Soit donc |u_a> une base orthonormée de E, a Î N :

 

(1a)  <u_a|u_b> = d_ab      (orthonormalité)

(1b)  |u_a><u^a| = P_a^a     (fermeture)

 

où j’ai adopté la convention de notation d’Einstein. Le projecteur :

 

(1c)  P_ab = |u_a><u_b|     (a, b fixés dans N)

 

projette sur l’axe de base |u_a> pour b = a et sur le plan de base (|u_a>,|u_b>) pour b¹a. Le conjugué hermitique de P_ab est :

 

(1d)  (P_ab)⁺ = |u_b><u_a| = P_ba               (dualité kets – bras)

 

De fait, seuls les P_aa (projections sur les axes de base) sont hermitiques. Pour b¹a, la conjugaison échange P_ab et P_ba. En vertu de (1a) et (1b), les éléments de matrice de P_ab sont :

 

(1e)  (P_ab)_gd = P_ab,gd = <u_g|P_ab|u_d> = d_agd_bd

 

Ils sont tous nuls, sauf les P_ab,ab qui valent 1. D’après (1d), les éléments de matrice de (P_ab)⁺ sont :

 

(1f)  (P_ab)⁺_dg = <u_d|P_ba|u_g> = P_ba,dg = P_ab,gd

 

Par conséquent :

 

(1g)  P_ba,ba = P_ab,ab = 1

 

sont les seuls éléments non nuls de ces matrices de projection.

Considérons maintenant un mélange statistique particulier de ces états de base, de la forme :

 

(1h)  r = p_abP^ab  ,  p_ab = c_ac_b* = (p_ba)*

 

Alors, r est factorisable sous la forme :

 

(1i)  r = (c_a|u^a>)(<u^b|c_b*) = |y><y|

 

et l’état |y> est une superposition linéaire des états de base :

 

(1j)  |y> = c_a|u^a>

 

Si, par contre, on cherchait à généraliser (1h) en pondérant chaque projecteur de base par une probabilité p_ab non factorisable (ce qui correspondrait à un véritable mélange statistique des états de base), r ne serait plus factorisable en (1i) et |y> ne serait plus une superposition linéaire des états de base. Dans ce cas, |y> ne serait plus un vecteur d’état du système à l’étude. Les seuls mélanges statistiques constructibles des états de base qui préservent la propriété d’espace vectoriel de E sont donc de la forme factorisée (1h).

On ne peut donc envisager de mélanges statistiques plus généraux qu’entre états purs |y_i> (i Î N) de la forme (1j) :

 

(2a)  |y_i> = c_i^a|u_a>

 

non réductibles aux états de base du système. A ces états purs correspondent les projecteurs :

 

(2b)  r_ij = |y_i><y_j| = (r_ji)⁺

 

De nouveau, seuls les r_ii (projections sur les axes purs |y_i>) sont hermitiques. Pour i ¹ j (projections sur les plans purs |y_i>,|y_j>), la conjugaison hermitique échangent r_ij et r_ji. r_ij possède un invariant :

 

(2c)  r = r_iⁱ = |y_i><yⁱ| = c_i^a(c^ib)*P_ab

 

d’après (2a), invariant qui n’a, a priori, aucune raison de se réduire à l’identité. On y remarque au contraire des termes d’interférence pour b¹a. Eléments de matrice de r_ij :

 

(2d)  <u_g|r_ij|u_d> = r_ij,gd = c_i^a(c_j^b)*d_agd_bd = c_ig(c_jd)*

 

de son invariant :

 

(2e)  <u_g|r|u_d> = r_gd = c_ig(cⁱ_d)*

 

La trace de (2d) donne :

 

(2f)  <u_g|r_ij|u^g> = r_ij,g^g = Tr(r_ij,gd) = c_ig(c_j^g)*

 

Elle exhibe des interférences, non plus entre états de base, mais entre états purs (sommation sur tous les états de base du système). Notez la différence avec (2e), qui exhibe les interférences entre états de base (sommation sur tous les états purs du système). Dans le cas général, on trouve donc deux sortes d’interférences, celles entre états de base différents et celles entre états purs différents (qui peuvent correspondre à des états propres différents d’une même observable A du système).

On établit sans difficulté les propriétés suivantes des opérateurs densité r_ij :

 

(3a)  r_ijr_kl = Tr(r_kj,gb)r_il         (produit « linéarisant »)

(3b)  r_ijrⁱ_l = Tr(r_ij,gb)rⁱ_l

(3c)  r_ijr^ij = Tr(r_ij,gb)r^ij = r^ijr_ij

(3d)  [r_ij , r_kl] = Tr(r_kj,gb)r_il - Tr(r_il,gb)r_kj

(3e)  [r_ij , rⁱ_l] = Tr(r_ij,gb)rⁱ_l - Tr(rⁱ_l,gb)r_ij = 0  pour l = j

(3f)  [r_ij , r_ij] = 0         (évident, mais a établir quand même)

(3g)  [r_ij , r_ji] = [r_ij , r_ij⁺] = Tr(r_jj,gb)r_ii - Tr(r_ii,gb)r_jj ¹ 0  pour j ¹ i

(3h)  [r_ij , r^ij] = 0

 

ainsi que Bianchi :

 

(3i)  [[r_ij , r_kl] , r_mn] + [[r_kl , r_mn] , r_ij] + [[r_mn , r_ij] , r_kl] = 0

 

qui nous permet d’énoncer :

 

L’ESPACE D_pur DES OPERATEURS DENSITE D’ETATS PURS D’UN SYSTEME PHYSIQUE S EST UNE ALGEBRE DE LIE ASSOCIATIVE.

 

(en maths, une algèbre de Lie est toujours associative, mais je préfère préciser)

 

Le « produit linéarisant » (3a) conduit à des formules bien pratiques, faciles à établir par récurrence :

 

(3j)  P_n=0^N r_{i(2n+1)i(2n+2)} = {P_n=1^N Tr[r_{i(2n+1)i(2n),ab}]r_i(1)i(2N+2)    

 

(3k)  r_i(1)i(2){P_n=1^N rⁱ⁽²ⁿ⁾_i(2n+2) = [Tr(r_ab)]^Nr_i(1)i(2N+2)

 

(3l)  r^N = {P_n=1^N-1 Tr[r^i(2n-1)_i(2n+1),ab]}r_i(1)^i(2N-1)

 

Troisième et dernière étape : les mélanges statistiques d’états purs. On introduit pour cela des coefficients complexes p^ij et on construit le mélange en pondérant chaque projecteur r_ij par l’un de ces coefficients. Le mélange le plus général qu’on obtient à la forme suivante :

 

(4a)  Rⁱ_k = p^ijr_kj

 

Son invariant est :

 

(4b)  R = Rⁱ_i = p^ijr_ij

 

La conjugaison hermitique donne, d’après (2b) :

 

(4c)  (Rⁱ_k)⁺ = (p^ij)*r_jk  ,  R⁺ = (p^ij)*r_ji

 

Les probabilités sont les modules des p^ij, soit |p^ij| Î [0,1]. On a :

 

(4d)  S_iS_j |p^ij| £ 1

 

Si cette somme double (on doit sommer sur toutes les probabilités) est égale à 1, le système est dit conservatif. Si elle est < 1, il est dit dissipatif. Eléments de matrice de Rⁱ_k et de R :

 

(4e)  Rⁱ_k,gd = p^ijc_kg(c_jd)*  ,  R_gd = p^ijc_ig(c_jd)*

 

Dans R_gd, on somme sur tous les états purs. |R_gg| mesure donc la probabilité moyenne de passer du plan pur (|y_i>,|y_j>) à l’axe de base |u_g> : c’est la « population » de l’état de base |u_g>. R_gd pour d¹g mesure toutes les interférences entre les états de base |u_g> et |u_d>. Toutes ces moyennes passent par l’ensemble des plans purs (|y_i>,|y_j>) (pour j ¹ i) et des axes purs |y_i> pour j = i. Traces de Rⁱ_k,gd et de R_gd :

 

(4f)  Rⁱ_k,g^g = Tr(Rⁱ_k,gd) = p^ijc_kg(c_j^g)*  ,  R_g^g = Tr(R_gd) = p^ijc_ig(c_j^g)* 

 

Cette fois, dans Rⁱ_k,g^g, on somme sur tous les états de base. Donc, |Rⁱ_i,g^g| (i Î N) mesure la probabilité moyenne de passer du plan de base (|u_g>,|u_d>) à l’axe pur |y_i> : c’est la « population » de l’état pur |y_i>. Pour i ¹ k, Rⁱ_k,g^g mesure toutes les interférences entre les états purs |y_i> et |y_k>. Toutes ces moyennes passent par l’ensemble des plans de base  (|u_g>,|u_d>) (pour d ¹ g) et des axes de base |u_g> pour d = g.

Sauf erreur d’interprétation de ma part, les « cohérences » entre états de base sont contenues dans R_gd pour d¹g et celles entre états purs, dans Rⁱ_k,g^g pour i ¹ k.

De la même manière que pour les cas purs, on établit sans plus de difficulté les propriétés suivantes sur les opérateurs densité de mélanges :

 

(5a)  Rⁱ_jR^k_l = p^imTr(r_lm,ab)R^k_j = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_j

(5b)  Rⁱ_jR^j_l = p^imTr(r_lm,ab)R = Tr(Rⁱ_l,ab)R

(5c)  Rⁱ_jR^j_i = p^imTr(r_im,ab)R = Tr(R_ab)R

(5d)  R² = Tr(Rⁱ_k,ab)R^k_i

(5e)  Rⁱ_j(R^k_l)⁺ = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl

(5f)  Rⁱ_j(R^j_l)⁺ = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl

(5g)  Rⁱ_j(R^j_i)⁺ = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_ji

(5h)  RR⁺ = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_ik = (R⁺R)⁺

 

ainsi que les formules de commutation :

 

(6a)  [Rⁱ_j , Rⁱ_j] = [Rⁱ_j , R^j_i] = [Rⁱ_j , (Rⁱ_j)⁺] = [Rⁱ_j , (R^j_i)⁺] = [R,R] = [R,R⁺] = 0

(6b)  [Rⁱ_j , R^k_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_j - Tr(R^k_j,ab)Rⁱ_l

(6c)  [Rⁱ_j , R_il] = Tr(Rⁱ_l,ab)R_ij - Tr(R_ij,ab)Rⁱ_l

(6d)  [Rⁱ_j , R^k_i] = Tr(R_ab)R^k_j - Tr(R^k_j,ab)R

(6e)  [Rⁱ_j , R^j_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R - Tr(R_ab)Rⁱ_l

(6f)  [Rⁱ_j , R^kj] = Tr(Rⁱ_j,ab)R^kj - Tr(R^kj_,ab)Rⁱ_j

(6g)  [R , R^k_l] = Tr(Rⁱ_l,ab)R^k_i - Tr(R^k_i,ab)Rⁱ_l

 

(7a)  [Rⁱ_j , (R^k_l)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_jl

(7b)  [Rⁱ_j , (R_il)⁺] = (pⁱⁿ)*Tr(R_in,ab)(r_jl - r⁺_jl) = 0  pour l = j

(7c)  [Rⁱ_j , (R^k_i)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r⁺_ij - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r_ij

(7d)  [Rⁱ_j , (R^j_l)⁺] = (p^jn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jl - (pⁱⁿ)*Tr(R^j_n,ab)r⁺_jl

(7e)  [Rⁱ_j , (R^kj)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺ _l

(7f)  [R , (R^k_l)⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_il - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_il

(7g)  [Rⁱ_j , R⁺] = (p^kn)*Tr(Rⁱ_n,ab)r_jk - (pⁱⁿ)*Tr(R^k_n,ab)r⁺_jk

 

et surtout Bianchi :

 

(7h)  [[R_ij , R_kl] , R_mn] + [[R_kl , R_mn] , R_ij] + [[R_mn , R_ij] , R_kl] = 0

 

qui nous permet d’énoncer :

 

L’ESPACE D EST UNE ALGEBRE DE LIE ASSOCIATIVE.

 

ce qui est une très bonne nouvelle, car une algèbre de ce type jouit de propriétés agréables.

 

 

Pas de panique ! Les visiteurs assidus auront noté la disparition des dernières bidouilles 70, sauf une : conformément à ma manière de procéder, je ne conserve pas les textes devenus obsolètes. Il y a déjà plus de 70 articles et j’ai toujours l’impression d’être au point mort (si je puis me permettre cette expression…).

Je reviendrai sur toutes ces formules de traces partielles (et de « moyennes partielles » aussi, non encore mises en ligne) si nécessaire : j’ai conservé le formulaire, bien entendu.

Si j’ai supprimé tous ces articles, c’est qu’il y a peut-être un moyen de « réconcilier » les niveaux microscopiques, mésoscopiques et macroscopiques avec cette notion de « décohérence » en les incorporant dans un formalisme quantique plus général, objet du présent article.

Comme je l’ai déjà souligné à plusieurs reprises, c’est assez incroyable de constater que nous ne voyons pas ce qui pourtant nous crève les yeux. Et cette fois, je ne suis pas le seul. Nous sommes tellement habitués à des formalismes que nous éprouvons les pires difficultés à nous en extraire pour effectuer une synthèse des avancées « hors cadre » que nous accumulons.

 

Comme disait Sherlock Holmes au Dr Watson : « Watson, le problème avec vous, c’est que vous accumulez les détails d’une enquête, mais que vous êtes incapables d’en tirer les conclusions qui s’imposent ». C’est, non paraphrasé, dans le « chien des Baskerville », à mon goût, l’une des meilleurs œuvres du maître en la matière.

Il ne s’agit pas de désigner Untel ou Untel : nous sommes tous des Watson, moi le premier.

 

Dans ses « Lois du chaos », Ilya Prigogine nous montre pourtant le chemin :

 

LA VALIDITE DE L’ESPACE DES ETATS D’UNE PARTICULE QUANTIQUE (ESPACE DES « FONCTIONS D’ONDES ») EST LIMITEE AU DOMAINE DE DESCRIPTION MICROSCOPIQUE.

 

A partir du niveau mésoscopique, il nous explique pourquoi il nous faut raisonner, non plus en termes de « vecteurs d’états » |y(t)>, mais en termes « d’opérateurs densité » r(t). Il va même jusqu’à affirmer qu’à ce niveau, et particulièrement dans le cas du chaos quantique, r(t) devient un objet nouveau, irréductible à une fonction d’onde (ou un vecteur d’état, c’est selon). Malgré cela, même lui ne sautera pas le pas.

Pourtant, ça nous crève les yeux. On passe de Schrödinger dans le domaine microscopique :

 

(1)     iħ¶|y(t)>/¶t = H(t)|y(t)>

 

où H(t) est l’opérateur hamiltonien du système, à Liouville-Von Neumann :

 

(2)     iħ¶r(t)/¶t = [H(t),r(t)]

 

où [.,.] désigne le crochet de Lie. Si vous prenez l’équation dissipative (17) considérée par Zurek dans http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0306/0306072.pdf, c’est encore plus flagrant : nous sommes passés d’équations en |y(t)> à des équations en r(t). Or (Prigogine 3^ème), les équations en r(t) peuvent toujours se ramener à des équations en |y(t)> dans les cas « purs », de sorte que r(t) est un objet plus général que |y(t)> et, surtout, adapté à tous les niveaux de description physique, du quantique microscopique au quantique macroscopique (nous sommes ici dans le contexte quantique, est-il besoin de le rappeler ?). En conséquence, il nous faut changer de cadre, passer à un cadre plus général, adapté à tous ces niveaux de description. Ce cadre plus étendu, c’est un espace d’opérateurs, l’espace des « opérateurs densité ». L’état d’un système quantique à t y sera alors représenté par un opérateur densité r(t). Si nous nous plaçons au niveau microscopique et si notre système quantique est pur, alors r(t) est réductible en un projecteur |y(t)><y(t)|. Réciproquement, si r(t) = |y(t)><y(t)|, alors r²(t) = r(t), Tr[r(t)] = 1 (conservation de la probabilité de présence), notre système quantique ne peut être que pur, mais aussi microscopique.

 

JE NOTERAI D COMME DENSITE, CET ESPACE D’OPERATEURS DONT LES ELEMENTS SONT DES OPERATEURS DENSITE. D EST UN ESPACE FONCTIONNEL, DE DIMENSION INFINIE.

 

D contient aussi bien l’espace E des vecteurs kets que son dual E*, espace des covecteurs bras. On le voit tout de suite dans le cas pur, au niveau microscopique : r = |y><y|. Pour que r soit élément de D, il faut qu’à la fois |y> (élément de E) et <y| (élément de E*) y soient définis. D contient donc comme sous-espace l’espace de tous les projecteurs.

Soit maintenant D(t) l’extension dynamique de D. D(t) contient comme sous-espaces :

 

-         l’espace D_h(t) des opérateurs densité hermitiques, r(t) = r⁺(t), définis pour tout t ;

-         l’espace D_c(t) des opérateurs densité de systèmes conservatifs, i.e. solutions de (2) ;

-         l’espace D_d(t) des opérateurs densité de systèmes dissipatifs, i.e. solutions d’équations plus générales que Liouville-Von Neumann, comme par exemple (Zurek-17).

 

A priori, même les équations du type de cette dernière sont réversibles dans le temps : la partie mécanique renferme un hamiltonien encore hermitique, les parties relaxation et décohérence ne dépendent explicitement du temps que par r(t). Si l’on tient compte de l’irréversibilité inévitablement induite par les frottements et la diffusion, l’opérateur densité lui-même, en tant que solution de la dynamique, doit se scinder en deux « semi-opérateurs » r₊(t) (défini uniquement pour t ³ 0) et r_-(t) (défini uniquement pour t £ 0), avec raccordement au point de bifurcation r₊(0) = r_-(0). L’espace D(t) contient encore ses deux opérateurs désormais non hermitiens. Il se scinde à son tour en deux « semi-espaces » D₊(t) et D_-(t) raccordés en t = 0. La conjugaison hermitique, équivalente de la symétrie T, échange alors ces deux semi-espaces.

 

Regardons les substitutions à réaliser pour passer de E à D. On sait déjà que le ket |y> doit être remplacé par r. Par dualité, le bra <y| sera remplacé par r⁺, dual hermitique de r.

<y|y> est une quantité réelle, toujours ³ 0 et on a <y|y> = 0 ssi y = 0.

r⁺r n’est plus un nombre réel, mais un opérateur. Et cet opérateur est toujours hermitique :

 

(3a)  (r⁺r)⁺ = r⁺r

 

En tous cas, tant que r(t) est défini pour tout t. En effet, un produit comme r₊(t)r_-(t) n’est pas physiquement constructible, puisque r₊(t) n’est pas défini pour t < 0 et r_-(t) ne l’est pas pour t > 0. Mais, lorsque r(t) est défini pour tout t, r(t) est nécessairement hermitique (c’est une observable), de sorte que (3a) est en réalité :

 

(3b)  (r²)⁺ = r²

 

Dans le cas non hermitien, r₊⁺ = r_- et r_-⁺ = r₊ et les produits constructibles sont :

 

(3c)  r_-⁺r₊ = r₊²  et  r₊⁺r_- = (r_-⁺r₊)⁺ = r_-² = (r₊²)⁺ = (r₊⁺)²

 

qui remplacent (3b). On voit bien que les produits r₊² et r_-² ne sont plus hermitiques, puisque la conjugaison échange r₊ et r_- et, par suite, toutes leurs puissances.

Si l’on veut retrouver des nombres, il faut prendre les traces des matrices associées aux produits (3b) et (3c), ou bien leurs déterminants (qui seront, quant à eux, des quantités alternées). Le problème, c’est que, pour construire les matrices densité, il faut se donner une base de E, ce que l’on cherche désormais à fuir par tous les moyens…

Eh oui : votre nouvel état quantique, c’est r(t)…

En foi de quoi, vos nouvelles bases, vous devrez les construire dans D…

 

Nous allons introduire l’irréversibilité dans les processus quantiques (relativité de Galilée), en commençant par le cas concret de l’opérateur hamiltonien et nous allons voir qu’il est en fait inutile de faire appel au triplet de Gelfand et à toutes les complications techniques liées à l’extension de l’espace des fonctions d’ondes.

Repassons d’abord en revue les principales propriétés des systèmes quantiques relativistes au sens de Galilée et réversibles dans le temps. Nous partons donc d’un tel système dans l’état initial |y(0)> à t = 0. Sa réversibilité dans le temps est admissible à l’échelle microscopique (symétrie T). Son hamiltonien H_s(t) est alors un opérateur hermitique :

 

(1a)  H_s⁺(t) = H_s(-t) = H_s(t)

 

Soit |u_i(t)> une base orthonormée de l’espace des états quantiques du système, que nous prendrons discrète (l’extension à une base continue se fait sans difficulté) :

 

(1b)  i(t)|u_j(t)> = d_ij  ,  |u_i(t)>j(t)| = d_ijId              pour tout t

 

Dans cette base, H_s(t) et H_s⁺(t) ont les éléments de matrice suivants :

 

(1c)  i(t)|H_s(t)|u_j(t)> = H_s,ij(t)

(1d)  j(t)|H_s(t)|u_i(t)>* = (H_s)⁺_ij(t) = H_s,ij(t)

 

D’après (1a). On établit alors que H_s(t) est une observable (quantique). Il s’ensuit que H_s(t) est mesurable pour tout t (postulat 2 de la mesure quantique).

Soit maintenant |y(t)> un état du système à l’instant t. |y(t)> obéit à l’équation de Schrödinger :

 

(1e)  iħ¶|y(t)>/¶t = H_s(t)|y(t)>

 

dont la solution est :

 

(1f)  |y(t)> = U_s(t)|y(0)>

 

avec U_s(t) l’opérateur évolution du système (dans le temps) :

 

(1g)  U_s(t) = exp[-(i/ħ)ò dt H_s(t)]

 

Comme H_s(t) est hermitique, U_s(t) est unitaire :

 

(1h)  U_s^-1(t) = exp[(i/ħ)ò dt H_s(t)] = U_s⁺(t)

 

et comme. H_s(t) est symétrique sous T, il en va de même de U_s(t) :

 

(1i)  U_s(-t) = U_s(t)        pour tout t.

 

Dans le cas pur, l’opérateur densité est un projecteur :

 

(1j)  r_s(t) = |y(t)><y(t)|  ,  r_s²(t) = r_s(t)  pour tout t.

 

D’après (1f) et (1i), |y(t)> = |y(-t)>, ce qui traduit bien la réversibilité du système dans le temps et :

 

(1k)  r_s(-t) = r_s(t)  =>  r_s²(-t) = r_s(-t)  pour tout t.

 

Dans le cas d’un mélange statistique, l’opérateur densité est une superposition d’états purs |y_i(t)> pondérés par les probabilités p_i(t) de trouver le système dans l’état |y_i(t)> :

 

(1l)  r_s(t) = S_i p_i(t)r_s,i(t)  ,  r_s,i(t) = |y_i(t)><y_i(t)|  ,  p_i(t) = <y_i(t)|y(t)> = p_i(-t)

 

avec évidemment 0 £ p_i(t) £ 1  pour tout t. r_s(t) n’est alors plus un projecteur, mais il reste symétrique par T :

 

(1m)  r_s(t) = r_s(-t)

 

On vérifie facilement que r_s(t) satisfait à Liouville-Von Neumann :

 

(1n)  iħ¶r_s(t)/¶t = [H_s(t),r_s(t)]

 

dont la solution est :

 

(1o)  r_s(t) = [U_s(t),r(0)]

 

Dans la base |u_i(t)>, la matrice de r_s(t) est :

 

(1p)  r_s,ij(t) = i(t)|r_s(t)|u_j(t)>

 

Ses éléments diagonaux sont dénommés « populations » (des états |u_i(t)>) ; ses éléments non diagonaux, « cohérences ». Lorsque le système est réversible dans le temps, r_s(t) est hermitique et donc, diagonalisable. On peut alors toujours trouver une base dans laquelle r_s,ij(t) est diagonale. Dans cette base, les cohérences sont éliminées et les divers |u_i(t)> n’interfèrent plus entre eux : c’est la décohérence.

 

A l’échelle mésoscopique, la situation se complique car, en plus du mélange statistique d’états, le phénomène de diffusion, duquel résulte la propriété de mélange, introduit l’irréversibilité et une « flèche du temps », y compris au sein des processus quantiques. N conséquence, l’hamiltonien du système se scinde en deux : un hamiltonien

 

(2a)  H₊(t) = H_s(t) + H_a(t)

 

observable uniquement pour t ³ 0 et un hamiltonien

 

(2b)  H_-(t) = H_s(t) – H_a(t)

 

observable uniquement pour t £ 0, avec une connexion

 

(2c)  H₊(0) = H_-(0) = H_s(0)  soit  H_a(0) = 0     en t = 0

 

en prenant t = 0 pour instant de la séparation. Il en résulte aussitôt la scission de l’opérateur évolution (1g) en deux :

 

(2d)  U₊(t) = exp[-(i/ħ)ò dt H₊(t)] = U_s(t)U_a(t) = U_a(t)U_s(t)

(2e)  U_-(t) = exp[-(i/ħ)ò dt H_-(t)] = U_s(t)U_a^-1(t) = U_a^-1(t)U_s(t)

 

Par suite, l’état |y(t)> du système se scinde en deux :

 

(2f)  |y₊(t)> = U₊(t)|y(0)>  ,  |y_-(t)> = U_-(t)|y(0)>

 

On s’attend donc à ce qu’il en aille de même pour les états de base |u_i(t)> : on obtient deux bases, |u_+i(t)> et |u_-i(t)>, regroupables en |u_ai(t)>, avec a = +,-. |u_+i(t)> n’est plus définie, donc constructible, que pour t ³ 0. A l’opposé, |u_+i(t)> n’est plus définie, donc constructible, que pour t £ 0. Une manière un peu plus souple, mais guère meilleure, de voir la chose est de dire que |u_+i(t)> n’est plus adaptée aux temps négatifs (comptés depuis une origine qu’on se sera fixé à l’avance) et que |u_-i(t)> n’est plus adaptée aux temps positifs. Ou encore, que |u_+i(t)> (resp. |u_-i(t)>) ne forme plus une base de l’espace des états du système pour t < 0 (resp. t > 0). D’ailleurs, d’après (2f), il est clair que cet espace d’états, soit E(t), se scinde lui aussi en deux : un « demi-espace » E₊(t) pour t ³ 0 et un « demi-espace » E_-(t) pour t £ 0. Tout ceci est lié au groupe d’évolution G, qui se sépare en deux semi-groupes G₊ et G_-, connectés uniquement en t = 0. Dès lors, les produits scalaires ai(t)|y_b(t)> = c_ai,b(t) n’auront plus de sens que pour a = b. En effet, projeter |y₊(t)> (t ³ 0) sur la base |u_-i(t)> (t £ 0) devient absurde dès que t ¹ 0. Idem pour la projection de |y_-(t)> (t £ 0) sur |u_+i(t)> (t ³ 0) : si l’état du système se modifie dans le sens passé -> présent -> futur, il est dénué de sens de chercher à le décomposer sur une base qui se déroule en sens inverse futur -> présent -> passé. Il faut que les flèches temporelles coïncident. On n’aura donc que deux produits scalaires sur quatre :

 

(2g)  c_ai,a(t) = c_i(t) = ai(t)|y_a(t)> = ò_R3 u*_ai(x,t)y_a(x,t)d³x  Î C.

 

On déduit de tout ceci que les éléments de matrice de tout opérateur A₊(t) observable uniquement pour t ³ 0 auront pour expression A_+ij(t) = +i(t)|A₊(t)|u_+j(t)> et que les éléments de matrice de tout opérateur A_-(t) observable uniquement pour t £ 0 auront pour expression A_-ij(t) = -i(t)|A_-(t)|u_-j(t)>, soit :

 

(2h)  A_a,ij(t) = ai(t)|A_a(t)|u_aj(t)>        (a = +,-)

 

A ce niveau de description, il apparaît quand même mieux adapté d’utiliser les opérateurs densité r_a(t) solutions des équations :

 

(2i)  iħ¶r_a(t)/¶t = [H_a(t),r_a(t)]  <=>  r_a(t) = [U_a(t),r(0)]

 

plutôt que les états |y_a(t)>. Les éléments de matrice de r_a(t) dans la base |u_ai(t)> seront :

 

(2j)  r_a,ij(t) = ai(t)|r_a(t)|u_aj(t)>         (a = +,-)

 

NOUS CONVIENDRONS D’APPELER :

OBSERVABLE QUANTIQUE LA DONNEE D’UN OPERATEUR A(t) SYMETRIQUE DANS LE TEMPS ET HERMITIQUE [A(-t) = A(t) = A⁺(t)] ET D’UNE BASE ORTHONORMEE DE L’ESPACE E DES ETATS DU SYSTEME |u_i(t)>, EGALEMENT SYMETRIQUE DANS LE TEMPS ;

SEMI-OBSERVABLE QUANTIQUE LA DONNEE D’UN OPERATEUR A_a(t), OBSERVABLE UNIQUEMENT POUR at ³ 0 (a = +,-), HERMITIQUE SEULEMENT EN t = 0, ET D’UNE BASE ORTHONORMEE DU DEMI-ESPACE E_a DES ETATS DU SYSTEME |u_ai(t)>, CONSTRUCTIBLE UNIQUEMENT POUR at ³ 0.

 

Où se situe cette « obstruction » à la réversibilité temporelle dans la dynamique du système ? Dans l’opérateur H_a(t), qui distingue les deux H_a(t) = H_s(t) + aH_a(t). A t = 0, on a (2c). A t ¹ 0, on a :

 

(3a)  H_s(t) = ½ [H₊(t) + H_-(t)]  ,  H_a(t) = ½ [H₊(t) – H_-(t)]

 

Comme H_s(t) = H_s(-t), il suffit que H_a(-t) = -H_a(t) pour que la brisure spontanée de symétrie temporelle soit réalisée dans les deux directions t ³ 0 et t £ 0 :

 

(3b)  H_s(t) = H_s(-t)  et  H_a(-t) = -H_a(t)  <=>  H₊(-t) = H_-(t)  et  H_-(-t) = H₊(t)

 

et que l’opération T échange H₊ et H_-. La réciproque est vraie : si T échange H₊ et H_-, alors H_s(t) est symétrique en t et H_a(t), antisymétrique.

Si, de plus, on prend H_a(t) anti-hermitique [H_a⁺(t) = -H_a(t)], on obtient :

 

(3c)  H₊⁺(t) = H_-(t)  et  H_-⁺(t) = H₊(t)

 

et la conjugaison hermitique échange, elle aussi, H₊ et H_-. Réciproquement, si la conjugaison hermitique échange H₊ et H_-, alors H_s(t) est hermitique et H_a(t), anti-hermitique. Alors, l’opération (⁺) est équivalente à T. Dans ces conditions, H₊⁺ devient observable pour t £ 0 et H_-⁺, pour t ³ 0. Ceci signifie que :

 

SI H₊(t) EST OBSERVABLE DANS LE SECTEUR t ³ 0, H₊⁺(t) NE L’EST PLUS, MAIS L’EST DANS LE SECTEUR t £ 0.

DE MÊME, SI H_-(t) EST OBSERVABLE DANS LE SECTEUR t £ 0, H_-⁺(t) NE L’EST PLUS, MAIS LE DEVIENT DANS LE SECTEUR t ³ 0.

 

Sacré bazar…

Regardons l’allure des valeurs propres l_a d’un opérateur A_a(t). Attention : on ne raisonne plus avec les états |y_a(t)>, mais avec les opérateurs densité r_a(t). Pour ces derniers, les équations aux valeurs propres s’écrivent :

 

(4a)  A_a(t)r_a(t)A_a⁺(t) = l_al_a*r_a(t)     (a = +,-)

 

Néanmoins, il suffit de décomposer les A_a(t) et les l_a pour en déduire les propriétés des valeurs propres. En effet, puisque A_a(t) = A_s(t) + aA_a(t) et l_a = l_s + al_a, que les composantes (s) sont hermitiques et les (a) anti-hermitiques, si, à A_s(t) correspond l_s, à A_s⁺(t) = A_s(t) correspondra la même valeur propre. Donc, l_s* = l_s et l_s est réelle. De même, si, à A_a(t) correspond l_a, à A_a⁺(t) = -A_a(t) correspondra la même valeur propre, changée de signe. Donc, l_a* = -l_a et l_a est imaginaire pure. Conclusion :

 

LES VALEURS PROPRES DES SEMI-OBSERVABLES A_a(t) SONT COMPLEXES.

D’APRES (3c), LES VALEURS PROPRES DE A_-(t) SONT CONJUGUEES A CELLES DE A₊(t).

 
Etant donné que les r_a(t) ne dérogent pas à la règle, aucun des deux n'est plus hermitique. Au contraire, la conjugaison hermitique, désormais équivalente à la symétrie T, échange r₊(t) et r_-(t). En conséquence :

 

CONTRAIREMENT A LA SITUATION REVERSIBLE, LES SYSTEMES QUANTIQUES IRREVERSIBLES NE  DECOHERENT JAMAIS COMPLETEMENT.

 

La décohérence n'est envisagable que dans les systèmes supposés réversibles au cours du temps. Néanmoins, les raisonnements tenus ne tiennent manifestement pas compte du fait qu'en général, la propriété de mélange, qui résulte de celle d'ergodicité, induit inévitablement une irréversibilité dans la dynamique du système au cours du temps. Quand on prend cet aspect essentiel en compte, les résultats deviennent radicalement différents.
La bidouille suivante sera justement consacrée à des assemblages irréversibles de fonctions d'ondes. Nous y aborderons un aspect fondamental de ces systèmes qui est l'effet mémoire.
 

 

Cette bidouille n’en est pas vraiment une, ce n’est qu’une transition.

Je me vois dans l’obligation d’abandonner la recherche théorique sur les EMIs jusqu’à obtention éventuelle d’éléments ultérieurs. Je vais me consacrer aux sciences du comportement et, tout particulièrement, à la psychiatrie.

Retour, donc, aux travaux antérieurs sur le système nerveux et ses processus physico-chimiques.

Le problème qui se pose, concernant les EMIs, est l’inobservabilité des phénomènes PSI. Aborder le sujet m’a permis de progresser sur la compréhension des structures profondes de la relativité comme de la mécanique quantique, tout n’est donc pas perdu, loin s’en faut. Malgré tout, rien dans l’arsenal théorique actuel ne permet d’expliquer pourquoi les phénomènes PSI restent inobservables, sauf situations critiques, dont les paramètres restent encore à établir.

En faisant appel à la TQRC, j’ai utilisé ma dernière cartouche. Si apparition de structures ou de phénomènes typiquement ondulatoires il devait y avoir au stade IV, ils devraient être observables, au même titre que la quantique macroscopique de tout corps physique présentant cette propriété. Y compris sous forme ondulatoire. Or, il n’en est rien. C’est donc que, même cette approche, la plus puissante connue à ce jour, reste inopérante.

Peut-être le retour au comportemental m’aidera à mieux comprendre pourquoi.

Quoiqu’il en soit, la physique du comportement présente d’ors et déjà des applications autrement plus urgentes et utiles que la mise en évidence théorique du PSI.

Les maladies mentales sont devenues les maladies n°1 dans le monde. La source est OMS. Ces dernières années, elles sont passées devant les cancers et les maladies cardio-vasculaires.

Or, la biochimie du cœur n’est déjà pas simple, celle du cancer non plus. Mais, celle du cerveau, c’est encore pire…

 

http://www.futura-sciences.com/magazines/matiere/infos/actu/d/physique-chaos-quantique-existerait-bien-20764/

« cette nouveauté [le chaos – déterministe] envahit presque toutes les disciplines, des battements du cœur au fonctionnement du cerveau «

Sauf que le chaos déterministe tient son nom de dynamiques déterministes, alors que le fonctionnement du cerveau n’est déterministe qu’à l’intérieur des neurones. Au niveau synaptique, le fonctionnement n’est déterministe que pour les synapses électriques, il ne l’est plus pour les synapses chimiques…

La « fonction neurone » que j’ai décrite est effectivement une loi de fonctionnement déterministe, mais qui ne concerne que l’activité interne du neurone. Elle cesse d’être valable au niveau de ses membranes pré-synaptiques, là où le signal passe de propagatif à diffusif moléculaire.

La conséquence est immédiate : puisque les neurones sont nettement séparées les uns des autres par leurs fentes synaptiques et puisque la diffusion des neurotransmetteurs à travers ses fentes est de type Boltzmann, donc aléatoire et avec possibilités de fuites dans le « milieu extérieur », le séquençage de l’information à travers les graphes neuronaux perd toute utilité (alors qu’il aurait toute son utilité dans les graphes à synapses électriques, où la transmission est garantie à 100%)… C’est la perte de causalité que j’ai déjà évoquée.

On n’est pas dans des machines de Turing-Von Neumann… Tout est dynamique, dans le cerveau. Et même dans le néocortex, on ne peut guère isolé de « blocs de calculs » à fonctions dédiées…

Je sais bien que les biomathématiques actuelles cherchent à décrire les phénomènes biologiques et de cinétique chimique à partir de systèmes dynamiques déterministes susceptibles de transiter vers le chaos mais, plus les connaissances sur le cerveau avancent et s’approfondissent, plus il semble que les lois biophysiques qui président au fonctionnement du système nerveux ne sont pas déterministes. Au mieux, « déterministes par arcs ». Mais, à chaque sommet d’un graphe, le déterministe des arcs (les axones) est détruit…

Or, ce qui prévaut dans le système nerveux est la communication entre neurones. Ce qui se passe à l’intérieur de chaque neurone devient d’un intérêt tout à fait secondaire, puisqu’un neurone dont toutes les entrées sont inactives à l’instant t est toujours en mesure de se mettre en auto-oscillation et de produire un signal nerveux (hors coma) !

A la limite, on peut donc se ficher complètement de ce qui parcourt ou non un axone… : dès que des neurotransmetteurs sont diffusés et captés par les récepteurs du neurone cible, l’information passe…

 

« Or, l’équation fondamentale de la physique quantique, l’équation de Schrödinger, est linéaire «

 

Certes ! Mais, de la même manière que la relativité de Galilée est une approximation de celle d’Einstein, l’équation de Schrödinger, fondée sur la relativité de Galilée, n’est qu’une approximation de Klein-Gordon. Or, KG n’est linéaire que dans le cas extrêmement particulier des oscillateurs harmoniques… Tout le reste n’est plus linéaire.

Je comprends bien la démarche, ce fut celle de Prigogine : on passe de la description en fonctions d’ondes à celle en matrices densité, puis on considère de nouvelles possibilités non factorisables en fonctions d’ondes (mélange), susceptibles de décrire un « chaos quantique », même chez Schrödinger. En revanche, on perd toute information sur la phase du paquet d’ondes…

Je crois qu’on se casse la tête… Il suffit de partir d’un KG non linéaire, quitte à le réécrire en variables amplitude-phase. On conserve alors toute l’information sur la phase. Tant mieux d’ailleurs, car ce sont les variations de phase et non d’amplitude qui fournissent les courants de particules ! Puis, on revient à un modèle « de type Schrödinger », i.e. galiléen, mais non linéaire, en posant c -> ¥ dans KG…

Toute EDP non linéaire peut être ramenée à un système dynamique. Du fait même de sa non-linéarité, elle est susceptible de présenter des solutions chaotiques.

Dès lors qu’on se sortait du sempiternel oscillateur harmonique, le chaos quantique devenait une évidence à laquelle il fallait s’attendre !

M’enfin… de quels théoriciens de la physique parle donc cet article ?...

Fokker-Planck est déjà non linéaire. Il existe aussi depuis longtemps nombre de situations décrites par du Schrödinger non linéaire, où le potentiel interactif dépend de l’état de la fonction d’ondes elle-même… On dirait que les théoriciens dont il est question dans cet article n’étaient pas informés de tout cela… L

Assez récemment d’ailleurs (années 1990), le géomètre Alain Connes a travaillé sur le concept d’entropie quantique.

 

http://www-phlam.univ-lille1.fr/atfr/cq/english/res/quantum_chaos.html

« In classical physics, the spatial coordinate x is both the dynamical variable and the parameter of the force «

NAAAANNNN… Les Ch’tis, y s’plantent comme les z’aut’…

Parce qu’y sont faignants comme les z’aut’, pou’ écri’e les équations…

C’est pas md²x/dt² = F(x), mais md²x(t)/dt² = F[x(t)] et x = x(t) n’est qu’UN point de la trajectoire x(t) du mobile de masse m [voire m(t) !], le point situé à l’instant t sur la trajectoire. Résultat : x est bien la variable dynamique, mais le paramètre dynamique reste le temps et F devient une fonctionnelle…

 

Ensuite, on se doute très fortement que prendre des quantités non linéaires en le(s) paramètres de mouvement ne changera pas le caractère linéaire de la dynamique… : Si je prends m(t)d²x(t)/dt² = k(t)x(t) + F₀(t) au lieu de md²x/dt² = kx(t) + F₀, mon système restera linéaire.

HOLAAA… là, on se fait un sac de nœuds entre variables et paramètres…

Les paramètres de la mécanique quantique sont les xⁱ.

Les variables de la mécanique quantique sont les états ondulatoires y.

Dès lors, les trajectoires quantiques sont toutes de la forme y(x).

Je ne vois pas bien ce qu’Heisenberg vient faire là-dedans, qui concerne l’impossibilité de localiser à la fois le signal et son spectre en fréquence !...

D’ailleurs, tout le monde s’accorde à reconnaître que le principe d’incertitude n’a jamais rien eu de quantique…

 

Enfin, je m’attendais à plus grave que ça : la fonction de distribution passe de exp(-p²/2l²) (classique) à exp(-|p|/L) (quantique). Pas la fin du monde…

Ça rappelle exactement le passage de l’elliptique (ondes) au parabolique (diffusion).

Et alors ?...

Il est où, le problème ?... J

 

Mon problème à moi réside dans l’observabilité : pourquoi les « phénomènes PSI » restent-ils si désespérément inobservables, alors que tout concourt, à commencer par ces dernières lectures, à démontrer que, sous régimes chaotiques, les effets quantiques peuvent devenir macroscopiques et en des temps relativement courts ? Or, la biophysique est chaotique par essence. Le système nerveux, en particulier, est typiquement chaotique, même si l’on démontrait par la suite, qu’il se comportait à la manière d’un décalage de Bernoulli (entropie de Kolmogorov-Sinai maximale). Il faut que je lise ce papier sur la décohérence :

http://arxiv.org/ftp/quant-ph/papers/0306/0306072.pdf

qui va me prendre un certain temps, afin de voir s’il s’accorde avec ce que je suppute à présent, à savoir,

 

SI LE PHENOMENE DE « REDUCTION DU PAQUET D’ONDES » OU « EFFONDREMENT DE LA FONCTION D’ONDES » CHOISIT UN ETAT PARTICULIER PARMI UNE MULTITUDE DE POSSIBILITES HORS OBSRVATION, ALORS NOUS SOMMES BIEN EN PRESENCE D’UNE BRISURE SPONTANEE DE SYMETRIE.

QUESTION :

CET ETAT OBSERVé DEVIENT-IL UNIQUE OU BIEN LES AUTRES POSSIBILITES RESTENT-ELLES INTACTES, MAIS CHACUNE DANS UN ETAT DIFFERENT DU MONDE PHYSIQUE (« the many-world interpretation of quantum mechanics ») ?

 

S’il devient unique, alors l’observation du système quantique détruit toutes les autres possibilités. Mais ce choix est censé se faire au hasard… alors ? Et comment détruire ce qui n’est que possible et donc, pas (ou pas encore) finalisé ?...

Ça équivaudrait mathématiquement à détruire des probabilités : absurde…

N’est destructible que ce qui est réalisé, pas ce qui n’est que réalisable.

Ou alors, le vide quantique lui-même serait destructible, hypothèse rejetée par la TQRC.

 

La solution serait de rejeter en bloc les rapports d’EMIs. Mais, c’est impossible : comment le patient aurait-il pu imaginer (= « vivre mentalement ») tout cela, quand il est cliniquement prouvé qu’il n’a plus aucune activité cérébrale ?...

Il se passe donc bien quelque chose ! Quelque chose d’indépendant de son cerveau, de son système nerveux et même de son enveloppe biologique.

Et ce « quelque chose » devrait être observable, puisque c’est forcément physique (sinon, ça n’existe pas et ne peut être rapporté).

La seule explication logique à laquelle j’aboutis est qu’il se produit un passage d’un état de vide du monde physique à un autre.

Et que ce passage se fait par les « Tunnels ».

Alors, d’après Everett, dans l’un des états de vide, le patient est biologiquement en état de « mort clinique » et, dans l’autre état de vide, il est toujours vivant, même si son corps peut apparaître « d’une autre nature ».

Seulement, cette explication soulève deux difficultés.

La première est qu’il n’existe pas que deux possibilités, mais peut-être une infinité… quid de toutes les autres ?

La seconde est toujours liée à l’observation. Cette fois, elle présuppose que le décorporé peut observer l’autre, mais que les personnes présentes au même endroit ne peuvent même pas percevoir le décorporé. Ceci aurait pour conséquence que nous ne pourrions observer aucun état de vide plus profond que le nôtre et donc, aucun état cohérent, ce qui est faux, naturellement…

 

Je ne comprends pas. On va d’absurdités en contradictions. C’est certes la signature assez frappante que « quelque chose ne va pas », mais je n’arrive pas à cerner quoi.

Les signaux biologiques sont tous matériels, tous véhiculés par des molécules. C’est la différence essentielle avec la matière inerte, qui émet et reçoit des signaux non matériels.

On peut faire un rapprochement entre charge et récepteur biologique : deux corps ne pourront s’échanger de photons que ssi ils portent tous deux une charge électrique ; de la même manière, deux cellules vivantes ne pourront s’échanger telle molécule que ssi la cellule source est capable de l’émettre et la cellule cible possède le récepteur approprié.

Ça, c’est facile à comprendre.

Mais on n’avance pas pour autant.

  

 

Coupes sombres dans les derniers articles. J’ai abouti à une impasse. Je reprends donc à partir de la bidouille 66.

Pour le moment, on colle beaucoup plus à la TQRC en raisonnant sur la base de M⁴ qu’en essayant de trouver une origine ondulatoire à t. On poursuit donc avec une fonction d’ondes y(x) = |y(x)|exp[-iq(x)] en m^-2. Le champ de 4-vitesses sur M⁴ :

 

(1a)  V_i(x) = (iħ/m)¶_iLny(x) = (ħ/m)¶_i[q(x) + iLn|y(x)|]

 

est le champ des 4-vitesses ondulatoires sur M⁴, autrement dit, V_i(x) est la 4-vitesse de déplacement du paquet d’ondes dans l’espace-temps, évaluée en x. Cela signifie que V(x,t) est la vitesse de déplacement de ce paquet d’ondes dans l’espace à l’instant t et que, par contre, V⁰(x,t) est sa vitesse de déplacement dans le temps (direction x⁰ = ct), au point x de l’espace.

C’est cette dernière composante qui va nous intéresser tout particulièrement pour étudier le phénomène de décorporation, parce que l’hypothèse de départ fournie par les EMIs est celle de l’immobilité spatiale : le corps biologique est évidemment immobile, puisqu’il ne fonctionne plus ; quant au corps PSI, il ressort du Tunnel au même endroit de l’espace et ne se déplace donc pas ou très peu. Si déplacement il y a bien « dans le Tunnel », il ne peut manifestement qu’être temporel.

Nous allons voir que, contrairement à la matière substantielle, il est assez facile d’accélérer un paquet d’ondes, même initialement immobile, jusqu’à c en un temps t fini. Cette possibilité est toute entière contenue dans les équations de la TQRC. Rien d’exotique, donc. A la place, une reformulation.

Limitons-nous d’abord volontairement aux particules (région microscopique). Les masses au repos des corps y sont supposées constantes. Considérons le mouvement ondulatoire libre purement cinétique (c’est le plus simple), champ bosonique :

 

(1b)  ¶ⁱ¶_iy(x) = 0

 

Sa solution est :

 

(1c)  y(x) = y₀x₀²/x²  ,  x² = xⁱx_i Î R  ,  y₀ Î C

 

et on peut supposer, sans restreindre la généralité, que x₀² > 0. On a alors :

 

(1d)  V_i(x) = -2iħx_i/mx²  ,  |V(x)|² = V_i(x)Vⁱ*(x) = 4ħ²/m²x²

 

On voit aussitôt que ce type de mouvement ne correspond pas au cas de la décorporation lors d’un EMI : dans la région causale x² > 0 (domaine d’observabilité), |V(x)|² est strictement décroissante, alors qu’on s’attend à une accélération. Reste le mouvement ondulatoire libre avec potentiel de fonction d’ondes (modèle le plus simple : KG) et le mouvement ondulatoire forcé. Avant de les aborder, introduisons le temps ondulatoire t par :

 

(2a)  V_i(x) = c²¶_it(x)

 

En comparant avec (1a), on établit :

 

(2b)  t(x) = (iħ/mc²)Ln[y(x)/y₀]

 

soit, en inversant :

 

(2c)  y(x) = y₀exp[-i(mc²/ħ)t(x)]

 

Ce temps ondulatoire t présente un caractère absolu sur M⁴. En posant y₀ = |y₀|exp(-iq₀), on trouve :

 

(2d)  t(x) = (ħ/mc²){[q(x) - q₀] + iLn[|y(x)/y₀|]} = t₁(x) + it₂(x)

 

On constate que t₁(x) ne dépend que de la phase de la fonction d’ondes (q₀ étant sa valeur initiale), alors que t₂(x) ne dépend que de son amplitude. t va, en fait, constituer la « base » du « tube » (le fameux « Tunnel »), lequel va s’étirer dans la direction t. Aussi, conserver t complètement à part de t₁ et t₂ sert bien mieux la symétrie cylindrique dans le temps.

Dans le cas du mouvement ondulatoire libre purement cinétique, on obtient :

 

(2e)  q(x) = q₀ ,  |y(x)/y₀| = |x₀²/x²|  d’où    t₁(x) º 0  et  t₂(x) = (ħ/mc²)Ln|x₀²/x²|

 

On voit que t(x) y est imaginaire pur : difficile, dans ces conditions, de former une base de tube temporel quelconque.

Dans le cas du mouvement ondulatoire libre avec potentiel de fonction d’ondes ou, plus généralement, dans celui du mouvement ondulatoire forcé, l’expression de y(x) peut s’avérer fort compliquée et fort difficile, voire impossible à établir analytiquement. Cela ne nous empêche nullement de traiter le cas général. On suppose V_i(x) connu, après intégration de l’équation en y(x). De (2a), on tire d’abord :

 

(3a)  V_i(x)Vⁱ*(x) = c⁴¶_it(x)¶ⁱt*(x)

 

puis :

 

(3b)  ds²(x) = dxⁱdx_i = [c⁴/V_i(x)Vⁱ*(x)]|dt(x)|²

 

soit :

 

(3c)  ds² = [c⁴/V_iVⁱ*]|dt|²

 

Ceci permet d’exprimer le ds² en fonction des données ondulatoires et ainsi d’en faire une fonction de t. De nouveau, on distinguera deux situations :

 

(3d)  V_iVⁱ* > 0 : ds² > 0, s(t) = ±c⁴ò_t0^t |dt’|/|V_iVⁱ*|^1/2

(3e)  V_iVⁱ* < 0 : ds² < 0, s(t) = ±ic⁴ò_t0^t |dt’|/|V_iVⁱ*|^1/2

 

Ces expressions montrent que la distance comme la durée vont maintenant varier suivant le temps ondulatoire. Si le corpuscule est immobile dans l’espace, s = ct et c’est l’écoulement du temps t, déjà relatif dans M⁴, qui va encore se voir modifié par t. Cette paramétrisation-là n’a plus rien de trivial. Ne perdons quand même pas de vue que xⁱ(t) décrit le mouvement du corpuscule, alors que le mouvement du paquet d’ondes est décrit par t(x). Les formules (3d-e) ci-dessus sont utiles pour calculer les temps et distances d’arrivée connaissant les instants et points de départ. Il n’en reste pas moins que c’est le paquet d’ondes qui se déplace. Le corpuscule, lui, est censé rester immobile.

 

Justement, c’est ici que le bât blesse : la mécanique ondulatoire nous dit que le paquet d’ondes doit suivre le corpuscule, puisque la vitesse de groupe du paquet d’ondes est la vitesse de déplacement du corpuscule dans l’espace. Or, toutes les EMIs recensées établissent l’inverse : le paquet d’ondes est censé se déplacer sans le corpuscule. Il n’est pas non plus au programme de « reconstituer » le corpuscule en sortie de Tunnel.

 

Alors ?

 

Il est quand même assez insolite de trouver deux thèses exactement contraires. Si les témoignages d’EMIs n’étaient pas si « universels » et s’ils étaient basés sur des hypothèses individuelles plus ou moins farfelues, la physique théorique aurait tôt fait de démasquer les supercheries. Ici, au contraire, la TQRC établit l’opposé.

Moi, ça me fait tiquer. Pourquoi exactement l’opposé ?

 

Soit on jette tous les témoignages au panier, mais on ne peut alors invoquer que le prétexte assez fallacieux que l’ensemble de ces données ne revêt aucun caractère scientifiquement établi. Sauf qu’il faut ensuite se demander pourquoi la science actuelle n’arrive pas à établir l’impossibilité formelle de ce type de processus…

 

Soit on envisage la possibilité que, nous, les théoriciens, n’avons peut-être pas compris la quantique…

 

Quand on parle d’onde ou de paquet d’ondes, on parle forcément de mouvement. Une onde est un mouvement. Ce n’est pas un objet ! Nous avons déjà tendance à en faire un objet, sous forme de « milieu physique ». A quoi renvoie le paquet d’ondes y(x) ? A une position, un placement y, dans l’espace des états quantiques (ondulatoires serait plus judicieux). En triturant les objets (mathématiques !) de la TQRC, nous avons abouti à une reformulation tout à fait équivalente en termes de temps ondulatoire. On se retrouve ainsi, états ou temps ondulatoires, avec un espace-temps 4D, siège des corps et processus physiques dits « classiques » et deux dimensions, deux « degrés de liberté » de plus : (y₁,y₂) ou (t₁,t₂).

Entretemps, la relativité restreinte nous laisse fortement comprendre « qu’au-dessus » des trois dimensions d’espace, il semble bel et bien exister une dimension physique de temps, dans laquelle nous sommes plongés, même au repos, mais que nous ne pouvons commencer à « palper », i.e. dans laquelle nous n’entrons « de plain pied » que lorsque nous nous déplaçons à des vitesses comparables à celle de la lumière.

A présent, la TQRC nous dit : « ce n’est toujours pas suffisant, il faudrait ajouter à ce schéma dimensionnel encore deux autres dimensions de temps ». Dans lesquelles nous serions plongés, mais que nous ne pourrions « palper » que lorsque nous formons un système macroscopique, soit quantique, soit seulement ondulatoire.

 

Si nous acceptons d’envisager un tel schéma dimensionnel qui, j’insiste là-dessus, n’est qu’une réinterprétation sans modification de la TQRC, alors, comme par magie, le scénario des EMIs vient s’inscrire dans ce cadre 6D élargi et il n’y a plus d’opposition de principes…

 

D’où le renouvellement de ma question : sommes-nous bien sûrs d’avoir compris la quantique ?

 

Moi, je n’ai rien compris du tout. J’ai cru comprendre qu’il s’agissait de systèmes composés de substance et d’onde localisée autour de cette substance et intriquée avec celle-ci. Que cette intrication permettait à cette « substance quantique » de se comporter, tantôt comme de la substance « classique » (ordinaire), tantôt comme une onde.

Mais que tout se passait dans l’espace-temps 4D M⁴…

J’ai aussi cru comprendre que cette « substance quantique » était mesurable, mais jamais dans son essence. Parce que la seule présence d’un observateur et/ou d’un appareillage suffisait à perturber cette substance et à « influencer » le résultat de la mesure.

Drôle de « substance », mesurable, mais pas comme il faudrait…

Une science qui, après tout, ne repose encore que sur des postulats… que nous avons érigés à l’état de principes…

Mais si. Ne nous voilons pas la face : nous en avons fait des « habitudes de pensée », comme disait Schrödinger…

Allez, parlons « d’intrication quantique ». ça résulte de quoi ? du phénomène d’interférence des ondes, d’accord ? C’est donc du mouvement. Ce n’est même que du mouvement.

Mais du mouvement dans quoi ? Dans l’espace-temps ? x(t) est-il un déplacement dans le temps ? Non : au cours du temps ! le mobile, lui, se déplace dans l’espace.

Et puis, si l’interférence ondulatoire se faisait dans M⁴, on n’aurait pas eu besoin de la série d’expériences d’Aspect…

Le mouvement y(x) ne se fait pas dans M⁴, il se fait d’un point à l’autre de M⁴, « au cours des points d’univers », pour utiliser une analogie avec le temps.

D’où les possibilités de corrélations… J

Pouvez corréler des trajectoires x(t) entre elles aussi : c’est ce qui se fait dès 3 corps en interaction…

 

Enfin, à l’époque de Galilée, la vitesse de propagation des interactions « classiques » était supposée infinie (« instantanéité des couplages », temps « absolu », « universel »). Le passage à la relativité restreinte, soit du 3D au 4D, à ramené c à une valeur finie.

Eh bien, que faisons-nous d’autre avec la TQRC ? Avec les corrélations ?

Nous envisageons exactement la même chose que Galilée en son temps : que les systèmes quantiques liés par intrication communiquent instantanément entre eux…

Or, rien ni personne, jusqu’à preuve du contraire, ne nous interdit d’envisager l’existence d’une vitesse de propagation finie des interactions ondulatoires, bien supérieure à c.

En langage de symétries intrinsèques :

 

SO(3) : c = ¥  -->  SO(3,1) : c < ¥ mais g = ¥  --> SO(3,3) : c << g < ¥…

 

Avec g constante universelle, mais à valeur complexe. Même si g₁ = Re(g) devait être rigoureusement égale à g₂ = Im(g), on aurait quand même g = (1+i)g₁. Et c’est normal, puisqu’on rajoute d’un coup deux dimensions réelles de temps…

 

Du coup, je me replonge dans cet Univers 6D, je dispose les 3 premières dimensions dans l’espace et les trois suivantes, dans le temps ; je regarde de nouveau mes mouvements x(t) = x(t,t₁,t₂), mouvement de mon corpuscule dans l’espace, mais « au cours des temps t,t₁ et t₂ » et t(x), mouvement de mon paquet d’ondes dans le temps, d’un point de l’espace à l’autre…

… et je trouve une certaine réciprocité dans la modélisation de la chose…

D’un côté, projection des dimensions temporelles supérieures dans les dimensions spatiales inférieures : t(x);

de l’autre, plongement ou immersion des dimensions spatiales inférieures dans les dimensions temporelles supérieures : x(t).

 

Ensuite, je retourne à ma dynamique. Je pars d’une position immobile dans l’espace, je ne perçois pas le temps physique, je me construis le concept de durée (qui n’a d’ailleurs de signification physique que celle que JE lui confère par convention). Je suis dans le 3D. Je me mets en mouvement, j’accélère, je me rapproche de c : j’entre dans le 4D. Maintenant, je perçois le temps physique. Mais seulement le « classique », pas « l’ondulatoire ». Je dépasse c et je continue d’accélérer. Au bout d’un moment, ma vitesse sera tellement grande que je finirai par percevoir les deux dimensions de temps ondulatoires, autrement que celles que je me serai définies sur le papier. Je ne vois plus de « corrélations quantiques », je vois des signaux ondulatoires qui se propagent à g. Mais, comme |g| >> c, mes chances d’observer ces signaux dans M⁴ sont nulles…

 

L’inconvénient que je trouvais à un monde 6D, c’était les corps : dans un monde 6D, tous les corps physiques doivent être 6D.

Que me dit la TQRC là-dessus ?

Que je désigne par « classiques » des corps dont la composante ondulatoire, i.e. temporelle, est microscopique, i.e. dont la taille est très inférieure à celle de la composante substantielle.

Que je désigne par « ondulatoires » des corps dont la composante substantielle, i.e. spatiale, est microscopique, i.e. dont la taille est très inférieure à celle de la composante ondulatoire.

Et que je désigne par « quantiques » des corps dont la composante substantielle et la composante ondulatoire sont de tailles comparables (i.e. du même ordre de grandeur).

 

La TQRC ne m’affirme nulle part qu’une composante ou l’autre est inexistante. Bien au contraire, elle m’affirme que rien n’est inexistant, parce que, ce qui n’existe pas n’est tout simplement pas physique…

 

Ah bon ? Mais alors, je peux construire des corps physiques 6D formés de « deux parties » : une « partie » spatiale et une « partie » temporelle. Après, c’est une question de tailles, selon le contexte.

Où est l’intrication ?

Nulle part : la composante temporelle n’est pas « intriquée » avec la composante spatiale. Je ne suis plus dynamique, je suis statique : je parle de corps, de volumes multidimensionnels.

 

IL N’Y A PLUS « D’INTRICATION QUANTIQUE » :

CET EFFET RESULTE DE LA PROJECTION DES DIMENSIONS TEMPORELLES, ONDULATOIRES, SUPERIEURES, DANS LES DIMENSIONS SPATIALES, SUBSTANTIELLES, INFERIEURES. UN OBSERVATEUR « BIOLOGIQUE » NE PERCEVANT QUE LA 3D Y VERRA LE CONCEPT « D’ONDE » ET DE TOUT CE QUI EN DECOULE. EN FAIT, LE « PAQUET D’ONDES » N’EST QUE LA PROJECTION D’UN ETAT ONDULATOIRE DANS L’ESPACE 3D OU L’ESPACE-TEMPS 4D.

 

A la place de « l’intrication » en 3D ou même 4D, on trouve des systèmes 6D.

A la place des « corrélations », on trouve une vitesse finie de propagation des informations ondulatoires.

 

Et on n’a rien changé à la construction de la TQRC. On s’est contenté de réinterpréter et, du coup, de reconstruire l’édifice.

 

Si vous trouvez un « problème de la mesure quantique » dans ce nouveau schéma, merci de me l’indiquer. Car, ce qui se situe dans des dimensions physiques, soit inaccessibles à la perception directe (|g| -> ¥) ou hors du cône de lumière, vous ne risquez pas de l’observer « tel qu’il est »… J Vous ne pourrez en observer que des projections 3D ou 4D. Et encore : que les causales !

 

Dans ces conditions-là, j’accepte un monde physique à 6 dimensions. J’accepte l’idée d’un « Tunnel » ondulatoire qui ouvre sur les dimensions de temps. Et j’accepte l’idée que la « Grande Lumière Blanche » soit celle de la lumière incohérente (au sens physique du terme).

 

Et encore, tout n’est pas éclairci.

 

Comme quoi, les coupes sombres n’éclaircissent pas forcément lol