On commence par un constat mathématique (pas seulement physique) très général, dont la preuve me semble établie depuis longtemps. Nous adopterons la convention de sommation d'Einstein pour condenser les formules, mais en précisant tout de même les bornes des indices.

 
En notant N_D = N/DN = {1,2,...,D} l'ensemble des entiers naturels strictement positifs modulo D, soit :

(1)     x : N_D -> C  ,  a -> x(a) = x^a  

l'application qui définit un C-espace vectoriel ou affine de dimension entière FINIE D. Alors, x est nécessairement périodique de période D :

(2)     x(a + D) = x(a)

et admet une décomposition de Fourier,

(3)     x(a) = x^a = ½ x_(1-2A)n(D)[q(D)]^(1-2A)na     (A = 0,1 ; 1 =< a =< D ; n dans N)

avec,

(4)     q(D) = e^2ipi/D = "quantum dimensionnel" (D-ième racine de l'unité)
(5)     x_(1-2A)n(D) = D^-1S_a=1^D x(a)[q(D)]^(2A-1)na  

Le mode fondamental est la moyenne arithmétique des x(a) :

(6)     x₀(D) = D^-1S_a=1^D x(a)


Regardons bien l'expression (3). Les modes x_(1-2A)n(D) ne dépendent que de la dimension totale du cadre. Ils pondèrent les puissances du quantum dimensionnel (4). Laissons momentanément de côté l'exposant (1 - 2A)n. La direction a s'obtient par auto-couplage du quantum a fois. C'est donc q(D) qui est fondamental. A partir de lui, i.e. D'UNE SEULE DIMENSION (a = 1), toutes les autres se construisent en le couplant avec lui-même : x¹ utilise q(D) ; x², q²(D) ; x³, q³(D) ; etc.

Dans le cas des espaces PHYSIQUES, spin-signature dit que c'est le nombre quantique de spin associé au cadre, i.e. le nombre total de ses états de configuration possibles, qui détermine leur dimension. Pour les espaces quantiques, c'est D(s) = 2^2s. Partant de q[D(s)], ses auto-couplages successifs iront donc jusqu'à q^D(s)[D(s)] = 1. D'après (4) et de Moivre, pour 1 =< a =< D(s),

(7)     q^a[D(s)] = cos[2pia/D(s)] + isin[2pia/D(s)]

va générer un quantum dans la direction a. Hormis pour a = 1, ce quantum-là N'EST PLUS FONDAMENTAL. Du point de vue ensembliste, il est à rapprocher de l'auto-couplage tensoriel C^x_ta de C qui, on le sait, reste de dimension 1. Ici, q est dans C et q^a[D(s)] y reste.

Si je prends maintenant 2 directions a et b dans N_D(s), (7) me conduit à :

(8)     q^a[D(s)]q^b[D(s)] = q^{[a+b modulo D(s)]}[D(s)]

Pour s = 0, N₁ = {1} et q²(1) = q^{[2 modulo 1]}(1) = q(1) = 1.

Pour s = ½, N₂ = {1,2}, on obtient la table :

[q¹(2)]² = q^{[2 modulo 2]}(2) = [q²(2)]² = q^{[4 modulo 2]}(2) = q²(2)
q¹(2)q²(2) = q^{[3 modulo 2]}(2) = q¹(2) = q(2) = -1

Essayons encore pour s = 1 : N₄ = {1,2,3,4}, la table est,

q¹(4)q⁴(4) = q²(4)q³(4) = q¹(4) = q(4) = i
[q¹(4)]² = [q³(4)]² = q²(4)q⁴(4) = q²(4) = -1
q¹(4)q²(4) = q³(4)q⁴(4) = q³(4) = -i
[q²(4)]² = [q⁴(4)]² = q¹(4)q³(4) = q⁴(4) = 1

Voilà comment s'échangent les directions dans les espaces quantiques : par auto-couplages du quantum MODULO la dimension.

Par contre, nous avons une faculté propre à ces espaces qui n'a aucune signification en géométrie réelle.
 
On appellera "dimension négative" la dimension générée par le quantum CONJUGUé q*[D(s)]. On aura alors :

(9)     q^-1[D(s)] = q*[D(s)]


Ce nom provient du fait que, pour 1 =< a =< D(s), q^-a[D(s)] = {q^a[D(s)]}* se comporte COMME SI -D =< -a =< -1. En réalité, il n'y a pas de "dimension négative" : il est impossible d'avoir "moins de dimension qu'aucune", ça n'a pas de sens. Mais, en géométrie réelle, q* = q, alors qu'en géométrie complexe, on a q ET q*. Qui ne sont PAS en opposition de phase. Résultat : le couplage interactif de q et de q* donne,

(10)     q[D(s)]q*[D(s)] = q*[D(s)]q[D(s)] = q⁰[D(s)] = 1 = "DIMENSION ZERO"

Or, (5) montre bien que TOUS les modes de x^a sont indépendants de a, car obtenus comme des MOYENNES DIMENSIONNELLES. Ce sont donc des invariants du même type. Si l'on rejetait la "dimension zéro", il n'y aurait plus de mode fondamental. On est donc bien obligé d'en tenir compte, même si on ne l'incorpore pas à N_D(s).

LA DIMENSION ZERO EST REPRESENTATIVE DE L'ETAT DE VIDE (absence de quanta).

Elle n'est donc pas si "ésotérique" qu'elle en a l'air... Qu'est-ce, en fin de compte ? Rien d'autre que L'AMPLITUDE de q[D(s)]. La phase du quantum dimensionnel a été annulée.

Nous pouvons à présent calculer x¹ pour s = 0. D'après (4), q(1) = 1 et d'après (3) :

x(1) = x¹ = x₀(1) + ½ S_n=1^+oo [x_n(1) + x_-n(1)]

Mais (6) donne déjà x₀(1) = x(1). La somme restante est donc nulle, ce qui n'est possible que ssi tous les modes excités sont nuls, même si (5) semble dire le contraire. Le paradoxe se lève en se disant que qⁿ(1) génère la direction n. Or, il n'y a qu'une seule direction dans C et elle est retenue par le fondamental. Par conséquent, x(1) = x¹ = x₀(1) se réduit à ce mode. (5) est inopérante parce que les modes excités N'EXISTENT PAS...

Je vous ai déjà dit que la cosmologie quantique, l'étude de la structure intime de l'espace (et du temps), c'était encore plus fort que la magie ?... Il me semble. On découvre des trucs de dingues...

La TRACE de (8) est L'INVARIANT DIMENSIONNEL :

(11)     ||q[D(s)]||² = S_a=1^D(s) {q^a[D(s)]}² = S_a=1^D(s) q^{[2a modulo D(s)]}[D(s)]

Ça reste une quantité complexe. Le calcul donne :

          ||q(1)||² = q²(1) = q(1) = 1 ;
(12)     ||q(2)||² = q²(2) + q⁴(2) = q²(2) + q²(2) = 2q²(2) = 2 ;
          ||q[D(s)]||² = 2q²[D(s)]{1 + q[D(s]}/{1 - q[D(s)]}
                        = 2iq²[D(s)]cotan[pi/D(s)]          [s >= 1 , D(s) >= 4]
 
Toujours d'après (3), le carré de la norme de x^a sera donc :

(13a)     ||x(1)||² = [x₀(1)]²
(13b)     ||x[D(s)]||² = ¼ x_(1-2A)n1[D(s)]x_(1-2B)n2[D(s)]S_a=1^D(s) q^(1-2A)n₁a[D(s)]q^(1-2B)n₂a[D(s)]
                        = ¼ x²_{(1-2A)n1,(1-2B)n2}[D(s)]S_a=1^D(s) q^{[(1-2A)n₁ + (1-2B)n₂]a}[D(s)] 
                        [s >= ½ , D(s) >= 2]

Cette métrique est complexe, laissée invariante par le groupe des rotations SO[D(s),C] à D(s)[D(s) - 1]/2 paramètres complexes. Pour D(0) = 1, c'est O(1,C).

Le reste a déjà été fait : la RG comme paradigme, le théorème spin-signature,...

Il suffit de se placer dans un C^D(s) euclidien. Le C^p(s),q(s) pseudo-euclidien s'en déduit (et réciproquement) via l'algèbre des matrices M_D(s)(C). Dans la procédure ascendante, l'objet de départ est le champ de contraintes T_ab(x) appliqué à C^D(s). Il est de spin 2s, de même que le champ des courbures de Ricci, R_ab(x). Par contre, leurs invariants respectifs T(x) et R(x) sont de spin 0. Les courbures de Riemann R_abcd(x) forment un champ de spin 4s. Dans le Modèle Standard, elles sont entièrement déterminées par la donnée des T_ab(x), la métrique de base étant celle de C^D(s), Id_ab. Chez Yang-Mills, ces R_abcd(x) jouent le rôle des "intensités du champ de jauge", les "potentiels" de ce champ étant représentés par les C_ab^c(x) de Christoffel. Ces derniers étant universels, ils peuvent être spécialisés à n'importe quel contexte, suivant le type de charges auxquelles on s'intéresse. Quant à la métrique de l'Univers quantique U_D(s) obtenu par déformation de C^D(s), elle est donné par la résolution des équations de la RG, c'est un g_ab(x) symétrique de spin 2s. Pour terminer, les "potentiels de déformation e_a^b(x) forment un champ de 2-tenseurs asymétriques de spin 2s et la forme de la source s'en déduit par intégration (curviligne), c'est un X^b(x) de même spin s que le cadre.

Il n'y a rien d'autre à ajouter. C^3,1 est un espace-temps quantique de dimension 4, spin 1, qui serait donc renormalisable au sens de 't Hooft, si l'on raisonnait en diagrammes de Feynman. Dans ce cadre-là, il y a 16 "potentiels de Yang-Mills" C_a(x), complexes, donc assez pour regrouper les 4 interactions fondamentales et la matière du Modèle Standard.

Pour ce qui est de la structure "locale" des espaces physiques, on se fixe un dx = (dx¹,...,dx^D(s)) dont la norme ||dx[D(s)]|| est donnée par (13b). En euclidien, on considère que, du point de vue de la mesure, ce dx est MINIMAL : il représente "la plus petite distance accessible par l'instrument" ou encore "l'échelle de résolution de l'espace". Poursuivant sur ce principe, on en déduit qu'entre 0 et ||dx[D(s)]||, plus aucune distance n'est accessible à l'observation et donc, que du point de vue de la mesure et uniquement de ce point de vue, l'intervalle fermé [0,dx^a] dans la direction a se résume au couple de points {0,dx^a} (vu qu'il n'est plus possible d'accéder aux autres) et donc, que le "pavé" D(s)-dimensionnel (x_c)_a=1^D(s) {0,dx^a} constitue une "boite noire" de volume d^D(s)x = dx¹...dx^D(s). Aussi, si l'on veut éviter de rejeter ce volume du cadre physique, il faut changer le mode de description des objets, ne plus les considérer comme "ponctuels" mais, au contraire, de "longueurs caractéristiques" dx^a. Ce qui oblige à passer de l'analyse conventionnelle à la théorie des ensembles.

Par exemple, si une variable réelle x a pour "taille" dx, en réponse, l'application :

(14a)     f : R -> R  ,  x -> f(x)

aura pour "taille"

(14b)     df(x) = f(x + dx) - f(x)

Il s'agit donc de remplacer les objets PONCTUELS que sont x et f par les couples booléens {x,dx} et {f,df}, qui forment des ensembles à DEUX points. En place de (14a), on trouvera :

(15a)     {f,df} : {x,dx} -> {f(x),df(x)}

C'est (14a) et (14b) regroupés en un même schéma. Mais pas à 2 variables : à 2 points. Plus correctement : une seule variable DE TAILLE dx et une seule application DE TAILLE df.

Il s'agit bien d'une opération ensembliste, puisque l'ensemble {f,df} transforme l'ensemble {x,dx} en l'ensemble {f(x),df(x)} :

(15b)     {f,df}({x,dx}) = {f(x),df(x)}

Par exemple, pour f(x) = x², {f,df}({x,dx}) = {x² , 2xdx + dx²}. C'est une déformation parabolique du booléen {x,dx}. Qui tient compte de la taille des objets.

Une application a beau constituer elle-même un ensemble, cela reste insuffisant du point de vue de la mesure. Pour les maths traditionnelles, les espaces réels comme complexes sont des espaces de POINTS. Seule la topologie parle de "boules", "d'ouverts", de "fermés" (et même "d'ouvert-fermés" - perso, je n'ai jamais compris ce concept...), dans le but de définir des espaces "métrisables".

Eh bien, tout cela s'applique, par extension, aux applications à plusieurs variables et donc, aux champs physiques. Il y a toutefois une différence assez nette avec le concept de distribution, car f(x)dx est le produit d'une FONCTION par un étalon de mesure : on conserve l'environnement fonctionnel que l'on généralise en le "localisant". Dans ce cadre-là, dx tend d'ordinaire vers zéro. Dans le contexte ensembliste que je viens très brièvement de décrire, les différentielles peuvent être quelconques, entraînant forcément des non-linéarités [comme on le voit dans df(x) = 2xdx + dx²].

A tout objet géométrique, il faut adjoindre sa "taille" et former des couples booléens. Susceptibles d'agir sur d'autres. Ce n'est qu'une question d'accessibilité des objets à leur mesure.

Sinon, l'espace de travail de départ est C^3,1. Il est amplement suffisant.



 

Le Modèle Standard regroupe les "théories de jauge" : électromagnétisme, interaction nucléaire "faible", interaction nucléaire "forte", "spineurs" et gravitation einsteinienne. Hormis les "spineurs", qui décrivent la "matière", les interactions y sont décrites comme des "champs de Yang-Mills" (C.N. Yang, R. Mills, 1956). Je vais y revenir. Mais avant,  un petit rappel des symétries présentes en physique quantique.

La notion de symétrie est devenue centrale en physique depuis le théorème d'Emmy Noether, qui lie une symétrie à une loi de conservation (invariance par translation temporelle => conservation de l'énergie ; par translation spatiale => de la quantité de mouvement ; par rotation => du moment cinétique et du spin, etc.). On distingue deux grandes catégories de symétries : les externes, qui portent sur les translations, les rotations, les inversions et les changements d'échelle (les "homothéties") et les internes, qui concernent les propriétés physiques des corps, indépendamment de leurs mouvements (masse, charge électrique, étrangeté, charge "de couleur", "saveurs",...). Ce qui pourrait "faciliter" l'unification, c'est le constat que bon nombre de ces symétries internes imitent le spin. C'est pour cette raison qu'a été inventé "l'isospin". Par exemple, le proton et le neutron ne se distingue nettement que par leur charge électrique : à des corrections de nature électromagnétique dites "radiatives" près, ils ont sensiblement même masse et peuvent donc être regroupés en une seule particule appelée "nucléon". Cette particule a isospin ½, traduisant le fait que le nucléon se présente sous DEUX "états quantiques" ou "configurations internes", le proton et le neutron. Cet isospin ½ présente les mêmes propriétés mathématiques que le spin : il s'associe de la même manière, se transforme de la même manière.

Preuve supplémentaire que le nombre quantique de spin, même s'il s'exprime en unité d'action (Js) N'EST PAS, à proprement parler, un véritable moment cinétique, mais une quantité exprimant le nombre total d'états de configuration d'un système quantique.

Les théories "de jauge" (ou de Yang-Mills) ont été élaborées sur le modèle de la RG d'Einstein. Le cadre ambiant est l'espace-temps de Minkowski classique R^1,3 [avec métrique c²dt² - (dx² + dy² + dz²) "du genre temps", c'est-à-dire, positive pour des vitesses =< c]. Les symétries externes sont donc représentées par :

- le groupe des rotations SO(3,1) de Lorentz, qui se subdivise en un sous-groupe SO_s(3) des rotations spatiales et un sous-groupe SO_st(3) des rotations spatio-temporelles ; on dénombre 3 angles de rotation dans chaque sous-groupe, ce qui fait 6 angles de rotation pour R^1,3 [SO(3,1) = SO_s(3) x_c SO_st(3)] ; du point de vue topologique, les deux sous-groupes sont compactes (ils sont équivalents à des sphères), mais pas le groupe de Lorentz, la métrique spatio-temporelle étant hyperbolique ;
- le groupe des translations T(3,1), qui représente les translations dans l'espace et dans le temps et qui possède donc 4 paramètres réels ;
- le groupe des inversions I(3,1), qui inverse les longueurs (4 paramètres également) ;
- enfin, le groupe des "homothéties", qui dilate ou contracte les longueurs (1 seul paramètre).

L'association de SO(3,1) et de T(3,1) donne le groupe de Poincaré P(3,1) des "rotations + translations" ou "vissages" à 6 + 4 = 10 paramètres. Associé lui-même à I(3,1) et au groupe des homothéties, il donne le groupe "conforme" C(3,1) à 10 + 4 + 1 = 15 paramètres au total. C'est le plus gros groupe de symétries externes dans R^1,3. Il regroupe toutes les symétries de cette nature. On appelle dimension d'un groupe le nombre total de ses paramètres.

Passons aux symétries internes. Là, ce sont assez généralement des groupes complexes (plus exactement, hermitiens).

Pour l'électrodynamique quantique (QED), c'est U(1), le groupe des "rotations" de C, c'est-à-dire, de la forme e^ia, où a est une phase. Comme e^ia = cos(a) + isin(a), ce groupe est équivalent au groupe des rotations du plan réel R² : si (x⁰,x¹) est une coordonnée sur R², une rotation des axes d'un angle a les fait passer en,

(1)     x'⁰ = x⁰cos(a) + x¹sin(a)  ,  x'¹ = -x⁰sin(a) + x¹cos(a)

On remarque qu'en vertu de l'identité cos²(.) + sin²(.) = 1 :

(2)     (x'⁰)² + (x'¹)² = (x⁰)² + (x¹)²

C'est bien ce que traduit le principe d'invariance de jauge (ici, "de 1ère espèce") : une rotation n'affecte pas la métrique, ce qui veut dire que je peux définir mes coordonnées (x⁰,x¹) "à une rotation près d'angle quelconque". Vus de cette manière, une indétermination est introduite dans la description puisque, si x = x⁰ + ix¹ est le complexe de C construit à partir des réels de R², x* = x⁰ - ix¹ est son conjugué et (2) traduit alors le fait que, si j'applique la transformation :

(3)     x -> x' = xe^ia  

à x, alors l'amplitude de x n'est pas affectée par l'action de U(1),

(4)     |x'|² = x'x'* = xx* = |x|²

J'appelle e^ia le "facteur de jauge" de x. U(1) est un groupe "hermitien", parce qu'il est complexe, MAIS préserve l'amplitude de x, qui est une quantité REELLE (et jamais négative). Autrement dit, dans notre langage, U(1), le "groupe unitaire" à une seule dimension (1 seul angle) est un sous-groupe QUANTIQUE qui préserve une quantité CLASSIQUE. On l'utilise pour décrire l'interaction électromagnétique en théorie quantique parce qu'il n'y a qu'une seule sorte de charge électrique.

Ce n'est plus le cas des autres interactions.

Pour la nucléaire "faible", c'est SU(2), le groupe des rotations de C². Ce groupe décrit l'isospin ½ du nucléon : il y a deux "charges faibles", celle du proton et celle du neutron. Elles sont à distinguer de la charge électrique, même si elles s'expriment dans la même unité (le Coulomb C). SU(2) a même dimension que SO(3), il se ramène à 3 angles de rotation réels. En tant que groupe unitaire, il est hermitien et préserve les amplitudes. On le dit "spécial unitaire" uniquement parce que la matrice de rotation y a déterminant 1 [il n'existe pas de SU(1) : dans U(1), l'amplitude de e^ia est toujours de 1]. Le fait que SU(2) soit de dimension (réelle) 3 a incité les physiciens à penser que l'interaction faible était véhiculée par TROIS "bosons de jauge" : 2 électriquement chargés (le W⁺ et le W^-) et un neutre (le Z⁰). Contre un seul pour QED (le photon g⁰ - pour "gamma neutre"). Comme quoi, les symétries sont essentielles, car elles permettent de découvrir de nouvelles particules.

Dans le modèle unifié "électrofaible" de Glashow-Salam-Weinberg (GSW), qui regroupe interaction nucléaire faible et électromagnétisme, le groupe interne est SU_w(2) x_c U(1). On précise le "w" ("weak") parce qu'il y a des spécificités physiques. Etant donné que le produit euclidien additionne les dimensions (au contraire du tensoriel, qui les multiplie, nous le verrons plus loin), le groupe GSW possède 3 + 1 = 4 paramètres réels, soit (W⁺,W^-,Z⁰,g⁰).

Pour l'interaction forte, c'est encore différent. Il y a DEUX modèles en un : celui des quarks, qui sont des fermions (des particules de "matière") et celui des gluons, qui sont des bosons et les vecteurs de l'interaction. Les deux modèles utilisent le même groupe spécial unitaire SU(3), mais avec ses spécificités physiques propres. Il y a SU_s(3) de "saveurs" pour les quarks et SU_c(3) de "couleurs" pour les gluons. Ces deux groupes ont dimension réelle 8. Ils ne sont plus assimilables à des rotations réelles. Ils ont été proposé par Gell-Mann et al pour rendre compte de la "hiérarchie hadronique" : il y a chez les "hadrons" (les particules subissant l'interaction forte) une classification en "multiplets" et même "super-multiplets" qui peut s'expliquer au moyen de 6 quarks regroupés en 3 paires et de 8 gluons vecteurs. C'est un modèle moins précis que la symétrie SU(2), mais ça reste le seul, à ce jour, qui donne des résultats satisfaisants. Les quarks porteurs de l'une des 6 "saveurs" (u,d,s,c,b,t) y interagissent en échangeant leur "couleur" (R,B,G) via les gluons, chacun porteurs de 2 "couleurs" (ou charges nucléaires fortes). Les processus sont assez complexes et les schémas d'interaction ("diagrammes de Feynman") ne sont pas toujours "convergents" (i.e. ne donnent de résultats physiques que sous certaines conditions). La faute à la constante de couplage forte, la plus importante de toutes.

Voilà pour les 3 interactions fondamentales, la 4ème étant la gravitation.

Il faut se placer dans le contexte encore actuellement admis que la RG est une théorie de l'interaction gravitationnelle et que les 3 autres n'ont pas besoin d'un cadre courbe pour comprendre le mérite qu'ont eu Chen Ning Yang et Robert Mills de s'inspirer du modèle déjà connu de Yukawa des mésons pi vecteurs de l'interaction nucléaire pour proposer une géométrisation des champs "non gravitationnels" à l'image de la gravitation einsteinienne. Au lieu de courber le cadre (ce qui avait déjà été réalisé par Einstein), ils suggérèrent de s'appuyer sur la géométrie DES GROUPES pour courber les "espaces de champs". Symétries externes, symétries internes : dans le Modèle Standard, l'espace-temps "externe" R^3,1, c'est le domaine de la gravitation "classique" ; les espaces "internes" ou "iso-espaces" (isospin !), ce sont les groupes de symétries internes (plus correctement, leurs algèbres, mais elles ont même dimension).

[Pour l'anecdote, le modèle de Yukawa de l'interaction forte était, lui aussi, basé sur le groupe SU(2) plus précis que SU(3). Malheureusement, il ne rendait pas compte de la hiérarchie hadronique. Il fallut donc le remplacer.]

A partir de là, ça devient technique, on peut difficilement faire autrement. Je vais essayer d'expliquer au mieux.

Supposez que vous ayiez un ensemble de charges caractérisant un type d'interaction fondamentale. Cet ensemble forme le groupe des symétries internes de l'interaction en question. Appelons-le G. La dimension dim(G) de G représente alors le nombre total de ces charges. Pour les 3 interactions fondamentales "non gravitationnelles", G est un groupe de transformations continues (groupe de Lie) : U(1) pour l'électromagnétisme, SU(2) pour l'interaction faible et SU(3) pour la forte. A l'exception de U(1), la dimension des SU(n) est n² - 1. Donc, dans les modèles basés sur des SU(n), la dimension de l'isoespace sera n² - 1. Maintenant, les potentiels de ces 3 interactions sont tous considérés comme ayant autant de composantes EXTERNES qu'il y a de dimensions à R^3,1, soit 4, le reste des composantes étant INTERNE. Comme il y a dim(G) composantes internes pour CHAQUE direction externe, on dénombre au total (produit tensoriel) 4dim(G) potentiels de champ A_i^a(x) dans l'espace-temps de Minkowski [i = 0,1,2,3 = indice externe ; a = 1,...,dim(G) = indice interne]. Pour U(1), on retrouve les 4 potentiels A_i(x) du champ électromagnétique de Maxwell ; pour SU(2), on a 4 x 3 = 12 potentiels nucléaires faibles [A_i¹(x),A_i²(x),A_i³(x)] ; 4 x 8 = 32 potentiels "gluoniques" pour SU_c(3) de couleur [A_i¹(x),...,A_i⁸(x)].

Pour décrire la dynamique d'une l'interaction, on se tourne vers la mécanique. Dans le vide, l'interaction "pure" se propage avec une action :

(5)     S = S £[A(x),F(x),x]d³xdt

à la fois minimale (principe de moindre action) et invariante sous l'action des groupes de symétries (ce principe-là d'invariance remplace l'ancienne notion "d'absolu" : une quantité physique est invariante si elle ne change pas de valeur lorsque les systèmes de coordonnées changent. En d'autres termes, il n'y a pas de "référentiel physique" spécifique - principe de relativité). Ceci n'est possible que si et seulement si la densité de lagrangien de l'interaction :

(6)     £[A(x),F(x),x] = F_ij^a(x)F^ij_a(x)/2mu

est solution des équations de Lagrange en variables de champs A_i^a(x) et reste invariante sous l'action combinée du groupe SO(3,1) des rotations de Lorentz ET du groupe interne G. mu est une constante de couplage caractéristique de la capacité du vide à propager l'interaction. Les F_ij^a(x) sont les intensités du champ. Ce sont les variations spatio-temporelles des potentiels A_i^a(x). Dans le cas de U(1), il n'y a pas de géométrie intéressante et les F_ij(x) se réduisent simplement à ceux de Maxwell :

(7a)     F_ij(x) = d_iA_j(x) - d_jA_i(x)     pour QED.

Si je les décale au moyen de la translation :

(7b)     A_i(x) -> A_i(x) + d_if(x)

je ne modifie pas mes intensités de champ,

(7c)     F_ij(x) -> F_ij(x)

parce que la "matrice dérivation" d_id_j = d_jd_i est symétrique (que je prenne la variation dans la direction i, puis une autre dans la direction j ou que j'intervertisse les deux directions donne le même résultat).

Une transformation telle que (7b) est encore une transformation de jauge, dite "de 2nde espèce". Celles de 1ère espèce portent sur les SOURCES ; celles de 2nde espèce, sur les champs produits par ces sources.

Pour les interactions nucléaires, ce n'est plus aussi simple (faut bien trouver à s'amuser, sinon, ce serait ennuyeux...) : les groupes SU(n) sont des groupes MATRICIELS et, à ce titre, NE SONT PLUS COMMUTATIFS VIS-A-VIS DU PRODUIT MATRICIEL. A la place de (7a), je vais trouver :

(8)     F_ij^a(x) = d_iA_j^a(x) - d_jA_i^a(x) - Kf_bc^aA_i^b(x)A_j^c(x)

K est une constante de couplage propre à l'interaction. Les f_bc^a sont les constantes de structure du groupe. Et elles sont antisymétriques : f_cb^a = -f_bc^a. En plus des variations spatio-temporelles des potentiels, il y a un auto-couplage [les constantes de structure de U(1) sont nulles]. C'est cet auto-couplage qui traduit la géométrie de l'isoespace. Elle n'est pas sans rappeler celle de Riemann, utilisée en Relativité Générale (et c'est tout SAUF une coïncidence). Chez Riemann, la courbure de l'espace s'exprime au moyen d'une "dérivation covariante" de Lévi-Civita D^(LC)_i qui s'applique à des champs de vecteurs V^j(x) par :

(9a)     D^(LC)_iV^j(x) = d_iV^j(x) + C_ik^j(x)V^k(x)

Le commutateur :

(9b)     [D^(LC)_i , D^(LC)_j]V^k(x) = (D^(LC)_iD^(LC)_j - D^(LC)_jD^(LC)_i)V^k(x) = R_ij^k_l(x)V^l(x)

donne alors la courbure de Riemann R_ij^k_l(x) de l'espace en fonction des "potentiels de Christoffel" C_ik^j(x). Lorsque l'espace est plan, ces C_ik^j(x) sont partout nuls, D^(LC)_i se réduit à la dérivation habituelle d_i = d/dxⁱ dans la direction i et (on s'en doute) R_ij^k_l(x) = 0.

Il en va pareillement chez Yang et Mills. A la place de Lévi-Civita, on trouve une dérivation covariante de la forme :

(10a)     D^(YM)_i = d_i - i(q/h)A_i(x)

Le '"i" de i(q/h) est l'unité imaginaire. q est une charge. Les potentiels A_i(x) sont MATRICIELS, à l'instar des C_ik^j(x) de Christoffel vis-à-vis du groupe externe SO(3,1) : si les X^a représentent les générateurs du groupe interne G, A_i^a(x) = A_i^a_b(x)X^b. On retrouve une configuration géométrique similaire. Si j'applique le commutateur (9b) à (10a), j'obtiens ni plus ni moins que (8) avec K = i(q/h) :

(10b)     [D^(YM)_i , D^(YM)_j] = -i(q/h)F_ij^a(x)X_a  

Cette dérivation covariante de Yang-Mills ne s'applique plus à des champs de vecteurs dans l'espace-temps classique de Minkowski, mais à des champs de particules f^a(x) à dim(G) composantes. Ces champs-là ne sont plus réels, comme en RG classique, mais complexes : ce sont des paquets d'ondes. Si je les couple à l'interaction, ils me donnent :

D^(YM)_if^a(x) = d_if^a(x) - i(q/h)A_i^a_b(x)f^b(x)

On reconnait bien le produit matriciel A_i^a_b(x)f^b(x). Si je leur applique une transformation de jauge de 1ère espèce,

f^a(x) -> U^a_b(x)f^b(x) = exp[iUPS^a_b(x)]f^b(x),
D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) + if^b(x)d_iUPS^a_c(x)exp[iUPS^c_b(x)]
                    - i(q/h)A_i^a_b(x)exp[iUPS^b_c(x)]f^c(x)

Si j'applique une transformation de jauge de 2nde espèce aux A_i^a_b(x) :

A_i^a_b(x) -> A_i^a_b(x) + d_iw^a_b(x),
D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) + if^b(x)d_iUPS^a_c(x)exp[iUPS^c_b(x)]
                    - i(q/h)exp[iUPS^b_c(x)][A_i^a_b(x)f^c(x) + f^c(x)d_iw^a_b(x)]

Aussi, en prenant :

(10c)     UPS^a_b(x) = (q/h)w^a_b(x)

j'ai

D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) - i(q/h)exp[iUPS^c_b(x)]A_i^a_c(x)f^b(x)
                    = exp[iUPS^c_b(x)][Id^a_cd_i - i(q/h)A_i^a_c(x)]f^b(x)
                    = U^a_b(x)D^(YM)_if^b(x)

Lorsque je vais former le produit [D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]*, il va se transformer en :

[D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]* -> U^a_c(x)[U^b_d(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D^(YM)_jf^d(x)]*

Si je contracte "extérieurement" par g₍₀₎^ij et "intérieurement" par Id_ab, j'obtiens le scalaire hermitien :

g₍₀₎^ijId_ab[D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]* = [D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]*

qui va se transformer en,

g₍₀₎^ijId_abU^a_c(x)[U^b_d(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D^(YM)_jf^d(x)]* =
= U^a_c(x)[U_ad(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D_(YM)ⁱf^d(x)]*

Cette expression sera égale à [D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]* pour :

(10d)     U^a_c(x)[U_ad(x)]* = Id_cd  

autrement dit, lorsque le conjugué de U(x) sera aussi son inverse. Or, c'est précisément ce qu'il se passe pour les groupes spéciaux unitaires. En conséquence, la combinaison des transformations de jauge de 1ère et de 2nde espèce laisse invariante la densité de lagrangien :

(10e)     £[f(x),D^(YM)f(x),x] = -(h²/2m)[D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]*

Les composantes du champ de particules comme du champ d'interaction se déterminent à une phase MATRICIELLE près.

Il y a une analogie plus que frappante entre les champs de particules f^a(x) et des champs de vecteurs Vⁱ(x) dans R^3,1, ainsi qu'entre les potentiels d'interaction A_i^a_b(x) et les champs de Christoffel C_ij^k(x) de la RG et pour cause :

LA RELATIVITE GENERALE EST UNE THEORIE DE YANG-MILLS A GROUPE SO(3,1).

Autrement dit, YM INCLUT la RG : son contexte est "plus générale que la Relativité Générale", parce qu'il s'applique à n'importe quel groupe de symétrie, qu'il soit "externe" ou "interne". Nous en avons déjà vu un exemple lorsque j'ai proposé un modèle unifié de la gravitation et de l'électromagnétisme : les rapports (q/h)A_i^a_b(x) et (m/h)G_i^a_b(x) sont en m^-1, ce sont des champs de Christoffel. Dans B 167, le groupe était SO(p,q) pour un espace-temps de dimension D = p + q et de signature (p,q), ce qui correspond à une situation spécifique. Mais, YM ne fait pas de distinction entre "symétries externes" et "symétries internes". C'est une théorie géométrique. Elle parle de géométries COURBES construites comme des DEFORMATIONS d'espaces plans. Exactement comme la RG, exactement comme l'ensemble du programme élasticité. Dans la représentation dite "tensorielle", vous y trouverez des symétries "externes" ; dans la représentation "matricielle", des symétries "internes". En termes physiques, il devient donc possible, chez YM, de regrouper les propriétés liées aux mouvements des corps à leurs propriétés physiques. Il suffit pour cela de se donner des applications d'un espace E de dimension D dans un groupe G de dimension D'. En géométrie, on appelle cela réaliser une fibration de base E, d'espace total E x_c G de dimension D + D' et de groupe structural G.

Par exemple, f : R^3,1 -> U(1) réalise une fibration, de base l'espace-temps de Minkowski, dans le groupe de QED. Ce groupe étant de dimension 1, l'espace total de la fibration est de dimension 5 : 4 ddls "externes" xⁱ, 1 ddl "interne" (la phase). Le champ f(x) est dans l'algèbre u(1) du groupe : c'est un espace de dimension 1 (f n'a qu'une seule composante). Le fait de pouvoir définir ce champ de particules à un facteur de phase près signifie que l'on peut même se limiter à son amplitude. En TQRC, cette amplitude, c'est la racine carrée de la probabilité de présence d'une particule du champ au point x de l'espace-temps.

Un peu plus généralement, pour un groupe structural SU(n), le champ f aura n² - 1 composantes et il y aura 4 + (n² - 1) = n² + 3 degrés de liberté.

Ce n'est qu'une question de langage... :) Il y a celui des physiciens et celui des géomètres. Pour décrire les mêmes objets.

Ensuite, il s'agit de représentation des groupes. Si vous représentez le champ de Christoffel d'après ses projections sur les axes de R^3,1, vous obtenez la représentation tensorielle C_ij^k(x). Si vous le représentez vis-à-vis du groupe de Lorentz, vous l'écrivez sous la forme C_ia^b(x) qui est une "matrice de champs vectoriels C_i(x)". La matrice en question sera relative au groupe des rotations SO(3,1) de l'espace-temps 4D. C'est le même objet qui apparaît sous des formes différentes. Mais ça permet de NE PAS se limiter à un seul groupe de symétrie.

Aussi, ce que nous venons d'établir, l'invariance de jauge des densités de lagrangiens (et donc, des actions) vis-à-vis des transformations de 1ère et de 2nde espèce s'applique tout autant à la Relativité Générale...

Avec, toutefois, une "petite" différence. La théorie de la gravitation telle que proposée par Einstein se fondait sur l'axiome géométrique de Riemann qui dit que, dans un voisinage infinitésimal autour de chaque point, il est toujours possible de trouver un système de coordonnées dans lequel l'espace apparaît PLAN. Einstein a utilisé cet axiome pour traduire l'idée que la gravitation n'était pas une véritable force, mais une PSEUDO-force : un simple effet inertiel, géométrique, qui pouvait s'effacer dans un référentiel physique dit "galiléen". Mais l'axiome de Riemann N'EST PAS le seul axiome de la géométrie : comme il existait préalablement les axiomes de Gauss et de Lobatchevski, il existe AUSSI celui de Grassmann. L'axiome de Gauss concerne les géométries elliptiques ; celui de Lobatchevski, les géométries hyperboliques. L'axiome de Riemann, lui, implique la SYMETRIE C_ji^k(x) = C_ij^k(x) sur les champs de Christoffel. Cette condition DISPARAIT dans les représentations matricielles C_ia^b(x) : elle n'a plus rien "d'indispensable". Au contraire, elle s'avère plutôt contraignante.  Surtout vis-à-vis de groupes DE SPIN, qui sont typiquement grassmanniens. C'est pourquoi les théoriciens de la supersymétrie, qui ont cherché à rassembler "matière fermionique" et "rayonnement bosonique" dans un même cadre qui serait dès lors DEPOURVUS DE SOURCES, ont pris leurs distances avec l'axiome de Riemann pour inclure le cas de champs de Christoffel ANTI-symétriques C_ji^k(x) = -C_ij^k(x), ce qui implique que les espaces-temps se "tordent", i.e. qu'ils font une différence entre "gauche" et "droite" : parce que les spins demi-entiers "se reflètent dans le miroir", au contraire des spins entiers. On a donc débouché sur les géométries COMPLEXES, métrique de Kähler, etc.

Vous avez PLETHORE de tentatives d'unification : des interactions fondamentales, de la matière. Je ne retiendrais que les 3 principales : les modèles supersymétriques, les supercordes (qui sont des cordes supersymétriques) et le modèle de Coleman-Glashow basé sur le groupe SU(5) à 24 dimensions. Pourquoi celui-ci en particulier ? Parce qu'une décomposition possible (ce n'est pas la seule) de SU(5) est :

SU(5) = SU_c(3) x_c SU_s(3) x_c SU_w(2) x_c U(1) x_c Spin(1)

C'est une théorie "de grande unification" (GUT - pas de gravitation) : QCD (interaction forte) + GSW (électrofaible) + spin ½ (fermions élémentaires). Rassemblés dans un même groupe de symétrie.

Voilà, résumé du mieux que j'ai pu trouver, les raisons qui nous ont amenées à la géométrie COMPLEXE : parce que c'est le cadre adapté au quantique et qu'on y retrouve automatiquement Yang-Mills et la supersymétrie. Si vous remplacez R^3,1 par C^3,1 et le groupe de Lorentz SO_R(3,1) par son complexifié SO_C(3,1), groupe des rotations dans l'espace-temps de Minkowski QUANTIQUE, vous obtenez immédiatement une fibration :

(11)     F : C^3,1 -> SO_C(3,1)
               x^m = x^0m + ix^1m -> F^a(x^m) = F^0a(x^0m,x^1m) + iF^1a(x^0m,x^1m)

et une dérivation de Yang-Mills à groupe SO_C(3,1) sur ce fibré,

(12a)     D_iF^a(x^m) = [Id_b^ad_i + C_ib^a(x^m)]F^b(x^m)
                         = (D_iF^a)⁰(x^0m,x^1m) + i(D_iF^a)¹(x^0m,x^1m)
(12b)     (D_iF^a)⁰ = (Id_b^ad⁰_i + C⁰_ib^a)F^0b + (Id_b^ad¹_i - C¹_ib^a)F^1b  
(12c)     (D_iF^a)¹ = (Id_b^ad⁰_i + C⁰_ib^a)F^1b - (Id_b^ad¹_i - C¹_ib^a)F^0b   

L'alternance de signe devant les composantes réelles résulte tout naturellement de ce que i² = -1.

Contrairement à Riemann, chez Yang-Mills, IL N'Y A PLUS nécessité de trouver des potentiels "plus fondamentaux" que les C_ib^a(x^m) de Christoffel, qui en dériveraient par variation dans la base : les potentiels interactifs SONT représentés par les C_ib^a(x^m). Qu'ils se transforment comme des tenseurs ou pas N'A PLUS D'IMPORTANCE : de toute façon, ils se transforment comme des holeurs plus généraux... Ce sont les règles du calcul tensoriel qui sont trop exigeantes, comme l'est le produit matriciel, c'est tout.

Une autre histoire de simple langage est que, dans la représentation tensorielle, les commutateurs (9b) et (10b) sont appelés "crochets de Schouten" et, dans la représentation de groupe, "crochets de Lie". Dans les deux cas, ils vont donner les intensités de champ interactif :

(13a)     [D_i,D_j]_-F^a = (R_ijb^a - Id_b^aS_ij^kD_k)F^b  

où l'on reconnait la courbure de Riemann, cette fois, DU FIBRé (celle de la base étant nulle),

(13b)     R_ijb^a = d_iC_jb^a - d_jC_ib^a + C_ic^aC_jb^c - C_jc^aC_ib^c  

et où l'on voit apparaître un "tenseur torsion",

(13c)     S_ij^k = C_ij^k - C_ji^k  

qu'il est possible, par conversion, de relier aux constantes de structure du groupe (qui, je le rappelle, sont bien ANTI-symétriques : f_ba^c = -f_ab^c).

C'est cette "torsion" (qui n'a rien à voir avec la torsion géodésique d'un espace riemannien) qui est utilisée en super-symétrie pour incorporer la "matière fermionique" au rayonnement. Chez Yang-Mills, on voit bien qu'elle n'est pas spécifique aux spins demi-entiers, mais qu'elle est en relation directe avec les groupes de symétries. SI ces groupes sont des Spin(2s) avec 2s impair, ALORS S_ij^k est associée à des spineurs. SINON, les seuls groupes de Lie qui n'induisent pas de torsion sont SO_R(2) et U(1). Tous les autres ont des constantes de structure non nulles, provoquant de la torsion.

Vous voyez donc à quel point l'axiome de Riemann se révèle LIMITé, dès que l'on passe de la représentation tensorielle à une représentation de groupe : même ses propres groupes de symétries ont des constantes de structure dès la dimension réelle 3 et complexe 2. Localement, les espaces courbes peuvent bel et bien être ramenés à des "plans microscopiques" MAIS en y distinguant généralement la direction "droite" de la direction "gauche" : il y a une RUPTURE DE SYMETRIE qui se produit quasi-systématiquement chez Yang-Mills et qui est absente chez Riemann. Elle n'est pas forcément due aux charges que portent les corps (masses incluses), elle est également produites par leurs mouvements.

Eh bien, toutes ces "complications" supplémentaires s'expliquent très simplement dans le contexte quantique par la CONJUGAISON COMPLEXE x^m = x^0m + ix^1m <-> (x^m)* = x^0m - ix^1m : si la partie "réelle" x^0m d'une quantité complexe QUELCONQUE n'est pas affectée par l'opération du fait que cos(.) est une fonction paire (= "à parité P = +1" en langage de physicien), la partie "imaginaire" x^1m est CHANGEE DE SIGNE car sin(.) est une fonction IMPAIRE (P = -1). En d'autres termes, cos(.) est SYMETRIQUE, alors que sin(.) est ANTISYMETRIQUE. Par conséquent, cos(.) est en relation avec l'axiome DE RIEMANN et sin(.) avec celui DE GRASSMANN. Soit encore, de manière équivalente, cos(.) avec les spins ENTIERS et sin(.), avec les DEMI-ENTIERS. C'est le fait que la mécanique quantique IMPOSE de ne plus se limiter aux parties réelles des grandeurs, mais de prendre aussi leurs parties imaginaires sur le même pied d'égalité qui introduit de la "torsion", une "SYMETRIE MIROIR", dans les espaces(-temps).

Si vous raisonnez "quantique", vous n'avez PLUS cette brisure de symétrie, vous trouvez, au contraire, une NOUVELLE SYMETRIE qui est la conjugaison complexe.

Originellement, le phénomène de brisure (spontanée) de symétrie est de nature thermodynamique : au-dessus d'une température critique, un milieu physique présente une certaine symétrie, qui est "brisée" lorsque la température baisse en dessous de cette valeur critique. Mais, chez Yang-Mills, elle s'avère tout autant MECANIQUE : nous n'avons introduit aucun paramètre thermodynamique dans la description et, pourtant, la brisure SPONTANEE de symétrie est OMNI-présente. Elle a donc une toute autre signification : mécaniquement, elle indique que le cadre dans lequel on s'est placé EST TROP RESTREINT et qu'il faut en sortir.

La brisure MECANIQUE de symétrie n'est due qu'au fait que l'on décompose une géométrie COMPLEXE en ses composantes REELLES. C'est pour cette raison que la symétrie miroir est caractéristique des géométries hermitiennes : parce que leurs propriétés métriques y sont REELLES... :) Si vous vous placez dans des espaces métrisables COMPLEXES, vous n'avez plus ce problème... En revanche, il vous faut travailler avec des actions COMPLEXES. C'est normal : vous êtes quantiques... tout est complexifié, tout a une phase, tout est "paquet d'ondes", les cadres supports (même plans), les champs, les groupes, tout.

Si vous complexifiez une action s(x), que vous donne la dualité onde-corpuscule ? Une exponentielle exp[s(x)/h]. Si vous DECOMPOSEZ votre action en ses composantes réelles, alors :

exp[s(x)/h] = exp[s⁰(x⁰,x¹)/h]exp[is¹(x⁰,x¹)/h]

Vous retrouvez le facteur de phase exp[is¹(x⁰,x¹)/h] de l'analogie opto-mécanique, parce que s¹(x⁰,x¹) est une action classique dans un espace(-temps) classique de dimension dédoublée, mais vous trouvez en même temps une AMPLITUDE exp[s⁰(x⁰,x¹)/h] toujours >= 1, là encore, parce que s⁰(x⁰,x¹) est une action classique complémentaire.

Du point de vue quantique, vous n'avez QUE exp[s(x)/h], AVEC une symétrie {exp[s(x)/h]}* = exp{[s(x)]*/h}, alors que, du point de vue classique, vous avez une RUPTURE DE LA SYMETRIE DES RÔLES ATTRIBUéS A s⁰(x⁰,x¹) et à s¹(x⁰,x¹) : la première se retrouve dans le facteur D'AMPLIFICATION ; la seconde, dans le facteur DE PHASE.
 

La quantification des trajectoires et des champs est une procédure qui se fait en 3 étapes. La théorie des ensembles permet de s'y retrouver. Pour un déplacement dans l'espace 3D au cours du temps, on aura une application composite,

(1)     R -> C -> R³ -> C³   

qui se décompose en :

- une première quantification du temps,

(2a)     T : R -> C  ,  t -> T = T(t) = S₀^t exp[is(t')/h]dt'
(2b)     T(t₁) = T(t₀) + T(t₁ - t₀)     pour t₁ > t₀,

l'intégration étant une application linéaire (S₀^t₁ = S₀^t₀ + S_t0^t₁ = S₀^t₀ + S₀^t₁-t₀) ;

- une extension du mouvement classique en temps QUANTIQUE,

(3)     x : C -> R³  ,  T -> x = x(T)

et une seconde quantification de l'espace,

(4)     X : R³ -> C³  ,  X^a = X^a(x) = S₀^xa exp[is(x')/h]dx'^a     (a = 1,2,3)

C'est le prix fixé par l'analogie opto-mécanique.

Détaillons la dynamique (3). Pour T donné par (2a), x est une fonctionnelle x[T(t)] du temps classique, qui renvoie à une fonction x_t(t) = x[T(t)] de t. Ce déplacement s'effectue à la vitesse :

(5)     v[T(t)] = dx[T(t)]/dT(t) = exp[-is(t)/h]dx[T(t)]/dt = exp[-is(t)/h]v_t(t)

Les masses deviennent des fonctions m[T(t)] = m_t(t) du temps classique. L'impulsion est :

(6)     p[T(t)] = m[T(t)]v[T(t)] = exp[-is(t)/h]m_t(t)v_t(t) = exp[-is(t)/h]p_t(t)

Les équations de mouvement s'écrivent :

(7a)     dp[T(t)]/dT(t) = exp[-is(t)/h]dp[T(t)]/dt
                             = exp[-2is(t)/h][d/dt - (i/h)ds(t)/dt]p_t(t)
                             = f[T(t)] = exp[-2is(t)/h]f_t(t)

avec s(t), l'action classique en temps classique, d'où,

(7b)     ds(t)/dt = l[x(t),dx(t)/dt,t]

Par contre, le lagrangien en temps quantique sera de la forme :

(8)     l_q{x[T(t)],v[T(t)],T(t)} = ½ m[T(t)]v²[T(t)] + f[T(t)].x[T(t)]
                                       = exp[-2is(t)/h][½ m_t(t)v_t²(t) + f_t(t).x_t(t)]
                                       = exp[-2is(t)/h]l_t[x_t(t),v_t(t),t]

L_t étant évidemment différent de (7b) (ça se voit). Puisque T(0) = 0, l'action correspondante sera :

(9a)   s_q[T(t)] = S₀^T(t) l_q{x[T'(t)],v[T'(t)],T'(t)}dT'(t)
                   = S₀^t exp[-2is(t')/h]l_t[x_t(t'),v_t(t'),t']dt' = s_t(t)
(9b)     s_q[T(0)] = s_q(0) = s_t(0) = 0

C'est x_t = x_t(t) = x[T(t)] qui vient se substituer à x dans dX^a(x) = exp[is(x)/h]dx'^a, donnant :

(10)     X_t^a = X_t^a(x_t) = S₀^x_ta exp[is(x_t')/h]dx_t'^a    

Du point de vue fonctionnel, on assiste à une encapsulation des variables :

(11)     t -> T(t) -> x[T(t)] -> X{x[T(t)]}

Le temps classique est transformé en temps quantique ; le temps quantique, en distances quasi-classiques et celles-ci, en distances quantiques. En théorie des fonctions complexes de variables complexes, nous aurions simplement X(T). Mais l'analogie opto-mécanique transforme des variables en paquets d'ondes. Et nous devons tenir compte de ce fait physique. La description ne peut dès lors plus être aussi simple, elle doit porter sur des signaux fonctions d'autres signaux.

Je tiens tout de même à préciser que, s'agissant d'espaces(-temps) physiques, la contrainte est que les cadres quantiques soient de spin s et donc, de dimension classique D(s) et quantique D(s)/2 = D(s - ½), avec signature  [p(s),q(s)]. Aussi, quitte à annuler des composantes de champ pour réduire leur nombre, mieux vaut travailler sur des trajectoires :

(12)     R -> C -> R^3,1 -> C^3,1  

avec des temps PROPRES t = (g⁽⁰⁾_abx^ax^b)^½/c et T = (g⁽⁰⁾_abX^aX^b)^½/c, (a,b = 0,1,2,3), d'autant plus que la quantification se moque éperduement que t soit réel ou pas, couvrant ainsi tout le domaine du mouvement physique.

Même en biophysique, il sera préférable de se placer dans le cadre (12), puis de poser, en fin de calculs, c -> +oo : c'est plus correct, les cadres physiques étant 4D, non 3D.

La quantification des champs suivra la même procédure, en partant de R^3,1 au lieu de R, étant donné que l'on passe de 1 à 4 paramètres classiques. On aura une succession de liens fonctionnels :

(13)     R^3,1 -> C^3,1 -> R^p(s'),q(s') -> C^p(s'),q's')  
          (x,ct) -> [X(x,ct),cT(x,ct)] -> f^{A₁...A_2s'+1}[X(x,ct),cT(x,ct)] ->
           -> F^{A₁...A_2s'+1}{f^{B₁...B_2s'+1}[X(x,ct),cT(x,ct)]}

Quantification de l'espace-temps (x,ct) -> [X(x,ct),cT(x,ct)] ; champ quasi-classique f de spin s' dans l'espace-temps quantique ; champ quantique F correspondant (donc, de même spin).

Pour la quantification de l'espace-temps, nous venons de le voir dans la bidouille précédente : on passe par une densité d'action s(x,ct). Le "point d'univers" classique (x,ct) est envoyé sur le "point d'univers" quantique (X,cT) = [X(x,ct),cT(x,ct)], lequel est transformé en des "coordonnées de champ" :

f^{A₁...A_2s'+1} = f_x,ct^{A₁...A_2s'+1}(x,ct) = f^{A₁...A_2s'+1}[X(x,ct),cT(x,ct)]

dans un espace-temps classique de dimension 2^2s'+1 et signature [p(s'),q(s')]. Enfin, ces dernières sont quantifiées à leur tour en les :

F^{A₁...A_2s'+1}{f^0...0,...,f^1...1} = S₀^{fA₁...A_2s'+1} exp[is(f)/h]df^{A₁...A_2s'+1}   

Par exemple, pour s' = 0, vous aurez :

f^A₁ = f_x,ct^A₁(x,ct) = f^A₁[X(x,ct),cT(x,ct)]
F^A₁(f⁰,f¹) = S₀^fA₁ exp[is(f⁰,f¹)/h]df^A₁  

Pour s' = ½ :

f^A₁A₂ = f_x,ct^A₁A₂(x,ct) = f^A₁A₂[X(x,ct),cT(x,ct)]
F^A₁A₂(f⁰⁰,f⁰¹,f¹⁰,f¹¹) = S₀^fA₁A₂ exp[is(f⁰⁰,f⁰¹,f¹⁰,f¹¹)/h]df^A₁A₂   

et ainsi de suite.

Comprenons-nous bien : toute la technique déversée dans ces bidouilles ne sert qu'à CONSTRUIRE le quantique à partir du classique, qui nous est beaucoup plus familier. EN REALITE, temps, espace, corps, champs, milieux physiques : TOUT EST QUANTIQUE. Seulement, nous ne le percevons pas dans la vie de tous les jours, nous ne percevons que le classique. Je l'avoue très simplement : je me passerais volontiers de toutes ces démonstrations techniques... Mais, en recherche scientifique, on DEMONTRE les choses, on les PROUVE, on les DECRIT.

Toutes ces grandeurs quantiques sont des quantités complexes, avec amplitude et phase. De la plus petite échelle à la plus grande, ce sont toutes des paquets d'ondes. Ils n'ont simplement pas même amplitude ni phase à toutes les échelles de description, à moins d'être invariants d'échelle, ce qui concerne les structures fractales. Si leur phase est multiple entier de pi radians, elles se réduisent à des grandeurs classiques. Si elle est multiple impair de pi/2 radians, ces quantités se ramènent encore à des grandeurs classiques mais, en quadrature de phase. C'est la seule chose qu'il faut retenir : que le classique n'est qu'une REDUCTION du quantique. On quantifie au moyen de l'analogie opto-mécanique parce qu'on a découvert le quantique que beaucoup plus tard. Si l'inverse s'était produit, on serait parti de grandeurs COMPLEXES et on en aurait DEDUIT le classique comme VALEURS PARTICULIERES DES PHASES. On n'aurait sans doute pas eu besoin de tout cet arsenal mathématique : il est beaucoup plus facile de passer d'une situation générale à des cas particuliers que de généraliser des particularités...

Je peux fort bien me limiter à décrire, disons, le temps quantique par le seul nombre complexe T = |T|e^iTAU. A condition que je me mette à la place d'un observateur quantique. Si je me pose comme observateur CLASSIQUE, cette description est insuffisante, je DOIS utiliser le paquet d'ondes intégral (2a), ce qui complique considérablement les choses, vu qu'il ne s'exprime pas au moyen de fonctions élémentaires.

Le problème n'est donc pas de faire de la "mécanique quantique" : il suffirait de "copier-coller" le formalisme de Lagrange-Hamilton-Jacobi en y remplaçant toutes les grandeurs, réelles, par des homologues complexes. La difficulté est de faire ce type de mécanique du point de vue d'un observateur classique. Un observateur avec une perception REDUITE des choses, restreinte à la manifestation CORPUSCULAIRE de la matière. Pour lui, la "matière", c'est du "palpable". Mais la matière PHYSIQUE, ce n'est pas ça... Les atomes s'associent par liaisons chimiques. Ces liaisons, c'est de l'ondulatoire... C'est comme ça que se constitue sa "matière palpable" : avec de l'impalpable... :) Pour lui, le "passe-muraille", c'est de la science-fiction ; dans le monde quantique, il n'y a QUE du passe-muraille... Il n'y a PAS d'obstacle matériel. La difficulté, c'est de retrouver le paquet d'ondes initial à la sortie. Parce que la traversée d'un milieu physique le DEFORME : son amplitude n'a plus même forme et il est déphasé. Il contient la même information qu'en entrée, parce qu'il n'y a pas de viscosité, mais il n'a plus "la même tronche". Donc, vous voyez : même dans le monde quantique, il n'est pas aussi facile qu'on le penserait de "traverser des portails", il faut encore être doté de la faculté de se reconstituer sa forme d'origine en sortie...

Eh bien, ça, c'est un exemple de capacité autonome qu'on n'a pas encore observé à ce jour, parce qu'on n'a observé que de l'inerte. Les systèmes biologiques classiques atteignent des niveaux de complexité MOLECULAIRE qui leur permettent de développer des facultés d'autonomie, il en va de même (et conjointement) pour les paquets d'ondes, qui s'associent suivant les lois ondulatoires, jusqu'à développer des structures de plus en plus sophistiquées, avec des fonctions ONDULATOIRES de plus en plus compliquées, jusqu'à l'autonomie.

On sait former aujourd'hui des alliages chimiquement assez complexes qui sont isolants au-dessus de leur point de Curie et supraconducteurs en dessous, mais ils restent ridiculement simples comparés à une machinerie vivante.

Ce que nous apprend l'observation physique, c'est que le corpusculaire est INDISSOCIABLE de l'ondulatoire. La déduction me semble évidente : si le corpusculaire EVOLUE dans la complexité, il en va de même de l'ondulatoire... On aboutit donc aussi bien à une autonomie MOLECULAIRE qu'à une autonomie ONDULATOIRE... parce que le vivant se construit à partir de l'inerte et que l'inerte est QUANTIQUE par nature.

Ensuite, ce sont des comportements thermodynamiques : au-dessus du point de Curie, le "palpable" masque complètement "l'impalpable", principalement à cause de l'agitation thermique ; mais en-dessous de ce point, il n'y a plus suffisamment d'activité thermique et c'est l'impalpable qui prend le dessus.

On a le droit de croire ce qu'on veut : c'est le Libre Arbitre. Mais les gens qui ne croient pas en "la vie après la vie" (biologique) rejettent tout simplement des FAITS D'OBSERVATION PHYSIQUES...

Nous ne sommes plus dans le domaine du fantasme, plus depuis la découverte des comportements quantiques...

C'est pour ça : faire le con de son "vivant" en se disant qu'il faut en profiter parce qu'ensuite "y a plus rien"... chacun voit midi à sa porte... Nous, nous rapportons ce que nous observons. Dans nos labos, dans l'Univers.

La vie "d'après", on se la construit ICI... ce n'est pas un aboutissement, ce n'est que le point de départ. On n'est "palpable" que parce que l'on développe une activité thermique interne, qui occassionne des chocs moléculaires, qui produisent des frottements, lesquels dissipent une partie de l'énergie et se manifestent, à grande échelle, sous forme de viscosité. Baissez suffisamment l'activité thermique sans la supprimer pour autant : les échanges énergétiques se réorganisent, suivant des lois physiques différentes ; l'ondulatoire se met en cohérence et forme des motifs macroscopiques à viscosité NULLE. Plus de viscosité, plus de frottements internes, plus de dissipation d'énergie, plus d'usure mécanique ni de vieillissement : c'est le domaine du "mouvement perpétuel".

Je tiens d'ailleurs à préciser que le "choc moléculaire" n'est qu'une représentation "en sphères dures". En réalité, les molécules ne s'entrechoquent pas, parce qu'elles sont entourées par leur paquet d'ondes respectif. Ce n'est pas comme deux véhicules qui entrent en collision : elles "rebondissent" plutôt au moment de la rencontre. C'est la représentation "en sphères molles".

Seulement, il faut savoir tout ça, avant d'affirmer que, dans le trou, y a plus de son, plus d'image... Dans le trou, y a une carcasse biologique qui se décompose. Une "enveloppe". Qui continue d'obéir aux lois de la thermodynamique MOLECULAIRE (dégradation de l'énergie !). Il n'y a pas non plus de "résurrection d'entre les morts", les lois physiques ne fonctionnent pas comme ça.

La quantité de CONNERIES qu'on a pu sortir au fil des siècles pour des raisons purement POLITIQUES... :|

Pendant qu'on faisait griller les chimistes et les physiciens "non orthodoxes" sur les bûchers pour "sorcellerie"...

On en a perdu, du temps et des connaissances !... Si vous aviez le malheur de sortir des choses à contre-courant, soit des idées reçues, soit de la "bienséance auto-proclamée", c'était censure immédiate...

C'est d'ailleurs toujours le cas... lol Combien de fois je me suis fait interdire de publication pour avoir oser "critiquer le travail des maitres" ?...  Si j'ai lancé ce blog... c'est pour pouvoir publier LIBREMENT... :)

Pas pour éviter les critiques. La critique et L'AUTO-critique font partie intégrante du travail du théoricien : t'as pas la science infuse...

Nous allons faire un petit point intermédiaire pour savoir ce qui a déjà été accompli et ce qu'il reste encore à faire (et je crains qu'il y ait encore pas mal à faire...).

Je l'ai sans doute déjà dit : l'objectif d'une théorie physique est 1) de rendre compte le mieux possible des données d'observatioon recueillies et de les regrouper dans un cadre commun ; 2) d'expliquer les mécanismes sous-jacents menant à ces observations et, pourquoi pas, 3) de prédire des comportements non encore observés.

Une théorie physique ne se contente pas de décrire l'existant, elle doit aussi permettre d'envisager l'avenir.

La biodynamique n'échappe pas à cette règle. Son but est de décrire le plus fidèlement possible l'évolution des organismes vivants dans l'espace au cours du temps. Par "vivant", on entend des ensembles COHERENTS de constituants capables de S'AUTO-GERER. C'est la différence essentielle avec l'inerte : le vivant PART de l'inerte et atteint un "seuil de développement" au-delà duquel l'inerte devient AUTONOME. Les organismes végétaux ou animaux savent gérer leurs dépenses énergétiques parce que leurs constituants de base, les cellules, ont atteint un niveau de complexité qui les rend aptes à le faire d'elles-mêmes. Il se constitue une forme "d'intelligence cellulaire", biochimique, très différente de notre conception courante de l'intelligence neurologique, mais d'une redoutable efficacité. Les plantes, par exemple, sont dépourvues de système nerveux, propre aux animaux, mais communiquent sans cesse entre elles via des échanges biochimiques, certains nocifs (incompatibilités), d'autres participatifs. Dans une foret, même un sous-bois, les arbres sont solidaires. Si vous déforestez trop, vous mettez l'ensemble du massif en difficulté.

Les modèles bio-mathématiques généralement employés pour décrire ce type d'évolution se basent sur l'étude des variations : spatiales, temporelles, spatio-temporelles (mais au sens de Galilée, pas d'Einstein - la vitesse de la lumière n'est pas d'une grande utilité en biophysique). La description fait appel à la notion d'échelle. On commence par définir ce que l'on va s'employer à étudier : la cellule vivante, un tissu, un organe ou un organisme. S'il s'agit d'une cellule, les petites échelles vont porter sur les molécules simples, voire les atomes ; les échelles intermédiaires, sur les macro-molécules, les protéines, les constituants de la cellule ; l'échelle "macroscopique", sur la cellule elle-même. S'il s'agit d'un tissu, ces "niveaux de description" vont se décaler, la cellule passant à l'échelon "intermédiaire", "mésoscopique". Pour un organe, ce sera le tissu. Et pour un organisme, l'organe.

Aussi, si l'on cherche à décrire la biodynamique d'un organisme complet, le constituant de base, la cellule, n'y apparaîtra  pas plus gros qu'un grain de sable. Il faudra un microscope optique pour l'observer. Le théoricien traitera alors la cellule comme un "point matériel", un "corpuscule", sans se préoccuper de sa structure interne à cette échelle. Pour lui, l'organisme se composera d'un très grand nombre de "constituants cellulaires réduits à leur centre de gravité (cdg)". A l'échelle de l'organisme, ce mode de description schématique n'occasionnera pas d'erreurs majeures. Le passage à des échelles inférieures, à des résolutions moins grossières, permettra d'affiner les résultats obtenus à grande échelle.

Notre théoricien partira donc du fait qu'il a à gérer un ensemble de N "corpuscules" en mouvement et en interaction les uns avec les autres. Pour 1 =< n =< N, le corpuscule "n° n" se trouvera à la position x_n(t) dans l'espace 3D à l'instant t. La variation de cette position au cours du temps sera décrite par un champ de vitesses assez compliqué :

(1)     dx_n(t)/dt = v_n[x₁(t),...,x_N(t),t,a₁,...,a_P]          (1 =< n =< N)

dépendant des positions de TOUS les corpuscules constituants l'ensemble, du temps naturellement (le paramètre mécanique), mais aussi de P paramètres thermodynamiques et chimiques (a₁,...,a_P). Il va sans dire qu'un tel système dynamique est quasi-impossible à résoudre dans les situations réalistes avec les outils d'analyse actuels. Même en recourant à des algorithmes numériques performants, les interactions cellulaires ont tendance à augmenter exponentiellement le volume des calculs. Sans compter que, pour des valeurs "critiques" des paramètres a, de tels systèmes entrent  en "chaos déterministe" dès l'ordre 2, c'est-à-dire, dès l'interaction cellulaire deux à deux et ce, même pour de petits ensembles de constituants.

De toute façon, les cellules baignent généralement dans des liquides amniotiques, comme vous pouvez le voir dans un simple microscope optique acheté dans le commerce, ce qui rend leur mouvement très rapidement erratique.

A moins de former un ensemble cohérent. A ce moment-là, le mouvement individuel de CHAQUE cellule n'est plus libre. Les N cellules font partie d'un système, une sorte de "tout" au sein duquel le mouvement de l'une quelconque des N cellules dépend de celui de toutes les autres à chaque instant : c'est le système dynamique (1).

Maintenant, ce système peut aussi être commandé. On obtient alors une régulation. La régulation permet de stabiliser un système en mouvement. La modélisation se complique encore plus, puisqu'aux positions variables x_n(t), il faut adjoindre N vecteurs commande u_n(t). (1) devient :

(2a)     dx_n(t)/dt = v_n[x₁(t),...,x_N(t),u₁(t),...,u_N(t),t,a₁,...,a_P]
(2b)     du_n(t)/dt = w_n[x₁(t),...,x_N(t),u₁(t),...,u_N(t),t,a₁,...,a_P]

qu'il est possible de ramener à une forme similaire à (1) en égalisant les systèmes d'unités et en remplaçant les 3N positions x_n(t) de (1) par les 6N variables [x_n(t),u_n(t)]. C'est de la mathématique.

Comment fonctionne un système régulé ? Au départ, vous avez un processus biochimique, généralement complexe (au sens de complexité) que nous modéliserons par un opérateur b^(t,a₁,...,a_P). Si vous laissez le système agir librement, il évoluera de la manière qu'il souhaitera. Si, au contraire, vous voulez qu'il se comporte d'une certaine manière, vous imposerez une "consigne" en entrée c(t) = [c₁(t),...,c_N(t)]. La réponse m(t) = [m₁(t),...,m_N(t)] en sortie du système sera alors comparée à cette consigne :

(3)     e(t) = [e₁(t),...,e_N(t)] = c(t) - m(t) = [c₁(t) - m₁(t),...,c_N(t) - m_N(t)]

donnant un vecteur "erreur". Cette erreur sera corrigée par un correcteur r^(t,a₁,...,a_P) qui la transformera en la commande [u₁(t),...,u_N(t)] :

(4)     r^(t,a₁,...,a_P).e(t) = u(t)

La correction est "adaptative", voire "auto-adaptative", c'est-à-dire qu'elle s'adapte au cours du temps ainsi que selon la valeur des paramètres thermo-chimiques. C'est cette commande qui va être appliquée au processus biochimique et qui va rectifier la mesure en sortie m(t) :

(5)     b^(t,a₁,...,a_P).u(t) = m(t)

et la forcer à s'aligner sur la consigne c(t). Lorsque le résultat souhaité est atteint, i.e. aussi longtemps que c(t) = m(t), soit e(t) = 0, la commande s'annule : elle n'est plus nécessaire, le processus est régulé. S'il se dérégule, la correction reprend.

Si vous regroupez les équations (3), (4) et (5), il vient :

u(t) = r^(t,a₁,...,a_P).[c(t) - b^(t,a₁,...,a_P).u(t)]

ce qui vous donne le vecteur commande sous la forme (très théorique),

(6)     u(t) = [Id + b^(t,a₁,...,a_P)]^-1.r^(t,a₁,...,a_P).c(t)

où Id est l'opérateur identité (qui change une fonction en elle-même). Il s'agit donc de prendre l'inverse de l'opérateur Id + b^ et d'appliquer le résultat au correcteur r^. Si c'est VOUS qui fixez la consigne, c'est VOUS qui régulez le système. Si c'est le système qui s'applique sa propre consigne, il se fixe son propre objectif et il s'auto-régule.

En pratique, les opérateurs biochimiques deviennent rapidement très compliqués et ne se modélisent au mieux que très schématiquement et de manière empirique (= par des données d'observation). Ils ne sont quasiment jamais linéaires, plutôt "stochastiques" (aléatoires). Mathématiquement, l'inverse de Id + b^ s'obtient à l'aide de la série infinie :

(Id + b^)^-1 = S_n=0^+oo (-1)ⁿ(b^)ⁿ  

Mais, même si (6) vous donne théoriquement la commande à partir de la consigne, il vous faut encore résoudre le système des équations d'évolution (2a-2b). La tâche est tout sauf simple, à la hauteur de la complexité des systèmes à l'étude.

Et encore, nous ne venons d'aborder la question que pour un nombre FINI de constituants. Or, à l'échelle d'un organisme, les cellules forment un milieu "continu", surtout dans les tissus (eux-mêmes constituants des organes). A ce niveau de description là, le théoricien va donc poser que N est "infini". On va entrer dans le cadre de ce que l'on appelle les modèles "phénoménologiques" : les systèmes dynamiques "discrets" (i.e. à nombres FINIS de constituants) vont être remplacés par des équations aux dérivées partielles (EDPs), voire des systèmes d'EDPs, ce qui va compliquer considérablement la tâche du théoricien quant à leur résolution. Dans (1) avec commande intégrée ou pas, on va substituer à l'entier n les variables de position x elles-mêmes. Il va donc falloir changer les trajectoires individuelles x_n(t) en une champ de positions X(x,t) et considérer les variations de ce champ aussi bien dans le temps que dans l'espace. La loi de la diffusion dite "moléculaire", par exemple, va être décrite par l'EDP de type parabolique :

(7)     (d/dt + Dd²/dx^adx_a)X(x,t) = Q(x,t)          (a = 1,2,3)

où Q(x,t) est la perturbation source et D, un coefficient de diffusion en m²/s, qui dépend généralement des caractéristiques physico-chimiques du milieu. Mais je viens de donner l'un des exemples les plus simples. Nombre de phénomènes macroscopiques ne peuvent se décrire qu'à l'aide de modèles différentiels NON linéaires ou intégro-différentiels,... sans évoquer les conditions aux limites, qui peuvent être elles-mêmes non linéaires.

Bref, la biophysique n'est peut-être pas l'astrophysique ni la cosmologie quantique, mais elle reste tout de même l'une des branches de la physique la plus compliquée de toutes. La dynamique cellulaire est extrêmement compliquée à modéliser. Les cellules communiquent entre elles en s'échangeant des informations chimiques au moyen de protéines, d'enzymes en tous genres et d'ARN messager. Les cascades enzymatiques impressionnent même les biologistes... On a beau disposer désormais de la carte génétique complète du patrimoine humain, ça ne permet pas de résoudre tous les problèmes à la fois... Pourquoi ? Parce que c'est une chose de décomposer les structures complexes en éléments simples et c'en est une toute autre de les recomposer. Ce fut déjà une tâche ardue que de décrypter le génome humain, c'en est une encore plus difficile de reconstituer un organisme avec ses réactions biochimiques interactives, qui sapent totalement tout espoir de déterminisme. La seule chose que le biologiste sait, c'est qu'il est dans le diffus, le stochastique, l'aléatoire, le chaotique. Sans entrer dans les détails très techniques de la dynamique "hyperbolique", il se forme des "bassins d'attractions" où les trajectoires convergent. Ces bassins d'attractions ne sont pas tous "étranges". Mais ils font tous partie des solutions CONVERGENTES des équations dynamiques pour des valeurs critiques des paramètres biochimiques. Eh bien, tout ça, les systèmes dynamiques, les situations de chaos, les équations aux dérivées partielles, ça se recoupe... C'est déjà un défi technique que d'établir des équations aux variations dans le temps et dans l'espace, c'en est un encore plus difficile de résoudre ces équations. Ça fait partie de la phase de test des modèles théoriques : soit vous êtes dans les clous avec une marge d'imprécision tolérable, soit vous êtes complètement à côté de la plaque et il n'y a plus qu'à tout recommencer... C'est la seule chose qui ne soit pas compliquée : le test. Les simulations numériques. Elles vous disent rapidement si vous avez travaillé pour rien ou pas...

Et nous, qu'avons-nous obtenus jusqu'ici ?

La quantification du temps, de l'espace et de l'espace-temps. C'est déjà bien, mais... avons-nous au moins égratigné l'iceberg ?... Nous avons transformé des VARIABLES classiques en SIGNAUX quantiques de même nature et, pour ce faire, l'analogie opto-mécanique nous a obligé à passer par des FONCTIONS. Des fonctions issues de l'intégration (!) de fonctionnelles classiques (les lagrangiens et densités de lagrangiens). Ici, nous venons de voir que la biophysique étudie DES TRAJECTOIRES ET DES CHAMPS. Avons-nous quantifié des courbes, des surfaces, des volumes,... ? NON... Il nous reste à quantifier des FONCTIONS. C'est-à-dire, l'essentiel de l'analyse.

Ce n'est pas parce que nous avons passé les étapes :

T(t) = S₀^t exp[is(t')/h]dt'  et  X^a(x) = S₀^xa exp[is(x')/h]dx'^a     (a = 1,2,3)

que cela nous permet de quantifier x(t). Pour quantifier une fonction f(t) du temps, il faudrait une action s[f(t)]. Mais, non : le lagrangien classique est fonction de x(t), de v(t) et de t, pas de x[f(t)], de v[f(t)] et de f(t), à moins que f ne soit elle-même une fonction qui transforme le temps en un autre temps. A ce moment-là, df(t) = f⁽¹⁾(t)dt et on a une intégrale :

S₀^f(t) exp{is[f'(t')]/h}df'(t') = S₀^t exp[is'(t')/h]f⁽¹⁾(t')dt'

avec f⁽¹⁾(t) sans unité, puisque, dans ce cas, f(t) est en secondes. C'est déjà mieux. Mais alors...

ON EST DANS LE DOMAINE DE LA RG ! lol

Et ça, c'est sans doute la meilleure, parce que le "programme déformation" lancé par l'école du géomètre Français André Lichnerowicz dans les années 1950 proposait de quantifier l'espace-temps courbe au moyen d'une déformation induite par un paramètre, l'action de Planck h. A présent, c'est L'INVERSE : c'est LA RG qui va permettre la quantification... :))

Nous l'avons vu en B 193 : la quantification par analogie opto-mécanique n'est ni plus ni moins qu'une DEFORMATION (du temps, de l'espace, de l'espace-temps,...), bref, du CADRE DE TRAVAIL.

Après la quantification du temps, celle de l'espace. Le passage de R³ à C³(x) se fait, cette fois, via des champs de position y(x) dans l'espace ordinaire 3D, qui correspondent à des déplacements x' = y(x). Comme il y a maintenant 3 paramètres de mouvement x¹, x² et x³, la vitesse de déplacement v_a^b(x) = cd_ay^b(x) forme un champ de 2-tenseurs mixtes dans R³. L'action classique correspondante est s(x) = S s'[y^a(x),v_a^b(x),x]d³x avec s(0) = 0, c'est l'intégrale volumique d'une densité d'action s', en Js/m³. La densité de lagrangien correspondante est :

(0)     l'[y^a(x),v_a^b(x),x] = cu^ad_as'[y^a(x),v_a^b(x),x]
                                  = ½ m(x)v_a^b(x)v^a_b(x) + f^b(x)y_b(x)     en J/m³  

dans le modèle le plus simple, où m(x) est une densité corpusculaire de masse (en kg/m³) ; f(x), une densité de force (en N/m³ = kg/m²s²) et u^a = dx^a/dx = x^a/x. Le signal quantique de position résultant est :

(1)     X^a(x) = S exp[is(x)/h]dx^a          (a = 1,2,3)

Comme nous l'avons déjà vu dans B 193, le signal quantique de vitesse est le champ de 2-tenseurs mixtes dans R³ :

(2a)     C_a^b(x) = cd_aX^b(x) = cexp[is(x)/h]Id_a^b   

d'invariant spatial,

(2b)     C_a^a(x) = 3cexp[is(x)/h] = 3C(x)  ,  C(0) = c.

Aussi, pour une densité quantique de masse M(x), le signal quantique impulsionnel sera :

(3a)     P_a^b(x) = d£/dC^a_b(x) = M(x)C_a^b(x) = M(x)cexp[is(x)/h]Id_a^b     en kg/m²s
(3b)     P(x) = M(x)C(x) = M(x)cexp[is(x)/h]

et les équations de Lagrange,

(4)     cd^ad£/dC^a_b(x) = d£/dX_b(x)

donneront les équations de mouvement,

(5)     d^aP_a^b(x) = F^b(x)/c

pour le quantifié de (0),

(6)     £[X^a(x),C_a^b(x),x] = cu^ad_aS'[X^a(x),C_a^b(x),x]
                                  = ½ M(x)C_a^b(x)C^a_b(x) + F^b(x)X_b(x)

L'hamiltonien dual de Legendre de £ :

(7)     H[X^a(x),P_a^b(x),x] = P_a^b(x)C^a_b(x) - £[X^a(x),C_a^b(x),x]
                                  = ½ M(x)C_a^b(x)C^a_b(x) - F^b(x)X_b(x)
                                  = E(x)          en J/m³  

fournira l'énergie totale du système quantique en mouvement par unité de volume.

Les coordonnées quantiques de position X^a(x) forment une application vectorielle X : R³ -> C³. D'après (2), l'unique degré de liberté pertinent des vitesses C^a_b(x) est leur invariant C(x), application de spin 0, C : R³ -> C. Localement, l'espace "ambiant" est de dimension quantique 3 et son espace tangent se réduit à la dimension quantique 1. Il en va de même pour les impulsions, en vertu de (3b). En nombre de ddls, l'espace des phases T*C³(x) se limite donc à la dimension quantique 4 et l'espace des états T*C³(x) x_c R³, à la dimension quantique 4 + 3 = 7. Les équations d'Hamilton,

(8)     dH/dP^a_b(x) = C_a^b(x)  ,  dH/dX_b(x) = -F^b(x) = -cd^aP_a^b(x)

donnent le crochet de Poisson :

(9)     cu^a[d_a + d_aX^b(x)d/dX^b(x) + d_aP_c^b(x)d/dP_c^b(x)] =
          = cu^ad_a + [u^adH/dP^a_b(x)]d/dX^b(x) - [u^adH/dX_b(x)]d/dP_a^b(x) =
          = cu^ad_a + {H,.}

Si D : T*C³(x) x_c R³ -> C est une loi de répartition de spin 0 dans l'espace des états quantiques,

(10a)     D_x = cu^ad_aD + {H,D} = d_aJ^a+ {H,D}

où :

(10b)     J = cuD

est le courant associé.

Il me semble inutile de refaire le raisonnement sur le théorème de Liouville. Les conclusions sont identiques, pour les mêmes raisons : à cause des interférences dues à la superposition de signaux quantiques, l'information sera dissipée pour qui l'observera depuis l'espace classique 3D.

La dynamique spatio-temporelle regroupe la dynamique temporelle et la dynamique spatiale. L'action classique devient l'intégrale quadri-volumique :

(11a)     s(x,ct) = S s'[y^a(x,ct),v_a^b(x,ct),x,ct]d³xcdt     (a,b,... = 0,1,2,3)

d'une densité d'action s' en Js/m⁴, la densité de lagrangien correspondante étant,

(11b)     l' = (cu.Grad + u⁰d/dt)s'          en J/m⁴.

Si j'avais maintenu l'expression traditionnelle s = S ld³xdt = S ld⁴x/c, j'aurais fait jouer un rôle DISSYMETRIQUE aux coordonnées spatio-temporelles, car la densité de lagrangien continue de s'y mesurer en J/m³, ce qui en fait une densité spatiale et non spatio-temporelle, comme il se doit. Si cela était admissible tant que l'on considérait R^3,1 comme un cadre fictif, le véritable support physique restant R³, ça ne l'est plus depuis le lien entre le spin ½ et la dimension 4, qui fait de R^3,1 un espace-temps PHYSIQUE. Les densités doivent donc s'y mesurer en m^-4 et non plus en m^-3 : la substance se distribue aussi bien dans l'espace que dans le temps...

Le signal quantique de position se décline en :

(12a)     X^a(x,ct) = S exp[is(x,ct)/h]dx^a          (a = 1,2,3)
(12b)     X⁰(x,ct) = cT(x,ct) = S exp[is(x,ct)/h]cdt

On retrouve [B196, (4)] à la différence que T dépend maintenant de x. Le signal de vitesse a pour composantes :

(13a)     C_a^b(x,ct) = cd_aX^b(x,ct) = cexp[is(x,ct)/h]Id_a^b     (a,b = 1,2,3)
(13b)     C_a⁰(x,ct) = 0  et  C₀^b(x,ct) = 0     pour tout (x,ct)
(13c)     C₀⁰(x,ct) = -cexp[is(x,ct)/h] = -C(x,ct)

L'inversion de polarité dans (13c) par rapport à [B196, (3)] étant due au choix de la signature (3,1).

Dans notre modèle de densité de lagrangien,

(14)     £ = ½ M(x,ct)C_a^b(x,ct)C^a_b(x,ct) + F^b(x,ct)X_b(x,ct)     (a,b = 0,1,2,3)
             = 2M(x,ct)C²(x,ct) + F(x,ct).X(x,ct) - cF⁰(x,ct)T(x,ct)

M(x,ct) est en kg/m⁴ et [F(x,ct),F⁰(x,ct)], en N/m⁴. Pour le signal impulsionnel :

(15a)     P_a^b(x,ct) = P(x,ct)Id_a^b  

reste la densité spatiale d'impulsion, mais en kg/m³s ;

(15b)     P_a⁰(x,ct) = P₀^b(x,ct) = 0

la densité spatio-temporelle d'impulsion est nulle et

(15c)     P₀⁰(x,ct) = -M(x,ct)C(x,ct) = -P(x,ct)

est la densité temporelle d'impulsion. CE N'EST PLUS LA DENSITE D'ENERGIE DU SYSTEME DIVISEE PAR c.

Du fait de (15b), les équations de mouvement se réduisent à :

(16a)     d^aP_a^b(x,ct) = F^b(x,ct)/c
(16b)     d⁰P₀⁰(x,ct) = F⁰(x,ct)/c  =>  dP(x,ct)/dt = F⁰(x,ct)

C'est encore l'hamiltonien qui représente la densité d'énergie totale du système :

(17)     H = 2M(x,ct)C²(x,ct) - F(x,ct).X(x,ct) + cF⁰(x,ct)T(x,ct)
              = 2P²(x,ct)/M(x,ct) - F(x,ct).X(x,ct) + cF⁰(x,ct)T(x,ct)

Nous ne sommes plus dans l'extension lorentzienne de la relativité de Galilée où l'on aboutissait à l'identité H = 0 parce que la composante temporelle p₀ de l'impulsion était égale à l'énergie E divisée par c. Ça, c'était du bricolage pour rester en dimension 3 (je peux vraiment parler de bricolage car les transformations de Poincaré-Lorentz valent uniquement dans le cas de vitesses CONSTANTES - on les a ensuite extrapolées aux vitesses VARIABLES pour satisfaire aux besoins de la RR - sinon, c'est Liénard-Wiechert). Mike and the Mechanics, hein... ;)

Le crochet de Poisson est construit de la même manière que dans (9) mais avec le temps propre x/c et en tenant évidemment compte de la métrique de Minkowski.

Toujours pour une loi de répartition de spin 0, D : T*C^3,1(x,ct) x_c R^3,1 -> C,

(18a)     D_x,ct = (cu.Grad + u⁰d/dt)D + {H,D} = d_aJ^a + {H,D}     (a = 01,2,3)
(18b)     d_aJ^a = Div.J + dJ⁰/cdt
(18c)     J = cuD  ,  J⁰ = cu⁰D

et toujours cette dissipation d'information pour un observateur spatio-temporel classique : D_x,ct = 0 => D = 0 et l'annulation de tous les courants.