Einstein disait que c’était difficile de s’extirper d’un mode de pensée pour passer à un autre, mais c’est vrai : même si les choses vous crèvent les yeux, vous passez à côté !

 

Dans B 150, j’ai parlé « d’orientation interne », associée au groupe unitaire U(1). Cette « orientation interne » n’est autre qu’une POLARISATION… Autrement dit, partant d’un espace NON POLARISé |X| (mais qui possède encore une orientation « externe », propre à lui), on obtient un espace POLARISé X en multipliant |X| par un FACTEUR D’ECHELLE OSCILLANT exp(iksi) :

 

(1)               X := |X|exp(iksi) = |X|cos(ksi) + i|X|sin(ksi) = X₁ + iX₂  ,  ksi dans |0,2pi[

 

Le symbole « := » signifie que X est DEFINI comme tel. La 1^ère écriture est la « représentation quantique » de X ; la seconde, la « représentation polaire » ; la dernière, la « représentation planaire ». Les facteurs oscillants réels cos(.) et sin(.) sont les deux composantes de la polarisation interne. Ils forment une base orthonormée :

 

(2)               e₁(.) = cos(.)  ,  e₂ = sin(.)  ,  [e₁(.)]² + [e₂(.)]² = 1

 

Les deux « projections » X₁ et X₂ sont donc orthogonales entre elles. X₁ s’interprète comme la « polarisation longitudinale » de X ; X₂, comme la « polarisation latérale » de X. Bien entendu, toutes ces dénominations ne sont que des références à des orientations spatiales « externes » bien connues. Ce qu’il faut retenir c’est, d’une part que :

 

« CLASSIQUE » ET « QUANTIQUE » NE SONT EN FIN DE COMPTE QUE DES REPRESENTATIONS DE LA REALITE PHYSIQUE.

 

Et, d’autre part, que :

 

LES ESPACES « CLASSIQUES » NE SONT PAS POLARISABLES.

LES ESPACES « QUANTIQUES » PRESENTENT DEUX ETATS DE POLARISATION.

 

Il en résulte que :

 

LA REALITE PHYSIQUE PROFONDE N’EST PAS A UN, MAIS A DEUX ETATS.

 

C’est le message que nous a fait parvenir la découverte des « effets quantiques », dans la lumière comme dans la matière atomique.

 

Pourquoi cette réalité n’a-t-elle pas été perçue avant ? Parce que l’extrême petitesse de la constante de Planck ne permettait pas de le révéler à grande échelle, avant que l’on ne découvre, beaucoup plus tard, les « états quantiques cohérents » : laser, supraconductivité, superfluidité.

 

Pourquoi n’a-t-elle pas été saisie ensuite ? Parce que la petitesse des objets étudiés exigeait le développement de techniques spectrométriques et que les propriétés du signal ont orienté le problème de la « mesure quantique » vers le concept de « fonction d’onde » ou « amplitude de probabilité de présence » et ses généralisations à la relativité du temps et que les impératifs technologiques, tant militaires que civils, ont focalisé par la suite la microphysique sur la voie STATISTIQUE. La « double nature onde / corpuscule » des objets « quantiques » était acquises, bien qu’on ne sache pas pourquoi, mais ça fonctionnait bien et il fallait aller de l’avant. On n’a donc pas plus approfondi la question, faute de temps et sans doute, d’intérêts pratiques.

 

Il faut reconnaître en toute honnêteté que les choses en seraient sûrement restées là si l’application de la quantique à la cosmologie n’avaient pas aboutie à de tels écarts entre prévisions théoriques et observations, à la fin du siècle dernier. On a recommencé alors à se poser des questions sur les FONDEMENTS de la théorie des quanta et les difficultés liées à son association avec la relativité généralisée : pourquoi de tels écarts, jamais obtenus jusqu’ici, alors que l’approche statistique semblait si précise ? C’est qu’on avait dû rater quelque chose d’essentiel au passage… faute de temps, faute d’applications concrètes…

 

Le « classique » ne s’avère donc être, en fin de compte, qu’une REPRESENTATION d’une réalité physique réduite à UN SEUL ETAT DE POLARISATION ; le « quantique », une REPRESENTATION d’une réalité physique à DEUX ETATS DE POLARISATION.

 

DES LORS, ON COMPREND BEAUCOUP PLUS FACILEMENT POURQUOI LES PHENOMENES PHYSIQUES SE PRODUISANT, NON SEULEMENT DANS UN ETAT, MAIS DANS TOUS LES ETATS INTERMEDIAIRES, PEUVENT DEVENIR IMPERCEPTIBLES DANS L’AUTRE ETAT : PARCE QU’ILS SONT « FILTRéS ».

 

On reprend le principe du polariseur. J’ai une… ONDE qui se propage suivant une direction quelconque dans un plan (Oxy) où O est le point origine du dièdre. La direction de cette propagation se fait avec un angle thêta par rapport à l’axe Ox. Si je place un peu plus loin un polariseur ne laissant passer que la composante « longitudinale » de l’onde, je n’obtiendrai en sortie que la contribution en cos(.), tout le reste sera ABSORBé PAR LE POLARISEUR. Si, au contraire, je place un polariseur « latéral », j’obtiendrai la contribution en sin(.) et tout le reste sera absorbé.

 

Les états (1) et (2) sont des états de polarisation DEFINIE.

 

Quelque chose de physique polarise donc les espaces. On peut toujours invoquer le vide dans le cas de l’espace physique 3D mais je soupçonne plutôt très fortement notre CERVEAU et nos ORGANES SENSORIELS : quel que soit l’instrument utilisé pour détecter, mesurer, analyser, à l’arrivée, les données sont captées par nos organes et traitées par notre cerveau.

 

C’est donc notre propre cerveau qui décide de la réalité physique que nous percevons. Et des limitations qu’il convient d’y apporter.

 

Et j’irais même jusqu’à penser que c’est le cerveau HUMAIN, parce que toutes les espèces animales ne perçoivent pas la même réalité que nous…

 

Pas forcément une perte de temps, la lecture de cette bidouille, où je vais parler de la REGULARISATION DES NOYAUX NEWTONIENS.

 

L’équation de Laplace en dimension entière d > 2 et géométrie euclidienne :

 

(1)               D² = 0  ,  D² = d²/dx^adx_a                (x^a dans R)

 

admet pour solution COMPLETE le « noyau intégral »,

 

(2)               f(x) = ½ A_abx^ax^b + B_ax^a + C + 2Re[S_R c(k)exp(ikx)d^dk] + K/||x||^d-2

(3)               ||x||² = x^ax_a  ;  ||k||² = k^ak_a = 0  ;  A_a^a = 0

 

avec A_ab, B_a, C et K des constantes réelles. Toutes les contributions convergent en x = 0, sauf la dernière, la newtonienne, qui diverge en loi de puissance. Ce comportement bien connu est nommé « singularité essentielle » en mathématiques, parce qu’il n’y a aucun moyen de le supprimer. La conséquence est qu’en physique, la théorie générale des champs NE SAIT PAS décrire le comportement des champs près de l’origine, i.e. au centre de gravité même d’une source considérée comme « ponctuelle ». Il y a quelque part une contradiction (de plus ?...) car les équations de champs AVEC SOURCE sont censées décrire le champ A L’INTERIEUR DE CETTE SOURCE… sauf en son cdg… :| Or, pour des corps « rigides », la description newtonienne consiste JUSTEMENT à ramener la dynamique au cdg du corps. Nous allons donc procéder à une REGULARISATION de ce potentiel newtonien. Pour ce faire, nous partons de l’équation du potentiel en dimension d :

 

(4)               D_x²f(x) = s(x)

 

dont la solution newtonienne est,

 

(5)               f(x) = S_Rd-{x} s(x’)d^dx’/||x - x’||^d-2

 

En raison de la divergence du noyau en x = x’, on est obligé « d’épointer » l’intégrale volumique en supprimant le point d’observation {x} même. Introduisons d paramètres k_a et étendons un peu source et champ en des fonctions des x^a et des k_a et posons que :

 

(6)               S(x,k) = D_k²s(x,k)

 

Nous trouvons cette fois :

 

(7)               s(x,k) = S_Rd-{k} S(x,k’)d^dk’/||k - k’||^d-2

 

En reportant cette expression dans (5) étendue, on obtient :

 

(8)               f(x,k) = S_R2d S(x’,k’)d^dk’d^dx’/(||k - k’||||x - x’||)^d-2

 

Si l’on IMPOSE, à présent que le produit ||k||||x|| reste FINI ET NON NUL QUELS QUE SOIENT x^a et k_a, on n’a plus besoin d’épointer les intégrales en x et en k car, pour x’ = x, c’est l’écart k - k’ qui va DIVERGER EN NORME et, pour k’ = k, c’est l’écart x - x’ qui va diverger en norme ; dans les deux cas de figure, de manière à MAINTENIR LE PRODUIT ||k - k’||||x - x’|| FINI ET NON NUL. C’est exactement ce que nous démontre la théorie mathématique du signal : qu’il est impossible de localiser avec une précision absolue A LA FOIS la position dans l’espace et le vecteur d’onde. C’est SIMILAIRE à Heisenberg, à la différence que le principe d’incertitude d’Heisenberg porte plutôt sur la TRACE k_ax^a >= 2pi. Ici, ce sont les NORMES qui sont impliquées. Il n’empêche : les divergences newtoniennes sont bel et bien ELIMINEES et le champ S a les mêmes unités physiques que le champ f.

 

On serait tenté (et je l’ai été dans la version précédente de cette bidouille) de passer de l’espace ambiant des x^a à l’espace des phases des (x^a,k_a). Après approfondissent, il s’avère que le résultat n’est pas concluant, pour plusieurs raisons.

 

D’abord, si X désigne l’espace ambiant des x^a, alors K, l’espace des k_a, est attendu comme le dual de Laplace, Fourier ou Mellin (les 2) de X. Or, D_k² N’EST PAS le transformé de D_x². Il est toujours possible de construire les extensions f(x,k), etc. par convolution à partir de f(x,0), mais on a des difficultés à faire correspondre (4) à (6) d’une quelconque manière, ces transformations rendant ALGEBRIQUES des quantités FONCTIONNELLES.

 

Ensuite : la géométrie… On est euclidien sur X et sur K, mais projectif dans (X,K) = T*X. Donc, au mieux, concilier les deux ferait appel à de l’hermitien, mais alors, en coordonnées x^a et y^a = k^a/||k|| et, pour neutraliser le noyau intégral en 1/||x||^d-2, il faudrait un noyau en ||y||^d-2 qui ne correspond absolument pas à un laplacien dans le cas général. Là encore, ça ne va pas.

 

Mieux vaut RESTER DANS L’ESPACE AMBIANT, introduire un nombre égal de paramètres DIMENSIONNéS et construire un noyau intégral SANS UNITE PHYSIQUE, donc FORCEMENT UNIVERSEL qui gommera les divergences DES DEUX CÔTéS.

 

L’essentiel est que cela fonctionne. Si S(x,k) = S₀d(x)d(k) avec S₀ = cte non nulle, la formule (8) nous donne :

 

(9)               f(x,k) = S₀/(||k||||x||)^d-2

 

et

 

(10)           0 < ||k||||x|| < +oo

 

nous garantit alors que, pour x -> 0, k tend vers l’infini en norme et f(0,oo) reste finie et non nulle. De même, pour k -> 0, x tend vers l’infini en norme et f(oo,0) reste finie et non nulle. Si l’on posait ||k||||x|| = cte, on n’aurait que des champ f(x,k) partout constants. La condition (10), beaucoup plus souple, offre un choix bien plus vaste : celui d’une infinité non dénombrable d’hyperboles de la forme ||k||||x|| = cte.

 

Venons-en maintenant au problème de L’AMPLIFICATION DES SIGNAUX DE BASE.

 

La solution générale de (B153 - 13) est donc :

 

(1)               x(s) = ½ x₀[(1 - iK)exp(iks) + (1 + iK)exp(-iks)]  ,  K = f₀/f

 

avec x₀, f₀, f et s désormais complexes. Le GAIN du système est le rapport x(s)/x₀, soit :

 

(2)               G(s) = ½ (1 - iK)exp(iks) + ½ (1 + iK)exp(-iks)

  = aexp(iphi) + bexp(-iphi)

(3)               a = ½ (1 - iK) , b = ½ (1 + iK) , phi = ks

 

Ce qui nous intéresse est de connaître le secteur spatial dans lequel on est susceptible de trouver de l’amplification DANS L’ETAT 1 OU DANS L’ETAT 2, parce que c’est là que des observateurs « classiques » se trouvent. On va donc INVERSER (2) pour exprimer phi en fonction de G. On a d’abord une quadrique :

 

(4)               a[exp(iphi)]² - Gexp(iphi) + b = 0

 

de discriminant,

 

(5)               D = G² - 4ab = G² - (1 + K²)

 

S’agissant de quantités complexes, il y a toujours des racines, qui sont :

 

(6)               exp(iphi^+/-) = (G +/- D^1/2)/2a = (G +/- D^1/2)a*/2|a|²

 

ce qui donne,

 

(7)               phi^+/- = -iLn[(G +/- D^1/2)a*/2|a|²]

 

C’est la solution sous forme COMPLEXE. Il s’agit à présent d’expliciter les composantes phi₁ et phi₂, ce qui nécessite un peu plus de calcul.

 

On commence par remplacer la racine carrée de D par un discriminant complexe D’ :

 

(8)               D’ = D^1/2  =>  D’₁ = ½ (|D| + D₁)  ,  D’₂ = ½ (|D| - D₁)

 

D’après (5), on a :

 

D₁ = G₁² - K₁² - (G₂² - K₂²) - 1  ,  D₂ = 2(G₁G₂ - K₁K₂)

|D|² = DD* = [G² - (1 + K²)][G*² - (1 + K*²)]

      = |G|⁴ + (1 + K²)(1 + K*²) - (1 + K²)G*² - (1 + K*²)G²

      = |G|⁴ + |K|⁴ + 1 + K² + K*² - (1 + K²)G*² - (1 + K*²)G²

 

On prend le complexe conjugué de (7) :

 

(9)               phi*^+/- = iLn[(G* +/- D’*)a/2|a|²]

 

et on obtient directement,

 

2phi₁^+/- = i{Ln[(G* +/- D’*)a/2|a|²] - Ln[(G +/- D’)a*/2|a|²]}

= iLn[(G* +/- D’*)a/(G +/- D’)a*]

= iLn[(G* +/- D’*)²a²/|(G +/- D’)|²|a|²]

= 2iLn[(G* +/- D’*)a/|G +/- D’||a|]

 

2iphi₂^+/- = -i{Ln[(G +/- D^’)a*/2|a|²] + Ln[(G* +/- D’*)a/2|a|²]}

 = -iLn[|G +/- D^’|²/2|a|²]

 = -2iLn[|G +/- D^’|/2|a|]

 

soit,

 

(10)           phi₁^+/- = iLn[(G* +/- D’*)a/|G +/- D’||a|]

(11)           phi₂^+/- = Ln[2|a|/|G +/- D^’|]

 

On calcule enfin :

 

|G +/- D’|² = (G +/- D’)(G* +/- D’*) = |G|² + |D’|² +/- (GD’* + G*D’)

     = |G|² + |D’|² +/- 2(G₁D’₁ + G₂D’₂)

     = |G|² + |D| +/- [G₁(|D| + D₁) + G₂(|D| - D₁)]

     = |G|² + |D| +/- [(G₁ + G₂)|D| + (G₁ - G₂)D₁]

 

(G* +/- D’*)a = [(G₁ +/- D’₁) - i(G₂ +/- D’₂)](a₁ + ia₂)

= (G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂ + i[(G₁ +/- D’₁)a₂ - (G₂ +/- D’₂)a₁]

= |G +/- D’||a|exp(iA)

 

(il ne sert à rien de faire intervenir ici les matrices s, on n’obtiendrait qu’une version synthétique des résultats)

 

On a besoin d’exprimer (G* +/- D’*)a en polaire pour en extraire le logarithme, donc :

 

A = Arctan{[(G₁ +/- D’₁)a₂ - (G₂ +/- D’₂)a₁]/[(G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂]}

 

pour la détermination principale, ce qui donne,

 

phi₁^+/- = -A

          = Arctan{[(G₂ +/- D’₂)a₁ - (G₁ +/- D’₁)a₂]/[(G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂]}

 

Finalement,

 

s^+/- = k*phi^+/-/|k|²

 

Il est (grand !) temps de récapituler les résultats :

 

(12)           k = k₁ + ik₂ = (2pi/c)(f₁ + if₂)

(13)           K₁ = (f₀₁f₁ + f₀₂f₂)/|f|²  ,  K₂ = (f₀₂f₁ - f₀₁f₂)/|f|²

(14)           a₁ = ½ (1 + K₂)  ,  a₂ = -½ K₁

(15)           D₁ = G₁² - K₁² - (G₂² - K₂²) - 1  ,  D₂ = 2(G₁G₂ - K₁K₂)

(16)           |D| = [|G|⁴ + |K|⁴ + 1 + K² + K*² - (1 + K²)G*² - (1 + K*²)G²]^1/2

(17)           D’₁ = ½ (|D| + D₁)  ,  D’₂ = ½ (|D| - D₁)

(18)           phi_1,n^+/- = Arctan{[(G₂ +/- D’₂)a₁ - (G₁ +/- D’₁)a₂]/

/[(G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂]} + npi , n dans Z

(19)           |G +/- D’| = {|G|² + |D| +/- [(G₁ + G₂)|D| + (G₁ - G₂)D₁]}^1/2

(20)           phi₂^+/- = Ln[2|a|/|G +/- D^’|]

(21)           s_1,n^+/- = (k₁phi_1,n^+/- + k₂phi₂^+/-)/|k|²  ,  s_2,n^+/- = (k₁phi₂^+/- - k₂phi_1,n^+/-)/|k|²

 

Ce tableau de résultat se simplifie considérablement dans le cas, pourtant très important, où seul un état sur les deux est considéré. En raison de la multiplication complexe, qui se traduit par un couplage physique interactif (mais sans interférence), K₂, G₂ et phi₂ deviennent des quantités typiquement quantiques au sens où elles nécessitent la présence des deux états à la fois pour ne pas être nulles :

 

(22)           (f_0A, f_A, s_A) = 0  =>  (K₂, G₂, phi₂) = 0                  pour A = 1 ou 2

 

En conséquence :

 

(23)           a = ½ (1 - iK₁)  ,  b = a*

 

et G(s) est TOUJOURS une fonction REELLE,

 

(24)           G(s) = aexp(iphi₁) + a*exp(-iphi₁) = 2Re[aexp(iphi₁)] = G₁

 

Il s’avère donc préférable, dans ce cas, de reprendre les calculs effectués ci-dessus, c’est PLUS SIMPLE. :) On a :

 

(25)           D = G₁² - (1 + K₁²)

 

dont le signe n’a toujours pas d’importance puisque l’on recherche exp(iphi₁). On trouve cette fois :

 

exp(iphi₁^+/-) = (G₁ +/- D^1/2)a*/2|a|² = [(G₁ +/- D^1/2)/(1 + K₁²)^1/2]exp[-iArctan(K₁)]

 

Il faut donc nécessairement que :

 

G₁ +/- D^1/2 = (1 + K₁²)^1/2

 

c’est-à-dire que,

 

(26)           G₁ = (1 + K₁²)^1/2  =>  D = 0

 

On a alors :

 

(27)           phi_1,n^+ /- = -Arctan(K₁) + npi

 

Un observateur de l’état 1 verra donc TOUJOURS une amplification, quelque soit l’état dans lequel le « signal » a été émis. Par contre, cette amplification ne se fera qu’aux points d’abscisses curvilignes :

 

(28)           s_1,n^+/-(f₁) = -(c/2pif₁)[Arctan(f₀₁/f₁) + npi]  ,  s_2,n^+/- = 0

 

si le « signal » est émis dans l’état 1 et

 

(29)           s_2,n^+/-(f₂) = (c/2pif₂)[Arctan(f₀₂/f₂) + npi]  ,  s_1,n^+/- = 0

 

si le « signal » est émis dans l’état 2. La quantité c/f_A (A = 1 ou 2) est une « longueur d’onde ». L’amplification sera donc d’abord attendue à une distance s_A,n^+/-(f_A) proportionnelle à la longueur d’onde dans cet état, pour la détermination principale, puis à des intervalles de n DEMI-longueurs d’onde. Ce que nous disent ensuite (28b) et (29b), c’est que l’observateur dans l’état 2 (resp. 1) n’observera AUCUN « SIGNAL »  émis dans son état.

 

Autrement dit, un observateur « biologique » de l’état 1, qui se CROIT « classique », perçoit un « signal » émis dans l’état 2 ET SE DEMANDE BIEN D’Où CE « SIGNAL » PEUT BIEN PROVENIR : il n’observe RIEN AUTOUR DE LUI et il n’a pas conscience et encore moins connaissance de l’état 2. Pour lui [(29b)], IL N’Y A RIEN. Or, (26) est formel : non seulement le « signal » est toujours amplifié, mais le gain est D’AUTANT PLUS IMPORTANT QUE LA FREQUENCE f₂ EST PETITE DEVANT LA FREQUENCE DE DEPART f₀₂. Notre observateur va donc recevoir un « signal BF ou TBF SORTI DU NEANT ». Il y a fort à parier qu’il va se demander s’il n’a pas des hallucinations auditives ou visuelles.

 

Ou alors, il va invoquer l’hypothèse paranormale et on va lui répondre : « Monsieur, dans l’écrasante majorité des cas, il s’agit avant tout d’un problème de PERTURBATION PSYCHIQUE, communément appelé ‘poltergeist’ » et on va lui conseiller DE CONSULTER EN URGENCE… surtout si le phénomène a une fâcheuse tendance à se répéter.

 

Le médecin est avant tout un « mécanicien de la machinerie biologique ». La psychiatrie moderne dissèque les fonctions mentales en processus neurochimiques. Tous ces gens, en parfaite bonne foi, travaillent DANS L’ETAT 1. Ils travaillent de manière « CLASSIQUE ». Ils vont donc être amené à RAISONNER de manière classique, parce qu’on ne peut pas faire n’importe quoi en science théorique comme appliquée : il y a des PROCEDURES et des PROTOCOLES à suivre pour en développer d’autres, analyser des situations et forger un DIAGNOSTIC MEDICAL. On ne peut pas exiger d’un neuro-scientifique qu’il prenne votre témoignage pour argent comptant : ce serait même « malhonnête » de sa part. Il faut malheureusement plus souvent s’attendre à ce qu’il prescrive une « perturbation mentale » passagère ou permanente…

 

En effet, A MOINS qu’il n’y ait de manifestations EXTERIEURES à vous, si le phénomène se (re)produit entièrement « dans votre tête », QU’EST-CE QUI LUI PROUVERA QUE VOUS N’EN ETES PAS INCONSCIEMMENT LA SOURCE ?... :|

 

Et, même si l’on incorpore la quantique, il FAUT quand même au moins DEUX observateurs indépendants pour constater un phénomène EXTERNE si l’on veut pouvoir le distinguer d’une hallucination mentale. Et encore, il y a des hallucinations COLLECTIVES. Il est donc TRES DIFFICILE, en pratique, de déterminer la véritable NATURE d’un « signal » émis dans L’AUTRE ETAT ou dans l’espace quantique (cas général), à moins que ce « signal » ne transmette une information portant des caractéristiques « sortant du cadre classique ».

 

Une théorie ne peut rien AFFIRMER, elle ne peut qu’établir ce qui est POSSIBLE. Après, c’est l’expérimentation qui décide…

 

Le mouvement quantique est naturellement oscillant. C’est ce qui est ressorti de l’analyse dynamique précédemment effectuée. Contrairement au POINT quantique (par exemple, une position) x = |x|exp(iksi), qui n’est que la forme polaire de x₁ + ix₂, où (x₁,x₂) fixés <=> (|x|,ksi) fixés, le mouvement quantique x(s) utilise le paramètre s comme VARIABLE DYNAMIQUE, de sorte que s₁et s₂ ou, de manière équivalente, |s| et sigma, sont appelées à varier indépendamment. Si l’on prend le mouvement quantique uniforme :

 

(1)               x(s) = u₀s = |u₀||s|exp[i(upsilon₀ + sigma)]

 

u₀ est une constante, de sorte que son amplitude |u₀| comme sa phase upsilon₀ sont des coefficients constants ; par contre, s varie, de sorte que |s| comme sigma vont varier, générant des OSCILLATIONS. Autrement dit :

 

TOUT MOUVEMENT QUANTIQUE EST UN SIGNAL ET TOUT SIGNAL COMPLEXE SE RAMENE A UN MOUVEMENT QUANTIQUE.

 

Il faut bien faire la distinction avec l’approche classique. Dans cette dernière, on part du principe que le mouvement dans l’espace 3D ou l’espace-temps 4D est associé à un seul corps, considéré comme RIGIDE : c’est le modèle de la « sphère dure », ramené à un « point matériel » dans la description newtonienne. Le mouvement à N corps libres est représenté dans un espace de configuration de dimension 3N ou 4N. Quant aux « champs », on les représente comme des « milieux CONTINUS », c’est-à-dire, composés « d’une infinité non dénombrable de corps ponctualisés », chaque « composant » se trouvant en un point (x¹,x²,x³) à un instant t = x⁴/c. C’est assez compliqué et il y a beaucoup de distinctions.

 

En théorie quantique, toute cette « classification » S’EFFACE. Si l’on considère maintenant l’oscillateur classique de base :

 

(2)               x(s) = x₀cos(ks) + (u₀/k)sin(ks)

 

avec la position de départ x₀, la vitesse initiale v₀ = cu₀ et le nombre d’onde k = (2pi/c)f, on sait que cet oscillateur peut aussi se décrire sous la forme complexe,

 

(3)               x(s) = ½ x₀[(1 - iK)exp(iks) + (1 + iK)exp(-iks)]  ,  K = f₀/f

 = ½ x₀(1 + K²)^1/2[exp(iphi) + exp(-iphi)] = x₀(1 + K²)^1/2cos(phi)

(4)               phi = ks - Arctan(K)          (mod pi)

 

S’agissant d’un mouvement CLASSIQUE, on ne retient évidemment que la partie REELLE de l’oscillateur x₀(1 + K²)^1/2exp(iphi), qui apparaît assez clairement comme un MOUVEMENT QUANTIQUE UNIFORME du type (1), avec (1 + K²)^1/2exp[-iArctan(K)] en place de u₀ et x₀exp(iks) en place de la variable oscillante. Ça veut dire qu’on va reporter ce signal classique à un mouvement quantique uniforme à paramètres dynamiques x₀ = cte et ks, c’est-à-dire, s en fin de compte et ks (ou s) sera alors la seule variable, puisque le signal classique de base se caractérise par une amplitude constante et une phase linéaire.

 

Pour décrire des SIGNAUX, il est donc préférable de représenter la ou les variables d’évolution en coordonnées POLAIRES, « amplitudes-phases ». C’est le cas dans (1). On voit immédiatement l’oscillation.

 

D’ENTITE PHYSIQUE BIEN DISTINCTE DU MOUVEMENT ET MEME VUE COMME UNE GENERALISATION DE CELUI-CI EN THEORIE CLASSIQUE, LE SIGNAL DEVIENT UNE SIMPLE QUESTION DE REPRESENTATION EN THEORIE QUANTIQUE.

 

Si vous décrivez le(s) paramètre(s) dynamique(s) en représentation planaire, vous voyez plutôt un « mouvement » ; si vous le(s) décrivez en polaire, vous voyez plutôt un « signal ». Si vous ne retenez que la partie réelle de ce signal, vous voyez un signal « classique ».

 

On va donc s’attacher à représenter les OPERATEURS D’EVOLUTION en polaire. C’est plus compliqué qu’en planaire, mais c’est beaucoup mieux adapté à l’interprétation des choses en termes de « signaux ». Si s = |s|exp(isigma) est le paramètre d’évolution, la dérivée par rapport à s s’écrira sous la forme (avec des dérivées partielles sous-entendues) :

 

(5)               d/ds = ½ exp(-isigma)(d/d|s| - i|s|^-1d/dsigma)

 

On y trouve : la variation par rapport à l’amplitude |s| de la variable et la variation par rapport à sa phase sigma. La dérivée du second ordre est :

 

(6)               d²/ds² = ¼ exp(-2isigma)[d²/d|s|² - |s|^-1d/d|s| - |s|^-2d²/dsigma² +

+ 2i|s|^-2(Id - |s|d/d|s|)d/dsigma]

 

Lorsque l’amplitude |s| est constante, ces opérateurs se réduisent à :

 

(7)               d/ds = -½ |s|^-1exp(-isigma)d/dsigma

(8)               d²/d² = -¼ |s|^-2exp(-2isigma)(d/dsigma - 2iId)d/dsigma

 

Pour des formes plus générales de signaux, la « variable d’évolution » est une FONCTION de s de la forme :

 

(9)               f(s) = |f|(s₁,s₂)exp[iphi(s₁,s₂)]

 

et les opérateurs d’évolution se calculent suivant les variations PAR RAPPORT A |f| ET phi. Si l’on souhaite les exprimer en fonction de s, on fera intervenir les dérivées de |f| et phi par rapport, soit à (s₁,s₂), soit à (|s|, sigma). Ce sera toujours un « mouvement » ou un « signal », mais représenté dans un espace FONCTIONNEL à variables (|f|,phi).

 

La généralisation à un nombre quelconque de « variables initiales » x^a = x₁^a + ix₂^a = |x|^aexp(iksi), a = 1,…,N, est immédiate. On constate que la phase ksi EST LA MEME POUR TOUTES LES VARIABLES. En effet, on a : x₁^a = |x|^acos(ksi) et x₂^a = |x|^asin(ksi). Il en résulte que x₂^ax_1a = |x|^a|x|_acos(ksi)sin(ksi) et, comme x₁^ax_1a = |x|^a|x|_acos²(ksi), on trouve :

 

tan(ksi) = x₂^ax_1a/x₁^bx_1b = cos(ksi)sin(ksi)/cos²(ksi)

 

un SCALAIRE.

 

Ces considérations appellent à revisiter le CONTENU PHYSIQUE de « l’équation des ondes » :

 

(10)           d²/ds² + k²Id = 0

 

Il s’avère en effet que l’équation caractéristique :

 

(11)           S² + k² = 0                        (S,k) dans R²

 

n’a de solutions REELLES que :

 

(12)           S = 0  et  k = 0

 

La conclusion est plutôt tranchante :

 

IL N’EXISTE PAS « D’ONDE » AU SENS CLASSIQUE DU TERME.

 

La seule solution classique est L’IMMOBILISME SPATIAL A FREQUENCE NULLE. Cette solution est UNIQUE, il n’y en a pas d’autre. Pour trouver un concept « d’onde », il faut résoudre l’équation caractéristique :

 

(13)           S² + k² = 0                        (S,k) dans C²

 

Si k₂ = 0, il faut maintenir S complexe et, si S₂ = 0, il faut maintenir k complexe. L’équation (13) a, en effet, les solutions symétriques :

 

(14)           S⁺ = +ik , S^- = -ik

 

où l’on voit apparaître l’unité QUANTIQUE i. La solution générale de (10) avec conditions initiales fixées est alors (3), qui est la forme QUANTIQUE, ou (2) qui en est la forme « CLASSIQUE », mais qui n’a rien de classique en réalité.

 

On comprend dès lors un peu mieux cette apparente « dichotomie classique » entre le concept de « mouvement corpusculaire » et le concept de « mouvement ondulatoire » et, surtout, POURQUOI ces deux concepts se « confondent » dans la théorie de de Broglie : parce qu’en réalité, le concept de « mouvement ondulatoire » N’EST PAS classique, il est DEJA QUANTIQUE… Et le fait de n’en retenir que la partie réelle ne change absolument rien à son ORIGINE PHYSIQUE. Le développement des connaissances en physique fit que l’étude des ondes a PRECEDé la découverte des comportements quantiques et c’est la raison pour laquelle on fit entrer les ondes dans le cadre « classique », seul connu à l’époque.

 

En réalité, on avait découvert LE TOUT PREMIER COMPORTEMENT QUANTIQUE. :)

 

Les fonctions trigonométriques du cercle sont INCONSTRUCTIBLES sans la prise en compte de « l’unité imaginaire » i, qui n’est PAS un nombre réel. Ce qui est constructible dans le réel, ce sont les fonctions trigonométriques DE L’HYPERBOLE. Mais, rappelons qu’avant la découverte de la structure atomique, déjà soupçonnée des Grecs, on n’utilisait i que comme artefact mathématique convenable, sans lui conférer un quelconque contenu physique. Rien d’étonnant, donc, à ce que les expériences des fentes d’Young soient apparues aussi « contradictoires » : en réalité, la contradiction résidait dans L’APPROCHE PRECEDENTE DES PHENOMENES PHYSIQUES… :)

 

Il en ressort que la théorie quantique n’a rien de contradictoire, mais que c’est, en revanche, la théorie CLASSIQUE qui l’est !

Now that the physical content of time and its distinction from space have been withdrawn, the approach of quantum dynamics is pure more geometrical than it can already be in the classical. The starting point is a Riemannian metric:

 

(1)               ds² = g_ab(x)dx^adx^b = dx_adx^a

 

in curved quantum D-space X. A MOTION through X is a quantum curve x^a(s). VELOCITY is introduced as:

 

(2)               v^a(s) = cdx^a(s)/ds = cu^a(s)

 

with c, the CLASSICAL velocity of light. Indeed, we don’t need c to turn complex-valued: both s and x^a are complex-valued and c is, after all, a mere COEFFICIENT. As usual in Riemannian geometry, u(s) is a unit vector in T_sX, the space tangent to X at s:

 

(3)               u^a(s)u_a(s) = 1          for all s

 

The projections of u^a(s) are:

 

(4)               [u^a(s)]_A = s_A+2^BC(d/ds^B)x_C^a(s₁,s₂) = s_A+2^BCu_BC^a(s₁,s₂)

 

they give two VELOCITY SURFACES. The rest is similar to the geometrical approach of classical dynamics. Such an approach has the merits of treating all D position variables x^a on an equal footing, thus giving a UNIFIED vision of the dynamics involved, whereas the dynamical parameter s, being invariant, is the only ABSOLUTE quantity (the same at all points and in all reference frames). The only thing that matters is the RIEMANN AXIOM: for X to be Riemannian, there MUST exist a coordinate system at all its regular points where the metrical tensor field g_ab(x) can be made diagonal (and locally constant). In such a coordinate system:

 

(5)               ds² = S_a=1^D g_aa(x’)(dx’^a)²  ,  Det[g_aa(x’)] <> 0

 

at each regular point of X. Singularities on X are revealed by Det[g_ab(x)] = 0. At such points, the transformation of coordinates:

 

(6)               x^a = f^a(x’)               (a = 1,…,D)

 

is no longer invertible and one has to deal with sub-spaces of X.

 

Given a quantum mass m = m₁ + im₂, we have an invariant elementary action:

 

(7)               dS = mcds = Lds/c

 

generating a Lagrange functional,

 

(8)               L[x(s),v(s),s] = ½ mv²(s) + W[x(s),s]  ,  v²(s) = v^a(s)v_a(s)

 

The work function making the potential contribution to that functional can always be elementarily defined as a 1-form:

 

(9)               dW[x(s),s] = F_a[x(s),s]dx^a(s) = F_a[x(s),s]u^a(s)ds

 

over the MOBILE space X(s). F[x(s),s] is a vector-valued FORCE FIELD applied onto the body. Momenta are:

 

(10)           p_a(s) = dL/dv^a(s) = mv_a(s) = mcu_a(s)

 

Following (3), they verify the invariant identity:

 

(11)           p_a(s)p^a(s) = m²c² = E₀²/c²

 

ENERGIES have now to be understood first as:

 

-         the ENERGY AT REST,

 

(12)           E₀ = mc²  ,  E_0A = m_Ac²      (A = 1,2)

 

-         the D DIRECTIONAL ENERGIES,

 

(13)           E_a(s) = p_a(s)c = E₀u_a(s)

 

-         and the HAMILTON FUNCTIONAL,

 

(14)           H[x(s),p(s),s] = p_a(s)v^a(s) - L[x(s),v(s),s] = ½ mv²(s) - W[x(s),s]

     = p²(s)/2m - W[x(s),s] = E²(s)/2E₀ - W[x(s),s]

 

now realized as an INVARIANT SQUARE OF DIRECTIONAL ENERGIES (reported to the body’s energy at rest). It shows that:

 

The concept of energy is maintained in the quantum and DOES NOT REQUIRE TIME.

 

It doesn’t either in the classical, but we’re so used to reason with a time parameter that the Jacobi formalism established a duality between time and energy on one side and space and momenta on the other side. NO SUCH SCHISM SURVIVES IN THE QUANTUM. The Jacobi formalism takes the following unified form. The differential of the “Jacobi function” (or “Hamilton’s principal function”) is:

 

(15)           dS[x(s),s] = p_a(s)dx^a(s) + H[x(s),p(s),s]ds/c

 

It follows that:

 

(16)           p_a(s) = dS/dx^a(s)

 

and,

 

(17)           E_a(s) = cdS/dx^a(s)

(18)           H[x(s),p(s),s] = (2m)^-1[dS/dx^a(s)][dS/dx_a(s)] - W[x(s),s] = cdS/ds

 

according to (13) and (14). This gives back the Jacobi equation in (D + 1)-dimensional space for the functional S[x(s),s]. Newton’s equations of motion read:

 

(19)           cdp_a(s)/ds = dE_a(s)/ds = dW/dx^a(s) = F_a[x(s),s]

 

If one encounters a boundary problem, the integral-differential formulation may also be interesting:

 

(20)           E_a(s) = S F_a[x(s),s]ds = mc²dx_a(s)/ds

 

where the boundaries of the integral need be specified.

 

Time (…) to resume a bit. The PHYSICAL frame is a 3- maybe 4-dimensional quantum space and the CONFIGURATION space is a D-dimensional quantum space X. The MOBILE space related to X is X(s). It’s an infinite-dimensional space of quantum curves x(s). The PHASE space of X(s) is T_s*X(s), the fiber bundle made of all spaces cotangent to X(s) at s, with local coordinates [x^a(s),p_a(s)]. For EACH s, it’s a 2D-dimensional space over the “fold” X(s), endowed with a natural SYMPLECTIC structure (we’re going to explicit below). Finally, the CARTAN or STATE SPACE is the Cartesian product T_s*X(s) x R (or a finite interval of R) with local coordinates [x^a(s),p_a(s),s]. At each s, it’s a (2D+1)-dimensional space over the fold X(s) made of T_s*X(s) and the point {s}.

 

The CURVILINEAR DERIVATIVE on T_s*X(s) is built as:

 

(21)           D_s = d/ds + u^a(s)d/dx^a(s) + [dp_a(s)/ds]d/dp_a(s)

 

Applied to the Hamilton functional (14), it gives:

 

D_sH = dH/ds + u^a(s)dH/dx^a(s) + [dp_a(s)/ds]dH/dp_a(s)

       = dH/ds - u^a(s)dL/dx^a(s) + cu^a(s)dp_a(s)/ds

 

that is,

 

(22)           D_sH = dH/ds

 

while the Lagrange equations,

 

(23)           c(d/ds)dL/dv^a(s) = (d/ds)dL/du^a(s) = dL/dx^a(s)

 

lead to the Hamilton system

 

(24)           dH/dx^a(s) = -cdp_a(s)/ds  ,  dH/dp_a(s) = cdx^a(s)/ds

 

Inserted into the definition of the curvilinear derivative (21), these last equations give the Poisson bracket:

 

(25)           D_s = d/ds + (1/c){[dH/dp_a(s)]d/dx^a(s) - [dH/dx^a(s)]d/dp_a(s)}

     = d/ds + (1/c){H,.}

 

The Poisson bracket {H,.} gives the symplectic structure of the phase space, since it’s skew-symmetric. We retrieve the fact that {H,H} = 0, implying (22). Hamilton’s energy H will therefore remain a constant all along the trajectory iff H does not explicitly depend on s:

 

(26)           D_sH = 0  <=>  dH/ds = 0  <=>  H = Cte              for all s

 

This is how CONSERVATIVE systems should be understood in the quantum.

 

Setting the D directional energies E_a(s) to constant would be far too restrictive, as p(s) would need to be a constant vector, which is only verified by uniform motions x^a(s) = u^a(s - s₀) + x^a(s₀), u^a = ctes. Instead, relations (26) are MUCH WEAKER (since H is a scalar), therefore allowing a lot more possible motions.

 

According to what was said in B 151 and IN BLATANT CONTRADICTION WITH THE CLASSICAL, the one and only requirement is:

 

(27)           g_aa(x’) <> 0  ,  g_ab(x’) = 0              (a <> b)

 

in a coordinate system at each point of X. Then, the choice of the g_aas, even in the plane situation where they’re globally defined, is TOTALLY IRRELEVANT: as all the g_aas are complex-valued, ALL THEIR PROJECTIONS HAVE EQUAL RELEVANCE. In a coordinate transform as (6), the invariance of the ds² implies that:

 

(28)           g_ab(x’) = g_cd(x)(df^c/dx’^a)(df^d/dx’^b)

 

and, conversely,

 

(29)           g_cd(x) = g_ab(x’)(dx’^a/df^c)(dx’^b/df^d) = g_ab(x’)(df’^a/dx^c)(df’^b/dx^d)

 

by the inverse transformation

 

(30)           x’^a = f’^a(x)

 

at any regular point of X. So, from the time that we can INDIFFERENTLY go from a REPRESENTATION to another, we can find a coordinate system where g_aa = +1, another one where g_aa = -1, still another where g_aa = +1 for a = 1,…,D₁ and g_aa = -1 for a = D₁ + 1,…,D; we can find coordinate systems where some g_aas only or all of them are complex-valued,… we can find ANYTHING and our metrical coefficients will remain globally constant in the plane situation under ALL LINEAR TRANSFORMS. So, no particular choice is better than another, as was in the classical, because we were dealing there with REAL-VALUED quantities: the reality of ds² imposed that ds² < 0 was excluded from the physical frame. Here, our ds² is complex-valued.

 

IN THE QUANTUM, NO PHYSICAL SECTOR IS OUT OF OBSERVATION REACH.