Dans la bidouille précédente, j’ai tenté de justifier la réintroduction du multivers. Dans la bidouille 62, j’ai introduit le concept « d’hyperchamp » pour décrire la dynamique des milieux quantiques continus (c’est-à-dire, macroscopiques). Dans cette bidouille, nous allons essayer de reprendre la chronologie des événements depuis la création de l’Univers, évidemment à la lumière de nos connaissances actuelles. Ceci nous conduira à l’organisation de la matière et nous recollera aux sciences du vivant et du comportement.

 

Il est essentiel de bien distinguer entre le cadre physique et tout ce qui est susceptible de le peupler, matière ou même rayonnement. Plusieurs thèses s’affrontent encore sur les débuts de l’Univers. Moi, je pars du principe qu’au départ, il n’y avait que de l’espace, du temps et du vide. Un vide « universel », c’est-à-dire, ne portant aucune caractéristique physique : masse et charges nulles, spin zéro.

Il existe deux manières de décrire un vide quantique. La première se base sur la théorie quantique 3D, on se donne une observable quantique A, c’est-à-dire, un opérateur agissant dans l’espace des états E d’un système physique et on calcule les moyennes, sur l’ensemble des états |y> du système, de A et de A². Si <A> = <y|A|y> = 0, mais <A²> = <y|A²|y> ¹ 0, on est en présence du vide de A. On établit généralement ce concept de vide dans la cadre de la théorie de l’oscillateur harmonique quantique en relativité d’espace. L’état [<A> = 0 , <A²> ¹ 0] signifie que le système se trouve dans son « mode fondamental », d’énergie minimale. Ce mode est complètement dépeuplé. Néanmoins, il subsiste des fluctuations (« fluctuations du vide », une propriété purement quantique) qui font que, si l’on effectue une mesure de A, on peut trouver un résultat non nul, même en l’absence de toute particule du champ (alors qu’en théorie classique, un champ ne présentant aucun vecteur est rigoureusement nul). Si l’on effectue une autre mesure, on pourra trouver un résultat différent, voire le même : ça fluctue.

La seconde manière, la plus complète, est de passer au 4D. L’état |y> du système devient alors lui-même une observable, de sorte qu’il faut le décrire comme un opérateur de champ. C’est la « seconde quantification ». Le nouveau vecteur d’état devient le nombre d’occupation des niveaux d’énergie-impulsion du système, |n>. On peut alors élaborer une autre série de mesures qui sont <n|y|n> = <y>_n, moyennes sur les niveaux d’occupation du système (nombre de quanta de champ présent sur le niveau d’énergie-impulsion p_mn). D’ordinaire, la moyenne statistique est prise sur le vide (n = 0) : <0|y|0> = <y>₀ = <y>. Le « vide de champ » (matière ou rayonnement) est maintenant décrit par le ket |n=0> et le bra <n=0|. Il se caractérise par <0|y|0> = 0, mais <0|y*y|0> ¹ 0 : c’est ce qui remplace les relations précédentes, dites de « première quantification ». <0|y*y|0> ¹ 0 signifie « j’ai des fluctuations de champ, je peux donc décrire mon vide comme le siège de ‘paires virtuelles’ susceptibles de se séparer et de faire émerger aussi bien de la matière que du rayonnement, dès que mon vide est polarisé sous l’action d’un champ extérieur ».

Dans le cas du vide universel, il n’existe a priori aucun « champ extérieur » : d’abord, parce qu’on part du principe qu’il n’existe rien d’extérieur à l’Univers ; ensuite, parce qu’il n’existe encore aucun champ physique concret susceptible de polariser ce vide. Donc, pour éviter que le serpent ne se morde la queue, il faut considérer que ce vide-là interagit avec lui-même. De cette manière, il peut « s’auto-polariser » et permettre à la matière et au rayonnement d’émerger.

J’ai choisi de noter c ce vide universel, pour le distinguer de tous les autres champs y de particules et même de leurs vides.

L’universalité de c = c₁ + ic₂ permet de s’en saisir de coordonnée.

Seulement… on est quantique. Il est donc hors de question que les coordonnées classiques x^m soient utilisées. Ce qui présente une signification physique, ce qui est observable, ce sont les opérateurs position x^mId. Aussi, voilà ce qui va se passer.

Quand je vais ne considérer qu’un seul état pur |c>, mon projecteur associé sera r = |c><c| = r⁺ et mon observable classique de position :

 

(1a)  <x^m> = Tr(x^mIdr⁺) = Tr(x^mIdr) = x^mTr(r) = x^m

 

puisque, dans un état pur, non seulement r est hermitique, mais sa trace est égale à 1, vu que la probabilité se conserve. Par conséquent, la moyenne statistique de x^mId sur l’ensemble des états purs coïncide avec la position classique.

Il n’en va plus du tout de même dès que je considère plusieurs états purs |c_i> qui seront autant de kets propres de mes opérateurs énergie-impulsion P_m = iħ¶_m, i.e. tels que c_i(x) ~ exp(ik_mix^m) avec des impulsions-énergie bien définies p_mi = ħk_mi. Mes projecteurs étant les r_ij = |c_i><c_j|, je trouve à présent :

 

(1b)  <x^m>_ij = Tr(x^mIdr_ij⁺) = Tr(x^mIdr_ji) = x^mTr(r_ji)

 

soit autant de coordonnées classiques que de projecteurs…

Si je mélange ces états purs, c’est pire… Je note :

 

(1c)  <<x^m>>_ij = Tr(x^mIdR_ij⁺) = x^mTr(R_ij⁺)

 

ces moyennes obtenues sur mélange d’états propres.

Si je regroupe tout ça, j’obtiens un système de coordonnées opératorielles (r = |c><c| , x^mId) sur D et, si je projette sur les états propres de P_m, des systèmes de coordonnées (c_1i , c_2i , <x^m>_ii) sur chaque état propre ou bien (c_1i , c_2i , <<x^m>>_ii) après mélange statistique.

Dans le premier système de coordonnées, je suis obligé de raisonner dans D, car seuls les opérateurs position ont une signification quantique. Dans les deux systèmes suivants, je peux revenir au fonctionnel, parce que mes moyennes étant des quantités « globales », « macroscopiques », elles ont une signification « classique ». x^m présente une signification classique, mais pas quantique. C’est x^mId. x^m seul n’est pas une observable quantique, mais un simple paramètre vectoriel dynamique.

A l’inverse, si je peux utiliser des variables classiques <x^m>_ii et <<x^m>>_ii, je ne peux plus utiliser conjointement mes opérateurs r_ij et R_ij, parce que ce ne sont pas des observables classiques… (!) Ce sont des observables « locales », « microscopiques » (pour r_ij) et « mésoscopiques » pour R_ij… (!!!)

Faut s’y retrouver… J

 

Du coup, je me retrouve avec un système de coordonnées (c_1i , c_2i , <<x^m>>_ii) qui me permet de me repérer dans « la configuration de vide n°i de mon multivers U », à savoir, X_i. Quant aux <<x^m>>_ij pour j ¹ i, elles repèrent ma position (4D) « entre » les configurations X_i et X_j de U. Il devrait paraître clair que chaque X_i n’est que 4D, puisque les états propres c_1i et c_2i y sont fixés au sens où c_i possède la même énergie-impulsion p_mi = ħk_mi dans tout X_i (c_i est « le vide qui règne dans X_i », le « vide universel de X_i » - il est donc forcément le même partout).

 

Ainsi, dans U, un système de coordonnées « macroscopique » sera donné par (c₁,c₂,<<x^m>>), qui se projettera ensuite suivant les divers états propres.

Ça veut aussi dire que, contrairement aux X_i, les coordonnées (c₁,c₂) sont variables dans U, si bien qu’on n’y trouvera plus de configurations « nettes » mais, au contraire, des « mélanges flous ». Des mélanges flous « aux contours mal définis ». Et « lentement fluctuants ».

 

Comme ceux des « Etres de Lumière » perçus par les EMistes…

 

J’ajoute que U est de dimension 6, bien que chacune de ses configurations propres ne soit que 4D. Ceci provient évidemment du fait qu’on fixe c₁ à c_1i et c₂ à c_2i pour i fixé.

Il s’ensuit que toute paramétrisation <<x^m>>(c₁,c₂) est une « surface de vide » tracée dans U. Il suffit alors que c soit U(1) pour que cette surface se referme en un tube (topologie de type M⁴xS¹). Si je prends comme point de départ (c₁ = c_1i , c₂ = c_2i), <<x^m>>(c_1i,c_2i) = <<x^m>>_ii se situera quelque part dans l’univers X_i ; Si je prends comme point d’arrivée (c₁ = c_1j , c₂ = c_2j), <<x^m>>(c_1j,c_2j) = <<x^m>>_jj se situera quelque part dans l’univers X_j. Entre le départ et l’arrivée, entre l’entrée et la sortie du tube, mon vide aura varié (continûment) de (c_1i,c_2i) à (c_1j,c_2j) et la longueur (4D) de mon tube sera <<x^m>>_ij (axe dirigé direction x^m). Mon énergie-impulsion ne sera plus définie à l’intérieur du tube, puisqu’elle variera au contraire d’une valeur définie à une autre.

 

LE TROU DE VER EST UNE STRUCTURE EMERGEE DU VIDE QUANTIQUE.

SI L’ON NEGLIGE CE VIDE, ON POSE c = 0 PARTOUT, LE TROU DE VER SE REDUIT A UN POINT <<x^m>>(0,0), SA LONGUEUR EST NULLE ET TOUTES LES CONFIGURATIONS DE U DEGENERENT EN UNE SEULE…

…M⁴, L’ESPACE-TEMPS CLASSIQUE.

 

La divergence de vue sur l’Univers est venue avec la cosmologie quantique :

 

-         avant, on se représentait l’Univers comme quelque chose d’éventuellement multiple, mais uniquement au niveau microscopique des particules subatomiques ; et on considérait qu’avec son développement (i.e. au cours de son expansion et de son organisation), il avait dégénéré en quelque chose d’unique ; on allait même jusqu’à considérer que les dimensions physiques > 4, au mieux se repliaient dans ces niveaux subatomiques, au pire dégénéraient en une structure 4D ;

-         depuis, on se représente encore l’Univers comme quelque chose d’unique, mais susceptibles de présenter d’innombrables (et peut-être même infinies) configurations et ce, à toutes les échelles de description.

 

Pourquoi ?

Parce que l’Univers EST quantique : il nait quantique ET IL LE RESTE. Ce sont ses configurations à énergie-impulsion de vide définies qui sont susceptibles de « devenir classiques » à grande échelle. Mais vous ne rendrez jamais classique un mélange aléatoire de configurations. Les moyennes établies plus haut sont des grandeurs globales, calculées sur un ensemble de configurations ; des grandeurs, je l’ai dit, macroscopiques, « phénoménologiques ». Mais certainement pas déterministes !!! Les x^m sont des variables déterministes, « classiques » (c’est quand même ça, le classique, à la base…) ; les <<x^m>>_ij sont clairement stochastiques.

On rejoint tout à fait Prigogine, qui ne disait rien d’autre sur la cosmologie quantique, à savoir qu’on n’est déterministe qu’aux petites échelles, localement. Au-dessus, vous êtes obligés de faire appel à la statistique. Ou vous vous retrouvez complètement à côté de la réalité.

Si vous voulez, d’une manière semblable à celle qui va donner naissance aux structures ordonnées dans la région observable de « notre » univers (commençons déjà par nous repositionner à la place qui est la nôtre… J), structure qui présente des formes définies,  l’Univers quantique est capable de « se structurer » en configurations multiples à vide défini.

Chaque configuration va se développer suivant SA « flèche du temps » (<<x⁰>>_ii), dans SON espace (<<x>>_ii) : X_i est 4D et « propre », il possède donc son propre temps et son propre espace (qui ne sont évidemment que des configurations de l’espace-temps 6D de U dues à la fixation des états de vide).

Tout ça, c’est du « découpage mental » pour tenter d’y voir clair… La seule réalité physique, c’est U. Tout le reste n’en est que des projections.

Je préfèrerais de loin raisonner entièrement dans U. Mais, il faut bien « redescendre » en 4D pour connecter avec la biologie…

Déjà qu’il doit avoir du mal à comprendre tout ce charabia, alors… :))

 

Ce charabia « cosmoquantique », il dit ceci : votre Univers 6D… il sera toujours quantique. Ce sont ses configurations de vide qui, au fil de leur évolution 4D, pourront prendre un aspect « classique ». Et encore… si je me restreins à 2 corps maxi.

Mais, tout ça, ce sont des apparences. Votre réalité physique, elle est quantique.

Le principe de base de la cosmologie quantique, c’est ça. Big-Bang ou pas Big-Bang.

C’est un monde physique qui se moque des obstacles matériels, qui extrait son rayonnement et sa matière de son propre vide, qui va toujours au plus court, qui passe « d’un monde à l’autre », qui se régénère lui-même, etc.

« Notre » univers observable a bien su s’ordonner « localement » tout en restant désordonné à son échelle, non ?

L’Univers quantique suit la même idée : possibilité « d’ordonnancement local » du vide dans chaque configuration (« structuration du vide »), désordre global (« vide quantique »).

Si, quelque part, votre vide quantique fluctue trop fortement, macache ! vous ne pourrez absolument rien y organiser. Si vous pouvez organiser des corps physiques entre eux, c’est parce que « notre » vide nous le permet… J Parce qu’à 2,7K, la température de notre cosmos est bien trop basse pour que le vide y fluctue encore de façon significative…

Mais quand elle était encore autour du million de degrés… tu disséquais pas des souris… lol

 

Les sciences du vivant et du comportement voient en 4D et dans « notre » univers. Rien de plus normal : on place en priorité ce qui se passe sur notre planète…

Nous, nous regardons dans le cosmos et en 6D.

Parce qu’on n’a rien d’autre à foutre… :))

 

J’estime donc que c’est à moi de raisonner dans U, en quantique et en 6D, puis de projeter en 4D, dans un X_i quelconque, peu importe et de voir si je recolle avec la biologie.

 

A priori, oui : je me donne un champ « bioquantique » (complètement redéfini) comme un champ biologique dans U, soit B(c₁,c₂,<<x^m>>), la projection dans un X_i m’envoie sur un champ biologique 4D b_i(<<x^m>>) = B(c_1i,c_2i,<<x^m>>_ii).

Mais un parmi tant d’autres… J

Je vois pas de problème.

 

 

Où nous allons reparler du multivers… Mais, auparavant, une explication pour justifier cela.

 

Dans la théorie originale de la matrice densité, nous avons vu qu’on ne considérait que les axes purs |y_i>. Il en résulte des projecteurs r_ii = |y_i><y_i| purement diagonaux, hermitiques et donc toujours diagonalisables. Le mélange statistique d’états conduit alors à un seul opérateur densité R = pⁱⁱr_ii, de sorte que, si A est un observable quantique dans E, l’observable « classique » correspondante, unique, est <A> = Tr(AR⁺) = Tr(AR). Ajoutons que tous les pⁱⁱ sont pris réels.

Dans la théorie générale de la matrice densité, on considère non seulement les axes purs |y_i>, mais aussi tous les plans purs (|y_i>,|y_j>) pour j ¹ i et nous avons vu que les projecteurs r_ij = |y_i><y_j| sont loin d’être triviaux pour j ¹ i et qu’en outre, ils ne sont plus hermitiques, mais vérifient r_ji = r_ij⁺. Il subsiste donc des interférences, aussi bien dans les plans de base (|u_a>,|u_b>) que dans les plans purs (|y_i>,|y_j>), qui ne peuvent être éliminées en totalité dans aucune « base privilégiée ». Le mélange statistique d’états requiert alors des opérateurs R_ij = p_i^kr_jk, où les p_i^k peuvent même être complexes et vérifier S_i,j |p_ij| £ 1. Ainsi, si |y_i> est vecteur propre d’une observable quantique A (par exemple, A = H), il n’existe plus un seul opérateur de mélange, mais N², si N est le nombre de vecteurs propres de A (éventuellement infini). Dans le cas de spectres continus, l’ensemble des vecteurs propres est même dense et on a une double infinité dense d’opérateurs R_ij (a priori dénués de toute symétrie). Conséquence :

 

A UNE OBSERVABLE QUANTIQUE A DONNEE, IL CORRESPOND TOUT UN ENSEMBLE DISCRET OU MÊME DENSE D’OBSERVABLES « CLASSIQUES » <A>_ij = Tr(AR_ij⁺) ET SEULE L’OBSERVABLE « CLASSIQUE » RESULTANTE <A>_iⁱ = Tr(AR⁺) SERA UNIQUE.

 

La modification devient particulièrement flagrante dans le cas de l’Univers. Si nous considérons l’Univers U comme un mélange statistique d’univers X_i, alors U est nécessairement un système clos. Il s’ensuit que U ne peut être que conservatif. Dans une description galiléenne, U obéit à Schrödinger. Si y(x,t) est la « fonction d’onde de l’Univers » et H son hamiltonien, y vérifie donc iħ¶y/¶t = Hy. L’équation aux valeurs propres de cet hamiltonien « universel » (écrite en kets) :

 

(1a)  iħ¶|y_i(t)>/¶t = H(t)|y_i(t)> = iħw_i|y_i(t)>

 

donne, en mode stationnaire, des états à énergies définies ħw_i. Si nous attribuons ces états d’énergie à des vides, alors |y_i> peut servir à décrire l’état de vide d’un univers X_i. Par la suite, chaque univers X_i pourra se peupler de matière et de rayonnement. Prendre le vide, c’est prendre les « fondations » physiques d’un univers.

Dans cette optique, que signifie r_ij = |y_i><y_j| ? C’est la projection de X_i vers X_j : on change de vecteur d’état, on change d’univers. Plus correctement, tout se passe dans l’Univers U, unique et on passe d’une configuration de vide de U, correspondant à « un univers » X_i, à une autre configuration de vide de U, correspondant à « un autre univers » X_j. Lorsque i = j, on reste dans X_i. On a simplement remplacé les axes propres par « les univers X_i », configurations diverses de U, et les plans propres par les « plans X_i-X_j ». Que sont ces « plans » ? De façon imagée, ce sont les « interstices » entre les diverses configurations de U.

Etant donné que les r_ij décrivent des états purs, on en déduit que « l’univers » X_i est un « état pur » de l’Univers U. Un état d’énergie de vide déterminée ħw_i. Passer de X_i à X_j revient à modifier l’état du vide quantique de U.

U se laisse alors décrire par des opérateurs de mélange R_ij. p_ij est la probabilité de passer de X_i à X_j, r_ij est, on vient de le voir, le projecteur de X_i sur X_j. Quand on écrit :

 

(1b)  R_ij = p_i^kr_jk = S_k p_ikr_jk

 

on somme sur tous les états k. R_ij, qui représente le mélange statistique projeté sur le plan (X_i,X_j), sa « composante (i,j) » autrement dit, se construit par convolution (ici, discrète), en sommant sur les contributions de toutes les configurations de U. C’est donc bien dans U que tout se passe, la suite n’étant qu’affaires de projections, sur des univers X_i ou « entre des univers » X_i et X_j. En développant (1b), j’ai 3 contributions : k = i, k = j et k ¹ i et j,

 

(1c)  R_ij = p_iir_ji + p_ijr_jj + S_{k¹ (i,j)} p_ikr_jk

 

Vous voyez que, pour j = i :

 

(1d)  R_ii = p_iir_ii + S_{k¹ i} p_ikr_ik

 

seul r_ii est hermitique et seul le premier terme p_iir_ii décrira une population. Tous les autres termes sont des interférences. Mais, si nous prenons |y_i> comme champ de vide de X_i, sa population sera toujours nulle, par définition même du vide (quantique). Comme r_ii n’est pas nul, c’est p_ii qui l’est et on retrouve le fait que le vide de X_i n’est fait que d’interférences (« paires virtuelles » en 4D). On peut aussi passer par les observables classiques, mais on décrit alors plutôt des « vides de champs moyens » (moyenne linéaire nulle, quadratique non nulle). Il n’empêche : même dans le cas du vide, R_ii n’est pas nul. Quant à R_ij pour j ¹ i, il ne comporte que des interférences, puisque même le terme p_ijr_jj (pour k = j ¹ i) est de transition. Il décrit une projection interne à X_j, pondérée par une probabilité de passer de X_i à X_j.

 

On va voir tout de suite ce que ça donne dans le cas de « chats de Schrödinger ». Ces chats sont des systèmes à deux états : « vivant », « mort ». L’hamiltonien universel ne présente que deux vecteurs propres |y₁> et |y₂>, d’où 2 univers X₁ et X₂ et un Univers U = {X₁,X₂}. Système très simple, mais très instructif. Les projecteurs sont r₁₁ (on reste dans X₁), r₁₂ (on passe de X₁ à X₂), r₂₁ = r₁₂⁺ (on passe de X₂ à X₁) et r₂₂ (on reste dans X₂). La loi des probabilités étant |p₁₁| + |p₁₂| + |p₂₁| + |p₂₂| = 1 (U clos et conservatif), il est évident que |p₁₁|, comme |p₂₂|, sera toujours < 1 (|p_ii| ne peut être formellement nul que dans un univers X_i complètement vide). Moralité : X₁ et X₂ sont tous deux dissipatifs et seul U est conservatif.

Mais alors, où passe l’information dissipée ?

Justement, dans les « interstices » entre X₁ et X₂.

Mais ces « interstices » sont eux aussi dissipatifs, puisque |p₁₂| et |p₂₁| < 1. Où passe l’info contenue dans ces « interstices » ?

Dans X₁ et dans X₂.

On a une circulation d’information dans tout U, qui fait que U conserve l’intégralité de l’information.

Autrement dit, le chat « schrödingerien » est vivant dans les deux univers. Mais, un observateur de X₁ le considèrera comme « vivant » dans X₁ et comme « non vivant » (donc, « mort ») dans X₂. Pour un observateur de X₂, ce sera l’inverse. Mais, pour un observateur quantique de U, le chat sera vivant dans U, donc aussi bien dans X₁ que dans X₂. Par contre, il n’aura aucune raison d’avoir la même apparence dans les deux univers, parce que les règles d’organisation de la matière n’ont pas de raison d’être identiques dans tous les univers. La seule règle est d’obéir aux lois quantiques de la matière dans U. Il se peut qu’il ressemble à un chat et même au même chat dans les deux univers, mais rien de physique ne l’exige.

Voilà une interprétation « à la Everett III » du chat de Schrödinger.

Le « chat X₁ » et le « chat X₂ » vieillissent naturellement du fait de l’usure de la matière organisée (dégradation thermodynamique) : c’est le résultat de la dissipation.

Mais le « chat quantique », le « chat U », lui, ne vieillit pas : pas de dissipation dans U, pas d’usure thermodynamique.

Paradoxe ? Aucun. Notre description n’est pas complète, puisque nous nous sommes volontairement limités à la relativité de Galilée. La description correcte doit se faire en relativiste 4D.

Lorsque « X₁ » vieillit, l’info dissipée (perdue pour X₁) est récupérée « entre X₁ et X₂ ». De même, lorsque « X₂ » vieillit, l’info dissipée (perdue pour X₂) est récupérée « entre X₂ et X₁ » : rien n’est perdu, tout est stocké dans U, mais circule.

 

Le Marquis de Lavoisier a raison jusque dans U.

 

Mais cette interprétation-là est radicalement différente des précédentes : le chat n’est « mort » nulle part. Ce n’est qu’une question de perception : l’observateur de X₁ (resp. X₂) ne perçoit (et ne peut percevoir) que le « chat X₁ » (resp. « X₂ »). Tout ce qui se situe « au-delà » (de X₁ comme de X₂) relève des interférences, des « plans universels ».

 

Plus généralement, on peut à présent envisager la possibilité « à multivers, multi-être » : un « représentant » dans chaque univers X_i, pour un seul « sur-être » quantique dans U.

Mais renversons la vapeur : c’est plutôt le « sur-être » qui se projette dans chaque X_i et qui prend autant d’apparences. Un « mélange statistique d’êtres X_i », tous « vivants ».

C’est ce qui découle directement de la théorie générale de la matrice densité. Ce n’est pas une extrapolation.

On conçoit alors que, si nous ne sommes que des « exemplaires » d’un seul et même sur-être, ce sur-être soit présent en chacun de nos exemplaires. Et que, lorsqu’un exemplaire cesse de fonctionner, le sur-être le quitte. Parce que c’est « un exemplaire de moins sur le total » et que, comme U est conservatif, l’énergie perdue dans X_i par « l’exemplaire n°i » lors de sa dégradation, est récupérée par tous les autres exemplaires et répartie entre eux. Il s’ensuit que, moins il y a d’exemplaires, plus les exemplaires restants sont énergétiques et proches du conservatif. Donc, leurs durées de vies s’allongent.

Et s’il y a une infinité d’univers, il y a une infinité d’exemplaires. Passer d’un exemplaire à l’autre, indéfiniment, sans même tenir compte de l’auto-régénération éventuelle de l’Univers quantique, c’est peut-être tout simplement ça, « l’immortalité »…

 

Mais, on conçoit aussi que la « biologie » ne soit plus qu’un aspect parmi (d’innombrables ?) autres, que la « parapsychologie » puisse trouver des réponses dans le multivers, mais qu’on s’éloigne d’autant de la biologie conventionnelle.

Je cherchais une connexion logique avec nos « sciences du vivant », celles qui valent sur notre planète, dans « notre » univers, avec « notre » cycle ADN-ARN, un « produit » quelconque de l’évolution biologique susceptible de se détacher de son enveloppe après la mort, j’ai tapé dans le mur.

Parce que j’ai raisonné à l’envers. Tout simplement.

 

(Il va sans dire que les algèbres de Lie ici considérées sont de dimension infinie. J’ai effectué les développements dans le cas de spectres discrets, le cas de spectres continus s’obtient sans difficulté)

Faisons le bilan. Pour cela, commençons par décomposer les matrices de projection r_ij,ab en amplitude-phase, en posant c_ia = |c_ia|exp(iq_ia) :

 

(1a)  r_ij,ab = |c_iac_jb|exp[i(q_ia - q_jb)]

 

On a 4 situations à distinguer. Pour a = b et i = j :

 

(1b)  r_ii,aa = |c_ia|²

 

est la probabilité de trouver le système dans l’état de base |u_a> lors d’une mesure, si ce système se trouvait dans l’état pur |y_i> avant la mesure. C’est la contribution qui donne lieu à la « population » de l’état |u_a> après mélange statistique. Ce terme r_ii,aa nous indique que nous passons de l’axe pur |y_i> pour i fixé à l’axe de base |u_a> pour a fixé et que la probabilité de passer de |u_a> à |y_i> est la même.

 

Pour a ¹ b et i = j :

 

(1c)  r_ii,ab = |c_iac_ib|exp[i(q_ia - q_ib)]   

 

mesure les interférences entre les états de base distincts |u_a> et |u_b> pour un même état pur |y_i> fixé. Nous sommes passés de l’axe de base |u_a> au plan de base délimité par les vecteurs d’état |u_a> et |u_b>, mais sommes restés sur l’axe pur |y_i>.

 

Pour a = b et i ¹ j :

 

(1d)  r_ij,ab = |c_iac_ja|exp[i(q_ia - q_ja)]

 

mesure, au contraire, les interférences entre les états purs |y_i> et |y_j> pour un même état de base |u_a>. Nous sommes passés cette fois de l’axe pur |y_i> au plan pur délimité par les vecteurs d’état |y_i> et |y_j>, mais sommes restés sur l’axe de base |u_a>.

 

Enfin, pour a ¹ b et i ¹ j, on a l’expression générale (1a) et on ne trouve que des interférences : interférences dans le plan de base (|u_a>,|u_b>), interférences dans le plan pur (|y_i>,|y_j>).

 

On s’en doutait plus que fortement depuis le début de l’élaboration de la théorie de la matrice densité, mais on en a confirmation flagrante depuis sa généralisation :

 

LES « POPULATIONS » NE SE TROUVERONT QUE SUR LES AXES D’ETAT DU SYSTEME, TANDIS QUE LES « COHERENCES », MOYENNES STATISTIQUES DES INTERFERENCES, NE SE TROUVERONT QUE DANS LES PLANS DE BASE ET LES PLANS PURS DU SYSTEME.

 

Les choses sont un petit peu plus compliquées que dans la théorie originale, qui ne tenait compte que des axes purs. L’expression générale (4e) de la matrice densité du mélange statistique d’états se réécrit en amplitude-phase [en posant p_ij = |p_ij|exp(ij_ij)] :

 

(2a)  R_ij,ab = S_k |p_ikc_jac_kb|exp[i(j_ik + q_ja - q_kb)]

 

Le simple fait que la sommation porte sur l’indice k suffit à montrer que, même pour a = b et i = j :

 

(2b)  R_ii,aa = S_k |p_ikc_iac_ka|exp[i(j_ik + q_ia - q_ka)]

 

comportera encore des interférences, y compris lorsque tous les j_ik sont nuls. Etant donné que les R_ii ne sont plus hermitiques que dans le cas particulier où p_ik est purement diagonale (puisque les r_jk ne sont plus hermitiques pour k ¹ j), nous en déduisons que :

 

DANS LE CAS GENERAL D’UN MELANGE STATISTIQUE D’ETATS QUANTIQUES Où LES p_ij SONT COMPLEXES ET COMPORTENT DES TERMES NON DIAGONAUX, IL N’EST PLUS POSSIBLE DE TROUVER UNE « BASE PRIVILEGIEE » |u’_a> DE L’ESPACE DES ETATS DU SYSTEME (OU, DE MANIERE EQUIVALENTE, DES PROJECTEURS DE BASE r’_ab = |u’_a><u’_b| DE D) DANS LAQUELLE LES R_ij,ab SERAIENT DIAGONAUX, EN RAISON DE  LA PERTE D’HERMITICITE DES MATRICES DE MELANGE R_ij,ab, QUI PORTE EGALEMENT SUR L’ENSEMBLE DES ELEMENTS DIAGONAUX R_ii,aa. D’AILLEURS, LA CONDITION (4d), BIDOUILLE 71, SUR LES PROBABILITES EST LA PLUS GENERALE POSSIBLE ET INCLUT LES SYSTEMES DISSIPATIFS.

EN CONSEQUENCE,

ON NE PEUT PLUS TROUVER AUCUN MECANISME PHYSIQUE PERMETTANT D’ELIMINER TOUS LES EFFETS D’INTERFERENCE AU SEIN DU SYSTEME, I.E. DE DECOHERER COMPLETEMENT LE SYSTEME A L’ETUDE.

 

Alors, pourquoi a-t-on pu exhiber la décohérence de systèmes quantiques dans un certain nombre d’expériences, parmi lesquelles des « chats de Schrödinger » ?

On vient d’établir un théorème de type « no-go »…

 

La réponse à ce paradoxe apparent réside dans l’utilisation de la théorie de la matrice densité : dans les raisonnements « à décohérence », on se base sur la théorie originale, qui tient bien compte des plans de base, mais qui se limite aux axes purs.

C’est incomplet. Il manque toutes les projections sur les plans purs. Les opérateurs r_ij non diagonaux sont loin d’être triviaux. Leur prise en compte change toute la donne, même si les coefficients de mélange se « réduisent » tous à de véritables probabilités.

Ça tombait pourtant sous le sens. Quand on réalise une superposition linéaire d’états de base |y_i> = c_i^a|u_a>, on passe d’un système « d’axes de coordonnées » |u_a> à un système « d’axes vectoriels » |y_i>. Si on change le système d’axes, on change forcément le système de plans qui va avec…

Prenez la matrice de l’invariant de mélange :

 

(2c)  R_ab = S_i,j,k |p_ikc_jac_kb|exp[i(j_ik + q_ja - q_kb)]

 

Rien ne se simplifie, même pour les termes R_aa… Il faut se retrouver dans des situations particulières comme p_ij diagonale réelle, par exemple, pour entrevoir une chance de diagonalisation de l’invariant de mélange…

Rien qu’au niveau des projecteurs de base du système, on trouve 3 situations sur 4 avec interférences… Seulement :

 

LES « POPULATIONS » SE TROUVENT SUR LES AXES,

LES « COHERENCES » DANS LES PLANS.

 

Si vous réduisez les plans purs aux axes purs et si vous partez de systèmes préalablement conservatifs, vous trouverez matière à décohérer les états de base.

Ça fait beaucoup de « si »…

Forcément, si on n’exploite pas au maximum les possibilités qu’offre la machinerie quantique…

Oui, mais, je commence à être sérieusement agacé de passer mon temps à combler les lacunes des autres…

Pendant ce temps, mon travail à moi n’avance pas.

Et on ne peut pas dire que je coûte cher au pays…

J’ai un boulot monstre devant moi, avec des problèmes conceptuels quasi-insurmontables et je me… dissipe… dilue… dans les manques.

On en est rendu à la bidouille 72, merde ! Et j’ai déjà dû colmater combien de brèches ???

Qu’ai-je fait en neurophysique, à part la fonction neurone ?

Depuis, pas moyen d’avancer.

Ça commence à me foutre les glandes. Sérieux. J’en ai marre de faire la rustine.

 

 

Soit donc |u_a> une base orthonormée de E, a Î N :

 

(1a)  <u_a|u_b> = d_ab      (orthonormalité)

(1b)  |u_a><u^a| = P_a^a     (fermeture)

 

où j’ai adopté la convention de notation d’Einstein. Le projecteur :

 

(1c)  P_ab = |u_a><u_b|     (a, b fixés dans N)

 

projette sur l’axe de base |u_a> pour b = a et sur le plan de base (|u_a>,|u_b>) pour b¹a. Le conjugué hermitique de P_ab est :

 

(1d)  (P_ab)⁺ = |u_b><u_a| = P_ba               (dualité kets – bras)

 

De fait, seuls les P_aa (projections sur les axes de base) sont hermitiques. Pour b¹a, la conjugaison échange P_ab et P_ba. En vertu de (1a) et (1b), les éléments de matrice de P_ab sont :

 

(1e)  (P_ab)_gd = P_ab,gd = <u_g|P_ab|u_d> = d_agd_bd

 

Ils sont tous nuls, sauf les P_ab,ab qui valent 1. D’après (1d), les éléments de matrice de (P_ab)⁺ sont :

 

(1f)  (P_ab)⁺_dg = <u_d|P_ba|u_g> = P_ba,dg = P_ab,gd

 

Par conséquent :

 

(1g)  P_ba,ba = P_ab,ab = 1

 

sont les seuls éléments non nuls de ces matrices de projection.

Considérons maintenant un mélange statistique particulier de ces états de base, de la forme :

 

(1h)  r = p_abP^ab  ,  p_ab = c_ac_b* = (p_ba)*

 

Alors, r est factorisable sous la forme :

 

(1i)  r = (c_a|u^a>)(<u^b|c_b*) = |y><y|

 

et l’état |y> est une superposition linéaire des états de base :

 

(1j)  |y> = c_a|u^a>

 

Si, par contre, on cherchait à généraliser (1h) en pondérant chaque projecteur de base par une probabilité p_ab non factorisable (ce qui correspondrait à un véritable mélange statistique des états de base), r ne serait plus factorisable en (1i) et |y> ne serait plus une superposition linéaire des états de base. Dans ce cas, |y> ne serait plus un vecteur d’état du système à l’étude. Les seuls mélanges statistiques constructibles des états de base qui préservent la propriété d’espace vectoriel de E sont donc de la forme factorisée (1h).

On ne peut donc envisager de mélanges statistiques plus généraux qu’entre états purs |y_i> (i Î N) de la forme (1j) :

 

(2a)  |y_i> = c_i^a|u_a>

 

non réductibles aux états de base du système. A ces états purs correspondent les projecteurs :

 

(2b)  r_ij = |y_i><y_j| = (r_ji)⁺

 

De nouveau, seuls les r_ii (projections sur les axes purs |y_i>) sont hermitiques. Pour i ¹ j (projections sur les plans purs |y_i>,|y_j>), la conjugaison hermitique échangent r_ij et r_ji. r_ij possède un invariant :

 

(2c)  r = r_iⁱ = |y_i><yⁱ| = c_i^a(c^ib)*P_ab

 

d’après (2a), invariant qui n’a, a priori, aucune raison de se réduire à l’identité. On y remarque au contraire des termes d’interférence pour b¹a. Eléments de matrice de r_ij :

 

(2d)  <u_g|r_ij|u_d> = r_ij,gd = c_i^a(c_j^b)*d_agd_bd = c_ig(c_jd)*

 

de son invariant :

 

(2e)  <u_g|r|u_d> = r_gd = c_ig(cⁱ_d)*

 

La trace de (2d) donne :

 

(2f)  <u_g|r_ij|u^g> = r_ij,g^g = Tr(r_ij,gd) = c_ig(c_j^g)*

 

Elle exhibe des interférences, non plus entre états de base, mais entre états purs (sommation sur tous les états de base du système). Notez la différence avec (2e), qui exhibe les interférences entre états de base (sommation sur tous les états purs du système). Dans le cas général, on trouve donc deux sortes d’interférences, celles entre états de base différents et celles entre états purs différents (qui peuvent correspondre à des états propres différents d’une même observable A du système).

On établit sans difficulté les propriétés suivantes des opérateurs densité r_ij :

 

(3a)  r_ijr_kl = Tr(r_kj,gb)r_il         (produit « linéarisant »)

(3b)  r_ijrⁱ_l = Tr(r_ij,gb)rⁱ_l

(3c)  r_ijr^ij = Tr(r_ij,gb)r^ij = r^ijr_ij

(3d)  [r_ij , r_kl] = Tr(r_kj,gb)r_il - Tr(r_il,gb)r_kj

(3e)  [r_ij , rⁱ_l] = Tr(r_ij,gb)rⁱ_l - Tr(rⁱ_l,gb)r_ij = 0  pour l = j

(3f)  [r_ij , r_ij] = 0         (évident, mais a établir quand même)

(3g)  [r_ij , r_ji] = [r_ij , r_ij⁺] = Tr(r_jj,gb)r_ii - Tr(r_ii,gb)r_jj ¹ 0  pour j ¹ i

(3h)  [r_ij , r^ij] = 0

 

ainsi que Bianchi :

 

(3i)  [[r_ij , r_kl] , r_mn] + [[r_kl , r_mn] , r_ij] + [[r_mn , r_ij] , r_kl] = 0

 

qui nous permet d’énoncer :

 

L’ESPACE D_pur DES OPERATEURS DENSITE D’ETATS PURS D’UN SYSTEME PHYSIQUE S EST UNE ALGEBRE DE LIE ASSOCIATIVE.

 

(en maths, une algèbre de Lie est toujours associative, mais je préfère préciser)

 

Le « produit linéarisant » (3a) conduit à des formules bien pratiques, faciles à établir par récurrence :

 

(3j)  P_n=0^N r_{i(2n+1)i(2n+2)} = {P_n=1^N Tr[r_{i(2n+1)i(2n),ab}]r_i(1)i(2N+2)    

 

(3k)  r_i(1)i(2){P_n=1^N rⁱ⁽²ⁿ⁾_i(2n+2) = [Tr(r_ab)]^Nr_i(1)i(2N+2)

 

(3l)  r^N = {P_n=1^N-1 Tr[r^i(2n-1)_i(2n+1),ab]}r_i(1)^i(2N-1)

 

Troisième et dernière étape : les mélanges statistiques d’états purs. On introduit pour cela des coefficients complexes p^ij et on construit le mélange en pondérant chaque projecteur r_ij par l’un de ces coefficients. Le mélange le plus général qu’on obtient à la forme suivante :

 

(4a)  Rⁱ_k = p^ijr_kj

 

Son invariant est :

 

(4b)  R = Rⁱ_i = p^ijr_ij

 

La conjugaison hermitique donne, d’après (2b) :

 

(4c)  (Rⁱ_k)⁺ = (p^ij)*r_jk  ,  R⁺ = (p^ij)*r_ji

 

Les probabilités sont les modules des p^ij, soit |p^ij| Î [0,1]. On a :

 

(4d)  S_iS_j |p^ij| £ 1

 

Si cette somme double (on doit sommer sur toutes les probabilités) est égale à 1, le système est dit conservatif. Si elle est < 1, il est dit dissipatif. Eléments de matrice de Rⁱ_k et de R :

 

(4e)  Rⁱ_k,gd = p^ijc_kg(c_jd)*  ,  R_gd = p^ijc_ig(c_jd)*

 

Dans R_gd, on somme sur tous les états purs. |R_gg| mesure donc la probabilité moyenne de passer du plan pur (|y_i>,|y_j>) à l’axe de base |u_g> : c’est la « population » de l’état de base |u_g>. R_gd pour d¹g mesure toutes les interférences entre les états de base |u_g> et |u_d>. Toutes ces moyennes passent par l’ensemble des plans purs (|y_i>,|y_j>) (pour j ¹ i) et des axes purs |y_i> pour j = i. Traces de Rⁱ_k,gd et de R_gd :

 

(4f)  Rⁱ_k,g^g = Tr(Rⁱ_k,gd) = p^ijc_kg(c_j^g)*  ,  R_g^g = Tr(R_gd) = p^ijc_ig(c_j^g)* 

 

Cette fois, dans Rⁱ_k,g^g, on somme sur tous les états de base. Donc, |Rⁱ_i,g^g| (i Î N) mesure la probabilité moyenne de passer du plan de base (|u_g>,|u_d>) à l’axe pur |y_i> : c’est la « population » de l’état pur |y_i>. Pour i ¹ k, Rⁱ_k,g^g mesure toutes les interférences entre les états purs |y_i> et |y_k>. Toutes ces moyennes passent par l’ensemble des plans de base  (|u_g>,|u_d>) (pour d ¹ g) et des axes de base |u_g> pour d = g.

Sauf erreur d’interprétation de ma part, les « cohérences » entre états de base sont contenues dans R_gd pour d¹g et celles entre états purs, dans Rⁱ_k,g^g pour i ¹ k.

De la même manière que pour les cas purs, on établit sans plus de difficulté les propriétés suivantes sur les opérateurs densité de mélanges :

 

(5a)  Rⁱ_jR^k_l = p^imTr(r_lm,ab)R^k_j = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_j

(5b)  Rⁱ_jR^j_l = p^imTr(r_lm,ab)R = Tr(Rⁱ_l,ab)R

(5c)  Rⁱ_jR^j_i = p^imTr(r_im,ab)R = Tr(R_ab)R

(5d)  R² = Tr(Rⁱ_k,ab)R^k_i

(5e)  Rⁱ_j(R^k_l)⁺ = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl

(5f)  Rⁱ_j(R^j_l)⁺ = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl

(5g)  Rⁱ_j(R^j_i)⁺ = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_ji

(5h)  RR⁺ = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_ik = (R⁺R)⁺

 

ainsi que les formules de commutation :

 

(6a)  [Rⁱ_j , Rⁱ_j] = [Rⁱ_j , R^j_i] = [Rⁱ_j , (Rⁱ_j)⁺] = [Rⁱ_j , (R^j_i)⁺] = [R,R] = [R,R⁺] = 0

(6b)  [Rⁱ_j , R^k_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_j - Tr(R^k_j,ab)Rⁱ_l

(6c)  [Rⁱ_j , R_il] = Tr(Rⁱ_l,ab)R_ij - Tr(R_ij,ab)Rⁱ_l

(6d)  [Rⁱ_j , R^k_i] = Tr(R_ab)R^k_j - Tr(R^k_j,ab)R

(6e)  [Rⁱ_j , R^j_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R - Tr(R_ab)Rⁱ_l

(6f)  [Rⁱ_j , R^kj] = Tr(Rⁱ_j,ab)R^kj - Tr(R^kj_,ab)Rⁱ_j

(6g)  [R , R^k_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_i - Tr(R^k_i,ab)Rⁱ_l

 

(7a)  [Rⁱ_j , (R^k_l)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_jl

(7b)  [Rⁱ_j , (R_il)⁺] = (pⁱⁿ)*Tr(R_in,ab)(r_jl - r⁺_jl) = 0  pour l = j

(7c)  [Rⁱ_j , (R^k_i)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r⁺_ij - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r_ij

(7d)  [Rⁱ_j , (R^j_l)⁺] = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl - (pⁱⁿ)*Tr(R^j_n,ab)r⁺_jl

(7e)  [Rⁱ_j , (R^kj)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺ _l

(7f)  [R , (R^k_l)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_il - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_il

(7g)  [Rⁱ_j , R⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jk - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_jk

 

et surtout Bianchi :

 

(7h)  [[R_ij , R_kl] , R_mn] + [[R_kl , R_mn] , R_ij] + [[R_mn , R_ij] , R_kl] = 0

 

qui nous permet d’énoncer :

 

L’ESPACE D EST UNE ALGEBRE DE LIE ASSOCIATIVE.

 

ce qui est une très bonne nouvelle, car une algèbre de ce type jouit de propriétés agréables.

 

 

Pas de panique ! Les visiteurs assidus auront noté la disparition des dernières bidouilles 70, sauf une : conformément à ma manière de procéder, je ne conserve pas les textes devenus obsolètes. Il y a déjà plus de 70 articles et j’ai toujours l’impression d’être au point mort (si je puis me permettre cette expression…).

Je reviendrai sur toutes ces formules de traces partielles (et de « moyennes partielles » aussi, non encore mises en ligne) si nécessaire : j’ai conservé le formulaire, bien entendu.

Si j’ai supprimé tous ces articles, c’est qu’il y a peut-être un moyen de « réconcilier » les niveaux microscopiques, mésoscopiques et macroscopiques avec cette notion de « décohérence » en les incorporant dans un formalisme quantique plus général, objet du présent article.

Comme je l’ai déjà souligné à plusieurs reprises, c’est assez incroyable de constater que nous ne voyons pas ce qui pourtant nous crève les yeux. Et cette fois, je ne suis pas le seul. Nous sommes tellement habitués à des formalismes que nous éprouvons les pires difficultés à nous en extraire pour effectuer une synthèse des avancées « hors cadre » que nous accumulons.

 

Comme disait Sherlock Holmes au Dr Watson : « Watson, le problème avec vous, c’est que vous accumulez les détails d’une enquête, mais que vous êtes incapables d’en tirer les conclusions qui s’imposent ». C’est, non paraphrasé, dans le « chien des Baskerville », à mon goût, l’une des meilleurs œuvres du maître en la matière.

Il ne s’agit pas de désigner Untel ou Untel : nous sommes tous des Watson, moi le premier.

 

Dans ses « Lois du chaos », Ilya Prigogine nous montre pourtant le chemin :

 

LA VALIDITE DE L’ESPACE DES ETATS D’UNE PARTICULE QUANTIQUE (ESPACE DES « FONCTIONS D’ONDES ») EST LIMITEE AU DOMAINE DE DESCRIPTION MICROSCOPIQUE.

 

A partir du niveau mésoscopique, il nous explique pourquoi il nous faut raisonner, non plus en termes de « vecteurs d’états » |y(t)>, mais en termes « d’opérateurs densité » r(t). Il va même jusqu’à affirmer qu’à ce niveau, et particulièrement dans le cas du chaos quantique, r(t) devient un objet nouveau, irréductible à une fonction d’onde (ou un vecteur d’état, c’est selon). Malgré cela, même lui ne sautera pas le pas.

Pourtant, ça nous crève les yeux. On passe de Schrödinger dans le domaine microscopique :

 

(1)     iħ¶|y(t)>/¶t = H(t)|y(t)>

 

où H(t) est l’opérateur hamiltonien du système, à Liouville-Von Neumann :

 

(2)     iħ¶r(t)/¶t = [H(t),r(t)]

 

où [.,.] désigne le crochet de Lie. Si vous prenez l’équation dissipative (17) considérée par Zurek dans http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0306/0306072.pdf, c’est encore plus flagrant : nous sommes passés d’équations en |y(t)> à des équations en r(t). Or (Prigogine 3^ème), les équations en r(t) peuvent toujours se ramener à des équations en |y(t)> dans les cas « purs », de sorte que r(t) est un objet plus général que |y(t)> et, surtout, adapté à tous les niveaux de description physique, du quantique microscopique au quantique macroscopique (nous sommes ici dans le contexte quantique, est-il besoin de le rappeler ?). En conséquence, il nous faut changer de cadre, passer à un cadre plus général, adapté à tous ces niveaux de description. Ce cadre plus étendu, c’est un espace d’opérateurs, l’espace des « opérateurs densité ». L’état d’un système quantique à t y sera alors représenté par un opérateur densité r(t). Si nous nous plaçons au niveau microscopique et si notre système quantique est pur, alors r(t) est réductible en un projecteur |y(t)><y(t)|. Réciproquement, si r(t) = |y(t)><y(t)|, alors r²(t) = r(t), Tr[r(t)] = 1 (conservation de la probabilité de présence), notre système quantique ne peut être que pur, mais aussi microscopique.

 

JE NOTERAI D COMME DENSITE, CET ESPACE D’OPERATEURS DONT LES ELEMENTS SONT DES OPERATEURS DENSITE. D EST UN ESPACE FONCTIONNEL, DE DIMENSION INFINIE.

 

D contient aussi bien l’espace E des vecteurs kets que son dual E*, espace des covecteurs bras. On le voit tout de suite dans le cas pur, au niveau microscopique : r = |y><y|. Pour que r soit élément de D, il faut qu’à la fois |y> (élément de E) et <y| (élément de E*) y soient définis. D contient donc comme sous-espace l’espace de tous les projecteurs.

Soit maintenant D(t) l’extension dynamique de D. D(t) contient comme sous-espaces :

 

-         l’espace D_h(t) des opérateurs densité hermitiques, r(t) = r⁺(t), définis pour tout t ;

-         l’espace D_c(t) des opérateurs densité de systèmes conservatifs, i.e. solutions de (2) ;

-         l’espace D_d(t) des opérateurs densité de systèmes dissipatifs, i.e. solutions d’équations plus générales que Liouville-Von Neumann, comme par exemple (Zurek-17).

 

A priori, même les équations du type de cette dernière sont réversibles dans le temps : la partie mécanique renferme un hamiltonien encore hermitique, les parties relaxation et décohérence ne dépendent explicitement du temps que par r(t). Si l’on tient compte de l’irréversibilité inévitablement induite par les frottements et la diffusion, l’opérateur densité lui-même, en tant que solution de la dynamique, doit se scinder en deux « semi-opérateurs » r₊(t) (défini uniquement pour t ³ 0) et r_-(t) (défini uniquement pour t £ 0), avec raccordement au point de bifurcation r₊(0) = r_-(0). L’espace D(t) contient encore ses deux opérateurs désormais non hermitiens. Il se scinde à son tour en deux « semi-espaces » D₊(t) et D_-(t) raccordés en t = 0. La conjugaison hermitique, équivalente de la symétrie T, échange alors ces deux semi-espaces.

 

Regardons les substitutions à réaliser pour passer de E à D. On sait déjà que le ket |y> doit être remplacé par r. Par dualité, le bra <y| sera remplacé par r⁺, dual hermitique de r.

<y|y> est une quantité réelle, toujours ³ 0 et on a <y|y> = 0 ssi y = 0.

r⁺r n’est plus un nombre réel, mais un opérateur. Et cet opérateur est toujours hermitique :

 

(3a)  (r⁺r)⁺ = r⁺r

 

En tous cas, tant que r(t) est défini pour tout t. En effet, un produit comme r₊(t)r_-(t) n’est pas physiquement constructible, puisque r₊(t) n’est pas défini pour t < 0 et r_-(t) ne l’est pas pour t > 0. Mais, lorsque r(t) est défini pour tout t, r(t) est nécessairement hermitique (c’est une observable), de sorte que (3a) est en réalité :

 

(3b)  (r²)⁺ = r²

 

Dans le cas non hermitien, r₊⁺ = r_- et r_-⁺ = r₊ et les produits constructibles sont :

 

(3c)  r_-⁺r₊ = r₊²  et  r₊⁺r_- = (r_-⁺r₊)⁺ = r_-² = (r₊²)⁺ = (r₊⁺)²

 

qui remplacent (3b). On voit bien que les produits r₊² et r_-² ne sont plus hermitiques, puisque la conjugaison échange r₊ et r_- et, par suite, toutes leurs puissances.

Si l’on veut retrouver des nombres, il faut prendre les traces des matrices associées aux produits (3b) et (3c), ou bien leurs déterminants (qui seront, quant à eux, des quantités alternées). Le problème, c’est que, pour construire les matrices densité, il faut se donner une base de E, ce que l’on cherche désormais à fuir par tous les moyens…

Eh oui : votre nouvel état quantique, c’est r(t)…

En foi de quoi, vos nouvelles bases, vous devrez les construire dans D…