n’y a que des relations PROJECTIVES, fonctionnelles, entre EM et X : X sert d’espace-temps paramétrique à EM. Tout ceci est déjà contenu dans la théorie de Maxwell et dans toute théorie physique du champ, d’ailleurs.

Que la conscience subsiste ou pas en tant que système évolutif complexe autorégulé en état de mort clinique importe peu désormais : le CADRE PHYSIQUE, lui, subsiste forcément, sous sa forme électromagnétique. Ce qui nous importe, désormais, c’est de savoir si, oui ou non, il existe « autre chose », « à l’intérieur » de cette conscience : ce serait alors ça qui subsisterait, parce qu’elle n’aurait aucune raison de disparaître.

On peut déjà se faire une idée de ce à quoi ressemble l’espace-temps électromagnétique : contrairement à notre univers 4D, où le vide apparaît noir, parce qu’il est extrêmement pauvre en rayonnement, le vide dans l’univers électromagnétique devrait apparaître BLANC, parce que cet univers-là BAIGNE TOUT ENTIER DANS LA LUMIERE ELECTROMAGNETIQUE : la base, c’est la lumière ; ensuite la « matière », c’est de la distribution µ_y(A,phi)d³A, dans un élément de volume d’espace magnétique d³A.

 

On a le cadre (pas dommage…). Y a plus qu’à le remplir… :)

 

On va maintenant étendre la théorie de Maxwell à la situation non linéaire. Une telle situation peut se présenter dans les réseaux électromagnétiques complexes présentant des boucles de réentrée, comme les réseaux de neurones, par exemple. A grande échelle, ces réseaux apparaissent très denses, ce qui justifie pleinement la description en distributions de charges et de courants et en champs continus. Si la linéarité se justifie dans les systèmes de charges inertes peu complexes, elle devient difficile à maintenir dans les très grands systèmes de charges tels que ceux présents dans les organismes vivants et pensants. Ceci, précisément parce que les champs produits par les charges en déplacement dans l’espace se couplent aux courants sources (voir la partie potentielle du lagrangien de Maxwell) et que ce couplage n’a plus de raison de rester linéaire dans les systèmes organisés, structurés, hiérarchisés et, qui plus est, évolutifs. En tant que système de régulation des processus mentaux, la pensée est un système vivant et non inerte. Elle possède la propriété d’être autonome, ce qui est la caractéristique fondamentale des systèmes vivants. En outre, le cerveau forme typiquement un système en auto-interaction : « le cerveau est plus en rapport avec lui-même qu’avec n’importe quoi d’autre » (Edelman). Son activité électromagnétique (la pensée) forme donc un système typiquement auto-couplé. Or, même s’il apparaît explicitement dans la partie potentiel du lagrangien, l’auto-couplage n’est PAS décrit par la théorie linéaire de Maxwell, puisqu’il aboutit immédiatement à des infinis non renormalisables (à cause des potentiels newtoniens). D’où la nécessité de passer au non-linéaire.

On reprend le cas du point matériel de masse m animé d’une vitesse v dans l’espace E³ et soumis, cette fois, à un champ de forces f(x,t). La fonction de Lagrange est :

 

1. L_nr[x(t),v(t),t] = mv²(t)/2 + ∫ f[x(t),t].dx(t)

 

où le point x d’application de la force coïncide évidemment avec le point x(t) où se situe le mobile à l’instant t (sinon, l’influence de la force sur la trajectoire de ce mobile n’a pas de sens). Les équations de Lagrange conduisent aux équations de mouvement de Newton :

 

2. ðL_nr/ðv(t) = p(t) = mv(t) , dp(t)/dt = ðL_nr/ðx(t) = f[x(t),t]

 

Intégrer ce système d’EDOs consiste à exprimer la position x(t) du mobile à l’instant t en fonction d’un couple de paramètres (position et vitesse initiales) et de la fonction force F(t) = f[x(t),t] en inversant la dépendance fonctionnelle :

 

3. x(t) = x(0) + v(0)t + X[F(t),t]  ,  X = 0 quand F(t) = 0 pour tout t.

 

En l’absence de toute force extérieure, on retrouve évidemment le mouvement libre (ou inertiel), x(t) = x(0) + v(0)t, solution du système homogène dp(t)/dt = 0 (pour une masse constante, j’ai oublié de le préciser). La partie X[F(t),t] représente donc l’écart au mouvement libre, i.e. le mouvement perturbé (non inertiel).

Transposons ces résultats à l’espace-temps électromagnétique EM. La densité de lagrangien attendue est de la forme :

 

4. L_EM[A(x),F(x),x] = F_ij(x)F^ij(x)/2µ + ∫ J_i[A(x),x]dAⁱ(x)

 

où la densité de 4-courant J_i se met à dépendre fonctionnellement des potentiels de champ produits. Le terme cinétique, lui, ne change pas et n’a pas aucune raison de changer. Les équations de Lagrange conduisent maintenant aux équations de champs non linéaires :

 

5. ðL_EM/ðF^ij(x) = P_ij(x) = F_ij(x)/µ  ,  ðⁱP_ij(x) = ðL_EM/ðA^j = J_j[A(x),x]

 

Cette fois, intégrer (5), c’est inverser la dépendance fonctionnelle entre les A_i et les J_i :

 

6. A_i(x) = A^(ond)_i(x) + C_i[S(x),x]  ,  S_i(x) = J_i[A(x),x]

 

Les A^(ond)_i(x) sont les solutions du système homogène ðⁱP_ij(x) = 0, i.e. les ondes électromagnétiques. Ce sont les analogues du mouvement libre. En fonction de ce qui a été bidouillé au n°1, nous pouvons même affirmer, désormais, que ce SONT les mouvements libres dans EM et que les écarts à ces mouvements libres sont donnés par la partie perturbative C_i[S(x),x]. Dans le cas maxwellien, cette dernière partie est donnée par une intégrale volumique sur la boule de Kirchhoff  R² = |x – x’|² <= c²t² (région causale de X) du 4-courant j_i(x) avec retard t – R/c et noyau newtonien 1/4piR, en tous les points x’ <> x. Dans le cas non linéaire, on ne s’attend évidemment plus à une forme aussi simple. Si l’on développe les J_i en puissances des Aⁱ(x) au voisinage de Aⁱ(x) = 0, on trouve :

 

7. J_i[A(x),x] = j_i(x) + j_ij(x)A^j(x) + ½ j_ijk(x)A^j(x)A^k(x) +…

 

tous les coefficients étant symétriques. Maxwell correspond à l’ordre zéro ; à l’ordre 1, on obtient le système d’EDPs encore linéaires :

 

8. ðⁱP_ij(x) = j_j(x) + j_jk(x)A^k(x)

 

mais dont les solutions ne sont PLUS des champs à portée illimitée, mais limitée. Ceci se traduit, dans la partie potentielle de la densité de lagrangien, par un terme d’auto-interaction ½ j_ij(x)Aⁱ(x)A^j(x) du champ électromagnétique avec lui-même. Ce seul terme supplémentaire suffirait à inclure le cas de la pensée, en tous cas, d’un système « en rapport avec lui-même ».

A partir de l’ordre 2, les équations de champs deviennent non linéaires. Ceci se traduit par des termes d’auto-couplages de la forme Aⁱ(x)A^j(x)A^k(x) et au-delà dans la partie potentielle de la densité de lagrangien. On voit que, plus on développe, i.e. plus la densité de 4-courant se régularise par rapport aux A_i(x), plus les termes d’auto-couplages se développent. La situation est un peu similaire à celle que l’on trouve dans le développement des intégrales de Feynman. Maxwell correspond maintenant à une distribution de courants-charges totalement irrégulière en les potentiels de champ (c’est paradoxal, mais c’est comme ça). Un seul degré de régularité et la portée du champ devient finie, les conséquences physiques changent radicalement de nature. Rien qu’à l’ordre 1, on peut déjà envisager un système de pensée qui soit un champ électromagnétique complexe, évolutif et COMPACT. Un champ qui ne sortira pas d’un volume spatial délimité. Pour s’en assurer, il suffit de considérer le cas, très simplifié, j_ij(x) = g_ijk²/µ, avec k en m^-1 et µ = cte (1/µ est une densité !). La partie cinétique étant inchangée, on peut rester dans la jauge de Lorentz ¶ⁱA_i = 0 dans laquelle (8) s’écrit :

 

9. ðⁱð_iA_j(x) = µj_j(x) + g_jkk²A^k(x) = µj_j(x) + k²A_j(x)

 

Comme k² = kⁱk_i est un carré de Casimir, on obtient, dans le vide de charges : ðⁱð_iA_j(x) = k²A_j(x), ce qui conduit bien à des solutions de la forme exp(-k.x), kx >= 0 et à une portée 1/|k| finie (Maxwell se retrouve pour k² = 0, i.e. k_i = 0 ou seulement k_i du genre lumière).

Perso, je trouve que Wellmax, ça sonne mieux : ça "pète". Oui, on va causer de la riothé de Wellmax (pas confondre avec le RIZ AU THé, tiré du livre de recettes de Guy Martin... - le spécialiste du curcuma !)

M'sieur Momo, commencez pas déjà de régoler, hein ! (sinon, on n'a pas fini)

On commence par revisiter la théorie de Maxwell. Peut-être a-t-elle encore des choses à nous apprendre ? Nous verrons. On part de la densité de lagrangien :

 

1. L_Max = F_ij(x)F^ij(x)/2µ + j_i(x)Aⁱ(x)               (en J/m³)

 

où les A_i(x) sont les potentiels de champ, en Tm ; les F_ij(x) = ð_iA_j(x) - ð_jA_i(x), les intensités de champ, en T ; j_i(x), la densité de 4-courant, en A/m² et µ, la perméabilité magnétique du milieu matériel (µ = µ₀ dans le vide), en T²m³/J. Tout cela est (plus que) bien connu. Que peut-on en tirer de plus ? Si l’on s’extrait de l’espace-temps ordinaire 4D X, de coordonnées xⁱ = (x⁰ = ct, x), métrique g_ij de Minkowski, pour se placer dans l’espace-temps fonctionnel EM(x), de coordonnées Aⁱ(x) = [A⁰(x) = phi(x)/c, A(x)], on remarque tout d’abord que (1) prend la forme galiléenne, i.e. quadratique en les dérivées premières F_ij(x) des nouvelles coordonnées. Ces F_ij(x) faisant office de composantes de la « vitesse » dans EM(x), on trouve une analogie de structure avec la fonction de Lagrange d’un corps rigide (« point matériel ») de masse m en mouvement non relativiste dans l’espace ordinaire 3D E³, soumis à une force extérieure f(t) :

 

2. L_nr[x(t),v(t),t] = mv²(t)/2 + f(t).x(t)

 

où v(t) = dx(t)/dt est le vecteur vitesse du mobile. Si l’on pousse plus loin cette analogie, on est amené à se dire que les j_i(x) jouent le rôle des composantes d’une « force extérieure » dans EM(x), tandis que 1/µ y joue le rôle de « masse ». Bon. Mais « masse » de quoi ? Du champ électromagnétique, c’est-à-dire, du photon ? Non. Cette « masse » n’a rien à voir avec le champ. Reprenons (2) : les x(t) y représentent le cadre [l’espace mobile E³(t)] et, par suite, le mouvement du corps incident dans ce cadre, au cours du temps ; la masse m, elle, est une propriété physique du corps incident, complètement séparée de son mouvement, puisque le corps possède une masse même s’il est au repos. En transposant ces considérations à l’espace-temps mobile EM(x), on voit que les Aⁱ(x) y représentent le cadre et, par suite, le « mouvement » (à 4 paramètres, à présent) d’un « corps » quelconque dans ce cadre, « à travers » l’espace-temps « extérieur » X et que la « masse » 1/µ est une propriété physique de ce « corps », qui n’a rien à voir avec le cadre, i.e. les champs électromagnétiques.

Présentons les choses un peu différemment : les potentiels électromagnétiques Aⁱ(x) dans l’espace-temps « extérieur » X traduisent le « mouvement » d’un « corps » situé dans l’espace-temps électromagnétique EM (fixe !), de « masse » 1/µ. Un observateur situé dans X analysera ce « mouvement » comme un potentiel électromagnétique et la « masse » d’un corps de EM comme l’inverse de la perméabilité magnétique du milieu observé, soit encore comme le produit (epsilon x c²) de la permittivité électrique de ce milieu par le carré de la vitesse de la lumière.

Mais de quels « milieux matériels » parlons-nous ici ? De systèmes de charges électriques. C’est cela qu’il faut entendre par « milieux matériels » en électromagnétisme. La matière pesante, grave, ou encore inerte, n’est absolument pas concernée ici, elle relève de la gravitation. Ça veut dire quoi ? Que si µ est constante dans le « vide », il s’agit, soit du vide de charges électriques, soit de l’espace(-temps) situé en dehors des systèmes de charges électriques. En conséquence, µ ne peut varier qu’à l’intérieur des systèmes de charges. En remontant dans EM, on est amené à en conclure que les « corps » de « masse » 1/µ susceptibles d’exister dans EM ne peuvent avoir des masses différentes et/ou variables que si et seulement si ces « corps » sont présents à l’intérieur de systèmes de charges électriques, comme des plasmas, par exemple. Hors de ces systèmes, tous les « corps » de EM ont la même masse 1/µ₀.

Le lecteur tatillon n’aura pas manqué de remarquer que les Aⁱ ne sont pas euclidiens. Et de se demander comment donc on pourrait en tirer des corps compacts…

C’est que Maxwell se base sur une paramétrisation externe, avec paramètres cinématiques xⁱ. Dans ce type de paramétrisation, les « distances » dans EM se mesurent en Tm et les « durées », en m. On peut en tirer une paramétrisation interne, en exprimant les xⁱ en fonction du potentiel scalaire phi et en reportant ces expressions dans A(x) :

 

3. phi = phi(x) => xⁱ = Xⁱ(phi) => A(x) = A[X(phi)] = A’(phi)

 

sous réserve de condition de régularité (jacobien non nul) assurant l’inversibilité de la transformation. Evidemment, si l’on avait cherché à éliminer les 4 xⁱ en utilisant les 4 Aⁱ, on aurait tourné en rond… ce n’est pas ça qui nous intéresse ici. Ce qui nous intéresse, c’est de construire une paramétrisation exempte de l’espace-temps ordinaire X. Modulo un abus de langage non vulgaire, nous continuerons à utiliser A dans la dépendance A(phi).

A présent, nous pouvons considérer des « corps » compacts dans EM, dont les volumes s’étendent dans les 3 dimensions « magnétiques » A, dont les « masses » sont en 1/µ, avec µ constante ou variable (si le milieu est hétérogène et/ou anisotrope, µ se met à dépendre des xⁱ, comme la masse ordinaire m peut varier au cours du temps) et qui suivent des trajectoires A(f) « au cours du temps électrique » f, sous l’influence de « forces extérieures » j(phi).

On est complètement sorti de l’espace-temps de base X…

Mais on s’est placé dans le véritable cadre naturel de la théorie de Maxwell : la paramétrisation externe, ou représentation en champs, n’est utilisée que parce que nous observons les phénomènes électromagnétiques depuis « notre » univers 4D. « Au-dessus », on n’observe pas directement. D’ailleurs, les A_i(x) ne sont PAS mesurables depuis X, alors qu’ils le deviennent dans EM, ce qui prouve bien que EM se situe géométriquement « au-dessus » de X. Je n’emploie pas ici le langage des fibrations, parce que EM n’est PAS l’isoespace U(1) de la théorie électromagnétique quantique. Les 4 composantes Aⁱ ont beau être des projections DU potentiel électromagnétique sur les 4 axes de X, il n’en reste pas moins que, A étant vectoriel, il y a bel et bien quatre potentiels de champ et non un seul. Si l’on travaillait dans l’isoespace (ou espace des charges), on n’aurait QU’UNE SEULE composante « interne ». Mais, ici, il n’est pas question d’états de charges, il est question de champs : ce n’est pas la matière (ordinaire, qui plus est !) que l’on regarde, mais ses interactions. Enfin, chacun sait bien que l’espace qui nous entoure est immatériel (et le temps encore plus), de sorte que les xⁱ représentent quelque chose d’immatériel, mais de physiquement trivial. En revanche, non seulement les Aⁱ représentent quelque chose de tout aussi immatériel, puisque les Aⁱ(x) sont des potentiels de jauge et que le champ électromagnétique (le champ, pas les sources !) est quelque chose de foncièrement immatériel mais, contrairement aux xⁱ, les Aⁱ ont une nature physique tout à fait définie et claire : l’espace-temps EM est un espace-temps électromagnétique, donc éminemment physique.

 

La théorie de Maxwell n’avait plus rien à nous apprendre « depuis longtemps » ? Pas sûr. Elle pourrait bien ouvrir, au contraire, sur le cadre des objets et phénomènes PSI.

A condition de la regarder, non pas comme une nouvelle théorie, mais sous un œil neuf.

 

 

Blog un peu fourre-tout, où l'halluciné des signes cabalistiques y trouvera divers travaux destinés à occuper... ma retraite. :)

On y cause surtout de physique fondamentale et de ses applications, un peu de maths, selon mon humeur du jour... :)

Et sans se prendre au sérieux.

Bonne lecture (enfin, bon courage) lol

Doc La Bidouille, 7 juin 2012