Où nous allons reparler du multivers… Mais, auparavant, une explication pour justifier cela.

 

Dans la théorie originale de la matrice densité, nous avons vu qu’on ne considérait que les axes purs |y_i>. Il en résulte des projecteurs r_ii = |y_i><y_i| purement diagonaux, hermitiques et donc toujours diagonalisables. Le mélange statistique d’états conduit alors à un seul opérateur densité R = pⁱⁱr_ii, de sorte que, si A est un observable quantique dans E, l’observable « classique » correspondante, unique, est <A> = Tr(AR⁺) = Tr(AR). Ajoutons que tous les pⁱⁱ sont pris réels.

Dans la théorie générale de la matrice densité, on considère non seulement les axes purs |y_i>, mais aussi tous les plans purs (|y_i>,|y_j>) pour j ¹ i et nous avons vu que les projecteurs r_ij = |y_i><y_j| sont loin d’être triviaux pour j ¹ i et qu’en outre, ils ne sont plus hermitiques, mais vérifient r_ji = r_ij⁺. Il subsiste donc des interférences, aussi bien dans les plans de base (|u_a>,|u_b>) que dans les plans purs (|y_i>,|y_j>), qui ne peuvent être éliminées en totalité dans aucune « base privilégiée ». Le mélange statistique d’états requiert alors des opérateurs R_ij = p_i^kr_jk, où les p_i^k peuvent même être complexes et vérifier S_i,j |p_ij| £ 1. Ainsi, si |y_i> est vecteur propre d’une observable quantique A (par exemple, A = H), il n’existe plus un seul opérateur de mélange, mais N², si N est le nombre de vecteurs propres de A (éventuellement infini). Dans le cas de spectres continus, l’ensemble des vecteurs propres est même dense et on a une double infinité dense d’opérateurs R_ij (a priori dénués de toute symétrie). Conséquence :

 

A UNE OBSERVABLE QUANTIQUE A DONNEE, IL CORRESPOND TOUT UN ENSEMBLE DISCRET OU MÊME DENSE D’OBSERVABLES « CLASSIQUES » <A>_ij = Tr(AR_ij⁺) ET SEULE L’OBSERVABLE « CLASSIQUE » RESULTANTE <A>_iⁱ = Tr(AR⁺) SERA UNIQUE.

 

La modification devient particulièrement flagrante dans le cas de l’Univers. Si nous considérons l’Univers U comme un mélange statistique d’univers X_i, alors U est nécessairement un système clos. Il s’ensuit que U ne peut être que conservatif. Dans une description galiléenne, U obéit à Schrödinger. Si y(x,t) est la « fonction d’onde de l’Univers » et H son hamiltonien, y vérifie donc iħ¶y/¶t = Hy. L’équation aux valeurs propres de cet hamiltonien « universel » (écrite en kets) :

 

(1a)  iħ¶|y_i(t)>/¶t = H(t)|y_i(t)> = iħw_i|y_i(t)>

 

donne, en mode stationnaire, des états à énergies définies ħw_i. Si nous attribuons ces états d’énergie à des vides, alors |y_i> peut servir à décrire l’état de vide d’un univers X_i. Par la suite, chaque univers X_i pourra se peupler de matière et de rayonnement. Prendre le vide, c’est prendre les « fondations » physiques d’un univers.

Dans cette optique, que signifie r_ij = |y_i><y_j| ? C’est la projection de X_i vers X_j : on change de vecteur d’état, on change d’univers. Plus correctement, tout se passe dans l’Univers U, unique et on passe d’une configuration de vide de U, correspondant à « un univers » X_i, à une autre configuration de vide de U, correspondant à « un autre univers » X_j. Lorsque i = j, on reste dans X_i. On a simplement remplacé les axes propres par « les univers X_i », configurations diverses de U, et les plans propres par les « plans X_i-X_j ». Que sont ces « plans » ? De façon imagée, ce sont les « interstices » entre les diverses configurations de U.

Etant donné que les r_ij décrivent des états purs, on en déduit que « l’univers » X_i est un « état pur » de l’Univers U. Un état d’énergie de vide déterminée ħw_i. Passer de X_i à X_j revient à modifier l’état du vide quantique de U.

U se laisse alors décrire par des opérateurs de mélange R_ij. p_ij est la probabilité de passer de X_i à X_j, r_ij est, on vient de le voir, le projecteur de X_i sur X_j. Quand on écrit :

 

(1b)  R_ij = p_i^kr_jk = S_k p_ikr_jk

 

on somme sur tous les états k. R_ij, qui représente le mélange statistique projeté sur le plan (X_i,X_j), sa « composante (i,j) » autrement dit, se construit par convolution (ici, discrète), en sommant sur les contributions de toutes les configurations de U. C’est donc bien dans U que tout se passe, la suite n’étant qu’affaires de projections, sur des univers X_i ou « entre des univers » X_i et X_j. En développant (1b), j’ai 3 contributions : k = i, k = j et k ¹ i et j,

 

(1c)  R_ij = p_iir_ji + p_ijr_jj + S_{k¹ (i,j)} p_ikr_jk

 

Vous voyez que, pour j = i :

 

(1d)  R_ii = p_iir_ii + S_{k¹ i} p_ikr_ik

 

seul r_ii est hermitique et seul le premier terme p_iir_ii décrira une population. Tous les autres termes sont des interférences. Mais, si nous prenons |y_i> comme champ de vide de X_i, sa population sera toujours nulle, par définition même du vide (quantique). Comme r_ii n’est pas nul, c’est p_ii qui l’est et on retrouve le fait que le vide de X_i n’est fait que d’interférences (« paires virtuelles » en 4D). On peut aussi passer par les observables classiques, mais on décrit alors plutôt des « vides de champs moyens » (moyenne linéaire nulle, quadratique non nulle). Il n’empêche : même dans le cas du vide, R_ii n’est pas nul. Quant à R_ij pour j ¹ i, il ne comporte que des interférences, puisque même le terme p_ijr_jj (pour k = j ¹ i) est de transition. Il décrit une projection interne à X_j, pondérée par une probabilité de passer de X_i à X_j.

 

On va voir tout de suite ce que ça donne dans le cas de « chats de Schrödinger ». Ces chats sont des systèmes à deux états : « vivant », « mort ». L’hamiltonien universel ne présente que deux vecteurs propres |y₁> et |y₂>, d’où 2 univers X₁ et X₂ et un Univers U = {X₁,X₂}. Système très simple, mais très instructif. Les projecteurs sont r₁₁ (on reste dans X₁), r₁₂ (on passe de X₁ à X₂), r₂₁ = r₁₂⁺ (on passe de X₂ à X₁) et r₂₂ (on reste dans X₂). La loi des probabilités étant |p₁₁| + |p₁₂| + |p₂₁| + |p₂₂| = 1 (U clos et conservatif), il est évident que |p₁₁|, comme |p₂₂|, sera toujours < 1 (|p_ii| ne peut être formellement nul que dans un univers X_i complètement vide). Moralité : X₁ et X₂ sont tous deux dissipatifs et seul U est conservatif.

Mais alors, où passe l’information dissipée ?

Justement, dans les « interstices » entre X₁ et X₂.

Mais ces « interstices » sont eux aussi dissipatifs, puisque |p₁₂| et |p₂₁| < 1. Où passe l’info contenue dans ces « interstices » ?

Dans X₁ et dans X₂.

On a une circulation d’information dans tout U, qui fait que U conserve l’intégralité de l’information.

Autrement dit, le chat « schrödingerien » est vivant dans les deux univers. Mais, un observateur de X₁ le considèrera comme « vivant » dans X₁ et comme « non vivant » (donc, « mort ») dans X₂. Pour un observateur de X₂, ce sera l’inverse. Mais, pour un observateur quantique de U, le chat sera vivant dans U, donc aussi bien dans X₁ que dans X₂. Par contre, il n’aura aucune raison d’avoir la même apparence dans les deux univers, parce que les règles d’organisation de la matière n’ont pas de raison d’être identiques dans tous les univers. La seule règle est d’obéir aux lois quantiques de la matière dans U. Il se peut qu’il ressemble à un chat et même au même chat dans les deux univers, mais rien de physique ne l’exige.

Voilà une interprétation « à la Everett III » du chat de Schrödinger.

Le « chat X₁ » et le « chat X₂ » vieillissent naturellement du fait de l’usure de la matière organisée (dégradation thermodynamique) : c’est le résultat de la dissipation.

Mais le « chat quantique », le « chat U », lui, ne vieillit pas : pas de dissipation dans U, pas d’usure thermodynamique.

Paradoxe ? Aucun. Notre description n’est pas complète, puisque nous nous sommes volontairement limités à la relativité de Galilée. La description correcte doit se faire en relativiste 4D.

Lorsque « X₁ » vieillit, l’info dissipée (perdue pour X₁) est récupérée « entre X₁ et X₂ ». De même, lorsque « X₂ » vieillit, l’info dissipée (perdue pour X₂) est récupérée « entre X₂ et X₁ » : rien n’est perdu, tout est stocké dans U, mais circule.

 

Le Marquis de Lavoisier a raison jusque dans U.

 

Mais cette interprétation-là est radicalement différente des précédentes : le chat n’est « mort » nulle part. Ce n’est qu’une question de perception : l’observateur de X₁ (resp. X₂) ne perçoit (et ne peut percevoir) que le « chat X₁ » (resp. « X₂ »). Tout ce qui se situe « au-delà » (de X₁ comme de X₂) relève des interférences, des « plans universels ».

 

Plus généralement, on peut à présent envisager la possibilité « à multivers, multi-être » : un « représentant » dans chaque univers X_i, pour un seul « sur-être » quantique dans U.

Mais renversons la vapeur : c’est plutôt le « sur-être » qui se projette dans chaque X_i et qui prend autant d’apparences. Un « mélange statistique d’êtres X_i », tous « vivants ».

C’est ce qui découle directement de la théorie générale de la matrice densité. Ce n’est pas une extrapolation.

On conçoit alors que, si nous ne sommes que des « exemplaires » d’un seul et même sur-être, ce sur-être soit présent en chacun de nos exemplaires. Et que, lorsqu’un exemplaire cesse de fonctionner, le sur-être le quitte. Parce que c’est « un exemplaire de moins sur le total » et que, comme U est conservatif, l’énergie perdue dans X_i par « l’exemplaire n°i » lors de sa dégradation, est récupérée par tous les autres exemplaires et répartie entre eux. Il s’ensuit que, moins il y a d’exemplaires, plus les exemplaires restants sont énergétiques et proches du conservatif. Donc, leurs durées de vies s’allongent.

Et s’il y a une infinité d’univers, il y a une infinité d’exemplaires. Passer d’un exemplaire à l’autre, indéfiniment, sans même tenir compte de l’auto-régénération éventuelle de l’Univers quantique, c’est peut-être tout simplement ça, « l’immortalité »…

 

Mais, on conçoit aussi que la « biologie » ne soit plus qu’un aspect parmi (d’innombrables ?) autres, que la « parapsychologie » puisse trouver des réponses dans le multivers, mais qu’on s’éloigne d’autant de la biologie conventionnelle.

Je cherchais une connexion logique avec nos « sciences du vivant », celles qui valent sur notre planète, dans « notre » univers, avec « notre » cycle ADN-ARN, un « produit » quelconque de l’évolution biologique susceptible de se détacher de son enveloppe après la mort, j’ai tapé dans le mur.

Parce que j’ai raisonné à l’envers. Tout simplement.

 

(Il va sans dire que les algèbres de Lie ici considérées sont de dimension infinie. J’ai effectué les développements dans le cas de spectres discrets, le cas de spectres continus s’obtient sans difficulté)

Faisons le bilan. Pour cela, commençons par décomposer les matrices de projection r_ij,ab en amplitude-phase, en posant c_ia = |c_ia|exp(iq_ia) :

 

(1a)  r_ij,ab = |c_iac_jb|exp[i(q_ia - q_jb)]

 

On a 4 situations à distinguer. Pour a = b et i = j :

 

(1b)  r_ii,aa = |c_ia|²

 

est la probabilité de trouver le système dans l’état de base |u_a> lors d’une mesure, si ce système se trouvait dans l’état pur |y_i> avant la mesure. C’est la contribution qui donne lieu à la « population » de l’état |u_a> après mélange statistique. Ce terme r_ii,aa nous indique que nous passons de l’axe pur |y_i> pour i fixé à l’axe de base |u_a> pour a fixé et que la probabilité de passer de |u_a> à |y_i> est la même.

 

Pour a ¹ b et i = j :

 

(1c)  r_ii,ab = |c_iac_ib|exp[i(q_ia - q_ib)]   

 

mesure les interférences entre les états de base distincts |u_a> et |u_b> pour un même état pur |y_i> fixé. Nous sommes passés de l’axe de base |u_a> au plan de base délimité par les vecteurs d’état |u_a> et |u_b>, mais sommes restés sur l’axe pur |y_i>.

 

Pour a = b et i ¹ j :

 

(1d)  r_ij,ab = |c_iac_ja|exp[i(q_ia - q_ja)]

 

mesure, au contraire, les interférences entre les états purs |y_i> et |y_j> pour un même état de base |u_a>. Nous sommes passés cette fois de l’axe pur |y_i> au plan pur délimité par les vecteurs d’état |y_i> et |y_j>, mais sommes restés sur l’axe de base |u_a>.

 

Enfin, pour a ¹ b et i ¹ j, on a l’expression générale (1a) et on ne trouve que des interférences : interférences dans le plan de base (|u_a>,|u_b>), interférences dans le plan pur (|y_i>,|y_j>).

 

On s’en doutait plus que fortement depuis le début de l’élaboration de la théorie de la matrice densité, mais on en a confirmation flagrante depuis sa généralisation :

 

LES « POPULATIONS » NE SE TROUVERONT QUE SUR LES AXES D’ETAT DU SYSTEME, TANDIS QUE LES « COHERENCES », MOYENNES STATISTIQUES DES INTERFERENCES, NE SE TROUVERONT QUE DANS LES PLANS DE BASE ET LES PLANS PURS DU SYSTEME.

 

Les choses sont un petit peu plus compliquées que dans la théorie originale, qui ne tenait compte que des axes purs. L’expression générale (4e) de la matrice densité du mélange statistique d’états se réécrit en amplitude-phase [en posant p_ij = |p_ij|exp(ij_ij)] :

 

(2a)  R_ij,ab = S_k |p_ikc_jac_kb|exp[i(j_ik + q_ja - q_kb)]

 

Le simple fait que la sommation porte sur l’indice k suffit à montrer que, même pour a = b et i = j :

 

(2b)  R_ii,aa = S_k |p_ikc_iac_ka|exp[i(j_ik + q_ia - q_ka)]

 

comportera encore des interférences, y compris lorsque tous les j_ik sont nuls. Etant donné que les R_ii ne sont plus hermitiques que dans le cas particulier où p_ik est purement diagonale (puisque les r_jk ne sont plus hermitiques pour k ¹ j), nous en déduisons que :

 

DANS LE CAS GENERAL D’UN MELANGE STATISTIQUE D’ETATS QUANTIQUES Où LES p_ij SONT COMPLEXES ET COMPORTENT DES TERMES NON DIAGONAUX, IL N’EST PLUS POSSIBLE DE TROUVER UNE « BASE PRIVILEGIEE » |u’_a> DE L’ESPACE DES ETATS DU SYSTEME (OU, DE MANIERE EQUIVALENTE, DES PROJECTEURS DE BASE r’_ab = |u’_a><u’_b| DE D) DANS LAQUELLE LES R_ij,ab SERAIENT DIAGONAUX, EN RAISON DE  LA PERTE D’HERMITICITE DES MATRICES DE MELANGE R_ij,ab, QUI PORTE EGALEMENT SUR L’ENSEMBLE DES ELEMENTS DIAGONAUX R_ii,aa. D’AILLEURS, LA CONDITION (4d), BIDOUILLE 71, SUR LES PROBABILITES EST LA PLUS GENERALE POSSIBLE ET INCLUT LES SYSTEMES DISSIPATIFS.

EN CONSEQUENCE,

ON NE PEUT PLUS TROUVER AUCUN MECANISME PHYSIQUE PERMETTANT D’ELIMINER TOUS LES EFFETS D’INTERFERENCE AU SEIN DU SYSTEME, I.E. DE DECOHERER COMPLETEMENT LE SYSTEME A L’ETUDE.

 

Alors, pourquoi a-t-on pu exhiber la décohérence de systèmes quantiques dans un certain nombre d’expériences, parmi lesquelles des « chats de Schrödinger » ?

On vient d’établir un théorème de type « no-go »…

 

La réponse à ce paradoxe apparent réside dans l’utilisation de la théorie de la matrice densité : dans les raisonnements « à décohérence », on se base sur la théorie originale, qui tient bien compte des plans de base, mais qui se limite aux axes purs.

C’est incomplet. Il manque toutes les projections sur les plans purs. Les opérateurs r_ij non diagonaux sont loin d’être triviaux. Leur prise en compte change toute la donne, même si les coefficients de mélange se « réduisent » tous à de véritables probabilités.

Ça tombait pourtant sous le sens. Quand on réalise une superposition linéaire d’états de base |y_i> = c_i^a|u_a>, on passe d’un système « d’axes de coordonnées » |u_a> à un système « d’axes vectoriels » |y_i>. Si on change le système d’axes, on change forcément le système de plans qui va avec…

Prenez la matrice de l’invariant de mélange :

 

(2c)  R_ab = S_i,j,k |p_ikc_jac_kb|exp[i(j_ik + q_ja - q_kb)]

 

Rien ne se simplifie, même pour les termes R_aa… Il faut se retrouver dans des situations particulières comme p_ij diagonale réelle, par exemple, pour entrevoir une chance de diagonalisation de l’invariant de mélange…

Rien qu’au niveau des projecteurs de base du système, on trouve 3 situations sur 4 avec interférences… Seulement :

 

LES « POPULATIONS » SE TROUVENT SUR LES AXES,

LES « COHERENCES » DANS LES PLANS.

 

Si vous réduisez les plans purs aux axes purs et si vous partez de systèmes préalablement conservatifs, vous trouverez matière à décohérer les états de base.

Ça fait beaucoup de « si »…

Forcément, si on n’exploite pas au maximum les possibilités qu’offre la machinerie quantique…

Oui, mais, je commence à être sérieusement agacé de passer mon temps à combler les lacunes des autres…

Pendant ce temps, mon travail à moi n’avance pas.

Et on ne peut pas dire que je coûte cher au pays…

J’ai un boulot monstre devant moi, avec des problèmes conceptuels quasi-insurmontables et je me… dissipe… dilue… dans les manques.

On en est rendu à la bidouille 72, merde ! Et j’ai déjà dû colmater combien de brèches ???

Qu’ai-je fait en neurophysique, à part la fonction neurone ?

Depuis, pas moyen d’avancer.

Ça commence à me foutre les glandes. Sérieux. J’en ai marre de faire la rustine.

 

 

Soit donc |u_a> une base orthonormée de E, a Î N :

 

(1a)  <u_a|u_b> = d_ab      (orthonormalité)

(1b)  |u_a><u^a| = P_a^a     (fermeture)

 

où j’ai adopté la convention de notation d’Einstein. Le projecteur :

 

(1c)  P_ab = |u_a><u_b|     (a, b fixés dans N)

 

projette sur l’axe de base |u_a> pour b = a et sur le plan de base (|u_a>,|u_b>) pour b¹a. Le conjugué hermitique de P_ab est :

 

(1d)  (P_ab)⁺ = |u_b><u_a| = P_ba               (dualité kets – bras)

 

De fait, seuls les P_aa (projections sur les axes de base) sont hermitiques. Pour b¹a, la conjugaison échange P_ab et P_ba. En vertu de (1a) et (1b), les éléments de matrice de P_ab sont :

 

(1e)  (P_ab)_gd = P_ab,gd = <u_g|P_ab|u_d> = d_agd_bd

 

Ils sont tous nuls, sauf les P_ab,ab qui valent 1. D’après (1d), les éléments de matrice de (P_ab)⁺ sont :

 

(1f)  (P_ab)⁺_dg = <u_d|P_ba|u_g> = P_ba,dg = P_ab,gd

 

Par conséquent :

 

(1g)  P_ba,ba = P_ab,ab = 1

 

sont les seuls éléments non nuls de ces matrices de projection.

Considérons maintenant un mélange statistique particulier de ces états de base, de la forme :

 

(1h)  r = p_abP^ab  ,  p_ab = c_ac_b* = (p_ba)*

 

Alors, r est factorisable sous la forme :

 

(1i)  r = (c_a|u^a>)(<u^b|c_b*) = |y><y|

 

et l’état |y> est une superposition linéaire des états de base :

 

(1j)  |y> = c_a|u^a>

 

Si, par contre, on cherchait à généraliser (1h) en pondérant chaque projecteur de base par une probabilité p_ab non factorisable (ce qui correspondrait à un véritable mélange statistique des états de base), r ne serait plus factorisable en (1i) et |y> ne serait plus une superposition linéaire des états de base. Dans ce cas, |y> ne serait plus un vecteur d’état du système à l’étude. Les seuls mélanges statistiques constructibles des états de base qui préservent la propriété d’espace vectoriel de E sont donc de la forme factorisée (1h).

On ne peut donc envisager de mélanges statistiques plus généraux qu’entre états purs |y_i> (i Î N) de la forme (1j) :

 

(2a)  |y_i> = c_i^a|u_a>

 

non réductibles aux états de base du système. A ces états purs correspondent les projecteurs :

 

(2b)  r_ij = |y_i><y_j| = (r_ji)⁺

 

De nouveau, seuls les r_ii (projections sur les axes purs |y_i>) sont hermitiques. Pour i ¹ j (projections sur les plans purs |y_i>,|y_j>), la conjugaison hermitique échangent r_ij et r_ji. r_ij possède un invariant :

 

(2c)  r = r_iⁱ = |y_i><yⁱ| = c_i^a(c^ib)*P_ab

 

d’après (2a), invariant qui n’a, a priori, aucune raison de se réduire à l’identité. On y remarque au contraire des termes d’interférence pour b¹a. Eléments de matrice de r_ij :

 

(2d)  <u_g|r_ij|u_d> = r_ij,gd = c_i^a(c_j^b)*d_agd_bd = c_ig(c_jd)*

 

de son invariant :

 

(2e)  <u_g|r|u_d> = r_gd = c_ig(cⁱ_d)*

 

La trace de (2d) donne :

 

(2f)  <u_g|r_ij|u^g> = r_ij,g^g = Tr(r_ij,gd) = c_ig(c_j^g)*

 

Elle exhibe des interférences, non plus entre états de base, mais entre états purs (sommation sur tous les états de base du système). Notez la différence avec (2e), qui exhibe les interférences entre états de base (sommation sur tous les états purs du système). Dans le cas général, on trouve donc deux sortes d’interférences, celles entre états de base différents et celles entre états purs différents (qui peuvent correspondre à des états propres différents d’une même observable A du système).

On établit sans difficulté les propriétés suivantes des opérateurs densité r_ij :

 

(3a)  r_ijr_kl = Tr(r_kj,gb)r_il         (produit « linéarisant »)

(3b)  r_ijrⁱ_l = Tr(r_ij,gb)rⁱ_l

(3c)  r_ijr^ij = Tr(r_ij,gb)r^ij = r^ijr_ij

(3d)  [r_ij , r_kl] = Tr(r_kj,gb)r_il - Tr(r_il,gb)r_kj

(3e)  [r_ij , rⁱ_l] = Tr(r_ij,gb)rⁱ_l - Tr(rⁱ_l,gb)r_ij = 0  pour l = j

(3f)  [r_ij , r_ij] = 0         (évident, mais a établir quand même)

(3g)  [r_ij , r_ji] = [r_ij , r_ij⁺] = Tr(r_jj,gb)r_ii - Tr(r_ii,gb)r_jj ¹ 0  pour j ¹ i

(3h)  [r_ij , r^ij] = 0

 

ainsi que Bianchi :

 

(3i)  [[r_ij , r_kl] , r_mn] + [[r_kl , r_mn] , r_ij] + [[r_mn , r_ij] , r_kl] = 0

 

qui nous permet d’énoncer :

 

L’ESPACE D_pur DES OPERATEURS DENSITE D’ETATS PURS D’UN SYSTEME PHYSIQUE S EST UNE ALGEBRE DE LIE ASSOCIATIVE.

 

(en maths, une algèbre de Lie est toujours associative, mais je préfère préciser)

 

Le « produit linéarisant » (3a) conduit à des formules bien pratiques, faciles à établir par récurrence :

 

(3j)  P_n=0^N r_{i(2n+1)i(2n+2)} = {P_n=1^N Tr[r_{i(2n+1)i(2n),ab}]r_i(1)i(2N+2)    

 

(3k)  r_i(1)i(2){P_n=1^N rⁱ⁽²ⁿ⁾_i(2n+2) = [Tr(r_ab)]^Nr_i(1)i(2N+2)

 

(3l)  r^N = {P_n=1^N-1 Tr[r^i(2n-1)_i(2n+1),ab]}r_i(1)^i(2N-1)

 

Troisième et dernière étape : les mélanges statistiques d’états purs. On introduit pour cela des coefficients complexes p^ij et on construit le mélange en pondérant chaque projecteur r_ij par l’un de ces coefficients. Le mélange le plus général qu’on obtient à la forme suivante :

 

(4a)  Rⁱ_k = p^ijr_kj

 

Son invariant est :

 

(4b)  R = Rⁱ_i = p^ijr_ij

 

La conjugaison hermitique donne, d’après (2b) :

 

(4c)  (Rⁱ_k)⁺ = (p^ij)*r_jk  ,  R⁺ = (p^ij)*r_ji

 

Les probabilités sont les modules des p^ij, soit |p^ij| Î [0,1]. On a :

 

(4d)  S_iS_j |p^ij| £ 1

 

Si cette somme double (on doit sommer sur toutes les probabilités) est égale à 1, le système est dit conservatif. Si elle est < 1, il est dit dissipatif. Eléments de matrice de Rⁱ_k et de R :

 

(4e)  Rⁱ_k,gd = p^ijc_kg(c_jd)*  ,  R_gd = p^ijc_ig(c_jd)*

 

Dans R_gd, on somme sur tous les états purs. |R_gg| mesure donc la probabilité moyenne de passer du plan pur (|y_i>,|y_j>) à l’axe de base |u_g> : c’est la « population » de l’état de base |u_g>. R_gd pour d¹g mesure toutes les interférences entre les états de base |u_g> et |u_d>. Toutes ces moyennes passent par l’ensemble des plans purs (|y_i>,|y_j>) (pour j ¹ i) et des axes purs |y_i> pour j = i. Traces de Rⁱ_k,gd et de R_gd :

 

(4f)  Rⁱ_k,g^g = Tr(Rⁱ_k,gd) = p^ijc_kg(c_j^g)*  ,  R_g^g = Tr(R_gd) = p^ijc_ig(c_j^g)* 

 

Cette fois, dans Rⁱ_k,g^g, on somme sur tous les états de base. Donc, |Rⁱ_i,g^g| (i Î N) mesure la probabilité moyenne de passer du plan de base (|u_g>,|u_d>) à l’axe pur |y_i> : c’est la « population » de l’état pur |y_i>. Pour i ¹ k, Rⁱ_k,g^g mesure toutes les interférences entre les états purs |y_i> et |y_k>. Toutes ces moyennes passent par l’ensemble des plans de base  (|u_g>,|u_d>) (pour d ¹ g) et des axes de base |u_g> pour d = g.

Sauf erreur d’interprétation de ma part, les « cohérences » entre états de base sont contenues dans R_gd pour d¹g et celles entre états purs, dans Rⁱ_k,g^g pour i ¹ k.

De la même manière que pour les cas purs, on établit sans plus de difficulté les propriétés suivantes sur les opérateurs densité de mélanges :

 

(5a)  Rⁱ_jR^k_l = p^imTr(r_lm,ab)R^k_j = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_j

(5b)  Rⁱ_jR^j_l = p^imTr(r_lm,ab)R = Tr(Rⁱ_l,ab)R

(5c)  Rⁱ_jR^j_i = p^imTr(r_im,ab)R = Tr(R_ab)R

(5d)  R² = Tr(Rⁱ_k,ab)R^k_i

(5e)  Rⁱ_j(R^k_l)⁺ = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl

(5f)  Rⁱ_j(R^j_l)⁺ = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl

(5g)  Rⁱ_j(R^j_i)⁺ = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_ji

(5h)  RR⁺ = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_ik = (R⁺R)⁺

 

ainsi que les formules de commutation :

 

(6a)  [Rⁱ_j , Rⁱ_j] = [Rⁱ_j , R^j_i] = [Rⁱ_j , (Rⁱ_j)⁺] = [Rⁱ_j , (R^j_i)⁺] = [R,R] = [R,R⁺] = 0

(6b)  [Rⁱ_j , R^k_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_j - Tr(R^k_j,ab)Rⁱ_l

(6c)  [Rⁱ_j , R_il] = Tr(Rⁱ_l,ab)R_ij - Tr(R_ij,ab)Rⁱ_l

(6d)  [Rⁱ_j , R^k_i] = Tr(R_ab)R^k_j - Tr(R^k_j,ab)R

(6e)  [Rⁱ_j , R^j_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R - Tr(R_ab)Rⁱ_l

(6f)  [Rⁱ_j , R^kj] = Tr(Rⁱ_j,ab)R^kj - Tr(R^kj_,ab)Rⁱ_j

(6g)  [R , R^k_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_i - Tr(R^k_i,ab)Rⁱ_l

 

(7a)  [Rⁱ_j , (R^k_l)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_jl

(7b)  [Rⁱ_j , (R_il)⁺] = (pⁱⁿ)*Tr(R_in,ab)(r_jl - r⁺_jl) = 0  pour l = j

(7c)  [Rⁱ_j , (R^k_i)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r⁺_ij - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r_ij

(7d)  [Rⁱ_j , (R^j_l)⁺] = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl - (pⁱⁿ)*Tr(R^j_n,ab)r⁺_jl

(7e)  [Rⁱ_j , (R^kj)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺ _l

(7f)  [R , (R^k_l)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_il - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_il

(7g)  [Rⁱ_j , R⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jk - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_jk

 

et surtout Bianchi :

 

(7h)  [[R_ij , R_kl] , R_mn] + [[R_kl , R_mn] , R_ij] + [[R_mn , R_ij] , R_kl] = 0

 

qui nous permet d’énoncer :

 

L’ESPACE D EST UNE ALGEBRE DE LIE ASSOCIATIVE.

 

ce qui est une très bonne nouvelle, car une algèbre de ce type jouit de propriétés agréables.

 

 

Pas de panique ! Les visiteurs assidus auront noté la disparition des dernières bidouilles 70, sauf une : conformément à ma manière de procéder, je ne conserve pas les textes devenus obsolètes. Il y a déjà plus de 70 articles et j’ai toujours l’impression d’être au point mort (si je puis me permettre cette expression…).

Je reviendrai sur toutes ces formules de traces partielles (et de « moyennes partielles » aussi, non encore mises en ligne) si nécessaire : j’ai conservé le formulaire, bien entendu.

Si j’ai supprimé tous ces articles, c’est qu’il y a peut-être un moyen de « réconcilier » les niveaux microscopiques, mésoscopiques et macroscopiques avec cette notion de « décohérence » en les incorporant dans un formalisme quantique plus général, objet du présent article.

Comme je l’ai déjà souligné à plusieurs reprises, c’est assez incroyable de constater que nous ne voyons pas ce qui pourtant nous crève les yeux. Et cette fois, je ne suis pas le seul. Nous sommes tellement habitués à des formalismes que nous éprouvons les pires difficultés à nous en extraire pour effectuer une synthèse des avancées « hors cadre » que nous accumulons.

 

Comme disait Sherlock Holmes au Dr Watson : « Watson, le problème avec vous, c’est que vous accumulez les détails d’une enquête, mais que vous êtes incapables d’en tirer les conclusions qui s’imposent ». C’est, non paraphrasé, dans le « chien des Baskerville », à mon goût, l’une des meilleurs œuvres du maître en la matière.

Il ne s’agit pas de désigner Untel ou Untel : nous sommes tous des Watson, moi le premier.

 

Dans ses « Lois du chaos », Ilya Prigogine nous montre pourtant le chemin :

 

LA VALIDITE DE L’ESPACE DES ETATS D’UNE PARTICULE QUANTIQUE (ESPACE DES « FONCTIONS D’ONDES ») EST LIMITEE AU DOMAINE DE DESCRIPTION MICROSCOPIQUE.

 

A partir du niveau mésoscopique, il nous explique pourquoi il nous faut raisonner, non plus en termes de « vecteurs d’états » |y(t)>, mais en termes « d’opérateurs densité » r(t). Il va même jusqu’à affirmer qu’à ce niveau, et particulièrement dans le cas du chaos quantique, r(t) devient un objet nouveau, irréductible à une fonction d’onde (ou un vecteur d’état, c’est selon). Malgré cela, même lui ne sautera pas le pas.

Pourtant, ça nous crève les yeux. On passe de Schrödinger dans le domaine microscopique :

 

(1)     iħ¶|y(t)>/¶t = H(t)|y(t)>

 

où H(t) est l’opérateur hamiltonien du système, à Liouville-Von Neumann :

 

(2)     iħ¶r(t)/¶t = [H(t),r(t)]

 

où [.,.] désigne le crochet de Lie. Si vous prenez l’équation dissipative (17) considérée par Zurek dans http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0306/0306072.pdf, c’est encore plus flagrant : nous sommes passés d’équations en |y(t)> à des équations en r(t). Or (Prigogine 3^ème), les équations en r(t) peuvent toujours se ramener à des équations en |y(t)> dans les cas « purs », de sorte que r(t) est un objet plus général que |y(t)> et, surtout, adapté à tous les niveaux de description physique, du quantique microscopique au quantique macroscopique (nous sommes ici dans le contexte quantique, est-il besoin de le rappeler ?). En conséquence, il nous faut changer de cadre, passer à un cadre plus général, adapté à tous ces niveaux de description. Ce cadre plus étendu, c’est un espace d’opérateurs, l’espace des « opérateurs densité ». L’état d’un système quantique à t y sera alors représenté par un opérateur densité r(t). Si nous nous plaçons au niveau microscopique et si notre système quantique est pur, alors r(t) est réductible en un projecteur |y(t)><y(t)|. Réciproquement, si r(t) = |y(t)><y(t)|, alors r²(t) = r(t), Tr[r(t)] = 1 (conservation de la probabilité de présence), notre système quantique ne peut être que pur, mais aussi microscopique.

 

JE NOTERAI D COMME DENSITE, CET ESPACE D’OPERATEURS DONT LES ELEMENTS SONT DES OPERATEURS DENSITE. D EST UN ESPACE FONCTIONNEL, DE DIMENSION INFINIE.

 

D contient aussi bien l’espace E des vecteurs kets que son dual E*, espace des covecteurs bras. On le voit tout de suite dans le cas pur, au niveau microscopique : r = |y><y|. Pour que r soit élément de D, il faut qu’à la fois |y> (élément de E) et <y| (élément de E*) y soient définis. D contient donc comme sous-espace l’espace de tous les projecteurs.

Soit maintenant D(t) l’extension dynamique de D. D(t) contient comme sous-espaces :

 

-         l’espace D_h(t) des opérateurs densité hermitiques, r(t) = r⁺(t), définis pour tout t ;

-         l’espace D_c(t) des opérateurs densité de systèmes conservatifs, i.e. solutions de (2) ;

-         l’espace D_d(t) des opérateurs densité de systèmes dissipatifs, i.e. solutions d’équations plus générales que Liouville-Von Neumann, comme par exemple (Zurek-17).

 

A priori, même les équations du type de cette dernière sont réversibles dans le temps : la partie mécanique renferme un hamiltonien encore hermitique, les parties relaxation et décohérence ne dépendent explicitement du temps que par r(t). Si l’on tient compte de l’irréversibilité inévitablement induite par les frottements et la diffusion, l’opérateur densité lui-même, en tant que solution de la dynamique, doit se scinder en deux « semi-opérateurs » r₊(t) (défini uniquement pour t ³ 0) et r_-(t) (défini uniquement pour t £ 0), avec raccordement au point de bifurcation r₊(0) = r_-(0). L’espace D(t) contient encore ses deux opérateurs désormais non hermitiens. Il se scinde à son tour en deux « semi-espaces » D₊(t) et D_-(t) raccordés en t = 0. La conjugaison hermitique, équivalente de la symétrie T, échange alors ces deux semi-espaces.

 

Regardons les substitutions à réaliser pour passer de E à D. On sait déjà que le ket |y> doit être remplacé par r. Par dualité, le bra <y| sera remplacé par r⁺, dual hermitique de r.

<y|y> est une quantité réelle, toujours ³ 0 et on a <y|y> = 0 ssi y = 0.

r⁺r n’est plus un nombre réel, mais un opérateur. Et cet opérateur est toujours hermitique :

 

(3a)  (r⁺r)⁺ = r⁺r

 

En tous cas, tant que r(t) est défini pour tout t. En effet, un produit comme r₊(t)r_-(t) n’est pas physiquement constructible, puisque r₊(t) n’est pas défini pour t < 0 et r_-(t) ne l’est pas pour t > 0. Mais, lorsque r(t) est défini pour tout t, r(t) est nécessairement hermitique (c’est une observable), de sorte que (3a) est en réalité :

 

(3b)  (r²)⁺ = r²

 

Dans le cas non hermitien, r₊⁺ = r_- et r_-⁺ = r₊ et les produits constructibles sont :

 

(3c)  r_-⁺r₊ = r₊²  et  r₊⁺r_- = (r_-⁺r₊)⁺ = r_-² = (r₊²)⁺ = (r₊⁺)²

 

qui remplacent (3b). On voit bien que les produits r₊² et r_-² ne sont plus hermitiques, puisque la conjugaison échange r₊ et r_- et, par suite, toutes leurs puissances.

Si l’on veut retrouver des nombres, il faut prendre les traces des matrices associées aux produits (3b) et (3c), ou bien leurs déterminants (qui seront, quant à eux, des quantités alternées). Le problème, c’est que, pour construire les matrices densité, il faut se donner une base de E, ce que l’on cherche désormais à fuir par tous les moyens…

Eh oui : votre nouvel état quantique, c’est r(t)…

En foi de quoi, vos nouvelles bases, vous devrez les construire dans D…

 

Nous allons introduire l’irréversibilité dans les processus quantiques (relativité de Galilée), en commençant par le cas concret de l’opérateur hamiltonien et nous allons voir qu’il est en fait inutile de faire appel au triplet de Gelfand et à toutes les complications techniques liées à l’extension de l’espace des fonctions d’ondes.

Repassons d’abord en revue les principales propriétés des systèmes quantiques relativistes au sens de Galilée et réversibles dans le temps. Nous partons donc d’un tel système dans l’état initial |y(0)> à t = 0. Sa réversibilité dans le temps est admissible à l’échelle microscopique (symétrie T). Son hamiltonien H_s(t) est alors un opérateur hermitique :

 

(1a)  H_s⁺(t) = H_s(-t) = H_s(t)

 

Soit |u_i(t)> une base orthonormée de l’espace des états quantiques du système, que nous prendrons discrète (l’extension à une base continue se fait sans difficulté) :

 

(1b)  i(t)|u_j(t)> = d_ij  ,  |u_i(t)>j(t)| = d_ijId              pour tout t

 

Dans cette base, H_s(t) et H_s⁺(t) ont les éléments de matrice suivants :

 

(1c)  i(t)|H_s(t)|u_j(t)> = H_s,ij(t)

(1d)  j(t)|H_s(t)|u_i(t)>* = (H_s)⁺_ij(t) = H_s,ij(t)

 

D’après (1a). On établit alors que H_s(t) est une observable (quantique). Il s’ensuit que H_s(t) est mesurable pour tout t (postulat 2 de la mesure quantique).

Soit maintenant |y(t)> un état du système à l’instant t. |y(t)> obéit à l’équation de Schrödinger :

 

(1e)  iħ¶|y(t)>/¶t = H_s(t)|y(t)>

 

dont la solution est :

 

(1f)  |y(t)> = U_s(t)|y(0)>

 

avec U_s(t) l’opérateur évolution du système (dans le temps) :

 

(1g)  U_s(t) = exp[-(i/ħ)ò dt H_s(t)]

 

Comme H_s(t) est hermitique, U_s(t) est unitaire :

 

(1h)  U_s^-1(t) = exp[(i/ħ)ò dt H_s(t)] = U_s⁺(t)

 

et comme. H_s(t) est symétrique sous T, il en va de même de U_s(t) :

 

(1i)  U_s(-t) = U_s(t)        pour tout t.

 

Dans le cas pur, l’opérateur densité est un projecteur :

 

(1j)  r_s(t) = |y(t)><y(t)|  ,  r_s²(t) = r_s(t)  pour tout t.

 

D’après (1f) et (1i), |y(t)> = |y(-t)>, ce qui traduit bien la réversibilité du système dans le temps et :

 

(1k)  r_s(-t) = r_s(t)  =>  r_s²(-t) = r_s(-t)  pour tout t.

 

Dans le cas d’un mélange statistique, l’opérateur densité est une superposition d’états purs |y_i(t)> pondérés par les probabilités p_i(t) de trouver le système dans l’état |y_i(t)> :

 

(1l)  r_s(t) = S_i p_i(t)r_s,i(t)  ,  r_s,i(t) = |y_i(t)><y_i(t)|  ,  p_i(t) = <y_i(t)|y(t)> = p_i(-t)

 

avec évidemment 0 £ p_i(t) £ 1  pour tout t. r_s(t) n’est alors plus un projecteur, mais il reste symétrique par T :

 

(1m)  r_s(t) = r_s(-t)

 

On vérifie facilement que r_s(t) satisfait à Liouville-Von Neumann :

 

(1n)  iħ¶r_s(t)/¶t = [H_s(t),r_s(t)]

 

dont la solution est :

 

(1o)  r_s(t) = [U_s(t),r(0)]

 

Dans la base |u_i(t)>, la matrice de r_s(t) est :

 

(1p)  r_s,ij(t) = i(t)|r_s(t)|u_j(t)>

 

Ses éléments diagonaux sont dénommés « populations » (des états |u_i(t)>) ; ses éléments non diagonaux, « cohérences ». Lorsque le système est réversible dans le temps, r_s(t) est hermitique et donc, diagonalisable. On peut alors toujours trouver une base dans laquelle r_s,ij(t) est diagonale. Dans cette base, les cohérences sont éliminées et les divers |u_i(t)> n’interfèrent plus entre eux : c’est la décohérence.

 

A l’échelle mésoscopique, la situation se complique car, en plus du mélange statistique d’états, le phénomène de diffusion, duquel résulte la propriété de mélange, introduit l’irréversibilité et une « flèche du temps », y compris au sein des processus quantiques. N conséquence, l’hamiltonien du système se scinde en deux : un hamiltonien

 

(2a)  H₊(t) = H_s(t) + H_a(t)

 

observable uniquement pour t ³ 0 et un hamiltonien

 

(2b)  H_-(t) = H_s(t) – H_a(t)

 

observable uniquement pour t £ 0, avec une connexion

 

(2c)  H₊(0) = H_-(0) = H_s(0)  soit  H_a(0) = 0     en t = 0

 

en prenant t = 0 pour instant de la séparation. Il en résulte aussitôt la scission de l’opérateur évolution (1g) en deux :

 

(2d)  U₊(t) = exp[-(i/ħ)ò dt H₊(t)] = U_s(t)U_a(t) = U_a(t)U_s(t)

(2e)  U_-(t) = exp[-(i/ħ)ò dt H_-(t)] = U_s(t)U_a^-1(t) = U_a^-1(t)U_s(t)

 

Par suite, l’état |y(t)> du système se scinde en deux :

 

(2f)  |y₊(t)> = U₊(t)|y(0)>  ,  |y_-(t)> = U_-(t)|y(0)>

 

On s’attend donc à ce qu’il en aille de même pour les états de base |u_i(t)> : on obtient deux bases, |u_+i(t)> et |u_-i(t)>, regroupables en |u_ai(t)>, avec a = +,-. |u_+i(t)> n’est plus définie, donc constructible, que pour t ³ 0. A l’opposé, |u_+i(t)> n’est plus définie, donc constructible, que pour t £ 0. Une manière un peu plus souple, mais guère meilleure, de voir la chose est de dire que |u_+i(t)> n’est plus adaptée aux temps négatifs (comptés depuis une origine qu’on se sera fixé à l’avance) et que |u_-i(t)> n’est plus adaptée aux temps positifs. Ou encore, que |u_+i(t)> (resp. |u_-i(t)>) ne forme plus une base de l’espace des états du système pour t < 0 (resp. t > 0). D’ailleurs, d’après (2f), il est clair que cet espace d’états, soit E(t), se scinde lui aussi en deux : un « demi-espace » E₊(t) pour t ³ 0 et un « demi-espace » E_-(t) pour t £ 0. Tout ceci est lié au groupe d’évolution G, qui se sépare en deux semi-groupes G₊ et G_-, connectés uniquement en t = 0. Dès lors, les produits scalaires ai(t)|y_b(t)> = c_ai,b(t) n’auront plus de sens que pour a = b. En effet, projeter |y₊(t)> (t ³ 0) sur la base |u_-i(t)> (t £ 0) devient absurde dès que t ¹ 0. Idem pour la projection de |y_-(t)> (t £ 0) sur |u_+i(t)> (t ³ 0) : si l’état du système se modifie dans le sens passé -> présent -> futur, il est dénué de sens de chercher à le décomposer sur une base qui se déroule en sens inverse futur -> présent -> passé. Il faut que les flèches temporelles coïncident. On n’aura donc que deux produits scalaires sur quatre :

 

(2g)  c_ai,a(t) = c_i(t) = ai(t)|y_a(t)> = ò_R3 u*_ai(x,t)y_a(x,t)d³x  Î C.

 

On déduit de tout ceci que les éléments de matrice de tout opérateur A₊(t) observable uniquement pour t ³ 0 auront pour expression A_+ij(t) = +i(t)|A₊(t)|u_+j(t)> et que les éléments de matrice de tout opérateur A_-(t) observable uniquement pour t £ 0 auront pour expression A_-ij(t) = -i(t)|A_-(t)|u_-j(t)>, soit :

 

(2h)  A_a,ij(t) = ai(t)|A_a(t)|u_aj(t)>        (a = +,-)

 

A ce niveau de description, il apparaît quand même mieux adapté d’utiliser les opérateurs densité r_a(t) solutions des équations :

 

(2i)  iħ¶r_a(t)/¶t = [H_a(t),r_a(t)]  <=>  r_a(t) = [U_a(t),r(0)]

 

plutôt que les états |y_a(t)>. Les éléments de matrice de r_a(t) dans la base |u_ai(t)> seront :

 

(2j)  r_a,ij(t) = ai(t)|r_a(t)|u_aj(t)>         (a = +,-)

 

NOUS CONVIENDRONS D’APPELER :

OBSERVABLE QUANTIQUE LA DONNEE D’UN OPERATEUR A(t) SYMETRIQUE DANS LE TEMPS ET HERMITIQUE [A(-t) = A(t) = A⁺(t)] ET D’UNE BASE ORTHONORMEE DE L’ESPACE E DES ETATS DU SYSTEME |u_i(t)>, EGALEMENT SYMETRIQUE DANS LE TEMPS ;

SEMI-OBSERVABLE QUANTIQUE LA DONNEE D’UN OPERATEUR A_a(t), OBSERVABLE UNIQUEMENT POUR at ³ 0 (a = +,-), HERMITIQUE SEULEMENT EN t = 0, ET D’UNE BASE ORTHONORMEE DU DEMI-ESPACE E_a DES ETATS DU SYSTEME |u_ai(t)>, CONSTRUCTIBLE UNIQUEMENT POUR at ³ 0.

 

Où se situe cette « obstruction » à la réversibilité temporelle dans la dynamique du système ? Dans l’opérateur H_a(t), qui distingue les deux H_a(t) = H_s(t) + aH_a(t). A t = 0, on a (2c). A t ¹ 0, on a :

 

(3a)  H_s(t) = ½ [H₊(t) + H_-(t)]  ,  H_a(t) = ½ [H₊(t) – H_-(t)]

 

Comme H_s(t) = H_s(-t), il suffit que H_a(-t) = -H_a(t) pour que la brisure spontanée de symétrie temporelle soit réalisée dans les deux directions t ³ 0 et t £ 0 :

 

(3b)  H_s(t) = H_s(-t)  et  H_a(-t) = -H_a(t)  <=>  H₊(-t) = H_-(t)  et  H_-(-t) = H₊(t)

 

et que l’opération T échange H₊ et H_-. La réciproque est vraie : si T échange H₊ et H_-, alors H_s(t) est symétrique en t et H_a(t), antisymétrique.

Si, de plus, on prend H_a(t) anti-hermitique [H_a⁺(t) = -H_a(t)], on obtient :

 

(3c)  H₊⁺(t) = H_-(t)  et  H_-⁺(t) = H₊(t)

 

et la conjugaison hermitique échange, elle aussi, H₊ et H_-. Réciproquement, si la conjugaison hermitique échange H₊ et H_-, alors H_s(t) est hermitique et H_a(t), anti-hermitique. Alors, l’opération (⁺) est équivalente à T. Dans ces conditions, H₊⁺ devient observable pour t £ 0 et H_-⁺, pour t ³ 0. Ceci signifie que :

 

SI H₊(t) EST OBSERVABLE DANS LE SECTEUR t ³ 0, H₊⁺(t) NE L’EST PLUS, MAIS L’EST DANS LE SECTEUR t £ 0.

DE MÊME, SI H_-(t) EST OBSERVABLE DANS LE SECTEUR t £ 0, H_-⁺(t) NE L’EST PLUS, MAIS LE DEVIENT DANS LE SECTEUR t ³ 0.

 

Sacré bazar…

Regardons l’allure des valeurs propres l_a d’un opérateur A_a(t). Attention : on ne raisonne plus avec les états |y_a(t)>, mais avec les opérateurs densité r_a(t). Pour ces derniers, les équations aux valeurs propres s’écrivent :

 

(4a)  A_a(t)r_a(t)A_a⁺(t) = l_al_a*r_a(t)     (a = +,-)

 

Néanmoins, il suffit de décomposer les A_a(t) et les l_a pour en déduire les propriétés des valeurs propres. En effet, puisque A_a(t) = A_s(t) + aA_a(t) et l_a = l_s + al_a, que les composantes (s) sont hermitiques et les (a) anti-hermitiques, si, à A_s(t) correspond l_s, à A_s⁺(t) = A_s(t) correspondra la même valeur propre. Donc, l_s* = l_s et l_s est réelle. De même, si, à A_a(t) correspond l_a, à A_a⁺(t) = -A_a(t) correspondra la même valeur propre, changée de signe. Donc, l_a* = -l_a et l_a est imaginaire pure. Conclusion :

 

LES VALEURS PROPRES DES SEMI-OBSERVABLES A_a(t) SONT COMPLEXES.

D’APRES (3c), LES VALEURS PROPRES DE A_-(t) SONT CONJUGUEES A CELLES DE A₊(t).

 
Etant donné que les r_a(t) ne dérogent pas à la règle, aucun des deux n'est plus hermitique. Au contraire, la conjugaison hermitique, désormais équivalente à la symétrie T, échange r₊(t) et r_-(t). En conséquence :

 

CONTRAIREMENT A LA SITUATION REVERSIBLE, LES SYSTEMES QUANTIQUES IRREVERSIBLES NE  DECOHERENT JAMAIS COMPLETEMENT.

 

La décohérence n'est envisagable que dans les systèmes supposés réversibles au cours du temps. Néanmoins, les raisonnements tenus ne tiennent manifestement pas compte du fait qu'en général, la propriété de mélange, qui résulte de celle d'ergodicité, induit inévitablement une irréversibilité dans la dynamique du système au cours du temps. Quand on prend cet aspect essentiel en compte, les résultats deviennent radicalement différents.
La bidouille suivante sera justement consacrée à des assemblages irréversibles de fonctions d'ondes. Nous y aborderons un aspect fondamental de ces systèmes qui est l'effet mémoire.