L’introduction d’un signe d’échelle devrait nous simplifier considérablement le problème de la comparaison de deux grandeurs quantiques, notamment en ce qui concerne les quantités INFINITESIMALES qui apparaissent dans tous les calculs de mécanique statistique ou de géométrie locale. A PRIORI, je n’ai pas trouvé de différence significative avec les arguments avancés en classique pour définir entropie, quantité de chaleur et température. Au contraire, les conditions d’équilibre entre deux systèmes peuvent même être incluses dans le quantique comme première série de conditions de Cauchy-Riemann ! En effet, si j’ai une fonction quantique f(x) de la variable quantique x, j’ai forcément df(x)/dx* = 0, d’où df₁/dx₁ = df₂/dx₂. Quant à la loi de probabilité binomiale, qui conduit à la loi de Gauss des grands nombres, c’est du DETERMINISME : vous piochez dans une boite où ne figure que des boules, soit noires, soit blanches, vous n’avez qu’une proba P de sortir une boule noire et une proba 1 - P de sortir une blanche ; c’est un processus EXCLUSIF. En quantique, c’est le MELANGE, c’est-à-dire, le METISSAGE, qui prime : vous pouvez être, soit noire, soit blanche, mais vous êtes surtout et avant tout, EN PARTIE NOIRE ET EN PARTIE BLANCHE. La loi binomiale n’a donc plus cours et vous ne pouvez plus en déduire le concept de probabilité quantique.

 

On va donc reprendre les formules classiques stricto sensu et les complexifier, en commençant par l’entropie :

 

(1)               S = -k_BPLn(P)

 

On conserve le « -«  pour le retrouver dans le cas classique « pur ». Comme pour l’information, on va trouver PLUS D’ENTROPIE que dans le cas pur :

 

S = -k_B|P|exp(iPI)[Ln(|P|) + iPI]

 

Il faut s’attendre à ce que l’amplitude de cette entropie reste une quantité positive ou nulle (il ne s’agit pas ici d’une différence entre deux quantités quantiques) :

 

(2)               |S| = k_B|P|[Ln²(|P|) + PI²]^1/2

 

On va donc inclure le signe dans la PHASE de l’entropie quantique :

 

SIG_n = PI + Arctan[PI/Ln(|P|)] + (2n + 1)pi + pi ,  n dans Z

 

de sorte que SIG est en réalité UNIVALUEE,

 

(3)               SIG = PI + Arctan[PI/Ln(|P|)]

 

puisqu’un nombre entier de tours COMPLETS n’apporte rien de plus à la détermination principale de la phase, ni au signe de l’expression. Lorsque PI = 0, |P| = P¹, SIG = 0 et on retrouve la formule classique sous la forme « neutre » S¹ = |S| = k_BP¹|Ln(P¹)|. Pour tout autre valeur de PI, l’information supplémentaire apportée par la phase AUGMENTE l’entropie du système :

 

LES SYSTEMES QUANTIQUES SONT PLUS DESORDONNéS QUE LES CLASSIQUES.

 

Il suffit de considérer le cas du laser, lumière monochromatique (« cohérente ») : elle est plus ordonnée que la lumière « blanche », polychromatique ou « incohérente ». Le laser, c’est de la lumière dans un état PUR.

 

Comme à l’habitude maintenant, on ne s’étonnera plus de trouver des projections SIGNEES sur les états purs :

 

(4)               S¹ = |S|cos(SIG)  ,  S² = |S|sin(SIG)

 

En revanche, un observateur de l’un ou l’autre état, limité à cet état et qui ne se douterait pas qu’il a affaire à un système quantique se dirait sans doute qu’il a commis une erreur de mesure si jamais il trouvait une S^A < 0 ! Et si, en revérifiant les mesures, il ne trouvait aucune erreur de protocole, ce serait l’incompréhension totale : « dans quel état j’erre ?... » comme disait Coluche… :) Dans nos prévisions théoriques, il n’y a pas d’erreur : l’entropie DE MELANGE (2) est bien une quantité positive ou nulle. Après, conformément à la discussion que nous avons eue à ce sujet dans la bidouille 159, le signe des S^A n’est qu’une affaire de convention. Dans aucun cas, on n’est « plus ordonné que l’ordre total » : il n’y a « d’ultra-déterminisme » nulle part.

 

Si l’une quelconque des entropies d’état pur est constante, l’autre l’est forcément, sinon, |S| et/ou SIG varierai(en)t. Donc :

 

(5)               S¹ = cte <=> S² = cte <=> |S| = cte <=> SIG = cte

 

SI L’ON EST ISENTROPIQUE DANS UN ETAT, ON L’EST PARTOUT.

 

Par conséquent, si S¹ est variable, le système quantique tout entier NE PEUT PAS être isentropique. En ce qui concerne les variations S(s) d’entropie par rapport à une abscisse curviligne s :

 

(6)               S’(s) = dS(s)/ds = -k_BP’(s){Ln[P(s)] + 1}

 

S’(s) = 0 a pour solutions P’(s) = 0 ou P(s) = 1/e. Dans les deux cas, la probabilité est constante :

 

ISENTROPIE <=> CONSERVATION DE LA PROBABILITE

<=> EQUILIBRE THERMODYNAMIQUE.

 

Ensuite, eh bien, B160 est tellement ETENDU qu’il suffit de reprendre les résultats classiques. Là où les choses divergent franchement, c’est au niveau de la distribution de Gibbs ou « fonction de partition ». Dans le classique, les températures absolues n’étant jamais négatives, exp(-E/k_BT) converge pour E > 0. Elle n’est pas envisageable pour E < 0. Le signe, lui, provient directement de l’entropie et de sa relation linéaire avec la moyenne énergétique <E>, l’énergie mesurable du système macroscopique. Dans le quantique :

 

E/T = (|E|/|T|)exp[i(EPS - TAU)]

      = (|E|/|T|){cos[(EPS - TAU)] + isin[(EPS - TAU)]}

 

Or, nous avons vu en début d’article que S = |S|exp(iSIG) avec SIG UNIvaluée : exit le signe devant le S quantique. On va donc pouvoir envisager DEUX « semi-distributions de Gibbs » :

 

(7)               g₊ = A₊exp(E/k_BT)            pour cos[(EPS - TAU)] > 0  (secteurs I et IV)

 

et

 

(8)               g_- = A_-exp(-E/k_BT)            pour cos[(EPS - TAU)] < 0  (secteurs II et III)

 

avec un raccordement en cos[(EPS - TAU)] = 0 et des coefficients de « normalisation »,

 

(9)               A₊ = S_T*X exp[E(x,q)/k_BT]d^dxd^dq

(10)           A_- = S_T*X exp[-E(x,q)/k_BT]d^dxd^dq

 

Comme par hasard (…), les systèmes à un seul état correspondent à EPS = TAU = 0 et à la condition de raccordement, moyennant le retour du signe de S.

 

C’est LA SEULE nouveauté apportée aux formules classiques après application du signe d’échelle, parce qu’elle se réfère à une question de CONVERGENCE. Pour tout le reste, il suffit maintenant de remplacer les quantités réelles par des quantités complexes, d’appliquer le théorème sur le signe d’échelle dès qu’on a affaire à une différence ou une variation et… c’est tout.

 

Je ne m’étends pas plus sur le cas de particules identiques, parce que, même si nous convenons de considérer la cellule vivante comme une « particule » d’un organisme (ce qui est envisageable, vue la différence d’échelle entre les deux), il existe une telle variété de cellules que le modèle des particules identiques est tout simplement irréaliste. Je note, par ailleurs, l’optimisme d’un auteur, qui a au moins la franchise d’annoncer, de but en blanc, qu’hormis dans le cas de particules identiques, les distributions de Gibbs sont AVANT TOUT THEORIQUES et QUASI-IMPOSSIBLES A CALCULER EN PRATIQUE… :|

 

Toujours très utile de disposer de THEORIES PUISSANTES, mais INAPPLICABLES EN PRATIQUE… lol

 

Le tout, c’est de le savoir.

 

Avant de poursuivre, un résultat, à valeur de théorème mathématique, qui va nous aider à comparer deux grandeurs quantiques entre elles.

 

Nous avons déjà noté la présence de deux orientations distinctes dans l’espace quantique : l’externe et l’interne. Il en existe en fait une troisième, qui n’est, ni externe, ni interne, mais relative à la COMPARAISON D’AMPLITUDES. Géométriquement, aux RAYONS DE CERCLES.

 

Soient |x|’ et |x| deux grandeurs réelles > 0 quelconques, mais scalaires. La différence :

 

(1)               |x|’ - |x| = (|x|’/|x| - 1)|x|

 

sera positive ssi le RAPPORT D’ECHELLE |x|’/|x| > 1. Sinon, elle sera négative. Du point de vue géométrique, cela revient à retirer au cercle de rayon |x|’ un cercle de rayon |x| : si ce second cercle est plus petit que le premier, le résultat sera un cercle de rayon |x|’’ > 0. Sinon, |x|’’ sera < 0. C’est tout bête, mais ça permet de comparer deux grandeurs quantiques x = |x|exp(iksi) et x’ = |x|’exp(iksi’) INDEPENDAMMENT DES VALEURS PRISES PAR LEURS PHASES.

 

On a l’habitude de calculer la différence QUANTIQUE x’ - x, ce qui conduit à une amplitude présentant un terme d’interférence et à un décalage de phase souvent compliqué. Or, cela ne nous renseigne EN RIEN sur le résultat, puisque ||x|’ - |x|| =< |x’ - x| =< |x|’ + |x| couvre une TRES LARGE GAMME de valeurs. Du coup, j’ai eu l’idée d’utiliser le QUOTIENT |x|’/|x|, qui a valeur de rapport d’échelle, puisqu’il n’est jamais dimensionné, et de le COMPARER à l’unité. D’où le théorème suivant :

 

 SIGNE D’ECHELLE : THEOREME

 

Soient x = |x|exp(iksi) et x’ = |x|’exp(iksi’) deux scalaires quantiques d’amplitudes |x| > 0 et |x|’ > 0 et soit x’’ = |x|’’exp(iksi’’) = x’ - x leur différence. Alors, |x|’’ devra être comptée POSITIVEMENT si le RAPPORT D’ECHELLE |x|’/|x| > 1, sinon, elle devra être comptée NEGATIVEMENT et ce, INDEPENDAMMENT DE L’ORIENTATION INTERNE. Dans le cas de vecteurs, ce « SIGNE D’ECHELLE » sera également INDEPENDANT DE L’ORIENTATION EXTERNE.

 

Si l’on passe de x à x’, on aura donc une AUGMENTATION pour |x|’/|x| > 1 (signe d’échelle POSITIF) et une DIMINUTION pour |x|’/|x| < 1 (signe d’échelle NEGATIF).

 

 SIGNE D’ECHELLE : CONSTRUCTION

 

Soit Y(.) la fonction d’Heaviside. Alors :

 

(2)               s(|x|’,|x|) = 2Y(|x|’/|x| - 1) - 1  ,  s(|x|,|x|) = 0

 

est le SIGNE D’ECHELLE ENTRE |x|’ et |x|.

 

En effet, Y(x) = 0 pour x < 0 et Y(x) = 1 pour x >= 0. Par convention assez logique et naturelle, on ajoute la condition s(|x|,|x|) = 0 pour signifier qu’une différence nulle est algébriquement neutre.

 

 SIGNE D’ECHELLE : REGLE D’EXTENSION

 

On conviendra d’écrire :

 

(3)               « x’ > x »  ou bien  « x’ - x > 0 »  si  s(|x|’,|x|) = +1

(4)               « x’ < x »  ou bien  « x’ - x < 0 »  si  s(|x|’,|x|) = -1

 

L’écriture conventionnelle « x’ = x » ou bien « x’ - x = 0 » correspondant à s(|x|’,|x|) = 0.

 

Il y a, grosso modo, deux justifications principales à l’introduction du concept de probabilité en physique. La première est l’impossibilité de connaître le futur : cette limitation impose donc de PRONOSTIQUER la réalisation d’événements à venir. La seconde est beaucoup plus « fataliste » : elle établit le fait que, dans les systèmes physiques composés de N corps, il devient très vite impossible de connaître avec une précision absolue l’évolution de la trajectoire individuelle de chaque constituants, même si le système est entièrement déterministe. La preuve formelle de ceci fut apportée au début du 20^ème siècle par Henri Poincaré : pour N >= 3, le problème à N corps liés n’est pas résoluble par quadratures. Les interactions entre constituants génèrent des perturbations qui « troublent » les trajectoires individuelles. PIRE : il établit ensuite que, PLUS LE NOMBRE N DE CONSTITUANTS EST ELEVé, MOINS LA CONNAISSANCE DES TRAJECTOIRES INDIVIDUELLES EST PERTINENTE. Des FAISCEAUX de trajectoires apparaissent dans les solutions des équations de mouvement, traduisant le fait que l’on passe d’un niveau de description « local » de trajectoires individuelles à un niveau de description « global » de L’ENSEMBLE des trajectoires, qui constitue la trajectoire du SYSTEME. Les interactions entre constituants engendrant des CORRELATIONS entre leurs trajectoires, il n’est plus possible de déterminer la position de chaque corps avec une précision absolue, MEME A UN INSTANT DONNé (donc, SANS PLUS se projeter dans l’avenir) et l’introduction des probabilités de présence devient OBLIGATOIRE.

 

On n’a donc pas besoin d’être « quantique » pour être « statistique », il suffit d’être COLLECTIF.

 

Sur le plan des collisions, problème étudié notamment par Maxwell dans la dynamique des gaz enfermés dans une boite (le fameux « démon de Maxwell »), on démontre facilement que ce type de système perd TRES RAPIDEMENT la mémoire des collisions passées et donc, des trajectoires individuelles. Là aussi, les probabilités deviennent incontournables.

 

Il ne s’agit donc pas seulement d’une question de PREDICTION, il s’agit aussi (et peut-être même SURTOUT) d’une propriété INHERENTE des systèmes constitués de plus de 2 corps. Autant dire que cela apparaît TRES VITE, au point que le déterminisme pourrait presque être qualifié « d’exceptionnel » voire, une fois de plus, IDEALISTE…

 

Dans le cas classique, la probabilité de présence d’un corps est un nombre P compris entre 0 et 1. P = 0 correspond à l’absence de corps, P = 1 établit la certitude que le corps est présent. ENTRE LES DEUX, ON NE PEUT RIEN AFFIRMER : 0 < P < 1. On estime généralement qu’une probabilité négative est dénuée de sens physique, parce qu’on ne peut pas être « moins probable que totalement improbable ».

 

Dans le cas des systèmes à 2 états, P n’est plus un scalaire, mais un VECTEUR INTERNE à deux composantes P₁ et P₂, ce qui en fait une grandeur ORIENTABLE. Dans B150, nous avons noté deux types d’orientation, l’externe et l’interne. Les grandeurs quantiques scalaires ne sont pas orientables en externe, mais elles le sont en interne. De la sorte, le MELANGE PROBABILISTE :

 

(1)               |P| = e_A(PI)P^A

 

qui constitue L’AMPLITUDE de la probabilité quantique, peut rester positif ou nul, la présence d’une PHASE PI va SIGNER les probabilités P^A :

 

(2)               P^A = e^A(PI)|P|

 

Quelle est l’interprétation physique à apporter à cette nouveauté ? Jusqu’ici, il n’a pas été nécessaire de distinguer entre les différents secteurs angulaires. Considérons de nouveau l’espace pur X^A. Si la phase ksi de l’espace quantique associé est à zéro (« pôle est » sur le cercle unité), nous sommes dans X¹⁺. Si ksi = pi (« pôle ouest »), nous sommes dans X^1-. Idem pour ksi = pi/2 (« pôle nord »), qui correspond à X²⁺ et ksi = 3pi/2 (« pôle sud »), qui correspond à X^2-. En règle générale, les positions quantiques x(ksi) et x(ksi + pi) = -x(ksi) sont en OPPOSITION DE PHASE. Leur amplitude est la même, soit |x|, mais leur orientations INTERNES sont opposées, nonobstant leur orientation externe. Lorsque l’on transpose cela aux probabilités, il s’agit donc de distinguer entre « événements » et « ANTI-événements » : événement et anti-événement sont en OPPOSITION DE PHASE. Il ressort bien de (2) que P¹ comme P² ont même amplitude |P|, 0 =< |P| =< 1. Par contre, si l’on décale la phase PI de pi, on INVERSE LE SIGNE des P^A. Une probabilité négative n’aurait donc pas de sens physique si elle ne se référait pas à un ANTI-événement. Dans ce cas, elle DOIT être comptée négativement, afin de tenir compte de l’orientation INTERNE des espaces quantiques. Cela ne revêt plus d’importance du moment que |P|, la probabilité de MELANGE, reste positive. -1 =< P^A =< 0 ne signifie donc pas qu’un événement est « encore moins probable qu’impossible », mais que L’ANTI-événement a une probabilité d’occurrence 0 =< -P^A =< 1.

 

Soit un événement quantique quelconque. P¹ mesure la probabilité que cet événement se produise dans l’état 1. Si la phase de cet événement est en 1⁺ (soit 0), 0 =< P¹ =< 1. Si elle est en 1^- (soit pi), 0 =< -P¹ =< 1. P² mesure la probabilité d’occurrence de l’événement dans l’état 2. Si la phase est en 2⁺ (soit pi/2), 0 =< P² =< 1. Si la phase est en 2^- (soit 3pi/2), 0 =< -P² =< 1. PARTOUT AILLEURS, i.e. hors de ces 4 pôles, on va trouver un MELANGE de ces deux probabilités « idéales », soit (1) ci-dessus, avec :

 

(3)               (P¹)² + (P²)² = |P|²             dans [0,1]

 

La phase PI de cette probabilité quantique est alors donnée par le rapport de probabilités :

 

(4)               PI = Arctan(P²/P¹) (mod pi)

 

C’est une grandeur qui n’a pas besoin d’être comprise dans un intervalle fermé. Par contre, |P| comme PI (et donc, P¹ comme P²) doivent suivre l’événement auquel elles sont associées. Si donc x = |x|exp(iksi) = x¹ + ix² est un événement quantique quelconque, la probabilité que cet événement se présente est P(x), qui est une fonction COMPLEXE de la variable COMPLEXE x. Du coup, |P| comme PI (et donc, P¹ comme P²) vont se présenter comme des fonctions de |x| et de ksi (ou de x¹ ET de x²) :

 

(5)               P(x) = |P|(|x|,ksi)exp[iPI(|x|,ksi)]

 

Il faut bien se dire que, si l’on introduit des probabilités QUANTIQUES, c’est que même un observateur QUANTIQUE n’est plus certain d’observer l’événement x, pour les raisons invoquées en début d’article. Il n’est donc à même de déterminer, ni |x|, ni ksi avec certitude. Dans le cas plus pratique qui nous intéresse tout particulièrement, un observateur limité à l’état 1 ne peut percevoir au mieux que ce qui est susceptible de se produire dans l’état 1. Donc, même si cet observateur-là sait avec certitude que l’événement x va se réaliser dans l’état 1 sous la forme x¹, IL NE PEUT PLUS AFFIRMER AVEC LA MEME CERTITUDE QU’IL NE VA PAS AUSSI SE REALISER SOUS LA FORME x² DANS L’ETAT 2, PARCE QU’IL N’Y A PAS DIRECTEMENT ACCES. On a là affaire à un MANQUE D’INFORMATION sur l’état quantique de l’événement qui nécessite, là encore, l’usage des probabilités : si on ne connaît que x¹, il est impossible d’en déduire à la fois |x| et ksi ; de même si l’on ne connaît que x². Cela veut dire que, même si l’on s’attend à observer un événement dans l’un des deux états, ON NE PEUT PAS EXCLURE QU’IL NE PUISSE PAS SE REALISER DANS L’AUTRE : la réalité physique, c’est bien le MELANGE D’ETATS PURS, qui inclut automatiquement chaque état séparément. Ainsi, l’observabilité de x sous la forme « pure » x¹ avec la probabilité de réalisation P¹(x¹) n’est pas suffisante pour affirmer que ksi = 0 ni même pi, donc qu’on a affaire à un événement ou un anti-évenement dans l’état 1. PI(|x|,ksi) introduit une DISTORSION DE PHASE. Quant à la proba de MELANGE |P|(|x|,ksi), elle doit bien tenir compte de TOUTES les possibilités. Il faut se dire en fait que, si x¹ (ou x², pour un observateur de l’état 2 n’ayant pas d’accès direct à l’état 1), est susceptible de se réaliser, c’est l’événement QUANTIQUE x qui est susceptible de l’être et avec la probabilité QUANTIQUE P. Par conséquent, x² (resp. x¹) est automatiquement susceptible de se réaliser (ou pas) : (5) nous informe que la probabilité de réalisation de l’événement quantique x dans l’état 1 est P¹(x¹,x²) et P²(x¹,x²) dans l’état 2. Et non P¹(x¹) ou P²(x²) : ces pronostics-là restent PARTIELS… Ils ne prennent pas en compte le caractère QUANTIQUE des choses.

 

Comme |P| et PI sont des grandeurs scalaires, les courbes implicites |P|(|x|,ksi) = |P| = cte et PI(|x|,ksi) = PI = cte vont donner lieu à deux familles de courbes explicites :

 

(6)               ksi = ksi_|P|(|x|)

 

et

 

(7)               ksi = ksi_PI(|x|)

 

dans le « plan événementiel » (|x|,ksi). Ainsi, tout le long de la courbe (6), la proba de mélange restera constante, fixée à une valeur |P|, tandis que, tout le long de la courbe (7), c’est la phase de mélange PI qui restera constante, égale à une valeur PI. Par exemple, |P| = 0, qui correspond à un événement impossible, renvoie à une courbe événementielle ksi = ksi_|P|=0(|x|); |P| = 1, qui correspond à un événement certain, à une courbe ksi = ksi_|P|=1(|x|). Maintenant, |P| = 1 donne P¹ = cos(PI), P² = sin(PI). Donc, à moins que PI ne soit situé sur l’un des quatre pôles, IL N’EST PAS CERTAIN que l’événement quantique se produise dans l’un quelconque des deux états purs. Ce n’est que le MELANGE de ces probabilités d’occurrence dans les deux états purs qui fournit un résultat certain. On est donc bien loin du déterminisme classique, non seulement parce qu’on a affaire à des mélanges généralisés d’états purs, mais parce que la certitude obtenue sur un mélange ne pronostique aucunement de ce qui est susceptible de se produire dans l’un ou l’autre de ces états purs. Il faut vraiment que PI (et non ksi) se situe à l’un des quatre pôles pour que la probabilité de mélange se réduise à la probabilité de réalisation dans l’un ou l’autre des états purs. Et encore, P¹ comme P² seront des fonctions du MELANGE EVENEMENTIEL |x| et non de l’un quelconque de ses états purs.

 

Ceci dit, si l’on étend la formule de Claude Shannon au contexte quantique, la quantité d’information quantique véhiculée par l’événement quantique x vaudra :

 

(8)               I[|x|,ksi] = -k_BLn P[|x|,ksi] = -k_B{Ln |P|[|x|,ksi] + iPI[|x|,ksi]}

 

où k_B est la constante de Boltzmann, en J/K. Il résulte de l’expression ci-dessus un MELANGE D’INFORMATIONS :

 

(9)               |I|[|x|,ksi] = k_B{Ln²|P|[|x|,ksi] + PI²[|x|,ksi]}^1/2 >= 0

 

(de nouveau, s’agissant d’un scalaire, I n’est pas orientable en externe) et une PHASE DE MELANGE,

 

(10)           IOT[|x|,ksi] = Arctan{PI[|x|,ksi]/Ln |P|[|x|,ksi]}                 (mod pi)

 

Il est évident que l’introduction de phases va apporter une information supplémentaire par rapport au classique. Les systèmes quantiques vont donc naturellement renfermer plus d’info que les systèmes classiques. Si l’événement est impossible, |P| = 0 et, le long de ksi = ksi_|P|=0(|x|), la quantité d’info est illimitée, quelle que soit PI : on retrouve le même résultat qu’en classique, moyennant quelques extensions. Par contre, si l’événement est CERTAIN, la théorie classique nous donnait une quantité d’information NULLE, alors que la théorie quantique nous donne :

 

(11)           |P|[|x|,ksi] = 1  =>  |I|[|x|,ksi] = k_B|PI[|x|,ksi]|

 

une quantité d’information PROPORTIONNELLE A LA VALEUR ABSOLUE DE LA PHASE DU MELANGE PROBABILISTE. L’événement quantique, même certain, CONTIENT DONC ENCORE DE L’INFORMATION, sauf au pôle est PI[|x|,ksi] = 0, c’est-à-dire, le long de la courbe ksi = ksi_PI=0(|x|).

 

Pour ce qui est des phases, un dernier aspect que nous n’avons pas abordé jusqu’ici : le choix du SENS DE ROTATION sur le cercle unité. La convention mathématique veut que les angles soient comptés positivement dans le sens trigonométrique et négativement dans le sens direct (sens des aiguilles d’une montre). Comme cos(.) est une fonction PAIRE, cela ne change rien aux premières projections. Par contre, sin(.) est IMPAIRE et le changement de sens INVERSE les secondes projections. Nous n’avions pas à nous en préoccuper plus avant pour les grandeurs déterministes, cependant, l’introduction des probabilités nécessite un éclaircissement. Lorsque nous avons introduit la notion de probabilité négative, nous avons, sans le dire, appliquer le sens trigonométrique.  Il va sans dire que, si nous inversons le sens de rotation, événements et anti-événements vont S’ECHANGER. C’est donc une simple question de CONVENTION : un « événement dans le sens DIRECT » va devenir un « ANTI-événement dans le sens trigo » et un « anti-événement dans le sens direct », un « événement dans le sens trigo ». Cela renforce en fait l’argument que nous avancions, selon lequel le signe des probas de réalisation dans chaque état pur n’a AUCUNE IMPORTANCE, du moment que les probas de MELANGE restent positive. Néanmoins, même si ces dernières apparaissaient, pour une raison ou une autre, négatives, il suffirait d’inverser le sens de rotation sur le cercle unité pour retrouver le « bon » signe (sinon, c’est qu’il y a une erreur de calcul quelque part).

 

Pourquoi tant de précisions ? Parce que, dans les FONCTIONS complexes de variables complexes, les angles sont déterminés modulo pi et que le nombre de tours est un entier RELATIF, donc SIGNé. Rappelons que, contrairement à l’exponentielle réelle, qui est une fonction univaluée (bijective), l’exponentielle complexe est une fonction MULTIvaluée (seulement surjective) : exp[i(ksi + 2npi)] = exp(iksi) pour tout n dans Z, de sorte que Tan[Arctan(.) + npi] = Tan[Arctan(.)]. Si donc, on regarde (10), on va trouver une infinité dénombrable de IOT[|x|,ksi] dans les DEUX sens de rotation, ce qui va induire un arbitraire sur le signe de I²[|x|,ksi]. Or, dans la théorie classique, l’information était présentée comme une quantité NON NEGATIVE. Dans le cas quantique, il est désormais possible de trouver des I¹ comme des I² des DEUX signes. Là encore, ça n’a pas d’importance, du moment que |I| reste positive ou nulle. Toutefois, dans le cas |P| = 1 d’un événement quantique certain, la formule (10) aboutit à :

 

(12)           |P| = 1  =>  ksi = ksi_|P|=1(|x|)  =>  IOT_n(|x|) = pi/2 + npi  ,  n dans Z

 

de sorte qu’en combinant (8) et (10), on obtient

 

(13)           I²(|x|) = |I|(|x|)sin[IOT_n(|x|)] = -k_BPI(|x|)

 

Si cette quantité est positive, pas de problème. Mais alors, PI(|x|) est NEGATIF, c’est-à-dire que l’on tourne dans le sens DIRECT dans le plan des probabilités. Pourquoi ? Parce que nous avons conservé le signe « -«  devant k_B de manière à le retrouver dans le cas classique. Si I²(|x|) > 0, cela signifie donc que l’on est, soit dans le secteur I, soit dans le secteur II du plan des INFORMATIONS et que la convention à adopter dans le plan des probas est le sens direct. Si I²(|x|) < 0, on est, soit dans le secteur III, soit dans le secteur IV du plan des informations et la convention à adopter dans le plan des probas est le sens trigo. Il est tout à fait possible de parler « d’anti-information » mais, ne se référant pas automatiquement à un anti-événement [il suffit de regarder (12) pour s’en convaincre : ksi ne se limite pas à pi, loin s’en faut], ça ne me semble plus aussi approprié que pour les probas. Il me parait préférable de jouer sur les CONVENTIONS DE SIGNES pour retrouver des quantités positives : événements comme anti-événements présentent de L’INFORMATION, pas de « l’anti-information », cela n’a plus beaucoup de sens physique.

 

Nous retrouverons d’ailleurs cet argumentaire dans la bidouille suivante à propos de l’entropie des systèmes quantiques. Il était donc nécessaire de bien fouiller l’interprétation physique à donner à ces quantités désormais signées.

 

Terminons cette bidouille-ci avec la FONCTION DE DISTRIBUTION ou « densité de proba dans l’espace des phases » d’un système physique. En classique, si X est un espace de configuration (incluant donc l’espace physique) de dimension D et T*X son espace des phases, la fonction de distribution est un champ scalaire p(x,q) mesuré en m^-D, où q représente ici le vecteur impulsion du système. En quantique, tout est complexifié, de sorte qu’on trouve une amplitude de densité de probabilité et une phase :

 

(14)           p(x,q) = |p|(|x|,ksi,|q|,thê)exp[ipi(|x|,ksi,|q|,thê)]

 

On voit immédiatement le rapport avec la fonction d’onde de Schrödinger en prenant la racine carrée de p(x,q) : ici aussi, |p| est le carré du module de cette fonction. Avec une amélioration, toutefois : la description proposée SANS DEMONSTRATION par Schrödinger ne tenait compte que de l’espace PHYSIQUE. Ici, nous sommes automatiquement dans l’espace DES PHASES.

 

Le calcul des valeurs moyennes va maintenant conduire à des intégrales oscillantes. Soit F(x,q) une fonction sur T*X, sa moyenne statistique sera :

 

(15)           <F(x,q)> = [S F(x,q)p(x,q)d^Dxd^Dq]/[S p(x,q)d^Dxd^Dq]

 

L’intégration peut s’effectuer, soit de manière étendue sur tout l’espace des phases, soit seulement sur un volume délimité de celui-ci. En classique, on avait la condition de normalisation S_T*X p(x,q)d^dxd^dq = 1. En quantique, seule L’AMPLITUDE |p| est normalisable :

 

(16)           S_T*X |p|(|x|,ksi,|q|,thê)d^d|x|d^d|q|dksidthê = 1

 

De toute façon, p(x,q) est bornée par cette amplitude :

 

|S_T*X p(x,q)d^Dxd^Dq| =< S_T*X |p(x,q)d^Dxd^Dq| = S_T*X |p|(|x|,ksi,|q|,thê)d^d|x|d^d|q|dksidthê

 

En vertu de (16), on a donc toujours :

 

(17)           |S_T*X p(x,q)d^Dxd^Dq| =< 1

 

Il est donc préférable de laisser le dénominateur dans (15). D’abord, parce que la moyenne ainsi obtenue est évidemment complexe (on est quantique…) ; ensuite, parce que l’amplitude de cette moyenne :

 

|<F(x,q)>| = |S F(x,q)p(x,q)d^Dxd^Dq|/|S p(x,q)d^Dxd^Dq|

 

et, d’après (17),

 

(18)           |<F(x,q)>| >= |S F(x,q)p(x,q)d^Dxd^Dq|

 

L’EGALITE NE SE PRODUISANT EN GENERAL QUE DANS LE CAS CLASSIQUE. Il faut donc s’attendre à ce que les moyennes quantiques soient généralement SUPERIEURES (en amplitude) aux moyennes classiques.

 

On obtient des résultats semblables pour les moyennes d’ordres supérieurs de Fⁿ(x,q) ou « moments statistiques d’ordre n » de F(x,q), ou bien de produits (convolutifs) de fonctions.

 

En mécanique ondulatoire, les états de polarisation complètement définie sont appelés « états purs ». Dans la réalité quotidienne, les choses s’observent rarement à l’état pur tout au long de leur existence, qu’il s’agisse de matière inerte ou vivante : tout n’est jamais « 100% positif » ou « 100% négatif », « droit » ou « gauche »,… on assiste plutôt à des MELANGES. C’est ce que semblent traduire les formules de décomposition de la bidouille précédente : on pourrait croire que les choses sont créées « en double ». Elles sont plutôt réalisées comme des ETATS MELANGéS. Pour assurer sa stabilité, par exemple, la matière ne peut se trouver dans un état de charge électrique complètement défini, positif ou négatif. Il doit, au contraire, s’établir un équilibre des charges de manière à ce que l’ensemble soit globalement neutre. Même les plasmas, qui sont des fluides parcourus par des courants électriquement chargés, sont globalement neutres. Les observations à toutes les échelles ne vont donc pas dans le sens d’objets physiques créés « en double » mais, au contraire, comme « mélanges simples » de deux états « idéaux ».

 

Dès lors, ce qui nous intéresse vraiment, ce n’est pas tant de connaître l’évolution des systèmes physiques dans CHACUN des états purs que comme MELANGES. A force de « décortiquer » les mécanismes de base du quantique, nous avons été amenés à conclure que le quantique est un MELANGE DE 2 ETATS « PURS », DE TYPE « CORPUSCULAIRE » OU « CLASSIQUE » et que les effets « ondulatoires » résultent en fait du REGROUPEMENT DE CES 2 ETATS. Et ceci s’applique A TOUT. Si on prend l’espace physique 3D, on a 2 états « purs », 2 « espaces idéaux » X₁ et X₂ et l’espace « effectif », celui qui est effectivement réalisé dans la Nature et un MELANGE de ces deux « cas extrêmes » :

 

(1)               |X| = e_A(ksi)X^A

 

où la somme contractée est directe, au sens de la théorie des ensembles, c’est-à-dire que les états purs sont supplémentaires. On a vu que, de là, on tirait chaque état pur comme le produit (d’échelle) de « l’espace de mélange » |X| par le « coefficient de mélange » correspondant :

 

(2)               X^A = e^A(ksi)|X|

 

et, finalement, que ce que l’on appelait l’espace « quantique » associé était la somme directe complexifiée :

 

(3)               X = |X|exp(iksi) = X¹ + iX² = [e₁(ksi) + ie₂(ksi)]|X|

 

ce qui ne revient qu’à transformer les distances dans |X| par un coefficient d’échelle OSCILLANT exp(iksi) = e₁(ksi) + ie₂(ksi).

 

On ne peut guère décomposer plus… On ne peut qu’ajouter que le « quantique » est en correspondance biunivoque avec les systèmes à 2 états purs et que le « classique » est précisément L’UN OU L’AUTRE DE CES « ETATS PURS ».

 

La physique « classique » était donc IDEALISTE ; la physique « quantique » est plus REALISTE. Néanmoins, la réalité physique semble plutôt être le MELANGE DE DEUX ETATS IDEALISTES.

 

On pourrait donc passer un peu de temps à développer une théorie dynamique des systèmes à deux états mais à quoi bon, en fin de compte, puisque cela ne TRADUIT PAS LA REALITE ? Il vaut bien mieux, à mon sens, comprendre l’évolution des systèmes QUANTIQUES, qui nous donnent les informations, à la fois sur « l’externe » (dans l’exemple ci-dessus, l’amplitude |X| de l’espace quantique X) et sur « l’interne » [le facteur d’échelle oscillant exp(iksi) associé à cet espace] et de chercher par la suite à comprendre pourquoi et comment cette dynamique est « filtrée » pour ne faire apparaître et percevoir que l’état « 1 » ou, au mieux, DEFORMEE, de manière à faire croire à une « dualité corpusculaire / ondulatoire », alors même que le concept « d’onde », on l’a vu dans les bidouilles précédentes, EST DEJA ET PUREMENT QUANTIQUE.

 

Autrement dit, on observait du quantique SANS LE SAVOIR et, une fois que nos instruments nous ont permis de détecter le quantique, EH BIEN, ON N’A PAS SU FAIRE LE RAPPROCHEMENT… :| On n’a pas sur faire le rapprochement, parce que les phénomènes constatées à l’échelle atomique et en deçà ne semblaient pas se reproduire à titre individuel aux échelles supérieures. On a donc invoqué la petitesse de h pour expliquer cela. Sauf qu’en fin de compte, h n’est qu’une ACTION, qui n’a RIEN DE « QUANTIQUE », ni au sens de Planck, ni au sens de de Broglie. Cette « explication » me parait donc manquer un peu d’argumentaire solide… En fait, on a expliqué « comme on pouvait »… pour, ensuite, ne tomber que sur des « paradoxes », des comportements « contradictoires », qu’on a fini par ACCEPTER TELS QUELS, parce qu’on ne parvenait pas à les comprendre…

 

Sans doute, parce que la LOGIQUE CARTESIENNE est ancrée bien trop profondément dans nos sociétés occidentales et que cette logique, dichotomique, ne fait, après tout, que DECOMPOSER LES CHOSES ET LES RAISONNEMENTS EN DEUX « ETATS PURS », IDEAUX… :). La logique cartésienne est « FILTRANTE », c’est du « tout-ou-rien ». C’était donc, soit « corpusculaire », soit « ondulatoire », mais certainement pas « tantôt l’un, tantôt l’autre » et encore moins « les 2 à la fois ».

 

Quand nous disons aujourd’hui que les choses sont réalisées comme des MELANGES, on n’est plus cartésien du tout, on n’est plus « BINAIRE », on devient PROPORTIONNEL.  Et là, comme par hasard, on se rend compte que le « quantique » n’a plus rien de paradoxal ni de contradictoire, que c’était plutôt le CARTESIANISME qui l’était, en DICTANT de manière un peu trop contraignante, en DECRETANT, sur la foi d’observations de l’époque, que les choses étaient conçues « soit sous telle forme, soit sous telle autre » A L’EXCLUSION DE TOUT « MELANGE DE GENRES »… :|

 

La logique cartésienne était EXCLUSIVE, la logique quantique ou 2 états est INCLUSIVE.

 

Et, sur un plan beaucoup plus SOCIAL, qui paraît à première vue bien loin des principes de physique fondamentale, je pense que c’est aussi et peut-être surtout pour cela que les sociétés INCLUSIVES semblent en telle « opposition de phase » avec les sociétés EXCLUSIVES, basées sur le raisonnement cartésien. Pourquoi les COMPORTEMENTS des sociétés inclusives paraissent si PARADOXAUX et CONTRADICTOIRES avec les principes des sociétés exclusives.

 

La culture occidentale, par exemple, c’est d’affirmer que, chez l’humain, IL NE PEUT EXISTER BIOLOGIQUEMENT QUE 2 SEXES, le « mâle » et la « femelle ». Et donc, que L’HERMAPHRODISME ne peut que résulter d’une PERTURBATION quelconque, génétique ou psychologique. On POLARISE : « mâle OU EXCLUSIF femelle ». Et on EDUQUE les gens comme cela, dès la naissance, c’est une croyance qui se transmet de génération en génération, en ajoutant que tout « mélange » est NOCIF A LA REPRODUCTION DE L’ESPECE, ce qui explique le REJET SYSTEMATIQUE DE L’HOMOSEXUALITE.

 

Les cultures chamaniques, au contraire, ont TOUJOURS INCLUS l’hermaphrodisme dans leurs sociétés. Et elles les qualifient de « DEUX ESPRITS » : MELANGE ! :) Le mélange est autorisé, toléré, est traité de la même manière que « l’état pur ». Il n’est pas taxé « D’IMPUR »…

 

La culture juive aussi, inclut l’homosexualité (mais pas l’orthodoxie juive). C’est sans doute la seule culture occidentale qui l’admette sans que cela amène à polémique.

 

Ces deux approches sont clairement EN CONTRADICTION. D’où CHOC DES CULTURES.

 

Vous voyez bien que le « quantique » S’APPLIQUE A TOUT… Il n’y a pas de « dualisme » : le dualisme est engendré par le CARTESIANISME. Si on ne SEPARAIT PAS systématiquement tout, par « principe », on n’aurait sans doute moins de difficultés à comprendre les REGROUPEMENTS…

 

Il n’est pas question de faire le procès de l’approche cartésienne, seulement de reconnaître que cette approche est REDUCTIVE PAR PRINCIPE. Qu’elle EXCLUT TOUTE POSSIBILITE DE SITUATION « INTERMEDIAIRE ». En théorie des ondes, tout mélange d’états de polarisation « purs » est considéré comme « impur » : ça ne figure dans aucun manuel, naturellement, néanmoins, on parle très souvent d’état « NON » ou « PARTIELLEMENT » polarisés… une manière « diplomatico-scientifique » de dire la même chose, partant du principe (cartésien là encore !) que tout ce qui n’est pas vu comme pur est forcément impur… :)

 

Continuons donc à être « IMPURISTES » car c’est cela qui devrait répondre à nos attentes.

 

Schrödinger se posait la question du chat « à la fois vivant et mort »… : comment pourrait-on être les 2 à la fois ou bien ni l’un ni l’autre ?...

 

Qu’est-ce que le « vivant » ? C’est de l’inerte devenu autonome.

Qu’est-ce que le « mort » ? C’est du vivant REDEVENU INERTE.

Mais inerte pour QUI ? Pour l’observateur CARTESIEN DE L’ETAT 1 (OU 2).

 

Qu’est-ce qui nous autorise à parler de « vie » ou de « mort » dans le cas de « MELANGES EXISTENTIELS » ? Ce découpage perd son sens strict… Tout ce que l’on peut dire, c’est que les systèmes physiques GERENT LEUR ENERGIE et qu’une FORME d’énergie se TRANSFORME en une autre. Quand on parle de « dégradation de l’ énergie », à la base de L’USURE des systèmes, il ne s’agit que de la transformation d’une énergie interne en énergie DE FROTTEMENT qui se « dissipe » PARCE QU’ELLE EST RESTITUEE A L’EXTERIEUR SOUS FORME DE « CHALEUR ». Si vous excluez l’environnement extérieur à un système, l’énergie de ce système se DISSIPE en général. Mais, si vous INCLUEZ l’extérieur, ainsi que TOUTES les formes d’énergie, l’énergie se CONSERVE… le bilan énergétique RESTE NUL… C’est ce que soutenait le Marquis de Lavoisier : « rien ne se crée, rien ne se perd, tout se transforme ». Il avait déjà compris, à mon sens et à sa façon sans doute, que la « thermodynamique » était une discipline INCLUSIVE. On aurait même tendance à dire, aujourd’hui, « holistique » : je ne suis pas trop d’accord avec ça. L’holistique est un TOUT. L’inclusif est différent, il consiste à prendre tous les ASPECTS en compte, de manière NON DISCRIMINATOIRE.

 

A défaut de faire de l’holistique, on va déjà commencer par faire de l’inclusif et on verra bien où ça nous mène. Il faut à présent se tourner vers la thermodynamique et la mécanique statistique. Ce n’est que de là que pourront émerger d’autres réponses.

 

D’après les considérations établies dans la bidouille précédente, nous avons donc, pour tout point x de l’espace X, de coordonnées x^a, et |x| de |X|, de coordonnées |x|^a :

 

(1)               |x|^a = x^Aae_A(ksi)  ,  x^Aa = |x|^ae^A(ksi)             [a = 1,…, dim(|X|)]

(2)               x^a = |x|^aexp(iksi) = |x|^a[e₁(ksi) + ie₂(ksi)]

(3)               tan(ksi) = x^2ax¹_a/||x¹||² = e₂(ksi)/e₁(ksi)

 

L’espace |X| restant orientable en externe, les coordonnées |x|^a sont des quantités SIGNEES. En interne, par contre, la signature est portée par les e_A(.). Il ressort clairement des développements ci-dessus que CHAQUE coordonnée EXTERNE |x|^a apparaît généralement sous la forme d’un MELANGE D’ETATS POLARISéS x^Aa. Les e_A(ksi) jouent le rôle de « coefficients de mélange ». Lorsque ksi = 0 ou pi, |x|^a est entièrement polarisé dans l’état 1 : pour ksi = 0, |x|^a = x^1a et, pour ksi = pi, |x|^a = -x^1a est simplement en OPPOSITION DE PHASE. Pour ksi = pi/2 (resp. 3pi/2), |x|^a est entièrement polarisé dans l’état 2 et les deux états |x|^a = x^2a et |x|^a = -x^2a sont en opposition de phase.

 

Ensuite, on voit on ne peut plus explicitement dans (2) le lien direct qu’il y a entre espace REEL |X| et espace COMPLEXE X et donc, de quelle manière le « quantique » se construit à partir du « classique » : on passe d’abord d’un espace à 1 seul état de polarisation e₁(ksi) = +/-1 pour tout ksi en vertu de la condition d’unitarité e₁²(ksi) = 1 à un espace A MEME NOMBRE DE DIMENSIONS EXTERNES, mais deux états de polarisation ; « l’angle de mélange » ksi est alors donné par le rapport des deux états, à pi près. Muni de ces trois données, x^1a, x^2a et ksi, on construit la coordonnée « quantique » x^a sans équivoque. L’espace « quantique » ainsi construit SEMBLE doubler de dimensions physiques : dim_R(X) = 2dim_R(|X|). En réalité, il n’en est rien : ce doublement apparent de dimensions réelles ne fait qu’indiquer le fait que l’espace physique présente 2 états de polarisation et non un seul, comme le prévoyait l’approche classique.

 

Il devient alors possible de se ramener à une géométrie REELLE et à une description « classique élargie » en remplaçant toutes les grandeurs physiques classiques par des mélanges de deux états complètement polarisés. C’est bien pratique, néanmoins, pour conserver le lien avec le quantique, il faut quand même pouvoir expliciter les angles de mélange, ce qui n’est pas toujours facile, comme on le verra un peu plus bas, avec la dérivation de fonctions.

 

Pour le moment, une aire |x|^a|x|^b avec a < b va se développer en :

 

(4)               |x|^a|x|^b = x^Aax^Bbe_A(ksi)e_B(ksi)

    = x^1ax^1bcos²(ksi) + (x^1ax^2b + x^2ax^1b)cos(ksi)sin(ksi) + x^2ax^2bsin²(ksi)

    = ½ [1 + e₂(2ksi) + e₁(2ksi)]x^1ax^1b + ½ [1 + e₂(2ksi) - e₁(2ksi)]x^2ax^2b

 

On voit que l’on a trois contributions au lieu d’une seul, comme précédemment. Pour ksi = 0, pi, on retombe sur |x|^a|x|^b = x^1ax^1b mais, pour ksi = pi/2, 3pi/2, on tombe sur |x|^a|x|^b = x^2ax^2b. Pour ksi = pi/4, on trouve ½ (x^1a + x^2a)(x^1b + x^2b) et pour ksi = 3pi/4, ½ (x^1a - x^2a)(x^1b - x^2b). L’aire |x|^a|x|^b connecte donc les aires dans chaque état et permet même une infinité non dénombrable de combinaisons possibles entre ces deux états, grâce au degré de liberté offert par l’angle continu de phase. Tout ceci est « dissimulé » dans |x|^a|x|^b et on serait loin de le soupçonner si l’analyse du quantique ne nous avait pas fait prendre conscience de l’existence du second état. Inversement, on trouve 4 aires complètement polarisées :

 

(5)               x^Aax^Bb = e^A(ksi)e^B(ksi)|x|^a|x|^b

 

Ainsi, lorsque l’on effectue le mélange (4), on DEGENERE le système des aires polarisées et on aboutit fatalement à une aire DEPOLARISEE ; par contre, quand on inverse le procédé, grâce à l’inversibilité des e_A(.), on LEVE LA DEGENERESCENCE SUR LES ETATS DE POLARISATION et on POLARISE l’aire de départ. Comme il y a 2 polarisations pour chaque direction de l’espace, on va aboutir à 4 possibilités pour une aire spatiale : c’est ce qu’exprime (5).

 

Le lien avec l’aire quantique a^ab = x^ax^b est le suivant :

 

a^ab = (x₁^a + ix₂^a)(x₁^b + ix₂^b) = (s₁^AB + is₂^AB)x_A^ax_B^b

a_C^ab = s_C^ABx_A^ax_B^b = a_C^ba = s_C^ABe_A(ksi)e_B(ksi)|a|^ab = e_C(2ksi)|a|^ab

|a|^ab = |x|^a|x|^b

 

On vérifie en effet facilement les propriétés linéarisantes suivantes, bien utiles, pour un même angle de phase :

 

(6)               s_C^ABe_A(ksi)e_B(ksi) = e_C(2ksi)

(7)               s_E^CDs_D^ABe_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi) = e_E(3ksi)

 

etc. tandis que la contraction par s_C+2 donne un résultat BINAIRE,

 

(8)               s₃^ABe_A(ksi)e_B(ksi) = 1  ,  s₄^ABe_A(ksi)e_B(ksi) = 0

 

le premier, en vertu de la condition d’unitarité ; le second, par antisymétrie.

 

Pour un volume |x|¹|x|²|x|³, même principe :

 

(9)               |x|¹|x|²|x|³ = x^Aax^Bbx^Cce_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi)

(10)           x^Aax^Bbx^Cc = e^A(ksi)e^B(ksi)e^C(ksi)|x|¹|x|²|x|³

 

On trouve un seul volume dépolarisé, mélange de HUIT volumes polarisés. Tous calculs faits :

 

(11)           x¹x²x³ = ¼ {[3e₁(ksi) + e₂(3ksi) + e₂(ksi) + e₁(3ksi)]x₁¹x₁²x₁³ +

+ [e₁(ksi) + e₂(3ksi) + e₂(ksi) - e₁(3ksi)]x₂¹x₂²x₁³ +

+ [e₂(ksi) + e₁(ksi) - e₁(3ksi) + e₂(3ksi)]x₁¹x₁²x₂³ +

+ [3e₂(ksi) + e₁(ksi) - e₁(3ksi) - e₂(3ksi)]x₂¹x₂²x₂³}

 

le lien avec le volume quantique V = x¹x²x³ étant,

 

V = a¹²x³ = (s₁^CD + is₂^CD)s_D^ABx_A¹x_B²x_C³

V_E = s_E^CDs_D^ABx_A¹x_B²x_C³ = s_E^CDs_D^ABe_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi)|V| = e_E(3ksi)|V|

|V| = |x|¹|x|²|x|³

 

Les formules établies ci-dessus, à l’exception de (6-8), ne valent évidemment que pour des aires et des volumes PLANS. Dans le cas d’aires et de volumes quelconques, il faut passer par les différentielles qui, elles, sont planes, par définition même :

 

d|x|^a = d[x^Aae_A(ksi)] = e_A(ksi)dx^Aa + [e₁(ksi)x^2a - e₂(ksi)x^1a]dksi

 

Comme le second terme s’annule identiquement,

 

(12)           d|x|^a = e_A(ksi)dx^Aa

 

Tout se passe donc comme si ksi restait constant. C’est ce qui fait la différence avec la différentielle quantique, dans laquelle le coefficient de la variation dksi de l’angle de phase ne s’annule plus :

 

dx^a = d[|x|^aexp(iksi)] = exp(iksi)[d|x|^a + i|x|^adksi]

dx^1a = e₁(ksi)d|x|^a - e₂(ksi)|x|^adksi

dx^2a = e₂(ksi)d|x|^a + e₁(ksi)|x|^adksi

 

Ceci conduit en fait à un 2-TENSEUR INTERNE de composantes :

 

(13)           e₁(ksi)dx^1a = ½ [1 + e₁(2ksi)]d|x|^a - ½ e₂(2ksi)|x|^adksi

(14)           e₁(ksi)dx^2a = ½ e₂(2ksi)d|x|^a + ½ [1 + e₁(2ksi)]|x|^adksi

(15)           e₂(ksi)dx^1a = ½ e₂(2ksi)d|x|^a - ½ [1 - e₁(2ksi)]|x|^adksi

(16)           e₂(ksi)dx^2a = ½ [1 - e₁(2ksi)]d|x|^a + ½ e₂(2ksi)|x|^adksi

 

dont seule la TRACE redonne (12). S’agissant d’un PRODUIT e_A(ksi)dx^Ba, le déterminant de ce tenseur est nul pour chaque a : le tenseur n’est donc pas inversible. Quant à sa norme, elle ne donne ni plus ni moins que le module de dx^a :

 

(17)           |dx^a| = [(d|x|^a)² + (|x|^adksi)²]^1/2        pour chaque a

 

On va donc trouver des aires et des volumes élémentaires :

 

(18)           |da|^ab = e_A(ksi)e_B(ksi)dx^Aadx^Bb                               (a < b)

(19)           |dV| = e_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi)dx^Aadx^Bbdx^Cc

 

Notez que |da|^ab est différent de d|a|^ab et dV, de d|V| : l’aire (resp. le volume) infinitésimal(e) ne sont pas la différentielle de l’aire (resp. du volume). C’est normal : la différentiation est une opération linéarisante. Du développement de la différentielle quantique ci-dessus, on tire :

 

(20)           dksi = |x|^as₄^ABe_A(ksi)dx_Ba/|||x|||²  ,  |||x|||² = |x|^b|x|_b

 

qui permet de déterminer, par intégration, l’angle de phase ksi connaissant les états de position x^Aa, dans leur voisinage immédiat. Munis de tous ces résultats, on peut étendre les formules de densité au mélange d’états. Par exemple, la masse totale M d’un corps classique de volume V et de forme quelconque (déterminée par l’équation de sa surface) s’exprime comme l’intégrale volumique M = SSS_V m(x)dV. Dans le cas de 2 états, il faut partir de la formule quantique :

 

(21)           M = |M|exp(iMU)

    = SSS_|V|S_ksi |m|(|x|,ksi)exp{i[mu(|x|,ksi) + 3delksi(|x|,ksi)}|dV|

 

parce que l’intégration génère à présent des superpositions ondulatoires en continu et donc, des INTERFERENCES. On voit d’ailleurs bien les DISTORTIONS ANGULAIRES provoquées, d’abord par la localisation [de ksi à delksi(|x|,ksi)], ensuite par l’intégration [de mu(|x|,ksi) à MU]. Le MELANGE DE MASSES |M| va, de ce fait, résulter de deux contributions :

 

(22)           |M|² = SSS_|V|S_ksi |m|²(|x|,ksi)|dV|² + INTERFERENCES

 

où le terme « interférences » regroupe les contributions sommées en tous les points x et x’ DIFFERENTS du volume V du corps. On n’est donc plus linéaire, mais quadratique.