In the original version, the problem of the spontaneous decay of a point-like body (particle) of mass m (>=0) into two fragments of masses m₁ (>= 0) and m₂ (>= 0) can be completely solved making use of the conservation of both energy and 3-momentum. With :

 

E = mc²/(1-v²/c²)^1/2  ,   E₁ = m₁c²/(1-v₁²/c²)^1/2  , E₂ = m₂c²/(1-v₂²/c²)^1/2

 

the energies of the decaying particle and the fragments, respectively, v the velocity of the frame into which the observer places with respect to the decaying particle and p, p₁ and p₂ the associated 3-momenta, the conservation of energy E = E₁ + E₂ leads to :

 

m/(1-v²/c²)^1/2 = m₁/(1-v₁²/c²)^1/2 + m₂/(1-v₂²/c²)^1/2

 

while the conservation of 3-momentum leads to p = p₁ + p₂. As the Lorentz correction factors are always >= 1, the original theory forecasts m > m₁ + m₂ in the frame at rest (v = 0) for the particle to decay. If m =< m₁ + m₂, the particle is assumed to be stable. Relations between energies and 3-momenta completely solve for E₁ and E₂ in this particular case. Notice however two things:

1. the mass condition for spontaneous decay on m has nothing absolute at all, on the contrary, it is typically relative to the frame into which the observer places. m > m₁ + m₂ is only valid for v = 0. For 0 < v < c, (1 – v²/c²)^1/2 induces a contraction; for v = c, 0 = < v₁, v₂ < c, the mass condition would become m = 0, while still for v = c but v₁ = v₂ = c, it would become m = m₁ + m₂, meaning that the reaction is not at all seen the same way by different observers. Nothing universal.
2. In the original version, masses are always assumed to be non-negative, an additional restriction to physics, while m = 0 for v = c for the mass at rest is only an argument to avoid infinities. Actually, the mass at rest m being completely independent from the velocity v, there is no solid reason for having m = 0 when v = c.

 

Going from curves to surfaces, the problem enounces differently. From formulas (10) bidouille 23, the conservation of energy now writes:

 

1. H₊₊ = H₁₊₊ + H₂₊₊  and  H_-- = H_1-- + H_2—

 

leading to :

 

2. m(1-v/c)/(1+v/c) = m₁(1-v₁/c)/(1+v₁/c) + m₂(1–v₂/c)/(1+v₂/c)

 

and :

 

3. m(1+v/c)/(1-v/c) = m₁(1+v₁/c)/(1-v₁/c) + m₂(1+v₂/c)/(1-v₂/c)

 

In the 2-fragments case, the can completely solve for v₁ and v₂ only using these two equations. Inverting (2) and (3) gives :

 

4. (1–v₂/c)/(1+v₂/c) = {[m(1-v/c) – m₁(1+v/c)] + [m(1-v/c) + m₁(1+v/c]v₁/c}/m₂(1+v/c)(1+v₁/c)
5. (1+v₂/c)/(1-v₂/c) = {[m(1+v/c) – m₁(1-v/c)] - [m(1+v/c) + m₁(1-v/c]v₁/c}/m₂(1-v/c)(1-v₁/c)

 

Multiplying them ad organizing the terms gives the quadratic equation for v₁/c :

 

6. [(m²+m₁²-m₂²)(1-v²/c²) + 2mm₁(1+v²/c²)]v₁²/c² - 8mm₁vv₁/c² - (m²+m₁²-m₂²)(1-v²/c²) + 2mm₁(1+v²/c²) = 0

 

The discriminant of this equation is :

 

7. D₁ = 4(m+m₁+m₂)(m+m₁-m₂)(m-m₁+m₂)(m-m₁-m₂)(1-v²/c²)² = 4Q₄(m)(1-v²/c²)²

 

One sees it does NOT depend on any restriction on the velocity v, since (1-v²/c²)² is always positive or zero, it depends on the sign of the mass quartic Q₄(m). We need to find at least one real-valued root of (6), two at the best. So, the mass condition becomes:

 

8. Q₄(m) >= 0

 

For m >= m₁ + m₂ >= m₂ >= m₁ >= 0, it is automatically satisfied. But this is now just ONE possibility among others. Let us evaluate all possible situations, assuming m₂ >= m₁. Then we will discuss the solutions.

 

Case 1 : m₂ >= m₁ >= 0. Ordered roots of (8): -(m₁+m₂), -(m₂–m₁), (m₂–m₁), (m₁+m₂).

Q₄(m) >= 0 for m =< -(m₁+m₂), -(m₂–m₁) =< m =< (m₂–m₁) and m >= m₁+m₂.

m >= m₁+m₂: confirmed;

m =< -(m₁+m₂) : a negative mass (antimatter) would be likely to spontaneously decay into 2 fragments of matter (positive masses);

-(m₂–m₁) =< m =< (m₂–m₁) : passes through m = 0, so a massless matter (or antimatter) particle would be likely to decay into 2 fragments of matter.

 

 

Case 2 : m₂ >= 0 >= m₁. Ordered roots of (8): -(m₂-m₁), -(m₂+m₁), (m₂+m₁), (m₂-m₁).

Q₄(m) >= 0 for m =< -(m₂-m₁), -(m₂+m₁) =< m =< (m₂+m₁) and m >= m₂-m₁.

m =< -(m₂-m₁) : antiparticle likely to decay into antiparticle + particle;

-(m₂+m₁) =< m =< (m₂+m₁) : passes through m = 0, massless (anti)particle likely to decay into particle + antiparticle;

m >= m₂-m₁: matter particle likely to decay into antimatter and matter.

 

Case 3 : 0 >= m₂ >= m₁. Ordered roots of (8): (m₁+m₂), -(m₂–m₁), (m₂–m₁), -(m₁+m₂).

Q₄(m) >= 0 for m =< (m₁+m₂), -(m₂–m₁) =< m =< (m₂–m₁) and m >= -(m₁+m₂).

m =< (m₁+m₂): antimatter decaying into 2 antiparticles, with –m >= -(m₁+m₂) >= 0, confirmed;

-(m₂–m₁) =< m =< (m₂–m₁): passes through m = 0, massless (anti)particle likely to decay into 2 antiparticles;

m >= -(m₁+m₂) >= 0: matter to decay into 2 antiparticles.

 

This sounds pretty exotic. Should some processes not be observed, other conservation laws should be invoked. Here, we are only dealing with the conservation of energy. Notice that all these mass conditions are INDEPENDENT OF THE CHOICE OF FRAME. Condition (8) is now universal.

Consider from now on that (8) is satisfied and let us examine the solutions for velocities. Changing m₁ with m₂ leads to a similar equation for v₂, namely:

 

9. [(m²+m₂²-m₁²)(1-v²/c²) + 2mm₂(1+v²/c²)]v₂²/c² - 8mm₂vv₁/c² - (m²+m₂²-m₁²)(1-v²/c²) + 2mm₂(1+v²/c²) = 0

 

Solutions of (6) are:

 

10. v₁/c = [4mm₁v/c +/- Q₄^1/2(m)(1-v²/c²)]/[(m+m₁+m₂)(m+m₁-m₂) – (m-m₁+m₂)(m-m₁-m₂)v²/c²]

 

So, solutions of (9) are straightforward:

 

11. v₂/c = [4mm₂v/c +/- Q₄^1/2(m)(1-v²/c²)]/[(m+m₁+m₂)(m-m₁+m₂) – (m+m₁-m₂)(m-m₁-m₂)v²/c²]

 

The presence of both signs (+/-) is necessary, as the only requirements are v₁ >= 0 and v₂ >=0, since they are moduli. So, according to the choice on v, we will keep the + or the – sign.

Already notice this:

 

12. v = c  =>  v₁ = v₂ = c  WHATEVER THE MASSES.

 

One can see it better on the following equivalent expressions for v₁ and v₂ :

 

v₁/c = [4mm₁v/c +/- Q₄^1/2(m)(1-v²/c²)]/[(m²+m₁²-m₂²)(1-v²/c²) + 2mm₁(1+v²/c²)]

v₂/c = [4mm₂v/c +/- Q₄^1/2(m)(1-v²/c²)]/[(m²+m₂²-m₁²)(1-v²/c²) + 2mm₂(1+v²/c²)]

 

Imagine a hypothetical observer moving at the speed of light with respect to the decaying mass, than he will observe both fragments ejected at the speed of light. The whole process will look to him as moving at the speed of light. A confirmation of the universality of c.

This alone already smells nice.

 

13. m = m₁+m₂  =>  v₁ = v₂ = v.

 

And this is logical, for we can always get back to the frame at rest, all velocities being constant. In the frame at rest, v₁ = v₂ = v = 0 and the whole process would appear as NON-EXISTING to the observer’s eye: everything steady => nothing happens. No decay.

 

14. m = -(m₁+m₂)  =>  v₁ = v₂ = c²/v.

 

Thus, for an observer in a subluminic frame (0 =< v =< c^-), both fragments will have superluminic speeds. Can we handle that ? Assume, for instance, m₂ >= m₁ >= 0. An antiparticle, seen as being subluminic, would then decay into two particles, seens as being superluminic. In the frame at rest (v = 0), the process is even seen to be instantaneous.

Can we handle that, honestly ? I don’t know. It’s allowed, that’s all I can say.

A result that now confirms my feelings :

 

15. m = m₁ – m₂  =>  v₁ = v  ,  v₂ = c²/v

 

Consequently, if v is subluminic, fragment 1 will be seen as subluminic, while fragment 2 as superluminic. There is no contradiction with logic: remember both H₊₊ and H_— become NEGATIVE at superluminic regime, making the energy balance of the process DECREASE and allowing, at least theoretically, the decay of a mass into a lighter fragment and a heavier one, as long as this last fragment is ejected at superluminic speed, compensating for in energy. Finally:

 

16. m = m₂ – m₁  =>  v₁ = c²/v  ,  v₂ = v

 

(simple permutation of m₁ and m₂).

The other possibilities are less interesting, as they lead to more complicated formulas. Thus, for v = 0, we get:

 

v₁/c = [(m-m₁+m₂)(m-m₁-m₂)/(m+m₁+m₂)(m+m₁-m₂)]^1/2

v₂/c = [(m+m₁-m₂)(m-m₁-m₂)/(m+m₁+m₂)(m-m₁+m₂)]^1/2

 

Here, it is clear the (+) sign must be retained in (10) and (11). More interesting are the following properties in the frame at rest :

 

17. v₁v₂/c² = |(m-m₁-m₂)/(m+m₁+m₂)|
18. v₁/v₂ = |(m-m₁+m₂)/(m+m₁-m₂)|

 

which immediately lead to v₁ =< c and v₂ =< c for m >= m₁+m₂ >= m₂ >= m₁ >= 0.

 

NOWHERE do we now see any restriction to be imposed on the velocities. The only restriction to be applied is (8) and it merely involves masses. There no longer is an “allowed area” and a “forbidden one”. No dichotomic cutting-off whatsoever. The process might look very different in very different frames.

 

To end with the subject, notice that in an instantaneous frame (v = +oo), there still remains finite solutions for v₁ and v₂, as (10) and (11) give:

 

19. (v₁/c)_v=+oo = +Q₄^1/2(m)/(m-m₁+m₂)(m-m₁-m₂) = [(m+m₁+m₂)(m+m₁-m₂)/(m-m₁+m₂)(m-m₁-m₂)]^1/2 = (c/v₁)_v=0
20. (v₂/c)_v=+oo = +Q₄^1/2(m)/(m+m₁-m₂)(m-m₁-m₂) = [(m+m₁+m₂)(m-m₁+m₂)/(m+m₁-m₂)(m-m₁-m₂)]^1/2 = (c/v₂)_v=0

 

THE VALUES OF v₁ AND v₂ IN THE FRAME AT INFINITY (v = +oo) ARE THE INVERSES (OR RECIPROCAL TO) OF THEIR VALUES IN THE FRAME AT REST (v = 0).

 

This again sounds logical.

 

 

Gros cafouillage la semaine dernière : j’ai manifestement eu un gros coup de pompe… Tout n’est pas à rejeter dans la bidouille 23, mais les choses nécessitent approfondissement, d’une part, et amélioration d’autre part. Je refais donc cette bidouille 23 pour la deuxième fois, mais ce n’est pas grave, et j’y apporte les compléments nécessaires, notamment le passage à un cadre mieux adapté.

On repart de la formule (1), bidouille 22 et on fait apparaître explicitement la dépendance fonctionnelle (nous en aurons besoin par la suite) :

 

1. ds²(t) = c²dt² - dx²(t) = [1 – v²(t)/c²]c²dt² = 2c²dt⁺(t)dt^-(t)

 

Dans cette représentation-là, l’élément de surface ds² est fonction du temps t, de même que dt⁺ et dt^-, qu’on pourrait qualifier « d’instants avancé et retardé », respectivement :

 

2. dt⁺(t) = [1 + v(t)/c]dt  ,  dt^-(t) = [1 – v(t)/c]dt  ,  v(t) = |v(t)|

 

Il est alors évident que les dérivées partielles ð₊(t) = ð/ðt⁺(t) et ð_-(t) = ð/ðt^-(t) étant des dérivées fonctionnelles n’ont aucune raison de commuter, sauf dans le cas v = cte, i.e. le mouvement 3D libre dans l’espace. Cette non-commutativité n’est due qu’au fait que nous nous plaçons dans une représentation fonctionnelle t⁺(t) et t^-(t). Cette représentation nous a été utile pour retrouver les équations du mouvement dans l’espace-temps, pour autant ce n’est plus la représentation naturelle. Car ces équations de la dynamique, on le sait, s’unifient en la paramétrisation en courbe xⁱ(s/c). Et nous proposons d’étendre cette représentation en une représentation en surface xⁱ(t⁺,t^-). Dans cette dernière, les paramètres temporels t⁺ et t^- deviennent indépendants et la dépendance fonctionnelle porte désormais sur les xⁱ, c’est-à-dire sur x et t, qui deviennent des fonctions de t⁺ et de t^-. Conséquence : les dérivées partielles ð₊ = ð/ðt⁺ et ð_- = ð/ðt^- ne sont plus fonctionnelles et n’ont, de ce fait, plus aucune raison de ne pas commuter. Ainsi, ð₊ð_- = ð_-ð₊ dans cette représentation et on peut dire que c’est désormais le 4-gradient ð_i(t⁺,t^-) = ð/ðxⁱ(t⁺,t^-) qui y devient fonctionnel, de sorte que ce sont les opérateurs ð_i(t⁺,t^-) et ð_j(t⁺,t^-) qui ne commutent plus pour i différent de j. Mais cela n’a aucune importance, car nous sommes passés à une description en champ à 2 dimensions externes, temporelles, t⁺ et t^- et 4 dimensions internes, spatio-temporelles, xⁱ (i = 0,1,2,3).

Il n’y a plus qu’à appliquer les résultats établis sur la dynamique des champs. D’abord, le lagrangien (20) bidouille 22 :

 

3. L[xⁱ(t⁺,t^-),vⁱ_a(t⁺,t^-),t⁺,t^-] = ½ mvⁱ_a(t⁺,t^-)v_i^a(t⁺,t^-) – 2W[xⁱ(t⁺,t^-),t⁺,t^-]

 

s’exprime en Joules et non pas en J/s² : ce n’est pas une densité temporelle ! Introduisons les dérivées totales :

 

4. d/dt^a = d_a = ð_a + vⁱ_a(t⁺,t^-)ð_i(t⁺,t^-) + d_avⁱ_b(t⁺,t^-)ð/ðvⁱ_b(t⁺,t^-) 

 

avec ð_i(t⁺,t^-) = ð/ðxⁱ(t⁺,t^-) et calculons d_aL :

 

d_aL = ð_aL + vⁱ_að_iL + d_avⁱ_bðL/ðvⁱ_b = ð_aL + vⁱ_ad_bðL/ðvⁱ_b + d_avⁱ_bðL/ðvⁱ_b

 

en vertu des équations de Lagrange (27) bidouille 22. Pour toutes les quantités ne dépendant que des t^a, comme les 4-vitesses vⁱ_a et les 4-impulsions pⁱ_a, d_a coïncide avec ð_a. A présent que [ð_a,ð_b] = 0, d_avⁱ_b = d_ad_bxⁱ = d_bd_axⁱ = d_bvⁱ_a (c’est la condition d’intégrabilité retrouvée). Il en résulte que :

 

d_aL = ð_aL + vⁱ_ad_bðL/ðvⁱ_b + (d_bvⁱ_a)ðL/ðvⁱ_b = ð_aL + d_b(vⁱ_aðL/ðvⁱ_b)

 

Finalement :

 

5. d_b(vⁱ_aðL/ðvⁱ_b – Ld_a^b) = d_bH_a^b = -ð_aL

 

comme on s’y attendait. La matrice hamiltonienne est :

 

6. H_ab = vⁱ_aðL/ðv^ib – Lh_ab = vⁱ_ap_ib – Lh_ab = pⁱ_ap_ib/m – (pⁱ_cp_i^c/2m – 2W)h_ab

 

En composantes :

 

7. H₊₊ = pⁱ₊p_i+/m  ,  H_-- = pⁱ_-p_i-/m  ,  H_+- = H_-+ = 2W

 

Cette matrice possède l’invariant :

 

8.  H = H_a^a = 4W

 

H_ab s’exprimant en Joules, l’intégrale de surface II d_bH_a^bdt⁺dt^- = I H_a^bdt_b s’exprime en Js. Il s’agit donc d’une action. Pour autant, les équations de conservation locales :

 

9.  d_bH_a^b = 0  <=>  ð_aL = 0

 

continuent bien d’exprimer la conservation de l’énergie, comme on aurait été en droit de s’attendre. Quant aux intégrales de surface II Ldt⁺dt^- et II H_abdt^adt^b, elles s’expriment en Js² et représentent donc des inerties. Noter les résultats intéressants suivants :

 

10. H₊₊ = mc²(1-v/c)/(1+v/c) = mc²E₊/E_-  ,  H_-- = m²c⁴/H₊₊ = mc²(1+v/c)/(1-v/c)

 

Avec E₊ = mc²/(1+v/c) et E_- = mc²/(1-v/c), de sorte que seules 2 des 3 composantes de H_ab sont indépendantes : H₊₊ et H_+- = H_-+. Encore plus intéressant :

 

11. det(H_ab) = H₊₊H_-- - (H_+-)² = m²c⁴ – 4W² = (mc² + 2W)(mc² - 2W) = HL

 

où H = mc² + 2W est l’hamiltonien scalaire associé habituellement à L :

 

LE DETERMINANT DE LA MATRICE HAMILTONIENNE EST EGAL AU PRODUIT DU LAGRANGIEN PAR L’HAMILTONIEN SCALAIRE ASSOCIé.

 

On a aussi le moment cinétique :

 

12.  M_abc = t_aH_bc – t_bH_ac = -M_bac  en Js

 

Je vais maintenant dire un mot sur la notion de référentiel de repos.

 

Pour un même corps, ce référentiel n’est plus unique, puisqu’il y a maintenant deux dimensions de temps et, par suite, deux vitesses, vⁱ₊ et vⁱ_-. Si l’on a vⁱ₊ = 0, c’est que xⁱ ne dépend pas de t⁺ : le corps est immobile dans la direction t⁺ (mais il peut se mouvoir dans la direction t^-). Inversement, si vⁱ_- = 0, xⁱ ne dépend pas de t^- : le corps est immobile dans la direction t^- (mais peut se mouvoir dans la direction t⁺). Et c’est seulement si vⁱ₊ = vⁱ_- = 0 qu’on peut parler d’immobilité totale, car xⁱ est alors constant.

Ce sont bien les quadri-vitesses qu’il faut prendre en compte. Retour, pour le comprendre, sur la paramétrisation t⁺(t), t^-(t). On avait vⁱ₊ = vⁱ/(1+v/c) et vⁱ_- = vⁱ/(1-v/c). Avec v = 0, je trouve bien v₊ = v_- = 0 : immobilité dans l’espace 3D. Pour les composantes i = 0 : v⁰₊ = c/(1+v/c) et v⁰_- = c/(1-v/c). Bon. Peut-on encore avoir zéro ? oui : pour v -> oo !!!

Résultat : on trouve maintenant deux référentiels de repos,

 

v = 0, immobilité spatiale : vⁱ₊ = vⁱ_- = vⁱ = (c,0), déplacement luminique le long de la direction temporelle ;

v = +oo, déplacement instantané dans l’espace : vⁱ₊ = -vⁱ_- = (0⁺,c) : immobilité temporelle.

 

Ça tombe un peu sous le sens, qu’on ne bouge plus dans le temps si l’on se déplace instantanément d’un endroit à un autre, puisqu’il n’y a alors plus de délai, ni retard, ni avance… On constate d’ailleurs qu’alors que v peut maintenant couvrir toutes les vitesses de 0 à +oo, les 4-vitesses vⁱ₊ et vⁱ_-, elles, restent comprises entre (c,0) et (0,c)… :)

 

Une autre possibilité consiste à passer des courbes aux surfaces. Non pas parce qu’on passe de la dimension 3 à la dimension 4, mais parce qu’on passe de la géométrie euclidienne à la géométrie pseudo-euclidienne. En géométrie euclidienne, une théorie basée sur des surfaces n’est qu’une « théorie du second ordre » : il n’y a pas de différences qualitatives entre « théorie du premier ordre », basée sur des courbes, et « théorie du second ordre », basée sur des surfaces. Ainsi, l’utilisation de surfaces en dynamique euclidienne est tout à fait superflue, si l’on peut se contenter de courbes. Par contre, elle devient indispensable en géométrie pseudo-euclidienne, parce que l’élément de surface ds² n’y est plus de signe défini. Seulement, ce n’est plus aussi simple que dans le cas euclidien. Comme toujours, les similitudes peuvent s’avérer trompeuses et masquer des difficultés plus profondes.

On commence donc par écrire toutes les décompositions canoniques possibles du ds² :

 

1. ds² = dxⁱdx_i = (1 – v²/c²)c²dt² = ds⁺ds^- = c²dt⁺dt^-

 

Seuls les éléments ds⁺, ds^- ou dt⁺, dt^- sont partout réels. Si les produits hyperboliques sont de même signe, le ds² est > 0 et 0 =< v < c ; si ces produits sont de signes opposés, le ds² est < 0 et v > c ; si dt^- = 0 avec dt non nul, le ds² est nul et v = c.

S’il s’agit de surfaces, on s’attend à une reparamétrisation xⁱ(s/c) -> xⁱ(t⁺,t^-) à deux paramètres réels. Ecrivons l’action correspondante, en différentielle :

 

2. dS² = m²c²ds² = dSⁱdS_i = dS⁺dS^- = L²dt⁺dt^- = L⁺L^-dt²

 

L’unique fonctionnelle de Lagrange L² est partout >= 0 : c’est le produit hyperbolique dt⁺dt^- qui porte le signe. De (1), on tire (à un signe global près) :

 

3. dSⁱ = mcdxⁱ  ,  dS⁺ = mc²dt⁺ = mc²(1 + v/c)dt  ,  dS^- = mc²dt^- = mc²(1 – v/c)dt
4. L² = m²c⁴  ,  L⁺ = mc²(1 + v/c)  ,  L^- = mc²(1 – v/c)

 

Dans toutes ces formules, v(t) = dx(t)/dt et, par suite, son module v(t) se réfèrent à des courbes. Ce n’est plus ce que l’on cherche. D’ailleurs, les fonctionnelles de Lagrange (4) y sont toutes linéaires en v, ce qui est inacceptable. Repartons de xⁱ(t⁺,t^-). Cette paramétrisation est aussi admissible que xⁱ(s/c) ou x(t), à la différence qu’elle se laisse étendre à toutes les valeurs de s². Par dérivation, on obtient une 4-vitesse à deux composantes :

 

5. vⁱ₊(t⁺,t^-) = ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt⁺ = [1 + v(t)/c]^-1ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt
6. vⁱ_-(t⁺,t^-) = ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt^- = [1 - v(t)/c]^-1ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt

 

v(t) est (le module de) la vitesse linéique du mobile dans l’espace, alors que vⁱ₊ et vⁱ_- sont des 4-vitesses surfaciques. Dans les membres de droite, t⁺ et t^- sont des fonctions de t, puisque par intégration :

 

7. t⁺(t) = I₀^t [1 + v(t’)/c]dt’  ,  t^-(t) = I₀^t [1 - v(t’)/c]dt’

 

A la dualité de Minkowski vient s’ajouter une dualité de métrique h_ab de composantes :

 

8. h₊₊ = h_-- = 0  ,  h_+- = h_-+ = 1

 

On vérifie aussitôt que :

 

9. ds² = g_ijdxⁱdx^j = ½ h_abds^ads^b = ½ c²h_abdt^adt^b

 

de sorte que h_abdt^adt^b est un invariant scalaire au même titre que le ds²/c². En dérivant une nouvelle fois, on trouve une matrice accélération :

 

10. aⁱ₊₊(t⁺,t^-) = ðvⁱ₊(t⁺,t^-)/ðt⁺  ,  aⁱ_+-(t⁺,t^-) = ðvⁱ₊(t⁺,t^-)/ðt^-
11. aⁱ_-+(t⁺,t^-) = ðvⁱ_-(t⁺,t^-)/ðt⁺  ,  aⁱ_--(t⁺,t^-) = ðvⁱ_-(t⁺,t^-)/ðt^-

 

En développant :

 

12. aⁱ₊₊(t⁺,t^-) = [1 + v(t)/c]^-2{ð²xⁱ(t⁺,t^-)/ðt² - [1 + v(t)/c]^-1[dv(t)/cdt]ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt}
13. aⁱ_+-(t⁺,t^-) = [1 – v²(t)/c²]^-1{ð²xⁱ(t⁺,t^-)/ðt² - [1 + v(t)/c]^-1[dv(t)/cdt]ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt}
14. aⁱ_-+(t⁺,t^-) = [1 – v²(t)/c²]^-1{ð²xⁱ(t⁺,t^-)/ðt² + [1 - v(t)/c]^-1[dv(t)/cdt]ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt}
15. aⁱ_--(t⁺,t^-) = [1 - v(t)/c]^-2{ð²xⁱ(t⁺,t^-)/ðt² + [1 - v(t)/c]^-1[dv(t)/cdt]ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt}

 

On vérifie sans difficulté que :

 

16. det(aⁱ_ab) = 0  pour chaque i = 0,1,2,3

 

qui indique que seules 3 des 4 composantes de cette matrice sont indépendantes ou encore que aⁱ₊₊aⁱ_-- = aⁱ_+-aⁱ_-+ (i = 0,1,2,3). Ce résultat montre que les matrices accélération aⁱ_ab ne sont pas inversibles. D’autre part, si le produit différentiel dt⁺dt^- est commutatif, il n’en est plus de même du produit des opérateurs dérivés ð₊ = ð/ðt⁺ et ð_- = ð/ðt^-. On a un commutateur :

 

[ð₊,ð_-] = ð²/ðt⁺ðt^- - ð²/ðt^-ðt⁺ = [1 + v(t)/c]^-1(d/dt){[1 – v(t)/c]^-1d/dt} - [1 - v(t)/c]^-1(d/dt){[1 + v(t)/c]^-1 d/dt}

           = {[1 + v(t)/c]^-1[1 – v(t)/c]^-2dv(t)/dt + [1 - v(t)/c]^-1[1 + v(t)/c]^-2dv(t)/dt}d/cdt

           = [1 – v²(t)/c²]^-1{1/[1 – v(t)/c] + 1/[1 + v(t)/c]}dv(t)/dt d/cdt

 

soit :

 

17. [ð₊,ð_-] = 2[1 – v²(t)/c²]^-2[dv(t)/dt](d/cdt)

 

La contravariante de h_ab est la matrice h^ab de même composantes. On a donc :

 

18. h⁺⁺ = h^-- = 0  ,  h^+- = h^-+ = 1  ,  h_abh^bc = d_a^c (delta de Kronecker)  ,  h_abh^ab = 2

 

Ces relations nous conduisent à :

 

19. vⁱ⁺ = vⁱ_-  ,  v^i- = vⁱ₊  ,  v_i⁺ = v_i-  ,  v_i^- = v_i+

 

Ces propriétés vont nous aider à écrire la fonctionnelle de Lagrange. La masse 4D est susceptible de varier suivant t⁺ et/ou t^- : m₄(t⁺,t^-), ce qui ne modifie en rien sa répartition spatio-temporelle. Considérons pour le moment une masse constante et prenons pour lagrangien :

 

20.  L[xⁱ(t⁺,t^-), vⁱ₊(t⁺,t^-), vⁱ_-(t⁺,t^-), t⁺,t^-] = ½ m₄vⁱ_a(t⁺,t^-)v_i^a(t⁺,t^-) – 2W[xⁱ(t⁺,t^-),t⁺,t^-]

 

Les 4-impulsions sont :

 

21.  pⁱ_a = ðL/ðv_i^a = h_abðL/ðv_ib

 

On vérifie aussitôt que :

 

22.  pⁱ₊p_i- = m₄c²

 

Dérivons maintenant ces 4-impulsions par rapport aux temps t⁺ et t^- :

 

23.  ðpⁱ₊/ðt₊ = ð⁺pⁱ₊ = ðpⁱ₊/ðt^- = ð_-pⁱ₊ = m₄aⁱ_+-
24.  ðpⁱ₊/ðt_- = ð^-pⁱ₊ = ðpⁱ₊/ðt⁺ = ð₊pⁱ₊ = m₄aⁱ₊₊
25.  ðpⁱ_-/ðt₊ = ð⁺pⁱ_- = ðpⁱ_-/ðt^- = ð_-pⁱ_- = m₄aⁱ_--
26.  ðpⁱ_-/ðt_- = ð^-pⁱ_- = ðpⁱ_-/ðt⁺ = ð₊pⁱ_- = m₄aⁱ_-+

 

Les seules équations de Lagrange qui soient invariantes à la fois sous g_ij et sous h_ab sont de la forme :

 

27.  ð^apⁱ_a = ð^aðL/ðv_i^a = ðL/ðxⁱ

 

Des relations (22) à (25) ci-dessus, on tire les équations de mouvement :

 

28.  m₄(aⁱ_+- + aⁱ_-+) = m₄[1 – v²(t)/c²]^-1{dvⁱ(t)/dt + [1 – v²(t)/c²]^-1vⁱ(t)v(t)dv(t)/c²dt]} = -2ðW/ðxⁱ = 2Fⁱ[x(t⁺,t^-),t⁺,t^-]

 

En vertu de (13) et (14) et puisque ðxⁱ(t⁺,t^-)/ðt = dvⁱ(t)/dt.

 

Comparons avec la relativité restreinte. On reprend le 4-vecteur vitesse Vⁱ(s/c) = vⁱ/(1 – v²/c²)^1/2 et le lagrangien L = ½ m₄VⁱV_i – W. Le 4-vecteur accélération Aⁱ = cdVⁱ/ds a pour expression :

 

Aⁱ(s/c) = [1 – v²(t)/c²]^-1{dvⁱ(t)/dt + [1 – v²(t)/c²]^-1vⁱ(t)v(t)dv(t)/c²dt]}

 

qui ressemble étrangement ½ (aⁱ_+- + aⁱ_-+)… Par un abus de langage sans aucune conséquence, la reparamétrisation admissible de xⁱ(t⁺,t^-) en xⁱ(s/c) nous fait passer de Fⁱ[x(t⁺,t^-),t⁺,t^-] à Fⁱ[x(s/c),s/c]. Les équations (28) coïncident donc avec les équations de mouvement habituelles m₄Aⁱ(s/c) = Fⁱ[x(s/c),s/c] à l’intérieur du cône de lumière.

La différence, ensuite, est flagrante : si la 4-accélération ne pose pas de problème de signe, en revanche, la 4-vitesse Vⁱ en a un sérieux, qui… restreint la dynamique à 0 =< v < c.

Aucune restriction de ce genre ne se retrouve plus dans vⁱ₊ ou vⁱ_-. Le mouvement peut donc être prolongé à l’extérieur du cône.

Où se trouve l’apparent paradoxe ?

Si l’on décrit le mouvement en termes de courbes xⁱ(s/c) = [ct,x(t)] dans l’espace-temps, on aboutit inévitablement à une frontière physique : les trajectoires de points matériels dans l’espace-temps ne peuvent sortir du cône de lumière, sous peine de sortir du domaine physique. C’est ce que l’on constate, parce qu’on raisonne en termes de trajectoires. Ce n’est donc pas faux.

Si l’on décrit le mouvement en termes de surfaces xⁱ(t⁺,t^-), toujours dans l’espace-temps, on ne trouve plus de frontière physique infranchissable, on trouve un lieu singulier, le cône de lumière, et encore, uniquement sur la composante vⁱ_- de la vitesse surfacique. A l’intérieur du cône, les deux mouvements coïncident, moyennant un changement de paramétrisation, puisque les équations de mouvement sont les mêmes. Par contre, (28) mais surtout vⁱ₊ et vⁱ_- se laissent prolonger sans aucune difficulté, ni technique, ni de principe, au-delà de c.

Sauf erreur de ma part :

 

CONTRAIREMENT A L’APPROCHE PAR TRAJECTOIRES, L’APPROCHE PAR SURFACES EST CAUSALE PARTOUT : ON NE TROUVE PLUS AUCUNE VIOLATION DE LA CAUSALITE NULLE PART. CELA SIGNIFIE QUE TOUT EFFET RENVOIE A UNE CAUSE, MAIS QUE CELLE-CI NE PRECEDE L’EFFET QU’A L’INTERIEUR DU CÔNE DE LUMIERE. A L’EXTERIEUR DU CÔNE, L’EFFET PRECEDE SA CAUSE PARCE QUE L’INFORMATION ARRIVE APRES LE PROCESSUS.

 

En effet, la cause de mon accélération est la résultante des forces extérieures appliquées : cette résultante est bien présente partout, sauf peut-être en des points singuliers isolés, pôles éventuels du champ de forces. L'effet est l'accélération. Si ma vitesse de déplacement devient > c, mon effet précède bien ma cause.

On interprète ça assez logiquement comme une violation de la causalité. C’est correct dans la représentation en trajectoires, ça ne l’est plus dans la représentation en surfaces. Le signal, qui véhicule l’information, se déplace toujours à c. Le processus tachyonique est plus rapide, l’information qu’il contient « reste donc en arrière ». C’est la même chose qui se produit, dans un contexte complètement différent, avec le régime supersonique. Ça ne devrait donc pas surprendre outre mesure. Dérouter, peut-être. Surprendre, non.

Ne pas perdre de vue qu’on dispose désormais de deux paramètres temporels. Ainsi, le fait de dire « à l’extérieur du cône – zone d’éloignement absolu – un événement peut se produire en même temps à deux endroits différents » (ubiquité) est une interprétation par courbes (un seul paramètre temporel). En surfaces, on peut évoluer suivant l’axe t⁺, l’axe t^- ou le plan (t⁺,t^-) : il ne devrait plus y avoir de situations « exotiques ».

 

Il n’est pourtant pas compliqué de voir qu’à chaque fois qu’on a affaire à une expression de signe indéterminé, on a affaire à un produit hyperbolique.

Ce n’est pourtant pas compliqué, dis-je et pourtant… on ne le retrouve nulle part…

Donc, on va combler cette (nouvelle) lacune. En faisant bien ressortir les dépendances fonctionnelles, histoire de ne pas se perdre, on écrit :

 

1. ds²(t) = c²dt² - dx²(t) = c²dt²[1 – v²(t)/c²] = c²dt²[1 - |v(t)|²/c²] = {cdt[1 - |v(t)|/c]}{cdt[1 + |v(t)|/c]} = [cdt_-(t)][cdt₊(t)] = ds_-(t)ds₊(t)

 

On en déduit :

 

2. dt_-(t) = dt[1 – v(t)/c]  ,  dt₊(t) = dt[1 + v(t)/c]  ,  v(t) = |v(t)| >= 0 pour tout t.

 

Et on se retrouve ainsi avec DEUX métriques : ds_- et ds₊. Mais on a aussi :

 

3. dt = ½ (dt_- + dt₊)  ,  v(t) = ½ c|dt₊ - dt_-|/|dt|

 

La première s’intègre immédiatement, donnant t en fonction de t₊ et t_- :

 

4. t = ½ (t₊ + t_-)

 

tandis que la seconde permet d’exprimer v en fonction de t₊ et t_- :

 

5. v[(t₊ + t_-)/2] = c|(dt₊ - dt_-)/(dt₊ + dt_-)| = 2|dx[(t₊ + t_-)/2]/(dt₊ + dt_-)|

 

Introduisant le vecteur unitaire n(t), n²(t) = 1 pour tout t, on tire de cette dernière expression :

 

6. dx[(t₊ + t_-)/2] = ½ cn[(t₊ + t_-)/2](dt₊ - dt_-)

 

n[(t₊ + t_-)/2] indique le sens d’orientation au temps t = (t₊ + t_-)/2. Si dt₊ > dt_-, le mouvement est orienté parallèlement à n ; si dt₊ < dt_-, il est antiparallèle à n ; si dt₊ = dt_-, i.e. t₊ = t_-, il y a immobilité dans l’espace.

Ce que l’on retire de cette manipulation, c’est que :

 

TOUTE LA DYNAMIQUE SE LAISSE RAMENER A UNE CONSTANTE UNIVERSELLE, c, ET DEUX VARIABLES DE TEMPS t₊ ET t_-.

 

Le temps t s’exprime au moyen de (4) ; le mouvement x(t), au moyen de (6) ; la vitesse, au moyen de (5). C’est une simplification considérable, à l’extrême même, de toute la mécanique classique. On voit aussi que, contrairement au ds² initial, ni ds₊ ni ds_- ne présente plus aucune difficulté de principe vis-à-vis de c. Pourtant, on n’a rien changé, on n’a fait que réexprimer l’intervalle spatio-temporel ! C’est la séparation en deux métriques de la métrique initiale qui élimine les risques d’apparition de quantités imaginaires et qui ramène c à une vitesse critique et non plus maximale :

 

c RESTE LA VITESSE DE PROPAGATION DES INTERACTIONS. AUCUN CORPS MATERIEL NE PEUT SE DEPLACER A UNE VITESSE EXACTEMENT EGALE A c. MAIS PLUS RIEN NE S’OPPOSE A CE QU’IL PUISSE SE DEPLACER PLUS VITE QUE c. LE CÔNE N’EST PAS DETRUIT, IL DEVIENT UNE STRUCTURE SINGULIERE, A PRIORI FRANCHISSABLE DANS UN SENS COMME DANS L’AUTRE.

 

On rappelle qu’en hydrodynamique, malgré que le contexte soit complètement différent, aucun corps matériel plongé dans un fluide ne peut pour autant se déplacer à une vitesse exactement égale à la vitesse du son dans ce fluide. Il n’y a donc rien d’étonnant à ce qu’aucun corps matériel placé dans le vide ne puisse se déplacer à c.

On va réécrire le 4-vecteur vitesse en fonction de ces nouvelles données. On a à présent DEUX 4-vecteurs vitesses, parce qu’on a DEUX 4-vecteurs :

 

7. uⁱ₊ = dxⁱ/ds₊ = dxⁱ/cdt₊ = dxⁱ/cdt[1 + v(t)/c] = [1 + v(t)/c]^-1[1,v(t)/c]
8. uⁱ_- = dxⁱ/ds_- = dxⁱ/cdt_- = dxⁱ/cdt[1 - v(t)/c] = [1 - v(t)/c]^-1[1,v(t)/c]

 

Les covariants restent les mêmes, puisque la métrique est la métrique initiale de Minkowski :

 

9. u_i⁺ = dx_i/ds₊ = dx_i/cdt₊ = dx_i/cdt[1 + v(t)/c] = [1 + v(t)/c]^-1[1,-v(t)/c]
10. u_i^- = dx_i/ds_- = dx_i/cdt_- = dx_i/cdt[1 - v(t)/c] = [1 - v(t)/c]^-1[1,-v(t)/c]

 

Il s’ensuit que, ni uⁱ₊ ni uⁱ_- ne sont plus unitaires (c’est normal), mais que c’est leur produit hyperbolique qui l’est :

 

11. uⁱ₊u_i^- = u_i⁺uⁱ_- = 1

 

On en déduit aussitôt les 4-vitesses :

 

12. Vⁱ₊ = cuⁱ₊  ,  Vⁱ_- = cuⁱ_-  ,  Vⁱ₊V_i^- = V_i⁺Vⁱ_- = c²

 

Regardons les comportements de uⁱ₊ et uⁱ_-. Pour uⁱ₊, le facteur correctif 1/[1 + v(t)/c] est toujours =< 1 puisque v(t) >= 0 à tout instant et quel que soit le mouvement. Il s’ensuit que Vⁱ₊ se situera toujours « au-dessous » (composantes inférieures en valeurs pures) du 4-vecteur vitesse [c,v(t)] :

 

13. 0 =< V⁰₊ =< c  ,  0 =< |V₊| =< v(t) =< c 

 

TOUT MOUVEMENT DANS LA DIRECTION (+) SERA TOUJOURS CAUSAL.

 

Pour uⁱ_-, 1/[1 - v(t)/c] présente un pôle simple en v = c. En ce point, i.e. sur le cône, Vⁱ_- diverge donc, ce qui traduit la singularité. Ce facteur 1/[1 - v(t)/c] va de 1 pour v(t) = 0 (immobilité) à +oo pour v(t) -> c^-, repart de –oo pour v(t) -> c⁺ et finit à 0^- pour v(t) -> +oo.

uⁱ_- va donc de (1,0) à +oo x [1,n(t)], repart en –oo x [1,n(t)] et finit en [0^-,-n(t)] : on a 2 branches asymptotiques, une de chaque côté du cône et une convergence en v = +oo.

 

LE MOUVEMENT TECHYONIQUE EST PILOTé PAR LA DIRECTION (-).

 

C’est dans cette direction qu’il est possible, en théorie du moins, de sortir du cône ou d’y réentrer. A priori, il n’y a plus de difficulté technique. Mais il faut réécrire toute la mécanique du point matériel en les variables (+) et (-).

 

Au boulot. Je viens d’indiquer la route à suivre, je me barre en week-end. :))

(pas tjrs les mêmes qui bossent… lol) je reviens la semaine prochaine avec + de résultats.

 

On lit dans « L’EXCELLLENT » :)) tome 2 du cours de physique théorique de MM Landau et Lifchitz consacré à la théorie (classique) du champ la chose suivante, à propos de l’intervalle spatio-temporel ds² (§ 1, « vitesse de propagation des interactions ») :

 

« En mécanique classique, on décrit l’interaction mutuelle des particules matérielles à l’aide de l’énergie d’interaction potentielle, qui dépend des coordonnées des particules. On se rend facilement compte que ce mode de description des interactions implique l’hypothèse de l’instantanéité des interactions. En effet, les forces qu’exercent sur chacune des particules toutes les autres particules ne dépendent dans ce cas que de la position des particules à l’instant considéré. La variation de la position de l’une des particules se reflète aussitôt sur toutes les autres particules. »

 

C’est de ce constat qu’on a été amené à définir la forme suivante du ds² :

 

1. ds² = c²dt² - dx²(t) = c²dt²[1 – v²(t)/c²]

 

Or, un tel constat est inexact. La forme la plus générale de systèmes dynamiques (ponctuels) en relativité de Galilée est :

 

2. p(t) = m(t)dx(t)/dt  ,  dp(t)/dt = F[x(t),p(t),t]

 

En effet, la fonctionnelle de Lagrange d’un corps ponctuel de masse m(t) est, dans cette relativité-là, quadratique en v(t) :

 

3. L[x(t),v(t),t] = ½ m(t)v²(t) + v(t).A[x(t),t] – W[x(t),t]

 

Dans ce cas, les équations de Lagrange montrent que la fonctionnelle « force » F dans (2) est linéaire en p(t) = m(t)v(t) :

 

4. F^a[x(t),p(t),t] = F₀^a[x(t),t] + F₁^a_b[x(t),t]p^b(t)

 

Il n’en reste pas moins que des formes encore plus générales comme (2) se rencontrent d’ailleurs assez fréquemment. Notez que, dans (2), F peut ne pas être développable en série de puissances entières de p(t), ou pas partout.

Il est donc inexact de dire qu’en relativité de Galilée, les effets des forces exercées entre les particules matérielles se font ressentir immédiatement. On est amené à en déduire ceci lorsqu’on considère « l’impulsion généralisée » P[x(t),t] = p(t) + A[x(t),t]. Alors, en effet, (3) nous conduit à dP[x(t),t]/dt = -ðW[x(t),t]/ðx(t), mais moyennant cette fois une dérivation totale par rapport au temps : d/dt = ð/ðt + v(t).ð/ðx(t), puisque P dépend non seulement du temps, mais de la position de la particule à l’instant considéré. Exemple typique : n’importe quel mouvement présentant un terme gyroscopique local. Autre exemple, mais mieux adapté à la relativité restreinte : le champ électromagnétique. Le terme gyroscopique y est en qA[x(t),t], q = charge de la particule, A = potentiel-vecteur magnétique ; le terme W est en –qphi[x(t),t], phi = potentiel scalaire électrique.

Et encore, insistons bien là-dessus, (2) ne possède pas toujours de fonctionnelle lagrangienne : il existe des systèmes dissipatifs qui ne se dérivent pas d’un lagrangien. Par exemple, les écoulements instables de fluides.

Pour en revenir à notre propos de ce jour, la vitesse de la lumière dans le vide c est donc considérée comme une vitesse maximale de propagation des interactions et, plus généralement, des signaux dans l’espace. Pourquoi pas ? Mais on est quand même surpris par la remarque suivante des auteurs :

 

« si un corps pouvait être animé d’une vitesse supérieure à cette vitesse maximale, ce corps pourrait être utilisé pour transmettre les interactions avec une vitesse supérieure à la vitesse maximale de propagation des interactions »

 

Eh non… pas d’accord : il y a confusion entre corps matériel et signaux produits par ce corps matériel. Ce sont les signaux qui se propagent. Les corps matériels, eux, se déplacent. Un corps matériel, quel qu’il soit, ne saurait donc être utilisé à la place d’un signal.

Un jet supersonique sert-il à transmettre le son plus vite que la vitesse (critique, i.e. constante) du son ? Bien sûr que non. Ce qui n’empêche nullement le son de se propager dans l’air ambiant à la vitesse c (sonique). Ici, les interactions sont sonores, elles se font par ondes sonores, propagées dans l’espace à la vitesse du son. Il y a l’écoulement des fluides d’un côté et le mouvement des corps matériels plongés dans ces fluides de l’autre. Les deux mouvements sont relatifs l’un par rapport à l’autre, bien sûr, mais leur nature est différente.

D’autre part, on se rend bien compte que la définition (1) du ds² est toute conventionnelle. Elle est justifiée a posteriori par le fait que l’on considère qu’aucun corps matériel ne peut se déplacer plus vite que c.

Mais alors, pourquoi ne pas rejeter systématiquement la région tachyonique, dans ces conditions ? Soyons logiques ! Or, la relativité restreinte n’exclut PAS cette région du monde physique, elle se contente de n’en rien dire…

Si je redéfinis le ds² comme suit :

 

5. ds² = |c²dt² - dx²(t)| = c²dt²|1 – v²(t)/c²|

 

je suis tout aussi conventionnel, mais j’inclus toutes les régions dynamiques. Je suis aussi plus dans la normalité. En effet, dans (1), ds est une quantité réelle pour 0 =< v(t) =< c, qui devient imaginaire pour v(t) > c. Or, un imaginaire mathématique suggère une perpendicularité physique, équivalente à un doublement de la dimension. Pour quelles raisons ?...

Au contraire, si une expression n’a pas de signe défini, sa valeur absolue, en revanche, est toujours positive. Dans (5), mon ds² est donc partout réel.

Je reprends l’analogie toute formelle avec l’avion. En vol supersonique, assiste-t-on à une permutation des axes spatiaux et temporels ? Nullement ! L’espace reste l’espace et le temps, le temps. Ils n’échangent pas leur nature.

Alors, la question lancinante est : pourrait-on envisager de « percer le mur de la lumière » ?

 

Réponse possible dans la bidouille suivante.