Oui, on va essayer autre chose. J’ai repassé une énième fois en revue les éléments constitutifs du système nerveux, j’ai refait les états logiques entrées / sorties du neurone, du groupe neuronal, de la carte locale et de la cartographie globale, j’ai retrouvé des choses intéressantes, comme le fait que :

• pour le neurone, entrées multiples, sortie unique, état excitateur ou inhibiteur, pas de rebouclage sur lui-même => dimension zéro en sortie (scalaire, 1 seule composante) ;
• pour le groupe, entrées multiples, intrinsèques et extrinsèques, sorties multiples, état excitateur ET inhibiteur => dimension 1 en sortie (vecteur, n composantes) ;
• pour la carte locale, ensemble de groupes interconnectés => dimension 2 en sortie (matrice d’ordre 2) ;
• et pour la cartographie globale, ensemble de cartes interconnectées => dimension 3 en sortie (matrice d’ordre 3) ;

mais je n’ai rien trouvé de plus qui puisse aller au-delà de ce que nous apprend la neurobiologie. Qu’on raisonne en terme de graphe organique (neuronique) ou de graphe fonctionnel (tensions en entrées et en sorties), on n’est pas plus avancé. On a un fonctionnement qui, certes, n’a plus rien à voir avec les machines de Turing-Von Neumann, mais on ramène immanquablement l’activité mentale (formation, gestion dynamique et classification des objets mentaux) à l’activité organique sous-jacente (réseau dense d’impulsions nerveuses, trains d’informations binaires – puisque les états excitateur et inhibiteur sont fixés pour chaque neurone, chaque groupe, chaque carte). On décortique, on désassemble, jusqu’aux processus élémentaires, qu’on montre être purement organiques (électrochimiques), mais on ne traite pas le processus mental en tant que tel, sans faire référence au « hardware ». Changeux le disait déjà : on a à la fois un graphe neuronique et un graphe fonctionnel, les deux semblant indissociables. C’est ce qui l’amenait, dans les années 1980, à faire la différence avec l’ordinateur (mode de traitement mis à part) qui, selon lui, distingue le « programme-mémoire » (software) de la machine (hardware). Je n’ai pas bien compris ce point, au sens où tout programme compilé est spécifique à un type de processeur, puisque dépendant du jeu d’instructions de ce processeur, et donc indissociable de la machine, mais il est vrai qu’il existe aussi des programmes interprétés, indépendants de la machine. D’autre part, un programme compilé peut toujours être envoyé et lu par une autre machine utilisant le même type de jeu d’instructions, alors qu’il n’existe aucun « fil organique » qui permette de transmettre une pensée d’un cerveau à un autre.

Ceci rappelé, ce que je veux dire par là est qu’on ne traite généralement pas les processus psychologiques dans un cadre qui leur serait propre (interne, quoi), on les projette toujours dans le cadre externe des processus biologiques. C’est ce cadre interne que je cherche depuis un bon moment, maintenant. J’ai proposé un « espace-temps électromagnétique », il est vrai que l’activité mentale est purement électromagnétique et que tout objet mental est décomposable en impulsions de ce type, mais ça n’est, en fin de compte, que reformuler le même problème en des termes différents, plus physiques : on tourne en rond, on passe d’un jargon à l’autre. On fait de la traduction, mais on n’obtient rien de nouveau par cette voie.

Je reprends les sorties, on va vite comprendre ce que j’entends par là.

Un neurone actif (type excitateur ou inhibiteur) ne me fournit qu’une seule tension en sortie axonale, la même dans toutes ses dendrites.

Un groupe de N_G neurones va me fournir N_G sorties parallèles, certaines silencieux au temps t, d’autres actives : j’aurai un mot de longueur N_G (vecteur tension), mais toujours des tensions : sur le plan physique, rien de nouveau, aucun « champ exotique » n’apparaît, les sorties axonales sont corrélées aux entrées, point. On stimule l’un quelconque des neurones du groupe, on lit un « potentiel d’action », on enregistre les réponses de ses voisins, on lit un « potentiel de champ », en résonance avec le potentiel d’action (Edelman). Là non plus, rien de neuf pour le physicien. Pour le neurobiologiste, je n’en doute pas un seul instant, mais pour le physicien, rien de plus qu’il ne connaisse déjà depuis longtemps.

Et ainsi de suite : pour la carte locale, une matrice tension. Et alors ?

Pour la cartographie globale, une matrice tension d’ordre 3 : on n’en sort pas des tensions, on ne fait qu’en rajouter, c’est tout… On ne trouve même pas la moindre corrélation entre sorties, sauf à passer par les entrées interconnectées : rien de direct, pas de « champ corrélatif » entre sorties. Un moment, je me suis dit : puisqu’on trouve des matrices 3D en cartographie globale, y a peut-être quelque chose de dimensionnel là-dedans.

Mais ajouter d’un coup de l’ordre de 5000 dimensions (racine cubique de 10¹¹, nombre moyen de neurones dans le cortex humain), ça m’a paru tellement débile que j’ai renoncé tout de suite… :)

A force de buter dans des murs, je me suis dit : « ras le bol, on va carrément essayer autre chose, que je rumine depuis un bon moment, mais sans parvenir à faire le lien avec l’espace-temps ordinaire ». Or, l’expérience prouve que « l’espace mental » n’est autre qu’une reconstruction de l’espace ordinaire par le cerveau. Le « temps mental » est le même que le temps ordinaire. Changeux cite, notamment, l’expérience de « l’île au trésor » : les divers éléments disposés dans leur dessin de l’île par les participants sont retrouvés mentalement avec des distances parfaitement conformes aux distances réelles sur le papier. Il n’y a aucune distorsion d’aucune sorte. Pas « d’espace exotique dans la tête ». Les rotations, idem : les angles de rotation obtenus mentalement sont en étroite corrélation avec les angles de rotation dans l’espace réel. Le temps, c’est moins évident a priori, mais on arrive là aussi, à démontrer qu’il n’existe pas de « temps exotique dans la tête », du moins, pas en état d’éveil conscient.

On peut déduire de tout cela que le percept « espace » est le même que l’espace réel, extérieur à la pensée et que le percept « temps » est le même que le temps réel.

 

C’est toujours quand on ne trouve RIEN ou que des NON-EXISTENCES qu’on a les pires difficultés : parce qu’on ne sait pas dans quelle direction chercher. On sait que l’on cherche quelque chose, mais on ne sait pas QUOI…

 

La pensée est un ensemble dynamique et autonome d’objets mentaux de complexité variée. On peut les classifier en 3 types : le percept, l’image de mémoire et le concept. On ne va pas revenir dessus, y en a un peu marre de tourner en rond… :) On va plutôt se dire la chose suivante, qu’on ne pourra sans doute pas nous reprocher : puisqu’on ne trouve rien, on va se donner des dimensions. Effectives ou pas, elles ont au moins le mérite de coller aux neurosciences.

On se donne donc une dimension « perceptuelle », une dimension « mémorielle » et une dimension « conceptuelle ». Sur la base de ces 3 dimensions, je devrais être en mesure, si j’en crois les neurobiologistes, de construire n’importe quel objet mental. Comment ? Bin, comme on fait dans l’espace réel : on se donne un système d’axes, l’axe « perceptuel » P, l’axe « mémoriel » M et l’axe « conceptuel » C ; sur P, on ne trouve que des percepts ; sur M, que des images de mémoire et sur C, que des concepts. Un peu caricatural ? Ce ne sont que des bases. Dans cet « espace mental » (qui, là, n’a plus rien à voir avec l’espace ordinaire), un objet mental O se laissera repérer par ses « coordonnées » (p,m,c). Concrètement, qu’est-ce que ça veut dire ? ça veut dire que l’objet mental O possèdera « tant de pourcentage de composante perceptive, tant de composante mémorielle et tant de composante conceptuelle », la somme des 3 pourcentages devant faire 100, naturellement. Comme on s’est séparé de l’espace E³ ordinaire, n n’a plus à se préoccuper de savoir si le percept est un objet plutôt localisé dans E³ et le concept, un objet plutôt distribué. En revanche, ce qui nous intéresse, c’est de savoir que chacune des 3 coordonnées mentales p, m et c se projette dans E³ (et même dans l’espace-temps 4D X !) en un champ p(x,t) (perceptuel ou perceptif), m(x,t) (mémoriel) et c(x,t) (conceptuel). La dépendance temporelle assure que ces objets sont bien dynamiques. La dépendance spatiale caractérise l’objet : plutôt locale pour p(x,t), plutôt distribuée pour c(x,t). Ceci pour la connexion avec le « réel », « l’observable ».

En quoi se mesurent les « distances » dans cet espace mental-là ? Bé… toujours en Tesla-mè-tres, puisque tout se résume à de l’électromagnétique… Mais bon, ce n’est plus l’essentiel.

 

Il est bien plus essentiel de regarder ce qu’on peut faire dans cet espace.

 

Si j’effectue une rotation de 90° dans le plan (PM), je transforme un percept pur en pure image de mémoire et réciproquement : percept -> image ? oui. Image -> percept ? oui, possible (résurgence – le percept est alors soit réel, en relation directe avec l’image de mémoire, soit imaginaire, induit par l’image de mémoire).

Idem dans le plan (PC) : transformation d’un percept pur en concept pur et réciproquement. Percept -> concept ? oui. Exemple : émotion suscitée par un événement extérieur. Concept -> percept ? pas courant, mais réalisable : là encore, le percept est soit réel, en relation directe avec le concept, soit fictif, mais le concept étant plus abstrait que l’image de mémoire, la transformation du concept en percept est moins consciente. Devrait aussi s’accompagner d’une « réduction » : on passe d’un processus distribué à un processus focalisé [par exemple, sur une ou plusieurs aire(s) visuelle(s) ou auditive(s)]. Sensation de percevoir.

Enfin, dans le plan (MC). Image de mémoire -> concept ? oui : abstractisation de l’image mémorielle. Concept -> image ? oui ! Au moins deux situations typiques : sommeil paradoxal et psychopathologies. D’ordinaire, le vrai concept est trop vague pour être convertible en une image aux contours nets. C’est une conséquence directe du fait qu’il est construit à partir de régions entières de l’encéphale. Essayez de visualiser une émotion, vous n’arriverez qu’à évoquer le souvenir d’un comportement, c’est tout. Mais un concept issu d’aucune perception antérieure, mémorisée ? non. Ou alors, l’image sera vague, indéfinissable, aux contours fluctuants. Or, l’image de mémoire se caractérise précisément par un graphe neuronique stable dans le temps. A condition de pouvoir la définir… :) C’est pour ça que je ne vois comme transition cohérente que le sommeil paradoxal. Les autres, je les classerais plutôt dans les pathologies du comportement. Les faux souvenirs induits également : en général, on remplace de vrais souvenirs par de faux de 2 manières, la dure ou la douce. La dure, on casse la résistance naturelle du psychisme ; la douce, on joue justement sur les émotions, les concepts.

Tout ça pour dire que ce n’est plus aussi facile de tourner dans l’espace mental que dans l’espace ordinaire : dans l’espace mental, les changements d’axes ne sont pas systématiques. Il faut s’assurer au préalable qu’ils puissent correspondre à des situations effectives.

 

Voyons les translations.

 

Translation sur l’axe P : je passe d’un percept à un autre ? oui...

Sur l’axe M : d’une image de mémoire à une autre ? bin… oui, aussi.

Sur l’axe P : d’un concept à un autre ? encore oui.

A priori, pas de problème particulier pour cette opération.

 

Homothéties (contractions / dilatations).

 

Homothétie sur l’axe P : je passe d’un percept donné à un percept plus gros ou plus petit ? Non : plus ou moins intense, ça tient mieux la route. Tiendra-t-il pour autant plus ou moins de place dans l’espace ordinaire ? Pas forcément : il y sera plus concentré, c’est suffisant.

Sur l’axe M : je grossis ou réduis une image de mémoire ? oui.

Sur l’axe C : là aussi, je renforce ou je diminue la puissance évocatrice de mon concept de départ.

Réalisables, donc, les homothéties dans l’espace mental, mais sous réserve d’interprétations consistantes de l’opération.

 

DISTANCES : MON ESPACE MENTAL EST-IL UN ESPACE METRISABLE ?

 

En voilà une bonne question. Et pas évidente à répondre. Pas évidente du tout.

Allez, je me pose sur l’axe P : je choisis un percept P1 et un percept P2 distinct de P1. Mathématiquement, ma distance entre ces deux percepts est |P1 – P2|. Késako ?...

Pour pouvoir établir une opération de ce type, il faut d’abord que j’établisse une comparaison entre les deux percepts, c'est-à-dire que j’énumère tout ce qui les diffère. Et puis ? Prenons P1 visuel et P2 auditif : énumérer les différences m’apportera quoi ? Ne faut-il pas plutôt que je me ramène aux aires concernées et aux distances (ordinaires !) entre ces aires ? Mais ce n’est pas ça qui m’intéresse, puisqu’on se ramène à l’externe… Je veux rester en interne. En interne, qu’ai-je ? des graphes fonctionnels. Chaque graphe possède une morphologie propre, donnée par sa topologie (au sens géométrique du terme). Cette morphologie imite évidemment celle du graphe neuronique sous-jacent, seulement, on n’est plus dans le matériel, mais dans le fonctionnel. On ne raisonne plus en termes de somas et d’axones, mais en termes de relations entre des « nœuds de convergence ». Ces nœuds forment les points du graphe et les relations, ses arcs. Les graphes électriques ne sont pas orientés, les graphes électrochimiques le sont.

On établit donc les différences morphologiques entre le graphe fonctionnel de P1 et celui de P2 et cela nous donne l’écart entre ces deux graphes, la « distance mentale » qui les sépare. Peu importe leur position dans l’encéphale.

Pareil sur les axes M et C.

Si je peux établir des « distances qualitatives » de cette manière, mon espace mental devient métrisable. La différence est que l’espace ordinaire est métrisable quantitativement, alors que l’espace mental l’est qualitativement. Je peux encore dire que ma métrique sur l’espace ordinaire est géométrique, locale ; ma métrique sur l’espace mentale est topologique, globale. Elle ne me fournira plus un nombre, mais un écart morphologique. C’est une notion plus ensembliste que la métrique ordinaire, analytique. Ma « métrique mentale » me fournit un ensemble topologique en place d’une quantité algébrique.

Et ça se conçoit, bien que ça commence à dépayser sérieusement cette fois : il est fort possible que les graphes P1 et P2 se retrouvent avec la même valeur de tension électrique en sortie. Il suffit pour cela qu’ils fournissent le même mot ou matrice de mots. Preuve en est que c’est possible : contrairement à la machine de Turing, le cerveau peut emprunter des graphes différents pour aboutir au même résultat (même résultat = même sortie…). Quand, donc, cette situation se présente, on aurait, en Tesla-mètres, P1 = P2, d’où |P1 – P2| = 0, ce qui est manifestement absurde, puisqu’on ne tient aucun compte des caractéristiques topologiques de chacun des 2 graphes…

 

Voilà pour les principales opérations dans l’espace mental. Après, c’est affaire de combinaisons, composante par composante. M’enfin, on voit déjà qu’avec 3 dimensions, on peut construire des volumes et des volumes compacts. D’ailleurs, la graphologie du système nerveux est bien 3D dans l’espace ordinaire. En conséquence, sa graphologie fonctionnelle doit être 3D. Elle l’est dans l’espace ordinaire, en termes de signaux qui se propagent dans les 3 directions de l’espace. Mais on a vu au début de ce bidouillage pourquoi cela ne nous apportait rien de plus.

 

Bizarre : les opérations +,- (translations) et x, ./. (homothéties) NE SONT PLUS ALGEBRIQUES. On vient de le voir pour la métrique : on n’est plus algébrique, mais ensembliste. On ne passe pas de P1 à P2 en ajoutant ou en retranchant des sommets et des arcs à P1, ça ne correspond plus du tout à la réalité. On ne « zoom » ni avant ni arrière sur P, M ou C (M à la rigueur, mais sûrement pas P ou C, ça perd tout son sens). En fait, on devrait pouvoir remplacer les opérations algébriques par les opérateurs ensemblistes. A voir.

 

Bidouille 2 :

« On va maintenant étendre la théorie de Maxwell à la situation non linéaire. Une telle situation peut se présenter dans les réseaux électromagnétiques complexes présentant des boucles de réentrée, comme les réseaux de neurones, par exemple. A grande échelle, ces réseaux apparaissent très denses, ce qui justifie pleinement la description en distributions de charges et de courants et en champs continus. Si la linéarité se justifie dans les systèmes de charges inertes peu complexes, elle devient difficile à maintenir dans les très grands systèmes de charges tels que ceux présents dans les organismes vivants et pensants. Ceci, précisément parce que les champs produits par les charges en déplacement dans l’espace se couplent aux courants sources (voir la partie potentielle du lagrangien de Maxwell) et que ce couplage n’a plus de raison de rester linéaire dans les systèmes organisés, structurés, hiérarchisés et, qui plus est, évolutifs. En tant que système de régulation des processus mentaux, la pensée est un système vivant et non inerte. Elle possède la propriété d’être autonome, ce qui est la caractéristique fondamentale des systèmes vivants. En outre, le cerveau forme typiquement un système en auto-interaction : « le cerveau est plus en rapport avec lui-même qu’avec n’importe quoi d’autre » (Edelman). Son activité électromagnétique (la pensée) forme donc un système typiquement auto-couplé. »

 

SAUF QUE… j’ai oublié quelque chose de… vital. C’est que les champs en cause dans le contexte neuronal SONT CONFINEES A L’INTERIEUR DES AXONES et ne sont donc PAS distribuées comme ça dans la matière cérébrale… :) Le raisonnement tenu dans Bidouille 2 sous-entend la situation habituelle, celle d’un milieu matériel, homogène ou non, isotrope ou non, peu importe, mais dans lequel des charges électriques sont distribuées d’une certaine manière et les champs qu’elles créent, d’une manière associée. Dans le système nerveux, on a plutôt des CHAMPS EN RESEAUX : les champs se propagent le long des axones,  A L’INTERIEUR DE CEUX-CI, ils n’en sortent pas. On a presque affaire à des GUIDES D’ONDES montés en réseaux.

La situation est quelque peu inverse de celle des réseaux électriques : dans un fil électrique, c’est le COURANT qui se propagent le long du fil et les CHAMPS qu’il rayonne diffusent AUTOUR du fil. Dans un axone, c’est le CHAMP qui se propage le long du « fil », à la vitesse de l’ouverture / fermeture des canaux ioniques, tandis que les COURANTS TRAVERSENT la membrane cellulaire.

Ressassons-le encore une fois : « l’onde de négativité », l’influx nerveux, est mesuré en VOLTS et non pas en AMPERES. Le courant intermembranaire se mesure, évidemment, mais il ne constitue PAS l’influx nerveux, il préside à son DECLENCHEMENT.

Du fait que chaque champ électromagnétique neuronal est confiné dans la gaine axonale, on voit mal de quelle façon tous ces champs « élémentaires » pourraient bien SE COUPLER ENTRE EUX pour donner lieu à une auto-interaction d’ensemble du champ GLOBAL avec lui-même…

Ces modèles-là peuvent peut-être s’utiliser dans les milieux matériels y compris complexes, mais pas dans des structures en RESEAUX… :)

Pour de telles structures, je dois revoir ma copie…

Le point de base, c’est, bien sûr, le groupe neuronal. Mais on n’étudie plus la LOGIQUE DE SIGNAUX, cette fois, mais la PHYSIQUE DU RESEAUX D’INFLUX NERVEUX.

C’est ça qui donne l’imagerie mentale. La logique, elle, donne les règles de COMBINAISON DES SIGNAUX.

A première vue, on s’oriente vers de la TOPOLOGIE DU CHAMP. Mais alors, on n’est plus local. On verra ça après Noël.

 

Bidouille 3 : peut toujours être maintenue, dans un contexte physique générale.

 

Justement, on a essayé de réfléchir un peu et on a fini par aboutir sur un modèle MAXIMAL, c’est-à-dire, non extensible. Je ne prétends alors absolument pas que ce modèle est le meilleur, ni même qu’il est réellement adapté à la situation, je dis seulement qu’il présente certains intérêts de construction. Voici lesquels.

On regarde la partie cinétique de la densité de Lagrangien de champ électromagnétique, on voit qu’elle se compose du carré (de Casimir) de F_ij(x) = ð_iA_j(x) – ð_jA_i(x), composantes d’une 2-forme, au nombre de 6 donc, en dimension 4. Et on se dit : pourquoi ne pas envisager, pour la partie potentielle, un terme également quadratique mais, cette fois, de la forme C_ij(x)C^ij(x), avec :

 

1. C_ij(x) = k_iA_j(x) – k_jA_i(x)  ,  k_i = 4-vecteur d’onde, en m^-1.

 

L’intérêt ?

 

LA DENSITE D’ENERGIE CINETIQUE DE CHAMP EST PROPORTIONNELLE AU CARRE F_ij(x)F^ij(x) DE LA VARIATION INSTANTANEE F_ij(x) = ð_iA_j(x) – ð_jA_i(x) ;

LA DENSITE D’ENERGIE POTENTIELLE DE CHAMP EST PROPORTIONNELLE AU CARRE C_ij(x)C^ij(x) DE LA VARIATION MOYENNE (1).

 

On se retrouverait déjà avec une densité de Lagrangien de la forme (partielle) :

 

2. L_EM[A(x),F(x),x] = (2µ)^-1[F_ij(x)F^ij(x) + ½ C_ij(x)C^ij(x)]

 

quadratique en les A_i(x). On remarque que 1/µ est en J/m³T² et représente bien une densité, bien que ce soit un coefficient. Donc, bémol sur ce que énoncé dans Bidouille 13, à savoir qu’en fin de compte, on n’a pas besoin de disposer partout de distributions dépendant de x, on a surtout besoin d’effectuer, à chaque étape, une analyse dimensionnelle.

On voit que C_ijC^ij est en T², comme il se doit. Jusqu’ici, on est dimensionné. On écrit les équations de champ sous la forme :

 

3. ðⁱ[ðL_EM/ðF^ij(x)] = ðL_EM/ðA^j(x) = [ðC^ik(x)/ðA^j(x)]ðL_EM/ðC^ik(x)

 

qui permet 1) de calculer un petit peu plus commodément et 2) qui assure automatiquement la symétrie. On obtient :

 

4. ðⁱF_ij(x) = ½ (kⁱd^k_j – k^kdⁱ_j)C_ik(x) = kⁱC_ij(x) = |k|²A_j(x) – kⁱk_jA_i(x)  ,  |k|² = k_ikⁱ     (d = delta)

 

Dans la jauge de Lorentz ðⁱA_i(x) = 0 :

 

5. ðⁱð_iA_j(x) = |k|²A_j(x) – kⁱk_jA_i(x)

 

En multipliant des 2 côtés par k^j, on trouve k^jðⁱð_iA_j(x) = ðⁱð_i[k^jA_j(x)] = 0, de sorte qu’on n’a que 2 possibilités : kⁱA_i(x) = onde, mais cela restreint fortement la généralité, ou bien :

 

6. kⁱA_i(x) = 0

 

qui est une seconde condition de transversalité, équivalente à e^ijC_ij(x) = 0, e^ij = -e^ji : produit scalaire grassmannien (antisymétrique) de k et A nul. Du coup, les équations (5) se simplifient en :

 

7. ðⁱð_iA_j(x) = |k|²A_j(x)

 

dont la solution élémentaire est :

 

8. A_j(x) = a_j(k)exp(-k_ixⁱ)  ,  k_ixⁱ >= 0  ,  a_j(k) en Tm  ,  kⁱa_i(k) = 0

 

et la solution générale, une superposition linéaire :

 

9. A_j(x) = I a_j(k)exp(-k_ixⁱ)d⁴k/k₀k₁k₂k₃     (I = intégrale)

 

1/|k| est la portée du champ. Si elle est infinie, |k| = 0 => k_i = 0 (en causal) et on retrouve Maxwell dans le vide.

On ajoute maintenant un terme quartique en les A_i(x). Comme on n’a que des carrés de termes antisymétriques, on le prend sous la forme C_ijkl(x)C^ijkl(x), avec :

 

10. C_ijkl(x) = C_ij(x)C_kl(x) – C_ik(x)C_jl(x) + C_il(x)C_jk(x)  en  T²

 

complètement antisymétrique, donc à une seule composante en dim 4. On modifie (2) :

 

11. L_EM[A(x),F(x),x] = (2µ)^-1[F_ij(x)F^ij(x) + ½ C_ij(x)C^ij(x) - C_ijkl(x)C^ijkl(x)/4!|f|²]

 

avec |f|² = f_ijf^ij > 0 en T². Je suis fainéant aujourd’hui, j’ai écrit les équations de champ la nuit dernière à 2 du mat’ mais je n’ai pas pris mes notes avec (4h30 de sommeil). Comme dans les livres, « je laisse donc au lecteur le soin de » faire le boulot lui-même… :)) en suivant le procédé donné plus haut, par exemple. Rien de compliqué, un peu long, c’est tout. On aboutit évidemment à un membre de droite cubique en les A_i(x).

Pourquoi une expression comme (11) ?

Parce qu’en dimension 4, en ne prenant que les antisymétriques, 1) on s’assure que le développement ne va pas au-delà du quartique, puisque C_ijkl(x) est le coefficient d’une 4-forme et 2) parce qu’on a deux invariances de jauge :

 

12. A_i(x) -> A_i(x) + ð_iG(x) : laisse F_ij(x) invariant ;
13. A_i(x) -> A_i(x) + k_iG(x) : laisse C_ij(x) invariant.

 

alors que, chez Maxwell, on n’a que (12), puisque les k_i y sont nuls. Enfin, pour les puristes, (11) rappelle un peu la construction par invariants conformes de Weyl.

Il reste :

• un nouveau paramètre, f_ij, nécessaire au dimensionnement de (11) ;
• à ajouter les sources.

 

Le nouveau paramètre : j’ai déjà une petite idée dessus, j’ai construit un modèle l’utilisant il y a quelques mois. J’y reviendrai, mais pas ici (sinon, on va tout mélanger – il me paraît plus clair de faire des Bidouilles séparées).

Les sources : on a un terme linéaire j_i(x)Aⁱ(x) et on s’attend à trouver un terme cubique (dans la logique du développement), moyennant antisymétrie.

Le terme linéaire : on modifie (11) (la famille s’agrandit…),

 

14. L_EM[A(x),F(x),x] = (2µ)^-1[F_ij(x)F^ij(x) + 2µj_i(x)Aⁱ(x) + ½ C_ij(x)C^ij(x) - C_ijkl(x)C^ijkl(x)/4!|f|²]

 

Hmm… et alors ? Et alors, j’en suis resté là hier soir (enfin, ce matin), pour tout dire et je me suis dit, motivé que, cet après-midi, devant l’écran, je trouverai l’inspiration.

Ah bon ? Si je me le suis dit…

Il s’agit de trouver du AⁱA^jA^k antisymétrique, qui fournit un scalaire. Après quelques essais infructueux, il s’avère que l’expression :

 

15. C_ijkl(e^ijC^kl – e^ikC^jl + e^ilC^jk + e^jkC^il – e^jlC^ik + e^klC^ij)/3!µ|f| = C_ijkl(x)W^ijkl(x)/3!µ|f|

 

est correctement dimensionnée. On l’ajoute à (14) :

 

16. L_EM[A(x),F(x),x] = (2µ)^-1[F_ij(x)F^ij(x) + 2µj_i(x)Aⁱ(x) + ½ C_ij(x)C^ij(x) + C_ijkl(x)W^ijkl(x)/3!|f| - C_ijkl(x)C^ijkl(x)/4!|f|²]

 

On regarde ensuite les progressions des termes potentiels : le C_ijC^ij est en puissance zéro de |f| ; le C_ijklW^ijkl, en puissance -1 et le C_ijklC^ijkl, en puissance -2. On se demande alors si le µj_i(x)Aⁱ(x) ne pourrait pas être en puissance +1 :

 

17. µj_i(x)Aⁱ(x) = ½ |f|C_ij(x)e^ij = ½ µe^ij[j_i(x)A_j(x) – j_j(x)A_i(x)]  en T²

 

ce qui donnerait :

 

18. j_i(x) = |f|k_i/µ

 

Pourquoi pas, à condition que f_ij dépende de x. Comme 1/µ est déjà une densité, il suffit que les f_ij(x) soient des fonctions. En effet, µj_i(x) = j_i(x)/(1/µ) s’avère être un rapport de densités, de sorte que tous les termes entre crochets dans (16) sont des fonctions et non des « fonctions-densité ». Il serait alors plus judicieux de renverser la relation (18) et exprimer |f(x)| en fonction de j_i(x) :

 

(19)     |f(x)| = µkⁱj_i(x)/|k|²

 

Le problème est qu’en l’absence de sources, |f| = 0 d’où f_ij = 0 et que, dès que f_ij est non nul, on doit trouver des sources…

 

Walle walle chichewalle… ‘core un modèle à la mardickoise, ça…

 

On va essayer d’améliorer ça.

 

Dans la bidouille 1, j’ai proposé un « espace-temps électromagnétique » en utilisant l’analogie de construction entre la densité de lagrangien de Maxwell et la fonctionnelle de Lagrange d’un mobile dans l’espace euclidien E³, ce qui permettait de ramener le concept de champ dans l’espace-temps 4D X au concept de mouvement dans EM(x), espace-temps fonctionnel 4D situé « au-dessus » de X. la densité de 4-courant j_i(x) s’y réinterprétait alors comme l’analogue de la 4-force extérieure appliquée au mobile.

Dans la bidouille 2, j’ai non linéarisé le raisonnement et, dans la bidouille 3, j’ai proposé d’appliquer ce champ non linéaire à la description physique de la pensée, la ramenant à de « l’espace magnétique » évoluant au cours d’un « temps électrique ».

Ici, nous allons revenir plus en détail sur la dynamique de champ non linéaire esquissée Bidouille 2. Je reporte ci-dessous les équations de base, pour plus de commodité :

 

• densité de Lagrangien :

4.     L_EM[A(x),F(x),x] = F_ij(x)F^ij(x)/2µ + ∫ J_i[A(x),x]dAⁱ(x)

- équations de champ (en variables F_ij, pour raisons de symétrie) :

5. ðL_EM/ðF^ij(x) = P_ij(x) = F_ij(x)/µ  ,  ðⁱP_ij(x) = ðL_EM/ðA^j = J_j[A(x),x]

• solutions :

6. A_i(x) = A^(ond)_i(x) + C_i[S(x),x]  ,  S_i(x) = J_i[A(x),x]

J’avais interprété la fonctionnelle vectorielle J_i[A(x),x] comme un 4-courant généralisé. Une analyse plus fine montre que ce n’est pas tout à fait exact, car on a un mélange de matière et de champ. On va donc revenir là-dessus et approfondir les ordres 0, 1, 2 et 3 en J_i, ce qui correspond aux ordres 1, 2, 3 et 4 en la fonctionnelle potentielle, les plus couramment rencontrés.

 

ORDRE 0 :

Maxwell, donc. La fonctionnelle J_i est C⁰ seulement en les A_i(x) : comme on l’avait vu, c’est en fait la situation la plus discontinue. Une autre approche consiste à considérer que les J_i ne dépendent pas explicitement des A_i(x), ce qui, d’une certaine manière, revient au même. Mais, d’une manière beaucoup plus générale, ce que l’on appellera « densité de 4-courant » est :

 

1. j_i(x) = J_i(0,x) = J_i[A(x) = 0,x]

 

C’est une distribution. Et on voit facilement que :

 

TOUS LES COEFFICIENTS DE J_i[A(x),x] DANS LE DEVELOPPEMENT EN PUISSANCES DES A_i(x) SONT DES DISTRIBUTIONS DANS X ET DES DISTRIBUTIONS MATERIELLES.

 

On regarde (1) et on se dit que j_i(x) est la distribution issue de J_i en champ nul (par extension, pour des valeurs fixées des potentiels de champ, qui peuvent toujours être ramenées à zéro en changeant de référence). C'est-à-dire ce qui subsiste après annulation du champ ou en l’absence de champ (mais cette dernière assertion est un peu dénuée de sens puisque, dès qu’il y a sources, il y a émission de champ). A cet ordre, on ne peut guère en dire plus. Si on remonte à la fonctionnelle potentielle, étant donnée que J_i en est le 4-gradient par rapport aux A_i(x), les extrema seront atteints pour :

 

2. J_i[A(x),x] = 0

 

ce qui, à l’ordre 0, conduit à j_i(x) = 0, que l’on peut interpréter de deux manières : absence de sources ou extérieur des sources d’émission. Absence de sources : s’il n’y a pas de sources, les seuls champs possibles sont des ondes, susceptibles ainsi de préexister à toute source matérielle. Extérieur des sources : on a des champs qui se propagent dans le vide de charges sous la forme ou à la manière d’ondes. Il faut bien garder à l’esprit que le système de Maxwell décrit en fait des champs électromagnétiques dans la matière (électriquement chargée) et qu’hors de la matière, i.e. dans le vide, on n’a que des équations d’ondes. En toute rigueur, on ne peut donc parler de « champs maxwelliens » qu’à l’intérieur de la matière. Si ces champs sortent de la matière qui les a produits, ils se transforment en ondes.

La relation (2) ci-dessus est plus complexe, puisqu’elle mêle sources matérielles et champs. A l’ordre zéro, aucune relation fonctionnelle ne peut être établie entre sources et champs à l’extremum. Tout ce que l’on peut dire est que le vide maxwellien se confond partout avec l’extremum potentiel et que, dans ce vide, on n’a plus que de l’énergie cinétique d’ondes.

Enfin, à l’ordre zéro, la portée du champ est illimitée, puisque rien, dans la partie potentielle de son énergie, ne limite sa portée. Il s’ensuit que le volume spatial V₃ que peut recouvrir le champ s’étend à E³ tout entier. Chez Maxwell, les conditions aux bords sont les conditions asymptotiques A_i(x,t) -> 0 pour tout t quand |x| -> oo. On peut dire que les champs maxwelliens sont dépourvus de forme.

 

ORDRE 1 :

 

C’est le « post-Maxwell », si l’on veut. La fonctionnelle J_i est C¹ en les A_i(x) : c’est un petit peu plus régulier (mais pas beaucoup plus). La fonctionnelle potentielle est quadratique en les A_i(x). On écrit :

 

3. J_i[A(x),x] = j_i(x) – j_1,ij(x)A^j(x)

 

Pour connaître l’allure (le comportement) du champ dans l’espace-temps, il faut résoudre le système (5) ci-dessus. Pour cela, on est obligé de faire passer le couplage potentiel j_1,ij(x)A^j(x) du côté de la partie cinétique ðⁱP_ij(x). Attention à ne pas confondre les deux : même si énergie cinétique et énergie potentielle se transforment l’une en l’autre, de sorte que seule l’énergie totale est pertinente, c’est une variation de l’énergie cinétique (resp. potentielle) qui induit une variation en sens contraire de l’énergie potentielle (resp. cinétique) sur toute (hyper-)surface de Hill, i.e. d’énergie totale constante. C’est cela qu’on doit entendre par « transformation » ou « conversion ». Il n’en reste pas moins que ce qui est cinétique (resp. potentiel) reste cinétique (resp. potentiel) : les deux formes d’énergie sont duales et complémentaires. Elles contribuent toutes deux à la dynamique.

Ceci étant dit, la distribution j_1,ij(x) limite déjà la portée du champ : l’invariance de jauge étant préservée à tout ordre, sur la partie cinétique, on peut se placer dans la jauge de Lorentz, même dans le cas non linéaire générale, sans restriction aucune. A l’ordre 1 et dans cette jauge, on obtiendra donc les équations de champ suivantes :

 

4. ð^jð_jA_i(x) + µj_1,ij(x)A^j(x) = µj_i(x) = ð^jð_jA_i^(Max)(x)

 

La seconde égalité ne fait que rappeler les équations de Maxwell, établies à l’ordre zéro. Même si le système n’est pas intégrable par quadratures dès que les j_1,ij sont variables, on voit clairement que le champ de Maxwell est modifié par un facteur de type exponentiel. Il est possible d’expliciter la portée spatiale du champ (c’est ce qui nous intéresse) en prenant pour distribution :

 

5. j_1,ij(x) = j₁delta_ijdelta(x)

 

Les équations (4) deviennent :

 

6. ð^jð_jA_i(x) + µj₁delta(x)A_i(x) = µj_i(x) = ð^jð_jA_i^(Max)(x)

 

de sorte que :

 

7. ksi² = 1/µ|j₁­| = carré de la portée spatiale du champ.

 

Si j₁ < 0, on aura un régime spatial oscillant ; si j₁ > 0, un régime spatial amorti. C’est ce dernier cas qui est intéressant, puisqu’à des distances > ksi (en valeur absolue), le champ s’amortit alors très rapidement, de sorte qu’on peut considérer qu’il est nul ou, au moins, négligeable sur le bord B₂ du volume V₃ de rayon caractéristique ksi. Ce champ-là a déjà de la forme. Cette fois, l’extremum se situe en :

 

8. j_1,ij(x)A^j(x) = j_i(x)

 

Et A_i(x) se comporte comme une onde. Pourtant, il y a une source matérielle j_i(x) et le champ se trouve bien dans cette matière, il est bien à portée limitée, mais tout se passe comme si ce champ, non seulement était dans le vide, mais avec une portée illimitée !

Bizarre, ces extrema d’énergie potentielle…

 

ORDRE 2 :

 

J_i est C² en les A_i(x), on a :

 

9. J_i[A(x),x] = j_i(x) – j_1,ij(x)A^j(x) + ½ j_2,ijk(x)A^j(x)A^k(x)

 

Les équations de champ sont :

 

10. ð^jð_jA_i(x) + µj_1,ij(x)A^j(x) – ½ j_2,ijkA^j(x)A^k(x) = µj_i(x)

 

On devient non linéaire. On ne songe même pas à résoudre par quadratures, on regarde les extrema :

 

11. ½ j_2,ijk(x)A^j(x)A^k(x) – j_1,ij(x)A^j(x) + j_i(x) = 0

 

Il y en a 2, qui peuvent être confondus, selon les coefficients matériels. Rebelote : on a une onde. Et comme ça à tous les ordres. Bon…

 

ORDRE 3 :

 

Allez, pour dire d’appliquer le programme. J_i est C³ en A_i(x), la partie potentielle du Lagrangien est quartique en les A_i(x), les équations de champ sont cubiques, il y a 3 extrema, qui peuvent se confondre.

 

Il faudra que je réfléchisse à cette histoire de champs dans la matière qui se comportent comme des ondes dans le vide…

 

De fil an aiguille, on arrive à boucler la boucle (non sans mal). Nous passons à la dynamique et, surtout, à ses INTERPRETATIONS PHYSIQUES (c’est ça l’intéressant).

Dans la situation classique, le mouvement dans l’espace au cours du temps est représenté par une courbe x(t), où t est le temps classique et x, l’espace (le lieu) classique. Ce type de mouvement est toujours déterministe : il suffit de connaître la position initiale x₀ = x(t₀) d’un mobile à l’instant de départ t₀ pour être en mesurer de déterminer avec exactitude n’importe laquelle de ses positions ultérieures x(t) à l’instant t > t₀ sur la trajectoire.

Dans la situation quantique, il faut reconsidérer les choses du début.

Soit t un instant classique et tau > 0 le pas temporel. L’instant classique immédiatement précédent est t – tau, l’instant classique immédiatement suivant est t + tau. Peut-on en déduire pour autant que t – tau se situe dans le passé de t est t + tau dans le futur de t ? Ce n’est pas si simple. Parce que, classiquement, le temps étant discret, il procède par sauts de n.tau, avec n entier relatif : n < 0 va vers le passé de t ; n > 0, vers le futur de t. Donc, classiquement, IL N’Y A RIEN sur les intervalles temporels ouverts ]t-tau,t[ et ]t,t+tau[ : pas de temps. Pas très satisfaisant sur le plan de la physique. Se dire que, sur un laps de temps de 2tau, le temps n’existe pas, sauf au point central t (le présent) n’a pas grand-chose de physique.

C’est la même chose que de dire, comme Connes que, du point de vue classique, les espaces discrets ne renferment aucune information intéressante.

Mais « rien » classiquement signifie en fait la présence de VIDE. Et le vide quantique, lui, est siège de FLUCTUATIONS. On peut donc envisager que sur ]t-tau,t[ U ]t,t+tau[ existent des FLUCTUATIONS TEMPORELLES. C’est déjà beaucoup plus satisfaisant. Alors, « l’instant présent » t représente le présent REALISé, celui qui a la probabilité maximale de se réaliser, tandis que le reste a une probabilité moindre de se réaliser, c’est du présent REALISABLE. De la sorte, le présent s’étend à tout l’intervalle ]t-tau,t+tau[, incluant t, tandis qu’aux bornes de l’intervalle, la probabilité de réalisation de ce présent devient nulle ou négligeable. Mais alors, si l’on décide d’introduire les probabilités dans notre description, il faut considérer un temps STOCHASTIQUE T qui, lui, n’a plus aucune raison d’être DISCRET. Autrement dit, seuls les instants CLASSIQUES seraient DISCRETS, tandis que le temps stochastique resterait continu, mais au sens probabiliste du terme (« probablement continu »). Sous cette description des choses, on pense immédiatement à une distribution de probabilité (de réalisation) de la forme :

 

1. rhô_tau[(T-t)/tau] = rhô’_tau[(T-t)/tau]cos²[pi.(T-t)/2tau]
2. rhô’_tau[-(T-t)/tau] = rhô’_tau[(T-t)/tau]

 

Le module rhô’_tau peut être, par exemple, une gaussienne. L’instant classique t devient la MOYENNE STATISTIQUE du temps stochastique (du « processus temporel ») T et tau, la PORTEE DES FLUCTUATIONS TEMPORELLES : on rejoint la description quantique en termes de probabilité de présence et fonctions d’onde, mais appliquée au temps lui-même et non à des particules. C’est tout à fait en accord avec la structure non commutative d’algèbres et de modules d’opérateurs sous-jacente aux espaces discrets : statistiquement, le cadre préserve la continuité et les variables dynamiques deviennent des opérateurs agissant sur une fonction d’onde (amplitude de probabilité de présence).

La présence du terme oscillant cos² dans (1) assure que la loi de probabilité se répète d’intervalle en intervalle, qu’elle possède des VENTRES en T – t = 2n.tau (proba maxi de réalisation en t, t +/- 2tau, t +/- 4 tau, etc. et des NŒUDS en T – t = (2n+1).tau (proba mini de réalisation – nulle dans le présent modèle) aux bornes des intervalles. Le carré est impératif puisqu’une proba négative n’a aucune signification physique. La condition (2) ne fait, elle, que traduire l’égale probabilité de réalisation entre passé et futur.

S’il y a un cos, c’est qu’il y a INTERFERENCES. C’est précisément le fondement du PAQUET D’ONDES : les ondes (monochromatiques) qui constituent ce paquet interfèrent entre elles, soit constructivement (aux ventres), soit destructivement (aux nœuds).

En résumé, on peut dire que :

 

LE PRESENT S’ETALE STATISTIQUEMENT SUR TOUT L’INTERVALLE TEMPOREL [t-tau,t+tau] CENTRé SUR L’INSTANT CLASSIQUE t, PRESENT REALISABLE AVEC PROBA MAXI, TANDIS QUE t-tau et t+tau SONT LES PRESENTS REALISABLES AVEC PROBA MINI. L’INTERVALLE [t-tau,t+tau] EST LE SIEGE DE FLUCTUATIONS TEMPORELLES, LE TEMPS t EST DISCRET ; LE TEMPS STOCHASTIQUE T, CONTINU AU SENS PROBABILISTE DU TERME. LES FLUCTUATIONS TEMPORELLES SE TRADUISENT PAR LA PRESENCE D’UNE FONCTION D’ONDES ET LES ONDES CONSTITUTIVES DE CE « PAQUET D’ONDES TEMPORELLES » SONT EN INTERFERENCES LES UNES AVEC LES AUTRES, CONSTRUCTIVEMENT AUX VENTRES (INSTANTS CLASSIQUES), DESTRUCTIVEMENT AUX NŒUDS (INSTANTS PUREMENT QUANTIQUES).

 

Pourquoi purement quantiques ? Faisons tendre tau vers l’infini. Alors, tout instant classique t se retrouve complètement « noyé » dans les fluctuations temporelles : le temps conventionnel s’est DILUé, c’est la « limite quantique », où plus rien de classique ne subsiste. C’est le VIDE TEMPOREL :

 

A LA LIMITE QUANTIQUE (VIDE TEMPOREL), LE TEMPS A DISPARU AU SENS CLASSIQUE DU TERME, « NOYé » DANS LES FLUCTUATIONS TEMPORELLES. C’EST AUSSI LE DOMAINE DU « QUANTIQUE MACROSCOPIQUE ».

 

Ça veut dire aussi que, dans les processus quantiques à grande échelle (temporelle), i.e. sur de longues périodes de temps, la notion classique de temps DISPARAIT : classiquement, ces processus deviennent ATEMPORELS.

L’erreur d’analyse serait de considérer l’instant t-tau comme situé « dans le passé » de t et l’instant t+tau, « dans le futur » de t : c’est TOUT L’INTERVALLE [t-tau,t+tau] qui représente le « présent ». Le passé de t, lui, est centré en t-2tau, il occupe un intervalle de même longueur que celui de t. Le futur de t, lui, est centré en t+2tau et occupe également un intervalle de même longueur : on va de ventre à ventre et de nœud à nœud. Considérer t+tau comme une sorte de « futur antérieur » de t+2tau et de « futur immédiat » de t mènerait à des paradoxes temporels. Et chacun sait que les paradoxes ne naissent que d’une analyse inappropriée des choses. Non : on a un laps de temps présent, suivi du même laps de temps futur et précédé du même laps de temps passé. Il faut passer de la description en POINTS à la description en INTERVALLES (fermés, donc compacts – sauf à la limite quantique, bien sûr – et encore, en incluant l’infini, on compactifie à la Riemann).

 

Il existe quand même des instants discrets, dénombrables (les nœuds) où il n’y a pas de temps. Mais ces « instants singuliers » étant ponctuels, ils sont tous de mesure nulle. En fait, ils résultent de l’interférence destructive (opposition de phases dans la fonction d’onde en ces points) : en t+tau, il n’y a plus de présent et pas encore de futur ; en t-tau, il n’y a plus de passé et pas encore de présent. C’est très bizarre, mais ça entre dans le catalogue de bizarreries de la physique quantique… Le monde quantique a l’air de nous dire que, statistiquement du moins, il PEUT ne plus y avoir de temps du tout, mais en des points bien séparés seulement, bien qu’ils restent en infinité dénombrable.

 

A présent (!) que nous avons notre temps, nous pouvons analyser le MOUVEMENT.

A t correspond une position CLASSIQUE x(t) dans l’espace (en 1D, pour simplifier, peu importe ici).

A t+tau correspond une position x(t+tau) et à t-tau, une position x(t-tau). Ces positions « marginales » doivent traduire la longueur d’un INTERVALLE, image de [t-tau,t+tau] par la fonction x(.). En conséquence :

 

3. x(t+tau) = x(t) + h(t,tau)
4. x(t-tau) = x(t) – h(t,tau)

 

Il est facile de voir, sur des exemples élémentaires, que h dépend à la fois de t et de tau. Ainsi, sur le mouvement classique uniformément accéléré :

 

x(t) = ½ a₀t² + v₀t  (on prend x₀ = 0 comme référence)  ,  h(t,tau) = (a₀t + v₀)tau

 

De (3) et (4), on tire :

 

5. 2h(t,tau) = x(t+tau) – x(t-tau)  ,  h(t,0) = 0 pour tout t  ,  h(t,-tau) = -h(t,tau)
6. x(t+tau) + x(t-tau) = 2x(t)
7. h(t,tau) = d_taux(t) = tau.D_taux(t), tau-différentielle de x(t).

 

tau étant la DUREE CORRELATIVE, h est la DISTANCE CORRELATIVE. De même que pour le temps, seul l’espace CLASSIQUE est discret et la continuité se retrouve au niveau STATISTIQUE, au sein d’un espace STOCHASTIQUE. On a une position stochastique X, de moyenne statistique x, un mouvement stochastique X(t) et un MOYEN MOUVEMENT, classique, x(t). Tout comme <(T-t)²>_temporelle = tau², <(X-x)²>_spatiale = h².

La VITESSE est donnée par la tau-dérivée de x(t) :

 

8. v(t,tau) = D_taux(t) = [x(t+tau) – x(t)]/tau = h(t,tau)/tau

 

d’après (3). C’est donc le rapport (distance corrélative)/(durée corrélative). A la limite tau -> 0, tau s’identifie à dt, tandis que h(t,tau) s’identifie à dx(t) et on retrouve la vitesse classique instantanée v(t,0) = dx(t)/dt. A la limite tau -> oo, IL SUFFIT que v(t, tau) soit en tau^-(1+a) avec a réel > 0 pour que h(t,tau) tende asymptotiquement vers zéro ! Dans ce cas de figure, on se retrouve avec un temps macroscopiquement quantique (tau -> oo) et un espace microscopiquement classique (h -> 0) !!! Cela montre que TOUTES LES SITUATIONS PHYSIQUES DEVIENNENT POSSIBLES : du micro (resp. méso, macro) temporel avec du micro (resp. méso, macro) spatial. Tout dépend de la forme de v(t,tau) et cette forme est donnée par les équations de mouvement.

La construction en fonction d’onde – proba de réalisation s’applique à l’espace. En place de (1) et (2) on aura :

 

9. rhô_h[(X-x)/h] = rhô’_h[(X-x)/h]cos²[pi.(X-x)/2h]
10. rhô’_h[-(X-x)/h] = rhô’[(X-x)/h]

 

De nouveau, il PEUT exister des points, isolés mais en infinité dénombrable, où l’espace n’existe plus, c'est-à-dire, où sa proba de réalisation est très faible voire nulle… Notez qu’ici, on parle de temps et d’espace au sens STATISTIQUE du terme, pas seulement classique ! Cela sous-entend qu’en les nœuds des distributions de probabilité, il n’y aurait plus rien, même plus de vide… je pense plutôt qu’il doit y avoir interférence destructive :

• en t+tau, entre une « onde du présent » (composante du paquet d’ondes sur [t-tau,t+tau]) et une « onde du futur » (composante du paquet d’ondes sur [t+tau,t+3tau]), en opposition de phases, d’où neutralisation mutuelle, et
• en t-tau, entre une « onde du passé » (composante du paquet d’ondes sur [t-3tau,t-tau]) et une « onde du présent », en opposition de phases.

 

ce qui ne nécessiterait pas l’élimination, même locale, même au sens statistique, du temps. C’est L’EFFET (ondulatoire) qui serait neutralisant. Et ces « ondes du futur » étant présentes dans tout l’intervalle [t+tau, t+3tau], elles peuvent se propager aussi bien « vers l’avant », de t+2tau (futur classique) à t+3tau que « vers l’arrière », de t+2tau à t+tau. Idem pour les « ondes du passé ». En réalité, la mécanique quantique nous montre qu’au sein du paquet d’ondes, il ne s’agit pas de « mouvement » au sens conventionnel du terme : il n’y a aucune propagation à l’intérieur du paquet d’ondes, c’est le paquet d’ondes au complet qui se propage. Le paquet en lui-même est à support compact. On peut le voir comme un assemblage d’ondes monochromatiques qui se réfléchissent en permanence sur les « parois » du paquet, donc de l’intervalle qui lui sert de support. Ça veut dire que les « ondes du futur » se « réfléchissent » en t+tau et en t+3tau : en t+tau, elles repartent vers l’avant (vers t + 3tau) ; en t+3tau, vers l’arrière jusqu’en t+tau, etc. De même, les « ondes du passé » se « réfléchissent » en t-3tau et en t-tau : en t-3tau, elles repartent vers l’avant (vers t-tau), puis vers l’arrière, jusqu’à t-3tau, etc. C’est un va-et-vient perpétuel. Tout cela constitue « le passé », « le présent », « le futur ». Ces laps de temps successifs sont bien séparés les uns des autres et ne communiquent qu’à leurs extrémités. Il n’y a pas de recouvrement, donc pas de paradoxe.

Pour l’espace, c’est la même chose. Alors, on n’a plus besoin « d’éliminer » l’espace où que ce soit. Conceptuellement, c’est même plus simple, parce que ce n’est plus qu’une question D’ORIENTATION : on n’a plus de SUCCESSION, comme avec le temps. Si on ne choisit aucune orientation, toutes les directions se valent ; si on choisit une orientation, on se donne une origine (forcément), tout ce qui se trouve dans le sens d’orientation est compté positivement et tout ce qui se trouve en sens contraire est compté négativement (Schwartz, calcul tensoriel, algèbre extérieure).

 

Dérivons la vitesse, nous obtenons l’accélération :

 

11. a(t,tau) = D_tauv(t,tau)  => v(t+tau,tau) = v(t,tau) + a(t,tau)tau = v(t,tau) + nu(t,tau)

 

La vitesse :

 

12. nu(t,tau) = a(t,tau)tau

 

est l’équivalent de h(t,tau) : c’est la VITESSE CORRELATIVE. Il est facile de voir que :

 

13. nu(t,tau) = D_tauh(t,tau)

 

est bien la tau-dérivée de la distance corrélative. En dérivant encore une fois, on établit de même que L’ACCELERATION CORRELATIVE :

 

14. gamma(t,tau) = a(t+tau) – a(t,tau) = d_taua(t)

 

est la tau-dérivée de la vitesse corrélative :

 

15. gamma(t,tau) = D_taunu(t,tau) = D_tau²h(t,tau)

 

comme on est en droit de s’y attendre. Il y a donc un mouvement CLASSIQUE, DETERMINISTE, sur les MOYENNES SPATIALES et un mouvement FLUCTUANT, STATISTIQUE, sur les CORRELATIFS. En fait, c’est inexact, c’est de la dichotomie « théorie de champ moyen » : il n’y a QU’UN SEUL mouvement, c’est celui de X(T) et il est STOCHASTIQUE. Il exprime la position statistique X du mobile dans l’espace à l’instant statistique T. A la moindre non-linéarité, moyen mouvement et fluctuations sont indissociables (couplées, plus ou moins fortement) : l’évolution des fluctuations dans le temps influe sur le moyen mouvement, qui influe en retour sur ces fluctuations. Ne pas eprdre de vue que ce moyen mouvement, x(t) en toute rigueur, est FONCIEREMENT DISCONTINU, puisqu’on saute d’un instant classique à l’autre et donc, d’une position classique à l’autre. En revanche, au sens statistique du terme, le mouvement réel X(T) est continu.

 

ON PASSE D’UNE DYNAMIQUE CLASSIQUE, DETERMINISTE, EN TERMES DE COURBES, A UNE DYNAMIQUE QUANTIQUE, STOCHASTIQUE, EN TERMES DE RUBANS.

 

On a un ruban qui se développe entre l’intervalle temporel [t-tau,t+tau], de largeur 2tau, et l’intervalle spatial [x(t-tau),x(t+tau)], de largeur 2h(t,tau). On peut voir ces rubans comme des surfaces aléatoires, si l’on veut. Mais je ne suis pas d’accord avec ça, parce qu’en dimension spatiale > 1, on ne trouve ni surfaces ni hypersurfaces, mais des RUBANS le long de chaque axe de coordonnées. En dim 2, par exemple, on trouve un ruban [x(t-tau),x(t+tau)] dans la direction x et un ruban [y(t-tau),y(t+tau)] dans la direction y. Les 2 rubans se recoupent en leur centre [x(t),y(t)]. On ne peut pas avoir de surface, car il n’y a qu’un seul paramètre. En dim n, on trouvera donc n rubans, qui se recouperont tous en leur centre [x¹(t),…xⁿ(t)]. La construction en surfaces aléatoires procède d’un tout autre principe. On trouvera ainsi des plaquettes A L’INTERIEUR DES INTERVALLES. Mais, ici, il s’agit du mouvement D’INTERVALLES SPATIAUX dans l’espace.

 

Voici pour l’essentiel. Je travaille actuellement sur la masse et ses interprétations physiques.

 

NB : tout comme le temps classique disparait à la limite quantique tau -> oo, l'espace classique disparaît à la limite h -> oo :

 

LE QUANTIQUE MACROSCOPIQUE S'ABSOUT AUSSI BIEN DU TEMPS QUE DE L'ESPACE.

 

Inutile, alors, de rechercher une quelconque PROPAGATION DE SIGNAUX... :) Il n'y a que du PAQUET D'ONDES.