Reprenons la méthodologie d'usage : on commence par collecter des données d'observation, ensuite, on cherche un modèle théorique qui rende compte de ces données du mieux possible. Cela a été le cas, notamment, pour la diffusion moléculaire dans R³. L'étude de la collision des molécules au sein d'un gaz a montré que ce comportement était imprévisible à l'avance du fait que le système perdait très rapidement la mémoire des collisions précédentes et que le modèle correspondant, dû à Maxwell, était une répartition gaussienne : la vitesse des molécules du gaz à l'étude se distribue de manière "aléatoire". On a, bien sûr, confronté en retour ce modèle à l'expérience, les résultats se sont avérés relativement corrects. On l'a ensuite amélioré, en le généralisant (Boltzmann).

Dans le cas de la température, c'est pareil : partant d'une source de chaleur Q(x,t) se répartissant dans un volume limité de l'espace classique 3D au cours du temps, on a établi un modèle représentatif du champ de température T(x,t) vérifiant l'équation aux dérivées partielles du second ordre de type parabolique :

(1a)     dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx^adx_a + Q(x,t)          (a = 1,2,3)

où D est un "coefficient de diffusion", en m²/s. A l'extérieur de cette source de chaleur, le modèle correspondant est :

(1b)     dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx^adx_a  

au sens des fonctions et

(1c)     dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx^adx_a + q(t)d(x)

au sens des distributions. Autrement dit, du point de vue fonctionnel, on pose dans (1a) que la source est nulle (puisqu'on étudie la propagation du champ de température hors de celle-ci), alors que, du point de vue plus large des distributions, on se contente de considérer que tout se passe comme si la source était "ponctuelle", de quantité de chaleur q(t) toute entière concentrée en un point référence "x = 0", point de départ de l'observation. Etant donné que d(x) = 0 en tout autre point, on rejoint le point de vue fonctionnel hors de la source.

La solution de (1b) est :

(1d)     T(x,t) = S_R3 T(x',0)(2piDt)^-3/2exp(-|x - x'|²/4Dt)d³x'

avec |x|² = Id_abx^ax^b le carré de la norme du vecteur position x (topologie !) et d³x' = dx'¹dx'²dx'³, l'élément de volume 3D. Le produit Dt est en m². La "fonction-densité" (2piDt)^-3/2exp(-|x - x'|²/4Dt), en m^-3, est le "noyau de la chaleur" : c'est elle qui va diffuser le champ de température hors de sa source d'émission en agissant par convolution sur la valeur initiale T(x',0) de ce champ à l'instant t = 0 choisi comme début de l'observation en tous les points de l'espace autres que le point d'observation x. La "concaténation" de tous ces résultats par intégration, ou "superposition continue" [l'équation (1a) est linéaire], fournira la valeur T(x,t) du champ au point d'observation x à l'instant futur t > 0 (D étant généralement pris > 0, l'exponentielle ne converge que pour t > 0).

Il n'est pas question de remettre en doute ce modèle, ce serait contraire au protocole car cela reviendrait à nier le fait qu'il représente assez fidèlement la diffusion de la température dans l'espace au cours du temps. Mais vous avez déjà un autre modèle de diffusion, celui de Schrödinger, où le coefficient de diffusion est imaginaire pur, conduisant à une gaussienne "oscillante", toujours dans R³ (on ne change rien au cadre physique ; on ne modifie même pas la dynamique, qui reste galiléenne) :

(1e)     T(x,t) = S_R3 T(x',0)(2piDt)^-3/2exp(-|x - x'|²/4Dt)d³x'   avec   D = ih/2pim

où m est la masse au repos d'une "particule". On appelle (1d) diffusion "corpusculaire" et (1e), diffusion "ondulatoire". Les deux comportements sont si éloignés l'un de l'autre, (1d) ayant un noyau hyperbolique alors que (1e) a un noyau elliptique, borné, sans divergence, hormis à t = 0, que toute tentative de regroupement des deux relèverait de ce que j'appelerais de la "diffusion crépusculaire"... ("twilight scattering"...). (1e) est pourtant l'expression de la "fonction d'onde" qui correspond aux observations "quantiques" dans l'espace galiléen R³.

On ne peut pas plus nier l'acuité de (1e) que celle de (1d) pour la diffusion "classique". Ce que je soutiens, c'est que toutes ces observations et leurs apparentes "incompatibilités contextuelles" relèvent du fait qu'elles sont effectuées dans un cadre physique trop restreint, qui ne correspond pas à la réalité. Ce n'est pas parce que c'est "la réalité à laquelle nos sens de perception ont accès" que c'est la véritable réalité : nos sens sont biologiquement limités. Aussi, quand nos instruments de mesure nous donnent des résultats apparemment "aberrants", comme c'est couramment le cas de la "mesure quantique" comparée à la "classique", nous nous retrouvons face à des "contradictions de principe", des "paradoxes", parce que notre cerveau, ultime étape de l'analyse de notre environnement naturel, est habitué à raisonner d'une toute autre manière.

Quand il n'est plus capable de percevoir directement les phénomènes physiques, la seule solution est d'aller en fouiller les structures mathématiques, logiques, abstraites et de se placer dans une physique HORS observateur. C'est la seule manière de le libérer de ses sens de perception qui l'influencent. Il se met alors à raisonner différemment. Et à accepter ce que les structures lui révèlent. Il n'est plus dépendent de données d'observation, de mesures : je n'ai pas l'astuce inventive des praticiens, mais je ne vois pour l'instant aucun moyen de vérifier le spin de l'univers, même de sa partie observable. Pourtant, ce spin existe, parce que l'analyse de la structure du monde physique le prouve. Et là, on se met à devancer l'observation, on se met à prédire des choses qu'on n'a pas encore observées.

Nous en avons déjà longuement parlé : l'espace R³ n'est pas le bon cadre physique. C'est R⁴. Or, nous ne percevons pas directement les effets de R⁴. Encore moins de C² et encore moins de M₂(R). Pourtant les mathématiques nous disent que toutes ces structures sont de même dimension (mais évidemment pas de même nature) et qu'elles sont même en correspondance les unes avec les autres. Or, l'équation mathématique d'une structure du second ordre garde peut-être la même allure pour toutes les structures, mais ne conduit certainement pas aux même résultats. Ainsi, dans R³, cette équation s'écrit-elle :

(2a)     C_ab(x^a - x₀^a)(x^b  - x₀^b) = 0     avec     C_ba = C_ab  ,  x₀^a = ctes.

Dans R⁴, c'est déjà :

(2b)     C_ij(xⁱ - x₀ⁱ)(x^j  - x₀^j) = C_ab(x^a - x₀^a)(x^b  - x₀^b) + 2C_a0(x^a - x₀^a)(x⁰  - x₀⁰) + C₀₀(x⁰ - x₀⁰)² = 0

avec toujours C_ji = C_ij. Dans C², elle prend l'allure :

(2c)     C_AB(x^A - x₀^A)(x^B  - x₀^B) = 0     ,     C_BA = C_AB  ,  x₀^A = ctes

mais avec x^A = x^0A + ix^1A et C_AB = C⁰_AB + iC¹_AB. Quant à M₂(R), c'est (2b) avec la conversion xⁱ = 2^-½sⁱ_ABx^AB, qui donne :

½ C_ijsⁱ_ABs^j_CD(x^AB - x₀^AB)(x^CD - x₀^CD) = 0

soit,

(2d)     C_AB,CD(x^AB - x₀^AB)(x^CD - x₀^CD) = 0     avec C_AB,CD = ½ C_ijsⁱ_ABs^j_CD = C_CD,AB    

Avec des x et des x₀ sans unité, l'équation (2a) autorise le paraboloïde mais en dimension classique 3 seulement. Sinon, avec C_a0 = C_abx₀^b et C₀₀ = C_abx₀^ax₀^b, elle se réduit à l'équation homogène C_ijxⁱx^j = 0, moins générale que (2b). La diffusion dans R⁴ sera donc d'ors et déjà différente de celle dans R³, tout en restant "corpusculaire", puisque d'une part, il faudra y introduire une nouvelle échelle l dont le carré l² remplacera Dt, d'autre part, |x|² = Id_ijxⁱx^j = Id_abx^ax^b + (x⁰)² ; enfin, le terme pré-exponentiel passera en (2pil)^-4 et l'élément de volume 4D sera d⁴x = d³xdx⁰. Bref, tout est modifié, le noyau de la chaleur se mesure en m^-4 et non plus en m^-3. Pour le même type de diffusion, la portée de celle-ci est plus courte en dimension 4 qu'en dimension 3.

Depuis Einstein, on a pris l'habitude de considérer que les effets physiques de la dimension 4 se font percevoir lors de déplacements dans l'espace 3D à des vitesses comparables à celle de la lumière. Néanmoins, depuis les travaux de Penrose, on s'aperçoit que la dimension 4 est plutôt lié à l'existence du spin ½ qu'à un "effet de vitesse". Les deux sont cinématiques : le spin est issu du moment cinétique, produit vectoriel (en dimension 3) de la position d'un corps avec son impulsion. Mais, s'il "suffit", chez Einstein, de "rejetter c à l'infini", ce qui revient à se déplacer à des vitesses très inférieures à celle de la lumière, pour ne plus percevoir "d'effet de 4ème dimension" et retrouver la relativité de Galilée, il s'avère impossible de négliger le spin sans toucher immédiatement à l'espace physique lui-même. Nous en avons déjà parlé : le seul fait de poser que h = 0 implique l'absence de spin. Or, le spin ½, sa plus petite valeur non nulle, n'est pas seulement lié à la dimension 4, il l'est tout autant à la dimension 3 : les "spineurs de Pauli" sont les "équivalents galiléens" des "spineurs de Dirac" en relativité d'Einstein. Aussi, si l'on peut se permettre de poser c = +oo dans la plupart des phénomènes de la vie quotidienne, il est beaucoup plus difficile, contrairement aux apparences, de poser que h = 0, car cela réduirait le spin universel à la valeur zéro, ce qui aurait pour conséquence de limiter le monde physique à la dimension classique 2 : nous serions tous des êtres bidimensionnels dans un monde bidimensionnel. L'absurdité d'une telle affirmation me semble évidente... C'est ce que nous disions dans une bidouille précédente : c ne touche qu'à la dynamique des corps dans l'espace, alors que h touche à la dimension de l'espace lui-même [h = 0 <=> s = 0 <=> D(0) = 2]. Tant que l'on n'appliquait la théorie du spin qu'aux champs physiques à support dans l'espace 3D ou 4D, on pouvait négliger la constante de Planck. Mais ce n'est pas la conclusion à laquelle aboutit Penrose : lui a établi une correspondance mathématique, c'est-à-dire formelle, entre l'espace-temps de Minkowski R^1,3 (genre temps), soit le cadre, et les matrices de spin de Pauli. Cette correspondance s'avère bi-univoque, c'est à dire qu'elle agit dans les deux sens. C'est une équivalence : l'espace-temps de Minkowski possède une structure spinorielle sous-jacente ; les quadrivecteurs correspondent à des spineurs ½ et réciproquement.

Ce n'est pas important, c'est essentiel, parce que les propagateurs sont particulièrement sensibles au nombre de dimensions du cadre physique, même les plus simples d'entre eux : le propagateur newtonien de Id^abd_ad_b = 0 est :

(3a)     N₃(x¹,x²,x³) = 1/[(x¹)² + (x²)² + (x³)²]^½  

celui de Id^ijd_id_j = 0 est

(3b)     N₄(x⁰,x¹,x²,x³) = 1/[(x⁰)² + (x¹)² + (x²)² + (x³)²]

Le rapport entre les deux est de :

(3c)     N₄(x⁰,x¹,x²,x³) = [N₃(x¹,x²,x³)]²/{1 + [N₃(x¹,x²,x³)x⁰]²}

Même pour x⁰ = 0, on n'obtient que :

(3d)     N₄(0,x¹,x²,x³) = [N₃(x¹,x²,x³)]²

Pour que les deux noyaux coïncident, il faut se placer sur les hypersurfaces :

(3e)     x⁰ = +/-[N₃(x¹,x²,x³) - 1]^½/N₃(x¹,x²,x³)   avec   N₃(x¹,x²,x³) >= 1.

Mais x⁰ n'est alors plus une variable indépendante. On voit bien la différence de comportement entre la dimension 3 et la dimension 4 : non seulement N₄ est inversement proportionnel au carré de la distance au centre, alors que N3 n'est inversement proportionnel qu'à celle-ci, mais (x⁰)² + (x¹)² + (x²)² + (x³)² est toujours supérieur ou égal à (x¹)² + (x²)² + (x³)². Deux bonnes raisons pour que la portée de la propagation dans R⁴ soit beaucoup plus courte que celle dans R³.

Voilà un exemple caractéristique de décalage (et donc, d'erreur d'appréciation) que l'on commet inévitablement quand on néglige ne serait-ce que l'extrême petitesse de h (qui n'est pourtant présente nulle part dans les calculs)...

C'est consternant, voire même décourageant : on pensait être dans le vrai, même après l'apparition de la relativité du temps, ce n'est pas le cas... Du coup, on se demande : à quand la découverte d'une nouvelle constante physique fondamentale qui remettra tout en question une fois encore ?...

Je ne sais pas. Tout ce que je peux dire, c'est qu'il faudrait que la recherche fondamentale accorde un peu plus de temps à fouiller les structures jusque dans leurs moindres détails afin d'éviter les approximations de ce genre, qui faussent tout...

On va trop vite en besogne : on n'est pas en sciences appliquées où c'est la course aux résultats pour des questions de compétitivité. En sciences fondamentales, on prend le temps qu'il faut... ça évite d'avoir à revenir en arrière et de tout remettre en cause...

Je sais que beaucoup d'entre vous se disent "les résultats affichés dans ce blog n'ont rien à voir avec ceux que l'on connait". Bin, non... et c'est justement là le problème...


 

Considérons maintenant une source dans R, toujours hors observation. C'est une distribution q(x)dx, de densité q(x). Dans les modèles linéaires d'interaction, cette source va diffuser ses informations à l'aide d'un champ de transmission F(x). La relation entre densité de source et champ sera intégrale et utilisera le "noyau de diffusion" D(x). Celui-ci se couplera à la distribution source via la formule de convolution :

(1a)     F_int(x) = KS_R D(x - x')q(x')dx'

où K est un coefficient de proportionnalité > 0. Cette expression fournira l'allure du champ à l'intérieur de la source. Ce n'est plus ce qui nous intéresse. Nous voulons le champ à l'extérieur de la source. Pour l'obtenir, il faut poser :

(1b)     q_ext(x)dx = qd(x)dx

On trouve alors :

(1c)     F_ext(x) = KqD(x)

Cette partie du champ qui transmet les informations de la source à l'extérieur de celle-ci est le produit de la constante de proportionnalité K, de la "charge topologique" q contenue dans la source et du "diffuseur" D(x). Dans M₂(R), ce dernier a généralement pour expression :

(1d)     Dⁱ(x) = (d/dx){exp[S(x)sⁱ/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)sⁱ/h]sⁱ  

pour la matrice unité sⁱ.

Il est possible de regrouper les formules [B187, (4a) et (4b)] en une seule, à condition de faire intervenir l'unité imaginaire i. Pour éviter d'éventuelles confusions entre elle et l'indice entier i qui parcourt les valeurs de 0 à 3, nous allons réindexer les matrices s au moyen d'indices binaires C et D formant le mot 2C + D. Les expressions [B187, (4a) et (4b)] nous disent que la puissance de i doit être nulle pour s⁰ et égale à 1 pour les 3 autres unités. Le facteur commun doit donc être de la forme i^{(1 - 2C - D)(2 - 2C - D)(3 - 2C - D)/3!}. Comme C et D sont des binaires, on a :

(1 - 2C - D)(2 - 2C - D)(3 - 2C - D) = [2 + (2C + D)² - 3(2C + D)](3 - 2C - D)
                                                 = 2(1 - C - D + 2CD)(3 - 2C - D)
                                                 = 6(1 - C + CD - D) = 6(1 - C)(1 - D)

Ce facteur commun est donc simplement i^{(1 - C)(1 - D)} :

(1e)     exp[S(x)s^CD/h] = ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² + i^{-(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD  

Il en résulte après dérivation :

(1f)     D^CD(x) = [p(x)/h]{i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² + ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD}

Le champ de transmission correspondant est donc :

(1g)     F_ext^CD(x) = KD^CD(x)q

L'opérateur de diffusion D^CD(x) étant à valeurs matricielles, la charge topologique q doit être un nombre à deux composantes q⁰ et q¹, conformément au spin 0. Le champ résultant est alors également à 2 composantes :

(1h)     F_ext^CD,A(x) = KD^CD,A_B(x)q^B  

Le support, lui, par contre, reste R (pour le moment). Soient u^B, les coefficients directeurs de la charge topologique :

(2a)     q^B = |q|u^B  

D'après (1f), on a :

(2b)     F_ext^CD,A(x) = K|q|[p(x)/h]{i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² +
                                               + ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD}^A_Bu^B  
                            = (K/h)|qp(x)|U^CD,A(x)

Les coefficients directeurs du champ F_ext^CD(x) sont alors :

(2c)     U^CD,A(x) = {i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² + ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD}^A_Bu^B  

Ils sont tous réels. Au signe de p(x) près :

(2d)     U^00,A(x) = {-sin[S(x)/h](s¹)² + cos[S(x)/h]s⁰}^A_Bu^B  
(2e)     U^CD,A(x) = {sh[S(x)/h](s¹)² + ch[S(x)/h]s^CD}^A_Bu^B     [(C,D) <> (0,0)]

On souhaiterait que le champ de transmission ait même intensité :

(2f)     |F_ext|(x) = (K/h)|qp(x)|

dans les 4 cas de figure et que ce soit plutôt la topologie qui s'adapte d'une unité à l'autre. Dans le cas de s⁰,

(3a)     U^00,0(x) = -{sin[S(x)/h]u⁰ - cos[S(x)/h]u¹}
(3b)     U^00,1(x) = -{sin[S(x)/h]u¹ + cos[S(x)/h]u⁰}

Dans le cas de s¹,

(3c)     U^01,0(x) = sh[S(x)/h]u⁰ + ch[S(x)/h]u¹  
(3d)     U^01,1(x) = sh[S(x)/h]u¹ + ch[S(x)/h]u⁰  

Dans celui de s²,

(3e)     U^10,0(x) = exp[S(x)/h]u⁰  
(3f)     U^10,1(x) = -exp[-S(x)/h]u¹  

et dans celui de s³,

(3g)     U^11,A(x) = exp[S(x)/h]u^A  

On aimerait que les paramétrisations sur les coefficients directeurs mènent à des identités. Pour s⁰, s'agissant de fonctions du cercle, on a :

(4a)     s¹¹_ABU^00,A(x)U^00,B(x) = s¹¹_ABu^Au^B = (u⁰)² + (u¹)²

Le choix de :

(4b)     u^A = cos(ups - Api/2) = ½ [e^{i(ups - Api/2)} + (1 - 2A)e^{-i(ups + Api/2)}]

mènera donc automatiquement à,

(4c)     s¹¹_ABU^00,A(x)U^00,B(x) = s¹¹_ABu^Au^B = 1
(4d)     U^00,A(x) = cos[S(x)/h - ups + (3 - A)pi/2]

Pour s¹, on est en présence des fonctions de l'hyperbole, suggérant l'utilisation de s² :

(5a)     s¹⁰_ABU^01,A(x)U^01,B(x) = -s¹⁰_ABu^Au^B = -[(u⁰)² - (u¹)²]

Cette fois, c'est le choix de :

(5b)     u^A = ½ [e^ups + (1 - 2A)e^-ups]

qui conduira à,

(5c)     s¹⁰_ABU^01,A(x)U^01,B(x) = -s¹⁰_ABu^Au^B = -1
(5d)     U^01,A(x) = ½ {e^{S(x)/h + ups} - (1 - 2A)e^{-[S(x)/h + ups]}}

Pour s², c'est le produit bilinéaire :

(6a)     ½ s⁰¹_ABU^10,A(x)U^10,B(x) = -½ s⁰¹_ABu^Au^B  

qui, via la paramétrisation,

(6b)     u^A = exp[(1 - 2A)ups] = ch(ups) + (1 - 2A)sh(ups)

va donner l'identité,

(6c)     ½ s⁰¹_ABU^10,A(x)U^10,B(x) = -½ s⁰¹_ABu^Au^B = -1

Enfin, pour s³, c'est :

(7)     s⁰⁰_ABU^11,A(x)U^11,B(x) = s⁰⁰_ABu^Au^B = 0

qui constitue l'identité, étant donné que le coefficient exp[S(x)/h] est commun aux deux composantes.

Ces formules de trace sont invariantes et peuvent être regroupées en la formule unique :

(8)     s^CD_AB{U^1-C,1-D,A(x)U^1-C,1-D,B(x) + [1 - 2(C IAND D)]u^Au^B} = 0

Ainsi, à l'aide de ces topologies associées aux unités de M₂(R), les éventuelles divergences des facteurs exponentiels dans les coefficients directeurs du champ de transmission peuvent être "gommées" au niveau de l'intensité des divers champs, qui conserve alors une valeur commune donnée par (2f) et qui ne dépend plus que de la charge topologique et de l'impulsion p(x). Or, dans les diffuseurs physiques, celle-ci est amenée à diminuer (en valeur absolue) au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source d'émission, puisque le champ de transmission est de moins en moins énergétique.

Des divergences peuvent toutefois persister dans les composantes du champ. Mais de quoi venons-nous de parler ? De paramétrisations. Il ressort nettement de (2b) et (2c) que les F_ext^CD,A(x) sont des paramétrisations du champ F_ext^CD(x) relatif à l'unité s^CD, tout comme  les q^A sont des paramétrisations de la charge topologique. Dès lors, il est tout aussi normal de trouver des facteurs divergents dans une topologie hyperbolique qu'il est normal de trouver des facteurs bornés dans une topologie circulaire. Ce ne sont pas tant les projections du champ sur ses axes de coordonnées que leur "hypothénuse" qui est importante. C'est pourquoi j'ai insisté sur l'amplitude du champ : à moins que p(x) ne présente des pôles, celle-ci ne diverge nulle part. Que les composantes F_ext^CD,A(x) puissent diverger n'a donc pas de réelle importance, l'essentiel est que les identités (8) soient satisfaites partout, dans et hors de la source. Pour présenter les choses sous un angle légèrement différent, disons que les divergences apparaissent du fait de la topologie : dans la topologie circulaire (4b) et (4d), il n'y a pas de divergences ; dans (5b) et (5d), il y en a.

En introduisant un paramètre "temps" t, le rapport de phase S(x)/h peut être remplacé par le rapport d'inerties I(x)/ht. Comme exemple d'application des résultats établis ci-dessus dans le cas de la diffusion "libre", considérons le modèle gaussien I(x) = -½ mx², où m est la "masse topologique" de la source. On a alors :

(9a)     D^CD(x,t) = (d/dx){exp[I(x)s^CD/ht]} = (d/dx)[exp(-mx²s^CD/2ht)]
                       = (mx/ht){i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht](s¹)² - ch[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht]s^CD}

(9b)     F_ext^CD,A(x,t) = K|q|(mx/ht){i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht](s¹)² -
                                                 - ch[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht]s^CD}^A_B(x)q^B  
(9c)     |F_ext|(x,t) = (K/h)|qmx/t| = (K/h)|qm<v>|
(9d)     <v> = x/t = vitesse moyenne

Il est inutile d'aller plus loin car on se rend immédiatement compte que l'intensité du champ de diffusion va augmenter avec la distance à la source. Conclusion très différente (et même à l'antipode, on peut le dire) de celle à laquelle le modèle (d/dx)[exp(-mx²/2ht)] aboutissait dans R. L'amplitude n'était pas du tout calculée de la même manière, puisqu'elle tenait compte du facteur exponentiel, convergent. Dans M₂(R), on se retrouve, au contraire, avec un "effet de rappel" d'impulsion moyenne m<v> et donc de force m<a> = mx/t². Le malheur est que la structure de M₂(R) prédomine largement sur celle de R et même de C ou du corps H des quaternions d'Hamilton, parce qu'elle est beaucoup plus riche. Il semble donc que l'on ait un petit problème d'approximation dû à la vision restrictive des choses. Je ne cherche pas à imposer ma conclusion sur celle de Gauss, je ne fais que constater les différences fondamentales de comportement d'un environnement à l'autre. L'amplitude (9c) converge sur la durée, mais diverge sur la distance. A contrario, l'amplitude de Gauss (m<v>/h)exp(-mx²/2ht) convergeait sur la distance comme sur la durée (à condition de rester dans le sens présent -> futur) en raison du facteur exponentiel. Ce n'était qu'aux alentours de "l'instant présent" t = 0 qu'elle se "rétrécissait" en une "fonction densité de Dirac". Rien de tel ne se produit dans M₂(R), pas même dans le cas de s³, puisque (3g) n'est qu'une paramétrisation. Autrement dit, Gauss utilise une paramétrisation exponentielle, d'où la présence du facteur exp(-mx²/2ht), que l'on retrouve d'ailleurs dans D¹¹(x,t) et qui est commun aux deux composantes de champ F_ext^11,A(x,t). Alors :

a) on a fini par prendre la constante de Planck h en compte dans les calculs "quantiques", mais sans tenir compte du spin du cadre, qui mène, non pas à R, mais à R² (même pour un spin 0...) et à une algèbre d'opérateurs M₂(R) ;
b) on pensait que s³ était "l'unité" de M₂(R), semblable au "1" dans R, c'est en réalité s¹ ;
c) on pensait également que le facteur exponentiel était "indispensable" à l'amplitude du champ de diffusion, alors qu'il ne s'agit en fait que d'une paramétrisation.

Beaucoup d'a priori et d'omissions qui conduisaient à des conclusions fort éloignées des résultats actuels. Il est tout à fait possible (et c'est même le cas) que l'on observe une diffusion gaussienne en -(mx/ht)exp(-mx²/2ht) dans R, sauf que CE N'EST PAS LE BON CADRE PHYSIQUE : IL EST TROP RESTREINT...

 

Dans cette bidouille, nous allons utiliser l'isomorphisme d'espaces vectoriels M₂(R) ~ R⁴ ~ C² ~ H.

Si nous reprenons les propriétés de base des unités fondamentales de M₂(R) établies en [B178, (25-28)], nous recevons déjà confirmation que l'unité antisymétrique s⁰ se comporte bien comme l'unité imaginaire i de C :

(1a)     (s⁰)^-1 = -s⁰  <->  i^-1 = -i  ,  (s⁰)² = -Id = -s³  <->  i² = -1

Pour s¹, c'est plus subtil. [B178, (25) et (26)] établissent que (s¹)^-1 = s¹ et (s¹)² = Id = s³. s¹ semble donc se comporter de la même manière que s³ vis-à-vis de l'inversion et de l'élévation au carré, puisque (s³)^-1 = s³ et (s³)² = s³. Aussi, si l'on tente de faire correspondre ces deux matrices unités à l'unité de C, on se retrouve avec une assimilation ambigüe :

(1b)     (s¹)^-1 = s¹  <-> 1^-1 = 1  ,  (s¹)² = Id = s³  <->  1² = 1

mais aussi et en même temps,

(1c)     (s³)^-1 = s³  <-> 1^-1 = 1  ,  (s³)² = Id = s³  <->  1² = 1.

En d'autres termes, il semble y avoir coïncidence entre les rôles de s¹ et s³ dans M₂(R) et celui de 1 dans C. Il n'est pas possible d'attribuer s¹ à -1, étant donné que (-1)^-1 = -1. Le fait de passer du corps algébrique C, anneau unitaire, à l'algèbre M₂(R) à deux unités s⁰ et s¹ lève cette ambiguité, puisque non seulement s¹ = (0,1,1,0) se distingue nettement de s³ = (1,0,0,1), mais leurs invariants ne sont pas du tout les mêmes : Tr(s¹) = 0, Tr(s³) = 2, Det(s¹) = -Det(s³) = -1. s¹ se diagonalise d'ailleurs en s² = (1,0,0,-1) (et s⁰ en is² dans C - s⁰ n'est pas diagonalisable dans R). Pour s'y retrouver, on se tourne vers les relations de commutation [B178, (28)], qui donnent les correspondances :

(1d)     (s⁰)²s¹ = s¹(s⁰)² = -s¹  <->  i².1 = 1.i² = -1  ,  s⁰(s¹)² = (s¹)²s⁰ = s⁰  <->  i.1 = 1.i = i.

C'est donc bien s¹ qui joue le rôle de 1 dans C et non s³.

On peut affirmer cela pour deux raisons : les propriétés [B178, (28)] conduisent aux relations de commutativité comme d'anti-commutativité entre les 4 unités de M₂(R) et s³ n'est pas fondamentale. L'ambiguité dans C est levée dans M₂(R) et elle n'est pas en faveur de s³. Comme quoi, les apparences peuvent s'avérer plus que trompeuses... En résumé :

(1e)     s⁰  <->  i  ,  s¹  <->  1  ,  (s⁰)² = -(s¹)²  <->  i² = -1  ,  (s⁰)⁴ = (s¹)⁴  <->  i⁴ = 1.

Ce qui ne conduit pas pour autant à s⁰ = is¹, même dans C.

La structure de M₂(R) se révèle donc plus riche que celle de C et pas seulement en raison de l'isomorphisme entre M₂(R) et C², qui l'assimilerait au corps des quaternions d'Hamilton H. En fait, on est parti du principe, somme toute assez logique, que s³ était l'homologue de 1 dans M₂(R) parce que s³ réalise l'opération identique à l'instar de 1 qui ne change pas le résultat d'une multiplication et que s³ reproduisait, le long de sa diagonale, l'unité 1 des réels. Seulement, ces arguments, qui ne sont après tout que des hypothèses, ne se révèlent pas seulement insuffisants, mais faux. Cela peut paraître choquant sur le plan conceptuel, mais c'est bel et bien (0,1,1,0) qui représente le nombre 1 : l'anti-diagonale, pas la diagonale... s¹ est une racine carrée de s³. Or, la racine carrée correspondante de 1 est 1, d'où l'ambiguïté...

Ça change tout pour la suite. La loi sur l'inversion des matrices dit que, pour toute matrice M de déterminant non nul, il existe une seule matrice notée M^-1 de déterminant non nul (et donc, fini) telle que :

(2a)     M.M^-1 = M^-1.M
(2b)     M.M^-1 = s³ = (s¹)²

Cette dernière identité montre que s¹ est la moyenne quadratique de M et de son inverse. Etant donné que :

(2c)     Det(M)Det(M^-1) = Det²(s¹) = +1

Le déterminant de M^-1 doit être du même signe que Det(M). Effectivement, Det(M^-1) = 1/Det(M).

Ce cas est une particularité (importante) de la relation beaucoup plus générale :

(2d)     M.N = P²  ,  N.M = Q²

qui montre que P et Q sont les moyennes quadratiques des matrices M et N. Si ces dernières commutent, alors Q² = P², qui n'entraîne pas systématiquement Q = +/-P. Lorsque Det(M) <> 0, N = M^-1.P² et Q² = M^-1.P².M est alors un changement de représentation de P² : M.Q² = P².M.

En fait, (2b) énonce que, pour toute matrice inversible M, il existe une seule matrice inverse M^-1 commutant avec M telle que s¹ soit la moyenne quadratique du produit de M par M^-1.

Dans R, c'est comme si l'on écrivait que, pour tout réel x non nul, xx^-1 = x^-1x = 1². Or :

Il existe un moyen de ramener M₂(R) à une structure de corps algébrique. Ce moyen n'est pas linéaire, mais (1e) montre qu'il est quadratique, puisque les deux unités linéaires de M₂(R) sont reliées par l'identité quadratique :

(2e)     (s⁰)² + (s¹)² = (s⁰ + s¹)² = 0.

qui implique l'identité quartique :

(2f)     (s⁰)⁴ - (s¹)⁴ = [(s⁰)² + (s¹)²][(s⁰)² - (s¹)²] = [(s⁰)² - (s¹)²][(s⁰)² + (s¹)²] = 0.

Aussi, à l'instar de "1" qui constitue la seule unité de C, s¹ peut être utilisée comme unique unité de M₂(R), moyennant les identités (2e) et (2f) ci-dessus, ainsi que la relation quadratique (2b). Tout cela fait alors de M₂(R) une "algèbre unitaire réelle quadratique".

On peut également considérer C comme telle, puisqu'on y inclut les réels de carrés négatifs. L'identité (2e) dit que la somme des carrés des unités fondamentales de l'algèbre M₂(R) est nilpotente.

s¹ ne commute pas avec toutes les matrices, mais son carré, si. C'est donc lui qu'il faut utiliser dans l'exponentiation. Je rappelle que l'exponentielle d'une matrice M de M₂(R) est la matrice définie au moyen de la série :

(3a)     exp(M) = S_n=0^+oo Mⁿ/n!

Pour M = 0, il convient maintenant de poser que :

(3b)     exp(0) = (s¹)²

Ou encore, que :

(3c)     M⁰ = (s¹)²     pour toute matrice M de M₂(R).

Autrement dit, que s¹ est la moyenne quadratique ("corps algébrique quadratique") de l'exponentielle de la matrice nulle ou encore, de toute matrice de M₂(R) élevée à la puissance zéro. On a alors :

(3d)     exp(M) = (s¹)² + S_n=1^+oo Mⁿ/n!

Soit maintenant S(x) une fonction de Jacobi à support dans R et h, la constante de Planck. On a :

exp[S(x)s⁰/h] = S_n=0^+oo [S(x)/h]ⁿ(s⁰)ⁿ/n!
                    = {S_n=0^+oo (-1)ⁿ[S(x)/h]²ⁿ/(2n)!}(s¹)² + {S_n=0^+oo (-1)ⁿ[S(x)/h]²ⁿ⁺¹/(2n + 1)!}s⁰  

exp[S(x)s^a/h] = S_n=0^+oo [S(x)/h]ⁿ(s^a)ⁿ/n!          (a = 1,2,3)
                    = {S_n=0^+oo [S(x)/h]²ⁿ/(2n)!}(s¹)² + {S_n=0^+oo [S(x)/h]²ⁿ⁺¹/(2n + 1)!}s^a  

soit,

(4a)     exp[S(x)s⁰/h] = cos[S(x)/h](s¹)² + sin[S(x)/h]s⁰  
(4b)     exp[S(x)s^a/h] = ch[S(x)/h](s¹)² + sh[S(x)/h]s^a         (a = 1,2,3)

Ensuite,
 
(d/dx){exp[S(x)s⁰/h]} = [p(x)/h]{-sin[S(x)/h](s¹)² + cos[S(x)/h]s⁰}
                              = [p(x)/h]exp[S(x)s⁰/h]s⁰  
(d/dx){exp[S(x)s^a/h]} = [p(x)/h]{sh[S(x)/h](s¹)² + ch[S(x)/h]s^a}
                              = [p(x)/h]exp[S(x)s^a/h]s^a 

Donc :

(4c)     (d/dx){exp[S(x)sⁱ/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)sⁱ/h]sⁱ         (i = 0,1,2,3)

avec p(x) = dS(x)/dx l'impulsion au point x.

Il existe une différence notoire entre l'équation limite exp[S(x)/h] = 0 dans R et l'équation matricielle exp[S(x)sⁱ/h] = 0 dans M₂(R). La première implique que S(x) -> -oo ; la seconde, que exp[S(x)sⁱ/h] soit la matrice nulle. Or, s⁰ et s¹ ne sont pas diagonales, mais anti-diagonales, tandis que (s¹)² = s³ et s² = s⁰s¹ sont diagonales. Par conséquent, dans le cas de s⁰ :

exp[S(x)s⁰/h] = 0  =>  cos[S(x)/h] = 0  et  sin[S(x)/h] = 0.

On sait pertinnemment que ces deux relations ne peuvent jamais être satisfaites simultanément. Par conséquent, exp[S(x)s⁰/h] ne peut jamais tendre vers la matrice nulle. En revanche, cos(.) et sin(.) restent toujours à l'intérieur de l'intervalle [-1,+1], donc (d/dx){exp[S(x)s⁰/h]}, elle, peut tendre vers zéro si p(x) -> 0.

Pour s¹ :

exp[S(x)s¹/h] = 0  =>  ch[S(x)/h] = 0  et  sh[S(x)/h] = 0.

Or, ch(.) ne s'annule jamais. Sa valeur minimale est +1. Lorsque S(x) -> +oo, ch[S(x)/h] et sh[S(x)/h] diverge exponentiellement. Lorsque S(x) -> -oo, ch[S(x)/h] -> +oo, sh[S(x)/h] -> -oo, mais ces deux divergences ne se compensent plus, car ch[S(x)/h] figure le long de la diagonale de exp[S(x)s¹/h] et sh[S(x)/h], le long de son anti-diagonale. Le résultat est donc la matrice limite (+oo)(+1,-1,-1,+1), qui est divergente. Il en ira de même pour la matrice dérivée (d/dx){exp[S(x)s¹/h]}, car p(x) -> 0 moins vite que les fonctions hyperboliques divergeront.

Dans le cas de s² :

exp[S(x)s²/h] = [e^S(x)/h,0,0,e^-S(x)/h]

De nouveau, l'une des deux composantes diagonales diverge forcément lorsque S(x) -> oo. Si S(x) -> +oo, le résultat est la matrice (+oo,0,0,0) ; si S(x) -> -oo, (0,0,0,+oo). Idem : p(x) ne tendra jamais vers zéro aussi vite que l'une des exponentielles divergera.

Il n'y a vraiment que s³ qui puisse converger lorsque S(x) diverge et encore, sous condition, puisque :

exp[S(x)s³/h] = exp[S(x)/h](s¹)² -> 0   pour   S(x) -> -oo.

Dans ce dernier cas, (d/dx){exp[S(x)s³/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)/h](s¹)² convergera lorsque S(x) -> -oo, même si p(x) devait diverger.
 

Quelques remarques avant de poursuivre.

1) J'ai tenu à faire les calculs en l'absence d'observateur, pour être certain que la mesure n'influe pas sur les résultats. Nous allons poursuivre sur cette voie. Cadre et champs seront donc considérés comme des continuums et on pourra poser formellement que les étalons sont nuls après calcul des taux de variation, ce qui simplifie considérablement les expressions. Mais ce n'est pas dans ce but que je me suis placé. Il s'agit vraiment de comprendre comment les choses se passent d'elles-mêmes, quand il n'y a personne pour les observer. C'est dans ce contexte, et uniquement celui-ci, que l'approximation de Leibnitz se justifie pleinement.

2) Quand on utilise la RG, il faut faire bien attention à la direction dans laquelle on effectue les calculs : si l'on part d'un champ de contraintes donné, c'est bien la métrique avant déformation qu'il faut utiliser pour remonter à la forme de la source ; mais, si l'on part de cette forme et que l'on cherche le champ de contraintes appliquées correspondant, comme c'est le cas ici, c'est la métrique après déformation qu'il faut considérer.

3) Alors, j'ai lu, dans les ouvrages consacrés à la théorie gravitationnelle d'Einstein que, pour être physiques, les potentiels métriques doivent converger à l'infini spatial, sous peine de ne pas représenter un véritable champ, mais de simples effets inertiels. Dans le contexte de la RG, c'est un peu absurde. Placez-vous dans un référentiel (x,y) où le g_ik est diagonal (pour simplifier). Alors, Det(g) = g₀₀g₁₁ et g⁰⁰ = 1/g₀₀, g¹¹ = 1/g₁₁. Et ceci reste valable en toute dimension. Par conséquent, si g_ik -> 0 pour (x² + y²)^½ -> oo, g^ik diverge (et inversement). Or, la RG originelle d'Einstein se base sur le principe d'équivalence de Newton, qui dit qu'en tout point de l'espace où agit un champ de gravitation, il existe un référentiel dans lequel le g_ik est diagonalisable. Vous en déduisez ?... Que l'exigence de la théorie des champs considérés comme non liés au cadre devient absurde en RG... Pourquoi ? Une fois de plus, parce que l'on part du principe selon lequel les solutions DANS la source se propagent A L'EXTERIEUR de celle-ci et doivent donc diminuer d'intensité au fur et à mesure que l'on s'éloigne de leur centre d'émission...

Cette dernière remarque vient à point nommer. Chez Maxwell comme chez Einstein ou, plus généralement encore, Yang et Mills, les sources émettent des "ondes" qui se propagent dans l'espace-temps classique 4D. Elles servent "d'émetteurs" à d'éventuels "récepteurs". Mais qu'appelle-t-on des "ondes" ? Vous remarquerez que tous ces modèles se basent sur des (systèmes d') équations aux dérivées partielles du 2nd ordre hyperboliques en les "potentiels de champ". Même la RG n'y échappe pas et c'est d'ailleurs la raison pour laquelle Einstein s'est tourné vers la géométrie de Riemann : non seulement pour étendre le Principe d'Equivalence de Newton, mais aussi pour imiter le modèle maxwellien de l'électromagnétisme. Il s'agissait alors de décrire une "source" émettant des "potentiels de gravité" qui se propageraient ensuite dans l'espace-temps extérieur à cette "source" sous forme "d'ondes gravitationnelles".

Toute onde est évidemment un signal. Mais tout signal est loin d'être toujours une onde.

Si vous prenez "l'équation de la chaleur", qui est de type parabolique, vous débouchez sur un processus, non plus de propagation, mais de diffusion. L'information continue d'être transmise, mais plus sous la forme d'une onde. Enfin, si : par extension, on a coutume de l'appeler onde "de diffusion". Mais ses caractéristiques sont très différentes.

Si vous prenez une équation, toujours du 2nd ordre, mais de type elliptique, vous obtenez un "potentiel". Ce dernier cas est particulièrement probant dans les espaces quantiques. Prenez 2^2s coordonnées quantiques zⁱ = xⁱ + iyⁱ. L'opérateur invariant du 2nd ordre :

(1)     d²/dzⁱdz_i = Id^ijd²/dzⁱdz^j = (d²/dxⁱdx_i - d²/dyⁱdy_i) + 2id²/dxⁱdy_i  
                     = (d²/dxⁱdx_i - d²/dyⁱdy_i) + ½ i[(d/dxⁱ + d/dyⁱ)(d/dx_i + d/dy_i) - (d/dxⁱ - d/dyⁱ)(d/dx_i - d/dy_i)]

donne automatiquement naissance à des opérateurs classiques hyperboliques, ce qui veut dire qu'un potentiel quantique (le membre de gauche est elliptique) produit systématiquement deux ondes classiques. Il devient dès lors inutile de rechercher des "propagateurs de type ondulatoire" dans un C^{p(s-½),q(s-½)}, puisque le carré de l'unité imaginaire fait le travail : du point de vue classique, vous retrouverez la même situation que dans un C^D(s-½). Et ceci s'explique aisément. Si vous exprimez chaque zⁱ en représentation polaire classique zⁱ = |z|ⁱexp(iksiⁱ) et que vous faites varier l'angle ksiⁱ tout en conservant l'amplitude |z|ⁱ constante, vous débouchez sur deux oscillations classiques :

(2)     xⁱ(ksiⁱ) = |z|ⁱcos(ksiⁱ)   et   yⁱ(ksiⁱ) = |z|ⁱsin(ksiⁱ)

de même amplitude, mais en quadrature de phase. Ainsi, que vous vous placiez dans un espace quantique ou dans un espace-temps quantique, classiquement, vous obtiendrez des "ondes".

Vous voyez d'ailleurs que la "dualité onde-corpuscule" à la base de la "mécanique ondulatoire" correspond bien aux espaces complexes : si vous considérez le nombre complexe zⁱ, il représente un "corpuscule" (ou, tout du moins, sa projection sur le i-ème axe) ; dès que vous le décomposerez en composantes classiques et que vous ferez varier l'angle ksiⁱ, vous obtiendrez des "oscillations de base". Vous pourrez faire de même avec n'importe quelle fonction quantique F(z) des variables zⁱ, puisque celle-ci se décomposera classiquement toujours en :

(3a)     F(z) = |F|(x,y)exp[iPHI(x,y)]

A gauche, un "corpuscule image" F = F(z) ; à droite, deux "paquets d'ondes de base" classiques,

(3b)     F⁰(x,y) = |F|(x,y)cos[PHI(x,y)]   et   F¹(x,y) = |F|(x,y)sin[PHI(x,y)]

dès que vous ferez varier PHI(x,y).

La "quantique", c'est de la géométrie complexe, parce que l'unité imaginaire i est la seule quantité "purement quantique".

Tout le reste, c'est de la statistique, liée à la mesure et à l'observabilité des processus. Schrödinger, par exemple, c'est de la statistique parce que l'amplitude du signal est une amplitude de probabilité de présence. Sinon, c'est de la diffusion. Sauf qu'elle n'est plus classique, en raison de la présence de l'unité imaginaire :

(4a)     d/dt = i(h/2m)d²/dx^adx_a     (a = 1,2,3)

C'est de la diffusion quantique. Tout s'explique : s'il y a i, c'est du quantique ; sinon, c'est du classique. Dans la diffusion moléculaire classique, j'ai un coefficient de diffusion D réel, en m²/s, et une équation parabolique :

(4b)     d/dt = Dd²/dx^adx_a     (a = 1,2,3)

Chez Schrödinger, j'ai D = i(h/2m) : un coefficient de diffusion purement imaginaire. La transmission de l'information se fait suivant le même processus, mais plus du tout de la même manière : si vous élevez l'opérateur d/dt au carré dans les deux expressions ci-dessus, vous obtenez, pour le classique,

(4c)     d²/dt² - D²d⁴/(dx^adx_a)² = 0

et pour le quantique,

(4d)     d²/dt² + (h/2m)²d⁴/(dx^adx_a)² = 0

Ce qui était monotone devient oscillant et ce qui était oscillant devient monotone.

Suivant l'équation à laquelle obéit un "potentiel de champ", l'information sera transmise de telle ou telle manière. Mais elle sera toujours transmise, du fait que ce potentiel établit une corrélation fonctionnelle (pas nécessairement statistique) entre deux points ou objets distants du même espace.

Tiens, un exemple caractéristique, même en espace classique : la vitesse de déformation du cadre sous les contraintes imposées par une source est ce_i^j(x) = cdX^j(x)/dxⁱ. C'est aussi la vitesse de déplacement d'un point x au point image x' = X(x). Pour que toutes ces vitesses restent =< c, il faut que 0 =< |e_i^j(x)| =< 1 : c'est tellement restrictif que ça confine presque à l'absurde... ça exige que l'espace se contracte dans toutes ses directions. Imposer la causalité partout est beaucoup trop contraignant. Et vouloir la préserver en invoquant des arguments statistiques ne me semble pas être la solution.

En conclusion, les choses semblent bien plus simples qu'elles n'y paraissent de prime abord. Toutes les difficultés techniques que nous avons rencontrés pendant des années provenaient exclusivement du fait que la construction du corps des nombres complexes était mal faite, ce qui nous a obligé à travailler en géométrie réelle, c'est-à-dire, classique. La réparation de C permet à présent de transférer les modèles d'interaction entre objets des espaces classiques R^D(s) aux espaces quantiques C^{D(s - ½)} avec, rappelons-le, D(s) = 2^2s+1 et donc D(s - ½) = 2^2s. Si les phénomènes dits "parapsychiques" ont bien une origine quantique, nous devrions être en mesure de leur trouver une explication ou de les infirmer. En effet, contrairement aux espaces classiques, qui n'acceptent que des surfaces positives ou nulles, les espaces quantiques autorisent les "surfaces négatives" en raison de i² = -1. De telles surfaces n'existent évidemment pas en réalité, elles correspondent à des surfaces purement quantiques. Mais l'omniprésence de l'unité quantique i dans les cadres comme dans les champs et les objets fait que les espaces quantiques "bouclent sur eux-mêmes" : ils sont auto-suffisants, contrairement aux espaces classiques. Cela veut dire que, si des phénomènes physiques doivent s'y produire, alors ces phénomènes sont forcément explicables par la quantique, i.e. par la géométrie complexe. Sinon, il y a de très fortes chances qu'ils n'existent pas et qu'il faille chercher la réponse au niveau comportemental.

C'est un critère de sélection fiable, mais assez sévère : "vous êtes quantiques ou vous sortez de l'imagination", sans jeu de mot.

La SEULE grandeur quantique est i, l'unité imaginaire, la racine carrée de -1. Toutes les autres en découlent. Vous prenez un nombre complexe quelconque z = x + iy = re^iksi, toutes les quantités sont réelles, i.e. "classiques", de carrés positifs, seule i ne l'est pas. Nous allons donc commencer par étudier la déformation suivante de l'espace classique R² :

(1)     x' = xch(ky)  , y' = xsh(ky)     ,     x >= 0  ,  k <> 0,

soit x⁰ = x, x¹ = y, x'⁰ = x', x'¹ = y'. Cette transformation n'étant pas linéaire en y, on a forcément de la courbure :

e_i^j = dx'^j/dxⁱ =>

(2a)     e₀⁰ = ch(ky)  ,  e₀¹ = sh(ky)  ,  e₁⁰ = kxsh(ky)  ,  e₁¹ = kxch(ky)  
(2b)     Det(e) = kx

g_ij = Id_kle_i^ke_j^l = e_i⁰e_j⁰ + e_i¹e_j¹ =>

(2c)     g₀₀ = ch(2ky)  ,  g₀₁ = kxsh(2ky)  ,  g₁₁ = k²x²ch(2ky)  
(2d)     Det(g) = k²x²

(2e)     g⁰⁰ = ch(2ky)  ,  g⁰¹ = -sh(2ky)/kx  ,  g¹¹ = ch(2ky)/k²x²

C_ij,k = ½ (-d_kg_ij + d_ig_jk + d_jg_ik) =>

(3)     C_00,0 = 0  ,  C_01,0 = ksh(2ky)   ,  C_11,0 = k²xch(2ky)
         C_00,1 = 0  ,  C_01,1 = k²xch(2ky)  ,  C_11,1 = k³x²sh(2ky)
 
R₀₁₀₁ = d₀C_11,0 - d₁C_01,0 + g⁰⁰[C_00,0C_11,0 - (C_01,0)²] + g¹¹[C_00,1C_11,1 - (C_01,1)²] =>

(4a)     R₀₁₀₁ = -k²ch²(2ky)[ch(2ky) + 1]

R_ik = g^jlR_ijkl = g⁰⁰R_i0k0 + g¹¹R_i1k1 =>

(4b)     R₀₀ = -ch³(2ky)[ch(2ky) + 1]/x²  ,  R₀₁ = 0  ,  R₁₁ = -k²ch³(2ky)[ch(2ky) + 1]

R = g^ikR_ik = g⁰⁰R₀₀ + g¹¹R₁₁ =>

(4c)     R = -2ch⁴(2ky)[ch(2ky) + 1]/x²

La courbure de Riemann et ses invariants sont tous négatifs. Elles ne s'annulent jamais, excepté asymptotiquement à l'infini de x. A noter que R₁₁ ne dépend pas de x.

En dimension classique 2, le tenseur contraintes de la source s'exprime en J/m², ce qui donne un coefficient de couplage en J^-1, soit 1/m_plc² :

(5a)     T_ik = m_plc²R_ik  
(5b)     T₀₀ = -m_plc²ch³(2ky)[ch(2ky) + 1]/x² < 0
(5c)     T₁₁ = -m_plc²k²ch³(2ky)[ch(2ky) + 1] < 0.

Les contraintes normales sont négatives, on a affaire à une dilatation.

Maintenant, on effectue la substitution k -> ik dans (1). On trouve, successivement :

(6)     x' = xcos(ky)  , y' = ixsin(ky)   

(7a)     e₀⁰ = cos(ky)  ,  e₀¹ = isin(ky)  ,  e₁⁰ = -kxsin(ky)  ,  e₁¹ = ikxcos(ky)  
(7b)     Det(e) = ikx

(7c)     g₀₀ = cos(2ky)  ,  g₀₁ = -kxsin(2ky)  ,  g₁₁ = -k²x²cos(2ky)  
(7d)     Det(g) = -k²x²

(7e)     g⁰⁰ = cos(2ky)  ,  g⁰¹ = sin(2ky)/kx  ,  g¹¹ = -cos(2ky)/k²x²

(8)     C_00,0 = 0  ,  C_01,0 = -ksin(2ky)   ,  C_11,0 = -k²xcos(2ky)
         C_00,1 = 0  ,  C_01,1 = -k²xcos(2ky)   ,  C_11,1 = k³x²sin(2ky)

(9a)     R₀₁₀₁ = k²cos²(2ky)[cos(2ky) + 1] >= 0

(9b)     R₀₀ = -cos³(2ky)[cos(2ky) + 1]/x²  ,  R₀₁ = 0  ,  R₁₁ = k²cos³(2ky)[cos(2ky) + 1]

(9c)     R = -2cos⁴(2ky)[cos(2ky) + 1]/x² =< 0

(10a)     T₀₀ = -m_plc²cos³(2ky)[cos(2ky) + 1]/x²
(10b)     T₁₁ = m_plc²k²cos³(2ky)[cos(2ky) + 1]

Cette fois, la courbure de Riemann est positive ou nulle, les courbures de Ricci ne sont plus de signe défini et la courbure de Gauss est négative ou nulle. Toutes ces courbures s'annulent pour :

(11)     ky = (2n + 1)pi/4  ou  ky = (2n + 1)pi/2

Elles vont alternativement changer de signe, entrainant une alternance de dilatations et de compressions.

Voilà la différence entre le classique et le quantique : la transformation (1) est dans R², mais pas (6), qui se trouve dans C. La source (5) dilate R² et a pour enveloppe l'hyperbole x'² - y'² = r². Elle n'est donc pas compacte et ne peut représenter une source physique réelle. Au contraire, la source (10) est oscillante. Elle n'est plus de dimension classique 2, mais de dimension quantique 1, ce qui fait que son enveloppe (6) a en fait pour équation :

(12)     x' + y' = xe^iky  

avec x' classique, mais y' quantique. Classiquement, c'est un disque de rayon x vibrant à la pulsation k. Du point de vue quantique, x' + y' = z' est l'équation d'une droite. La source est donc assimilable à une corde quantique. Au gré de ses pulsations, elle impose des compressions et des dilatations dans chaque direction du plan R². Elle déforme alternativement l'espace classique 2D. Côté énergies classiques, B 168 fournit une équivalence :

(13a)     E_ik = m_plc²g_ik  
(13b)     E₀₀ = m_plc²cos(2ky)  ,  E₀₁ = 0  ,  E₁₁ = -m_plc²k²x²cos(2ky)

Si l'énergie appliquée à la direction x⁰ = x, i.e. le long de la distance radiale, reste bornée entre -E_pl et +E_pl, celle appliqué dans la direction x¹ = y, associée à la phase de l'onde, croit comme le carré de la distance radiale en valeur absolue (on trouve 0 =< |E₁₁| =< m_plc²k²x²). Or, x représente la "longueur" de la corde. Donc, plus celle-ci "s'allonge", plus m_plc²k²x² augmente. Pour une "longueur" x donnée, m_plc²k²x² augmente également comme le carré de la pulsation : plus la corde de longueur x fixée vibre rapidement, plus l'énergie m_plc²k²x² est importante.

La transformation (12) est ce qui définit en fait une dimension quantique. On a bien amplitude x et phase ky. L'onde classique correspondante est élémentaire. Physiquement, (12) semble donc faire le parallèle entre "corde quantique" et "dimension quantique". Dans un C^D(s-½), vous trouvez D(s - ½) = 2^2s cordes quantiques de la forme (12), d'amplitudes xⁱ et de phases ksiⁱ. Comme on dénombre également 2^2s coordonnées yⁱ, le nombre d'onde k est remplacé par un tenseur k_i^j, de manière à ce que l'on ait :

(14)     ksiⁱ = kⁱ_jy^j  

Les dimensions sont indépendantes, on conçoit donc que les cordes vibrent indépendamment les unes des autres.