Aujourd’hui, je vais parler des ondes. Ce sera l’occasion de revenir un peu plus en profondeur sur les nombres complexes, puisque toute onde, en dimension 3, se laisse mettre sous la forme :

 

1. Phi(x⁺,x^-) = A(x⁺,x^-)exp[-iw(x⁺,x^-)]

 

où A(x⁺,x^-) est l’amplitude de l’onde, qui peut être un tenseur de rang quelconque et w(x⁺,x^-) est sa phase, un scalaire réel (je ne considèrerai ici que les régimes oscillants – entretenus ; les ondes avec facteur d’amortissement s’y ramène, en modifiant l’amplitude de manière adéquate). Nous avons donc à reconsidérer les nombres complexes de la forme :

 

2. z = x + iy

 

de manière à n’employer que des nombres réels. Rappelons, pour commencer, l’algèbre de base sur le corps C. Soient z = (x,y) et z’ = (x’,y’) deux nombres complexes écrits sous forme de paires de réels. On a :

 

3. addition : z + z’ = (x+x’,y+y’)
4. multiplication : zz’ = (xx’-yy’,xy’+x’y)
5. multiplication par un réel a : az = (ax,ay)
6. conjugaison complexe : z* = (x,-y)
7. module : |z|² = zz* = x²+y² = (x²+y² , 0)
8. inverse : 1/z = z*/|z|² = [x/(x²+y²),-y/(x²+y²)]

 

Reprenons l’orientation de l’espace due à la finitude de c et posons :

 

9. x = x⁺ + x^- , y = x⁺ - x^-  <=>  x⁺ = ½(x+y) , x^- = ½ (x-y)

 

Remplaçons dans les lois de composition (3) à (8), on obtient :

 

10. z = (x⁺+x^-,x⁺-x^-) = x⁺(1,1) + x^-(1,-1)
11. z* = (x⁺+x^-,-x⁺+x^-) = x⁺(1,-1) + x^-(1,1)

 

On voit déjà que le passage au complexe conjugué équivaut formellement à la permutation des directions (+) et (-). Ensuite :

 

12. z² = (x²-y²,2xy) = [4x⁺x^-,2(x⁺²-x^-²)] = 2(2x⁺x^-,x⁺²-x^-²)

 

la symétrie est criante, entre les variables (x,y) et les (x⁺,x^-) : c’est comme si, cette fois, partie réelle et partie imaginaire étaient permutées (au facteur multiplicatif 2 près).

 

13. zz’ = 2(x⁺x’^- + x^-x’⁺ , x⁺x’⁺ - x^-x’^-)

 

De nouveau, cette impression que parties réelle et imaginaire ont été permutées.

 

14. az = ax⁺(1,1) + ax^-(1,-1) = x⁺(a,a) + x^-(a,-a)  ,  a réel ;
15. az* = ax⁺(1,-1) + ax^-(1,1) = x⁺(a,-a) + x^-(a,a)
16. zz* = 2(x⁺² + x^-²) = 2(x⁺² + x^-² , 0)
17. 1/z = [(x⁺+x^-)/2(x⁺² + x^-²) , -(x⁺-x^-)/2(x⁺² + x^-²)] = [x⁺(1,-1) + x^-(1,1)]/2(x⁺² + x^-²)

 

On voit bien qu’à la structure dédoublée déjà existante (x⁺,x^-), il faut adjoindre une seconde structure double qui rende compte de l’appariement. Le complexe unité (1,1) vérifie :

 

18. (1,1)* = (1,-1) , (1,1) + (1,-1) = (1,1)(1,-1) = (2,0) , (1,1) – (1,-1) = (1,1)² = (0,2)

 

On sent bien qu’il y a une histoire de matrice 2x2 derrière. En effet, on peut toujours écrire le nombre z comme le produit de (x⁺,x^-) par la matrice T_ab⁺ de composantes :

 

19. T₊₊⁺ = T_+-⁺ = T_-+⁺ = -T_--⁺ = +1  ,  det(T_ab⁺) = -2  ,  Tr(T_ab⁺) = 0

 

tandis que son conjugué z* est le produit de (x⁺,x^-) par la matrice T_ab^- de composantes :

 

20. T₊₊^- = T_+-^- = T_--^- = T’_-+^- = +1  ,  det(T_ab^-) = +2  ,  Tr(T_ab^-) = +2

 

La somme des deux matrices donne la matrice de composantes (2,2,0,0). Leur produit n’est pas commutatif :

 

21. (T⁺T^-)_ab = 2h_ab = (0,2,2,0)  ,  (T^-T⁺) = (2,0,0,-2)

 

Par contre, on a les dualités suivantes :

 

22. T_ab+ = T_ab^-  ,  T_ab- = T_ab⁺  ,  T_a^b+ = T_ab^-  ,  T^ab+ = T^a_b^-  ,  T^a_b⁺ = T^ab-

 

C’est apparemment le fait de monter / descendre l’indice b qui s’accompagne d’un passage de la matrice T⁺ à la matrice T^-, la position de l’indice a (1^er indice) importe peu. En écriture synthétique, on a :

 

23. X_a^c = T_ab^cx^b

 

Tous les X_a^c sont à présent des réels. Les X_a⁺ sont les deux composantes de z et les X_a^-, les deux composantes de z*.

 

ON A SUBSTITUé AU NOMBRE COMPLEXE z = x+iy ET A SON CONJUGUé z* = x-iy UNE MATRICE 2x2 X_a^c DE REELS.

IL N’Y A PLUS DE COMPLEXES.

 

Les propriétés de X_a^c sont :

 

24. Tr(X_a^c) = 2x^- = x-y  ,  Tr(X_ac) = 2x⁺ = x+y  ,  det(X_a^c) = -2(x⁺²-x^-+²) = -2xy

 

Appliquons tous ces résultats aux ondes. Le complexe (1) a pour partie réelle :

 

25. Re[Phi(x⁺,x^-)] = A(x⁺,x^-)cos[w(x⁺,x^-)]

 

et pour partie imaginaire :

 

26. Im[Phi(x⁺,x^-)] = -A(x⁺,x^-)sin[w(x⁺,x^-)]

 

En vertu de (9), il leur correspond des champs :

 

27. Phi⁺(x⁺,x^-) = ½ A(x⁺,x^-){cos[w(x⁺,x^-)] - sin[w(x⁺,x^-)]} = 2^1/2A(x⁺,x^-)cos[w(x⁺,x^-) + pi/4]
28. Phi^-(x⁺,x^-) = ½ A(x⁺,x^-){cos[w(x⁺,x^-)] + sin[w(x⁺,x^-)]} = 2^1/2A(x⁺,x^-)cos[w(x⁺,x^-) - pi/4]

 

On utilise (23) et on trouve directement :

 

29. Phi_a^c(x⁺,x^-) = T_ab^cPhi^b(x⁺,x^-)

 

On vient de remplacer le champ complexe Phi par la matrice 2x2 de champs réels Phi_a^c. Les comportements oscillants sont donnés par (27-28). On ne peut pas se débarrasser des fonctions trigonométriques et c’est tant mieux d’ailleurs, mais on a remplacé la formule de de Moivre exp(iw) = cos(w)+isin(w) par des réels.

On constate deux choses : la première, que l'amplitude a été multipliée par racine de 2, donc amplifiée; la seconde, qu'il apparaît un décalage de phase en quadrature avant (pour Phi⁺) et arrière (pour Phi^-).

 

Avant d’aborder le sujet du jour, une dernière propriété :

 

1. p^a_b.p_a^b = m²v^a_b.v_a^b = m²c²

 

On retrouve la relation bien connue de la version originale. Nous allons maintenant parler des champs vectoriels en dimension 3, en commençant par le champ magnétique. Nous allons voir que sa donnée suffit à recréer le champ électromagnétique en dimension 4.

Commençons déjà par le mouvement d’un point matériel de masse m et de charge électrique q plongé dans un champ magnétique de matrice potentiels A_a^b(x⁺,x^-). Une telle matrice est requise pour assurer que le lagrangien est un scalaire invariant :

 

2. L[x^a(t^c),v^a_b(t^c),t^c] = ½ mv^a_b(t^c).v_a^b(t^c) + qv^a_b(t^c).A_a^b[x^c(t^d)]

 

Il est plus facile de séparer les composantes spatiales. Nous les désignerons par des lettres latines majuscules, A, B,… = 1,2,3. On a successivement :

 

3. ðL/ðv^Aa_b = mv_Aa^b + qA_Aa^b = p_Aa^b + qA_Aa^b
4. ðL/ðx^Aa = qv^Bc_dðA_Bc^d/ðx^Aa
5. (d/dt_b)ðL/ðv^Aa_b = ðL/ðx^Aa

 

Détaillons le calcul :

 

dp_Aa^b/dt^b = qv^Bc_dðA_Bc^d/ðx^Aa – qdA_Aa^b/dt^b = qv^Bc_dðA_Bc^d/ðx^Aa – qv^Bc_b ðA_Aa^b/ðx^Bc

            = qv^Bc_d(ðA_Bc^d/ðx^Aa – ðA_Aa^d/ðx^Bc) = qv^Bc_dF_AaBc^d

 

car A_a^b ne dépend pas explicitement des t^c. Les composantes du champ magnétique sont données par :

 

6. F_AaBb^c = ðA_Bb^c/ðx^Aa – ðA_Aa^c/ðx^Bb

 

On a immédiatement Bianchi :

 

7. ð_[AaF_BbCc]^d = ð_AaF_BbCc^d + ð_BbF_CcAa^d + ð_CcF_AaBb^d = 0

 

Pour la deuxième série d’équations de champ, on va utiliser la densité de lagrangien du champ magnétique. Si rhô(x⁺,x^-) est la densité de charge électrique de la source, la matrice densité de courant est :

 

8. J_a^b(x⁺,x^-) = rhô(x⁺,x^-)v_a^b(t⁺,t^-)

 

Il est légitime de se demander pourquoi J_a^b ne dépendrait pas également des t^c. La raison est que, comme on l’a vu à la bidouille précédente, dx⁺.dx^- = ¼ c²dt⁺dt^- = ¼ ds². Et nous verrons lors de l’intégration des équations de champ qu’il y a une certaine équivalence entre la dépendance fonctionnelle en les variables de position x^a et la dépendance fonctionnelle en les paramètres de mouvement t^a. On va déjà en avoir une idée avec la loi de conservation des charges. Celle-ci s’écrit seulement :

 

9. ð^a.J_a^b = 0

 

Regardons en effet ce que ça donne. Compte tenu de (8),

 

v^a_b.ð_a = v⁺_b.ð₊ + v^-_b.ð_- = 2v⁺_b.(n/c ð/ðt + ð/ðx) + 2v^-_b.(n/c ð/ðt – ð/ðx) =

= 2(v⁺_b + v^-_b).n/c ð/ðt + 2(v⁺_b - v^-_b).ð/ðx =

= [n.(cn + v + cn – v)/c(1+bv/c)]ð/ðt + [(cn + v – cn + v)/(1+bv/c)].ð/ðx =

= 2(ð/ðt + v.ð/ðx)/(1+bv/c)

 

Soit :

 

10. v^a_b.ð_a = [2/(1+bv/c)]d/dt

 

En conséquence, (8) et (9) conduisent à drhô(x,t)/dt = 0 en variables x et paramètre t, comme il se doit. C’est devenu une question de représentation, comme je le souligne depuis le début de ce travail. rhô(x⁺,x^-) continue de s’exprimer en C/m³, puisque nous avons vu qu’il n’y a pas de dédoublement de l’espace, mais l’apparition d’une orientation, due à la finitude de la vitesse de propagation des interactions dans le vide. Si cette vitesse était infinie, comme le soutenait la relativité de Galilée, on n’obtiendrait rien d’intéressant, que des infinis. Peut-être dans de rares formules comme (10), où l’on retrouverait v^a_b.ð_a = 2d/dt. Mais on se demanderait bien d’où pourrait provenir cette structure « double » de l’espace et du temps et l’apparition de ce facteur 2…

Les densités de courants J_a^b continuent donc de s’exprimer en A/m² et l’on s’attend évidemment à ce que les potentiels A_a^b et les intensités F_ab^c continuent de s’exprimer en Tm et en T, respectivement. La densité de lagrangien du champ est :

 

11. L_M[A_a^b(x^d),F_ab^c(x^d),x^d] = F_ab^c(x^d).F^ab_c(x^d)/2mu₀ + 2J_a^b(x^d).A^a_b(x^d)

 

Elle continue de s’exprimer en J/m³. Idem : il est plus facile de séparer les composantes spatiales. Les équations de Lagrange s’écrivent alors :

 

12. ð^AaðL_M/ðF^AaBb_c = ðL_M/ðA^Bb_c

 

ce qui donne :

 

13. ð^AaF_AaBb^c = 2mu₀J_Bb^c

 

F_ab^c est invariante sous :

 

14. A_Aa^b -> A_Aa^b + ð_Aaf^b

 

ce qui nous permet de nous placer dans la jauge de Coulomb :

 

15. ð^AaA_Aa^b = 0  soit  ð^a.A_a^b = 0

 

On voit bien la correspondance avec la loi de conservation des sources (9). Dans le cas où la matrice vitesse est constante (ce qui équivaut à v = cte), on peut écrire A_a^b = Phi.v_a^b/c² et la jauge de Coulomb ci-dessus exprime alors la conservation du potentiel scalaire Phi en variables x et paramètre t. Ce potentiel scalaire est évidemment à l’origine du champ électrique. Toutefois, dans le cas général de charges se déplaçant à des vitesses variables, on n’a plus de relation simple entre A_a^b et ce scalaire Phi. Mais on peut toujours écrire, dans la jauge (15) :

 

16. ð^Aað_AaA_Bb^c = 2mu₀J_Bb^c

 

ça, ce sont les équations générales dérivées de (11), mais aussi :

 

17. ð^Aað_AaPhi = 2rhô/(epsilon zéro)

 

Intégrons (16). On remarque déjà que ð^Aað_Aa = 2ð^A₊ð_A- de sorte que l’on a :

 

18. ð^A₊ð_A-A_Bb^c = mu₀J_Bb^c  soit  (ð₊.ð_-)A_b^c = mu₀J_b^c

 

La solution générale s’avère avoir la forme suivante (tout le monde est bien assis ?) :

 

19. A_b^c(x⁺,x^-) = mu₀ I₀^x+I₀^x- J_a^b(x’⁺,x’^-)(dx’⁺.dx’^-) + libre

 

où libre est la solution dans le vide. Si quelqu’un trouve cette forme normale, tant mieux pour lui. Moi, j’ai fait gloup. Pas de noyau ??? ça ressemble à s’y méprendre à la solution des équations du mouvement en présence d’une force ne dépendant que des t^c. Soit, mais ici, on n’a plus un seul paramètre, mais trois… On s’attendrait à ce qu’il y ait un noyau. Bin, non, y en a pas. Et c’est l’analyse dimensionnelle qui le prouve : J_a^b étant en A/m², il faut intégrer sur des m². La seule combinaison envisageable est donc dx’⁺.dx’^-.

Bon. Et alors ?

Et alors, si on prend une source ponctuelle, rhô(x⁺,x^-) = q.delta(x⁺,x^-), delta doit être en m^-3. Si j’insère ça dans (19), je constate la chose suivante : que

 

I₀^x+I₀^x- delta(x’⁺,x’^-)(dx’⁺.dx’^-)  doit être en m^-1.

 

Et je tombe sur la propriété suivante :

 

20. I₀^x+I₀^x- delta(x’⁺,x’^-)(dx’⁺.dx’^-) = 1/4pi|x⁺ - x^-|     !!!

 

Je vérifie, naturellement. Et je vois facilement qu’en effet :

 

21. ð₊²[1/|x⁺ - x^-|] = ð_-²[1/|x⁺ - x^-|] = ð₊.ð_-[1/|x⁺ - x^-|] = 0
22. ð²[1/|x|] = (ð₊ - ð_-)²[1/|x⁺ - x^-|] = 0

 

Autrement dit :

 

LA PROPRIETE (20) DE LA FONCTION DELTA ME REPRODUIT AUTOMATIQUEMENT LE NOYAU EN 1/|x⁺ - x^-| DU COMPORTEMENT SPATIAL DES CHAMPS NEWTONIENS EN DIMENSION 3 !!!

 

Ce noyau dont je me demandais où il avait bien pu passer est en fait contenu dans la solution (19), mais il n’y apparaît pas explicitement. Il n’en reste pas moins que le comportement spatial de mes A_b^c est bien inversement proportionnel à une distance. De plus, le fait que ma delta (mon propagateur, en langage de TQRC) ne dépende que de la différence |x⁺ - x^-| révèle en même temps l’homogénéité de l’espace.

Pas de panique, donc : tout va bien.

Le champ libre, lui, peut s’écrire sous la forme :

 

23. A_Aa^c(x⁺,x^-) = I₀^x+ F_AaB+^c(x’⁺,0^-)dx^B+ + I₀^x- F_AaB-^c(0⁺,x’^-)dx^B- + A_Aa^c(0⁺,0^-)

 

Voici pour l’essentiel des champs magnétiques en dimension 3. Dans la bidouille suivante, je traiterai le cas de la gravité, deuxième (et dernière) interaction classique fondamentale connue à ce jour.

Pour la gravité, deuxième et dernière interaction fondamentale classique connue jusqu’ici, il suffit d’effectuer les remplacements suivants :

 

• la densité de charge rhô par la densité de masse mu ;
• la matrice densités de courant J_a^b par la matrice densités d’impulsions P_a^b ;
• les potentiels magnétiques A_a^b par les potentiels gravitationnels G_a^b ;
• les intensités de champ magnétique F_AaBb^c par les intensités de champ gravitationnel W_AaBb^c ;
• la constante de couplage mu₀ par -4pi.k/c², k = cte gravitationnelle de Newton.

 

Hormis la loi de conservation de la masse qui remplace celle de la charge, dans l’ensemble, je suis plutôt déçu, à moins que j’ai raté quelque chose au passage. Je ne vois rien d’autre de vraiment digne d’intérêt à ajouter. Rien de nouveau, je veux dire. Pour une matrice vitesses constante, on retrouve le potentiel scalaire de Newton par G_a^b = Psy.v_a^b/c². Les G_a^b s’expriment en m/s, mais ça n’en fait pas un champ de vitesses pour autant, car ils sont de nature potentielle et non cinétique : ne pas se laisser piéger, donc, par le jeu des unités physiques.Les W_AaBb^c s’expriment en s^-1 = Hz et, eux non plus, ne peuvent être assimilés à des véritables fréquences.

Sur la loi de conservation de la masse, rejetée dans la version originale au profit de celle sur l’énergie, ça semble évident : d’une part, la masse est une charge gravitationnelle et, en tant que telle, on ne voit pas bien pourquoi elle serait la seule charge à ne pas être conservée ; d’autre part, si l’on accepte la loi de conversion E = mc² de la masse en énergie et réciproquement, il devient carrément ABERRANT d’affirmer que seule l’énergie se conserverait et pas la masse… ça relève de la « logique contradictoire », ça…

Ce que nous pouvons énoncer sans risque, en revanche, est la chose suivante :

 

DANS TOUT SYSTEME MECANIQUEMENT STABLE, LA MASSE EST CONSERVEE : LA QUANTITE DE MASSE QUI SORT D’UN VOLUME 3D DONNé EST REMPLACEE PAR UNE QUANTITE EGALE DE MASSE ENTRANT DANS CE VOLUME, COMME POUR N’IMPORTE QUEL AUTRE TYPE DE CHARGE.

DANS LES SYSTEMES MECANIQUEMENT INSTABLES, EN REVANCHE, LA MASSE N’EST PLUS CONSERVEE. ELLE N’A MEME PLUS DE RAISON DE L’ETRE (SINON, LE SYSTEME EN QUESTION SERAIT STABLE) : UNE QUANTITE DE MATIERE SORTANT DU VOLUME N’EST PLUS COMPENSEE PAR UNE QUANTITE EGALE ENTRANTE MAIS, AU CONTRAIRE, SE CONVERTIT SPONTANEMENT EN ENERGIE.

 

Les deux visions réconciliées. Le proton et l’électron, par exemple, forment des systèmes mécaniquement stables (sur des durées de l’ordre de l’âge de l’Univers et plus) : leur masse se conserve. Le neutron libre, en revanche, forme un système mécaniquement instable, d’où sa désintégration spontanée et le Mev/c² d’excédent de masse par rapport au proton est alors spontanément converti en énergie. Cet excédent de masse, c’est, en équivalent énergie, ce que l’on désigne plutôt par « énergie de liaison » (sous-entendu, d’un système instable). Lors de la désintégration, on parle de « libération de l’énergie de liaison (interne) ». Selon E = mc², il correspond à cet énergie excédentaire un équivalent masse et réciproquement. La somme des masses de tous les produits de fission + la « masse-énergie » libérée = la masse du constituant de départ. Le processus est ici réversible, puisqu’on se restreint à la mécanique.

Maintenant, pourquoi certaines particules sont-elles stables et d’autres instables ?

Bin, mon pote… si je le savais… nul doute que je le dirais…

Ramener le débat des hadrons aux quarks ne fait que le transférer entier à l’échelle inférieure : au lieu de demander « pourquoi le proton est-il stable et le neutron, instables ? », on demande « pourquoi l’assemblage uud est-il stable et udd instable ? »…

J’en sais que dalle…

Et je serais tenté de répondre, dans ces cas-là : « parce que uud, c’est un assemblage qui tient la route, alors que udd, c’est un assemblage à la con… » lol

« mais pourquoi c’est à la con ? »

« parce que cette question est du même type… » lol

Quand tu ne sais pas répondre, hein…

« TU COMPRENDRAS QUAND TU SERAS GRAND ! » VOILA !

 

NB 1: on ne fait pas trop d'abus de langage en écrivant F (ou W) sous la forme d'un vecteur, puisque nous sommes en dimension 3 et qu'alors, tout tenseur antisymétrique d'ordre 2 possède 3 composantes indépendantes, comme un vecteur.

 

NB 2: dans les solutions en potentiels, j'ai pris pour référence le point (0,0). Tout autre point de référence (x₀⁺,x₀^-) est évidemment possible.

 

 

Je vais passer à présent à quelque chose d’un peu plus intéressant.

 

Je conserve donc la métrique symétrique h_ab et  mes paramètres temporels t^a définis par :

 

1. dt⁺ = dt + dx(t)/c = [1+v(t)/c]dt  ,  dt^- = dt – dx(t)/c = [1 – v(t)/c]dt

 

et je définis mes coordonnées spatiales x⁺ et x^- de la manière suivante :

 

2. dx⁺ = ½ (dx + cndt) = ½ cdt(v/c + n)  ,  dx^- = ½ (cndt - dx) = ½ cdt(n – v/c)   ,  n² = 1

 

J’ai alors :

 

3. c²dt⁺dt^- = 4dx⁺.dx^- = c²dt² - dx²(t) = ds²(t)

 

ce qui me permet de recréer la métrique pseudo-euclidienne 4D. Le groupe qui laisse la forme ½ h_abdt^adt^b invariante est SO(1,1) comme le montre (1) ; celui qui laisse ½ h_abdx^a.dx^b invariante est SO(3,3). Les coordonnées y(t) telles que dy(t) = cndt sont artificielles. Il n’y a pas de dédoublement de l’espace E³. Ce qui se passe en réalité est visible sur (2) : d’une part, dy²(t) = c²dt² définit la sphère de Kirchhoff 3D que nous noterons K³ ; c’est une partie de E³ (de mesure nulle) ; d’autre part, ce que traduisent les formules (2), c’est ce que voit un observateur depuis un référentiel fixe par rapport au corps en mouvement. Considérons en effet un corps se déplaçant dans E³ à la vitesse v(t) et un signal se déplaçant à c dans la direction n par rapport à ce corps. La vitesse de déplacement vue par l’observateur fixe sera dx⁺/dt. dx^-/dt s’obtient en inversant le sens de n. Ce n’est donc, en fin de compte, qu’une question d’orientation dans l’espace E³. Quant aux paramètres temporels t⁺ et t^-, on aura évidemment reconnu les instants avancés et retardés, respectivement.

 

IL N’Y A PAS DE DEDOUBLEMENT, NI DE L’ESPACE, NI MEME DU TEMPS. IL Y A L’ESPACE EUCLIDIEN E³ ET UNE VITESSE DE DEPLACEMENT DES SIGNAUX QUI N’EST PLUS INFINIE, COMME CHEZ GALILEE, MAIS FINIE ET CONSTANTE DANS LE VIDE. SA FINITUDE REVELE UNE SOUS-STRUCTURE D’ORIENTATION AU SEIN MEME DE E³, SANS ADJONCTION DE DIMENSIONS SUPPLEMENTAIRES, AINSI QUE SUR LA FLECHE MECANIQUE DU TEMPS. APPARAIT ALORS, TOUJOURS DANS E³, UNE SPHERE 3D, DITE DE KIRCHHOFF, LIEU DES VITESSES DE DEPLACEMENT DES SIGNAUX. CETTE PARTIE K³ EST LE SIEGE DES ONDES, SIGNAUX ET INTERACTIONS, C’EST LA PARTIE BOSONIQUE DE E³. L’AUTRE PARTIE, E³ – K³ EST LE SIEGE DE LA MATIERE, C’EST LA PARTIE FERMIONIQUE DE E³. LA MATIERE EST EXCLUE DE K³.

 

CES DONNEES SUFFISENT A RECREER LA STRUCTURE DE L’ESPACE-TEMPS PSEUDO-EUCLIDIEN 4D ET TOUTE SA DYNAMIQUE.

 

Soit en effet v^a_b = dx^a/dt^b la matrice des vitesses pour un mouvement x^a(t⁺,t^-). D’après (1) et (2), on a :

 

4. v⁺₊ = (cn + v)/2(1+v/c) , v⁺_- = (cn + v)/2(1-v/c) , v^-₊ = (cn – v)/2(1+v/c) , v^-_- = (cn-v)/2(1-v/c)

 

Ses duales par h_ab et h^ab = h_ab sont les matrices v_ab, v_a^b et v^ab de composantes :

 

(5)     v₊₊ = v^-₊  ,  v_+- = v^-_-  ,  v_-+ = v⁺₊  ,  v_-- = v⁺_-

(6)     v₊⁺ = v^-_-  ,  v₊^- = v^-₊  ,  v_-⁺ = v⁺_-  ,  v_-^- = v⁺₊

(7)     v⁺⁺ = v⁺_-  ,  v^+- = v⁺₊  ,  v^-+ = v^-_-  ,  v^-- = v^-₊

 

Ceci donne :

 

8. ½ v^a_b.v_a^b = ½ v_ab.v^ab = ½ vⁱv_i = ½ c²

 

On a donc reproduit la partie cinétique 4D du lagrangien :

 

9. L_cin = ½ mvⁱv_i = ½ mv^a_b.v_a^b = ½ mc²

 

La matrice des impulsions est donc :

 

10. p^a_b = ðL_cin/ðv_a^b = mv^a_b

 

et les équations de mouvement :

 

11. (d/dt_b) ðL_cin/ðv_a^b = ðL_cin/ðx_a

 

On obtient ces dernières à partir de la variation d’une action S^b = I Ldt^b à deux composantes, sinon, on a un décalage des unités physiques. Lagrangiens et hamiltoniens doivent continuer à s’exprimer en Joules. Contrairement aux variables spatiales, l’adjonction de paramètres temporels ne conduit pas à des densités. Sinon, on se retrouverait en J/s = W et tout serait décalé. Au contraire, si l’on calcule le d’S^b, on trouve :

 

d’L = (ðL/ðx^a)d’x^a + (ðL/ðv^a_b)d’v^a_b = (ðL/ðx^a)d’x^a + (ðL/ðv^a_b)d(d’x^a)/dt^b =

= (d/dt^b)[(ðL/ðv^a_b)d’x^a] + [ðL/ðx^a – (d/dt^b)(ðL/ðv^a_b)]d’x^a

 

D’où :

 

d’S^b = I d’Ldt^b = [(ðL/ðv^a_b)d’x^a] + I [ðL/ðx^a – (d/dt^b)(ðL/ðv^a_b)]d’x^adt^b

 

et le premier terme entre crochet s’annule, puisque les variations des x^a s’annulent aux bornes, par hypothèse de départ. L’équation d’S^b = 0 conduit bien à (11).

Regardons un peu ces équations de mouvement. On a :

 

12. dp^a_b/dt_b = mdv^a_b/dt_b = m(dv^a₊/dt^- + dv^a_-/dt⁺) = F^a

 

pour une masse constante m. Le calcul des accélérations donne :

 

13. dv⁺₊/dt^- + dv⁺_-/dt⁺ = (1-v²/c²)^-1dv/dt + (1-v²/c²)^-2(cn+v)(v/c²)dv/dt
14. dv^-₊/dt^- + dv^-_-/dt⁺ = -[(1-v²/c²)^-1dv/dt - (1-v²/c²)^-2(cn-v)(v/c²)dv/dt

 

Comparons avec la 4-accélération. Soit Vⁱ = cuⁱ la 4-vitesse. On détaille le calcul :

 

Vⁱ = (1-v²/c²)^-1/2dxⁱ/dt = (1-v²/c²)^-1/2(c,v)

Aⁱ = cdVⁱ/ds = (1-v²/c²)^-1/2(d/dt)[(1-v²/c²)^-1/2(c,v)]

    = (1-v²/c²)^-1(d/dt)(c,v) + (1-v²/c²)^-2(v/c²)(dv/dt)(c,v)

    = (1-v²/c²)^-1(0,dv/dt) + (1-v²/c²)^-2(v/c²)(dv/dt)(c,v)

 

Et on s’aperçoit de ceci :

 

15. (d/dt_b)(v⁺_b + v^-_b) = 2n(1-v²/c²)^-2(v/c)dv/dt = 2cndV⁰/ds
16. (d/dt_b)(v⁺_b - v^-_b) = 2[(1-v²/c²)^-1dv/dt + (1-v²/c²)^-2(vv/c²)dv/dt = 2cdV/ds

 

Or, d’après les équations du mouvement 4D, Aⁱ = Fⁱ/m, où Fⁱ est la 4-force. On en déduit :

 

17. F⁺ + F^- = 2nF⁰  ,  F⁺ - F^- = 2F

 

Or, l’inversion des formules (2) donne :

 

18. cndt = dx⁺ + dx^-  ,  dx = dx⁺ - dx^-

 

On constate donc une belle symétrie entre les composantes de vecteurs 3D et les composantes de 4-vecteurs espace-temps, force et accélération.

La matrice hamiltonienne s’obtient à partir de :

 

dL/dt^c = ðL/ðt^c + v^a_cðL/ðx^a + (dv^a_b/dt^c)ðL/ðv^a_b

            = ðL/ðt^c + v^a_cðL/ðx^a + (dv^a_c/dt^b)ðL/ðv^a_b

            = ðL/ðt^c + v^a_cðL/ðx^a + (d/dt^b)(v^a_c.ðL/ðv^a_b) – v^a_c.(d/dt^b)(ðL/ðv^a_b)

 

soit :

 

19. (d/dt^b)(v^a_c.ðL/ðv^a_b – d_c^bL) = dH_c^b/dt^b = -ðL/ðt^c

 

en vertu des équations de mouvement (11). La matrice hamiltonienne est donc :

 

20. H_a^b = v^c_a.ðL/ðv^c_b – d_a^bL = p^c_a.p_c^b/m – d_a^b(p^c_d.p_c^d/2m + L_pot)

 

après avoir séparé la partie quadratique du Lagrangien de sa partie potentielle. Du coup, la trace de H_a^b vaut directement :

 

21. H_a^a = -2L_pot

 

Cette matrice hamilonienne est évidemment symétrique :

 

22. H_ab = v^c_a.ðL/ðv^cb – h_abL = p^c_a.p_cb/m – h_ab(p^c_d.p_c^d/2m + L_pot)

 

Ses composantes diagonales sont purement cinétiques :

 

23. H₊₊ = p^c₊.p_c+/m = 2p⁺₊.p^-₊/m
24. H_-- = p^c_-.p_c-/m = 2p^-_-.p⁺_-/m

 

tandis que sa composante anti-diagonale est potentielle :

 

25. H_+- = H_-+ = - L_pot

 

Dernier constat de cette liste un peu énumérative : si l’action devient une quantité à deux composantes, l’inertie devient une matrice (symétrique) :

 

26. I^ab = I S^bdt^a = I S^adt^b = II L dt^adt^b = I^ba

 

Le mouvement libre s’obtient très simplement à partir de dp^a_b/dt_b = 2md²x^a/dt⁺dt^- = 0 :

 

27. x^a(t⁺,t^-) = I₀^t+ v^a₊(t’⁺,0)dt’⁺ + I₀^t- v^a_-(0,t’^-)dt’^- + x^a(0,0)

 

On en tire :

 

28. v^a₊(t⁺,t^-) = v^a₊(t⁺,0)  ,  v^a_-(t⁺,t^-) = v^a_-(0,t^-) 

 

Etant donné que le déterminant de la matrice vitesses est nul :

 

29. det(v^a_b) = 0

 

les composantes de vitesses ne sont pas toutes indépendantes. Il est facile de voir que les rapports v^-_-/v⁺_- et v^-₊/v⁺₊ (en vitesses pures) sont égaux. Or, le premier ne dépend que de t^- et le second, que de t⁺. Par conséquent, ces deux rapports sont constants :

 

30. v^-_-/v⁺_- = v^-₊/v⁺₊ = cte = K

 

et on en déduit :

 

31. v = cn(1-K)/(1+K)

 

 

de sorte que v est constante, avec un bémol: ssi n est constant. Pour K = 1, on trouve v = 0 et pour K = -1, v = oo.

Le cas d’un mouvement perturbé par une force extérieure F^a(t⁺,t^-) n’est pas plus compliqué à résoudre, sa solution complète est :

 

32. x^a(t⁺,t^-) = (1/2m)I₀^t+I₀^t- F^a(t’⁺,t’^-)dt’⁺dt’^- + x^a_libre(t⁺,t^-)

 

Il se définit évidemment à un mouvement libre près.

 

Dans cet article, nous allons démontrer la chose suivante :

 

LE PROBLEME DIT DE LA SIGNATURE DE L’ESPACE-TEMPS EST UN FAUX PROBLEME, QUI DISSIMULE EN REALITE LA NATURE FONDAMENTALEMENT DOUBLE, AUSSI BIEN DE L’ESPACE QUE DU TEMPS ET DONC, DE L’ESPACE-TEMPS.

 

Et nous allons résoudre complètement le problème, avant de l’appliquer à notre propos.

Avant cela, un peu d’algèbre élémentaire.

Soient x₁ et x₂ des réels et x un nombre tel que :

 

1. x² = x₁x₂

 

Le couple (x₁,x₂) est dans R². Si x₁x₂ >= 0, alors x₁x₂ = |x₁x₂| et le nombre x est réel. Dans ce cas, (1) fournit deux possibilités :

 

2. x = +|x₁x₂|^1/2  et  x = -|x₁x₂|^1/2

 

Si x₁x₂ =< 0, alors x₁x₂ = -|x₁x₂| et le nombre x est imaginaire pur. Là encore, deux possibilités :

 

3. x = +i|x₁x₂|^1/2  et  x = -i|x₁x₂|^1/2

 

Ce nombre x en question n’est autre que la moyenne géométrique des réels x₁ et x₂. Selon le signe du produit x₁x₂, x sera dans R ou dans C, algébriquement isomorphe à R². Rappelons que c’est Cardan qui introduisit les nombres complexes pour résoudre l’équation du 3^ème degré x³ + 3px + 2q = 0. Ceci ouvre sur deux choix possibles : soit raisonner avec des nombres complexes z = x+iy et identifier les réels à des complexes de partie imaginaire nulle, soit continuer à ne raisonner qu’avec des réels et considérer alors des couples (x,y). Le passage de R² à C s’accompagne quand même d’une loi produit [z = x+iy , z’ = x’+iy’ => zz’ = xx’ – yy’ + i(xy’+x’y)], alors que le produit scalaire dans R² donnerait (x,y) x (x’,y’) = (xx’ + yy’) et le produit vectoriel, xy’-yx’. Aucun des deux ne coïncide avec le produit complexe.

Inversons maintenant la situation et soit x un nombre réel. Alors, x² est toujours >= 0. En conséquence, si nous écrivons de nouveau x² = x₁x₂ avec x₁ et x₂ réels, nous aurons x₁x₂ >= 0.

 

DEFINITION 1 :

LES REELS x, MOYENNES GEOMETRIQUES DES REELS x₁ ET x₂ TELS QUE x₁x₂ >= 0 SERONT DITS « DU GENRE TEMPS ».

 

Soit toujours x, x₁ et x₂ des réels et posons cette fois x² = -x₁x₂. Alors, x₁x₂ =< 0.

 

DEFINITION 2 :

LES REELS x, MOYENNES GEOMETRIQUES DES REELS x₁ ET x₂ TELS QUE -x₁x₂ >= 0 SERONT DITS « DU GENRE ESPACE ».

 

Ainsi, pour chaque réel x, je peux toujours remplacer x² par un produit x₁x₂ de réels. Si x₁x₂ >= 0, j’aurai x² = x₁x₂ et si x₁x₂ =< 0, j’aurai x² = -x₁x₂. Ceci me fournit deux hyperboles :

 

4. x₂ = x²/x₁  ,  x₂ = -x²/x₁

 

C'est-à-dire qu’en place d’un seul réel x, j’élargis à une double infinité de réels x₁ et x₂ tels que : x₁x₂ = x² si x₁x₂ >= 0 (1^ère infinité, solution 4a) ou bien x₁x₂ = -x² si x₁x₂ =< 0 (2^ème infinité, solution 4b).

 

MOYENNANT LE REMPLACEMENT DES CARRES DE REELS PAR DES PRODUITS DE DEUX REELS, JE N’AI PLUS BESOIN DES NOMBRES COMPLEXES.

 

Pour un x réel donné, je raisonne dans R² et j’ai une double infinité de valeurs possibles, en place d’un seul complexe z, avec une loi de multiplication spécifique.

Je n’ai plus non plus à me poser la lancinante question du signe dans les formes quadratiques. Considérons, en effet, la forme Q(x,y) = x² + y². Cette forme est définie positive, elle est dite euclidienne. Son tenseur métrique associé est d_ij tel que d_ii = 1 et d_ij = 0 pour i <> j, (i,j = 1,2). Je peux réécrire cette forme comme une somme de produits :

 

5. Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂

 

Dans ce cas, j’aurai x₁x₂ = x² >= 0 et y₁y₂ = y² >= 0, soit x et y tous deux du genre temps. Mais toute somme de réels pouvant encore s’écrire comme un produit de réels, même si le résultat est un premier (p premier => p = 1xp = px1), j’ai aussi :

 

6. Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂ = qq’

 

Et comme x₁x₂ et y₁y₂ sont tous deux >= 0, j’ai qq’ >= 0, soit Q elle-même du genre temps.

Considérons maintenant la forme Q(x,y) = x² - y². Cette forme n’est plus de signe définie, elle est dite pseudo-euclidienne. Son tenseur métrique associé est g_ij tel que g₁₁ = -g₂₂ = 1, g₁₂ = g₂₁ = 0. Je l’écris comme somme de produits (et surtout pas différence, sinon je tournerais en rond !)

 

7. Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂

 

J’aurai cette fois x₁x₂ = x² >= 0 et y₁y₂ = -y² =< 0, soit x du genre temps et y du genre espace. De nouveau, j’écris Q comme produit :

 

8. Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = qq’

 

Mais ce produit peut être, soit positif, soit négatif, soit nul.

Inversons les choses et considérons la forme bilinéaire sur R⁴ :

 

9. Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂

 

Attention : ce n’est plus (7) ! Dans (7), nous nous sommes fixés x et y ; dans (9), nous nous fixons x₁, x₂, y₁ et y₂. Nous avons 4 possibilités (avec un léger abus d’écriture) :

 

10. x₁x₂ = x² >= 0 , y₁y₂ = y² >= 0 : Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = Q(x,y) = x² + y²
11. x₁x₂ = x² >= 0 , y₁y₂ = -y² =< 0 : Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = Q(x,y) = x² - y²
12. x₁x₂ = -x² =< 0 , y₁y₂ = y² >= 0 : Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = Q(x,y) = -x² + y² = -(x² - y²)
13. x₁x₂ = x² =< 0 , y₁y₂ = y² =< 0 : Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = Q(x,y) = -(x² + y²)

 

Avec une seule forme, (9), j’obtiens à présent 4 formes quadratiques, 2 euclidiennes et 2 pseudo-euclidiennes.

Quelle est ma métrique ?

 

POUR Q(x,y) = x² + y², LA METRIQUE EST EUCLIDIENNE [SIGNATURE (2,0)] ;

POUR Q(x,y) = x² - y², LA METRIQUE EST PSEUDO-EUCLIDIENNE [SIGNATURE (1,1)] ;

POUR Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂, LA METRIQUE EST TOUJOURS EUCLIDIENNE. C’EST LE SIGNE DES PRODUITS ET NON PLUS DES COEFFICIENTS METRIQUES, QUI CHANGE.

 

Ça revient au même ? Pas du tout, même si les résultats sont les mêmes. Dans Q(x,y) = x² - y², on se situe dans R², muni d’une géométrie pseudo-euclidienne. Dans Q(x₁,x₂,y₁,y₂) = x₁x₂ + y₁y₂, on se situe dans R⁴ et on est ramené à une géométrie euclidienne, de tenseur métrique d_ijh_ab (i,j = 1,2 ; a,b = 1,2 ou +,- comme précédemment). On n’a plus à se préoccuper du signe des coefficients métriques, ils sont tous positifs. Je n’ai même plus à me préoccuper du signe de mes produits, je n’ai qu’à constater : si x₁x₂ >= 0 pour un couple (x₁,x₂) donné, alors il existe un réel x tel que x₁x₂ = x² ; si x₁x₂ =< 0, alors il existe un réel x tel que x₁x₂ = -x² ; et de même pour y₁y₂. Suivant sur quelles hyperboles x₁x₂ et y₁y₂ je me trouve, j’aurai une forme quadratique de signature (2,0) ou (1,1). Si je passe d’une hyperbole à l’autre, je change de signature.

Le problème de la signature de l’espace-temps est donc bel et bien un faux problème et ce qu’il masquait était en réalité la nature fondamentalement double de l’espace comme du temps. Algébriquement, ça s’interprète comme le fait que R peut toujours être considéré comme la moyenne quadratique de R² vis-à-vis du produit euclidien.

 

LES IMAGINAIRES N’APPARAISSENT QUE COMME CONSEQUENCE LOGIQUE DE LA CONTRACTION DE R² EN SA MOYENNE QUADRATIQUE.

 

C’est parce qu’au lieu de considérer des couples de réels (x₁,x₂), on ne considère qu’un seul nombre x. Alors, évidemment, x peut être réel ssi son carré est >= 0, mais si son carré est =< 0, on se voit dans l’obligation d’étendre le calcul algébrique et donc la structure d’algèbre et même de corps… ou la résolution de la cubique par radicaux est impossible, ce qui est absurde et a été confirmé par le théorème de Galois…

 

Je ne dis pas qu’il faut tirer un trait sur le calcul complexe, je dis simplement qu’il n’est plus nécessaire en physique et masque même les véritables structures réelles.

A quoi bon, pour ne citer que cet exemple, continuer à utiliser des solutions oscillantes en e^iw, par simple commodité de calcul, si c’est pour n’en retenir, de toute façon, que la partie réelle ?...

Quelle est l’unité imaginaire ? C’est i telle que :

 

14. i² = -1 = i₁i₂  ,  (i₁, i₂ réels)…

 

C’est un nombre auquel correspond en réalité une infinité de réels i₁ et i₂ tels que i₁i₂ = -1…

 

La généralisation à toute puissance entière n est immédiate. Soient (x₁,…,x_n) dans Rⁿ. Le nombre x tel que :

 

(15)     xⁿ = x₁…x_n

 

est soit réel, soit complexe. C’est, plus généralement, le résultat de la contraction de Rⁿ en R : on passe d’un n-uplet de réels à un nombre unique. Si on se donne x, on a alors x_n = xⁿ/(x₁…x_n-1). Pour n = 4, j’ai la relation x⁴ = (x₁x₂)(x₃x₄) <=> (x₃x₄) = y² = x⁴/(x₁x₂) = x⁴/z² = (x²/z)² <=> y = +/- x²/z, hyperboles soit réelles, soit complexes.

Sauf preuve contraire, pour nos applications, nous n’aurons besoin que du cas n = 2.

 

This work, in bidouille 27, shows that, when synthetically treated in dimension 4, the problem of the motion inside a Newtonian field is very different from its approach in dimension 3.

On this purpose, I would like to make a general comment about Jacobi’s construction. If you look twice on it, it is purely kinematical. Hamilton’s principal function, also named Jacobi’s function, derives from Jacobi’s principle, based itself on the action. If S = I_t1^t2 ½ m[dx(t)/dt]²dt is the Galilean action calculated from t₁ to t₂ > t₁ on a given trajectory x(t) in Euclidian 3-space E(t), then there is a one-to-one correspondence between S and Jacobi’s function. That is the base of Hamilton-Jacobi’s theory. Now, what is to be integrated is the KINEMATICAL part of the Lagrangian ONLY. It is clear in the above formula. So, if we extend it to more complicated situations involving gyroscopic terms and eventually a potential energy, such as in the relativistic lagrangian L = -mc²[1- v²(t)/c²]^1/2 + qv(t)A[x(t),t] – Phi[x(t),t] of the original version, then we normally would have to get back from the generalized 3-momentum P[x(t),t] = p(t) + qA[x(t),t], which is a FIELD and mixes kinetics and potential to the purely kinetic 3-momentum p(t) = P[x(t),t] - qA[x(t),t] to compute the action. This is actually what is done, however, the space-time derivatives of the relativistic action are usually define through ð_iS = P_i, not p_i. I don’t agree with such an extension, but I am ready to reconsider my point of view if seriously proved. If I refer to the basics of analytical mechanics, the correct relation, for me, seems to be ð_iS = p_i = P_i – qA_i. Besides, in the relativistic relation p_ipⁱ = m²c², one uses the p_i’s, not the P_i’s… The gyroscopic terms in the Lagrangian can always be absorbed in a rotating reference frame, as a transformation under canonical form shows. It remains that the rotation in question is precisely due, not to kinematical terms, but indeed to potential ones, as to know, qA[x(t),t], coupling to the velocity 3-vector, and this coupling is POTENTIAL… One has criticized Poincaré enough for suggesting to insert Newton’s gravitational potential into mass, but the very same has been done in general relativity… and is still fully accepted… In Einstein’s theory of gravity, POTENTIAL energy is incorporated into the space-time frame and taken responsible for its curvature… This is NOT what I understood of Jacobi’s principle: even in this principle, assumed to be the most general one (Poisson and Noether are consequences of it), we are set back to pure kinematics, the MOTION, the reference…

If we agree with this, then any natural extension should take this into account and thus, get back to pure kinematics. Sure, it changes the sign before qA_i: instead of having ð_iS - qA_i, we find ð_iS + qA_i and p_ipⁱ = m²c² remains ð_iSðⁱS = m²c² instead of becoming (ð_iS – qA_i)( ðⁱS – qAⁱ) = m²c². Let S’ be such that ð_iS’ = P_i. Then ð_iS’ = ð_iS + qA_i and S’ = S + q I A_idxⁱ: it is always possible to go from S to S’ and back. The question is therefore academic, S only looks more natural to me than S’ and that is what I will use. Until formal proof of the opposite.

Let us now go back to our formulas (6) to (11), bidouille 23. We can always express the p_i’s in terms of the P_i’s and the A_i’s. That is precisely the point. If we use the definition of H_ab, we should take ðL/ðv^ib = P_ib, not p_ib and we would have to symmetrise. We would also loose all the properties (7) and (8) (separation of kinetic energy and potential energy), (10) (energy ratios) and (11). However, if we take into account the fact that external fields over 4D space-time M explicitly depend on the xⁱs only and not on (t⁺,t^-), which are parameters of MOTION, then formula (4), bidouille 27, extends to:

 

18. A_i^a(x) = (mu₀/4pi) I_M J_i^a(x’)d⁴x’/(xⁱ - x’ⁱ)(x_i – x’_i)

 

with:

 

19. J_i^a(x’) = rho(x’)v_i^a = rho(x’)p_i^a/m

 

That is the neverending dilemma: should J_i^a also depend on (t⁺,t^-) or not? In the original version, J_i do not depend on s/c. So, in the extended one, it should not depend on (t⁺,t^-), despite v_i^a can. But it is exactly the same in the original version: v_i can depend on s/c… If it does not, it is constant. We will come back on this in another work. For the time being, let us assume (19). Then,

 

20. A_i^a(x) = p_i^aPhi(x)/mc²

 

The Hamiltonian matrix is:

 

H_ab = ½ (vⁱ_aP_ib + vⁱ_bP_ia) – Lh_ab = (pⁱ_aP_ib + pⁱ_bP_ia)/2m – Lh_ab = (1/2m)[2pⁱ_ap_ib – pⁱ_cp_i^ch_ab + q(pⁱ_aA_ib + pⁱ_bA_ia – 2pⁱ_cA_i^ch_ab)]

 

That is,

 

21. H_ab = (1/2m)[2(1 + qPhi/mc²)pⁱ_ap_ib – (1 + 2qPhi/mc²)pⁱ_cp_i^ch_ab]

 

In components:

 

22. H₊₊ = (1 + qPhi/mc²)pⁱ₊p_i+/m
23. H_-- = (1 + qPhi/mc²)pⁱ_-p_i-/m = (1 + qPhi/mc²)²m²c⁴/H₊₊
24. H_+- = (1/2m)[2(1 + qPhi/mc²)pⁱ₊p_i- – 2(1 + 2qPhi/mc²)pⁱ₊p_i-] = -qPhi

 

since pⁱ₊p_i- = m²c². Following that,

 

25. H_a^a = -2qPhi
26. Det(H_ab) = (1 + qPhi/mc²)²m²c⁴ – q²Phi² = m²c⁴(1 + 2qPhi/mc²)

 

As

 

27. L = (pⁱ_cp_i^c + 2qPhipⁱ_cp_i^c/mc²)/2m = (1 + 2qPhi/mc²)mc²

 

we deduce:

 

28. H = mc² = pⁱ_ap_i^a/2m

 

Quite logical, since all gyroscopic terms qvⁱ_aA_i^a should vanish in the Hamiltonian functional.

Let us turn to the Jacobi functions. We now have TWO S_a such that:

 

29. H_ab = ð_aS_b + ð_bS_a
30. ð_iS_a = p_ia

 

and 2 Jacobi equations:

 

31. ð_aS_b + ð_bS_a = (1/2m)[2(1 + qPhi/mc²)ðⁱS_að_iS_b – (1 + 2qPhi/mc²)h_abðⁱS_cð_iS^c]

 

since we only have two independent coefficients H₊₊ and H_+-. From (22) to (26), we have:

 

32. ð₊S₊ = (1 + qPhi/mc²)ðⁱS₊ð_iS₊/2m
33. ð_-S_- = (1 + qPhi/mc²)ðⁱS_-ð_iS_-/2m
34. ð₊S₊ð_-S_- = ¼ (1 + qPhi/mc²)²m²c⁴
35. ð₊S_- + ð_-S₊ = -qPhi
36. (ðⁱS₊ð_iS₊)(ð^jS_-ð_jS_-) = m⁴c⁴

 

The last equation being a consequence of the first 3 ones. Anyway, it is obvious, since pⁱ₊p_i- = m²c² implies:

 

37. ðⁱS₊ð_iS_- = m²c²