Je viens de découvrir un résultat pour le moins étonnant concernant la réduction des bases de numération. On reprend les notations et conditions (1) de B175. Le résultat s’étend sans difficulté à Z, mais il faut tenir compte des signes, ce qui alourdit le texte et n’apporte rien de nouveau.

 

On commence par la partie entière d’un nombre A(m+n), c’est-à-dire, les puissances positives de B :

 

(1)               E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_iBⁱ = Bⁿ⁺¹S_i=0ⁿ a’_i(n) = Bⁿ⁺¹E_1,A’(n)

 

Contrairement aux chiffres a_i, uniquement soumis à la condition 0 =< a_i =< B - 1, les coefficients :

 

(2)               a’_i(n,B) = a_iB^-(n+1-i)             (i = 0,…,n)

 

dépendent à la fois de la base de départ et de la longueur du mot construit. Le gain en souplesse est considérable :

 

(3)               a_i = 0,1,2,…,B - 1 => a’_i(n) = 0,B^-(n+1-i),2B^-(n+1-i),…,(B - 1)B^-(n+1-i)

 

On a remplacé un alphabet UNIQUE, {0,1,2,…,B - 1}, de pas d’incrémentation FIXé A 1, par n + 1 alphabets B^-(n+1-i){0,1,2,…,B - 1}, de pas d’incrémentation variant suivant la longueur du mot, d’un facteur 1/Bⁿ⁺¹ pour i = 0 à un facteur 1/B pour i = n.

 

En conséquence, le mot REDUIT :

 

(4)               0 =< E_1,A’(n) = S_i=0ⁿ a’_i(n) =< (Bⁿ⁺¹ - 1)/Bⁿ⁺¹ = 1 - 1/Bⁿ⁺¹

 

Au contraire du mot originel E_B,A(n) dont on sait qu’il diverge avec B et n [B 175, remarque suivant la définition (10)], le mot RENORMALISé E_1,A’(n), écrit en base B’ = 1, est maintenant strictement inférieure à l’unité, quelle que soit sa longueur et la base choisie. Mieux encore : plus B ou n augmente, plus l’écart 1 - 1/Bⁿ⁺¹ se rétrécit et tend vers 1.

 

Pour la partie décimale du nombre A(m+n) :

 

(5)               D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_-(m-i)B^-(m-i)

 

une renormalisation n’est pas nécessaire, puisque les bornes 0 =< a_-(m-i) =< B - 1 garantissent

 

(6)               0 =< D_B,A(m-1) =< 1 - 1/B^m < 1

 

Il suffit donc de se ramener à la base unité :

 

(7)               a’_-(m-i)(m-1,B) = a_-(m-i)B^-(m-i) = (a_-(m-i)/a_i)a’_i(m-1,B)

 

pour obtenir,

 

(8)               D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a’_-(m-i)(m-1,B) = D_1,A’(m - 1)

 

Au contraire de la partie entière de A(m+n), contractée d’un facteur Bⁿ⁺¹, la partie décimale du nombre RESTE INVARIANTE DE BASE.

 

Si le mot originel :

 

(9)               A(m+n) = S_i=-mⁿ a_iBⁱ = E_B,A(n) + D_B,A(m-1)

 

écrit en base B >= 2 n’est majoré que par une progression GEOMETRIQUE

 

(10)           0 =< A(m+n) =< (B^n+m+1 - 1)/B^m

 

en revanche, le mot « renormalisé »

 

(11)           A’(m+n) = S_i=-mⁿ a’_i = E_1,A’(n) + D_1,A’(m-1)

 

pourtant de même longueur, est écrit en base B’ = 1 et majoré par une progression ANTI-GEOMETRIQUE

 

(12)           0 =< A’(m+n) =< 2 - 1/Bⁿ⁺¹ - 1/B^m < 2

 

qui permet de le maintenir strictement inférieur à une CONSTANTE.

 

L’éventail de chiffres disponibles restant le même en base unité qu’en base B et les formules (2) et (7) étant inversibles, si l’on PART, cette fois, de la donnée de B chiffres a’_i(n) en base B’ = 1, on reconstruit n’importe quel mot de longueur n en base B à partir de son renormalisé de même longueur.

 

Si l’on avait posé dès le départ B = 1, on n’aurait évidemment rien trouvé d’intéressant, puisque le seul chiffre disponible y est 0.

 

Le procédé de renormalisation de la base de numération permet, au contraire, de faire ressortir une SOUS-STRUCTURE DEPENDANTE D’ECHELLE en « éclatant » la structure complètement triviale de la base 1.

 

En L’ABSENCE de partie décimale, m = 1 et a_-1 = 0, la majoration est donnée par (4). En l’absence de partie ENTIERE, n = 0, a₀ = 0 et la majoration est donnée par (6). Comme B est pris >= 2, l’écart le plus significatif dans (12) se situe en base B = 2 :

 

(13)           2 - 1/Bⁿ⁺¹ - 1/B^m =< 2 - 1/2ⁿ⁺¹ - 1/2^m < 2

 

Dans cette base, (3) et (7) donnent :

 

(14)           a_i = 0,1 => a’_i(n) = 0,1/2^(n+1-i) => a’₀(n) = 0,1/2ⁿ⁺¹,…,a’_n(n) = 0,½

(15)           a’_-(m-i)(m-1) = 0,1/2^m-i => a’_-m(m-1) = 0,1/2^m,…, a’_-1(m-1) = 0,½

 

Si B₀ = {0,1 ; 1 -., ET, OU} désigne l’algèbre de Boole conventionnelle, le plus grand entier non négatif FINI étant égal à Card(N) - 1 :

 

(16)           B_Card(N) = B₀/2^Card(N) = B₀/Card(R₊)

 

L’algèbre de Boole TRANSFINIE B_Card(N) est donc égale à l’algèbre de Boole conventionnelle B₀ divisée par la « puissance du continu ».

 

Cette algèbre-là peut raisonnablement être considérée comme « infinitésimale » au sens du continu, puisque ses éléments sont 0 et 1/Card(R₊), qui représente « l’infiniment petit du 1^er ordre » lors du passage du discret au continu.

 

A toute algèbre de Boole B_p = B₀/2^p pouvant être associé un espace topologique de Stone S_p = S₀/2^p de dimension 1, l’espace S_Card(N) peut donc être utilisé pour DEFINIR l’intervalle « différentiel » [0,dx] sur R₊, au moins au 1^er ordre de petitesse près. Entre 0 et dx -> 0⁺, on ne trouve en effet aucun élément intermédiaire, ce qui revient à dire que le pas le plus petit est dx.

 

En pratique, la renormalisation des bases de numération permet de réduire considérablement le volume des calculs. Prenez l’exemple de l’addition arithmétique en base B = 2. C’est la seule à pouvoir vraiment être décomposée en produit et somme « logiques », c’est-à-dire arithmétiques « modulo 2 ». Décomposez ne serait-ce que :

 

a₀ + a₁ + a₂ = (a₀ XOR a₁) + 2(a₀ ET a₁) + a₂

      = (a₀ XOR a₁ XOR a₂) + 2{[(a₀ XOR a₁) ET a₂] + (a₀ ET a₁)}

      = (a₀ XOR a₁ XOR a₂) + 2[(a₀ ET a₁) XOR (a₁ ET a₂) XOR (a₂ ET a₀)]

 

car (a_i XOR a_j)(a_i ET a_j) = 0. Le volume de calcul augmente très rapidement avec le nombre de sommes à effectuer, que l’on utilise l’architecture avec retenue série, parallèle ou anticipée : pour calculer 3 = 11₂, il faut déjà 3 étages de calcul…

 

Au contraire, pour calculer 1 + 1 + 1 en base 2 par la méthode de renormalisation, vous écrivez d’abord :

 

3 = (1/8 + 1/8 + 1/8) x 8 = (3/8) x 8

 

La quantité 3/8 est compréhensible en base 1. Vous avez alors le choix : soit l’utiliser telle quelle dans un dispositif ANALOGIQUE et la multiplier par un facteur 8 pour obtenir le résultat, soit la TRADUIRE en base 2, ce qui va vous donner un DECIMAL 2^-2 + 2^-3, que vous n’aurez plus qu’à DECALER DE 3 : (2^-2 + 2^-3)2³ = 2¹ + 2⁰ = 11₂.

 

Soit maintenant à calculer :

 

(17)           S = S_i=0ⁿ a_i

 

Cette expression ressemble à un MOT qui serait « mal construit » ou « inadapté », car constitué en base B’ = 1, mais avec des chiffres a_i dans une base B >= 2. Qu’importe, vous divisez chaque a_i par Bⁿ⁺¹, en choisissant B comme la plus petite base de numération dans laquelle tous les a_i à additionner sont des chiffres. Vous obtenez des a’_i(n,B) = a_i/Bⁿ⁺¹ dont la somme arithmétique :

 

(18)           0 =< S’ = S_i=0ⁿ a’_i(n,B) = S/Bⁿ⁺¹ =< (1 - 1/B)/Bⁿ < 1

 

est systématiquement lisible en base 1. Cette somme S’, soit vous choisissez la transcrire en base B, auquel cas, vous obtenez un DECIMAL,

 

(19)           S’ = S_i=0^m-1 s’_-(m-i)B^-(m-i)

 

que vous n’aurez plus qu’à DECALER en amont de n + 1 registres, soit vous l’utilisez telle quelle et vous la RE-MULTIPLIEZ par un facteur Bⁿ⁺¹.

 

De quoi avez-vous besoin ?

 

-         d’un montage à diodes pour Bⁿ⁺¹, puisque Bⁿ⁺¹ = exp[(n+1)Ln(B)] ;

-         d’un pont diviseur pour a’_i(n,B) = a_i/Bⁿ⁺¹ ;

-         d’un additionneur analogique pour S’, l’AO n’étant jamais saturé ;

-         d’un transcripteur numérique en base B, si vous choisissez de le faire à cette étape ;

-         d’un registre à décalages, si vous avez choisi l’option transcripteur ;

-         sinon, d’un second montage à diodes identique au premier, suivi du trancripteur en base B pour l’affichage du résultat final.

 

C’EST TOUT. Vous pouvez même recourir à des VARISTANCES pour jouer sur les valeurs de n, ça limite à un seul montage pour une gamme d’additions.

 

Vous n’avez plus à vous préoccuper de rechercher des opérations arithmétiques « modulo la base » (ce qui se révèle beaucoup plus théorique que pratique) et de tout décomposer en ces opérations (ce qui nécessite des blocs de calcul numériques).

 

Vous concevez un montage ANALOGIQUE, sachant qu’il fonctionnera TOUJOURS en régime linéaire et vous ne lui adjoignez un bloc numérique que pour L’AFFICHAGE du résultat final. Vous n’avez plus à reporter les retenues, juste à décaler. Si, vous, vous ne lisez pas le résultat intermédiaire S’, vous vous en fichez complètement : le circuit analogique, lui, reconnaît cette quantité, c’est tout ce qui importe. Dans l’exemple ci-dessus, ce n’est pas 3/8 qui vous intéresse, mais 3.

 

Pour la MULTIPLICATION, vous faites :

 

(20)           a_i = a         pour i = 0,…,n

(21)           S = S_i=0ⁿ a = (n + 1)a

 

C’est le produit de l’entier a par l’entier n + 1.

 

C’EST UN CAS PARTICULIER DE (17).

 

Plus besoin d’algorithmes « optimisateurs » comme celui de Booth parce que… vous avez un volume de calcul de dingue… Vous divisez a par Bⁿ⁺¹, c’est garanti que S/Bⁿ⁺¹ restera inférieure à 1 (et strictement) : entre la « tortue » (n + 1)a et le « lièvre » Bⁿ⁺¹, aucun souci à se faire.

 

Si vous étendez les résultats de cette bidouille à Z, vous construirez de même la soustraction.

 

La bidouille précédente a tenté de pointer du doigt les difficultés CONCEPTUELLES à représenter des quantités NUMERIQUES dès que l’on cherche à s’extraire du discret. Et même dans le cas discret, le papier est une chose, les possibilités technologiques de réalisation en sont une toute autre : même si l’effet transistor est typiquement quantique, on ne conçoit pas un transistor dont le régime de commutation a plus de 2 états en claquant des doigts… Les logiques supraconductrices restent à 2 états, leur temps de commutation est seulement considérablement réduit. Pour envisager du 3 états, il faut être en mesure de fabriquer des barrières d’énergie suffisamment fines. Il ne suffit pas de compter en base 3. :) Ensuite, il s’agit de construire des logiques qui, même si elles s’avèrent contradictoires par rapport à la logique de Boole, doivent tout de même rester COHERENTES, c’est-à-dire, conduire à des résultats CORRECTS.

 

On ne calcule donc pas aussi facilement avec des circuits électroniques ou photoniques que sur ses doigts ou sur le papier. Surtout quand on passe à l’analogique.

 

Or, il est incontestable que, pour des calculs évolués, l’analogique surpasse le numérique à un point tel que la comparaison n’est pas possible. Il suffit de considérer le montage intégrateur ou dérivateur pour s’en convaincre : un AO, une résistance, un condensateur, pour l’analogique, suffisent à fournir DIRECTEMENT un résultat EXACT ; en numérique 2 états, LE MÊME CALCUL nécessite un « bloc de calcul entier »… Quant aux intégrales gaussiennes ou elliptiques, certaines nécessitent parfois des SUPER-CALCULATEURS… Et, de toute façon, les résultats ne seront QU’APPROCHéS, avec une précision d’autant plus fine que le bloc servant au calcul sera important. Et ce, QUELQUE SOIT LA METHODE UTILISEE : rien à faire, il faudra un pas d’intégration et un maillage, parfois multi-dimensionnel, pour des fonctions à plusieurs variables. Un vrai casse-tête…

 

Sur le sujet, je me réfère souvent à l’équipe de Jacques Laskar, du Bureau des Longitudes, qui a développé entièrement, sur papier, les équations d’Einstein, soit plus de 500 pages, pour REDUIRE LE TEMPS DE CALCUL… et pour éviter d’avoir recours à un super-calculateur (et de le faire chauffer !). Des trucs de fou… :(

 

Ainsi, lorsqu’on aborde l’analogique au niveau du CALCUL à proprement parler, toute la question est :

 

FAUT-IL CONSERVER LES BASES DE NUMERATION, AUSSI SOPHISTIQUEES SOIENT-ELLES ?

 

En d’autres termes : comment faire du calcul NUMERIQUE dans le continu ?...

 

B175 montre, assez clairement je pense (du moins, je l’espère), que l’exercice s’avère QUASI-IMPOSSIBLE. Pour faire du calcul numérique, il faut se REPRESENTER des « chiffres » qui, une fois assemblés, vont donner des « nombres ».

 

Or, une telle représentation, si elle s’avère, non seulement utile, mais nécessaire à l’apprentissage du calcul, NE L’EST PLUS EN CALCUL EVOLUé.

 

En « maths pures » comme en « maths applis », les « applications numériques » n’interviennent, en effet, QU’A LA TOUTE DERNIERE ETAPE. Tout le reste se fait en LITTERAL. En sciences fondamentales ou appliquées, on travaille fort bien, on échafaude fort bien des théories, en se contentant de NOMMER les constantes fondamentales, sans éprouver le besoin de donner leur VALEUR NUMERIQUE ne serait-ce qu’une seule fois. On ne va pas écrire à chaque fois que c = 2,997928 x 10⁸ m/s à chaque fois. Ni que h = 6,6363 x 10^-34 Js. On utilise les LETTRES « c » et « h ». Idem pour toutes les VARIABLES, FONCTIONS et tous les PARAMETRES.

 

Le calcul, c’est 99% de TEXTE et 1% de NUMERIQUE.

 

Et même dans les applications numériques, la représentation d’une même valeur est toute RELATIVE : elle n’a aucun caractère d’absolu, puisqu’elle dépend de la BASE DE NUMERATION dans laquelle on se place. Que représente, par exemple, le « nombre 15 » ? En lui-même, RIEN, si vous ne précisez pas la BASE dans laquelle vous l’écrivez. En base 10, vous l’écrirez « 15 » ; en base 16, « F » ; en base 8, 17 et en base 2, 1111. C’est la même grandeur. Aussi, dire, par exemple, que « les données constructeur fixe l’alimentation de cet AO à 15 Volts », c’est se référer, sans le dire, à la base 10, la plus couramment utilisée. Mais vous pourriez tous aussi bien dire « F Volts » ou « 17 Volts » ou encore « 1111 Volts ». Si vous ne précisez pas la base, vos interlocuteurs penseront de facto en base 10 et risquent d’écarquiller les yeux à l’annonce de certains RESULTATS… parce que « 1111 Volts en base 10 », ça fait un ampli op’ COSTAUD…

 

Toute de la science de la COMMUNICATION tourne donc autour du SYMBOLISME : on se fixe une symbolique, qui ne forme pas forcément un alphabet, on établit des REGLES que l’on regroupe dans une « grammaire » et une « syntaxe », on la PARTAGE avec d’autres et tout cela forme un LANGAGE. On communique en s’échangeant une symbolique, verbale et/ou écrite.

 

De nouveau, quelle est la valeur de 15 si vous ne précisez pas préalablement la base ? VOUS NE POUVEZ PAS LE DIRE. Pourtant, cette valeur EXISTE. Vous ne pouvez simplement pas la NOMMER.

 

Et c’est exactement ce qu’il se passe avec l’analogique. Vous y rencontrez un problème de REPRESENTATION DES VALEURS NUMERIQUES. Vous allez être en mesure de calculer le nombre pi en entrant un bruit blanc dans un montage intégrateur. Si votre AO est de haute précision, vous pourrez en extraire une valeur fine de la constante. Mais serez-vous en mesure de fournir ses décimales ? NON… Il n’en reste pas moins que le circuit CONNAÎT LE NOMBRE PI. Mais, lui, n’éprouve PAS le besoin de le nommer. Nous, si, parce qu’on en a pris l’habitude depuis l’école primaire…

 

Je n’ai jamais rien eu contre les « maths modernes », je me suis seulement opposé à leur enseignement dès l’entrée en secondaire (dès la 6^ème), pour deux raisons. La première est que ça provoque une rupture trop brutale avec le calcul élémentaire appris dans le primaire. La seconde est que l’on demande à des élèves D’ACCEPTER des règles et des structures qui ne sont approfondies et justifiées qu’en niveau Maitrise 2^ème année et 3^ème cycle de mathématiques… On leur demande d’assimiler la théorie des ensembles SANS posséder les bases de logique mathématique requises pour cela. On leur demande d’utiliser des grandeurs ABSTRAITES, alors qu’ils sortent d’un enseignement de calcul NUMERIQUE APPLIQUé. Le résultat est compréhensible, mais catastrophique : la plupart des élèves sont rapidement dégouttés des maths… :( Ils ne comprennent plus. Il aurait fallu, au contraire, les sensibiliser PROGRESSIVEMENT au passage du calcul « sur les doigts », à base de chiffres et de nombres, au calcul « abstrait », à base de « lettres et mots variables ». Leur expliquer POURQUOI l’écrasante majorité des calculs est LITTERALE, PAS NUMERIQUE…

 

En développant des circuits à base de transistors fonctionnant en mode « saturé / bloqué », on est REVENU aux systèmes de numération et donc, au « comptage sur les doigts ». Si la technologie a considérablement évolué dans le traitement de calculs complexes, grâce, surtout, à la rapidité des circuits, bien supérieure à celle du cerveau humain, en revanche, on a considérablement REGRESSé DANS LE RAISONNEMENT… et ça se paie en VOLUMES DE CALCULS, en TAILLES MEMOIRE, en TEMPS DE CALCUL…

 

Quand vous apprenez les bases de l’électronique numérique, vous voyez bien le temps que vous mettez à réaliser des opérations binaires sur papier par rapport au temps passé à faire les mêmes calculs en décimal… Même avec une gymnastique mentale, acquise par la pratique, vous ne pouvez éviter qu’accumuler des lignes de « 0 » et de « 1 ». Aujourd’hui, plus personne ne conçoit de programmes informatiques en binaire depuis longtemps. Ni même en héxa : c’est illisible… Pourtant, il y a bel et bien des LANGAGES LOGIQUES, des SEMANTIQUES, mais elles sont bien trop rudimentaires pour être exploitables dans la pratique courante. Meilleure des preuves : une fois compilée, essayez donc de retrouver le code source d’une simple routine…

 

Replacez-vous en base 10. Vous avez le choix : soit utiliser les chiffres de 0 à 9, soit utiliser une VARIABLE LITTERALE x, que vous doterez de la possibilité de prendre TOUTES LES VALEURS DE 0 A 9. UNE SEULE QUANTITé, « x », POUR 10 VALEURS, ou bien 10 VALEURS SPECIFIQUES DISTINCTES. Le choix n°1 est celui des applications numériques ; le choix n°2, celui de l’approche ensembliste. Vous direz que la grandeur x « est dans (ou appartient à) l’ensemble de valeurs numériques {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} » pour exprimer le fait que x peut être FIXEE à n’importe laquelle de ces 10 valeurs. En fixant x, vous SPECIFIEZ sa valeur. A chaque fois, vous allez EXCLURE les 9 autres possibilités… Au contraire, en raisonnant de manière ensembliste, vous INCLUEZ TOUTES LES POSSIBILITES EN MÊME TEMPS. Quelle est la valeur numérique EXACTE de x ? Vous ne pouvez pas le dire ET VOUS VOUS EN FICHEZ, PARCE QUE CETTE QUESTION N’A PLUS DE SENS… et le fait de l’ignorer ne vous empêche nullement de faire des calculs ! Mais ces calculs sont LITTERAUX. Vous manipulez toujours des SYMBOLES, mais vous permettez désormais à ces symboles d’être LIBRES et non plus figés à une valeur donnée.

 

Je vous rappelle d’ailleurs au passage que « 0 » n’est toujours pas considéré comme un NOMBRE, ni même un CHIFFRE, en mathématiques. Ça n’a jamais empêché personne de l’utiliser… « 0 » symbolise surtout et avant tout L’ABSENCE DE CHIFFRE. C’est comme ça que les Indiens l’avaient présenté aux Arabes, qui nous l’ont transmis : comme un symbole de VIDE, de MANQUE.

 

En calculant 2 + 3 = 5 en base 10, vous effectuez une opération FIGEE. En calculant x + y = z, vous réaliser une opération tout aussi arithmétique, mais LIBRE. Peu importe les valeurs prises par x et y, surtout si elles sont continues. Que voyez-vous dans la relation x + y = z ? L’équation d’un PLAN. Vous voyez UN OBJET MATHEMATIQUE, plus une simple valeur. Vous voyez TOUT UN ENSEMBLE CONTINU DE VALEURS BI-DIMENSIONNELLES.

 

Donc, votre intégrateur analogique vous fournit « pi » en sortie. Eh bin, c’est bien, c’est ce que vous attendiez de lui. Donc, le montage est correct. Et vous utilisez ce nombre « pi », EN LITTERAL, pour la suite des calculs, SANS PLUS VOUS PREOCCUPEZ DE SES CHIFFRES, NI DANS QUELLE BASE DE NUMERATION. De toute façon, vous ne connaîtrez jamais tous ses chiffres. Alors ? A quoi bon, alors que ça fait des lustres qu’on utilise le MOT « pi » dans les calculs littéraux ? Et que, jusqu’à présent, cela n’a pas conduit à des résultats absurdes ?

 

Calculez la machine analogique sur le papier. Concevez-la. Et laissez-lui faire ses calculs. Ne cherchez plus le DETAIL SUPERFLU. Seul les RESULTATS vous intéressent. Concentrez plutôt vos recherches sur une LEXIQUE, une SEMANTIQUE, une GRAMMAIRE, qui vous permette de communiquer avec elle. Vous n’avez nul besoin d’applications numériques pour concevoir des LANGAGES. Vous avez juste besoin de LOGIQUES LITTERALES pour cela. Le reste, la machine gère. Si les résultats sont faux, c’est qu’elle aura été mal conçue, donc, c’est que VOS calculs de réalisation comporteront des erreurs.

 

L’analogique n’est pas le numérique. Le continu n’est pas le discret. Le passage du discret au continu n’est d’ailleurs pas si direct que cela. Il ne suffit pas, comme la tradition le veut, de faire tendre les entiers vers « l’infini » : l’infini DENOMBRABLE n’est pas l’infini NON dénombrable. Entre Card(N) et 2^Card(N), il y a beaucoup trop de nombres QUI NE SONT PAS DES ENTIERS. Des nombres qui, comme B175 s’est efforcé de le prouver, ne sont même pas (tous) représentables dans une quelconque base de numération entière, ni même non entière. Beaucoup de ces nombres nécessitent en fait des bases « flottantes », sans aucune garantie de gain à la clé par rapport aux bases fixes.

 

Pourquoi donc risquer de se pourrir l’existence à s’efforcer de continuer à travailler, concevoir et raisonner comme dans le numérique ? Forcer un monde dans l’autre ?

 

Même les plus vastes généralisations du numérique n’engloberont jamais tous les réels. La classification cantorienne peut s’avérer trompeuse. En réalité, on n’a pas du tout affaire aux mêmes mondes mathématiques : on a « l’univers du régime en commutation » d’un côté et « l’univers du régime linéaire » de l’autre. Le linéaire, le NON linéaire.

 

Presque « la thèse » et « l’antithèse ».

 

 

Ça fait du bien de faire des « intermèdes » à la physique de temps à autre, pas toujours traiter des mêmes sujets. Je n’aime pas la routine, je préfère la variété. :)

En toute chose, il ne faut pas que ça tourne à l’obsession. On se change les idées en abordant d’autres « problématiques ». ça permet aussi de « décanter » sur les thèmes précédents.

 

Soient B, m, n, i et a_i des entiers naturels avec :

 

(1)               B >= 2 , 0 =< a_i =< B - 1 , n < Card(N) , m =< Card(N)

 

Tout nombre A(m+n) admettant un développement en base B sous la forme :

 

(2)               A(m+n) = S_i=-mⁿ a_iBⁱ = S_i=0^m-1 a_i-mB^i-m + S_i=0ⁿ a_iBⁱ

 

est la somme de sa partie entière

 

(3)               E_B[A(m+n)] = E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_iBⁱ

 

et de sa partie « décimale »

 

(4)               D_B[A(m+n)] = D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_i-mB^i-m = S_i=0^m-1 a_-(m-i)/B^m-i

 

Les coefficients du développement (3) en puissances de B se définissent par récurrence :

 

(5)               a_i = E{[E_B,A(n) - E_B,A(n-i-1)]B^-i}                          (0 =< i =< n)

 

et ceux du développement (4), par

 

(6)               a_-(m-i) = E{[D_B,A(m-1) - D_B,A(m-i-2)]B^m-i}             (0 =< i =< m-1)

 

En posant :

 

(7)               k = Ln(B)

 

on trouve E_B,A(n) et D_B,A(m) sous la forme,

 

E_B,A(n) = S_i=0ⁿ a_ie^ki = k^-1S_i=0ⁿ ka_ie^ki

D_B,A(m-1) = S_i=0^m-1 a_-(m-i)e^-k(m-i) = k^-1S_i=0^m-1 ka_-(m-i)e^-k(m-i)

 

soit encore,

 

(8)               E_B,A(n) = k^-1£_d;B,n.a(i)

(9)               D_B,A(m-1) = k^-1£_d;B,m-1.a[-(m-i)]

 

avec

 

(10)           £_d;B,n.a(i) = S_i=0ⁿ ka_ie^ki

 

LA TRANSFORMEE DISCRETE DE a(i) = a_i EN BASE B.

 

Pour m = Card(N) = aleph₀, le nombre A[Card(N)+n] possède un nombre illimité de « décimales ». Comme l’argument m - i est toujours > 0 dans D_B,A[Card(N)-1] et que (cf. 1a) B a été pris >= 2, k = Ln(B) > 0 et la convergence de la partie décimale est assurée. Par contre, s’il s’agissait de la borne SUPERIEURE n, on voit tout de suite que E_B,A[Card(N)] divergerait en B^Card(N), comme il se doit. Ce qui est possible pour la partie décimale ne l’est donc plus pour la partie entière.

 

(11)           £_{d;B,Card(N)-1}.a{-[Card(N)-i]} = S_i=0^Card(N)-1 ka_-[Card(N)-i]e^{-k[Card(N)-i]}

 

s’identifie à la TRANSFORMEE DE LAPLACE DISCRETE DE a{-[Card(N)-i]} = a_-[Card(N)-i] EN BASE B.

 

Lorsqu’on passe au continu, le raisonnement adéquat consiste EN TOUT PREMIER LIEU à remplacer N par R. On passe alors de Card(N) = aleph₀ à Card(R) = 2^Card(N), ce qui fait déjà une différence plus que significative étant donné que 2^Card(N) - Card(N) >> Card(N). On a en fait Card(Z) = 2Card(N) - 1, puisque 0 ne doit être compté qu’une seule fois, d’où Card(N) = ½ [Card(Z) + 1] et :

 

Card(R) = 2^{½ [Card(Z) + 1]} >> Card(Z) + 1

 

puisque la progression est exponentielle à gauche et seulement linéaire à droite. Entre Card(R) et Card(Z), on a donc 2^{½ [Card(Z) + 1]} - Card(Z) valeurs de la variable qui n’apparaissent PAS dans (2) (tous les NON entiers avec leur signe). D’où la nécessité de commencer par la substitution des espaces ambiants. Une fois cette modification prise en compte, on peut substituer à la somme discrète (2) une somme continue et écrire A sous la forme :

 

(12)           A(x+y) = S_-x^y a(x’)B^x’dx’

      = S₀^x a[-(x-x’)]B^-(x-x’)dx’ + S₀^y a(x’)B^x’dx’ - a(0)

 

L’analogue continu de la partie entière (3) de A(m+n) est :

 

(13)           E_B[A(x+y)] = E_B,A(y) = S₀^y a(x’)B^x’dx’

 

et celui de la partie décimale (4),

 

(14)           D_B[A(x+y)] = D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]B^-(x-x’)dx’

 

On a retiré a(0) à (12) parce qu’il est compté deux fois dans les intégrales : une fois dans E_B,A(y) pour x’ = 0 et une fois dans D_B,A(x) pour x’ = x. Toujours moyennant (7), qui ne change pas lors du passage au continu, on a :

 

(15)           E_B,A(y) = S₀^y a(x’)e^kx’dx’ = k^-1£_c;B,y.a(x’)

(16)           D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]e^-k(x-x’)dx’ = k^-1£_c;B,x.a[-(x-x’)]

 

où

 

(17)           £_c;B,x.a(x’) = S₀^x ka(x’)e^kx’dx’

 

est LA TRANSFORMEE CONTINUE DE a(x’) EN BASE B.

 

Lorsque x = Card(R₊) = ½ [Card(R) + 1],

 

(18)           £_c;B,Card(R+).a(x’) = S₀^Card(R+) ka(x’)e^kx’dx’

 

s’identifie à LA TRANSFORMEE DE LAPLACE DE a(x’) avec k = Ln(B).

 

Il apparaît alors une différence significative avec le cas discret. En effet :

 

0 =< a(x’) , a[-(x-x’)] < B pour tout x’ =>

 

0 =< E_B,A(y) < e^kS₀^y e^kx’dx’ = k^-1e^k(e^ky - 1)

0 =< D_B,A(x) < e^kS₀^x e^-k(x-x’)dx’ = k^-1e^k(1 - e^-kx)

 

Par conséquent :

 

(19)           E_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[e^kCard(R+) - 1]

(20)           D_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[1 - e^-kCard(R+)]

 

Or, la variable y (resp. x) mesure la longueur totale de la partie entière (resp. décimale). Pour 0 < B < 1, k < 0 et :

 

(21)           E_B,A[Card(R₊)] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)[1 - e^{-Abs(k)Card(R+)}] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)

(22)           D_B,A[Card(R₊)] < Abs(k^-1)e^-Abs(k)[e^{Abs(k)Card(R+)} - 1] < Abs(k^-1)e^{Abs(k)[Card(R+)-1]}

 

[Abs(.) est la valeur absolue]. Dans ce cas, la valeur de la partie entière est LIMITEE, mais pas forcément celle de la partie décimale, qui n’est majorée que par une quantité exponentiellement plus grande que [Card(R₊) - 1] ~ Card(R₊).

 

Au contraire, pour B > 1, k > 0 et :

 

(23)           E_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[e^kCard(R+) - 1] < k^-1e^{k[Card(R+)+1]}

(24)           D_B,A[Card(R₊)] < k^-1e^k[1 - e^-kCard(R+)] < k^-1e^k

 

C’est la valeur de la partie décimale qui est limitée, tandis que celle de la partie entière n’est majorée que par une quantité exponentiellement plus grande que [Card(R₊) + 1] ~ Card(R₊).

 

On aboutit de ce fait à des propriétés asymptotiques assez intéressantes des nombres réels. Ainsi, pour k = Card(R₊), soit en base B = e^Card(R+) >> 1, (19) et (20) deviennent :

 

(25)           E_B,A[Card(R₊)] < e^Card(R+)[e^Card²(R+) - 1]/Card(R₊)

(26)           D_B,A[Card(R₊)] < 2sh[Card(R₊)]/Card(R₊)

 

tandis que, pour k = -Card(R₊), soit en base B = e^-Card(R+) << 1, les rôles sont permutés,

 

(27)           E_B,A[Card(R₊)] < 2sh[Card(R₊)]/Card(R₊)

(28)           D_B,A[Card(R₊)] < e^Card(R+)[e^Card²(R+) - 1]/Card(R₊)

 

Enfin, en ce qui concerne la valeur « critique » B = 1, qui n’offre rien d’intéressant dans le cas discret, étant donné que a(.) est une fonction BORNEE, (15) et (16) donnent directement :

 

(29)           B = 1 => E_1,A(y) < y , D_1,A(x) < x

 

EN BASE 1, LES VALEURS DES PARTIES ENTIERES ET DECIMALES DES REELS RESTENT STRICTEMENT INFERIEURES A LEURS LONGUEURS RESPECTIVES.

 

Toutefois, tous les noyaux intégraux NE SONT PAS en e^kx’, loin s’en faut. Ceci nous incite à une GENERALISATION de la méthode, en remplaçant kx’ par S₀^x’ k(x’’)dx’’, où k(x’’) est une fonction sommable et donc, au minimum continue sur l’intervalle [0,x’]. En posant que :

 

(30)           k(x’’) = Ln[B(x’’)]

 

on aboutit à,

 

S₀^x’ k(x’’)dx’’ = S₀^x’ Ln[B(x’’)]dx’’ = x’k₁(x’) = x’Ln[B₁(x’)]

 

Or, x’ = S₀^x’ dx’’. Donc :

 

(31)           k₁(x’) = [S₀^x’ k(x’’)dx’’]/x’ = < k(x’’) >

 

est la MOYENNE ARITHMETIQUE de k(x’’) SUR L’INTERVALLE [0,x’] et

 

(32)           B₁(x’) = exp[k₁(x’)] = exp{<Ln[B(x’’)] >}

 

une « BASE FLOTTANTE ».

 

Les formules (15) et (16) se généralisent alors en :

 

(33)           E_B,A(y) = S₀^y a(x’)exp[S₀^x’ k(x’’)dx’’]dx’

      = S₀^y a(x’)B₁(x’)^x’dx’

(34)           D_B,A(x) = S₀^x a[-(x-x’)]exp[-S₀^x-x’ k(x’’)dx’’]dx’

      = S₀^x a[-(x-x’)]B₁(x-x’)^-(x-x’)dx’

 

Comme toujours en analyse fonctionnelle, la question centrale porte sur la régularité des noyaux intégraux, puisque la régularité de la transformée est reportée sur eux (ce qui permet d’envisager des « originaux » seulement continus sur l’intervalle d’intégration). Pour les noyaux exponentiels figurant dans (33) et (34), si :

 

f(x’) = S₀^x’ k(x’’)dx’’ , g(x’) = exp[f(x’)],

 

alors,

 

g⁽ⁿ⁾(x’) = g(x’)S_i=0^n-1 k⁽ⁱ⁾(x’)  ,  k⁽⁰⁾ = k ,  n dans N

 

Donc, g de classe Cⁿ => k de classe C^n-1. Ainsi, pour que g soit « lisse » (C^oo), il faut (et il suffit) que k le soit. Or, d’après (30), ceci n’est possible que ssi B est de classe C^oo. Quant aux coefficients, on n’exige que 0 =< a(x’) < B(x’). Toujours est-il que, contrairement au cas B = cte, l’exponentiation ne suffit plus pour garantir la « lissitude » de g(x’). En pratique, est-ce un réel problème ? Quelque part, c’est au moins une LIMITATION à prendre en compte parce que, si l’on passe au CONTINU, on s’attend le moins possible à trouver des DISCONTINUITéS aussi bien dans les parties entières que dans les parties décimales. Ceci irait A L’ENCONTRE de l’esprit des transformations fonctionnelles, qui veulent justement que, si « l’original » n’est que continu par morceaux, le « transformé » soit aussi régulier que possible, sous peine de rencontrer de (très) brutales VARIATIONS aux points de discontinuité, « sauts » qui pourraient nuire à la fiabilité des calculs.

 

Tout aussi logique que cela paraisse aussi, il vaut mieux éviter les PÔLES de B(x’) sur l’intervalle d’intégration. Considérons, par exemple, un pôle x_p’’ de degré p, entier naturel fini. Alors B(x_p’’) est en Card^p(R₊). Donc, k(x_p’’) est en pLn[Card(R₊)]. En isolant cette divergence dans [0,x’] :

 

S₀^x’ k(x’’)dx’’ = S₀^xp’’- k(x’’)dx’’ + S_xp’’+^x’+ k(x’’)dx’’ + k(x_p’’)

 

où x_p’’^- (resp. x_p’’⁺) désigne l’approche asymptotique du pôle à gauche (resp. à droite). Ceci donne :

 

Ln[B₁(x’)] = [S₀^xp’’- k(x’’)dx’’ + S_xp’’+^x’+ k(x’’)dx’’]/x’ + k(x_p’’)/x’

 

et, en exponentiant,

 

B₁(x’) = {partie régulière}.{divergence en[Card^p/x’(R₊)]}

 

(les puristes préfèreront sans doute utiliser, soit le calcul des résidus, mais qui nécessitent l’utilisation des nombres complexes, soit le théorème de résolution des singularités d’Hironaka. Moi, je fais dans le « basique » - cas de le dire ! J)

 

A moins que x’ soit elle-même de l’ordre de Card(R₊), auquel cas, la divergence se « normalise » aux environs de l’unité, on voit bien le problème posé par la présence d’un pôle à l’intérieur de l’intervalle d’intégration. Si l’on utilise des circuits à base d’amplificateurs opérationnels, les divergences sont écrêtées, mais le résultat est forcément faussé, puisque tronqué. Or, on aura recours à des circuits ANALOGIQUES pour obtenir des résultats EXACTS et non pas seulement APPROCHéS. Sinon, autant en rester au numérique…

 

Si l’on « redescend » de R₊ vers N, base de numération et coefficients deviennent des fonctions d’un intervalle de N dans N et la transformée discrète (10) prend la forme plus générale :

 

(35)           £_d;B(i),n.a(i) = S_i=0ⁿ k_ia_iexp(S_j=0^i-1 k_j)  ,  0 =< a_i =< B_i - 1

 

(pour k₀ = k₁ =… = k, on doit retrouver i fois k). Il m’apparaît que l’intérêt d’une telle généralisation à des bases « flottantes » réside vraiment dans le cas où ces bases sont des NOMBRES PREMIERS SUCCESSIFS. En voici deux exemples :

 

47₁₀ = 101111₂ = 57₈ = 2F₁₆ = 3³ + 4.5¹ = (1000)₃ + (40)₅

32₁₀ = 100000₂ = 40₈ = 20₁₆ = 5² + 7¹ = (100)₅ + (10)₇

 

Question occupation mémoire, on a peu de gain, voire pas du tout par rapport au binaire. En outre, on a besoin de DEUX registres, un en base 3 et un en base 5 pour 47, un en base 5 et un en base 7 pour 32.

 

EST-CE BIEN NECESSAIRE ?...

 

On va apporter une réponse à cette question dans la bidouille suivante, basée sur un CONSTAT.

 

J’ai, sous les yeux, un PROCES-VERBAL DE CONSTAT établi par le cabinet d’huissiers Andrieu (Pau) le 2 mars 2000, attestant de plusieurs « concepts innovants » (sic) dont un article ayant pour titre « Some basic elements for the development of a N-states logic with N >= 2 ». Il concerne la logique mathématique et les sciences de l’information. Je commence par y parler de la nature quantique de l’espace de Stone d’une algèbre de Boole, au sens de la « géométrie non commutative » de Connes. Ensuite, de manière beaucoup plus pratique, de comment généraliser les résultats de l’algèbre de Boole B₂ à une algèbre B_N de base N >= 2 en faisant usage extensif des COMPARATEURS Min(.,.) et Max(.,.) : Min généralise le ET logique de Boole et Max, son OU logique. Je montre enfin, par récurrence, comment les théorèmes de complémentarité de de Morgan sont PRESERVéS dans une algèbre discrète modulo N. Ce travail était motivé par, entre autres, la logique ternaire de l’informatique quantique et la logique quaternaire (voire quinaire) de la bio-informatique. Il n’incluait pas, rigoureusement parlant, de preuve formelle dans le cas dénombrable (N = aleph₀ dans la classification de Cantor). Ici, on va carrément « sauter le pas » et l’étendre à l’intervalle CONTINU ET SIGNé [-1,+1].

 

C’est parti, en commençant par rappeler définitions et propriétés de base. Pour des tensions de seuil V_min et V_max positives ou nulles, la tension d’utilisation :

 

(1)               -V_min =< V =< V_max

 

est équivalente à un état logique compris entre -1 et +1,

 

(2)               -1 =< A = (2V + V_min - V_max)/(V_min + V_max) =< +1

 

Réciproquement :

 

(3)               V = ½ A(V_min + V_max) + ½ (V_max - V_min) = AV₊ + V_-

 

On utilise un montage comparateur analogique à base d’AO (amplificateur opérationnel ou « ampli op’ ») pour établir, en sortie, le minimum et le maximum entre deux tensions d’utilisation V_A et V_B, associée aux états logiques A et B :

 

(4)               C = Min(A,B) = A  si  A < B , = B  si  A > B

(5)               C = Max(A,B) = A  si  A > B , = B  si  A < B

 

On a tout d’abord l’idempotence pour les deux :

 

(6)               Min(A,A) = Max(A,A) = A

 

Le COMPLEMENTAIRE d’un état A dans [-1,+1] étant son OPPOSé EN SIGNE :

 

(7)               A* = -A

 

L’élément central (ou pivot) est 0 (0* = 0), il est unique et,

 

(8)               C = Min(A,-A) = A  si  A < 0 , = -A  si  A > 0

(9)               C = Max(A,-A) = A  si  A > 0 , = -A  si  A < 0

 

On peut rassembler ces deux formules en une seule :

 

(10)           Min(A,-A) = -Max(A,-A) = -Abs(A)

 

où Abs(.) désigne la valeur absolue de A (montage diode de redressement). Les opérateurs Min(.,.) et Max(.,.) étant symétriques, ils sont commutatifs :

 

(11)           Min(A,B) = Min(B,A)  ,  Max(A,B) = Max(B,A)

 

ce qui ne veut pas dire pour autant que les ENTREES DE L’AO sont symétriques ! La commutativité de ces OPERATEURS est néanmoins importante, s’agissant de nombres USUELS. On est tranquille sur ce point. Il nous reste à revoir :

 

(12)           C = Min(A,0) = A  si  A < 0 , = 0  si  A > 0

(13)           C = Max(A,0) = A  si  A > 0 , = 0  si  A < 0

 

A noter la différence entre (8) et (12) et entre (9) et (13). Pour 3 états logiques signés A, B et C, l’associativité se vérifie sans difficulté, en comparant les états deux à deux :

 

(14)           Min[Min(A,B),C] = Min[A,Min(B,C)] = Min(A,B,C)

(15)           Max[Max(A,B),C] = Max[A,Max(B,C)] = Max(A,B,C)

 

Un montage comparateur à 3 entrées est donc équivalent, en sortie, à un montage à deux comparateurs en cascade. De même que la multiplication arithmétique est distributive par rapport à l’addition, Min(.,.) est distributif par rapport à Max(.,.) :

 

(16)           Min[A,Max(B,C)] = Max[Min(A,B),Min(A,C)]

 

forme analogue à a(b + c) = ab + ac. Les théorèmes de complémentarité de de Morgan sont conservés sous la forme :

 

(17)           Min(-A,-B) = -Max(A,B)  ,  Max(-A,-B) = -Min(A,B)

 

L’inversion de signe est normale : nous sommes dans [-1,+1] avec 0 pour élément central. Les modifications sur le OU exclusif XOR booléen sont :

 

(18)           A XOR B = Max[Min(A,-B),Min(-A,B)]

(19)           A XOR (-1) = A

(20)           A XOR 0 = 0

(21)           A XOR +1 = -A

(22)           A XOR A = -Abs(A)

(23)           A XOR (-A) = Abs(A) = -(A XOR A)

 

et celles sur le ET inclusif AND,

 

(24)           A AND B = Max[Min(A,B),Min(-A,-B)] = -(A XOR B)

 

Une PROPOSITION VECTORIELLE est une formule :

 

(25)           P : [-1,+1]ⁿ -> [-1,+1]^p , A = (A₁,…,A_n) -> P(A) = [P₁(A),…,P_p(A)]

 

à n entrées et p sorties qui utilise les opérations analogiques ci-dessus. Un SYSTEME ANALOGIQUE est une formule :

 

(26)           S : [-1,+1]^n+p -> [-1,+1]^p , [A,P(A)] -> S(A) = S[A,P(A)]

 

qui transforme une formule P(A) en une formule S(A). Un ETAT MEMOIRE est une formule P(A) laissée INVARIANTE par S :

 

(27)           P(A) = S[A,P(A)]

 

C’est donc un ETAT STATIONNAIRE du système S. Enfin, un SYSTEME ANALOGIQUE COMMANDé est une formule :

 

(28)           S : [-1,+1]^n+p+q -> [-1,+1]^p , [A,C,P(A)] -> S(A) = S[A,C,P(A)]

 

où C = (C₁,…,C_q) est un « vecteur commande » qui vient s’ajouter aux entrées (A₁,…,A_n).

 

 

La machine binaire ne « parle » que le « 0 » et le « 1 ». Cette limitation la force à reconstruire tous les autres chiffres en base B > 2, puis tous les autres nombres dans cette base. Une cellule mémoire élémentaire (typiquement, une bascule) ne peut conserver qu’un chiffre binaire. La reconstruction de nombres entiers de longueur n nécessite donc déjà n cellules mémoire : on obtient alors les entiers de 0 à 2ⁿ - 1. Ensuite, il faut reconstruire les rationnels FINIS. Pour les rationnels ILLIMITéS, il faut isoler le CYCLE et le répéter un nombre évidemment limité de fois. Quant aux irrationnels, ils ne présentent aucun cycle, la détermination des chiffres lointains se fait par la statistique et, quoi qu’il en soit, ils ne peuvent s’afficher que TRONQUéS, puisque le nombre de registres est nécessairement limité.

 

La machine analogique « parle » TOUS CES NOMBRES A LA FOIS. Elle les connaît tous, dès sa conception, sous la forme de CHIFFRES contenus dans l’intervalle continu [-1,+1]. ELLE CONNAIT MÊME LES DEUX INFINIS, sous les chiffres « -1 » et « +1 ». Pour elle, les « nombres » commencent AU-DELA de l’intervalle [-1,+1]. Pour faire correspondre les chiffres de son langage à ceux de la droite réelle, il suffit d’appliquer l’argument de la tangente hyperbolique : Argth est une application monotone non singulière (donc bijective et partout inversible) de [-1,+1] dans R, prolongeable par extension aux deux infinis en incluant les deux axes hyperbolique x = -1 et x = +1. C’est la complétion classique de R. Ainsi, CHAQUE cellule mémoire élémentaire est en mesure de recevoir et de stocker, pendant une durée de temps T, N’IMPORTE QUEL EQUIVALENT REEL. Tout dépend de la valeur EXACTE (physique) de la tension d’entrée. Ce n’est plus de la base 2, mais 2^aleph₀, la « puissance du continu » selon la terminologie de Cantor. PLUS BESOIN DE RECONSTRUIRE AUCUN REEL… Vous envoyez une impulsion micro-physique, la machine la reconnaît. Même si VOUS, vous ne la percevez pas, ELLE, SI. Et elle SAIT que cette impulsion fait partie de ses « petits chiffres ». Exactement comme vous savez, depuis la naissance et sauf accident de la vie, que vous avez 10 doigts à vos mains.

 

Quand on voit l’utilisation extensive des comparateurs Min et Max et du signe, ça prête à sourire. Mais, dès qu’on passe aux INCIDENCES… c’est carrément « un truc de fou »… on entre dans un tout autre monde… Un monde auquel même nous n’avons pas accès, celui des TRANSFINIS…

 

J’ai déjà travaillé dessus il y a quelques temps et j’avais décidé de ne pas le mettre sur le blog.

 

Des machines « à 2 balles » dotées d’une puissance de calcul « cosmique », je me suis dit « pas moyen »… Aujourd’hui, je m’en fiche. J’en ai besoin pour mes recherches. Et, de toute façon, quoi que l’on fasse, quoi que l’on tente, on n’empêchera jamais les utilisations malveillantes de n’importe quelle découverte : si l’on s’arrêtait à ça, on ne ferait rien du tout… Et, au vu de la fréquentation de ce blog, on ne risque pas grand-chose… Je n’ai jamais recherché la notoriété mais, quand je regarde les stats de visite, je me dis qu’il n’y a rien à craindre…

 

Avec DEUX cellules mémoires seulement, vous construisez donc un nombre PLUS GRAND QUE L’INFINI… C’est ce qu’avait commencé à faire Cantor. Le problème, c’est qu’il a posé, un peu comme un axiome, que ooⁿ = oo pour tout entier n > 0. Autrement dit, il n’a pas OSé aller « au-delà ». Il a raisonné de manière logique en se disant « qu’après l’illimité, il n’y avait rien ». Mais ce raisonnement se contredit très vite : il suffit d’ajouter 1 à oo pour constater que « oo + 1 » est plus grand que oo. Ou on entre en contradiction avec les lois de l’arithmétique…

 

Si vous voulez, on s’est « débarrassé » de cette quantité « encombrante » qui est oo en la classant comme « SYMBOLE » et non pas en la considérant comme un chiffre ou un nombre A PART ENTIERE. Parce que ça heurtait la logique humaine… :) Mais -1 comme +1 ne heurte personne. Donc, Argth(-1) comme Argth(+1) ne devrait heurter personne…

 

Si, au contraire, on admet comme AXIOME DE DEPART que oo est « LE CHIFFRE LE PLUS GRAND DE TOUS », alors on peut bâtir une arithmétique « transfinie ». Appelez-le 2^aleph₀ si vous préférez, c’est le même chiffre. Il n’est plus fini, c’est tout. Et après ? Les irrationnels ne sont pas finis… même les rationnels cycliques ne le sont pas… et ça ne choque personne d’utiliser des nombres (en base 10) comme pi, SANS EN CONNAITRE TOUTES LES DECIMALES… on le fait depuis les Grecs !

 

Du coup, en traitant oo comme « symbole », on a été obligé d’inventer tout un tas de règles, comme celle de l’Hôpital, par exemple, pour déterminer des « valeurs limites ». On a POSé que 0/0 était « indéterminé », mais sans toujours être capable de dire A QUEL DEGRé… Que veut dire « indéterminé » ? Rien. Ça ne veut rien dire. Seulement que « on a échoué à obtenir le résultat de l’opération »… L’indétermination, c’est un CONSTAT D’ECHEC… :) Rien n’est indéterminé, dans la pratique. Ni dans la nature. Tout est déterminable un jour ou l’autre ou d’une manière ou d’une autre. Ou alors, CA N’EXISTE PAS.

 

Toutes ces réflexions sur les incidences à repasser à l’analogique, jeté un peu trop rapidement aux oubliettes, comme on sait un peu trop rapidement le faire dès qu’on passe d’une mode à l’autre (…), m’ont amené à une INTUITION. Ce n’est qu’une intuition, mais je me fie à mes intuitions pour faire avancer les choses, en commençant par les vérifier.

 

Le cerveau animal ne fonctionne pas du tout comme une machine binaire, soit. PAR CONTRE, la cellule nerveuse naturelle, SI. Son fonctionnement est plus compliqué que celui d’un circuit numérique à cause des cascades biochimiques qui s’y produisent, mais ce qui rend le soma neuronal binaire, c’est son COMPARATEUR A SEUIL…

 

UTILISEZ LE MOINS POSSIBLE DE COMPARATEURS A SEUIL EN LOGIQUE ANALOGIQUE, VOUS ALLEZ TOUT DECIMER… C’EST LE MEILLEUR MOYEN DE REVENIR AU BINAIRE… :(

 

Le neurone peut recevoir jusqu’à 10.000 entrées en moyenne, les unes excitatrices, les autres inhibitrices, donc SIGNEES, il les superpose et qu’en fait-il ensuite ? IL LES COMPARE A UN SEUIL DE DECLENCHEMENT… ça tue tout ! Il reçoit de L’ANALOGIQUE, il sort DU BINAIRE… 8(( Alors, la machine cérébrale peut ensuite fort bien fonctionner de manière beaucoup plus sophistiquée qu’une machine de Turing, A LA BASE, son fonctionnement est EN TOUT OU RIEN…

 

Je me pose donc la question : le fait de ne PAS percevoir bon nombre de choses autour de nous ne remonte-t-il pas à cette LIMITATION, qui DECIME littéralement toutes les informations reçues, tous les signaux en entrée, pour n’émettre qu’une impulsion de seuil ?...

 

Si nos neurones étaient des machines analogiques, COMMENT PERCEVRIONS-NOUS LE MONDE PHYSIQUE ?...

 

 

Espace d’état

 

C’est l’espace de Stone S à 2 points d’une algèbre de Boole B muni de sa topologie de Zariski qui en fait un espace arithmétique (= discret) métrisable. Variables A,B,C,…dans {0,1}. Opérations : opérations logiques.

 

Oscillation élémentaire :

 

(1)               e : R -> [-1,+1] , y -> e(y) = cos(ypi/2)

(2)               e(-y) = e(y) , e(2y) = (-1)^y = cos(ypi)

(3)               e(y + 1) = -e(y - 1) , e(y - 2) = e(y + 2) = -e(y)

(4)               e²(y) + e²(y - 1) = e²(y) + e²(y + 1) = 1

 

L’application réduite e : S -> S s’identifie au complémentaire logique :

 

(5)               e(A) = 1 - A  ,  A dans S

 

On a :

 

(6)               e(C - A)e(C - B) = ½ [e(A - B) + (-1)^Ce(A + B)]

(7)               e(C - A)e(1 - C - B) = ½ [e(A + B - 1) + (-1)^Ce(A - B + 1)]

 

 

Plan réel R² :

 

Vecteurs de base e⁰ = (1,0), e¹ = (0,1) étendus à :

 

(8)               e^{2A + B} = (-1)^Ae^B = e(2A)e^B          (A,B) dans {0,1}²

 

Composantes :

 

(9)               e^2A+B,C = (-1)^Ae^BC = e(2A)e(B - C)

(10)           e^BB = 1 , e^B,1-B = 0

 

Cycle modulo 4 :

 

(11)           e^2A+B+4k = e^2A+B                k dans N

 

Vecteurs :

 

(12)           v = v_Ae^A

 

 

Générateurs

 

Produit tensoriel asymétrique (e^A x_t e^B). e^A x_t e^B, base unité de R² x_t R² ~ R⁴. Matrices unités :

 

(13)           e^CAe^DB = e(C - A)e(D - B)

(14)           e^0Ae^0B = e(A)e(B) = (1,0,0,0)

(15)           e^0Ae^1B = e(A)e(1 - B)        = (0,1,0,0)

(16)           e^1Ae^0B = e(1 - A)e(B)        = (0,0,1,0)

(17)           e^1Ae^1B = e(1 - A)e(1 - B)   = (0,0,0,1)

 

Récurrences :

 

(18)           P_n=1^2N+1 (a_ne^0Ae^1B + b_ne^1Ae^0B) = (P_n=0^N a_2n+1)(P_n=1^N b_2n)e^0Ae^1B +

+ (P_n=0^N b_2n+1)(P_n=1^N a_2n)e^1Ae^0B

(19)           P_n=1^2N (a_ne^0Ae^1B + b_ne^1Ae^0B) = (P_n=0^N-1 a_2n+1)(P_n=1^N b_2n)e^0Ae^0B +

+ (P_n=0^N-1 b_2n+1)(P_n=1^N a_2n)e^1Ae^1B

     (a_n et b_n dans R, N dans N)

 

 

Matrices s

 

(20)           s^00,AB = e^CAe^1-C,B - e^1-C,Ae^CB = e(A - B + 1) = (0,1,-1,0) = -s^00,BA

(21)           s^01,AB = e^0Ae^0B - e^1Ae^1B = e(A + B) = (1,0,0,-1) = s^01,BA

(22)           s^10,AB = e^CAe^1-C,B + e^1-C,Ae^CB = e(A + B - 1) = (0,1,1,0) = s^10,BA

(23)           s^11,AB = e^0Ae^0B + e^1Ae^1B = e(A - B) = (1,0,0,1) = s^11,BA = e^AB

(24)           Det(s^AA) = -Det(s^A,1-A) = +1

(25)           (s^-1)_AB = (s^t)^AB = (-1)^(1-A)(1-B)s^AB = s^BA

(26)           Tr(s^AB) = 2AB

(27)           (s²)^AB = -s₀₀s₀₁s₁₀ = (-1)^(1-A)(1-B)s₁₁

(28)           s⁰⁰s⁰¹ = -s⁰¹s⁰⁰ = -s¹⁰ , s⁰¹s¹⁰ = -s¹⁰s⁰¹ = s⁰⁰ , s¹⁰s⁰⁰ = -s⁰⁰s¹⁰ = -s⁰¹

(29)           s¹¹s⁰⁰ = s⁰⁰s¹¹ = s⁰⁰ , s¹¹s⁰¹ = s⁰¹s¹¹ = s⁰¹ , s¹¹s¹⁰ = s¹⁰s¹¹ = s¹⁰

 

 

Conversion :

 

(30)           e^0Ae^0B = ½ (s^11,AB + s^01,AB) , e^1Ae^1B = ½ (s^11,AB - s^01,AB)

(31)           e^0Ae^1B = ½ (s^10,AB + s^00,AB) , e^1Ae^0B = ½ (s^10,AB - s^00,AB)

 

 

Algèbre à deux états :

 

Algèbre M₂(R) des matrices carrées d’ordre 2 à coefficients réels munie du PRODUIT TRANSPOSé (.,^t) :

 

(32)           MN = (N^tM^t)^t

(33)           (MN)^AC = M^ABN_B^C = N_B^CM^AB = (N^t)^C_B(M^t)^BA

  = (N^tM^t)^CA = {[(N^tM^t)]^t}^AC

 

qui en fait une algèbre COMMUTATIVE.

 

(34)           M = m_AB(e^A x_t e^B) = m’_ABs^AB                   INVARIANTE DE BASE

 

Coefficients :

 

(35)           M^CD = m_ABe^CAe^DB = m’_ABs^AB,CD                CONTRAVARIANTS

(36)           m_AB = -½ g⁽⁰⁾_AB,CDTr[(e^C x_t e^D)M]

(37)           m’_AB = -½ g⁽⁰⁾_AB,CDTr(s^CDM)                     (pour g⁽⁰⁾, voir + bas)

 

Propriétés remarquables :

 

(38)           M² = -Det(M)s₂₂ + Tr(M)M  =>  Tr(M²) = Tr²(M) - 2Det(M)

(39)           Mⁿ⁺¹ = a_n+1M + b_n+1s₂₂ , a_n+1 = a₁a_n + b_n , b_n+1 = a_nb₁ , n dans N

      a₀ = 1 , b₀ = 0 , a₁ = Tr(M) , b₁ = -Det(M) , M⁰ = s₂₂

(40)           Tr(M) = 0 => M²ⁿ⁺¹ = (-1)ⁿDetⁿ(M)M , M²ⁿ = (-1)ⁿDetⁿ(M)s₂₂

(41)           Det(M) = 0 => Mⁿ⁺¹ = Trⁿ(M)M

(42)           Det(M) = 0 ET Tr(M) = 0 <=> M² = 0

 

Action :

 

(43)           M^ABv_B = w^A = v_BM^BA  <=>  M.v = w = v.M^t

 

Action des matrices s :

 

(44)           s.v = w = v.s^t  <=>  s^ABv = w^AB

(45)           w^AB,C = (-1)^(1-A)Cv^{BC + (1-B)(1-C)} 

 

En variables :

 

(46)           s(A,B)v = w(A,B)  ,  w(A,B,C) = (-1)^(1-A)Cv[BC + (1 - B)(1 - C)]

 

 

Espace-temps de Minkowski V₀

 

Isomorphisme M₂(R) ~ R^3,1 ~ V₀. Tenseur métrique :

 

(47)           g₍₀₎^AB,CD = -½ Tr(s^ABs^CD) = g₍₀₎^CD,AB

(48)           g₍₀₎^AB,AB = (-1)^{(A OU B)} = e[2(A OU B)]

(49)           g₍₀₎^00,00 = -g₍₀₎^01,01 = -g₍₀₎^10,10 = -g₍₀₎^11,11 = +1

 

Opérateur position :

 

(50)           x = x_AB(e^A x_t e^B) = x’_ABs^AB

 

Positions dans la base e^A x_t e^B :

 

(51)           x_AB = (x.e^B)^A

(52)           x_AA = (-1)^Ax’₀₁ + x’₁₁ , x_A,1-A = (-1)^Ax’₀₀ + x’₁₀

 

Positions dans la base s^AB :

 

(53)           x’_AB = -½ g⁽⁰⁾_ABCDTr(s^CDx)

(54)           x’₀₀ = ½ (x₀₁ - x₁₀) , x’₀₁ = ½ (x₀₀ - x₁₁)

x’₁₀ = ½ (x₀₁ + x₁₀) , x’₁₁ = ½ (x₀₀ + x₁₁)

 

Dualités sur V₀ :

 

(55)           x_AB = g⁽⁰⁾_AB,CDx^DC , x^AB = g₍₀₎^AB,CDx_DC 

 

Métrique sur V₀ :

 

(56)           s² = g⁽⁰⁾_AB,CDx^ABx^CD = Det(x) - ½ Tr²(x)