NOUVELLE VERSION CORRIGEE...

 

Si vous avez rendu une petite visite au blog ces derniers temps, vous aurez pu remarquer un cafouillage au niveau de B 181. Je savais bien que quelque chose « n'allait pas » et m'empêchait de démarrer les applications. Rien de bien grave, il s'agit juste de RELATIVISER le théorème spin – signature. Ce théorème a servi pour décrire la structure spinorielle des cadres. Il était donc normal que nous partions d'un espace euclidien de dimension classique 2. Nous allons maintenant relativiser ce résultat, ce qui aura pour effet de généraliser l'usage de spin – signature à divers cadres DE BASE. Il ne s'agit pas d'établir un nouveau théorème, seulement d'y apporter des COMPLEMENTS.

 

On commence par une

 

 

DEFINITION 1

MULTIPLICITé QUANTIQUE

 

Soient U_p(s),q(s) et U_p(s'),q(s') deux univers, avec s' >= s. La multiplicité quantique de U_p(s'),q(s') par rapport à U_p(s),q(s) est l'entier positif ou nul :

 

1. m = 2(s' – s)

 

 

Si s' = s, les deux univers se confondent et m = 0 signifie que U_p(s),q(s) est classique par rapport à lui-même. Si s' = s + ½, m = 1 et U_{p(s+½),q(s+½)} est « simplement quantique » vis-à-vis de U_p(s),q(s), vu qu'il peut être obtenu par réplication de ce dernier. Si s' = s + 1, m = 2 : l'univers U_{p(s+1),q(s+1)} est « doublement quantique » par rapport à U_p(s),q(s) et donc, « simplement quantique » par rapport à U_{p(s+½),q(s+½)}. Et ainsi de suite.

 

 

DEFINITION 2

NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE

 

Soient toujours s et s' deux nombres quantiques de spin, avec s' >= s. L'entier :

 

2. N(m) = D(s')/D(s) = 2^m = dim_q U_{p(s – s'),q(s – s')}

 

mesure le nombre de NIVEAUX DE REALITE PHYSIQUE DE L'UNIVERS U_p(s),q(s).

 

 

D'après ce qui vient d'être dit, on a bien N(0) = 1. N(1) = 2 redonne bien deux niveaux classiques pour U_{p(s+½),q(s+½)} vis-à-vis de U_p(s),q(s) ; N(2) = 4, 4 niveaux classiques (ou 2 niveaux quantiques), etc.

 

 

Un vecteur de U_p(s),q(s)  a pour composantes W^{A(1)...A(2s+1)} ; un vecteur de U_p(s'),q(s') (s' > s), pour composantes W^{A(1)...A(2s+1)A(2s+2)...A(2s'+1)}. On sait que la transposition renverse le sens de TOUS les indices binaires. Si l'on cherche à l'appliquer séparément aux DEUX mots binaires [A(1)...A(2s+1)] et [A(2s+2)...A(2s'+1)] pris séparément, on va se compliquer inutilement la vie dès que s > 0. Ce qui importe, c'est la SIGNATURE DES UNIVERS. Celle de U_p(s),q(s)  est [p(s),q(s)] ; celle de U_p(s'),q(s'), [p(s'),q(s')]. Il est beaucoup plus profitable d'établir un LIEN entre les deux.

 

De :

 

3. 2^2s = ½ [p(s) + q(s)] , 2^E(s) = ½ [p(s) – q(s)]

4. E(s + ½) = E(s) si s entier , E(s) + 1 si s demi-tentier

 

on établit sans difficulté que,

 

5. p(s + ½) = ½ [3p(s) + q(s)] si s entier , 2p(s) si s demi-entier

6. q(s + ½) = ½ [p(s) + 3q(s)] si s entier , 2q(s) si s demi-entier

7. p(s + k) = ½ [p(s)p(k) + q(s)q(k)]

8. q(s + k) = ½ [p(s)q(k) + q(s)p(k)]

 

avec k dans N. Ces formules permettent d'établir la signature de U_p(s'),q(s') PAR RAPPORT à celle de U_p(s),q(s) et généralisent celles obtenues dans B 181 avec U_2,0 comme base. Elles garantissent que la norme des vecteurs de multiplicité quantique m dans l'univers de base U_p(s),q(s) respecteront bien la signature de l'univers U_p(s'),q(s') = U_{p(s + ½ m),q(s + ½ m)}, sans plus avoir à faire appel aux transpositions. L'opération ^t n'a, en fait, servie au départ qu'à expliquer l'origine de la signature (3,1) et non (4,0) de l'espace-temps 4D. Nous l'avons étendue à des spins s > ½ mais, à présent que nous avons les signatures des espaces-temps spinoriels, nous n'avons plus besoin de ^t, sinon que par rapport à U_2,0.

 

Les tenseurs d'ordre n >= 1 dans un univers U_p(s),q(s) correspondent à :

 

9. s' = ns + ½ (n – 1) , m = (n – 1)(2s + 1) , N = D^n-1(s)

 

puisqu'ils ont Dⁿ(s) composantes au total.

 

Les VECTEURS (n = 1 => s' = s, m = 0, N = 1) apparaissent toujours CLASSIQUES dans un univers U_p(s),q(s).

 

C'est le cas, notamment, des vecteurs positions xⁱ, i = 1,...,D(s) et des changements de représentations ou des déplacements x'ⁱ = Xⁱ(x).

 

n = 2 donne s' = 2s + ½, m = 2s + 1 et N = D(s). C'est le cas des « potentiels métriques », des « coefficients métriques », de la courbure de Ricci ou du « tenseur source ». Tous ces 2-tenseurs ont spin DEMI-entier et un nombre de niveaux de réalité égal à la dimension CLASSIQUE de leur univers-support.

 

n = 3 donne s' = 3s + 1, m = 2(2s + 1) , N = D²(s). C'est le cas des coefficients de Christoffel. Ces tenseurs obéissent à la même statistique que leur univers-support et ont tous multiplicité quantique paire.

 

n = 4 donne s' = 4s + 3/2, m = 3(2s + 1), N = D³(s). C'est le cas de la courbure de Riemann ou du tenseur des contraintes. De nouveau, ils ont tous spin demi-entier.

 

Pour n = 0, les expressions (5) tombent en défaut. Or, le cas des scalaires a DEJA été considéré, mais pas sous cet angle : dans B 179, nos vecteurs W^{A(1)...A(2s+1)} dans un univers U_p(s),q(s) sont bien des TENSEURS D'ORDRE 2s + 1 DANS UN U_2,0. En conséquence, si nous posons s = 0 dans (5), nous obtenons, pour commencer :

 

10. s = 0 => s' = ½ (n – 1) , m = n – 1 , N = D^n-1(0) = 2^n-1

 

et, pour finir,

 

11. n = 2s + 1 => s' = s , m = 2s , N = 2^2s = dim_q U_p(s),q(s)

 

Un tenseur d'ordre 2s + 1 dans un U_2,0 est TOUJOURS un VECTEUR CLASSIQUE dans un U_p(s),q(s).

 

Pour s = s' = 0, n = 1 (vecteur W^A d'un U_2,0), m = 0 (classique), N = 1 (à un seul niveau de réalité).

 

Pour s = s' = ½, n = 2 (2-tenseur W^AB d'un U_2,0), m = 1 (vecteur simplement quantique du U_2,0, classique dans un U_3,1), N = 2 (à deux niveaux de réalité).

 

Pour s = s' = 1, n = 3 (3-tenseur W^ABC d'un U_2,0), m = 2 (vecteur doublement quantique du U_2,0, simplement quantique dans un U_3,1, classique dans un U_6,2), N = 4 (à 4 niveaux de réalité).

 

Pour s = s' = 3/2, n = 4 (4-tenseur W^ABCD d'un U_2,0), m = 3 (vecteur triplement quantique du U_2,0, doublement quantique d'un U_3,1, simplement quantique d'un U_6,2, classique d'un U_10,6), N = 8 (à 8 niveaux de réalité).

 

Et ainsi de suite.

 

D'après le corollaire 2 de spin-signature, pour s' = s + ½, le nombre total d'angles de polarisation est de :

 

12. (s' + 1)(2s' + 1) = (s + 1)(2s + 3) = (s + 1)(2s + 1) + 2(s + 1)         = s(2s + 3) + 2(s + 1) + 1

 

Il y a 2(s + 1) angles sphériques de plus que pour le spin s.

 

Plus généralement, pour s' = s + k :

 

13. (s + k + 1)(2s + 2k + 1) = (s + 1)(2s + 1) + k(4s + 2k + 3)         = s(2s + 3) + k(4s + 2k + 3) + 1

 

Il y a k(4s + 2k + 3) angles sphériques de plus.

 

Quelle que soit la valeur du spin, on ne dénombre qu'un seul angle hyperbolique.

 

 

Vous voyez, ce n'était pas bien long, mais suffisant pour bloquer le passage aux applications.

 

NOUVELLE VERSION, REVUE ET CORRIGEE

 

 

L’isomorphisme purement ensembliste spin_R(0) ~ R² ~ C nous apprend surtout qu’en théorie quantique, l’espace réel de départ n’est plus R, mais un espace réel de dimension DEUX. C’est une arithmétique où il s’agit de raisonner en puissances de 2, en se fondant sur la propriété remarquable de ce chiffre, le seul à vérifier 2 + 2 = 2 x 2. Je vais exposer ici un mécanisme qui permet d’expliquer le dédoublement des dimensions au sens classique du terme et sa relation avec le nombre quantique de spin. J’ai nommé ce mécanisme la « réplication de Pauli-Cantor », en référence aux travaux de Wolfang Pauli sur le spin des particules et de Cantor sur ces ensembles qu’on appela, bien plus tard, des « fractales lacunaires ». Mais auparavant, définissons la DIMENSION QUANTIQUE de spin_R(0) comme UNITé DE BASE. Ceci revient à dire qu’elle vaut LA MOITIé de sa dimension classique, qui est 2 :

 

(1)               Dim_q[spin_R(0)] = ½ Dim_c[spin_R(0)] = 1

 

et permet de se ramener graphiquement à une « droite quantique ».

 

Le mécanisme est le suivant.

 

On part de spin_R(0), que l’on se représente donc comme une droite quantique de longueur 2r_U finie. On fixe son origine en r = 0. Des deux côtés de cette origine, vous trouvez donc des « demi-droites » de même longueur r_U. Tant que la continuité de spin_R(0) n’est pas remise en cause, vous pouvez y introduire autant de matière hypothétique d’épaisseur nulle que vous voudrez, vous ne changerez pas le spin du cadre, qui restera à zéro.

 

Pour passer de s = 0 à s = ½, vous devez ROMPRE la continuité de spin_R(0). Pour cela, vous allez introduire une SINGULARITé DE PLANCK en r = 0, de longueur 2r_pl. Sous la présence de cette « impureté », spin_R(0) va se scinder en deux REPLIQUES de lui-même (puisque, partout ailleurs, le continuum n’étant pas violé, le spin reste à s = 0). Chaque réplique sera de longueur r_U - r_pl. Si vous les COUPLEZ, vous obtenez spin_R(1) = (x_c)² spin_R(0) = (x_t)² spin_R(0) et vous passez de la signature (2,0) à la signature (3,1).

 

Pour passer de s = ½ à s = 1, vous réitérez le procédé dans CHACUNE des deux répliques de spin_R(0). Leurs centres respectifs se situent en ½ (r_U - r_pl). Vous y introduisez une nouvelle singularité de Planck. ça vous en fait 2 de plus. Vous obtenez 4 répliques de spin_R(0), de longueur ½ (r_U - r_pl) - r_pl = ½ (r_U - 3r_pl). Leur couplage donne spin_R(2) = (x_c)⁴ spin_R(0) = (x_t)³ spin_R(0) et la signature (6,2).

 

On détaille encore une transition, pour bien asseoir la récurrence.

 

s = 1 -> s = 3/2 nécessite l’introduction de 4 nouvelles singularités de Planck, une au centre de chaque réplique. Ces centres se situent en ¼ (r_U - 3r_pl). ça vous donne 8 répliques de spin_R(0), de longueur ¼ (r_U - 3r_pl) - r_pl = ¼ (r_U - 7r_pl) et spin_R(3) = (x_c)⁸ spin_R(0) = (x_t)⁴ spin_R(0) avec la signature (10,6).

 

 

Le passage de la valeur s à la valeur s + ½ s’obtient en introduisant D(s)/2 = 2^2s singularités de Planck supplémentaires dans spin_R(0). Ceci vous donne D(s) répliques de spin_R(0) de longueur :

 

(1)               r_U(s) = 2^-2s{r_U - [D(s) - 1]r_pl}

 

et

 

(2)               spin_R(2s + 1) = (x_c)^D(s) spin_R(0) = (x_t)^2s+2 spin_R(0) = spin_R(2s) x_c spin_R(2s)

 

Le processus se poursuit tant que la longueur des répliques reste strictement supérieure à 2r_pl, seuil en deçà duquel plus aucune continuité n’est possible. L’égalité :

 

(3)               r_U(s) = 2r_pl

 

mène à une LONGUEUR CRITIQUE,

 

(4)               r_U,c(s) = [D(s + ½) - 1]r_pl = (2^2s+2 - 1)r_pl

 

de sorte que la condition de poursuite du processus est :

 

(5)               r_U >  r_U,c(s)

 

 

La finitude de la longueur caractéristique de spin_R(0) qui, par produit cartésien ou tensoriel, implique celle de spin_R(2s), est assurée par le résultat général suivant sur les espaces(-temps) PHYSIQUES :

 

 

 

LEMME DE COMPACITé

 

En reprenant les notations du corollaire 2 de spin - signature (B179), soient V₂ et V_p(s),q(s) des variétés spinorielles réelles dans spin_R(0) et spin_R(2s) respectivement, avec 2s dans N*. Alors :

 

i)                    V₂ est un domaine FERMé 2D de spin_R(0) ;

ii)                   V_p(s),q(s) est fermé dans les p(s) directions spatiales de spin_R(2s), ainsi que dans ses q(s) directions temporelles.

 

 

La preuve de ce lemme repose sur le caractère euclidien de spin_R(2s) dans ses p(s) directions spatiales comme dans ses q(s) directions temporelles, qui implique nécessairement que toute variété spinorielle V_p(s),q(s) courbe est un domaine spatialement et temporellement FERMé, bien qu’il ne le soit PAS dans les D(s) = 2^2s+1 directions au total, en raison de la signature hyperbolique [p(s),q(s)] de spin_R(2s). Pour s = 0, c’est évident, puisque spin_R(0) est purement spatial.

 

 

Un dernier point de détail, purement technique, reste à préciser.

 

Lorsqu’on travaille à partir de 4-vecteurs, on a l’habitude de représenter la phase d’un mouvement oscillant élémentaire comme k_ixⁱ. Spin - signature apporte une correction à cela. Si vous regardez la formule [B179, (9)], vous vous apercevez que le k_ixⁱ = k_ABx^AB est en fait le produit ELLIPTIQUE du covecteur d’onde k_i avec le vecteur position xⁱ. Cette notation vous mène désormais à une signature (4,0). Si vous voulez la signature (3,1), vous devez former le produit HYPERBOLIQUE k_ABx^BA = k_i(xⁱ)^t = (k_i)^txⁱ. Après ajustement du système d’axes, vous retrouvez la signature voulue :

 

(1)               k_ABx^BA = k₀₀x⁰⁰ + k₀₁x¹⁰ + k₁₀x⁰¹ + k₁₁x¹¹

      = ½ [(k₀₀ + k₁₁)(x⁰⁰ + x¹¹) + (k₀₀ - k₁₁)(x⁰⁰ - x¹¹) +

  + (k₀₁ + k₁₀)(x⁰¹ + x¹⁰) - (k₀₁ - k₁₀)(x⁰¹ - x¹⁰)]

      = k’₁x’¹ + k’₂x’² + k’₃x’³ - k’₀x’⁰

 

avec,

 

(2)               k’₁ = 2^-1/2(k₀₀ - k₁₁) , k’₂ = 2^-1/2(k₀₁ + k₁₀) , k’₃ = 2^-1/2(k₀₀ + k₁₁) , k’₀ = 2^-1/2(k₀₁ - k₁₀)

(3)               x’¹ = 2^-1/2(x⁰⁰ - x¹¹) , x’² = 2^-1/2(x⁰¹ + x¹⁰) , x’³ = 2^-1/2(x⁰⁰ + x¹¹) , x’⁰ = 2^-1/2(x⁰¹ - x¹⁰)

 

soit,

 

(4)               k’_i = 2^-1/2s_i^ABk_AB , x’ⁱ = 2^-1/2sⁱ_ABx^AB

(5)               g⁽⁰⁾_ijk^jxⁱ = ½ g⁽⁰⁾_ijs^j_ABsⁱ_CDk^ABx^CD

 

Remarquez que les produits des matrices s par les matrices k et x sont ELLIPTIQUES.

 

L’objet de ce nouvel article va être de démontrer le résultat général suivant :

 

 

THEOREME « SPIN - SIGNATURE »

 

Soient :

-         s dans ½ N, un « NOMBRE QUANTIQUE DE SPIN » (c'est-à-dire, de moment cinétique de spectre DISCRET) ;

-         D(s) = 2^2s+1, la dimension de l’algèbre de Clifford réelle spin_R(2s) ;

-         S, l’espace topologique de Stone d’une algèbre de Boole B = {0,1,NON,OU,ET} ;

et

 

(1)               W : S^2s+1 -> R^D(s) , (A₁,…,A_2s+1) -> W(A₁,…,A_2s+1) = W^{A(1)…A(2s+1)}

 

une application qui associe au (2s+1)-uplet de variables booléennes (A₁,…,A_2s+1) un vecteur à D(s) composantes réelles. Alors :

 

1)                 l’application TRANSPOSEE de l’application W est l’application définie comme,

 

(2)               W^t : S^2s+1 -> R^D(s) , (A₁,…,A_2s+1) -> W^t(A₁,…,A_2s+1) = W(A_2s+1,…,A₁)

 

et obtenue à partir de W en « lisant les variables à l’envers » ou « dans le miroir » ;

 

2)                 le produit scalaire,

 

(3)               W.W^t = W^{A(1)…A(2s+1)}W_{A(2s+1)…A(1)}

 

est de signature [2^2s + 2^E(s) , 2^2s - 2^E(s)], où E(.) désigne la fonction partie entière.

 

 

Preuve :

 

On commence par dénombrer les composantes du D(s)-vecteur W qui ne sont pas affectées par l’opération de transposition. Il s’agit de toutes celles qui vérifient :

 

W(A₁,…,A_2s+1) = W(A_2s+1,…,A₁),

 

soit pour A_2s+1 = A₁, A_2s = A₂,… Si s est demi-entier (« type fermionique » ou « F », en abrégé), s = E(s) + ½ et 2s + 1 = 2[E(s) + 1] est pair. Dans ce cas, on dénombre exactement (par une simple récurrence sur la valeur de s) 2^E(s)+1 composantes invariantes. Si s est l’entier immédiatement inférieur, s = E(s), 2s + 1 = 2E(s) + 1 est impair (« type bosonique » ou « B ») et il existe un élément « central » A_E(s)+1 qui est forcément laissé invariant par ^t. Comme E(.) « écrête » la valeur de s à l’entier immédiatement inférieur, ceci ne change pas le nombre total de composantes invariantes, qui reste à 2^E(s)+1. Etant donné que W^{A(1)…A(2s+1)} possède 2^2s+1 composantes, on dénombre donc 2^2s+1 - 2^E(s)+1 variables qui permutent sous ^t. Aussi, lorsque l’on va former le produit scalaire de W et de son transposé, on va trouver une somme de 2^E(s)+1 carrés euclidiens portant sur les composantes invariantes + une somme de [2^2s+1 - 2^E(s)+1] produits bilinéaires de composantes qui permutent. Or, tout produit bilinéaire XY se décompose canoniquement en :

 

XY = ¼ [(X + Y)² - (X - Y)²]

 

alors que toute somme de deux carrés euclidiens,

 

X² + Y² = ½ [(X + Y)² + (X - Y)²]

 

reste euclidienne. Par conséquent, sur les 2^2s+1 - 2^E(s)+1 produits bilinéaires dénombrés, la moitié, soit 2^2s - 2^E(s), va entrer dans WW^t avec un signe (+) et l’autre moitié, avec un signe (-). Le total est de 2^E(s)+1 + 2^2s - 2^E(s) = 2^2s + 2^E(s) carrés avec un signe (+) et 2^2s - 2^E(s) carrés avec un signe (-), conduisant à une signature [2^2s + 2^E(s) , 2^2s - 2^E(s)], comme énoncé. :)

 

 

A l’instar de son prédécesseur, le théorème « spin - statistique », qui établissait un lien entre le nombre quantique de spin et le type de statistique quantique, le « théorème spin - signature » permet d’établir le lien entre la structure spinorielle des univers de dimension 2^2s+1 et la signature de leur métrique, qui n’a donc plus rien « d’arbitraire ». Il apporte une réponse directe et même définitive à la question « pourquoi l’espace-temps possède-t-il tant de dimensions ‘du genre espace’ et tant ‘du genre temps’ ? », au moins dans le cas des univers dont la dimension est une puissance entière de 2.

 

 

COROLLAIRE 1

 

TOUS les univers de dimension 2^2s+1 > 2 sont COMPOSITES.

 

 

Preuve : ceci résulte directement de ce que,

 

(4)               spin_R(2s) = (x_t)^2s+1 spin_R(0)

 

est la (2s+1)-ème puissance tensorielle de spin_R(0). :)

 

 

Exemples.

 

s = 0 : D(0) = 2, W : S -> R², (W^A)^t = W^A,

 

(5)               W.W^t = (W⁰)² + (W¹)²

    = ½ [(W⁰ + W¹)² + (W⁰ - W¹)²]

    = (W’⁰)² + (W’¹)²

 

la signature est (2,0) et la géométrie, euclidienne. Comme nous allons le voir, mais qui résulte déjà du théorème, c’est LA SEULE géométrie qui reste EUCLIDIENNE, puisque 2^2s = 2^E(s) => 2s = E(s) => s = 0, vue la monotonie de l’application puissance et le fait que E(s) renvoie toujours l’entier immédiatement INFERIEUR à s. Le tenseur métrique g⁽⁰⁾_AB a pour composantes :

 

(6)               g⁽⁰⁾₀₀ = g⁽⁰⁾₁₁ = 1  ,  g⁽⁰⁾₀₁ = g⁽⁰⁾₁₀ = 0

 

Dans le référentiel W^A comme dans le référentiel,

 

(7)               W’⁰ = 2^-1/2(W⁰ - W¹)  ,  W’¹ = 2^-1/2(W⁰ + W¹)

 

obtenu après rotation des axes, au facteur conforme constant 2^-1/2 près (qu’on ne spécifiera plus par la suite).

 

 

s = ½ : D(1) = 4, W : S² -> R⁴,

 

(8)               W^AB = (W⁰⁰,W⁰¹,W¹⁰,W¹¹) = (W⁰,W¹,W²,W³) = Wⁱ        (i = 0,1,2,3)

(9)               (W^AB)^t = W^BA = (W⁰⁰,W¹⁰,W⁰¹,W¹¹) = (W⁰,W²,W¹,W³) = (Wⁱ)^t

 

La permutation des composantes W⁰¹ et W¹⁰ équivaut à l’échange des axes (1) et (2) de R⁴.

 

(10)           W.W^t = (W⁰)² + (W³)² + 2W¹W²

    = ½ [(W⁰ - W³)² + (W⁰ + W³)² + (W¹ + W²)² - (W¹ - W²)²]

    = (W’¹)² + (W’²)² + (W’³)² - (W’⁰)²

 

Dans le référentiel W^A, les composantes non nulles de g⁽⁰⁾_ij sont,

 

(11)           g⁽⁰⁾₀₀ = g⁽⁰⁾₃₃ = g⁽⁰⁾₁₂ = 1

 

Après rotation des axes, la signature est (3,1) avec un tenseur métrique qui prend la forme diagonale, dite « de Minkowski, genre espace » :

 

(12)           g’⁽⁰⁾₁₁ = g’⁽⁰⁾₂₂ = g’⁽⁰⁾₃₃ = -g’⁽⁰⁾₀₀ = +1

 

 

s = 1 : D = 8, W : S³ -> R⁸,

 

(13)           W^ABC = (W⁰⁰⁰,W⁰⁰¹,W⁰¹⁰,W⁰¹¹,W¹⁰⁰,W¹⁰¹,W¹¹⁰,W¹¹¹)

    = (W⁰,W¹,W²,W³,W⁴,W⁵,W⁶,W⁷) = W^I                 (I = 0,…,7)

 

(14)           (W^ABC)^t = W^CBA = (W⁰⁰⁰,W¹⁰⁰,W⁰¹⁰,W¹¹⁰,W⁰⁰¹,W¹⁰¹,W⁰¹¹,W¹¹¹)

         = (W⁰,W⁴,W²,W⁶,W¹,W⁵,W³,W⁷) = (W^I)^t

 

4 axes sont laissés invariants : (0), (2), (5) et (7). 4 axes permutent : (1) avec (4), (3) avec (6).

 

(15)           W.W^t = (W⁰)² + (W²)² + (W⁵)² + (W⁷)² + 2(W¹W⁴ + W³W⁶)

    = ½ [(W⁰ + W²)² + (W⁰ - W²)² + (W⁵ + W⁷)² - (W¹ - W⁴)² +

+ (W¹ + W⁴)² + (W⁵ - W⁷)² + (W³ + W⁶)² - (W³ - W⁶)²]

    = (W’¹)² + (W’²)² + (W’³)² - (W’⁰)² + (W’⁵)² + (W’⁶)² + (W’⁷)² - (W’⁴)²

 

Dans le référentiel W’^I, la signature est (6,2) et le tenseur métrique est minkowskien, diagonal bloc :

 

(16)           g’^(A)(A)_ij = g’⁽⁰⁾_ij  ,    g’^(A)(1-A)_ij = 0                (i,j = 0,1,2,3)

 

 

Le cas W’.W’^t = 1 nous ramène aux polarisations (B 171). On note, en abrégé, cos(ksi_n) = c_n, sin(ksi_n) = s_n , ch(ksi_n) = ch_n et sh(ksi_n) = sh_n pour des angles ksi_n et un n dans N*.

 

Pour s = 0, la paramétrisation est :

 

(17)           W’⁰ = W’₀ = c₁ , W’¹ = W’₁ = s₁

 

On n’a qu’un seul angle de rotation, autant que SO(2). Les états purs sont x’^A = s₂W’^A ; le mélange, s₂ = W’_Ax’^A.

 

Pour s = ½, c’est :

 

(18)           W’¹ = W’₁ = c₁c₂ch₃ , W’² = W’₂ = c₁s₂ch₃

W’³ = W’₃ = s₁ch₃ , W’⁰ = -W’₀ = sh₃

 

Il y a 3 angles de rotation, autant que SO(3). Les états purs sont x’ⁱ = s_3,1W’ⁱ ; le mélange, s_3,1 = W’_ix’ⁱ.

 

Pour s = 1,

 

(19)           W’¹ = W’₁ = c₁c₂c₃c₄c₅ch₆ , W’² = W’₂ = c₁c₂c₃c₄s₅ch₆

W’³ = W’₃ = c₁c₂c₃s₄ch₆ , W’⁵ = W’₅ = c₁c₂s₃ch₆ , W’⁶ = W’₆ = c₁s₂ch₆

W’⁷ = W’₇ = s₁ch₆ , W’⁰ = -W’₀ = c₁sh₆ , W’⁴ = -W’₄ = s₁sh₆

 

Il y a 6 angles de rotation, autant que SO(4). Les états purs sont x’^I = s_6,2W’^I ; le mélange, s_6,2 = W’_Ix^I.

 

On établit sans difficulté que, pour s = 3/2, on dénombre 10 angles de rotation, autant que SO(5), ce qui donne :

 

W’¹ = c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇c₈c₉ch₁₀ , W’² = c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇c₈s₉ch₁₀ , W’³ = c₁c₂c₃c₄c₅c₆c₇s₈ch₁₀ ,

W’⁴ = c₁c₂c₃c₄c₅c₆s₇ch₁₀ , W’⁵ = c₁c₂c₃c₄c₅s₆ch₁₀ , W’⁶ = c₁c₂c₃c₄s₅ch₁₀ ,

W’⁷ = c₁c₂c₃s₄ch₁₀ , W’⁸ = c₁c₂s₃ch₁₀ , W’⁹ = c₁s₂ch₁₀ , W’¹⁰ = s₁ch₁₀ ,

W’¹¹ = c₁c₂c₃c₄c₅sh₁₀ , W’¹² = c₁c₂c₃c₄s₅sh₁₀ , W’¹³ = c₁c₂c₃s₄sh₁₀ , W’¹⁴ = c₁c₂s₃sh₁₀ ,

 

pour,

 

(W’¹)² + (W’²)² + (W’³)² + (W’⁴)² + (W’⁵)² + (W’⁶)² + (W’⁷)² + (W’⁸)² +

+ (W’⁹)² + (W’¹⁰)² - [(W’¹¹)² + (W’¹²)² + (W’¹³)² + (W’¹⁴)² + (W’¹⁵)² + (W’¹⁶)²] = 1

 

On tient la récurrence. Pour une signature [2^2s + 2^E(s) , 2^2s - 2^E(s)], il faut autant d’angles de rotation que le nombre de générateurs du groupe des rotations réelles SO(2s + 2), soit (s + 1)(2s + 1). Le (s + 1)(2s + 1)-ième de ces angles apparaît comme arguments des fonctions de l’hyperbole ch(.) et sh(.). Tous les autres sont arguments des fonctions du cercle cos(.) et sin(.). Nous venons d’établir le :

 

 

COROLLAIRE 2

 

Pour une signature [p(s) = 2^2s + 2^E(s) , q(s) = 2^2s - 2^E(s)], p(s) + q(s) = D(s),

 

a) le nombre total d’angles de polarisation est de :

 

(20)           dim[SO(2s + 2)] = (s + 1)(2s + 1)

 

s(2s + 3) de ces angles sont sphériques, seul le dernier est hyperbolique.

 

b) Dans les référentiels primés, les états purs sont :

 

(21)           x’ⁱ = s_p(s),q(s)W’ⁱ                  [i = 1,…,D(s)]

 

c) les covecteurs polarisation,

 

(22)           W’_i = g⁽⁰⁾_ijW’^j                   [i,j = 1,…,D(s)]

 

d) et le mélange,

 

(23)           s_p(s),q(s) = W’_ix’ⁱ

 

:)

 

On termine par deux définitions qui vont rappeler des souvenirs familiers à tout le monde :

 

 

DEFINITIONS :

 

Les états purs tels que décrits par (21) sont connus sous le nom de DIMENSIONS PHYSIQUES et le mélange (23) sous celui D’INTERVALLE SPATIO-TEMPOREL.

 

 

Cette fois-ci, je crois que la description physico-géométrique du paradigme est complète.

 

On devrait pouvoir passer aux applications.

 

ON A UN PROBLEME DE CONSTRUCTION Lié AU CHOIX DE LA DEFINITION DES UNITéS DE M₂(R). VEUILLEZ NE PLUS TENIR COMPTE DE LA BIDOUILLE B172 ET DU FORMULAIRE B173.

 

Je laisse ces articles en place car les retirer décalerait les dates de publication. Les calculs sont corrects, mais c’est le choix de e(A) = cos(Api/2) qui ne va pas lorsque A est booléen. J’avais fait ce choix pour obtenir un comportement oscillant dans le cas continu, mais la fonction et ses propriétés s’avèrent incompatibles avec la situation booléenne. J’aurais dû vérifier cela plus tôt, c’est tout…

 

J’ai souvenir d’une étude de M₂(R) qui partait de matrices unités nilpotentes notées 1 et 1*, mais je ne sais plus où dans ce blog… Ce sera l’occasion de la reprendre sous une forme légèrement différente et, ce faisant, de rafraîchir un peu des idées plus anciennes.

 

On repart de variables d’états A,B,C,… booléennes, pas de changement à ce niveau-là. L’unité la plus fondamentale de M₂(R) est la matrice 1, de composantes :

 

(1)               1^AB = (1 - A)B = (0,1,0,0)

 

Cette matrice a trace et déterminant nuls. Elle n’est donc pas inversible. Pour se construire, elle ne requiert que les opérations de base :

 

(2)               I : S -> S , A -> I(A) = 1 - A                                (inversion logique)

(3)               ET : S² -> S² , (A,B) -> A ET B = AB                  (produit logique)

 

où S est l’espace de Stone comme précédemment. A l’aide de l’opération de permutation :

 

(4)               P : S² -> S² , (A,B) -> P(A,B) = (B,A)

 

on construit la transposée de (1) comme la matrice de composantes,

 

(5)               1^P(A,B) = 1^BA = (1 - B)A = (0,0,1,0)

 

A l’aide des propriétés de l’algèbre de Boole, les identités suivantes sont faciles à établir :

 

(6)               (1²)^AB = 0                                                                         (nilpotence)

(7)               1^AC1^B_C = ½ (1^A,1-B + 1^B,1-A) = (1 - A)(1 - B)                    (OU logique inversé)

(8)               1^CA1_C^B = ½ (1^1-A,B + 1^1-B,A) = AB                        (ET logique)

(9)               1^AC1_DC1^DB = 1^AB , 1^CA1_CD1^BD = 1^BA                                 (redondances)

(10)           1^AC1_DC1^DE1^B_E = 1^AC1^B_C , 1^CA1_CD1^ED1_E^B = 1^CA1_C^B            (redondances)

 

L’action de ces unités sur un vecteur à 2 états v^A est :

 

(11)           1^ABv_B = S_B=0¹ (1 - A)Bv_B = (1 - A)v¹ = (v¹,0)

(12)           1^BAv_B = S_B=0¹ (1 - B)Av_B = Av⁰ = (0,v⁰)

(13)           1^ABv_Bv_A = S_B=0¹S_A=0¹ (1 - A)Bv_Bv_A = 1^BAv_Bv_A = v¹v⁰

 

Ensuite, les superpositions linéaires :

 

(14)           (s^C)^AB = 1^AB + (-1)^1-C1^BA = (-1)^1-C(s^C)^BA

 

fournissent deux unités INVERSIBLES de M₂(R), s⁰ et s¹, qui remplacent les anciennes notations s⁰⁰ et s¹⁰. Sous forme logique :

 

(15)           (s⁰)^AB = -(A - B) = (0,1,-1,0)

(16)           (s¹)^AB = A XOR B = (0,1,1,0)

(17)           Tr(s^C) = 0 , Det(s^C) = (-1)^C

 

Inversement :

 

(18)           1^AB = ½ (s⁰ + s¹)^AB

 

Les deux autres unités inversibles, s⁰¹ et s¹¹, se DEDUISENT en fait des matrices s⁰ et s¹, puisque :

 

(19)           (s⁰¹)^AB = ½ (1^A,1-B - 1^1-B,A + 1^B,1-A - 1^1-A,B) = 1 - A - B = (1,0,0,-1)

(20)           (s⁰¹)^AA = (s⁰⁰)^A,1-A  ,  (s⁰¹)^A,1-A = 0

 

et

 

(21)           (s¹¹)^AB = ½ (1^A,1-B + 1^1-B,A + 1^B,1-A + 1^1-A,B)

     = A IAND B = 1 - (A XOR B) = (1,0,0,1)

(22)           (s¹¹)^AA = (s¹⁰)^A,1-A  ,  (s¹¹)^A,1-A = 0

 

L’IDENTITE s¹¹ DE M₂(R) N’EST DONC PAS SI FONDAMENTALE QUE CA.

 

Les relations (7) et (8) fournissent déjà des ET logiques. Les autres opérations booléennes de base sont la somme arithmétique :

 

(23)           A + B = 1^AB + 1^BA + 1^1-A,B + 1^1-B,A

 

et la somme logique,

 

(24)           A OU B = A + B - AB = 1^AB + 1^BA + ½ (1^1-A,B + 1^1-B,A)

 

Les propriétés vraiment essentielles des matrices s se réduisent maintenant à :

 

(25)           (s^-1)^C = (-1)^1-Cs^C

(26)           (s^C)² = (-1)^1-Cs¹¹

(27)           s¹s⁰ = -s⁰s¹ = -s⁰¹  

 

car les deux dernières offrent UNE AUTRE MANIERE de reconstruire s⁰¹ et s¹¹. Toutes les autres relations de commutation ou d’anti-commutation de B173 se déduisent des propriétés de COMMUTATIVITé :

 

(28)           (s⁰)²s¹ = s¹(s⁰)² = -s¹ , s⁰(s¹)² = (s¹)²s⁰ = s⁰

 

Les invariants de (s^-1)^C et de (s^C)² sont :

 

(29)           Tr[(s^-1)^C] = 0 , Det[(s^-1)^C] = (-1)^C

(30)           Tr[(s^C)²] = 2(-1)^1-C , Det[(s^C)²] = 1

 

Si l’on regarde les choses en termes de nombres et d’états, un scalaire est un nombre usuel, c’est-à-dire, dans un seul état ; un vecteur à n composantes, un nombre dans n états et un tenseur d’ordre p, un nombre dans n^p états au plus. L’action d’un tel nombre sur un nombre à n états donne un nombre à n^p+1 états au plus : c’est le fameux produit tensoriel. L’action DE CONVOLUTION, elle, donne un nombre à n^p-1 états au plus : c’est le produit tensoriel contracté sur une paire d’indices (somme sur des états « intermédiaires »). Par conséquent, lorsque n = 2, les vecteurs apparaissent comme des nombres à 2 états sur lesquels peuvent agir des nombres à 2² = 4 états qui sont les matrices de M₂(R) et, en particulier, ses unités inversibles s⁰ et s¹. Pourquoi ce « changement de langage » ? Parce qu’on sait qu’un nombre réel à un seul état ne peut être de carré négatif, alors que, dès que son nombre d’états est >= 2, c’est tout à fait possible. C’est le cas de s⁰. Autrement dit :

 

C’est PARCE QU’IL Y A 2 ETATS et non un seul qu’un nombre tel que s⁰ peut apparaître, amenant avec lui une structure SYMPLECTIQUE.

 

Si je multiplie s⁰ par lui-même, je n’obtiens qu’un nombre à 16 états, de composantes :

 

(s⁰)^AB(s⁰)^CD = (0,0,0,0,0,1,0,-1,0,-1,0,1,0,0,0,0)        (n = p = 2, 2² x 2² = 16)

 

C’est son produit DE CONVOLUTION, de composantes :

 

(s⁰)^AB(s⁰)_B^D = S_B=0¹ (s⁰)^AB(s⁰)^BD = (-1,0,0,-1) = -Id    (n = p = 2, 2^4-2 = 4)

 

qui donne (s⁰)² = -Id et la structure symplectique (comme nous n’aurons plus besoin, ni de s¹¹, ni de s⁰¹, je reviens à la notation habituelle s¹¹ = Id). Le produit contracté, ce n’est ni plus ni moins qu’une trace partielle. Si je recontracte, j’obtiens un nombre usuel :

 

(s⁰)^AB(s⁰)_BA = Tr[(s⁰)²] = -Tr(Id) = -2

 

Ce nombre est NEGATIF.

 

C’est donc L’ECART 1^AB - 1^BA = 1^AB - 1^P(A,B), i.e. LE DEFAUT DE SYMETRIE de l’unité NON inversible de M₂(R), joint au fait que 1 est NILPOTENTE, qui donne naissance à la structure symplectique.

 

Les matrices carrées d’ordre 2 symétriques non nulles ne peuvent en effet être nilpotentes d’ordre 2. Par contre, les antisymétriques le peuvent : ce sont les matrices (non inversibles et de trace nulle) a(1,1,-1,-1) et a(1,-1,1,-1) pour a réel non nul. L’affirmation « M est nilpotente d’ordre 2 <=> M est asymétrique » est donc fausse en général, les nilpotentes non nulles de M₂(R) étant b1^AB, c1^BA et (a,b,-a²/b,-a) pour a,b et c réels non nuls. Il faut donc bien que les DEUX conditions soient réalisées en même temps (asymétrie + nilpotence) pour que la structure symplectique puisse apparaître : c’est tout sauf accidentel. Rien de « hasardeux » à cela. C’est, au contraire, dû à la propriété du nombre à 4 états (0,1,0,0) qui est la représentation d’un OPERATEUR UNITé. Les produits de convolution (7) et (8) le montre bien ensuite :

 

(31)           S_B=0¹ (1 - A)(1 - B)v_B = (1 - A)v⁰ = (v⁰,0)

(32)           S_B=0¹ ABv_B = Av¹ = (0,v¹)

 

donnent naissance aux PROJECTEURS : le OU inversé, sur l’axe (0) ; le ET, sur l’axe (1).

 

On pousse donc vraiment l’analyse jusqu’aux éléments les plus fondamentaux de l’algèbre M₂(R). Le passage de la métrique EUCLIDIENNE :

 

(33)           ds₄² = d_ACd_BDdx^ABdx^CD = dx^ABdx_AB = Tr[dx(dx)^t]

 

à la métrique PSEUDO-euclidienne,

 

(34)           ds_3,1² = g⁽⁰⁾_ijdxⁱdx^j = S_a=1³ (dx^a)² - (dx⁰)²

 

n’a donc RIEN DE FORTUIT. C’est dû au fait que le tenseur métrique de Minkowski se construit composante par composante à partir des relations :

 

(35)           g⁽⁰⁾₀₀ = ½ Tr[(s⁰)²] = -1 , g⁽⁰⁾₁₁ = ½ Tr[(s⁰s¹)²] = +1

g⁽⁰⁾₂₂ = g⁽⁰⁾₃₃ = ½ Tr[(s¹)²] = -½ Tr[(s⁰)²] = +1

 

la nullité de toutes les autres composantes non diagonales résultant directement des relations (28). En fait, les propriétés (26-28) des matrices s^C induisent un résultat beaucoup plus général. Toute matrice M de M₂(R) étant décomposable sur la base des s^C suivant :

 

(36)           M = m₀₀s⁰ + m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

 

si l’on voit M comme une APPLICATION,

 

(37)           M : M₂(R) x M₂(R) -> M₂(R)

(38)           (s⁰,s¹) -> M(s⁰,s¹) = m₀₀s⁰ + m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

 

alors TOUTE PUISSANCE DE M OU DE MM^t est de la forme (38). C’est la raison pour laquelle le résultat se trouvera TOUJOURS dans M₂(R) : seuls les coefficients changeront. Mais l’application résultante ne sera jamais qu’au plus BILINEAIRE en s⁰ et s¹ (c’est la structure de groupe additif et multiplicatif à l’origine de celle d’algèbre). De plus, comme seule s⁰ est antisymétrique, la transposée de M s’obtiendra toujours à partir de M par INVERSION DU SIGNE DE m₀₀ :

 

(39)           M^t = -m₀₀s⁰ + m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

 

Par suite, la partie SYMETRIQUE de M :

 

(40)           M_s = ½ (M + M^t) = m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹ + m₁₁Id

(41)           M_s² = m₁₁(m₀₁s⁰s¹ + m₁₀s¹) + (m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)Id

(42)           Tr(M_s²) = 2(m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²) >= 0

 

sera associée au « genre espace » sur l’espace-temps de Minkowski E_3,1, tandis que la partie ANTISYMETRIQUE de M,

 

(43)           M_a = ½ (M - M^t) = m₀₀s⁰

(44)           M_a² = -m₀₀²Id

(45)           Tr(M_a²) = -2m₀₀² =< 0

 

sera associée au « genre temps ». Puisque M = M_s + M_a et M^t = M_s - M_a, on a donc :

 

(46)           M_sM_a - M_aM_s = [M_s,M_a]_- = m₀₀(m₀₁Id - m₁₀s⁰)s¹

(47)           M_sM_a + M_aM_s = [M_s,M_a]₊ = m₀₀m₁₁s⁰

(48)           MM^t = M_s² - M_a² - [M_s,M_a]_-

(49)           M^tM = M_s² - M_a² + [M_s,M_a]_-

(50)           [M,M^t]_- = -2[M_s,M_a]_-  ,  [M,M^t]₊ = 2(M_s² - M_a²)

(51)           M² = M_s² + M_a² + [M_s,M_a]₊

 

On comprend alors que c’est parce que Tr(M_a²) est négative et que MM^t, comme M^tM, ont pour partie SYMETRIQUE M_s² - M_a² alors que M² a pour partie symétrique M_s² + M_a² que :

 

(52)           Tr(MM^t) = Tr(M^tM) = Tr(M_s²) - Tr(M_a)² = Tr(M_s²) + Abs[Tr(M_a)²]

= 2(m₀₀² + m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)

(53)           Tr(M²) = Tr(M_s²) + Tr(M_a)² = Tr(M_s²) - Abs[Tr(M_a)²]

= 2(-m₀₀² + m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)

 

Le passage de la signature (+,+,+,+) à la signature (-,+,+,+) est uniquement dû à la partie ANTISYMETRIQUE de M. Si m₀₀ = 0, cette partie est ABSENTE, M est donc SYMETRIQUE et :

 

(54)           M_a = 0 <=> MM^t = M^tM = M² = M_s² <=> Tr(M²) = 2(m₀₁² + m₁₀² + m₁₁²)

 

La réciproque est, en effet, toute aussi vraie : si Tr(M²) = Tr(M_s²), alors, en vertu de (51), M_a ne peut être que nulle et non seulement de carré nul (en raison de l’anti-commutateur).

 

Si l’on avait affaire à des nombres usuels, des nombres à un seul état, M^t = M et MM^t = M^tM = M², de sorte que M_s² - M_a² = M_s² + M_a² et [M_s,M_a]_- = [M_s,M_a]₊ = 2M_sM_a = 0, entraînant de facto M_a = 0 (M_s = 0 conduirait à M_a = 0, soit M = 0). Mais on a affaire à des nombres à QUATRE états. Non seulement le commutateur n’a plus de raison d’être nul en général, mais la condition M_a² < 0 est désormais autorisée. CE QUI EST LE CAS. Aussi et contrairement aux apparences, lorsqu’on fait appel à la valeur absolue de la trace de M_a² qui, elle, EST un nombre usuel, on s’aperçoit que c’est M_s² - M_a² qui est de type ELLIPTIQUE et donc, EUCLIDIEN, tandis que M_s² + M_a² s’avère de type HYPERBOLIQUE et donc, PSEUDO-euclidien. :) Conclusion :

 

LE FAIT MÊME de constater la présence d’un « espace-temps » autour de soi, même s’il ne devient vraiment perceptible qu’aux vitesses proches de c, PROUVE que la structure sous-jacente NE PEUT PAS ETRE A UN SEUL ETAT. C’EST IMPOSSIBLE.