Suite et sans doute fin du dilemme portant sur les modèles financiers en temps continu basés sur le mouvement brownien et donc les processus de Markov.

Dans toutes les bonnes références techniques sur le sujet, on peut lire que le mouvement brownien entre dans la catégorie des processus de diffusion. NON ! Le mouvement brownien ne fait que S’APPARENTER à un processus de diffusion ! Pourquoi ?

 

DANS LE MOUVEMENT BROWNIEN,

LES VARIABLES x ET t NE SONT PAS INDEPENDANTES,

MAIS RELIEES ENTRE ELLES DE FAçON LINEAIRE.

 

Comme il apparaît clairement dans Bidouille 5, qui ne fait que reproduire les textes fondamentaux. Alors que :

 

DANS LA DIFFUSION STOCHASTIQUE,

LES VARIABLES x ET t SONT COMPLETEMENT INDEPENDANTES.

 

En effet, ce type de diffusion est, dans le cas gaussien, solution de l’équation dite de la chaleur :

 

1. (ð/Dðt – ð²/ðx²)f(x,t) = Q(x,t)

 

En dimension spatiale 1, avec source de chaleur Q(x,t) et, dans un cadre plus général, solution de l’équation de Boltzmann.

Hors source, mouvement brownien et diffusion stochastique présentent des noyaux semblables, en l’occurrence,

 

2. rhô(x,t) = (4piDt)^-1/2exp(-x²/4Dt)

 

d’où la méprise. Car, dans le mouvement brownien, x(N) = x(t/tau) = (2n+ - N)l = (2t+ - t)l/tau, comme on l’a vu dans Bidouille 5. A l’opposé, aucune relation fonctionnelle n’est exigée entre x et t dans la diffusion stochastique. Comme souvent, ce n’est pas parce que les mathématiques sont semblables que les problèmes physiques entrent dans la même catégorie…

 

LE MOUVEMENT BROWNIEN ET, PAR SUITE, LES PROCESSUS DE MARKOV

NE SONT PAS DES PROCESSUS DE DIFFUSION STOCHASTIQUE.

 

Dans (1), d’abord on a un CHAMP f(x,t) et non un MOUVEMENT x(t), ensuite, les variations SPATIALES de ce champ sont complètement indépendantes de ses variations TEMPORELLES : la variable DE CHAMP est f ; la variable DE POSITION, x et le PARAMETRE TEMPOREL, t. Les rôles sont bien définis et bien séparés.

On peut d’ailleurs avoir de la diffusion PUREMENT SPATIALE A TEMPS CONSTANT, alors que, pour trouver un mouvement brownien indépendant du temps est conceptuellement difficile…

On comprend aussi pourquoi, dans la diffusion, on peut traiter la variable x comme FIXE, alors que c’est tout aussi conceptuellement impossible dans le mouvement brownien.

Par extension et sans discuter le bien-fondé de la méthode qui consiste à passer de la marche aléatoire à l’intégrale de chemins, on peut se poser la question de la LEGITIMITE PHYSIQUE de ce type d’intégrales, puisque l’action qui remplace le x² dans l’exponentielle est une fonctionnelle S[x(t),t] du MOUVEMENT x(t) : la dépendance entre x et t subsiste, elle s’étend du linéaire au non linéaire.

De toute façon, il faudra bien, un jour ou l’autre, trouver une ou des méthode(s) alternative(s) à l’intégrale de Feynman, qui conduit à des calculs aussi longs qu’ardus et à des divergences tant infrarouges qu’ultraviolettes. L’introduction de facteurs de coupure et l’emploi des techniques de renormalisation sont nécessaires pour réduire ces divergences. Mais ces dernières traduisent en fait un PROBLEME D’APPLICABILITé de l’intégrale, tout comme l’intégrale de Riemann présente un problème d’applicabilité dans de nombreux cas, résolu par la théorie de la mesure et l’intégration, plus générale, suivant Lebesgue. Enfin, ces facteurs de coupure n’ont pas grand-chose d’universel, puisqu’ils ne sont pas constants, mais variables : dans QCD, c’est caractéristique, ils dépendent d’un seuil d’énergie… Autrement dit, ils sont plus ADAPTéS à la résolution (scabreuse…) d’une situation problématique qu’introduits comme des grandeurs NATURELLES. Connes, dans sa « géométrie non commutative » a proposé de leur conférer une origine naturelle issue des algèbres d’opérateurs et de la géométrie discrète associée : c’est déjà ça, mais ça reste une approche MATHEMATIQUE qui, à ma connaissance, n’est pas confirmée par un argumentaire PHYSIQUE solide.

Et ça se conçoit : une théorie bien construite se suffit à elle-même, elle ne nécessite aucun « rajout », aucun « apport supplémentaire », aucune… bidouille pour « réparer ses défauts inhérents ». La théorie quantique relativiste du champ n’est toujours pas correctement construite, même son approximation non relativiste (Schrödinger) ne l’est pas…

On a pensé, à juste titre, que l’approche mécanique statistique, étendue à la théorie du champ, répondrait aux principaux problèmes de construction. Mais en partant du principe que la marche au hasard et ses généralisations entraient dans le cadre des processus de diffusion.

Ce qui n’est pas le cas.

On touche là aux FONDEMENTS DES MODELES : ce n’est pas pour autant que les calculs effectués sur cette base sont incorrects, la comparaison avec les résultats expérimentaux tend à prouver le contraire dans la plupart des cas, c’est, encore et toujours, une question de PRINCIPES. Si, un jour, les résultats tombent complètement à côté de la réalité ou prédisent des NON-événements, on ne comprendra pas pourquoi.

 

C’est ce qui semble se produire, aujourd’hui, avec les modèles financiers basés sur les systèmes d’Ito. On ne parle pas ici de crises PROVOQUEES, mais de crises SYSTEMIQUES : une partie de la crise mondiale actuelle est provoquée, par la spéculation notamment, mais une autre, peut-être moins visible, est « presque sûrement » systémique, i.e. due à l’inadéquation des modèles, elle-même due à des CONFUSIONS DANS LES PRINCIPES DE BASE (à laquelle vient s’ajouter une fâcheuse tendance à confondre fonctions et variables, points fixes et variables).

Tout cela cumulé finit par donner des modèles FAUX car MAL CONSTRUITS, dont les prévisions cadrent de moins en moins avec la réalité quotidienne.

Combien de fois, sur une année comptable, entend-on dire les analystes, en clôture des marchés, que « les résultats attendus sur Untel ou Untel sont MOINS BONS ou MEILLEURS QUE PREVUS »…

A moins qu’Untel dissimule une partie de ses résultats, les résultats fournis sont des FAITS, c’est la REALITE. Les prévisions des analystes sont des PROJECTIONS AVANT PUBLICATION DES RESULTATS. Si ces prévisions s’avèrent différentes des résultats produits, c’est qu’elles sont fausses…

Sur les marchés boursiers d’aujourd’hui, où l’opérateur se fonde de plus en plus sur les prévisions, les conséquences de tels écarts à la réalité sont exponentiels. Si on n’avait pas prévu des verrous de sécurité bloquant la poursuite des transactions en cas de décrochage, les Bourses dévisseraient les unes après les autres…

 

D’une manière fort générale, la difficulté ne réside pas dans la MODELISATION, ni dans le CALCUL, mais dans l’analyse PROFONDE des PRINCIPES SOUS-JACENTS à tel ou tel mécanisme. On a trouvé que, pour les grands nombres, on avait un exp(-x²/2Dt) : on en a déduit qu’on avait affaire à une diffusion aléatoire. D’abord, ce n’est pas parce que N devient très grand que le passage au continu se justifie pour autant : N, n+ et n- sont des ENTIERS NATURELS ; en tant que tels, ils appartiennent à l’ensemble DISCRET N. Les faire tendre vers l’infini NE CHANGE RIEN : ils feront toujours partie de N ! La preuve :

Soient q+ = n+/N et q- = n-/N. q+ et q- sont donc des RATIONNELS (ensemble Q). L’incrément sur les entiers est de 1. Faisons tendre N vers l’infini, EN LE CONSERVANT DANS SON ENSEMBLE, qui est N. q+ et q- se transforment en réels pour autant ?...

Non, évidemment : ils tendent vers 0, mais restent dans Q. Plus exactement, dans l’intervalle DISCRET [0,1] de Q, où l’incrément est 1/N. Qui tend vers 0 quand N tend vers l’infini, mais reste rationnel…

Pour avoir des réels, il faudrait inclure les IRRATIONNELS. Mais comment construire des irrationnels en partant D’ENTIERS ? on ne peut pas « combler les trous » d’un « ensemble à trous » comme ça, simplement en faisant tendre son nombre total d’éléments vers l’infini : cet infini dont nous parlons est DENOMBRABLE, alors que l’infini réel NE L’EST PLUS.

En physique, l’argument est : « plus les raies spectrales se rapprochent, plus elles prennent la forme d’une bande continue ». APPARENCE !!! La distance qui sépare 2 raies spectrales diminue de plus en plus, mais les raies RESTENT TOUTES SEPAREES LES UNES DES AUTRES… sinon, il y aurait interférences…

Sur le plan purement mathématique, si l’on pouvait construire des irrationnels à partir d’entiers ou de rationnels : 1) ça se saurait depuis longtemps et 2) il deviendrait inutile de se casser la tête à calculer des décimales de plus en plus lointaines de pi, e ou je ne sais quoi d’autre. Si on le fait comme ça, c’est qu’on n’a pas de méthode de calcul direct.

Parce que les irrationnels NE SONT PAS CONSTRUCTIBLES A PARTIR DE NOMBRES APPARTENANT A N OU Q, SAUF EN SERIE INFINIE (décimales illimitées).

 

Beaucoup de légèretés accumulées qui finissent « par faire que ».

 

Eh oui, pas mal de temps s'est écoulé depuis Bidouille 4, mais je n'ai pas chômé sur la question. Cette fois, c'est même sur l'approche "chemins" que je m'interroge. On remonte aux origines.

La distribution probabiliste de Gauss est une approximation de la loi dite "binomiale". Soit un système à 2 états ou 2 niveaux, peu importe, notés (+) et (-). On suppose que le système est composé de N éléments. Ce nombre N est défini DES LE DEPART (important pour la suite). P+ est la proba de trouver un élément parmi ces N dans l'état (+), P- celle de le trouver dans l'état (-). La proba de trouver n+ éléments dans l’état (+) est P+ⁿ⁺, celle d’en trouver n- dans l’état (-) est P-^n-. La proba de trouver n+ éléments en (+) et n- en (-) est donc :

 

(1)     P_N(n+,P+) = C_n+^NP+ⁿ⁺P-^n-     avec     N = n+ + n- , C_n+^N = N !/n+ !(N-n+) ! ,  P+ + P- = 1

 

(conservation de la probabilité). Le développement du binôme (P+ + P-)^N = 1 conduit à la relation de fermeture :

 

2. S_{n+ = 0}^N P_N(n+,P+) = 1

 

C’est en utilisant l’approximation de Stirling pour les factorielles dans le cas des grands nombres N, puis en développant l’expression obtenue pour P_N(n+,P+) au voisinage de n+ - <n+> = n+ - NP+, où <.> est la moyenne calculée sur P_N(n+,P+) que l’on trouve l’approximation gaussienne. Et encore, en limitant ce développement à l’ordre 2 ! Avec l’écart-type (variance) :

 

3. <n+²> - <n+>² = V² = NP+P- = NP+(1 – P+)

 

On trouve la distribution de probabilité, dite « loi des grands nombres » :

 

4. P_G(n+,P+) = exp[-(n+ - <n+>)²/2V²]/Vsqr(2pi)

 

Dans le cas de la marche au hasard (mouvement brownien, processus de Markov), on a donc un marcheur (plutôt un sauteur) qui parcourt N sites fixes de manière aléatoire, en effectuant, soit des sauts en avant, soit des sauts en arrière, successivement. Le graphe est orienté : les sauts en avant sont comptés positivement, ceux en arrière, négativement. La longueur d’un saut est l, le temps effectué pour sauter d’une position à l’autre, tau. L et tau sont des données CONSTANTES fixées par avance. Elles caractérisent le maillage du réseau (en dimension 1 pour simplifier les choses). Le marcheur-sauteur aura visité les N sites au bout d’un temps t = N x tau. La longueur de son périple aura été :

 

5. x = (n+ - n-)l = (2n+ - N)l

 

Puisque <n+> = NP+ et <N> = N<1> = N, on aura donc <x> = (2<n+> - N)l = (2P+ - 1)Nl. Notons que x peut être positif, négatif ou nul, eu égard à l’orientation du graphe. Il s’ensuit que x - <x> = 2l(n+ - <n+>). Ensuite, <x²> = <4n² - 4Nn+ + N²>l² = 4l²<n²> - 4l²N<n+> + N²l², d’où <x²> - <x>² = 4l²(<n+²> - <n+>²) = 4l²V². Par conséquent,

 

6. (n+ - <n+>)²/2V² = (x - <x>)²/2(<x²> - <x>²)

 

Autrement dit, il est strictement équivalent de raisonner en variables entières (N,n+) ou en variables (t,x). Pour ce qui est du coefficient de diffusion, la diffusion est TEMPORELLE et ce coeff est donné par (3), puisque :

 

7. V² = NP+P- = (P+P-/tau)t = 2Dt/l²  =>  D = (P+P-)l²/2tau

 

Il ne dépend que des caractéristiques du réseau et des probabilités. On peut introduire les instants :

 

8. t+ = n+ x tau  ,  t- = n- x tau  ,  t = t+ + t-

 

Alors, (N déterministe, n+ et n- stochastiques) => (t déterministe, t+ et t- stochastiques). En fait, N étant une borne supérieure dans la sommation (2), t devient une borne supérieure dans une sommation en temps. Le mouvement brownien nous montre alors clairement que la relation entre la distance parcourue x et le temps mis pour parcourir aussi bien les N sites que les n+ sites situés à l’avant est LINEAIRE :

 

9. x = (t+ - t-)l/tau = (2t+ - t)l/tau = (t+ - t-)nu = (2t+ - t)nu

 

où nu = l/tau est la vitesse, constante, de saut. C’est aussi la vitesse MAXIMALE de progression sur le réseau, puisque :

 

(10)     v_moy = x/t = [(t+ - t-)/(t+ + t-)]nu =< nu     en valeur absolue (vitesse pure)

 

Ceci se conçoit, puisque les sauts en arrière tendent à FREINER la progression.

Tout ça pour démontrer quoi ? Que, dans le cas de la marche au hasard, LES VARIABLES SONT TOUTES DE NATURE TEMPORELLE : n+ -> t+, n- > t-, N -> t. Or, ce sont n+ et n- qui sont les variables dans la loi binomiale. Passer à t+ et t- = t – t+ n’est qu’un changement de variables : au lieu de sommer de 0 à N, on sommera de t+ = 0 à t+ = t par sauts de tau. La linéarité de la relation entre x et t est facile à comprendre : le mouvement s’effectuant par sauts successifs, il est DISCONTINU, donc formé de SEGMENTS DE DROITE. On ne voit donc pas bien de quelle manière on pourrait PARAMETRER CE MOUVEMENT SUIVANT LE TEMPS, i.e. passer de x à x(t). Ceci à cause de l’égalité formelle (6) entre les variables (n+,N) et les variables (x,t) : si n+, n- et N ne sont que des RAPPORTS DE TEMPS, COMMENT ET POURQUOI CHERCHER A ETENDRE LE MODELE EN LOCALISANT EN TEMPS, I.E. EN PARAMETRANT ?

Passer de n+ à n+(t+) ? de n- à n-(t-) ? ou même de N à N(t) ? c’est absurde…

Le problème n’est même pas le passage du discret au continu, il n’est même pas de faire tendre les dimensions du réseau vers zéro en maintenant le rapport l²/tau constant, il est dans la reconnaissance de ce qui est PARAMETRE DU MOUVEMENT et ce qui est VARIABLE DU MOUVEMENT car (6) conduit à :

 

10. (x - <x>)²/2(<x²> - <x>²) = (x - <x>)²/4Dt = (n+ - <n+>)²/2NP+P-

                                                = (t+ - <t+>)²/(2P+P-tau)t = [(t+ - <t+>)²/(t+ + t-)]nu²/4D

 

qui ne fait on ne peut plus clairement intervenir que des TEMPS…

La SEULE possibilité de décrire correctement un mouvement brownien en variables D’ESPACE et de passer en variables D’ESPACE proprement dites, mais alors on remplace t par x, t+ par x+ et t- par x- et l’x de (5), on est obligé de la remplacer par un phi, linéaire en les LONGUEURS, cette fois ci :

 

11. phi = (2x+ - x)ksi/l  ,  x = Nl  ,  x+ = n+ x l  ,  x- = n- x l

 

En effet, la longueur l du réseau précédent remplace la durée tau d’un saut, ksi devient la « longueur » entre 2 sites du nouveau réseau, phi, la « longueur » du trajet effectué par le marcheur et x, la « durée » totale de ce mouvement. A ce moment-là, au lieu de trouver un rapport (10) en temps, on le trouve en longueurs. L’écart-type (7) devient :

 

12. V’² = NP+P- = (P+P-/l)x = 2D’x/ksi²

 

d’où un nouveau coefficient de diffusion, spatiale, cette fois :

 

13. D’ = (P+P-)ksi²/2l

 

mais qui n’a plus rien à voir avec le 4Dt du mouvement brownien spatio-temporel…

 

Pour toutes ces raisons, on voit vraiment MAL comment on pourrait établir des équations d’évolution DANS LE TEMPS de systèmes de PRIX X(t) pour lesquels la partie « risque » comporterait une expression BROWNIENNE de la forme [X(t) - <X(t)>]²/4Dt ou même une intégrale de chemins plus compliquée…

Pour bien faire, il faut passer dans un « espace des prix », variables X, et paramétrer en temps, paramètres t. Et puis ?...

 

Au programme, aujourd’hui, analyse de plusieurs articles Wikipedia.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Ito_calculus

 

« we are integrating with respect to a non-differentiable function”

 

Au sens des FONCTIONS, sans doute. Mais au sens des DISTRIBUTIONS ? Sans doute pas. Le processus de base est celui de Wiener, qui est gaussien. Or, comme chacun sait, la gaussienne est C⁰⁰ (C l’infini)… De toute façon, toute FONCTION C⁰ se laisse étendre, depuis Schwartz, en une DISTRIBUTION, ce qui implique automatiquement une REGULARISATION. Au contraire, il FAUT passer du cadre trop restreint des fonctions à celui, beaucoup plus vaste, des distributions, pour aborder les problèmes de non-régularité, i.e. de non-différentiabilité. Inversé, cela veut dire que la non-différentiabilité des fonctions est un indice de L’INSUFFISANCE de la notion de fonction et de la nécessité à généraliser cette notion. Conséquence :

TOUT PROCESSUS STOCHASTIQUE DEVIENT REGULIER AU SENS DES DISTRIBUTIONS.

 

« The Itō integral allows one to integrate one stochastic process (the integrand) with respect to another stochastic process (the integrator).”

 

Non. Nous allons voir pourquoi plus loin.

 

« It is common for the integrator to be the Brownian motion (also see Wiener process).”

 

Non plus. Nous allons voir que ce type de processus est “statique” et n’est donc PAS adapté (en un sens, fort général d’ailleurs, que je préciserai) aux processus dynamiques, c’est-à-dire, dépendant d’un paramètre (en général, le temps) de façon CONTINUE.

 

« Then we are constructing Riemann sums.” Parce que l’intégrale d’Ito “is a generalization of the ordinary concept of a Riemann–Stieltjes integral.”

 

Pourquoi pas ? Le problème est que ce ne sont PAS les sommes de RIEMANN qui sont adaptées dans le cas C⁰, mais celles de LEBESGUE (sommation par paquets)…

 

« It is conceptualized in mathematical finance as that we are first deciding what to do, then observing the change in the prices. The integrand is how much stock we hold, the integrator represents the movement of the prices, and the integral is how much money we have in total including what our stock is worth, at any given moment.”

 

Je n’en doute pas un seul instant et cela prouve d’ailleurs que, la modélisation selon Riemann n’étant pas adaptée, c’est, en retour, L’APPROCHE DU RAISONNEMENT FINANCIER QUI DOIT ETRE MODIFIEE : tout comme les sommations sont REORDONNEES de Riemann à Lebesgue, eh bien, le raisonnement financier doit être réordonné. Sous peine d’inadéquation entre le raisonnement et sa modélisation.

 

« Numerous technical details have to be taken care of to show that this limit exists and is independent of the particular sequence of partitions.”

 

Voici un exemple type de difficultés purement techniques exigées par l’approche “sommes de Riemann”.

 

« The prices of stocks and other traded financial assets can be modeled by stochastic processes such as Brownian motion or, more often, geometric Brownian motion (see Black–Scholes)”

 

Apparemment, NON et ceci est contesté par certains analystes financiers, l’explication technique étant que ces actifs financiers EVOLUENT AU COURS DU TEMPS DE FaçON CONTINUE.

 

« the Itō stochastic integral represents the payoff of a continuous-time trading strategy consisting of holding an amount H_t of the stock at time t. In this situation, the condition that H is adapted corresponds to the necessary restriction that the trading strategy can only make use of the available information at any time. This prevents the possibility of unlimited gains through high frequency trading: buying the stock just before each uptick in the market and selling before each downtick.”

 

Alors, là, on n’est plus seulement dans le brownien, on entre dans le MARKOVIEN : la « mémoire » du système (connaissance de l’info) se limite à l’instant immédiatement précédent, le système est « sans mémoire ». C’est un cas BIEN PARTICULIER du mouvement brownien. Qui restreint encore plus le cadre. D’après l’explication, le processus en question est alors « adapté », ce qui évite la divergence de l’intégral d’Ito. Autrement dit, DèS QU’ON SE TROUVE EN FACE D’UN SYSTEME A MEMOIRE QUELCONQUE, LA TECHNIQUE D’ITO TOMBE EN DEFAUT…

Ceci, précisément parce que l’intégrale en question est une limite de sommes de Riemann…

 

Les analystes financiers commencent à froncer les sourcils ? C’est rien à côté de ce qui arrive.

 

« the integral is often written in differential form dY = H dX, which is equivalent to Y − Y₀ = H · X.”

 

Euh… encore non. (les mecs vont péter les plombs…) Désolé, non : la forme différentielle est essentiellement LOCALE, alors que la forme intégrale, elle, est essentiellement GLOBALE : même si sa borne supérieure est variable, ça reste une SOMMATION SUR UN INTERVALLE A BORNE SUPERIEURE VARIABLE… :)

Si on procédait comme indiqué, alors toute équation intégrale se laisserait ramener à une équation différentielle et ne nécessiterait pas l’élaboration de techniques spécifiques, comme les méthodes de Volterra et al.

 

« As Itō calculus is concerned with continuous-time stochastic processes, it is assumed that an underlying filtered probability space is given”

 

HEIN : C’EST PAS MOI QUI LE DIT !

L’intégrale de Riemann-Stieltjes, quant à elle, est définie comme une limite probabiliste de sommes de Riemann. Bon, alors, on effectue une limite sur une notion qui relève de l’intégration selon LEBESGUE, puisqu’on parle de distribution (probabilité = distribution) et on l’applique à l’intégration selon RIEMANN… 8(

Pourquoi faire simple quand on peut compliquer les choses ?...

Les sommes de Riemann ne sont adaptées qu’aux FONCTIONS. OR, on vient de nous expliquer que le calcul d’Ito n’est PAS adapté aux fonctions, puisque celles-ci ne sont PLUS régulières : s’agirait de s’entendre… :))

 

« An Itō process is defined to be an adapted stochastic process…”

 

Si on le dit… (ah, mais, je ne critique absolument pas l’auteur de l’article qui, au contraire, fait, à mon goût, un très bon article sur ce qui a été convenu précédemment)

 

« …which can be expressed as the sum of an integral with respect to Brownian motion and an integral with respect to time”

 

C’est là que ça devient proprement extraordinaire… :) Parce que, dans la formulation intégrale, il est considéré que la partie stochastique se construit à l’aide de sommes de RIEMANN, tandis que la partie déterministe se construit, elle, à partir de sommes de LEBESGUE… On associe donc les processus DETERMINISTES à l’intégrale de Lebesgue et les processus NON DETERMINISTES à l’intégrale de Riemann-Stieltjes…

Pourquoi ? Lebesgue seule, ça suffit pas ?...

J’avais CRU comprendre que les filtrations probabilistes se construisaient à partir de la notion abstraite de TRIBUS DE BOREL et qu’on utilisait l’intégration selon LEBESGUE, LA PLUS GENERALE DE TOUTES…

Comme disait le géomètre et Médaille Fields Jean-Christophe Yoccoz, dans les années 1990, « le hasard n’existe pas en mathématiques » : en maths, il n’y a pas de concept tel que le « hasard » ; une « probabilité » n’est qu’une « fonction-densité » particulière au milieu d’une infinité d’autres « fonctions-densité »… Il voulait dire par là que le « hasard » N’EST PAS UN OBJET MODELISABLE : ce n’est qu’un processus parmi tant d’autres…

Revenons au sujet. Le lemme d’Ito ne fournit autre que la dérivée TOTALE GAUSSIENNE d’une fonction : c’est la même expression que la dérivée totale par rapport au temps de la distribution de Gauss ; on sait que, pour toute fonctionnelle déterministe f[x(t),t] au moins C¹ en x(t), sa dérivée totale par rapport au temps est :

 

df[x(t),t]/dt = ðf[x(t),t]/ðt + [dx(t)/dt]ðf[x(t),t]/ðx(t)

 

Notons au passage que cette expression est INCORRECTE pour des fonctions de POINTS FIXES x telles que f(x,t), puisqu’on ne peut alors pas appliquer la règle de dérivation en chaîne. Il faut pour cela une « fonction de fonction », c’est-à-dire, une fonctionnelle. Ce qui change l’espace d’application (et sa dimension).

Pour la gaussienne en dim 1, f(x,t) = exp(-x²/4Dt)/(4pi.Dt)^1/2 (attention : points FIXES x !), on a :

 

ðf(x,t)/ðt = D.ð²f(x,t)/ðx²

 

L’écart-type étant s² = 2Dt, D = coeff de diffusion. On retrouve bien la dérivée SECONDE, typique des gaussiennes, par rapport à la variable x, de sorte que la dérivée totale par rapport au temps pour des processus tout ou partie gaussiens devient :

 

d/dt = ð/ðt + [dx(t)/dt]ð/ðx(t) + Dð²/ðx²(t)

 

Ah, Ah ! Mais il faut alors une FONCTION x(t), d’accord ?... :) Sinon : problèmes de construction…

Qu’à cela ne tienne, on passe de l’espace des x à celui des x(t) et on prend une gaussienne :

 

f[x(t),t] = exp[-x²(t)/4Dt]/(4pi.Dt)^1/2 ?...

 

Malheureusement, ça ne fonctionne pas comme ça…

 

« The discontinuities of the stochastic integral are given by the jumps of the integrator multiplied by the integrand”

 

La notion de SAUTS d’une fonction est justement à la base de l’élaboration du calcul des DISTRIBUTIONS à partir de l’intégrale de LEBESGUE… c’est exactement ça qu’on nous décrit là…

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_differential_equation, “Use in probability and mathematical finance”

 

D’accord sur l’écriture de l’équation différentielle stochastique, tant qu’on reste local, mais pas sur l’écriture de l’équation intégrale correspondante : soit on intègre suivant dB_u, comme écrit, et alors on n’a pas le même domaine d’intégration, soit on passe de dB_u à (dB_u/du)du et on peut utiliser le même domaine d’intégration…

On nous explique qu’on a une partie « normale » (Hollandienne, quoi) mu(X_t,t)delta (pourquoi pas s ? bref), déterministe donc prévisible à l’avance (c’est la moyenne – ça va pas plus haut, non lol –AH BIN, C’EST PAS MOI QUI SUIS A L’ORIGINE DE L’ETHYMOLOGIE !!!) et une partie « anormale » (Sarkozienne, quoi), de variance sigma²(X_t,t).delta (c’est le terme de « gesticulation permanente et imprédictible », puisque c’est la fluctuation…), « independent of the past behavior of the process », tout à fait, Thierry, et qui a même tiré un trait dessus.

 

« There are also more general stochastic differential equations where the coefficients μ and σ depend not only on the present value of the process X_t, but also on previous values of the process and possibly on present or previous values of other processes too. In that case the solution process, X, is not a Markov process, and it is called an Itō process”

 

Là, ce seraient aux AUTEURS de s’accorder entre eux sur ce qu’il convient de définir comme un “processus d’Ito”… Y sont même pas d’accords entre eux… :(

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion

ça fonctionne (presque) au poil en finance, sauf que… dans la réalité, « there is a higher chance of large price changes ». A part ces « menus détails », tout va bien.

 

 

QUEL EST LE PROBLEME ?

 

Bin, le problème, il est double :

1. un problème de construction, comme on l’a vu, et
2. un problème d’applicabilité.

 

On ne peut appliquer de processus de Wiener pour des variables DEPENDANT DU TEMPS DE FAçON CONTINUE : dans la « marche au hasard », le marcheur visite, au cours du temps, des sites FIXES, de manière ALEATOIRE. Lorsque ces sites deviennent MOBILES, comme c’est le cas dans les équa diff stochastiques, cette description n’est PLUS VALIDE et il faut utiliser, on le sait, l’approche « chemins » : à ce moment-là, le marcheur emprunte des CHEMINS DIFFERENTS au cours du temps, de manière ALEATOIRE. Les distributions de proba ne sont plus gaussiennes, les processus de base ne sont donc plus de Wiener et on ne peut plus les utiliser dans une équation d’évolution…

Il est FORMELLEMENT FAUX de changer x²/2Dt en x²(t)/2Dt, parce que, dans x²/2Dt, les sites x sont FIXES, alors que dans x²(t), ces sites (« points ») deviennent des COURBES, on passe d’un espace de POINTS à un espace de COURBES et on ne peut plus utiliser le temps t comme paramètre d’une courbe et dans l’écart-type, parce que t s’écoule SUR LES COURBES et non ENTRE LES COURBES… Dans x²/2Dt, le temps s’écoule ENTRE LES POINTS (d’un point à l’autre).

Le résultat correct, on le sait, est une ACTION, dont la partie cinétique est l’intégrale, sur le temps, de v²(t)/2D, avec v(t) = dx(t)/dt, qu’on peut obtenir intuitivement, en procédant de la manière suivante : x²(t)/2Dt = [x²(t)/2Dt²]t ->[dx²(t)/2Ddt²]dt = v²(t)dt/2D.

Expression TRES DIFFERENTE de celle de Wiener…

 

C’est tout. Tout le reste en découle.

 

Ces derniers jours, j’ai essayé de m’y retrouver un peu dans tout ce fatras. Pas évident. Il ressort déjà de tout ceci les considérations générales suivantes :

• la matière n’est PAS un processus, mais une substance ;
• pour y voir clair, il faut revenir à des grandeurs tridimensionnelles.

 

La matière, pas un processus, mais une substance :

Ça peut paraître évident, mais ça a des conséquences peut-être insoupçonnées. Parce que la pensée est un processus. D’une part. En conséquence, elle ne saurait constituer de la matière, sous quelque forme que ce soit. Ah… D’ailleurs, ça s’accorde très bien avec le fait que l’activité cérébrale, le signal nerveux, se mesure en Volts et non en Ampères. On a donc bien affaire à un champ et non à ses sources. Or, si ses sources sont matérielles, le champ, lui, ne l’est pas. D’autre part, Changeux explique bien que les objets mentaux occupent, dans le processus mental, des espaces délimités. Lorsqu’il dit que « la matérialité des images mentales ne fait aucun doute », il se réfère évidemment aux sources physiques de ces images mentales, à savoir, les charges ioniques qui traversent les membranes neuronales et déclenchent (ou pas) l’influx nerveux. Physiquement, il est impossible que des objets quelconques obéissant à une statistique de Bose-Einstein puissent constituer une « matière » quelconque. Comme, dans la machine cérébrale, la conscience, qu’elle soit primaire ou d’ordre supérieur, est un ensemble évolutif d’objets mentaux (percepts, images de mémoire et concepts), dont l’enchaînement, régulé, constitue la pensée, si aucun de ces objets mentaux n’a de consistance matérielle (au sens le plus large du terme, j’insiste bien là-dessus), par combinaisons, la conscience ne peut constituer de matière.

Si ce n’est pas de la matière, alors qu’est-ce que ça peut bien être ?

De L’ESPACE. Et du TEMPS. Mais pas ordinaires, mentaux. Nous avons vu que les potentiels de champ constituaient un système de coordonnées Aⁱ dans l’espace-temps électromagnétique fixe EM et les champs Aⁱ(x), un système de coordonnées dans l’espace-temps électromagnétique mobile EM(x). Il s’ensuit que A est bien de l’espace et cA⁰ = phi du temps. Mais les distances dans cet espace « magnétique » se mesurent en Tm et non plus en m, tandis que les durées s’y mesurent en Vm et non plus en s. Quelle importance ? Aucune : les systèmes d’unités non rien d’universels, c’est nous qui nous les fixons. Ce qui est universel, c’est que l’espace-temps électromagnétique est de nature physique différente de celle de l’espace-temps ordinaire. C’est ça qui importe : on n’est plus du tout dans le même cadre, il faut donc s’attendre à ce que, si ce cadre est peuplé d’objets physiques, ces objets auront des natures et des propriétés radicalement différentes de la matière et du rayonnement ordinaires, même quantiques. Une nouvelle forme de matière, avec de nouveaux états.

Le tout est de savoir si nous pouvons ou non nous en faire une idée, à partir de ce que nous pouvons observer en dimension 4.

Ce n’est pas impossible, puisque nous observons bien les champs électromagnétiques. Nous observons donc les projections du cadre électromagnétique au sein de notre espace-temps. En outre, nous avons également vu que, sous réserve d’inversibilité, on pouvait se ramener à une paramétrisation interne en A(phi). Donc, pour le moment, rien ne semble hors de portée.

Revenons donc à la dynamique dans EM(x).

La position de « repos » y est donnée par F_ij(x) = 0 : c’est l’analogue de v(t) = 0 dans E³. Avec un seul paramètre de mouvement, l’invariance de v est assurée par la translation de vecteur constant x(t) -> x(t) + x₀. A plus d’un paramètre de mouvement et, a fortiori, à 4 paramètres, l’invariance de F_ij est, on le sait, on l’a dit, mais on le répète quand même, assurée par la translation A_i(x) -> A_i(x) + ð_if(x), où f(x) est un champ scalaire absolument quelconque. Il y a de l’arbitraire dans les deux translations : x₀ peut être choisi de n’importe quelle valeur, mais ð_if(x) est, en plus, variable. Il en résulte que la position de repos F_ij(x) = 0 a pour solution générale l’expression exacte A_i(x) = ð_iC(x), mais C(x) n’est plus arbitraire, car le choix de la jauge de Lorentz nous amène à ðⁱð_iC(x) = 0, c'est-à-dire C(x) harmonique dans X et donc, de la forme exp(±ikx) [quoique des solutions réelles en exp(±kx) soit également possibles, du moment que k² = kⁱk_i = 0], en régime entretenu. F_ij(x) = 0 entraînera bien sûr J_i = 0, qu’on soit en linéaire ou pas : si le « corps » considéré dans EM est au repos (ou dans son référentiel de repos), aucune « force » extérieure ne s’exerce sur lui. Par dérivation, C(x) ~ exp(±ikx) nous amène à A_i(x) ~ ± ik_iC(x) et kⁱk_i = 0, à k² = (k⁰)², soit v_ph = v_gr = c :

 

LA POSITION DE REPOS DANS L’ESPACE-TEMPS ELECTROMAGNETIQUE SE SITUE GEOMETRIQUEMENT

SUR LE CÔNE DE LUMIERE ORDINAIRE.

 

Un observateur de X verra, lui, l’objet « au repos » se déplacer à la vitesse de la lumière : c’est parfaitement normal, puisque les champs électromagnétiques se propagent à cette vitesse et donc que, par relativité, l’espace-temps EM se déplace par rapport à tout observateur de X à la vitesse de la lumière c. Rien ne devrait choquer là-dedans : dans toute la relativité einsteinienne, un observateur A, fixe, voit un observateur B en mouvement se déplacer à la vitesse v, alors que B, lui, reste fixe dans son référentiel propre.

On constate que ce résultat reste valable pour les régimes entretenus plus généraux, de la forme C(x) ~ exp[± ∫ k_i(x)dxⁱ], qui donnent ðⁱk_i(x) + ikⁱ(x)k_i(x) = 0, d’où à la fois ðⁱk_i(x) = 0 (transversalité) et kⁱ(x)k_i(x) = 0 (genre lumière local), d’où encore v_ph = v_gr = c, mais localement seulement.

Des corps au repos qui se déplaceraient déjà à c pour un observateur de X, ça augure déjà de l’exotisme… :) L’exotisme en question provient du fait qu’on change complètement de cadre, mais que ce cadre reste fonctionnellement lié à X.

Ensuite, de F_ij(x) = [E(x,t)/c , B(x,t)], on extrait deux champs de vitesses 3D dans EM(x) et non plus un seul. La raison de ceci vient du fait que A_i est 4-vectoriel et que les paramètres de mouvement forment un autre 4-vecteur xⁱ. Comme on le sait, E est polaire, tandis que B est axial. Ça veut dire que, sous inversion spatiale :

 

(1)       P : E(x,t) -> E(-x,t) = -E(x,t)   ,   B(x,t) -> B(-x,t) = B(x,t)

 

et sous renversement du temps :

 

(2)       T : E(x,t) -> E(x,-t) = -E(x,t)   ,    B(x,t) -> B(x,-t) = B(x,t)

 

Ceci, parce que A(x,t) est un vecteur polaire et f(x,t), un vrai scalaire :

 

(3)       P : A(x,t) -> A(-x,t) = -A(x,t)   ,   phi(x,t) -> phi(-x,t) = phi(x,t)

(4)       T : A(x,t) -> A(x,-t) = A(x,t)    ,    phi(x,t) -> phi(x,-t) = -phi(x,t)

 

Résultat : sous la combinaison PT,

 

(5)       PT : E(x,t) -> E(-x,-t) = E(x,t)   ,   B(x,t) -> B(-x,-t) = B(x,t)

 

et donc, F_ij(x) reste bien invariant sous PT. Et après ? Et après, la vitesse ordinaire v(t) est toujours polaire : x(t) -> -x(t) par P entraîne v(t) -> -v(t) par P : la vitesse ordinaire suit l’orientation de l’espace. Comme x(t) est polaire (puisque x l’est), x(-t) = -x(t) par T (on fait le chemin inverse), d’où v(-t) = v(t) (et à la même vitesse – on est dans le réversible). La combinaison PT me donne maintenant PT : v(t) -> -v(-t) = -v(t). La vitesse ordinaire n’est PAS conservée par PT, mais inversée. Elle n’est conservée que par T seule.

Moralité : c’est la transformation sur les paramètres qui conservent les vitesses.

Reste que v(t) est un vecteur, c’est-à-dire, un 1-tenseur, alors que F_ij(x) est un 2-tenseur. Ça veut dire que v(t) se projette sur le système d’axes de E³(t), tandis que F(x) se projette sur les plans de EM(x). Et la « vitesse » axiale B(x,t) n’a pas d’équivalent dans E³. Le mouvement dans EM(x) s’avère ainsi beaucoup plus compliqué que dans X(s) : d’abord, parce qu’il y a 2 vitesses au lieu d’une seule ; ensuite, parce que ces vitesses se projettent sur des plans et non plus sur des axes : E se trouve sur les 3 plans spatio-temporels (x⁰x¹), (x⁰x² et (x⁰x³) et B sur les 3 plans spatiaux (x²x³), (x³x¹ et (x¹x²). La situation est analogue aux spineurs : 1 spineur de Dirac = 2 spineurs de Pauli, puisqu’il s’agit de représentations de SO(3,1) » SO_s(3)xSO_st(3). Ici, 1 champ de 4-vitesses = 2 champs de 3-vitesses. On ne voit rien de tout ça en restant en dimension 4. De plus, on a besoin de regarder la statique dans EM.

Soyons logiques : si la position de repos dans EM s’observe déjà comme un mouvement à la vitesse c dans X, alors tout mouvement à des vitesses E et B différentes de zéro dans EM doit se produire, dans X, à des vitesses > c et ce, quelle que soit l’orientation spatiale et/ou temporelle des vecteurs électrique E et magnétique B. C'est-à-dire que le mouvement se situe dans le tachyonique de X et n’est donc plus observable depuis l’intérieur du cône de lumière de X. Mais, E(x,t) et B(x,t) sont parfaitement observables, alors ?...

Attends, mon frère, attends… : c’est le dawa… :)) comme d’hab’ !

OBSERVER (SA PHYSIONOMIE !) E(x,t) et B(x,t) depuis X, c’est observer des VITESSES dans EM(x). Pas compliqué, non ? alors, pourquoi je suis paumé ?...

PAR CONTRE (SA SMALA HONTE !), ni A(x,t), ni phi(x,t) ne sont directement observables dans X, puisqu’ils ne sont pas directement mesurables, se définissant à une forme exacte près. Donc, ni la POSITION, ni la DUREE dans EM ne sont observables depuis X.

Pas étonnant que je sois paumé : tu peux observer les vitesses, mais pas les positions, ni les durées… :( c’est ‘core du mouvement à la « one again », ça… lol

Il est vraiment temps que je change d’activité… lol

C’est quoi, ce truc de NAZE, franchement ? Tu peux pas évaluer la position du gonze, tu peux juste le voir débouler… et encore… sur le papier.

De toute façon, une chose est (pratiquement) acquise en physique : la région extérieure au cône de lumière n’est PLUS en dimension 4. Alors, soit on rajoute des dimensions, mais pas n’importe comment, ni pour arranger la sauce, parce que ça modifie la forme des potentiels de champs, soit on change de cadre.

On change bien de cadre entre la 3D et la 4D : d’un espace compact, on passe à un espace-temps ouvert. Bon, ici, on change complètement. Et après ?

Je vais me faire une tige.

DUGENOU QUE JE SUIS ! Si, si, je suis vraiment Duduge : la position, elle est connue PAR RAPPORT A LA POSITION DE REPOS. A_i(x) -> A_i(x) + ð_iC(x) : ð_iC(x) est la position de repos dans EM(x).

 

LA POSITION D’UN CORPS HYPOTHETIQUE DANS EM S’EVALUE

PAR RAPPORT A SA POSITION DE REPOS, DONC PAR RAPPORT AU CÔNE DE LUMIERE.

 

On est bien à l’extérieur du cône de lumière et on change bien de cadre physique ! Pour un observateur de X, de tels « mouvements » seraient interprétés comme tachyoniques, donc acausaux. Mais, pour un observateur de EM, le mouvement est A(phi) qui, lui, reste tout à fait causal, puisque A_iAⁱ >=0 est la condition de causalité dans EM (genre électrique, analogue du genre temps). En résumé :

1. les objets mentaux, la conscience, la pensée, ne constituent pas de la « matière mentale », mais de l’espace magnétique et du temps électrique ;
2. A L’INTERIEUR de ces volumes d’espace magnétique peut se trouver UNE TOUTE AUTRE FORME DE MATIERE, DONT LE MOUVEMENT S’EFFECTUE AU COURS DU « TEMPS ELECTRIQUE » ;
3. Cette matière hypothétique se trouve au repos SUR LE CÔNE DE LUMIERE et en mouvement A L’EXTERIEUR DE CE CÔNE : elle n’est pas observable depuis l’intérieur du cône et n’appartient même pas à l’espace-temps ordinaire.

 

Les champs électromagnétiques et, en particulier, l’activité nerveuse, servent de CADRE PHYSIQUE à ces objets hypothétiques. On est vraiment complètement sorti de X. Il n’y a que des relations PROJECTIVES, fonctionnelles, entre EM et X : X sert d’espace-temps paramétrique à EM. Tout ceci est déjà contenu dans la théorie de Maxwell et dans toute théorie physique du champ, d’ailleurs.

Que la conscience subsiste ou pas en tant que système évolutif complexe autorégulé en état de mort clinique importe peu désormais : le CADRE PHYSIQUE, lui, subsiste forcément, sous sa forme électromagnétique. Ce qui nous importe, désormais, c’est de savoir si, oui ou non, il existe « autre chose », « à l’intérieur » de cette conscience : ce serait alors ça qui subsisterait, parce qu’elle n’aurait aucune raison de disparaître.

On peut déjà se faire une idée de ce à quoi ressemble l’espace-temps électromagnétique : contrairement à notre univers 4D, où le vide apparaît noir, parce qu’il est extrêmement pauvre en rayonnement, le vide dans l’univers électromagnétique devrait apparaître BLANC, parce que cet univers-là BAIGNE TOUT ENTIER DANS LA LUMIERE ELECTROMAGNETIQUE : la base, c’est la lumière ; ensuite la « matière », c’est de la distribution µ_y(A,phi)d³A, dans un élément de volume d’espace magnétique d³A.

 

On a le cadre (pas dommage…). Y a plus qu’à le remplir… :)

 

On va maintenant étendre la théorie de Maxwell à la situation non linéaire. Une telle situation peut se présenter dans les réseaux électromagnétiques complexes présentant des boucles de réentrée, comme les réseaux de neurones, par exemple. A grande échelle, ces réseaux apparaissent très denses, ce qui justifie pleinement la description en distributions de charges et de courants et en champs continus. Si la linéarité se justifie dans les systèmes de charges inertes peu complexes, elle devient difficile à maintenir dans les très grands systèmes de charges tels que ceux présents dans les organismes vivants et pensants. Ceci, précisément parce que les champs produits par les charges en déplacement dans l’espace se couplent aux courants sources (voir la partie potentielle du lagrangien de Maxwell) et que ce couplage n’a plus de raison de rester linéaire dans les systèmes organisés, structurés, hiérarchisés et, qui plus est, évolutifs. En tant que système de régulation des processus mentaux, la pensée est un système vivant et non inerte. Elle possède la propriété d’être autonome, ce qui est la caractéristique fondamentale des systèmes vivants. En outre, le cerveau forme typiquement un système en auto-interaction : « le cerveau est plus en rapport avec lui-même qu’avec n’importe quoi d’autre » (Edelman). Son activité électromagnétique (la pensée) forme donc un système typiquement auto-couplé. Or, même s’il apparaît explicitement dans la partie potentiel du lagrangien, l’auto-couplage n’est PAS décrit par la théorie linéaire de Maxwell, puisqu’il aboutit immédiatement à des infinis non renormalisables (à cause des potentiels newtoniens). D’où la nécessité de passer au non-linéaire.

On reprend le cas du point matériel de masse m animé d’une vitesse v dans l’espace E³ et soumis, cette fois, à un champ de forces f(x,t). La fonction de Lagrange est :

 

1. L_nr[x(t),v(t),t] = mv²(t)/2 + ∫ f[x(t),t].dx(t)

 

où le point x d’application de la force coïncide évidemment avec le point x(t) où se situe le mobile à l’instant t (sinon, l’influence de la force sur la trajectoire de ce mobile n’a pas de sens). Les équations de Lagrange conduisent aux équations de mouvement de Newton :

 

2. ðL_nr/ðv(t) = p(t) = mv(t) , dp(t)/dt = ðL_nr/ðx(t) = f[x(t),t]

 

Intégrer ce système d’EDOs consiste à exprimer la position x(t) du mobile à l’instant t en fonction d’un couple de paramètres (position et vitesse initiales) et de la fonction force F(t) = f[x(t),t] en inversant la dépendance fonctionnelle :

 

3. x(t) = x(0) + v(0)t + X[F(t),t]  ,  X = 0 quand F(t) = 0 pour tout t.

 

En l’absence de toute force extérieure, on retrouve évidemment le mouvement libre (ou inertiel), x(t) = x(0) + v(0)t, solution du système homogène dp(t)/dt = 0 (pour une masse constante, j’ai oublié de le préciser). La partie X[F(t),t] représente donc l’écart au mouvement libre, i.e. le mouvement perturbé (non inertiel).

Transposons ces résultats à l’espace-temps électromagnétique EM. La densité de lagrangien attendue est de la forme :

 

4. L_EM[A(x),F(x),x] = F_ij(x)F^ij(x)/2µ + ∫ J_i[A(x),x]dAⁱ(x)

 

où la densité de 4-courant J_i se met à dépendre fonctionnellement des potentiels de champ produits. Le terme cinétique, lui, ne change pas et n’a pas aucune raison de changer. Les équations de Lagrange conduisent maintenant aux équations de champs non linéaires :

 

5. ðL_EM/ðF^ij(x) = P_ij(x) = F_ij(x)/µ  ,  ðⁱP_ij(x) = ðL_EM/ðA^j = J_j[A(x),x]

 

Cette fois, intégrer (5), c’est inverser la dépendance fonctionnelle entre les A_i et les J_i :

 

6. A_i(x) = A^(ond)_i(x) + C_i[S(x),x]  ,  S_i(x) = J_i[A(x),x]

 

Les A^(ond)_i(x) sont les solutions du système homogène ðⁱP_ij(x) = 0, i.e. les ondes électromagnétiques. Ce sont les analogues du mouvement libre. En fonction de ce qui a été bidouillé au n°1, nous pouvons même affirmer, désormais, que ce SONT les mouvements libres dans EM et que les écarts à ces mouvements libres sont donnés par la partie perturbative C_i[S(x),x]. Dans le cas maxwellien, cette dernière partie est donnée par une intégrale volumique sur la boule de Kirchhoff  R² = |x – x’|² <= c²t² (région causale de X) du 4-courant j_i(x) avec retard t – R/c et noyau newtonien 1/4piR, en tous les points x’ <> x. Dans le cas non linéaire, on ne s’attend évidemment plus à une forme aussi simple. Si l’on développe les J_i en puissances des Aⁱ(x) au voisinage de Aⁱ(x) = 0, on trouve :

 

7. J_i[A(x),x] = j_i(x) + j_ij(x)A^j(x) + ½ j_ijk(x)A^j(x)A^k(x) +…

 

tous les coefficients étant symétriques. Maxwell correspond à l’ordre zéro ; à l’ordre 1, on obtient le système d’EDPs encore linéaires :

 

8. ðⁱP_ij(x) = j_j(x) + j_jk(x)A^k(x)

 

mais dont les solutions ne sont PLUS des champs à portée illimitée, mais limitée. Ceci se traduit, dans la partie potentielle de la densité de lagrangien, par un terme d’auto-interaction ½ j_ij(x)Aⁱ(x)A^j(x) du champ électromagnétique avec lui-même. Ce seul terme supplémentaire suffirait à inclure le cas de la pensée, en tous cas, d’un système « en rapport avec lui-même ».

A partir de l’ordre 2, les équations de champs deviennent non linéaires. Ceci se traduit par des termes d’auto-couplages de la forme Aⁱ(x)A^j(x)A^k(x) et au-delà dans la partie potentielle de la densité de lagrangien. On voit que, plus on développe, i.e. plus la densité de 4-courant se régularise par rapport aux A_i(x), plus les termes d’auto-couplages se développent. La situation est un peu similaire à celle que l’on trouve dans le développement des intégrales de Feynman. Maxwell correspond maintenant à une distribution de courants-charges totalement irrégulière en les potentiels de champ (c’est paradoxal, mais c’est comme ça). Un seul degré de régularité et la portée du champ devient finie, les conséquences physiques changent radicalement de nature. Rien qu’à l’ordre 1, on peut déjà envisager un système de pensée qui soit un champ électromagnétique complexe, évolutif et COMPACT. Un champ qui ne sortira pas d’un volume spatial délimité. Pour s’en assurer, il suffit de considérer le cas, très simplifié, j_ij(x) = g_ijk²/µ, avec k en m^-1 et µ = cte (1/µ est une densité !). La partie cinétique étant inchangée, on peut rester dans la jauge de Lorentz ¶ⁱA_i = 0 dans laquelle (8) s’écrit :

 

9. ðⁱð_iA_j(x) = µj_j(x) + g_jkk²A^k(x) = µj_j(x) + k²A_j(x)

 

Comme k² = kⁱk_i est un carré de Casimir, on obtient, dans le vide de charges : ðⁱð_iA_j(x) = k²A_j(x), ce qui conduit bien à des solutions de la forme exp(-k.x), kx >= 0 et à une portée 1/|k| finie (Maxwell se retrouve pour k² = 0, i.e. k_i = 0 ou seulement k_i du genre lumière).