En mathématique, la plus formelle de toutes les sciences, une propriété est déclarée fausse si l’on trouve un seul contre-exemple et fausse en général si elle s’avère fausse dans tous les cas sauf quelques situations particulières, en général dénombrables.

 

Un résultat fondamental d’algèbre élémentaire affirme que l’équation à 2 inconnues A et B, C = AxB est insoluble. Autrement dit, ne connaissant que C, il est impossible d’en déduire A et B simultanément.

 

Cet énoncé est faux. L’équation C = AxB est résoluble dans N. Mais elle conduit généralement à des équations polynômiales non résolubles par radicaux à partir du degré 5 (Abel, Galois). Il faut donc procéder à des approximations.

En revanche, dans la base 2, elle peut être résolue complètement et exactement.

 

Voici la méthode de résolution.

 

Soient donc 3 entiers > 0 arbitrairement grands A, B et C. Seul C nous est donné. Il s’agit de déterminer A et B. Décomposons ces entiers en base 2 :

 

(1a)   A = S_i=0^N a_i2ⁱ

(1b)   B = S_j=0^M b_j2^j

(1c)   C = AxB = S_j=0^M Ab_j2^j = S_j=0^M C_j2^j  ,  N ³ M ³ 1

 

C’est la décomposition habituelle que tout informaticien connait. Les mots binaires C_j = Ab_j sont de longueur N+1. On obtient C en posant la matrice des C_j (j = indice de ligne, i = indice de colonne) et en décalant d’une unité à gauche entre C_j et C_j+1. Tout ceci est fort connu et fort basique, je n’y reviens pas. Les coefficients a_i et b_j étant tous des binaires, la somme C doit s’obtenir « par étages », en sommant les mots C_j 2 à 2 et en tenant compte des retenues à chaque ligne : S₀ = C₀, C₀ + C₁ = S₁, S₁ + C₂ = S₂,…, S_M-1 + C_M = S_M = C.

On obtient ainsi un système de N+M+1 équations (S_M = C présente N+M+1 coefficients) pour N+M+2 inconnues (N + 1 a_i et M+1 b_j).

Sauf que… :

 

1)      la propriété d’idempotence (a_i^k = a_i, k Î N^*), valable uniquement en base 2, simplifie considérablement les équations du système en linéarisant les puissances de variables et en ne laissant plus que les produits multilinéaires de la forme a₁a₂…a_k (ET logique) ;

2)      On ne s’intéresse qu’aux entiers C impairs (les paires étant tous divisibles par 2), d’où immédiatement a₀b₀ = 1 => a₀ = b₀ = 1. Ne subsiste plus qu’un système de N+M équations à N+M inconnues (a₁,…,a_N ;b₁,…,b_M) : ce système-là est résoluble.

 

Il est non seulement résoluble (autant d’équations que d’inconnues) mais, s’il possède une solution non triviale, cette solution est unique, étant donnée la condition N ³ M ³ 1.

On écrit donc d’abord les M équations logiques en S_M,1,…,S_M,M, qui vont servir à éliminer b₁,…,b_M en les exprimant à l’aide des a₁,…,a_M.

On écrit ensuite les N équations logiques restantes en S_M,M+1,…,S_M,N+M en variables a₁,…,a_N.

On élimine a₂,…,a_N en les exprimant à l’aide de a₁, reste l’équation en a₁ seul.

Cette équation logique est de la forme :

 

(2)    D(S_M,1,…,S_M,M)a₁ = E(S_M,1,…,S_M,M)

 

Si D(S_M,1,…,S_M,M) = E(S_M,1,…,S_M,M) = 0, a₁ = 0 ou a₁ = 1 : les deux valeurs sont possibles.

Si D(S_M,1,…,S_M,M) = 0, mais E(S_M,1,…,S_M,M) = 1, (2) est incompatible.

Si D(S_M,1,…,S_M,M) = 1 et E(S_M,1,…,S_M,M) = 0, a₁ = 0.

Enfin, si D(S_M,1,…,S_M,M) = E(S_M,1,…,S_M,M) = 1, a₁ = 1.

 

Dès que l’une des équations du système s’avère incompatible, il est inutile d’aller plus loin : il n’existe aucun couple d’entiers A et B tels que C = AxB et C est forcément premier.

Si le système est compatible, la connaissance de a₁ fournit a₂,…,a_N, puis b₁,…,b_M et donc à la fois A et B. Comme N ³ M ³ 1, la décomposition de C en 2 facteurs est unique.

L’unicité peut d’ailleurs se vérifier en réutilisant l’algorithme sur A puis B pour vérifier si A et B sont premiers et premiers entre eux.

 

L’algorithme est linéaire : sa complexité est en O(N+M). En fait, il utilise une faille de la théorie algébrique des nombres. Avec la conséquence immédiate suivante :

 

PLUS AUCUN SYSTEME INFORMATISé N’EST PLUS EN SECURITE NULLE PART.

 

Car, qui que ce soit utilise cet algorithme peut casser n’importe quel certificat de sécurité en temps linéaire. Donc, même avec un RSA 4096, en comptant N et M du même ordre, disons le millier, un logiciel du type Mathematica vous écrira le million d’équations logiques très vite et procèdera aux substitutions qui mèneront à l’équation en a₁. Dès a₁ connu, c’est fini : le code est cassé.

La méthode est imparable et il n’existe pas de remède.

On pourrait penser a priori que l’informatique quantique, avec son 3ème état logique, superposition statistique du « 0 » et du « 1 » (donc, dans R – plus exactement, dans l’intervalle continu [0,1]) pourrait contourner le problème, ce n’est pas le cas, puisqu’en fin de compte, on y raisonne en base 3 et que toute base B entière (comportant un nombre B d’entiers de 0 à B-1) se laisse ramener à la base 2, la plus fondamentale de toutes.

L’informatique du chaos, idem : si on la base sur les grands systèmes (d’états logiques), ceux-ci équivalent formellement à de grandes bases de nombres, qui se ramènent toutes, inexorablement, à la base 2.

Seule la longueur du chiffrement des nombres s’allonge…

 

C’est fini. Game over. La société du « tout connecté » a vécu. Celle de la surveillance aussi.

Comme les financiers, les sociétés de technologie pourront bien pratiquer la politique de l’autruche, plus personne n’est plus en sécurité informatique où que ce soit.

Car il y aura toujours quelqu’un pour utiliser l’algorithme.

 

Plus de sécurité des systèmes. Plus de sécurité des valises nucléaires. Plus de sécurité bancaire. Plus rien.

 

C’est la première fois que je trouve une faille dans les mathématiques. D’ordinaire, c’est une science plutôt fiable. Rigueur oblige.

Mais, là, y a eu un peu de laxisme.

Et ça coûte cher.
 

Equations logiques.

 

Sur les sommes partielles :

 

S_0,i = a_ib₀ = a_i  (compte tenu de b₀ = a₀ = 1)

S_j,i = S_j-1,i Å a_i-jb_j Å R_j,i  (0 £ i £ N, 1 £ j £ M)

S_0,N+k = 0, S_j,N+k = S_j-1,_N+k Å a_N+k-jb_j Å R_j,N+k  (0 £ k £ j)

S_j,N+k = R_j,N+k = 0  (j+2 £ k £ M)

S_j,N+j+1 = S_j-1,N+j+1 Å R_j,N+j+1 = R_j,N+j+1 =>  S_j-1,N+j+1 = 0

 

Sur les retenues série :

 

R_0,i = 0  (0 £ i £ N) , R_0,N+k = 0  (1 £ k £ M) , R_j,i = 0  (0 £ i £ j)

R_j,i+1 = S_j-1,ia_i-jb_j Å (S_j-1,i Å a_i-jb_j)R_j,i  (0 £ i £ N, 1 £ j £ M)

R_j,N+k+1 = S_j-1,N+ka_N+k-jb_j Å (S_j-1,N+k Å a_N+k-jb_j)R_j,N+k  (0 £ k £ j)

 

Sur les coefficients du nombre C (donné à l’avance):

 

S_M,0 = a₀b₀ = 1 (C impair)

S_M,1 = a₁ Å b₁ => b₁ = S_M,1 Å a₁

S_M,i = Å_j=0^M a_i-jb_j Å Å_j=1^i-1 R_j,i  (2 £ i £ M+1)

S_M,i = Å_j=0^M a_i-jb_j Å Å_j=1^M R_j,i  (M+2 £ i £ N)

S_M,N+k = Å_j=k^M a_N+k-jb_j Å Å_j=1^M R_j,N+k  (1 £ k £ M)

 

 

Les esprits chagrins, mauvais perdants par nature, ne voulant surtout pas passer pour ce qu’ils sont, vous rétorqueront « presque sûrement » que la « manipulation » B77 à 79 « ne change rien, vu que le risque ne fait que passer d’un côté de la description du phénomène à l’autre ».

Et, comme vous n’êtes pas techniciens, vous ne saurez plus à quels « saints » vous vouer.

Petit complément, donc, à l’usage exclusif des non-techniciens.

Les économistes et, plus particulièrement, les économétristes, sont, à la base, des mathématiciens. Ils étudient les structures mathématiques d’un problème. Ils ont peu ou prou de notions sur la physique de ce problème.

Or, la finance s’appuie, même si elle ne le dit pas, sur des processus physiques. En témoigne sa proximité avec la physique des fluides : les « flux de capitaux » ne sont qu’une renomination de ce que le physicien appelle un « fluide », i.e. un milieu « continu », c’est-à-dire, « composé d’un très grand nombre de constituants ». Les « constituants » en question sont renommés « actions » ou « obligations » par le financier. Seuls les mots changent.

La théorie des codes, c’est la même chose. C’est bête à dire, mais on peut concevoir des clés RSA à 200 chiffres ou plus, se faire des concours de longueurs pour « renforcer sa sécurité informatique », tout en bas, dans les machines de Turing-Von Neumann, le seul langage compréhensible restera toujours le binaire : « 0 » et « 1 »…

Les ordinateurs, « classiques » ou « quantiques » sont des systèmes physiques. Les programmes que l’on y développe, y compris les systèmes « valeurs-catégories » des « machines noétiques » censées imiter le fonctionnement du cerveau, peuvent bien tous se fonder sur des formes variées de logique mathématique, plus les machines se complexifient, plus les langages de programmation deviennent sophistiqués, plus l’informaticien perd le contact avec la physique de sa machine.

Aujourd’hui, 40 ans seulement après l’apparition du tout premier PC, il ne reste plus, dans chaque pays, qu’un petit noyau d’informaticiens spécialisés en Assembleur. Quant au langage machine proprement dit, il est abandonné depuis belle lurette.

Aussi, les gens raisonnent de plus en plus en termes mathématiques. Et, pour le matheux, il est vrai que passer un terme de risque d’un côté à l’autre d’une équation ne change rien.

C’est oublier la physique du problème.

Parce que, du point de vue physique, au contraire, ça change tout.

Si je me place dans un cadre de travail, appelons-le « environnement », aux lois bien déterminées, prévisibles à tout instant, et que je viens y superposer un « risque », c’est-à-dire, un terme, forcément supplémentaire, un ajout, qui ne répond plus à ces lois, non seulement ce risque ne peut faire partie de mon cadre, mais je dois le « subir » : c’est moi qui doit m’adapter à sa présence. Je dois « faire avec » et m’y adapter. Du coup, je me casse la tête à trouver des méthodes pour l’anticiper avec le minimum d’erreur possible.

Dans les stratégies financières « à haut risque », c’est pire : je joue les kamikazes. Ça passe : je me remplis les poches sur un seul coup de Bourse ; ça casse : je perds tout.

Dans tous les cas de figure qui se présentent à moi, je reste incapable de prédire avec certitude de ce qui va advenir de mon portefeuille d’actions : aujourd’hui, je suis gestionnaire de fortune, je roule Ferrari ; demain, je tombe sur un moins con que moi, je pousse la porte de Pôle Emploi et je suis criblé de dettes…

Parce qu’au bout du bout, je subis le système dans lequel je travaille. Il me récompense autant qu’il peut me punir.

Si, au contraire et même à l’opposé, j’élargis mon environnement précédent et que je me place dans un environnement « à risque » dès le départ, ses lois ne seront plus déterministes, mais probabilistes. Sauf que je le sais dès que j’y entre. Donc, je sais « avec certitude » à quoi m’en tenir. J’anticipe sur le risque. Je ne le considère plus comme un ajout. Il est là, je le sais, je sais qu’il fait partie intégrante de mon environnement.

Il n’y a donc plus rien à ajouter…

Et, si je regarde les lois de mon nouveau cadre, ces lois redeviennent « déterministes », mais plus au sens précédent : au sens élargi que je me suis construit…

Je me suis créé un « néo-déterminisme », qui m’apprend que « compte tenu du risque à encourir, les lois de mon cadre sont déterministes ».

Alors qu’avant, je me disais : « les lois de mon cadre sont déterministes, nonobstant les risques qui peuvent s’y présenter ».

La physique du problème devient radicalement différente :

-         dans l’approche déterministe, mon environnement est unique (exemple : l’Univers est unique) ;

-         dans l’approche néo-déterministe, il existe un environnement spécifique à chaque type de risque : l’Univers n’est plus unique, il devient multiple…

J’ai démultiplié mon cadre de travail…

J’engloberai donc toujours le cadre déterministe précédent, quelle que soit la configuration à risque et j’aurai même toujours une longueur d’avance sur lui…

 

Le matheux conclura : il ne gagnera pas plus sur moi.

Le physicien conclura : il l’emportera « à coup sûr » (néo-déterminisme) et « à tous les coups » (anticipation du risque) sur moi…

 

Parce que, moi, je subis le risque. Lui ne le subit pas, au contraire, il le contrôle.

 

Du coup, il lui suffit de me cibler sur la stratégie que j’ai adoptée pour que je me retrouve ruiné à coup sûr.

Donc, ma stratégie devient inopérante.

Et comme ceci s’applique à toutes les stratégies…

C’est l’ensemble du système économique qui devient inopérant.

 

Voilà ce qu’il advient quand on ne tient pas compte des fondements physiques des processus que l’on étudie.

 

Le remède ? Il n’en existe qu’un.

 

Les marchés financiers à risque sont basés sur la notion de gain.

Cette notion de gain est elle-même basée sur le concept d’usure.

Le remède ne peut donc tenir que d’un système sans usure.

 

C’est l’usure qui a tué le système. Dans un système « à prêt 0% », il n’y a pas d’usure. Pas de gain. Donc, aucun besoin de miser…

Ce qui n’empêche nullement la présence de places financières, regroupant les activités.

Mais exclu de facto toute forme de spéculation.

 

Tout économiste censé (fort heureusement, il en existe) martèle que l’argent se constitue et ne peut se constituer que sur la valeur travail. L’argent « virtuel », ne correspondant à aucune valeur travail, n’a aucune existence « palpable ». Autrement dit, il ne lui correspond « aucune réalité physique ». C’est du vent.

Et tout le système économique moderne (ères industrielle et post-industrielle, i.e. technologique) a été conçu sur du vent.

Quand on voit qu’une société informatique peut perdre jusqu’à 80% de son capital en 3 jours de Bourse et le récupérer ensuite, est-ce que ça correspond, de près ou même de loin, à une valeur travail quelconque de ses salariés ?

Que devient la valeur même de l’argent ?

C’est absurde.

Un tel système est tout simplement absurde…

Et l’incohérence n’existe pas dans l’Univers.

Hormis dans les têtes malades.

Qui auraient plus leur place en hôpitaux psychiatriques qu’en places boursières…

 

 

Typiquement, on serait tenté de prendre une delta de Dirac pour fonction de distribution néo-déterministe. Ce n’est pas la seule possibilité. Regardez sur l’équation toute bête de la chaleur : si r’(x) est indépendante de s, les harmoniques :

 

(1a)  ¶r’(x)/¶x² = 0

 

sont encore des possibilités. En dimension n :

 

(1b)  r’(x) ~ 1/|x|^n-2  ,  |x|² = S_i=1ⁿ (x_i)²

 

Cette diversité de possibilités est offerte par la liberté de choix de r’(x) = r’(x,0) dans (1d), B78, qui agit comme dans une jauge. Ceci veut dire qu’il n’existe pas qu’une stratégie à risque zéro envisageable pour un modèle à risque donné, mais plusieurs, voire une infinité. En pratique, (1c) B78 limite quand même les possibilités en fonction de la physique du problème. Pour obtenir (1b) ci-dessus, par exemple, on a utilisé la même équation de la chaleur que pour r(x,s), en y posant s = 0. L’une des possibilités est r’(x) = d(x) = Lim_s->0 r(x,s), l’autre est le potentiel newtonien (1b), d’autres encore sont les harmoniques de Laplace. En fait, toutes les solutions de (1a). La physique fixe alors les conditions aux limites, i.e. la forme du domaine d’intégration.

Mais tout est déjà fourni au départ par les données du problème à risque. On n’a rien besoin de rechercher de plus.

Pour obtenir une stratégie à risque zéro à partir d’une stratégie à risque non nul, il suffit, soit d’intégrer (1c) B78 suivant s seul, soit d’utiliser l’équation en r(x,s) du modèle à risque et d’y poser s = 0.

Pour obtenir une stratégie à risque non nul à partir d’une stratégie à risque zéro, il faut résoudre (1c) B78 en r(x,s), ce qui s’avère beaucoup plus difficile, surtout si le modèle n’est plus linéaire.

J’ajoute, pour terminer sur le sujet, qu’une stratégie à risque zéro possède un catalogue de prévisions évidemment plus sûr que n’importe quel modèle à risque non nul, puisque la stratégie à risque zéro est déterministe.

 

Passons maintenant à un autre problème de fond, qui n’est pas sans rapport avec le précédent.

Il s’agit de la théorie des codes. Et, en particulier, des codes bancaires.

La théorie mathématique du cryptage est fondée sur l’arithmétique, c’est-à-dire, la théorie des nombres.

Et, à la base de la théorie des nombres, on trouve les nombres premiers.

Précisons d’ors et déjà que les nombres premiers ne constituent pas une « fatalité » en soi : si vous basez votre calcul sur l’addition – soustraction (méthode du boulier indien ou chinois), vous n’avez pas de table de multiplication et donc, pas de problème de nombres premiers.

Ce problème n’apparaît que dans l’arithmétique occidentale, fondée sur la multiplication.

La « suite » des premiers est foncièrement aléatoire.

Mais, si vous intégrez cet aléatoire dans votre système de chiffres, l’aléatoire disparaît. Donc, en principe, vous devriez aboutir à une suite néo-déterministe de premiers.

Ce qui rendrait de facto obsolètes tous les algorithmes de cryptage.

 

Nous allons d’ailleurs prendre un exemple qui illustre bien cette réalité.

On dit que l’informatique quantique est, en principe, capable de craquer n’importe quelle clé de cryptage actuelle en collectant toutes les combinaisons possibles, même s’il y en a une infinité non dénombrable, et en les regroupant au sein d’un seul paquet d’ondes (principe de superposition quantique ou de mélange statistique). Chaque combinaison est alors pondérée par une probabilité d’occurrence et, comme le système traite toutes les possibilités simultanément et non plus séquentiellement, la solution est obtenue « quasi-instantanément » comme l’occurrence la plus probable.

Dans sa structure, la théorie quantique intègre l’aléatoire. Dit autrement, l’aléatoire fait partie intégrante du monde quantique. C’est le paquet d’ondes qui est probabiliste par nature, pas ses équations d’évolution : Schrödinger comme Klein-Gordon sont déterministes !

Voilà l’explication. C’est parce que la théorie quantique intègre l’aléatoire dans ses systèmes qu’elle est en mesure de mettre en défaut tous les cryptages programmés sur des machines « classiques » de Turing-Von Neumann qui, elles, traitent l’aléatoire comme un « bruit perturbateur » extérieur au système.

Dans les modèles classiques, vous pouvez toujours, au moins en principe, supprimer le bruit perturbateur. Vous obtiendrez alors un modèle déterministe, réglé comme une horloge. Ce modèle réduit ne sera plus très réaliste, mais qu’importe : vous pouvez toujours le faire.

Dans les modèles quantiques, ceci est impossible. Le « bruit » est devenu une « composante » du système, il s’y est incorporé. Si vous le supprimez, vous supprimez le système…

 

Eh bien, ce qui a été développé dans B77 et B78, c’est le même principe, pour des systèmes « classiques », c’est-à-dire, « fonctionnels » (les systèmes « quantiques » étant, je le rappelle pour mémoire, des systèmes « opératoriels »).

 

Tous les modèles financiers actuels sont basés sur la gestion de portefeuilles à risques.

Cette approche considère que le « risque zéro » n’existe pas.

Or, non seulement, nous avons démontré le contraire, mais nous avons montré qu’à toute stratégie à risque correspondait au moins une stratégie à risque zéro.

Ces modèles tombent donc en défaut, puisqu’à n’importe quelle stratégie on peut opposer une risque zéro, forcément meilleure. Forcément optimale, car prévisible.

Ne restent plus que deux possibilités :

-         soit suspendre toutes les cotations en place boursière, ce qui paralyserait tout le système économique ;

-         soit poursuivre et s’exposer à tout instant au… risque de se voir opposer une stratégie à risque zéro qui raflera la mise au passage. En toute légalité.

 

Mieux qu’une martingale. Une martingale est une combinaison de jeu. Ici, on ne combine pas, on évalue toujours au plus juste. On mise « à coup sûr ».

Du coup, celui qui mise à risque « perd à coup sûr ».

 

Pour la théorie des codes, les perspectives ne sont guères meilleures : repenser le cryptage de A à Z, mais sur quelles bases ? ou s’exposer au risque que quelqu’un, quelque part dans le monde, trouve une suite déterministe de premiers qui craquera tous les codes ?

 

Dans le cas où cela se présenterait, qui assumera la responsabilité du choix ?...

 

Quel trader acceptera de sacrifier tous ses portefeuilles en échange d’une chance assez illusoire de sauvegarder l’intérêt financier général ?...

 

Qui serait prêt à assumer pareilles charges ?

 

Je collecte les candidatures.

 

 

 

 

On va interpréter un petit peu les résultats obtenus dans B77.

Considérons pour commencer l’opérateur covariant :

 

(1a)  D_s = ¶/¶s - s¶²/¶x²

 

Factorisons :

 

(1b)  D_s = (¶/¶s)[Id - ò sds¶²/¶x²]

 

Prenons une fonction-densité r(x,s) de forme quelconque et faisons lui correspondre une fonction-densité r’(x,s) telle que :

 

(1c)  D_sr(x,s) = (¶/¶s)r’(x,s)

 

On trouve aussitôt :

 

(1d)  r’(x,s) = r’(x,0) + r(x,s) - ò sds¶²r(x,s)/¶x²

 

SI, maintenant, r(x,s) est solution de D_sr(x,s) = 0, ALORS r’(x,s) = r’(x,0) est indépendante de s et réciproquement. r(x,s) est le « noyau dissipatif », r’(x,s) est le « noyau conservatif ». Vous n’aurez d’ailleurs pas manqué de remarquer que r’(x,0) est « déterministe ».

Interprétons.

s caractérise le « risque » ; c’est le « paramètre de la dissipation » : si s² = 0, auquel cas s = 0, le processus est « déterministe ».

Dans « l’espace paramétrique s », le passage de la dérivation « naturelle » ¶/¶s à la dérivation « covariante » D_s donne lieu à une transformation du noyau fonctionnel, qui passe de r(x,s) à r’(x,s). Si r(x,s) représente la « distribution du risque » dans le modèle D_sr(x,s) = 0, r’(x,s) = r’(x,0) représente la distribution « covariante » correspondante.

Dans r’(x,s) = r’(x,0), il n’y a plus de « risque ». Celui-ci a été « absorbé » par la dérivation covariante D_s et a donc été complètement éliminé du nouveau cadre paramétrique (alors qu’il ressort nettement dans l’ancien) :

 

r(x,s) EST LA « DISTRIBUTION A RISQUE »

r’(x,s) EST LA « DISTRIBUTION A RISQUE ZERO »

 

N’en déplaise à nos grands « stratèges » de par le monde (surtout occidental), l’idée que je défends depuis 2001 est exacte : le risque zéro existe bel et bien.

L’explication est simple, je la reformule ici : r(x,s) gère le « risque » comme une « perturbation extérieure au système » ; r’(x,s) l’a intégré au système, quelle que soit la nature de ce risque (ici, gaussien ordinaire). Conséquence : il n’y a plus de « risque » en tant que perturbation extérieure au système étudié.

Le fait que, dans le modèle gaussien ordinaire, je peux toujours passer de r(x,s) à r’(x,s) montre que le « risque gaussien ordinaire » peut toujours être « éliminé » au profit d’un « super-modèle » déterministe.

 

Vous voyez bien qu’avec des modèles plus élaborés de « risques », comme les gaussiennes (2), (3) ou (4) (la plus générale), il existe partout une dérivée covariante. Donc un noyau r’(x,s) « à risque zéro ». Prenez (2) :

 

(2a)  D_s = ¶/¶s - s[½ s²k₂²(s)¶²/¶x² + k₁(s)¶/¶x + k₀(s)Id/s]

(2b)  D_sr(x,s) = (¶/¶s)r’(x,s)

(2c)  r’(x,s) = r’(x,0) + ò D_sr(x,s)ds

 

r(x,s) = « distribution à risque », r’(x,s) = « distribution à risque zéro »…

 

Pour toutes les formes de « dissipation », même principe : on ne rejette pas ces phénomènes (ce serait contraire à l’observation) ; non seulement on les prend en compte (comme dans les modèles dissipatifs), mais en plus, on les incorpore dans le système étudié.

 

Dans l’approche « dissipative », on raisonne : « système mécanique » soumis à une « dégradation thermodynamique ». Cette dégradation a beau être interne au système, on raisonne de manière « dichotomique », en distinguant la partie dissipative de la partie mécanique. On sépare le système en deux, quitte à coupler les deux aspects.

 

Dans l’approche « néo-conservative », on élargit la variation par rapport au paramètre, donc la géométrie de l’espace paramétrique, ce qui permet de traiter les deux aspects comme une seule dynamique synthétisée.

 

Conclusion (pratique) :

 

LA DISSIPATION, LE « RISQUE » N’APPARAIT DANS LES SYSTEMES QUE PARCE QUE CEUX-CI SONT ANALYSES DANS UN CADRE DYNAMIQUE A LA GEOMETRIE TROP RESTREINTE.

IL SUFFIT D’ADAPTER LA GEOMETRIE DE CE CADRE A LA SITUATION DYNAMIQUE QUI LUI EST PROPRE (S’AGISSANT DE L’ESPACE DES ETATS DU SYSTEME ETUDIé) POUR ELIMINER TOUTE DISSIPATION, TOUT « RISQUE ».

 

Et, quand on a affaire à des « stratèges économiques » à l’esprit aussi étriqué, sinon plus, que leur cadre de travail, on a du mal à se faire à cette idée… c’est sûr…

 

 

Dans cette bidouille, nous allons montrer que le phénomène de dissipation de l’information est encore un « faux » problème théorique. La dissipation est un phénomène bien observé expérimentalement et il n’est pas question de remettre ce fait en cause. C’est à partir du moment où l’on construit un modèle théorique à partir d’une synthèse de données expérimentales que l’on entre dans le « faux » débat.

Nous partons du modèle dissipatif le plus simple : le processus gaussien. C’est la solution de « l’équation (homogène) de la chaleur » :

 

(1a)  ¶r/s¶s = ¶²r/¶x²  ,  r(x,s) = exp(-x²/2s²)/s(2p)^1/2

 

Dans cette équation, x est traité comme un point fixe de l’espace. s est la racine carrée de l’écart-type par rapport à la moyenne. Notez également que, dans cette modélisation du processus de conduction de la chaleur, x est un variable fluctuante, ce qui sous-entend que l’espace lui-même est fluctuant (au moins pour le processus considéré). Mais (1a) peut toujours se réécrire :

 

(1b)  [¶/s¶s - ¶²/¶x²]r = 0

 

qui devient alors une équation de conservation. Du coup, r(x,s) devient une grandeur conservative, vis-à-vis de (l’action à gauche de) l’opérateur ¶/s¶s - ¶²/¶x². Cet opérateur est plus général que ¶/s¶s. Ainsi, vis-à-vis de l’opérateur ¶/s¶s, r(x,s) n’est pas conservé, mais il le devient vis-à-vis de l’opérateur plus général :

 

(1c)  ¶/s’¶s’ = ¶/s¶s - ¶²/¶x²

 

car (1b) signifie que r devient indépendante du nouveau paramètre s’.

Nous allons généraliser ceci.

Commençons déjà par rechercher la solution de l’équation homogène linéaire :

 

(2a)  ¶r/s¶s = [½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₁(s)¶/¶x + k₀(s)/s]r

 

avec des coefficients k₀(s), k₁(s) et k₂(s) en m^-1 connus, sous la forme :

 

(2b)  r(x,s) = exp[-½ K₂²(s)x² + K₁(s)x + K₀(s)s]/s(2p)^1/2

 

Le calcul des dérivées successives de r conduit au système du premier ordre :

 

(2c)  d[K₂²(s)]/ds = -s³k₂²(s)K₂⁴(s)

(2d)  dK₁(s)/ds = -s³k₂²(s)K₁(s)K₂²(s) – k₁(s)K₂²(s)

(2e)  d[K₀(s)s]/ds = 1/s + ½ s³k₂²(s)[K₁²(s) – K₂²(s)] + sk₁(s)K₁(s) + k₀(s)

 

La première de ces équations se résout directement et donne :

 

(2f)  1/K₂²(s) = ò s³k₂²(s)ds

 

La deuxième se résout par la méthode de variation des constantes et donne :

 

(2g)  K₁(s) = -exp[-V₁(s)] ò exp[V₁(s)]sk₁(s)K₂²(s)ds

(2h)  V₁(s) = ò s³k₂²(s)K₂²(s)ds

 

La troisième s’obtient également directement :

 

(2i)  K₀(s) = s^-1ò {1/s + ½ s³k₂²(s)[K₁²(s) – K₂²(s)] + sk₁(s)K₁(s) + k₀(s)}ds

 

Ces expressions ne sont pas simples, mais on vérifie très facilement que, dans le cas k₂²(s) = 2/s², k₁(s) = k₀(s) = 0, qui correspond à (1a), on retrouve bien la gaussienne K₂²(s) = 1/s², K₁(s) = K₀(s) = 0. Réciproquement, si K₂²(s) = 1/s², K₁(s) = K₀(s) = 0, on trouve k₂²(s) = 2/s², k₁(s) = k₀(s) = 0. Par conséquent, la gaussienne (2b) est conservée par l’opérateur (local) :

 

(2j)  ¶/s’¶s’ = ¶/s¶s - [½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₁(s)¶/¶x + k₀(s)Id/s]

 

alors qu’elle ne l’est pas par les opérateurs plus restreints ¶/s¶s - ½ s²k₂²(s)¶/¶x², ¶/s¶s - k₁(s)¶/¶x, ¶/s¶s - k₀(s)Id/s, ½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₁(s)¶/¶x, ½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₀(s)Id/s, k₁(s)¶/¶x + k₀(s)Id/s, ¶/s¶s - [½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₁(s)¶/¶x], ¶/s¶s - [½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₀(s)Id/s] et [½ s²k₂²(s)¶/¶x² + k₁(s)¶/¶x + k₀(s)Id/s]. Pour tous ces opérateurs-là, il y a « dissipation » (= « non conservation du noyau fonctionnel »).

Poursuivons. Cherchons maintenant la solution de :

 

(3a)  dr’/sds = s^-1{¶/¶s + [dx(s)/ds]¶/¶x(s)}r’ =

= [½ s²k₂²(s)¶/¶x²(s) + k₁(s)¶/¶x(s) + k₀(s)/s]r’

 

cette fois, pour un point mobile x(s), modélisant typiquement la trajectoire de l’un des constituants d’un milieu physique en général supposé « continu », c’est-à-dire, composé d’un très grand nombre de constituants. Cherchons cette solution sous la forme :

 

(3b)  r’[x(s),s] = r(x,s)exp{Q[x(s),s]}

 

où r(x,s) est la solution (très mal écrite) (2b) pour x(s) fixe. Je vais détailler le calcul, car il me faut justifier la procédure.

 

dr’/sds = expQ(dr/sds + rdQ/sds)

¶r’/¶x(s) = expQ[¶r/¶x + r¶Q/¶x(s)]

¶²r’/¶x²(s) = expQ{¶²r/¶x² + 2(¶r/¶x)[¶Q/¶x(s)] + r¶²Q/¶x²(s) + r[¶Q/¶x(s)]²}

 

où je poursuis dans mon écriture « matheusement pourrie » en notant ¶r/¶x à la place de ce qui devrait s’écrire « ¶r/¶x(s) pour x(s) considéré comme fixe » (!!! – bin, je préfère encore mon écriture « matheusement pourrie » lol). L’insertion dans (3a) conduit à :

 

dr/sds + rdQ/sds = ½ s²k₂²(s){¶²r/¶x² + 2(¶r/¶x)[¶Q/¶x(s)] + r¶²Q/¶x²(s) + r[¶Q/¶x(s)]²} + k₁(s)[¶r/¶x + r¶Q/¶x(s)] + k₀(s)r/s

 

(où l’on apprécie l’usage intempestif du copier-coller, impossible sur papier… lol)

 

Après simplification par (2a), puisque dr/sds = ¶r/s¶s :

 

dQ/sds = ½ s²k₂²(s){2(¶Lnr/¶x)[¶Q/¶x(s)] + ¶²Q/¶x²(s) + [¶Q/¶x(s)]²} + k₁(s)¶Q/¶x(s)

 

La condition sur laquelle s’appuie la résolution est :

 

(3c)  Q[x(s),s] º 0  pour x(s) fixe.

 

Cette condition ne laisse en effet qu’une possibilité :

 

[dx(s)/sds]¶Q/¶x(s) = ½ s²k₂²(s)[¶Q/¶x(s)]²

 

soit :

 

(3d)  ¶Q/¶x(s) = [2/s³k₂²(s)]dx(s)/ds

 

Etant donné que x(s) n’est pas la trajectoire du milieu, mais seulement celle de l’un de ses constituants individuels, dx(s)/ds ne dépend pas de x(s) mais seulement de s et donc :

 

(3e)  ¶²Q/¶x²(s) = 0

 

Il reste :

 

¶Q/s¶s = [s²k₂²(s)¶Lnr/¶x + k₁(s)]¶Q/¶x(s) = 2[¶Lnr/¶x + k₁(s)/s²k₂²(s)]dx(s)/sds

  = 2[-K₂²(s)x(s) + K₁(s) + k₁(s)/s²k₂²(s)]dx(s)/sds

 

On déduit de tout cela la demi-dérivée totale de Q[x(s),s] par rapport à s :

 

(3f)  ½ dQ[x(s),s]/ds = [1/s³k₂²(s)][dx(s)/ds]² + [-K₂²(s)x(s) + K₁(s) + k₁(s)/s²k₂²(s)]dx(s)/ds

 

qui vérifie bien (3c). Q apparaît donc bien comme une fonction de x(s), mais aussi et surtout, de sa dérivée dx(s)/ds.

De nouveau, r’[x(s),s] est conservée vis-à-vis de l’opérateur :

 

(3g)  d/s’ds’ = d/sds - [½ s²k₂²(s)¶/¶x²(s) + k₁(s)¶/¶x(s) + k₀(s)/s]

 

mais pas par (2j), sauf en chaque point x(s).

 

Si vous passez à l’espace des états du système, coordonnées mobiles [x(s),p(s),s], le principe de résolution reste le même pour la distribution produit :

 

(4a)  r’[x(s),p(s),s] = r’_x[x(s),s]r’_p[p(s),p(s)]

 

En effet, le rapport x(s)/s étant sans unité physique, doit être remplacé par le rapport d’impulsions sans unité p(s)/p(s). Il s’avère que, dans le cas des opérateurs linéaires, le choix de p(s) est libre, au sens où ces modèles ne conduisent à aucune condition sur p(s). Après, bien sûr, c’est la physique du problème qui établit la forme de la dépendance de p envers s. La différentielle totale par rapport à s devient :

 

(4b)  d/ds = ¶/¶s + [dx(s)/ds]¶/¶x(s) + [dp(s)/ds]¶/¶p(s) + [dp(s)/ds]¶/¶p(s) =

= ¶/¶s + [dx(s)/ds]¶/¶x(s) + [dp(s)/ds]{¶/¶p(s) + [dp(s)/dp(s)]¶/¶p(s)}

 

et l’opérateur « conservatif » (3g) est remplacé par :

 

(4c)  d/s’ds’ = d/sds - [½ s²k₂²(s)¶/¶x²(s) + k₁(s)¶/¶x(s) + k₀(s)/s] –

- [p(s)/s][dp(s)/ds][½ p²(s)k₂²(s)¶/¶p²(s) + k₁(s)¶/¶p(s) + k₀(s)/p(s)]

 

avec k₀(s),k₁(s),k₂(s) en (kgm/s)^-1. Les physiciens interprètent les trois premiers termes de (4b) comme la contribution « purement mécanique », les termes apparaissant dans la différence d/sds - d/s’ds’ étant interprétés comme « dissipatifs ».

 

D’une manière fort générale, à partir du moment où vous établissez une « équation de physique mathématique » quelconque :

 

(5a)  L{r’[x(s),p(s),s],x(s),p(s),s} = 0

 

où L est un opérateur pas forcément linéaire, vous venez d’établir une équation de conservation pour la densité de probabilité r’[x(s),p(s),s]. Ça veut bien dire ce que ça veut dire : que r’[x(s),p(s),s] est conservée vis-à-vis de l’opérateur L. Que la solution de votre équation puisse s’obtenir explicitement ou non, vous savez qu’il en existe forcément une, car à toute équation correspond au moins une solution. Analytique ou pas, peu importe. Si, en plus, vos conditions initiales et aux limites vous sont imposées par la physique du problème, vous savez (théorèmes de Cauchy et de Riemann et variantes) qu’hors d’une situation « franchement singulière », ces conditions rendent votre solution unique. Dans la physique actuelle, ces situations « franchement singulières » se classent typiquement en : chaos et singularités essentielles de modèles dits « classiques ». Ces derniers conduisent généralement à des extensions « quantiques » de vos singularités.

Par exemple, en « régime laminaire », vous êtes régulier, votre solution sera unique.

En « régime turbulent », vous êtes en situation de bifurcation et de transition vers le chaos. Et, plus votre turbulence sera développée, plus votre entropie de Kolmogorov-Sinaï sera grande et plus le traitement statistique du problème vous deviendra incontournable.

Comme l’a montré Liouville en son temps, ce qui vaut pour les fluides physiques est applicable en l’état aux « fluides de phases ». Et r’[x(s),p(s),s] est un “fluide de phases”.

 

En résumé, à chaque processus physique correspond un opérateur L tel que le « fluide de phases » r’[x(s),p(s),s] modélisant ce processus vérifie (5a). Il n’existe pas, a priori, de processus physique dans la Nature qui ne soit pas modélisable. Ceux qui ne le sont pas par la physique mathématique actuelle sont, soit ceux qui n’ont pas encore été découverts, soit ceux pour lesquels l’arsenal théorique actuel est insuffisant. Mais le caractère foncièrement abstrait des mathématiques rend automatiquement modélisable tout processus physique se produisant réellement dans la Nature.

 

Conclusion :

 

TOUS LES PROCESSUS PHYSIQUES PEUVENT TOUJOURS ÊTRE RENDUS CONSERVATIFS.

 

La « dissipation » est « absorbée » dans une variation plus générale que celle que l’on s’est donnée au départ. C’est toujours cette idée de base « d’élargir le cadre de travail de départ », cette idée de « covariance des systèmes ». (1c), par exemple, établit une « covariance » (en langage tensoriel, je précise)

Une covariance s’établit toujours dans l’espace des paramètres.

C’est en ce sens-là qu’ en début de texte je qualifiais de « faux problème théorique » les systèmes dits « dissipatifs ».

Les résultats que nous venons d’établir s’appliquent aussi bien à la finance mathématique qu’au multivers. On rejoint du coup les bidouilles 4,5 et 6 de départ tout comme les toutes dernières bidouilles sur le multivers.

 

J’ajoute pour terminer que la constructibilité d’un multivers classique n’est pas applicable à la seule « parapsychologie » : selon le système choisi, la démarche est identique. Pour le multivers, j’ai considéré le système U dans son intégralité. Si je prends n’importe quel « sous-système classique » de U, autrement dit, n’importe quel corps matériel ou système de corps matériels de U peut être décomposé en « configurations propres ».

Ceci, justement grâce au fait que nous venons de démontrer que tout processus physique peut être rendu conservatif : dans le cas linéaire au moins, (5a) conduit à une équation aux valeurs propres pour l’opérateur (conservatif) L et donc à des états propres du système considéré.

Exactement comme pour le multivers tout entier.

Mais, « modulo l’extension adéquate ».

 

Les problèmes auxquels je vais devoir faire face maintenant sont fort ardus et je doute que je reste aussi prolixe dans les semaines et mois à venir.

Entretemps, il n’est pas impossible que je découvre d’autres « faux problèmes »… J