On va maintenant étendre la théorie de Maxwell à la situation non linéaire. Une telle situation peut se présenter dans les réseaux électromagnétiques complexes présentant des boucles de réentrée, comme les réseaux de neurones, par exemple. A grande échelle, ces réseaux apparaissent très denses, ce qui justifie pleinement la description en distributions de charges et de courants et en champs continus. Si la linéarité se justifie dans les systèmes de charges inertes peu complexes, elle devient difficile à maintenir dans les très grands systèmes de charges tels que ceux présents dans les organismes vivants et pensants. Ceci, précisément parce que les champs produits par les charges en déplacement dans l’espace se couplent aux courants sources (voir la partie potentielle du lagrangien de Maxwell) et que ce couplage n’a plus de raison de rester linéaire dans les systèmes organisés, structurés, hiérarchisés et, qui plus est, évolutifs. En tant que système de régulation des processus mentaux, la pensée est un système vivant et non inerte. Elle possède la propriété d’être autonome, ce qui est la caractéristique fondamentale des systèmes vivants. En outre, le cerveau forme typiquement un système en auto-interaction : « le cerveau est plus en rapport avec lui-même qu’avec n’importe quoi d’autre » (Edelman). Son activité électromagnétique (la pensée) forme donc un système typiquement auto-couplé. Or, même s’il apparaît explicitement dans la partie potentiel du lagrangien, l’auto-couplage n’est PAS décrit par la théorie linéaire de Maxwell, puisqu’il aboutit immédiatement à des infinis non renormalisables (à cause des potentiels newtoniens). D’où la nécessité de passer au non-linéaire.

On reprend le cas du point matériel de masse m animé d’une vitesse v dans l’espace E³ et soumis, cette fois, à un champ de forces f(x,t). La fonction de Lagrange est :

 

1. L_nr[x(t),v(t),t] = mv²(t)/2 + ∫ f[x(t),t].dx(t)

 

où le point x d’application de la force coïncide évidemment avec le point x(t) où se situe le mobile à l’instant t (sinon, l’influence de la force sur la trajectoire de ce mobile n’a pas de sens). Les équations de Lagrange conduisent aux équations de mouvement de Newton :

 

2. ðL_nr/ðv(t) = p(t) = mv(t) , dp(t)/dt = ðL_nr/ðx(t) = f[x(t),t]

 

Intégrer ce système d’EDOs consiste à exprimer la position x(t) du mobile à l’instant t en fonction d’un couple de paramètres (position et vitesse initiales) et de la fonction force F(t) = f[x(t),t] en inversant la dépendance fonctionnelle :

 

3. x(t) = x(0) + v(0)t + X[F(t),t]  ,  X = 0 quand F(t) = 0 pour tout t.

 

En l’absence de toute force extérieure, on retrouve évidemment le mouvement libre (ou inertiel), x(t) = x(0) + v(0)t, solution du système homogène dp(t)/dt = 0 (pour une masse constante, j’ai oublié de le préciser). La partie X[F(t),t] représente donc l’écart au mouvement libre, i.e. le mouvement perturbé (non inertiel).

Transposons ces résultats à l’espace-temps électromagnétique EM. La densité de lagrangien attendue est de la forme :

 

4. L_EM[A(x),F(x),x] = F_ij(x)F^ij(x)/2µ + ∫ J_i[A(x),x]dAⁱ(x)

 

où la densité de 4-courant J_i se met à dépendre fonctionnellement des potentiels de champ produits. Le terme cinétique, lui, ne change pas et n’a pas aucune raison de changer. Les équations de Lagrange conduisent maintenant aux équations de champs non linéaires :

 

5. ðL_EM/ðF^ij(x) = P_ij(x) = F_ij(x)/µ  ,  ðⁱP_ij(x) = ðL_EM/ðA^j = J_j[A(x),x]

 

Cette fois, intégrer (5), c’est inverser la dépendance fonctionnelle entre les A_i et les J_i :

 

6. A_i(x) = A^(ond)_i(x) + C_i[S(x),x]  ,  S_i(x) = J_i[A(x),x]

 

Les A^(ond)_i(x) sont les solutions du système homogène ðⁱP_ij(x) = 0, i.e. les ondes électromagnétiques. Ce sont les analogues du mouvement libre. En fonction de ce qui a été bidouillé au n°1, nous pouvons même affirmer, désormais, que ce SONT les mouvements libres dans EM et que les écarts à ces mouvements libres sont donnés par la partie perturbative C_i[S(x),x]. Dans le cas maxwellien, cette dernière partie est donnée par une intégrale volumique sur la boule de Kirchhoff  R² = |x – x’|² <= c²t² (région causale de X) du 4-courant j_i(x) avec retard t – R/c et noyau newtonien 1/4piR, en tous les points x’ <> x. Dans le cas non linéaire, on ne s’attend évidemment plus à une forme aussi simple. Si l’on développe les J_i en puissances des Aⁱ(x) au voisinage de Aⁱ(x) = 0, on trouve :

 

7. J_i[A(x),x] = j_i(x) + j_ij(x)A^j(x) + ½ j_ijk(x)A^j(x)A^k(x) +…

 

tous les coefficients étant symétriques. Maxwell correspond à l’ordre zéro ; à l’ordre 1, on obtient le système d’EDPs encore linéaires :

 

8. ðⁱP_ij(x) = j_j(x) + j_jk(x)A^k(x)

 

mais dont les solutions ne sont PLUS des champs à portée illimitée, mais limitée. Ceci se traduit, dans la partie potentielle de la densité de lagrangien, par un terme d’auto-interaction ½ j_ij(x)Aⁱ(x)A^j(x) du champ électromagnétique avec lui-même. Ce seul terme supplémentaire suffirait à inclure le cas de la pensée, en tous cas, d’un système « en rapport avec lui-même ».

A partir de l’ordre 2, les équations de champs deviennent non linéaires. Ceci se traduit par des termes d’auto-couplages de la forme Aⁱ(x)A^j(x)A^k(x) et au-delà dans la partie potentielle de la densité de lagrangien. On voit que, plus on développe, i.e. plus la densité de 4-courant se régularise par rapport aux A_i(x), plus les termes d’auto-couplages se développent. La situation est un peu similaire à celle que l’on trouve dans le développement des intégrales de Feynman. Maxwell correspond maintenant à une distribution de courants-charges totalement irrégulière en les potentiels de champ (c’est paradoxal, mais c’est comme ça). Un seul degré de régularité et la portée du champ devient finie, les conséquences physiques changent radicalement de nature. Rien qu’à l’ordre 1, on peut déjà envisager un système de pensée qui soit un champ électromagnétique complexe, évolutif et COMPACT. Un champ qui ne sortira pas d’un volume spatial délimité. Pour s’en assurer, il suffit de considérer le cas, très simplifié, j_ij(x) = g_ijk²/µ, avec k en m^-1 et µ = cte (1/µ est une densité !). La partie cinétique étant inchangée, on peut rester dans la jauge de Lorentz ¶ⁱA_i = 0 dans laquelle (8) s’écrit :

 

9. ðⁱð_iA_j(x) = µj_j(x) + g_jkk²A^k(x) = µj_j(x) + k²A_j(x)

 

Comme k² = kⁱk_i est un carré de Casimir, on obtient, dans le vide de charges : ðⁱð_iA_j(x) = k²A_j(x), ce qui conduit bien à des solutions de la forme exp(-k.x), kx >= 0 et à une portée 1/|k| finie (Maxwell se retrouve pour k² = 0, i.e. k_i = 0 ou seulement k_i du genre lumière).

Perso, je trouve que Wellmax, ça sonne mieux : ça "pète". Oui, on va causer de la riothé de Wellmax (pas confondre avec le RIZ AU THé, tiré du livre de recettes de Guy Martin... - le spécialiste du curcuma !)

M'sieur Momo, commencez pas déjà de régoler, hein ! (sinon, on n'a pas fini)

On commence par revisiter la théorie de Maxwell. Peut-être a-t-elle encore des choses à nous apprendre ? Nous verrons. On part de la densité de lagrangien :

 

1. L_Max = F_ij(x)F^ij(x)/2µ + j_i(x)Aⁱ(x)               (en J/m³)

 

où les A_i(x) sont les potentiels de champ, en Tm ; les F_ij(x) = ð_iA_j(x) - ð_jA_i(x), les intensités de champ, en T ; j_i(x), la densité de 4-courant, en A/m² et µ, la perméabilité magnétique du milieu matériel (µ = µ₀ dans le vide), en T²m³/J. Tout cela est (plus que) bien connu. Que peut-on en tirer de plus ? Si l’on s’extrait de l’espace-temps ordinaire 4D X, de coordonnées xⁱ = (x⁰ = ct, x), métrique g_ij de Minkowski, pour se placer dans l’espace-temps fonctionnel EM(x), de coordonnées Aⁱ(x) = [A⁰(x) = phi(x)/c, A(x)], on remarque tout d’abord que (1) prend la forme galiléenne, i.e. quadratique en les dérivées premières F_ij(x) des nouvelles coordonnées. Ces F_ij(x) faisant office de composantes de la « vitesse » dans EM(x), on trouve une analogie de structure avec la fonction de Lagrange d’un corps rigide (« point matériel ») de masse m en mouvement non relativiste dans l’espace ordinaire 3D E³, soumis à une force extérieure f(t) :

 

2. L_nr[x(t),v(t),t] = mv²(t)/2 + f(t).x(t)

 

où v(t) = dx(t)/dt est le vecteur vitesse du mobile. Si l’on pousse plus loin cette analogie, on est amené à se dire que les j_i(x) jouent le rôle des composantes d’une « force extérieure » dans EM(x), tandis que 1/µ y joue le rôle de « masse ». Bon. Mais « masse » de quoi ? Du champ électromagnétique, c’est-à-dire, du photon ? Non. Cette « masse » n’a rien à voir avec le champ. Reprenons (2) : les x(t) y représentent le cadre [l’espace mobile E³(t)] et, par suite, le mouvement du corps incident dans ce cadre, au cours du temps ; la masse m, elle, est une propriété physique du corps incident, complètement séparée de son mouvement, puisque le corps possède une masse même s’il est au repos. En transposant ces considérations à l’espace-temps mobile EM(x), on voit que les Aⁱ(x) y représentent le cadre et, par suite, le « mouvement » (à 4 paramètres, à présent) d’un « corps » quelconque dans ce cadre, « à travers » l’espace-temps « extérieur » X et que la « masse » 1/µ est une propriété physique de ce « corps », qui n’a rien à voir avec le cadre, i.e. les champs électromagnétiques.

Présentons les choses un peu différemment : les potentiels électromagnétiques Aⁱ(x) dans l’espace-temps « extérieur » X traduisent le « mouvement » d’un « corps » situé dans l’espace-temps électromagnétique EM (fixe !), de « masse » 1/µ. Un observateur situé dans X analysera ce « mouvement » comme un potentiel électromagnétique et la « masse » d’un corps de EM comme l’inverse de la perméabilité magnétique du milieu observé, soit encore comme le produit (epsilon x c²) de la permittivité électrique de ce milieu par le carré de la vitesse de la lumière.

Mais de quels « milieux matériels » parlons-nous ici ? De systèmes de charges électriques. C’est cela qu’il faut entendre par « milieux matériels » en électromagnétisme. La matière pesante, grave, ou encore inerte, n’est absolument pas concernée ici, elle relève de la gravitation. Ça veut dire quoi ? Que si µ est constante dans le « vide », il s’agit, soit du vide de charges électriques, soit de l’espace(-temps) situé en dehors des systèmes de charges électriques. En conséquence, µ ne peut varier qu’à l’intérieur des systèmes de charges. En remontant dans EM, on est amené à en conclure que les « corps » de « masse » 1/µ susceptibles d’exister dans EM ne peuvent avoir des masses différentes et/ou variables que si et seulement si ces « corps » sont présents à l’intérieur de systèmes de charges électriques, comme des plasmas, par exemple. Hors de ces systèmes, tous les « corps » de EM ont la même masse 1/µ₀.

Le lecteur tatillon n’aura pas manqué de remarquer que les Aⁱ ne sont pas euclidiens. Et de se demander comment donc on pourrait en tirer des corps compacts…

C’est que Maxwell se base sur une paramétrisation externe, avec paramètres cinématiques xⁱ. Dans ce type de paramétrisation, les « distances » dans EM se mesurent en Tm et les « durées », en m. On peut en tirer une paramétrisation interne, en exprimant les xⁱ en fonction du potentiel scalaire phi et en reportant ces expressions dans A(x) :

 

3. phi = phi(x) => xⁱ = Xⁱ(phi) => A(x) = A[X(phi)] = A’(phi)

 

sous réserve de condition de régularité (jacobien non nul) assurant l’inversibilité de la transformation. Evidemment, si l’on avait cherché à éliminer les 4 xⁱ en utilisant les 4 Aⁱ, on aurait tourné en rond… ce n’est pas ça qui nous intéresse ici. Ce qui nous intéresse, c’est de construire une paramétrisation exempte de l’espace-temps ordinaire X. Modulo un abus de langage non vulgaire, nous continuerons à utiliser A dans la dépendance A(phi).

A présent, nous pouvons considérer des « corps » compacts dans EM, dont les volumes s’étendent dans les 3 dimensions « magnétiques » A, dont les « masses » sont en 1/µ, avec µ constante ou variable (si le milieu est hétérogène et/ou anisotrope, µ se met à dépendre des xⁱ, comme la masse ordinaire m peut varier au cours du temps) et qui suivent des trajectoires A(f) « au cours du temps électrique » f, sous l’influence de « forces extérieures » j(phi).

On est complètement sorti de l’espace-temps de base X…

Mais on s’est placé dans le véritable cadre naturel de la théorie de Maxwell : la paramétrisation externe, ou représentation en champs, n’est utilisée que parce que nous observons les phénomènes électromagnétiques depuis « notre » univers 4D. « Au-dessus », on n’observe pas directement. D’ailleurs, les A_i(x) ne sont PAS mesurables depuis X, alors qu’ils le deviennent dans EM, ce qui prouve bien que EM se situe géométriquement « au-dessus » de X. Je n’emploie pas ici le langage des fibrations, parce que EM n’est PAS l’isoespace U(1) de la théorie électromagnétique quantique. Les 4 composantes Aⁱ ont beau être des projections DU potentiel électromagnétique sur les 4 axes de X, il n’en reste pas moins que, A étant vectoriel, il y a bel et bien quatre potentiels de champ et non un seul. Si l’on travaillait dans l’isoespace (ou espace des charges), on n’aurait QU’UNE SEULE composante « interne ». Mais, ici, il n’est pas question d’états de charges, il est question de champs : ce n’est pas la matière (ordinaire, qui plus est !) que l’on regarde, mais ses interactions. Enfin, chacun sait bien que l’espace qui nous entoure est immatériel (et le temps encore plus), de sorte que les xⁱ représentent quelque chose d’immatériel, mais de physiquement trivial. En revanche, non seulement les Aⁱ représentent quelque chose de tout aussi immatériel, puisque les Aⁱ(x) sont des potentiels de jauge et que le champ électromagnétique (le champ, pas les sources !) est quelque chose de foncièrement immatériel mais, contrairement aux xⁱ, les Aⁱ ont une nature physique tout à fait définie et claire : l’espace-temps EM est un espace-temps électromagnétique, donc éminemment physique.

 

La théorie de Maxwell n’avait plus rien à nous apprendre « depuis longtemps » ? Pas sûr. Elle pourrait bien ouvrir, au contraire, sur le cadre des objets et phénomènes PSI.

A condition de la regarder, non pas comme une nouvelle théorie, mais sous un œil neuf.

 

 

Blog un peu fourre-tout, où l'halluciné des signes cabalistiques y trouvera divers travaux destinés à occuper... ma retraite. :)

On y cause surtout de physique fondamentale et de ses applications, un peu de maths, selon mon humeur du jour... :)

Et sans se prendre au sérieux.

Bonne lecture (enfin, bon courage) lol

Doc La Bidouille, 7 juin 2012