Venons-en maintenant au problème de L’AMPLIFICATION DES SIGNAUX DE BASE.

 

La solution générale de (B153 - 13) est donc :

 

(1)               x(s) = ½ x₀[(1 - iK)exp(iks) + (1 + iK)exp(-iks)]  ,  K = f₀/f

 

avec x₀, f₀, f et s désormais complexes. Le GAIN du système est le rapport x(s)/x₀, soit :

 

(2)               G(s) = ½ (1 - iK)exp(iks) + ½ (1 + iK)exp(-iks)

  = aexp(iphi) + bexp(-iphi)

(3)               a = ½ (1 - iK) , b = ½ (1 + iK) , phi = ks

 

Ce qui nous intéresse est de connaître le secteur spatial dans lequel on est susceptible de trouver de l’amplification DANS L’ETAT 1 OU DANS L’ETAT 2, parce que c’est là que des observateurs « classiques » se trouvent. On va donc INVERSER (2) pour exprimer phi en fonction de G. On a d’abord une quadrique :

 

(4)               a[exp(iphi)]² - Gexp(iphi) + b = 0

 

de discriminant,

 

(5)               D = G² - 4ab = G² - (1 + K²)

 

S’agissant de quantités complexes, il y a toujours des racines, qui sont :

 

(6)               exp(iphi^+/-) = (G +/- D^1/2)/2a = (G +/- D^1/2)a*/2|a|²

 

ce qui donne,

 

(7)               phi^+/- = -iLn[(G +/- D^1/2)a*/2|a|²]

 

C’est la solution sous forme COMPLEXE. Il s’agit à présent d’expliciter les composantes phi₁ et phi₂, ce qui nécessite un peu plus de calcul.

 

On commence par remplacer la racine carrée de D par un discriminant complexe D’ :

 

(8)               D’ = D^1/2  =>  D’₁ = ½ (|D| + D₁)  ,  D’₂ = ½ (|D| - D₁)

 

D’après (5), on a :

 

D₁ = G₁² - K₁² - (G₂² - K₂²) - 1  ,  D₂ = 2(G₁G₂ - K₁K₂)

|D|² = DD* = [G² - (1 + K²)][G*² - (1 + K*²)]

      = |G|⁴ + (1 + K²)(1 + K*²) - (1 + K²)G*² - (1 + K*²)G²

      = |G|⁴ + |K|⁴ + 1 + K² + K*² - (1 + K²)G*² - (1 + K*²)G²

 

On prend le complexe conjugué de (7) :

 

(9)               phi*^+/- = iLn[(G* +/- D’*)a/2|a|²]

 

et on obtient directement,

 

2phi₁^+/- = i{Ln[(G* +/- D’*)a/2|a|²] - Ln[(G +/- D’)a*/2|a|²]}

= iLn[(G* +/- D’*)a/(G +/- D’)a*]

= iLn[(G* +/- D’*)²a²/|(G +/- D’)|²|a|²]

= 2iLn[(G* +/- D’*)a/|G +/- D’||a|]

 

2iphi₂^+/- = -i{Ln[(G +/- D^’)a*/2|a|²] + Ln[(G* +/- D’*)a/2|a|²]}

 = -iLn[|G +/- D^’|²/2|a|²]

 = -2iLn[|G +/- D^’|/2|a|]

 

soit,

 

(10)           phi₁^+/- = iLn[(G* +/- D’*)a/|G +/- D’||a|]

(11)           phi₂^+/- = Ln[2|a|/|G +/- D^’|]

 

On calcule enfin :

 

|G +/- D’|² = (G +/- D’)(G* +/- D’*) = |G|² + |D’|² +/- (GD’* + G*D’)

     = |G|² + |D’|² +/- 2(G₁D’₁ + G₂D’₂)

     = |G|² + |D| +/- [G₁(|D| + D₁) + G₂(|D| - D₁)]

     = |G|² + |D| +/- [(G₁ + G₂)|D| + (G₁ - G₂)D₁]

 

(G* +/- D’*)a = [(G₁ +/- D’₁) - i(G₂ +/- D’₂)](a₁ + ia₂)

= (G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂ + i[(G₁ +/- D’₁)a₂ - (G₂ +/- D’₂)a₁]

= |G +/- D’||a|exp(iA)

 

(il ne sert à rien de faire intervenir ici les matrices s, on n’obtiendrait qu’une version synthétique des résultats)

 

On a besoin d’exprimer (G* +/- D’*)a en polaire pour en extraire le logarithme, donc :

 

A = Arctan{[(G₁ +/- D’₁)a₂ - (G₂ +/- D’₂)a₁]/[(G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂]}

 

pour la détermination principale, ce qui donne,

 

phi₁^+/- = -A

          = Arctan{[(G₂ +/- D’₂)a₁ - (G₁ +/- D’₁)a₂]/[(G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂]}

 

Finalement,

 

s^+/- = k*phi^+/-/|k|²

 

Il est (grand !) temps de récapituler les résultats :

 

(12)           k = k₁ + ik₂ = (2pi/c)(f₁ + if₂)

(13)           K₁ = (f₀₁f₁ + f₀₂f₂)/|f|²  ,  K₂ = (f₀₂f₁ - f₀₁f₂)/|f|²

(14)           a₁ = ½ (1 + K₂)  ,  a₂ = -½ K₁

(15)           D₁ = G₁² - K₁² - (G₂² - K₂²) - 1  ,  D₂ = 2(G₁G₂ - K₁K₂)

(16)           |D| = [|G|⁴ + |K|⁴ + 1 + K² + K*² - (1 + K²)G*² - (1 + K*²)G²]^1/2

(17)           D’₁ = ½ (|D| + D₁)  ,  D’₂ = ½ (|D| - D₁)

(18)           phi_1,n^+/- = Arctan{[(G₂ +/- D’₂)a₁ - (G₁ +/- D’₁)a₂]/

/[(G₁ +/- D’₁)a₁ + (G₂ +/- D’₂)a₂]} + npi , n dans Z

(19)           |G +/- D’| = {|G|² + |D| +/- [(G₁ + G₂)|D| + (G₁ - G₂)D₁]}^1/2

(20)           phi₂^+/- = Ln[2|a|/|G +/- D^’|]

(21)           s_1,n^+/- = (k₁phi_1,n^+/- + k₂phi₂^+/-)/|k|²  ,  s_2,n^+/- = (k₁phi₂^+/- - k₂phi_1,n^+/-)/|k|²

 

Ce tableau de résultat se simplifie considérablement dans le cas, pourtant très important, où seul un état sur les deux est considéré. En raison de la multiplication complexe, qui se traduit par un couplage physique interactif (mais sans interférence), K₂, G₂ et phi₂ deviennent des quantités typiquement quantiques au sens où elles nécessitent la présence des deux états à la fois pour ne pas être nulles :

 

(22)           (f_0A, f_A, s_A) = 0  =>  (K₂, G₂, phi₂) = 0                  pour A = 1 ou 2

 

En conséquence :

 

(23)           a = ½ (1 - iK₁)  ,  b = a*

 

et G(s) est TOUJOURS une fonction REELLE,

 

(24)           G(s) = aexp(iphi₁) + a*exp(-iphi₁) = 2Re[aexp(iphi₁)] = G₁

 

Il s’avère donc préférable, dans ce cas, de reprendre les calculs effectués ci-dessus, c’est PLUS SIMPLE. :) On a :

 

(25)           D = G₁² - (1 + K₁²)

 

dont le signe n’a toujours pas d’importance puisque l’on recherche exp(iphi₁). On trouve cette fois :

 

exp(iphi₁^+/-) = (G₁ +/- D^1/2)a*/2|a|² = [(G₁ +/- D^1/2)/(1 + K₁²)^1/2]exp[-iArctan(K₁)]

 

Il faut donc nécessairement que :

 

G₁ +/- D^1/2 = (1 + K₁²)^1/2

 

c’est-à-dire que,

 

(26)           G₁ = (1 + K₁²)^1/2  =>  D = 0

 

On a alors :

 

(27)           phi_1,n^+ /- = -Arctan(K₁) + npi

 

Un observateur de l’état 1 verra donc TOUJOURS une amplification, quelque soit l’état dans lequel le « signal » a été émis. Par contre, cette amplification ne se fera qu’aux points d’abscisses curvilignes :

 

(28)           s_1,n^+/-(f₁) = -(c/2pif₁)[Arctan(f₀₁/f₁) + npi]  ,  s_2,n^+/- = 0

 

si le « signal » est émis dans l’état 1 et

 

(29)           s_2,n^+/-(f₂) = (c/2pif₂)[Arctan(f₀₂/f₂) + npi]  ,  s_1,n^+/- = 0

 

si le « signal » est émis dans l’état 2. La quantité c/f_A (A = 1 ou 2) est une « longueur d’onde ». L’amplification sera donc d’abord attendue à une distance s_A,n^+/-(f_A) proportionnelle à la longueur d’onde dans cet état, pour la détermination principale, puis à des intervalles de n DEMI-longueurs d’onde. Ce que nous disent ensuite (28b) et (29b), c’est que l’observateur dans l’état 2 (resp. 1) n’observera AUCUN « SIGNAL »  émis dans son état.

 

Autrement dit, un observateur « biologique » de l’état 1, qui se CROIT « classique », perçoit un « signal » émis dans l’état 2 ET SE DEMANDE BIEN D’Où CE « SIGNAL » PEUT BIEN PROVENIR : il n’observe RIEN AUTOUR DE LUI et il n’a pas conscience et encore moins connaissance de l’état 2. Pour lui [(29b)], IL N’Y A RIEN. Or, (26) est formel : non seulement le « signal » est toujours amplifié, mais le gain est D’AUTANT PLUS IMPORTANT QUE LA FREQUENCE f₂ EST PETITE DEVANT LA FREQUENCE DE DEPART f₀₂. Notre observateur va donc recevoir un « signal BF ou TBF SORTI DU NEANT ». Il y a fort à parier qu’il va se demander s’il n’a pas des hallucinations auditives ou visuelles.

 

Ou alors, il va invoquer l’hypothèse paranormale et on va lui répondre : « Monsieur, dans l’écrasante majorité des cas, il s’agit avant tout d’un problème de PERTURBATION PSYCHIQUE, communément appelé ‘poltergeist’ » et on va lui conseiller DE CONSULTER EN URGENCE… surtout si le phénomène a une fâcheuse tendance à se répéter.

 

Le médecin est avant tout un « mécanicien de la machinerie biologique ». La psychiatrie moderne dissèque les fonctions mentales en processus neurochimiques. Tous ces gens, en parfaite bonne foi, travaillent DANS L’ETAT 1. Ils travaillent de manière « CLASSIQUE ». Ils vont donc être amené à RAISONNER de manière classique, parce qu’on ne peut pas faire n’importe quoi en science théorique comme appliquée : il y a des PROCEDURES et des PROTOCOLES à suivre pour en développer d’autres, analyser des situations et forger un DIAGNOSTIC MEDICAL. On ne peut pas exiger d’un neuro-scientifique qu’il prenne votre témoignage pour argent comptant : ce serait même « malhonnête » de sa part. Il faut malheureusement plus souvent s’attendre à ce qu’il prescrive une « perturbation mentale » passagère ou permanente…

 

En effet, A MOINS qu’il n’y ait de manifestations EXTERIEURES à vous, si le phénomène se (re)produit entièrement « dans votre tête », QU’EST-CE QUI LUI PROUVERA QUE VOUS N’EN ETES PAS INCONSCIEMMENT LA SOURCE ?... :|

 

Et, même si l’on incorpore la quantique, il FAUT quand même au moins DEUX observateurs indépendants pour constater un phénomène EXTERNE si l’on veut pouvoir le distinguer d’une hallucination mentale. Et encore, il y a des hallucinations COLLECTIVES. Il est donc TRES DIFFICILE, en pratique, de déterminer la véritable NATURE d’un « signal » émis dans L’AUTRE ETAT ou dans l’espace quantique (cas général), à moins que ce « signal » ne transmette une information portant des caractéristiques « sortant du cadre classique ».

 

Une théorie ne peut rien AFFIRMER, elle ne peut qu’établir ce qui est POSSIBLE. Après, c’est l’expérimentation qui décide…

 

Le mouvement quantique est naturellement oscillant. C’est ce qui est ressorti de l’analyse dynamique précédemment effectuée. Contrairement au POINT quantique (par exemple, une position) x = |x|exp(iksi), qui n’est que la forme polaire de x₁ + ix₂, où (x₁,x₂) fixés <=> (|x|,ksi) fixés, le mouvement quantique x(s) utilise le paramètre s comme VARIABLE DYNAMIQUE, de sorte que s₁et s₂ ou, de manière équivalente, |s| et sigma, sont appelées à varier indépendamment. Si l’on prend le mouvement quantique uniforme :

 

(1)               x(s) = u₀s = |u₀||s|exp[i(upsilon₀ + sigma)]

 

u₀ est une constante, de sorte que son amplitude |u₀| comme sa phase upsilon₀ sont des coefficients constants ; par contre, s varie, de sorte que |s| comme sigma vont varier, générant des OSCILLATIONS. Autrement dit :

 

TOUT MOUVEMENT QUANTIQUE EST UN SIGNAL ET TOUT SIGNAL COMPLEXE SE RAMENE A UN MOUVEMENT QUANTIQUE.

 

Il faut bien faire la distinction avec l’approche classique. Dans cette dernière, on part du principe que le mouvement dans l’espace 3D ou l’espace-temps 4D est associé à un seul corps, considéré comme RIGIDE : c’est le modèle de la « sphère dure », ramené à un « point matériel » dans la description newtonienne. Le mouvement à N corps libres est représenté dans un espace de configuration de dimension 3N ou 4N. Quant aux « champs », on les représente comme des « milieux CONTINUS », c’est-à-dire, composés « d’une infinité non dénombrable de corps ponctualisés », chaque « composant » se trouvant en un point (x¹,x²,x³) à un instant t = x⁴/c. C’est assez compliqué et il y a beaucoup de distinctions.

 

En théorie quantique, toute cette « classification » S’EFFACE. Si l’on considère maintenant l’oscillateur classique de base :

 

(2)               x(s) = x₀cos(ks) + (u₀/k)sin(ks)

 

avec la position de départ x₀, la vitesse initiale v₀ = cu₀ et le nombre d’onde k = (2pi/c)f, on sait que cet oscillateur peut aussi se décrire sous la forme complexe,

 

(3)               x(s) = ½ x₀[(1 - iK)exp(iks) + (1 + iK)exp(-iks)]  ,  K = f₀/f

 = ½ x₀(1 + K²)^1/2[exp(iphi) + exp(-iphi)] = x₀(1 + K²)^1/2cos(phi)

(4)               phi = ks - Arctan(K)          (mod pi)

 

S’agissant d’un mouvement CLASSIQUE, on ne retient évidemment que la partie REELLE de l’oscillateur x₀(1 + K²)^1/2exp(iphi), qui apparaît assez clairement comme un MOUVEMENT QUANTIQUE UNIFORME du type (1), avec (1 + K²)^1/2exp[-iArctan(K)] en place de u₀ et x₀exp(iks) en place de la variable oscillante. Ça veut dire qu’on va reporter ce signal classique à un mouvement quantique uniforme à paramètres dynamiques x₀ = cte et ks, c’est-à-dire, s en fin de compte et ks (ou s) sera alors la seule variable, puisque le signal classique de base se caractérise par une amplitude constante et une phase linéaire.

 

Pour décrire des SIGNAUX, il est donc préférable de représenter la ou les variables d’évolution en coordonnées POLAIRES, « amplitudes-phases ». C’est le cas dans (1). On voit immédiatement l’oscillation.

 

D’ENTITE PHYSIQUE BIEN DISTINCTE DU MOUVEMENT ET MEME VUE COMME UNE GENERALISATION DE CELUI-CI EN THEORIE CLASSIQUE, LE SIGNAL DEVIENT UNE SIMPLE QUESTION DE REPRESENTATION EN THEORIE QUANTIQUE.

 

Si vous décrivez le(s) paramètre(s) dynamique(s) en représentation planaire, vous voyez plutôt un « mouvement » ; si vous le(s) décrivez en polaire, vous voyez plutôt un « signal ». Si vous ne retenez que la partie réelle de ce signal, vous voyez un signal « classique ».

 

On va donc s’attacher à représenter les OPERATEURS D’EVOLUTION en polaire. C’est plus compliqué qu’en planaire, mais c’est beaucoup mieux adapté à l’interprétation des choses en termes de « signaux ». Si s = |s|exp(isigma) est le paramètre d’évolution, la dérivée par rapport à s s’écrira sous la forme (avec des dérivées partielles sous-entendues) :

 

(5)               d/ds = ½ exp(-isigma)(d/d|s| - i|s|^-1d/dsigma)

 

On y trouve : la variation par rapport à l’amplitude |s| de la variable et la variation par rapport à sa phase sigma. La dérivée du second ordre est :

 

(6)               d²/ds² = ¼ exp(-2isigma)[d²/d|s|² - |s|^-1d/d|s| - |s|^-2d²/dsigma² +

+ 2i|s|^-2(Id - |s|d/d|s|)d/dsigma]

 

Lorsque l’amplitude |s| est constante, ces opérateurs se réduisent à :

 

(7)               d/ds = -½ |s|^-1exp(-isigma)d/dsigma

(8)               d²/d² = -¼ |s|^-2exp(-2isigma)(d/dsigma - 2iId)d/dsigma

 

Pour des formes plus générales de signaux, la « variable d’évolution » est une FONCTION de s de la forme :

 

(9)               f(s) = |f|(s₁,s₂)exp[iphi(s₁,s₂)]

 

et les opérateurs d’évolution se calculent suivant les variations PAR RAPPORT A |f| ET phi. Si l’on souhaite les exprimer en fonction de s, on fera intervenir les dérivées de |f| et phi par rapport, soit à (s₁,s₂), soit à (|s|, sigma). Ce sera toujours un « mouvement » ou un « signal », mais représenté dans un espace FONCTIONNEL à variables (|f|,phi).

 

La généralisation à un nombre quelconque de « variables initiales » x^a = x₁^a + ix₂^a = |x|^aexp(iksi), a = 1,…,N, est immédiate. On constate que la phase ksi EST LA MEME POUR TOUTES LES VARIABLES. En effet, on a : x₁^a = |x|^acos(ksi) et x₂^a = |x|^asin(ksi). Il en résulte que x₂^ax_1a = |x|^a|x|_acos(ksi)sin(ksi) et, comme x₁^ax_1a = |x|^a|x|_acos²(ksi), on trouve :

 

tan(ksi) = x₂^ax_1a/x₁^bx_1b = cos(ksi)sin(ksi)/cos²(ksi)

 

un SCALAIRE.

 

Ces considérations appellent à revisiter le CONTENU PHYSIQUE de « l’équation des ondes » :

 

(10)           d²/ds² + k²Id = 0

 

Il s’avère en effet que l’équation caractéristique :

 

(11)           S² + k² = 0                        (S,k) dans R²

 

n’a de solutions REELLES que :

 

(12)           S = 0  et  k = 0

 

La conclusion est plutôt tranchante :

 

IL N’EXISTE PAS « D’ONDE » AU SENS CLASSIQUE DU TERME.

 

La seule solution classique est L’IMMOBILISME SPATIAL A FREQUENCE NULLE. Cette solution est UNIQUE, il n’y en a pas d’autre. Pour trouver un concept « d’onde », il faut résoudre l’équation caractéristique :

 

(13)           S² + k² = 0                        (S,k) dans C²

 

Si k₂ = 0, il faut maintenir S complexe et, si S₂ = 0, il faut maintenir k complexe. L’équation (13) a, en effet, les solutions symétriques :

 

(14)           S⁺ = +ik , S^- = -ik

 

où l’on voit apparaître l’unité QUANTIQUE i. La solution générale de (10) avec conditions initiales fixées est alors (3), qui est la forme QUANTIQUE, ou (2) qui en est la forme « CLASSIQUE », mais qui n’a rien de classique en réalité.

 

On comprend dès lors un peu mieux cette apparente « dichotomie classique » entre le concept de « mouvement corpusculaire » et le concept de « mouvement ondulatoire » et, surtout, POURQUOI ces deux concepts se « confondent » dans la théorie de de Broglie : parce qu’en réalité, le concept de « mouvement ondulatoire » N’EST PAS classique, il est DEJA QUANTIQUE… Et le fait de n’en retenir que la partie réelle ne change absolument rien à son ORIGINE PHYSIQUE. Le développement des connaissances en physique fit que l’étude des ondes a PRECEDé la découverte des comportements quantiques et c’est la raison pour laquelle on fit entrer les ondes dans le cadre « classique », seul connu à l’époque.

 

En réalité, on avait découvert LE TOUT PREMIER COMPORTEMENT QUANTIQUE. :)

 

Les fonctions trigonométriques du cercle sont INCONSTRUCTIBLES sans la prise en compte de « l’unité imaginaire » i, qui n’est PAS un nombre réel. Ce qui est constructible dans le réel, ce sont les fonctions trigonométriques DE L’HYPERBOLE. Mais, rappelons qu’avant la découverte de la structure atomique, déjà soupçonnée des Grecs, on n’utilisait i que comme artefact mathématique convenable, sans lui conférer un quelconque contenu physique. Rien d’étonnant, donc, à ce que les expériences des fentes d’Young soient apparues aussi « contradictoires » : en réalité, la contradiction résidait dans L’APPROCHE PRECEDENTE DES PHENOMENES PHYSIQUES… :)

 

Il en ressort que la théorie quantique n’a rien de contradictoire, mais que c’est, en revanche, la théorie CLASSIQUE qui l’est !

Now that the physical content of time and its distinction from space have been withdrawn, the approach of quantum dynamics is pure more geometrical than it can already be in the classical. The starting point is a Riemannian metric:

 

(1)               ds² = g_ab(x)dx^adx^b = dx_adx^a

 

in curved quantum D-space X. A MOTION through X is a quantum curve x^a(s). VELOCITY is introduced as:

 

(2)               v^a(s) = cdx^a(s)/ds = cu^a(s)

 

with c, the CLASSICAL velocity of light. Indeed, we don’t need c to turn complex-valued: both s and x^a are complex-valued and c is, after all, a mere COEFFICIENT. As usual in Riemannian geometry, u(s) is a unit vector in T_sX, the space tangent to X at s:

 

(3)               u^a(s)u_a(s) = 1          for all s

 

The projections of u^a(s) are:

 

(4)               [u^a(s)]_A = s_A+2^BC(d/ds^B)x_C^a(s₁,s₂) = s_A+2^BCu_BC^a(s₁,s₂)

 

they give two VELOCITY SURFACES. The rest is similar to the geometrical approach of classical dynamics. Such an approach has the merits of treating all D position variables x^a on an equal footing, thus giving a UNIFIED vision of the dynamics involved, whereas the dynamical parameter s, being invariant, is the only ABSOLUTE quantity (the same at all points and in all reference frames). The only thing that matters is the RIEMANN AXIOM: for X to be Riemannian, there MUST exist a coordinate system at all its regular points where the metrical tensor field g_ab(x) can be made diagonal (and locally constant). In such a coordinate system:

 

(5)               ds² = S_a=1^D g_aa(x’)(dx’^a)²  ,  Det[g_aa(x’)] <> 0

 

at each regular point of X. Singularities on X are revealed by Det[g_ab(x)] = 0. At such points, the transformation of coordinates:

 

(6)               x^a = f^a(x’)               (a = 1,…,D)

 

is no longer invertible and one has to deal with sub-spaces of X.

 

Given a quantum mass m = m₁ + im₂, we have an invariant elementary action:

 

(7)               dS = mcds = Lds/c

 

generating a Lagrange functional,

 

(8)               L[x(s),v(s),s] = ½ mv²(s) + W[x(s),s]  ,  v²(s) = v^a(s)v_a(s)

 

The work function making the potential contribution to that functional can always be elementarily defined as a 1-form:

 

(9)               dW[x(s),s] = F_a[x(s),s]dx^a(s) = F_a[x(s),s]u^a(s)ds

 

over the MOBILE space X(s). F[x(s),s] is a vector-valued FORCE FIELD applied onto the body. Momenta are:

 

(10)           p_a(s) = dL/dv^a(s) = mv_a(s) = mcu_a(s)

 

Following (3), they verify the invariant identity:

 

(11)           p_a(s)p^a(s) = m²c² = E₀²/c²

 

ENERGIES have now to be understood first as:

 

-         the ENERGY AT REST,

 

(12)           E₀ = mc²  ,  E_0A = m_Ac²      (A = 1,2)

 

-         the D DIRECTIONAL ENERGIES,

 

(13)           E_a(s) = p_a(s)c = E₀u_a(s)

 

-         and the HAMILTON FUNCTIONAL,

 

(14)           H[x(s),p(s),s] = p_a(s)v^a(s) - L[x(s),v(s),s] = ½ mv²(s) - W[x(s),s]

     = p²(s)/2m - W[x(s),s] = E²(s)/2E₀ - W[x(s),s]

 

now realized as an INVARIANT SQUARE OF DIRECTIONAL ENERGIES (reported to the body’s energy at rest). It shows that:

 

The concept of energy is maintained in the quantum and DOES NOT REQUIRE TIME.

 

It doesn’t either in the classical, but we’re so used to reason with a time parameter that the Jacobi formalism established a duality between time and energy on one side and space and momenta on the other side. NO SUCH SCHISM SURVIVES IN THE QUANTUM. The Jacobi formalism takes the following unified form. The differential of the “Jacobi function” (or “Hamilton’s principal function”) is:

 

(15)           dS[x(s),s] = p_a(s)dx^a(s) + H[x(s),p(s),s]ds/c

 

It follows that:

 

(16)           p_a(s) = dS/dx^a(s)

 

and,

 

(17)           E_a(s) = cdS/dx^a(s)

(18)           H[x(s),p(s),s] = (2m)^-1[dS/dx^a(s)][dS/dx_a(s)] - W[x(s),s] = cdS/ds

 

according to (13) and (14). This gives back the Jacobi equation in (D + 1)-dimensional space for the functional S[x(s),s]. Newton’s equations of motion read:

 

(19)           cdp_a(s)/ds = dE_a(s)/ds = dW/dx^a(s) = F_a[x(s),s]

 

If one encounters a boundary problem, the integral-differential formulation may also be interesting:

 

(20)           E_a(s) = S F_a[x(s),s]ds = mc²dx_a(s)/ds

 

where the boundaries of the integral need be specified.

 

Time (…) to resume a bit. The PHYSICAL frame is a 3- maybe 4-dimensional quantum space and the CONFIGURATION space is a D-dimensional quantum space X. The MOBILE space related to X is X(s). It’s an infinite-dimensional space of quantum curves x(s). The PHASE space of X(s) is T_s*X(s), the fiber bundle made of all spaces cotangent to X(s) at s, with local coordinates [x^a(s),p_a(s)]. For EACH s, it’s a 2D-dimensional space over the “fold” X(s), endowed with a natural SYMPLECTIC structure (we’re going to explicit below). Finally, the CARTAN or STATE SPACE is the Cartesian product T_s*X(s) x R (or a finite interval of R) with local coordinates [x^a(s),p_a(s),s]. At each s, it’s a (2D+1)-dimensional space over the fold X(s) made of T_s*X(s) and the point {s}.

 

The CURVILINEAR DERIVATIVE on T_s*X(s) is built as:

 

(21)           D_s = d/ds + u^a(s)d/dx^a(s) + [dp_a(s)/ds]d/dp_a(s)

 

Applied to the Hamilton functional (14), it gives:

 

D_sH = dH/ds + u^a(s)dH/dx^a(s) + [dp_a(s)/ds]dH/dp_a(s)

       = dH/ds - u^a(s)dL/dx^a(s) + cu^a(s)dp_a(s)/ds

 

that is,

 

(22)           D_sH = dH/ds

 

while the Lagrange equations,

 

(23)           c(d/ds)dL/dv^a(s) = (d/ds)dL/du^a(s) = dL/dx^a(s)

 

lead to the Hamilton system

 

(24)           dH/dx^a(s) = -cdp_a(s)/ds  ,  dH/dp_a(s) = cdx^a(s)/ds

 

Inserted into the definition of the curvilinear derivative (21), these last equations give the Poisson bracket:

 

(25)           D_s = d/ds + (1/c){[dH/dp_a(s)]d/dx^a(s) - [dH/dx^a(s)]d/dp_a(s)}

     = d/ds + (1/c){H,.}

 

The Poisson bracket {H,.} gives the symplectic structure of the phase space, since it’s skew-symmetric. We retrieve the fact that {H,H} = 0, implying (22). Hamilton’s energy H will therefore remain a constant all along the trajectory iff H does not explicitly depend on s:

 

(26)           D_sH = 0  <=>  dH/ds = 0  <=>  H = Cte              for all s

 

This is how CONSERVATIVE systems should be understood in the quantum.

 

Setting the D directional energies E_a(s) to constant would be far too restrictive, as p(s) would need to be a constant vector, which is only verified by uniform motions x^a(s) = u^a(s - s₀) + x^a(s₀), u^a = ctes. Instead, relations (26) are MUCH WEAKER (since H is a scalar), therefore allowing a lot more possible motions.

 

According to what was said in B 151 and IN BLATANT CONTRADICTION WITH THE CLASSICAL, the one and only requirement is:

 

(27)           g_aa(x’) <> 0  ,  g_ab(x’) = 0              (a <> b)

 

in a coordinate system at each point of X. Then, the choice of the g_aas, even in the plane situation where they’re globally defined, is TOTALLY IRRELEVANT: as all the g_aas are complex-valued, ALL THEIR PROJECTIONS HAVE EQUAL RELEVANCE. In a coordinate transform as (6), the invariance of the ds² implies that:

 

(28)           g_ab(x’) = g_cd(x)(df^c/dx’^a)(df^d/dx’^b)

 

and, conversely,

 

(29)           g_cd(x) = g_ab(x’)(dx’^a/df^c)(dx’^b/df^d) = g_ab(x’)(df’^a/dx^c)(df’^b/dx^d)

 

by the inverse transformation

 

(30)           x’^a = f’^a(x)

 

at any regular point of X. So, from the time that we can INDIFFERENTLY go from a REPRESENTATION to another, we can find a coordinate system where g_aa = +1, another one where g_aa = -1, still another where g_aa = +1 for a = 1,…,D₁ and g_aa = -1 for a = D₁ + 1,…,D; we can find coordinate systems where some g_aas only or all of them are complex-valued,… we can find ANYTHING and our metrical coefficients will remain globally constant in the plane situation under ALL LINEAR TRANSFORMS. So, no particular choice is better than another, as was in the classical, because we were dealing there with REAL-VALUED quantities: the reality of ds² imposed that ds² < 0 was excluded from the physical frame. Here, our ds² is complex-valued.

 

IN THE QUANTUM, NO PHYSICAL SECTOR IS OUT OF OBSERVATION REACH.

 

I’d like to come back more specifically on the question of the geometry of D-dimensional quantum space, because the calculi given at the end of B 150 aren’t explicit enough.

 

Let’s first notice that, because of the three fundamental relations:

 

(1)               cos(ipsi₂) = ch(psi₂)  ,  sin(ipsi₂) = ish(psi₂)  ,  psi₂ in [0,2pi[

(2)               ch²(.) - sh²(.) = 1

(3)               cos²(.) + sin²(.) = 1

 

relation (3) extends to COMPLEX-VALUED angles psi = psi₁ + ipsi₂. This is important because one might thought at first glance that going from classical D-space to quantum one would change the rotation group from SO(D₁,D₂) into SU(D₁,D₂), D₁ + D₂ = D. This is true for the HERMITIAN spaces of supersymmetry, but not for the RIEMANNIAN spaces we are to use here. It’s indeed well-known that SU(D₁,D₂) preserves the REAL-VALUED quadratic form S_a=1^D1 |x^a|² - S_a=D1+1^D2 |x^a|², not the STILL COMPLEX-VALUED form S_a=1^D1 (x^a)² - S_a=D1+1^D2 (x^a)². Furthermore, we’re going to show that, at all regular point of X, we can set D₂ = 0 and remain in a FULLY RIEMANNIAN SPACE.

 

We begin with reminding the simplest case of a plane rotation in 2D real space:

 

(4)               x’¹ = x¹cos(psi₁) + x²sin(psi₁)  ,  x’² = -x¹sin(psi₁) + x²cos(psi₁)

 

with psi₁ real. This transformation has determinant +1 [relation (3)], thus describing a DIRECT rotation. It preserves the quadratic form (x¹)² + (x²)², since:

 

(5)               (x’¹)² + (x’²)² = (x¹)² + (x²)²

 

This is SO_R(2), the rotation group of 2D real space. It has a single rotation angle psi₁ so that the dimension OF THE GROUP is dim_R[SO_R(2)] = 1. One can easily show that (4) is formally equivalent to:

 

(6)               x’ = exp(-ipsi₁)x  ,  x = x₁ + ix₂  ,  x’ = x’₁ + ix’₂

 

so that there’s a group isomorphism between SO_R(2) and U(1), the rotation group of 1D COMPLEX space. However, (6) preserves the HERMITIAN form |x|² = (x¹)² + (x²)², since the only angle-free relation is |x’|² = |x|². So, if we complexify (4) replacing all x-variables as well as the angle with complex-valued quantities, the extended transformation:

 

(7)               x’¹ = x¹cos(psi) + x²sin(psi)  ,  x’² = -x¹sin(psi) + x²cos(psi)

(8)               x’^a = x₁^a + ix₂^a        (a = 1,2)  ,  psi = psi₁ + ipsi₂

 

remains of determinant +1 thanks to (3) still holding, but it now preserves the complex-valued quadratic form (x¹)² + (x²)², which is exactly what we need so as to keep the Bose-Einstein nature of the quantum vacuum. It follows that the rotation group leaving this form invariant is not U(1), but SO_C(2), the COMPLEXIFIED rotation group of 2D COMPLEX space. As we can see, this group has TWO real-valued angles psi₁ and psi₂ or a SINGLE COMPLEX-valued angle psi. Its COMPLEX dimension is therefore unchanged, it’s one, but its REAL dimension is 2. More generally, for D-dimensional quantum space X, we will find SO_C(D) has the rotation group leaving the quadratic form S_a=1^D (x^a)² invariant, with:

 

(9)               dim_C[SO_C(D)] = D(D - 1)/2  =>  SO_C(D) = SO_R(D) x SO_R(D)

 

(the equality being understood as a group isomorphism). Translations, scalings and inversions follow the same principle so that the larger invariance groups are respectively: the Poincaré group P_C(D) of displacements and the conformal group C_C(D), with complex dimensions:

 

(10)           dim_C[P_C(D)] = D(D + 1)/2  =>  P_C(D) = SO_C(D + 1)

(11)           dim_C[C_C(D)] = (D+1)(D+2)/2  =>  C_C(D) = P_C(D+1) = SO_C(D + 2)

 

Let’s now show why X can (locally) remain EUCLIDIAN. Let’s reconsider the local COORDINATES transformation:

 

(12)           x^a = f^a(x’)

 

from an “old” coordinate system x^a to a “new” one x’^a in the vicinity of any point of X. Let’s remind that such a transformation is a mere CHANGE OF REPRESENTATION, it induces NO PHYSICAL MOTION. One goes, for instance, from a planar representation to a polar or axisymmetric one. We know that the induced transformation on the METRICAL TENSOR of X is:

 

(13)           g’_cd = g_ab(df^a/dx’^c)(df^b/dx’^d)

 

Well, it suffices to set D = 1 and consider a linear transform x = ux’ with u constant to see that the metrical tensor in the NEW reference frame:

 

(14)           g’ = gu²

 

will have state projections,

 

(15)           g’₁ = u₁² - u₂²  ,  g’₂ = 2u₁u₂

 

with NO DEFINITE SIGNS, EVEN IF WE SET g = 1 in the old reference frame. It means two things:

 

1)      that starting from a FULLY EUCLIDIAN and REAL-VALUED metrical tensor in a given coordinate system, it’s always possible to obtain a COMPLEX-VALUED metrical tensor in another coordinate system, and

2)      at any REGULAR point of X, where transformation (12) is invertible, it’s always possible to find a coordinate system into which A COMPLEX-VALUED metrical tensor REDUCES TO A FULLY EUCLIDIAN REAL-VALUED ONE.

 

In physical terms, this reads:

 

A coordinate transform in the vicinity of any regular point of X is a PURELY INERTIAL EFFECT, a mere CHANGE OF REPRESENTATION WITH NO PHYSICAL CONTENT. And the ability to get back to a fully Euclidian metric means that TIME-LIKE DIMENSIONS ARE PROJECTIVE “ILLUSIONS” THAT CAN ALWAYS BE ELIMINATED.

 

Indeed, if we set u₂ = 0 in (15), we obtain g’₁ = u₁² > 0 (“space-like”) and g’₂ = 0 (on state 2, the geometry SEEMS to collapse into a mere point) and, if we set u₁ = 0, we obtain g’₁ = -u₂² < 0 (“time-like”) and g’₂ = 0. But, as we can go back to the previous coordinate system, in that system, we have g = 1, that is, g₁ = 1 and g₂ = 0 and there’s no time-like direction anymore. This is of course due to the fact that complex multiplication induces PROJECTIVE HYPERBOLIC SQUARES, whereas real multiplication only induces ELLIPTIC squares (squares with a DEFINITE sign). In other words:

 

TIME IS A CLASSICAL NOTION THAT DOES NOT “SURVIVE” IN THE QUANTUM.

 

And this has very important impacts on mechanics as well as thermodynamics, because time is dual to the concept of energy. So, eliminating time for another space dimension means “eliminating” energy to the benefit of another momentum, but also reviewing the concept of TEMPERATURE, since there’s a direct link between thermal energy and temperature. In the quantum, they all appear as “inertial effects”. And, indeed, there was no solid reason why, in special relativity, “space-time” would only be a FICTITIOUS MATH FRAME more suitable than the 3D one to describe phenomena due to the finite value of c and would “suddenly” turn a PHYSICAL frame in general relativity, especially if gravity was to be considered an INERTIAL EFFECT… K Something didn’t match, which was exactly the bottom of the painstaking question about the SIGNATURE of “space-time”, namely: “why space-like dimensions and time-like ones and why, more specifically, 3 space-like ones for only a single time-like one?”.

 

Well, we now have an answer: there’s ZERO “time-like dimension” in the quantum and time appear as a PROJECTIVE ILLUSION when reported to classical or semi-classical things. The only thing that should remain relevant is THE INVARIANCE OF THE METRIC OF X: starting from a (local) coordinate system where

 

ds² = S_a=1^D (dx^a)²  =>  g_ab = real-valued Kronecker delta

 

and such a system can always be found around any regular point (the Riemann axiom itself!), we can always end up with a metric

 

ds² = g’_ab(x’)dx’^adx’^b

 

through a (NON)-LINEAR transform x^a = f^a(x’) in a coordinate system x’^a and back, with

 

ds² = g’_ab(x’)dx’^adx’^b = S_a=1^D (dx^a)²

 

Signed metrical coefficients are PROJECTIVE EFFECTS on states 1 and 2. The quantum reality is unsigned.

 

Following this series of results, it’s always possible to keep on taking a MINKOWSKI metric if, for some purposes, we don’t want “shifts” to emerge (see next bidouille) in our familiar notions. It suffices to take, in (13):

 

(16)           f^a(x) = ix^a  (a = 1,2,3) , f⁴(x) = x⁴

 

to obtain a “time-like” metrical tensor, or

 

(17)           f^a(x) = x^a  (a = 1,2,3) , f⁴(x) = ix⁴

 

to obtain a “space-like” one. It WON’T restaure a physical nature to time for as much, since both transformations are invertible and we can always be back to the initial Euclidian metric. Thus, preferring the Minkowski metric to the Euclidian one would only be a matter of “keeping the good old habits”.

 

But, actually, all these “classically preconceived choices” won’t be necessary in the quantum, as we will show it in the next bidouille.

 

Pas besoin de chercher bien loin: il n'y a, à ce jour, QU'UN SEUL pays du continent Américain qui soit dirigé par un membre tribal. Afin d'éviter le genre de désagrément trouvé, par exemple, dans:
https://newfoodeconomy.org/tanka-bar-general-mills-epic-provisions-bison-bars/?fbclid=IwAR1_jFjSZwSVOXrrp9aAdFHrFX0IbJpEcW8c8_R1W1fahIes9h1f2whfyT0

voici mes suggestions:
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- vous payez vos taxes et impôts société et individuels au pays hôte.

De ce fait, vous aurez BEAUCOUP MOINS DE RISQUES d'être copiés "à la sauvage" et de vous voir détourner votre chiffre d'affaires. Le dépôt de marques et concepts vous ouvrira la PROTECTION JURIDIQUE et SECURISERA VOTRE MARCHé, gardant en tête que les situations de monopole restent quand même intenables à moyen terme. Il faudra donc, par la suite, faire EVOLUER VOS PRODUITS, REDEPOSER DE NOUVEAUX BREVETS ET MARQUES,...

C'est comme ça qu'on procède, en Occident... :) ça vous évite de plonger et d'aller au tribunal pour rien...