Eh si : l’espace d’état a un contenu physique bien défini.

 

L’ESPACE DES FONCTIONS D’ONDES SERT A DECRIRE LES PROCESSUS QUANTIQUES MICROSCOPIQUES.

L’ESPACE DES ETATS QUANTIQUES SERT A DECRIRE LES PROCESSUS QUANTIQUES MACROSCOPIQUES.

 

L’explication tient dans le passage du discret au continu. Autrement dit, d’un système quantique composé d’un petit nombre de particules, pas nécessairement identiques, à un très grand nombre d’entre elles. C’est le schéma de Prigogine qui le montre : localement, on décrit des ensembles de fonctions d’ondes qui sont des « trajectoires » de particules ; globalement, on décrit des ensembles denses de fonctions d’ondes au moyen de fonctions sur l’espace des états quantiques. Au niveau macroscopique, on va donc trouver des milieux quantiques continus et, en particulier, tous les fluides quantiques. On va aussi trouver des solides quantiques. Après, c’est une question de thermodynamique.

La quantique macroscopique ne se trouve pas seulement dans les états cohérents (lasers, supraconductivité, superfluidité, etc.), elle se trouve aussi dans le vaste domaine de l’astrophysique quantique relativiste (résidus stellaires). On a donc des exemples bien concrets dans la Nature, sous nos yeux. Tous ces systèmes « à grande échelle » se décrivent plus adéquatement dans l’espace des états quantiques, plutôt que dans celui des fonctions d’ondes.

 

Et c’est dans la quantique macroscopique qu’on va trouver le concept de « champ PSI ».

 

On reprend le passage du classique relativiste au quantique relativiste. Soit un corps incident de masse au repos m et de 4- vitesse vⁱ(t) = dxⁱ(t)/dt soumis à l’influence d’un champ de gravité de 4-potentiels G_i(x,t) :

 

(1a)  L = ½ mvⁱv_i + mG_ivⁱ

 

L’utilisation de la gravité nous permettra d’utiliser ensuite n’importe quelle autre interaction, puisque mG_i = qA_i est une 4-impulsion. pⁱ = mvⁱ étant la 4-impulsion du corps incident, le lagrangien classique peut se réécrire :

 

(1b)  L = pⁱp_i/2m + G_ipⁱ = (pⁱ + Gⁱ)(p_i + G_i)/2m – ½ mGⁱG_i = PⁱP_i/2m – ½ mGⁱG_i

 

avec :

 

(1c)  Pⁱ[x(t),t] = pⁱ(t) + mGⁱ[x(t),t]

 

la 4-impulsion généralisée. Etant donné que pⁱp_i = m²c², on a :

 

(1d)  (Pⁱ – mGⁱ)(P_i – mG_i) = m²c²

 

Quand on passe au quantique, cette relation doit être remplacée par :

 

(2a)  (P^ⁱ – mGⁱId)(P^_i – mG_iId) = m²c²Id

 

où Id est l’opérateur identité. Afin de retrouver Klein-Gordon, on doit prendre :

 

(2b)  P^ⁱ = iħ¶ⁱ  ,  p^ⁱ = iħDⁱ = P^ⁱ – mGⁱId  ,  Dⁱ = ¶ⁱ + i(m/ħ)GⁱId

 

Ceci renvoie à la densité de 4-force :

 

(2c) N = (ħ²/2m)Dⁱy(D_iy)* - ½ mc²yy* = (p^ⁱy)(p^_iy)*/2m – ½ mc²yy*

 

On vérifie que cette expression conduit bien à l’équation d’onde :

 

(2d)  DⁱD_iy = -(mc/ħ)²y

 

qui donne des solutions entretenues après transformation de Fourier.

L’expression (2c) est établie localement. Elle décrit le mouvement d’une particule quantique de fonction d’onde y(x) étalée dans un 4-volume d⁴x autour du point x où est censé se trouver le corpuscule associé, avec la probabilité de présence |y(x)|². Si ce corpuscule passe du point x au point x’ de M⁴, la fonction d’onde suivra et s’établira autour de x’. Mais il s’agira toujours de la même particule. Ainsi, localement, i.e. dans l’espace des fonctions d’ondes, y(x) porte toutes les caractéristiques physiques de la particule considérée. Dans (2d), on n’a pris en compte que la masse. Dans le cas général, y(x) porte aussi, en tant que solution de KG, la charge et le spin de la particule (ici, entier). Idem dans le cas d’un fermion, avec l’équation de Dirac. y(x) est donc spécifique à une particule donnée. Ce n’est que dans le cas d’un ensemble de particules toutes identiques (gaz d’électrons, par exemple) que l’on pourra parler de « champ de particules » et encore, on l’a vu, l’identification est source de graves confusions.

A présent, je pose :

 

(2e)  p^ⁱy(x) = pⁱ(x)y(x)  ,  P^ⁱy(x) = Pⁱ(x)y(x)

 

En vertu de (2b), ceci définit mes fonctions pⁱ(x) et Pⁱ(x) :

 

(2f)  Pⁱ(x) = iħ¶ⁱLny(x)  ,  pⁱ(x) = iħDⁱy(x)/y(x) = Pⁱ(x) – mGⁱ(x)

 

On retrouve bien la forme (1c) de la 4-impulsion généralisée, Pⁱ(x) = pⁱ(x) + mGⁱ(x). A deux exceptions près : a) les 4-impulsions (2f) sont maintenant complexes et b) l’expression (2c) de la densité de 4-force,

 

(2g)  N = [pⁱ(x)p_i*(x)/2m – ½ mc²]y(x)y*(x) = L_qy(x)y*(x)

 

donne un lagrangien quantique,

 

(2h)  L_q = pⁱ(x)p_i*(x)/2m – ½ mc²

 

qui diffère de son homologue classique (1b). C’est un peu normal : on a retrouvé le mouvement libre, mais dans un cadre courbe, courbé par le champ de gravité [cf. (2f)]. Présenté d’une manière équivalente, la quantification du mouvement a automatiquement intégré le champ de gravité au cadre physique. On est passé du cadre physique qu’est M⁴ a l’espace de configuration associé (jusqu’ici, pour une seule particule).

 

On va maintenant passer à un ensemble constitué d’un très grand nombre de particules quantiques pas forcément identiques. Un tel milieu physique devient continu. Ceci nous impose de généraliser les expressions (2f), linéaires en Lny(x). Cette linéarité ne se justifie, en effet, qu’au niveau microscopique. Au niveau macroscopique, on trouve deux choses :

 

-         des fonctionnelles de 4-impulsions sur l’espace des fonctions d’ondes,

 

(3a)  Pⁱ[y(x),y*(x),x] = iħ¶ⁱLny(x)  ,  pⁱ[y(x),y*(x),x] = Pⁱ[y(x),y*(x),x] - mGⁱ[y(x),y*(x),x]

 

qui délinéarisent les expressions locales et

 

-         des hyperchamps sur l’espace des états quantiques,

 

(3b)  Pⁱ(y,y*,x)  = pⁱ(y,y*,x) + mGⁱ(y,y*,x)

 

associés aux fonctionnelles (3a). Au niveau macroscopique, (2h) se généralise ainsi en :

 

(3c)  L_q = pⁱ[y(x),y*(x),x]p_i*[y(x),y*(x),x]/2m[y(x),y*(x),x] – W[y(x),y*(x),x]

 

Cette quantité se mesure en Joules, c’est donc bien une grandeur macroscopique. La fonctionnelle W est réelle, elle généralise la partie potentielle de (2h).

Mais, pourquoi avoir changé m en une fonctionnelle m[y(x),y*(x),x] ?

Parce que m[y(x),y*(x),x] et l’hyperchamp masse associé m(y,y*,x) s’avèrent avoir des significations physiques bien précises :

 

-         m[y(x),y*(x),x] est la masse d’une particule quantique du milieu, d’état y(x), au point x de M⁴ ; c’est donc une masse locale, i.e. une densité de masse, mais sur l’espace des fonctions d’ondes. Sur M⁴, ce n’en est pas une : elle s’exprime en kg ! Si je passe d’un état y(x) à un état y’(x’) autour d’un autre point x’ du milieu physique, je passe d’une particule de fluide à une autre, de masse m[y’(x’), y’*(x’),x’]. Si les deux particules sont identiques, les deux masses seront égales ; si les deux particules sont différentes, leurs masses seront différentes ;

-         m(y,y*,x) est la densité de masse du milieu, c’est une masse locale mais, cette fois, dans l’espace des états quantiques. C’est la valeur de l’hyperchamp masse en un état quantique y bien précis du milieu (renvoyant, naturellement, à la particule dans M⁴ associée), au point x de M⁴.

 

Pour obtenir la masse quantique totale du milieu, il faut intégrer l’hyperchamp m(y,y*,x) [analogue de la densité de masse classique m(x,t)] sur l’ensemble des états quantiques constituant ce milieu :

 

(3d)  m(x) = òò m(y,y*,x)dydy*  en kg/m⁴

 

On obtient une densité classique de masse !!! Si j’intègre à présent cette densité sur le 4-volume V⁴ de M⁴ occupé par le milieu, je trouve :

 

(3e)  M = ò_V4 m(x)d⁴x  en kg

 

c’est-à-dire, de la même unité physique que m(y,y*,x) ou m[y(x),y*(x),x]. C’est normal : d⁴x et dydy* se neutralisent mutuellement. Tout va bien : m(x) est la masse quantique totale du milieu, M est sa masse classique totale. Ces deux quantités sont macroscopiques : m(x) dans l’espace des états quantiques (mais pas dans M⁴, qui n’est pas son cadre), M dans M⁴ (qui est son cadre).

 

Venons-en maintenant à la justification de la dénomination « champ PSI », qui soulève tant de polémiques. L’existence même des champs PSI est prouvée théoriquement par un raisonnement formel, à condition de les définir de la manière suivante (absolument pas restrictive, ni « adéquate ») :

 

NOUS CONVIENDRONS D’APPELER « CHAMP PSI » UN HYPERCHAMP PHYSIQUE, I.E. UN CHAMP QUANTIQUE MACROSCOPIQUE, COMPLEXE (AU SENS DE LA COMPLEXITE), EVOLUTIF ET AUTONOME.

 

Il serait difficile d’attribuer le qualificatif de « PSI » aux champs quantiques macroscopiques qui dirigent toute la dynamique des corps quantiques inertes : on ne voit pas bien ce qu’un résidu stellaire, même « en fin de vie » (= qui a passé son cycle principal), aurait de « PSI ». Si PSI il doit y avoir, ça ne peut relever que de la biologie quantique.

Alors, regardons de ce côté-là.

Personne, je pense, ne me contredira si j’ose affirmer que les atomes présentent des propriétés quantiques inconstestables. Il nous suffira donc de prendre des ensembles constitués d’un très grand nombre d’atomes de différentes sortes pour obtenir des milieux quantiques continus.

Rien qu’une seule cellule vivante est déjà constituée de centaines de millions d’atomes : c’est amplement suffisant pour en faire un milieu quantique continu…

Ça ne veut pas dire pour autant que ces propriétés quantiques vont se manifester à tout bout de champ (sans jeu de mot…), mais elles sont là, qu’on le veuille ou non, et elles se manifesteront lorsque les conditions seront requises, à savoir, pour une certaine équation d’état du système. Ou encore, lorsque les propriétés ondulatoires du milieu prendront le dessus sur les propriétés substantielles.

Une étoile dans son cycle principal fonctionne suivant les lois de la thermodynamique classique. Arrivé au bout de ce cycle, il se produit un changement qualitatif d’état qui la fait basculer, plus ou moins brutalement selon sa masse de départ, sur les lois de la thermodynamique quantique : le substantiel, la matière, a cessé d’agir, les ondes de matière prennent le relais.

Même si ces scénarii cosmiques se produisent à des températures, des pressions et des volumes massiques sans comparaison avec ceux régnant dans les organismes biologiques, le schéma général de transition est là :

 

LA NATURE FONCTIONNE COMME çA : PAR CHANGEMENTS QUALITATIFS D’ETATS ET PAR TRANSITION DE COMPORTEMENTS CLASSIQUES EN COMPORTEMENTS QUANTIQUES. PARCE QUE LA FIN D’UN CYCLE DE VIE ABOUTIT A DES CONDITIONS EXTRÊMES (POUR LE SYSTEME). ET QUE, PAR LEUR CARACTERE EXTRÊME, CES CONDITIONS PROVOQUENT LE PASSAGE D’UN ETAT JUGé « ORDINAIRE » A UN ETAT JUGé « EXTRA-ORDINAIRE ».

 

Ce n’est pas nous qui nous le mettons dans la tête, c’est au contraire ce que nous sommes forcés d’accepter parce que c’est ce que la Nature nous donne à observer.

On observe, dans la galaxie, dans l’Univers, des corps cosmiques qui obéissent à tout, sauf aux lois de la physique classique. Il a donc bien fallu se rendre à l’évidence et trouver de nouveaux modèles de dynamique. De comportements.

Vus aurez noté que je me suis bien gardé d’évoquer des « fonctions d’ondes cellulaires », sujettes à polémique : j’ai tapé au niveau atomique… dans un organisme vivant constitué de milliards de cellules, il y a bien assez d’atomes pour justifier le continuum d’états… J

 

C’est imparable. Non seulement sur le plan théorique, mais aussi sur le plan pratique. Ce n’est désormais plus qu’une question de mise en évidence expérimentale.

Les champs PSI ainsi définis existent parce que ce ne sont « rien d’autre » que des hyperchamps évolués.

Les hyperchamps ne sont que la modélisation mathématique de la quantique macroscopique.

Rejeter le PSI défini de cette manière serait rejeter la quantique macroscopique, c’est-à-dire, nier l’évidence.

 

On a déjà vu un exemple plus que concret d’hyperchamp avec la densité de masse quantique m(y,y*,x). Le 4-potentiel complexe G_i(y,y*,x) est également celui d’un hyperchamp, le champ de gravité quantique d’un corps source macroscopique. Etc. Vous avez de même la densité de charge quantique q(y,y*,x) et le 4-potentiel complexe (tiens donc : on le retrouve, mais au niveau macro !) A_i(y,y*,x) du champ électromagnétique quantique d’un corps quantique source électriquement chargé (plasma quantique)… Un plasma quantique, vous le réalisez avec beaucoup de choses : des hadrons, des leptons, même des bosons ; des mélanges d’espèces différentes, de stats quantiques différentes. Il peut même être chaud ou froid !

 

Même le vide quantique macroscopique est un milieu quantique, non seulement continu, mais compressible, qui plus est !!!

 

Il n’y a absolument plus rien « d’ésotérique » là-dedans. Beaucoup de choses sont d’ors et déjà observés, voire maîtrisés sur le plan technologique.

Seule une mauvaise foi caractérisée pourrait encore taxer MA théorie du PSI « d’ésotérique ».

 

 

Je vais d’abord apporter une précision, afin d’éviter tout risque de confusion. Il ne faut pas confondre un point de l’espace E³ avec la position d’un corps ponctuel dans cet espace : les deux se modélisent au moyen de la même variable abstraite x, mais le point de l’espace a quelque chose « d’universel » que n’a pas la position, en ce sens que le point est indépendant des caractéristiques physiques des corps. C’est une façon complémentaire de dire que l’espace est une chose, les corps qui le peuplent en sont une autre. On a conçu l’espace à 3 dimensions autour de nous parce que nous avons constaté (perçu !) que nous étions en mesure de bouger dans 3 directions différentes de l’espace et que les corps qui nous entouraient, à commencer par le nôtre, s’étendaient aussi dans ces 3 directions. Par extension et projection mentale, nous en avons ainsi déduit que tout l’espace autour de nous était à 3 dimensions. Tout au moins, l’espace tel que nous pouvions le percevoir. L’espace « perceptuel ».

A partir de ce constat, nous nous sommes inventés le concept de position dans l’espace pour nous permettre d’y repérer les corps physiques. La position n’a donc rien « d’universel », puisqu’elle est systématiquement associée à un corps physique.

Il ne faut pas non plus confondre position et mouvement. La position est statique, elle est établie à un instant donné et peut changer d’un instant à l’autre ; le mouvement est dynamique, il s’établit sur une certaine durée (éventuellement illimitée). De ce point de vue, la position est donc un concept local, tandis que le mouvement est un concept global.

 

Il en va exactement de même avec l’espace d’état et c’est la raison pour laquelle j’ai tenu à rappeler auparavant ces quelques « évidences ».

y(x) est le mouvement d’un corps quantique dans M⁴, c’est un concept dynamique, qui reste quand même global, mais d’un point de vue différentiel. Alors, ça peut paraître contradictoire, donc je précise : ce qu’il faut entendre ici par « global » est le fait de s’étendre sur un domaine d’espace-temps donné, fut-il infinitésimal. La fonction d’onde y(x) s’étend bien autour du point x sur un 4-volume d⁴x. Au sens différentiel du terme, elle est donc globale sur ce domaine : c’est un « micro-champ ». On revoit apparaître ici l’analyse non standard. En effet, la seule fonction-densité qu’on puisse véritablement considérer comme locale est la fonction singulière de Dirac d(x) qui ne possède de valeur qu’au point x lui-même et qui est nulle partout ailleurs, y compris dans le 4-volume d⁴x autour de x. De ce fait, d(x)d⁴x est vraiment une mesure locale.

La position dans l’espace d’état, je peux l’obtenir en fixant x, ce qui revient à me donner au préalable une position dans l’espace-temps. Mais quid des corps immobiles ? Dans la théorie quantique actuelle, de tels corps quantiques sont inconcevables, parce que y(x) est un signal, qu’un signal est la déformation d’une onde et qu’une onde n’est immobile nulle part.

Nulle part… dans M⁴.

Si nous nous plaçons dans l’espace d’état, nous sortons de M⁴. Il nous faut alors reconsidérer notre point de vue d’ensemble. Par analogie avec ce que nous avons établi dans E³ ou M⁴ (s’agissant du temps propre), nous définissons la position d’un corps quantique dans l’espace d’état comme un point de cet espace, mais associé au corps en question. Et nous définissons le point de l’espace d’état comme un concept « universel », indépendant des caractéristiques physiques des corps quantiques. Nous les notons tous les deux y.

 

Oui ?... Pour ceux qui ne seraient pas tout à fait convaincus, reprenons les équations du mouvement d’un corps ponctuel classique de masse m (supposée constante pour simplifier) soumis à une force résultante extérieure f(t) :

 

(1a)  md²x(t)/dt² = f(t)

 

La solution dépend bien des caractéristiques physiques, du corps incident, mais aussi des corps perturbateurs, ces dernières étant contenues dans f(t) :

 

(1b)  x(t) = x(t₀) + v(t₀)t + m^-1ò_t0^tò_t0^t f(t)dt²

 

(avec un léger abus de notation que, j’ose espérer, on voudra bien m’excuser)

Même ma position de départ x(t₀) = x₀ est associée au corps incident, puisque c’est de ce point de E³ qu’il débute son mouvement. Sans le dire, j’associe donc automatiquement toute position de mon mouvement, position de départ incluse, au corps mobile que je considère. Il n’en reste pas moins que la position dans l’espace n’est pas l’espace. En conséquence, nous devons distinguer la position du point : le point existe même en l’absence de tout corps physique.

Il suffit de faire de même avec une équation de champ de la forme :

 

(2a)  ¶ⁱ¶_iy(x) = -(ħ²/2m)f(x)

 

de solution complète :

 

(2b)  y(x) = y_ond(x) - (ħ²/2m)ò_M4 f(x’)d⁴x’/(xⁱ-x’ⁱ)(x_i-x’_i)

 

(je n’arrive plus à retrouver le n° de la bidouille où j’ai établi ce résultat invariant relativiste… lol)

On aurait préféré une expression analogue à (1b). Essayons toujours :

 

(2c)  y(x) = y(x₀) + xⁱ(¶_iy)(x₀) - (ħ²/2m)ò_x0^xò_x0^x f(x)dxⁱdx_i

 

les intégrales étant curvilignes. ça a l’air de fonctionner, ma parole… K

Comme on dit : tant que ça tient… on touche plus à rien… J

Idem : y(x₀) est la valeur de la fonction d’onde du corps quantique incident autour du point x₀, point de départ du corpuscule. Donc, position : position x₀ du corpuscule dans M⁴, position y(x₀) du signal associé dans L²(M⁴) ou H¹(M⁴). Position quantique : [x₀,y(x₀)].

Maintenant, si je retire tout corps quantique, je trouve le vide quantique. Mais où ? Dans M⁴ ! Car le vide quantique reste une fonction d’onde, purement fluctuante, dans M⁴. Dans l’espace d’état, il lui correspond un point.

 

La différence, ici, est beaucoup moins abstraite :

 

-         si je considère un point y de l’espace d’état, je fais référence à quelque chose « d’universel », i.e. indépendant des caractéristiques physiques des corps quantiques, ce qui me renvoie au vide quantique dans M⁴ ;

-         si je considère une position y dans l’espace d’état, j’associe ce concept à un corps quantique et à sa fonction d’onde y(x), je casse l’universalité du point.

 

Même le spin est une caractéristique physique (et dynamique !) des corps quantiques, puisque c’est un moment cinétique et qu’en plus, il est intrinsèque !

De ce fait, on ne peut même pas tenter de dimensionner l’espace d’état au moyen des composantes de spin, quitte à spécifier deux sortes d’espaces d’état.

Quant aux isoespaces, ils sont spécifiques aux corps…

En… l’état, toutes les dimensions « internes » que l’on connaît ou que l’on a établi sont relatives aux propriétés physiques des corps quantiques. Aucune de ces dimensions ne présentent donc de caractère universel.

 

Je veux dire par là que je serais bien en mal de donner ne serait-ce qu’une indication sur le nombre de dimensions physiques éventuelles de l’espace des états quantiques en m’appuyant sur la théorie des quanta actuelle…

 

Pour l’instant, je reste de dimension complexe 1. Est-ce bien important pour nos besoins ?

Je n’en sais rien du tout…

Je serais tenté de dire : non, parce qu’on rapporte tout à M⁴ et que y(x) est déjà 4D.

La question de fond est : l’espace d’état a-t-il un contenu physique ou bien est-ce seulement l’espace des fonctions d’ondes ?

 

 

 

On va commencer à réfléchir sur ces hyperchamps, sans se bousculer. Depuis hier, je n’ai évidemment pas eu le temps de trouver quoi que ce soit de « révolutionnaire »… J

Traduction : ce n’est pas encore aujourd’hui que je serai en mesure de révéler les « mystères du PSI »… :))

On va plutôt regarder les structures. Ça nous guidera pour la suite et ça en apprend toujours beaucoup plus qu’on ne croit.

Première des choses : le cadre d’un hyperchamp F(y,y*,x) est l’espace des états quantiques, i.e. l’espace des fonctions d’ondes. L’espace-temps M⁴ y joue le rôle d’espace-temps paramétrique éventuel. En effet, F peut ne pas dépendre des xⁱ, i.e. être le même en tout point de M⁴ et donc, global sur l’espace-temps. Sinon, en plus d’être local dans l’espace des états, il est également local dans M⁴, i.e. susceptible de varier en valeur d’un point à un autre de l’espace-temps.

Ensuite, si l’on ne tient pas compte d’un spin éventuel, cet espace des états est de dimension complexe 1, c’est-à-dire, de dimension réelle 2 : y = y_R + iy_I donne un doublet réel (y_R, y_I). Ainsi, pour un système à N objets quantiques de fonctions d’ondes y₁,…, y_N, l’espace de configuration sera de dimension complexe N, soit 2N réelle. Et, s’il existe M relations entre ces N fonctions d’ondes, idem qu’en mécanique classique, on ne trouvera que Q = N-M « coordonnées généralisées » y₁,…, y_Q indépendantes, ce qui réduira la dimension de l’espace de configuration à Q, soit 2Q réelle.

Après, quand on regarde, cette fois, les trajectoires dans M⁴ : en mécanique classique, on a deux sortes de xⁱ(t) : les fonctions et les fonctions-densités. Toutes deux sont des applications, mais les fonctions-densités ne sont pas des fonctions : l’ensemble des fonctions-densités (qui conduit aux espaces de distributions) inclut l’ensemble des fonctions. En pratique, on modélisera plutôt un signal au moyen d’une fonction-densité. On peut le faire au moyen d’une fonction, mais c’est moins adapté, voire pas du tout.

En mécanique quantique, y(x) est d’emblée une fonction-densité. Le carré de son module, |y(x)|², est une densité de probabilité. De manière générale, une fonction-densité est donc, très grossièrement, une fonction localisée au voisinage d’un point, c’est-à-dire, significative seulement dans ce voisinage. C’est une fonction, mais uniquement au sens différentiel : ce qui est mesurable, dans cette classe de « fonctions », c’est |y(x)|²d⁴x. C’est un peu comme dire que les potentiels vecteurs du champ électromagnétique ne sont pas directement mesurables et que seules les intensités de champ qui en dérivent le sont. Mais, attention : ce n’est qu’une analogie ! On n’a pas construit, jusqu’à présent, du moins pas à ma connaissance, de théorie quantique basée sur des fonctions.

Cela change-t-il quelque chose au niveau des variables d’hyperchamps, i.e. au niveau de l’espace d’état ? Pas vraiment : quand on passe des xⁱ(t) aux F(x), on se préoccupe guère plus de savoir si les xⁱ se comportent comme des fonctions ou des fonctions-densités dans l’espace paramétrique. On les traite comme des points de l’espace(-temps) ambiant. Il en va de même des couples (y,y*). C’est l’avantage que présentent les hyperchamps sur les fonctionnelles : ces dernières utilisant les variables locales [y(x),y*(x)], il devient indispensable de connaître les propriétés de l’espace fonctionnelle dans lequel « vivent » ces variables. On n’aura pas, en effet, le même résultat pour le produit hilbertien dans un L² ou dans un H¹.

L’inconvénient, c’est qu’il faut se sortir de l’espace-temps, pour raisonner dans l’espace d’état, sans pour autant perdre de vue que le véritable cadre physique reste M⁴…

 

Voilà, je pense avoir fait le tour des propriétés de base… Travailler dans l’espace d’état facilite considérablement les calculs, car on peut encore y appliquer les opérations arithmétiques habituelles et notamment, le produit usuel. Au contraire, travailler dans l’espace fonctionnel impose de définir le produit hilbertien adapté et poser sans cesse la question de ce qui est mesurable et ce qui ne l’est pas : on a vu plus haut que c’est en fait |y(x)|²d⁴x qui est mesurable. Tout formellement, |y(x)|² ne représente pas une mesure. Au mieux, une mesure locale, ce qui nécessiterait de la définir de point en point (et même, de voisinage de point en voisinage de point ! L). Il n’est donc pas possible de donner une définition univoque de la mesure dans ces espaces fonctionnels, c’est-à-dire, valable en tous points (globale, quoi). C’est d’ailleurs toute la théorie de Lebesgue de l’intégration (et donc, de la mesure) qui a conduit Laurent Schwartz à remplacer le produit usuel, valable pour les fonctions, par le produit de convolution, valable pour les distributions. Ça signifie qu’un produit usuel tel que |y(x)|² = y(x)y*(x) n’est défini au mieux que localement. Il est impossible de l’établir en tous points. On ne peut l’établir qu’au voisinage de chaque point.

C’est une difficulté mathématique considérable qui a des incidences physiques immédiates sur l’allure (la forme) et le comportement des signaux. Le passage à l’espace d’état contourne cette difficulté. Bien entendu, on la retrouvera dès que l’on cherchera à reprojeter les variables d’hyperchamps dans M⁴.

Par exemple, dans toute analyse dynamique : le point [y(x),y*(x)] étant mobile, les influences appliquées sur le mouvement seront des fonctionnelles de la forme générale F[y(x),y*(x),x], F étant un tenseur d’ordre quelconque.

Les hyperchamps sortent donc du domaine de la dynamique des fonctions d’ondes, tout comme les champs ordinaires F(x,t) sortent du domaine de la dynamique des trajectoires classiques x(t) : dès qu’on regroupe les deux, on redevient fonctionnel.

C’est facile à comprendre : au lieu de considérer un point matériel (centre de gravité d’un corps ou d’un système de corps) de masse m situé en x à l’instant t, on considère une particule quantique de masse m située en (y,y*), i.e. dans l’état (y,y*) au point d’espace-temps xⁱ.

Et on entendra par « particule quantique » un corps ponctuel, mais dans l’espace d’état (dans M⁴, ce corps présente son extension ondulatoire autour du corpuscule).

Par suite, alors qu’un champ F(x) verra sa valeur changer d’un point à l’autre [F₁ = F(x₁) -> F₂ = F(x₂)], un hyperchamp verra sa valeur changer d’un état quantique à l’autre : F₁ = F(y₁,y*₁) -> F₂ = F(y₂,y*₂)]. L’espace-temps n’intervient en rien dans cette variation.

 

Le concept d’hyperchamp global F(y,y*) remplace celui de champ statique F(x).

Le concept d’hyperchamp local F(y,y*,x) remplace celui de champ dynamique F(x,t).

Globalité et localité sont évidemment relatives à M⁴ : un hyperchamp qui serait global dans l’espace d’état se réduirait à un champ ordinaire (aucun intérêt)…

 

La suite, c’est de l’analyse complexe dans l’espace d’état… L’hypothèse du continu permet de définir la notion de voisinage et celle de différentielle : dy représente, dans ce cas, un changement infinitésimal d’état quantique. L’espace des états quantiques (hors spin) étant de dimension réelle 2, dydy* y représente un élément de surface. C’est le « volume » (2D) élémentaire. Connaissant dy, on peut construire une théorie de l’intégration qui donne un sens à des expressions comme :

 

ò_y1^y2 F(y)dy, ò_y*1^y*2 F(y*)dy*, ò_y1^y2 F(y,y*)dy, ò_y*1^y*2 F(y,y*)dy*,

ò_y1^y2ò_y*1^y*2 F(y,y*)dydy*

 

Et puis, on récupère tous les théorèmes d’analyse complexe : holomorphie, résidus, etc.

D’après Cauchy-Riemann, on sait immédiatement que, si F est un hyperchamp holomorphe (dans un domaine donné d’états quantiques, éventuellement illimité), F ne dépend que de y et F est harmonique sur ce domaine. En dimension 2, cela donne aussitôt un comportement logarithmique en ½ Ln(y₁² + y₂²). Mais, dire que F est harmonique sur ce domaine revient à dire qu’il n’y a pas de source ou pas de perturbation à l’intérieur de ce domaine : l’hyperchamp F y est libre. C’est une « hyperonde ».

 

Pour construire des sources physiques, il faut utiliser une théorie des distributions sur l’espace d’état : c’est parfaitement constructible, alors que ce serait impossible dans l’espace fonctionnel. On ne peut pas construire des « distributions de distributions », on ne peut pas localiser ce qui l’est déjà. A moins de faire intervenir des arguments d’échelle et de partir dans l’analyse non standard. Mais alors, on ne fait que repousser le concept de « localité »…

 

Une « hypersource » est alors une fonction-densité S(y,y*) sur l’espace d’état. Je reviendrai là-dessus plus en détail lorsque j’aurai approfondi un peu mieux le concept.

 

Les concepts d’hyperchamp et d’hypersource sont importants à étudier, car ils pourraient être les clés de la parapsychologie physique.

 

 

 

L’ambiance, ces derniers jours, était assez morose car je commençais à perdre espoir de trouver quelque chose de significatif à mettre sous la dent des biologistes.

Comme toujours dans ces cas-là, j’ai farfouillé dans mes bouquins aux pages noircies par l’utilisation et j’ai déjà retrouvé une première pépite :

 

CONTRAIREMENT A LA LONGUEUR D’ONDE MECANIQUE l_méc = h/mv QUI DEVIENT RAPIDEMENT NEGLIGEABLE POUR DES CORPS MACROSCOPIQUES, LA LONGUEUR D’ONDE THERMIQUE l_th = hc/k_BT EST LOIN DE L’ETRE. ELLE EST MÊME D’AUTANT PLUS GRANDE QUE LA TEMPERATURE DU MILIEU EST BASSE. QUANT AU RAPPORT hc/k_B, IL VAUT APPROXIMATIVEMENT 1,44 10^-2 Km.

 

Comparez : pour un grain de sable d’1mm de masse 1mg et de vitesse 1mm/s, l_méc » 6,63 10^-16 m = 0,663 F, alors qu’à température ambiante T = 27°C » 300K, l_th » 4,8 10^-5 m = 48 mm, 48 fois le rayon du grain de sable !!!

Je me suis donc reposé la question de fond : à quoi peut-être due la nature probabiliste du module de la fonction d’onde ? Principalement, sinon essentiellement, à l’agitation thermique. Et de répartir les deux longueurs d’ondes de la manière suivante : la mécanique dans la phase, la thermique, dans le module. De la sorte, l_th² joue le rôle de l’écart-type pour des fluctuations métriques autour d’un point de l’espace(-temps). Lesquelles fluctuations métriques sont alors dues à l’agitation thermique.

Les deux longueurs d’ondes sont des grandeurs macroscopiques (elles s’obtiennent par mises en moyenne). Si la mécanique est négligeable à nos échelles, la thermique est loin de l’être. C’est déjà un premier argument en faveur de l’influence des effets quantiques à nos échelles, via l’amplitude et non la phase de la fonction d’onde et grâce à la petitesse de la constante de Boltzmann k_B (» 1,38 10^-23 J/K), qui vient compenser en bonne partie celle de h.

Il subsiste quand même un petit hic dans cette construction de la fonction d’onde : elle présuppose que l’espace-temps soit fluctuant. C’est loin d’être impossible, mais ça reste contraignant, car on s’attend à des fluctuations significatives dans le tissu spatio-temporel à des températures bien plus élevées. Aux températures ambiantes, on renverse en quelque sorte le problème : l_th devient (très) significative, mais les fluctuations de l’espace-temps deviennent infimes…

 

C’est, en fin de compte, Prigogine qui sauve la baraque. Je ne sais pas si, de son vivant, il avait envisagé une conséquence quelconque de sa synthèse sur la parapsychologie. Et il n’est pas venu de me dire ce qu’il en pensait désormais… J

Toujours est-il qu’il nous sort une ENORME épine du pied. Car, il place au même niveau trajectoires et fonctions d’ondes :

 

AU NIVEAU MICROSCOPIQUE, ON EST LOCAL ET DETERMINISTE. C’EST LE SIEGE DES TRAJECTOIRES ET DES FONCTIONS D’ONDES DE CORPS INDIVIDUELS. C’EST LE DOMAINE DE L’INSTABILITE ET DU DESORDRE STRUCTUREL.

 

Les équations de mouvement de la mécanique classique sont déterministes, puisqu’elles traduisent des lois physiques déterministes : une fois données les conditions initiales au départ du mouvement ou à un instant quelconque de celui-ci, on peut en déduire toute l’information sur le passé et le futur de ce mouvement. La trajectoire x(t) dans l’espace E³ ou xⁱ(t) dans l’espace-temps M⁴ a un caractère local.

Il en va exactement de même pour les fonctions d’ondes y(x,t) en relativité de Galilée ou y(x) en relativité d’Einstein : y(x,t) obéit à l’équation de Schrödinger, qui est déterministe ; y(x) obéit à des généralisations de Schrödinger telles que Klein-Gordon, Dirac,…, qui sont toutes déterministes.

Quant à la nature des objets y(x,t) et y(x), elle est foncièrement locale : dans le cas galiléen, la probabilité de trouver la particule quantique dans un voisinage dx de x à l’instant t est dP(x,t) = |y(x,t)|²d³x, si y(x,t) est exprimé en m^-3/2 ; dans le cas einsteinien, la même proba de trouver la particule dans un voisinage dxⁱ de xⁱ est dP(x) = |y(x)|²d⁴x, en mesurant y(x) en m^-2. En fait, y(x,t) représente « l’étalement ondulatoire » autour d’un objet classique, ponctuel, à savoir, le corpuscule. y(x) ne représente rien d’autre, dans l’espace-temps.

Il en résulte que y(x,t) comme y(x) sont bel et bien des paquets d’ondes, mais des paquets d’ondes individuels : ils ne concernent qu’un seul corpuscule. Quand on est passé de la mécanique classique à la mécanique quantique, on a simplement changé de cadre de travail : on est passé de E³ ou M⁴ à un espace d’états, mathématiquement un L² ou un H¹ de Sobolev, dont les « points » sont les y et les « paramètres de mouvement », les (x,t) ou les xⁱ. En conséquence, dans les systèmes classiques à N corps, l’espace de configuration sera E^3N ou M^4N et, dans les systèmes quantiques à N particules (pas forcément identiques), l’espace d’état de configuration sera un (L²)^N ou un (H¹)^N…

Nous avons été nombreux à nous laisser abuser par la fonctionnalité de y et à nous représenter y(x) comme un champ de particules relativistes. Ilioupoulos lui-même expliquait, lors d’un séminaire Normale Sup à la fin des années 1970, que le problème des « divergences infrarouges » était dû au fait que, même dans un volume d’espace (ou un 4-volume d’espace-temps) fini, on se retrouvait avec un nombre infini de degrés de liberté, parce que y(x) était physiquement un milieu continu…

C’est Prigogine qui avait raison : y(x) n’est pas un milieu continu, ce n’est pas un champ, c’est l’extension ondulatoire, de nature probabiliste, censé entourer un corpuscule classique situé en x ; c’est un objet physique individuel. Je pense que la confusion des genres est venue du fait qu’en physique des particules, on traite souvent d’ensembles de particules identiques. Et donc, on a une tendance assez naturelle à assimiler la fonction d’onde individuelle y(x) au « champ de particules identiques » tout entier, en positionnant les corpuscules en chaque point du (4-)volume…

Prigogine nous explique : cette représentation est erronée. Dans un système à N particules, on doit trouver N fonctions d’ondes y_i(x_i), la fonction d’onde y_i étant localisée autour du i-ème corpuscule classique, i = 1,…,N.

 

Et ça change tout. Parce qu’au niveau mésoscopique, on trouve la statistique : la mécanique statistique de Maxwell-Boltzmann est le niveau de description mésoscopique de la mécanique classique, la statistique quantique est le niveau de description mésoscopique de la mécanique quantique. Il le disait lui-même dans ses « Lois du chaos » : ce niveau intermédiaire de description des (grands) systèmes réconcilie mécanique classique et thermodynamique. On y trouve des faisceaux de trajectoires. Si l’on est classique, ce sont des ensembles plus ou moins denses de courbes x(t) ou xⁱ(t) ; si l’on est quantique, ce sont des ensembles plus ou moins denses de y(x,t) ou de y(x). Il rappelle les deux représentations duales et équivalentes de la mécanique classique : le formalisme hamiltonien et celui de Liouville. C’est ce dernier qui est le mieux adapté au niveau mésoscopique : la trajectoire x(t) ou xⁱ(t), objet individuel et local, se voit remplacée par la fonction de distribution (une loi de probabilité) r[x(t),t] dans l’espace de configuration ou, mieux, r[x(t),p(t),t] dans l’espace des phases du système ; idem en 4D.

 

Prigogine fait de même avec la mécanique quantique. Il remplace l’équation de Liouville, qui utilise le crochet de Poisson, par l’équation de Liouville-Von Neumann, qui utilise le crochet de Lie, il remplace la fonction de distribution précédente par la densité de probabilité de présence r(x,t) = |y(x,t)|² et exhibe ainsi l’analogie complète entre l’équation de conservation de la probabilité dans le cas classique, ¶r_class/¶t = {H,r_class} = L_class^r_class, et dans le cas quantique, ¶r_quant/¶t = [H,r_quant] = L_quant^r_quant : dans les deux cas, on trouve un opérateur de Liouville…

Il va alors plus loin et propose un formalisme général : passer de la description en termes de trajectoires et fonctions d’ondes, cantonnées au domaine microscopique, à une description en termes de fonctions de distribution. Dans le cas quantique, ceci revient à utiliser la matrice densité. Dans le cas dit « pur », elle est donnée par r = |y|². Dans le cas général, elle est un mélange statistique de cas « purs » et n’est donc plus factorisable. Il explique que c’est cette perte de factorisation qui modélise l’irréversibilité des processus quantiques et le chaos quantique. Le chaos quantique est un chaos ondulatoire. Tout comme le chaos déterministe, il résulte de la non-linéarité des équations de mouvement de la mécanique quantique.

 

Il y a des gens, que je n’aurai pas (ou plus) l’impudence de nommer, qui ont pignon sur rue, et qui vous affirment noir sur blanc que « la quantification linéarise les équations de la mécanique classique »…

Non seulement, c’est faux, mais c’est une idiotie : ces gens-là n’ont qu’à compulser leur biblio pour voir qu’en mécanique quantique, exactement comme en mécanique classique, il existe des équations de mouvement non-linéaires. La plus typique est sine-Gordon. On a aussi tous les oscillateurs anharmoniques. Donc, le passage aux opérateurs ne linéarise rien du tout.

Prenez la fonction de Lagrange générale d’un système classique :

 

(1a)  L_class = ½ m(t)[dx(t)/dt]² + P[x(t),t].dx(t)/dt – V[x(t),t]

 

et mettez-la sous la forme suivante, mieux adaptée à l’analogie avec le quantique :

 

(1b)  L_class = p²(t)/2m(t) + (1/m)P[x(t),t].p(t) - V[x(t),t]  ,  p(t) = m(t)dx(t)/dt

 

Maintenant, prenez la densité de force d’un KG anharmonique :

 

(2a)  N_quant = [p^ⁱy(x)][p^_iy(x)]*/2m + ½ G_i[y(x),y*(x),x]{y(x)[p^ⁱy(x)]* + y*(x)[p^ⁱy(x)]} – N_pot[y(x),y*(x),x]

(2b)  L_quant = ò N_quantds  ,  p^ⁱ = iħ¶ⁱ

 

obtenue en “singeant” (1b) par simple changement d’espace de configuration (et, par suite, de phase), l’analogie est aussi complète que flagrante : il a suffi de passer de x à (y,y*) et de t aux xⁱ… Que vous apporte de nouveau, en fin de compte, l’opérateur 4-impulsion p^ⁱ ? Rien du tout… : p^ⁱy(x) = iħ¶ⁱy(x) remplace p(t) = m(t)dx(t)/dt = [m(t)d/dt]x(t), c’est tout…

Je peux également mettre toute la mécanique classique sous forme opératorielle…

Dans le cas où les G_i (en m/s) ne dépendent pas explicitement de (y,y*), je retrouve l’oscillateur anharmonique relativiste.

 

Du coup, on peut aller encore plus loin que Prigogine et proposer une fonction de distribution quantique r[y(x),y*(x),x] dans l’espace de configuration des états et même une r{y(x),y*(x),p^ⁱy(x),[p^ⁱy(x)]*,x} dans l’espace des phases.

Mais alors, vous pouvez vérifier par vous-mêmes : la non-linéarité des équations de la dynamique quantique introduisent naturellement, non plus un crochet de Lie, mais un nouveau crochet de Poisson…

 

Au bout du bout, on ne voit aucune différence significative de structure entre les équations de la mécanique classique et celles de la mécanique quantique, hormis le changement de cadre de travail et le nombre de paramètres de mouvement.

 

Mais, on voit apparaître un nouveau concept physique, celui d’hyperchamp : un hyperchamp, c’est une fonction ayant pour variable (y,y*) et pour paramètres de mouvement les xⁱ.

Dans (2a), les G_i et N_pot sont des fonctionnelles sur M⁴. Par contre, les G_i(y,y*,x), fonctions dynamiques dans l’espace d’état, de même que N_pot(y,y*,x) deviennent des hyperchamps.

 

Pour résumer et pour tenter de satisfaire tout le monde (« vaste programme »…), ceux qui préfèrent s’arrêter de traiter les effets ondulatoires au-dessus des protéines pourront se tourner avec profit vers le chaos quantique… direction le macroscopique.

La démarche est en tout point identique à celle qu’ils effectuent pour des corps matériels. Au lieu d’être substantielle, elle est ondulatoire, c’est tout.

Le chaos déterministe ou quantique, substantiel ou ondulatoire, introduit l’irréversibilité dans les processus, les brisures de symétrie (temporelle, spatiale et même spatio-temporelle), qui finissent par conduire à l’établissement de formes macroscopiques.

 

C’est le Bi chinois, version substantielle ou ondulatoire : matière turbulente intégrée dans une forme rigoureuse.

 

Je le disais en introduction de cet article : Prigogine vient sans doute de nous sauver la mise.

Et pas un peu.

 

 

 

Voici le problème du jour : Ginzburg-Landau est intéressant, mais bien trop simpliste dans notre contexte. Il n’enfonce guère que des portes ouvertes : on se doute bien que, plus la tension va approcher zéro, plus le nombre de neurones inactivables va augmenter. Mais, ce nombre reste global : il ne dépend que de la tension. Cela sous-entend une uniformité dans les zones silencieuses (la densité de neurones inactivables y est la même, non seulement en tous les points, mais à tout instant). Pour autant, le modèle n’explique en rien pourquoi ces neurones sont devenus inactivables. Il se borne à constater et à en fournir le nombre. D’autre part, on a besoin du condensat. Or, GL ne nous apprend strictement rien sur sa dynamique interne. Les variations spatio-temporelles de ce condensat apparaissent surtout aux interfaces entre zones activables et zones inactivables. Enfin, à quoi est-il censé se coupler, si couplage il y a ? Au champ électrochimique ? Dans les zones silencieuses, il est nul…

Du coup, je recherche des réponses possibles dans la prise en compte des états de vide.

Partons du lagrangien d’un corps « classique » de masse m en relativité de Galilée :

 

(1a)  L = ½ m[dx(t)/dt]² + P[x(t),t].dx(t)/dt – V[x(t),t]

 

et effectuons les remplacements suivants :

 

(1b)  m -> -ħ²/m , t -> xⁱ , x(t) -> [y(x),y*(x)] , dx(t)/dt -> [¶_iy(x),¶_iy*(x)]

 

On constate que les champs P et V sont remplacés par des fonctionnelles P_i[y(x),y*(x),x] et V[y(x),y*(x),x]. De plus, les P_i doivent être complexes. La densité de lagrangien correspondante devant rester réelle, (1a) sera remplacé par :

 

(1c)  £_y = -(ħ²/2m)¶_iy(x)¶ⁱy*(x) + P*_i[y(x),y*(x),x]¶ⁱy(x) + P_i[y(x),y*(x),x]¶ⁱy*(x) - V[y(x),y*(x),x] =

= -(ħ²/2m){¶_iy(x) – (2m/ħ²)P_i[y(x),y*(x),x]}{¶ⁱy*(x) – (2m/ħ²)P*ⁱ[y(x),y*(x),x]} + (2m/ħ²)P_i[y(x),y*(x),x]Pⁱ[y(x),y*(x),x] - V[y(x),y*(x),x]

= -(ħ²/2m)(D_iy)(Dⁱy)* + (2m/ħ²)P_iP*ⁱ – V

 

La dérivation covariante a maintenant pour expression générale :

 

(1d)  D_iy(x) = ¶_iy(x) – (2m/ħ²)P_i[y(x),y*(x),x]

 

Regardons les premières puissances du développement en y des P_i :

 

(1e)  P_i[y(x),y*(x),x] = P_0i(x) + P_1i(x)y(x) + ½ P_2i(x)y²(x) + …

(1f)  P*_i[y(x),y*(x),x] = P*_0i(x) + P*_1i(x)y*(x) + ½ P*_2i(x)y*²(x) + …

 

P_i ne dépend donc que de y(x) et non de y*(x). Son conjugué ne dépend donc que de y*(x) et non de y(x). Qu’est-ce qui me fait dire ça ? L’examen de l’ordre 1, tout simplement : à cet ordre, D_iy(x) = ¶_iy(x) – (2m/ħ²)P_1i(x)y(x) est bien la dérivation covariante de la théorie quasi-classique usuelle, sa conjuguée étant (D_iy)*(x) = ¶_iy*(x) – (2m/ħ²)P*_1i(x)y*(x). Exemple typique : P_1i(x) = i(ħq/2m)A_i(x).

Il ne faut quand même pas perdre de vue que l’ordre 1 n’est plus valable que pour des fonctions d’ondes y(x) suffisamment faibles. Quant à l’exemple P_1i(x) = i(ħq/2m)A_i(x), il suggère d’introduire le champ :

 

(2a)  A_i[y(x),x] = A_0i(x) + A_1i(x)y(x) + ½ A_2i(x)y²(x) + …

 

tel que P_i[y(x),x] = i(ħq/2m)A_i[y(x),x].

Interprétons : A_0i(x) = A_i(0,x) est le champ « classique » que l’on obtient en négligeant complètement la présence de y(x), où que ce soit. C’est le potentiel de Maxwell. Lorsque l’on tient compte d’une « petite composante ondulatoire », on voit apparaître A_1i(x)y(x). Plus on tiendra compte de « l’effet ondulatoire », ou plus celui-ci deviendra significatif, plus il faudra pousser loin le développement en puissances de y(x) et plus il apparaîtra de nouvelles composantes A_ni(x) de champ.

Supposons à présent que y(x) soit un « champ de vide ». Alors, y(x) º 0 correspondra à l’ordre zéro, c’est-à-dire, à A_0i(x) : c’est bien le cadre du « vide classique » de la théorie de Maxwell. Toute autre valeur non nulle ou non partout nulle de y(x) donnera un « autre » champ A_i[y₁(x),x].

Tournons-nous vers la fonctionnelle V. Si je la prends telle que :

 

(2b)  V[y(x),y*(x),x] = (2m/ħ²)P_i[y(x),x]P*ⁱ[y(x),x] = (q²/4m)A_i[y(x),x]Aⁱ[y*(x),x]

 

{on a A*ⁱ[y(x),x] = Aⁱ[y*(x),x], cf. (2a)}, je ne conserverai plus que ma partie cinétique -(ħ²/2m)(D_iy)(Dⁱy)* dans le référentiel tournant (dans l’espace des fonctions d’onde). Ma densité de lagrangien prend la forme :

 

(2c)  £_y = -(ħ²/2m)¶_iy(x)¶ⁱy*(x) + P_i[y*(x),x]¶ⁱy(x) + P_i[y(x),x]¶ⁱy*(x) - (2m/ħ²)P_i[y(x),x]Pⁱ[y*(x),x]

 

Moments :

 

(2d)  ¶£_y/¶[¶ⁱy*(x)] = -(ħ²/2m)¶_iy(x) + P_i[y(x),x]

 

Ensuite :

 

(2e)  ¶£_y/¶y*(x) = [¶P_i/¶y*(x)][¶ⁱy(x) + (2m/ħ²)Pⁱ]

 

Equation :

 

(2f)  dⁱ¶£_y/¶[¶ⁱy*(x)] = ¶£_y/¶y*(x)  ,  dⁱ = ¶ⁱ + (¶ⁱy)¶/¶y + (¶ⁱy*)¶/¶y*

 

On trouve :

 

(2g)  -(ħ²/2m)¶ⁱ¶_iy(x) = -¶ⁱP_i + {(¶/¶y*)P_i[y*(x),x] – (¶/¶y)P_i[y(x),x]}¶ⁱy(x) + (2m/ħ²)P_i[y(x),x](¶/¶y*)P_i[y*(x),x]

 

Le membre de droite représente la “force”. L’équilibre sera atteint lorsque cette force s’annulera, ce qui conduit à l’équation d’équilibre :

 

(2h)  ¶ⁱP_i + {(¶/¶y)P_i[y(x),x] – (¶/¶y*)P_i[y*(x),x]}¶ⁱy(x) –

(2m/ħ²)Pⁱ[y(x),x](¶/¶y*)P_i[y*(x),x] = 0

 

 

EDP fortement non linéaire en (y,y*), mais du premier ordre, dont la solution y_eq(x) va dépendre des coefficients P_ni(x) et de leurs 4-divergences ¶ⁱP_ni(x). A moins que je n’ai de sérieux problèmes de vue, y_eq(x) est encore un champ variable :

 

(3a)  y_eq(x) = Y_eq[P_0i(x),…,P_Ni(x);¶ⁱP_0i(x),…,¶ⁱP_Ni(x)]  ,  P_ni(x) = i(ħq/2m)A_ni(x)

 

avec N entier positif, éventuellement infini. De plus, mes P_ni(x) et ¶ⁱP_ni(x) jouent, dans cette expression, le rôle de paramètres (champs). Si je rentre (3a) dans (2g), j’obtiens une équation aux dérivées partielles liant ces paramètres :

 

(3b)  ¶ⁱ¶_iY_eq[P_0i(x),…,P_Ni(x);¶ⁱP_0i(x),…,¶ⁱP_Ni(x)] = 0

 

Hors équilibre, par contre, j’ai à résoudre (2g).

Regardons (2h) en y_eq(x) º 0. Des développements (1e) et (1f), je tire :

 

(3c)  ¶ⁱP_0i - (2m/ħ²)P₀ⁱP*_1i = 0            [y_eq(x) º 0]

 

qui me donne P_1i d’après P_0i (si P_0i º 0, l’équation est identiquement vérifiée). Cela signifie qu’en cet état d’équilibre, P_1i dérive de P_0i. En particulier, le potentiel électromagnétique A_1i(x) dérivera du potentiel maxwellien A_0i(x).

 

Que nous apprennent ces quelques développements ?

Qu’en passant d’un modèle quasi-classique de type Ginzburg-Landau à un modèle non linéaire un peu plus élaboré, on peut utiliser les composantes A_ni(x) de champs électromagnétiques comme des paramètres de contrôle d’une transition.

Que les fonctions d’ondes à l’équilibre peuvent rester des champs variables, ce qui est bien plus intéressant que des champs globaux, partout uniformes.

Que les champs A_ni(x) ne sont pas tous indépendants, mais liés par (3b).

 

Je sais, certains grinceront des dents : « le problème des ‘vides locaux’, c’est de privilégier certains référentiels… »

On n’est pas tout à fait dans le même contexte : ce qu’on appelle « vide » ici, c’est seulement la fonction d’onde qui minimise toute la partie non purement cinétique de (2c), soit les 3 derniers termes. Ce n’est pas l’absence totale de particules. Ce n’est pas le vide des hautes énergies, même si j’ai fait le traitement en Klein-Gordon. On peut d’ailleurs toujours revenir à Schrödinger en passant à la limite c -> ¥, ce qui ramène de l’hyperbolique au parabolique. C’est quand même plus simple à traiter en KG, parce qu’espace et temps sont sur un pied d’égalité.

 

Ceci dit, le modèle ne nous en dit toujours pas plus sur la dynamique interne du condensat, ni sur ce qu’il est censé devenir ensuite…