Il y a, grosso modo, deux justifications principales à l’introduction du concept de probabilité en physique. La première est l’impossibilité de connaître le futur : cette limitation impose donc de PRONOSTIQUER la réalisation d’événements à venir. La seconde est beaucoup plus « fataliste » : elle établit le fait que, dans les systèmes physiques composés de N corps, il devient très vite impossible de connaître avec une précision absolue l’évolution de la trajectoire individuelle de chaque constituants, même si le système est entièrement déterministe. La preuve formelle de ceci fut apportée au début du 20^ème siècle par Henri Poincaré : pour N >= 3, le problème à N corps liés n’est pas résoluble par quadratures. Les interactions entre constituants génèrent des perturbations qui « troublent » les trajectoires individuelles. PIRE : il établit ensuite que, PLUS LE NOMBRE N DE CONSTITUANTS EST ELEVé, MOINS LA CONNAISSANCE DES TRAJECTOIRES INDIVIDUELLES EST PERTINENTE. Des FAISCEAUX de trajectoires apparaissent dans les solutions des équations de mouvement, traduisant le fait que l’on passe d’un niveau de description « local » de trajectoires individuelles à un niveau de description « global » de L’ENSEMBLE des trajectoires, qui constitue la trajectoire du SYSTEME. Les interactions entre constituants engendrant des CORRELATIONS entre leurs trajectoires, il n’est plus possible de déterminer la position de chaque corps avec une précision absolue, MEME A UN INSTANT DONNé (donc, SANS PLUS se projeter dans l’avenir) et l’introduction des probabilités de présence devient OBLIGATOIRE.

 

On n’a donc pas besoin d’être « quantique » pour être « statistique », il suffit d’être COLLECTIF.

 

Sur le plan des collisions, problème étudié notamment par Maxwell dans la dynamique des gaz enfermés dans une boite (le fameux « démon de Maxwell »), on démontre facilement que ce type de système perd TRES RAPIDEMENT la mémoire des collisions passées et donc, des trajectoires individuelles. Là aussi, les probabilités deviennent incontournables.

 

Il ne s’agit donc pas seulement d’une question de PREDICTION, il s’agit aussi (et peut-être même SURTOUT) d’une propriété INHERENTE des systèmes constitués de plus de 2 corps. Autant dire que cela apparaît TRES VITE, au point que le déterminisme pourrait presque être qualifié « d’exceptionnel » voire, une fois de plus, IDEALISTE…

 

Dans le cas classique, la probabilité de présence d’un corps est un nombre P compris entre 0 et 1. P = 0 correspond à l’absence de corps, P = 1 établit la certitude que le corps est présent. ENTRE LES DEUX, ON NE PEUT RIEN AFFIRMER : 0 < P < 1. On estime généralement qu’une probabilité négative est dénuée de sens physique, parce qu’on ne peut pas être « moins probable que totalement improbable ».

 

Dans le cas des systèmes à 2 états, P n’est plus un scalaire, mais un VECTEUR INTERNE à deux composantes P₁ et P₂, ce qui en fait une grandeur ORIENTABLE. Dans B150, nous avons noté deux types d’orientation, l’externe et l’interne. Les grandeurs quantiques scalaires ne sont pas orientables en externe, mais elles le sont en interne. De la sorte, le MELANGE PROBABILISTE :

 

(1)               |P| = e_A(PI)P^A

 

qui constitue L’AMPLITUDE de la probabilité quantique, peut rester positif ou nul, la présence d’une PHASE PI va SIGNER les probabilités P^A :

 

(2)               P^A = e^A(PI)|P|

 

Quelle est l’interprétation physique à apporter à cette nouveauté ? Jusqu’ici, il n’a pas été nécessaire de distinguer entre les différents secteurs angulaires. Considérons de nouveau l’espace pur X^A. Si la phase ksi de l’espace quantique associé est à zéro (« pôle est » sur le cercle unité), nous sommes dans X¹⁺. Si ksi = pi (« pôle ouest »), nous sommes dans X^1-. Idem pour ksi = pi/2 (« pôle nord »), qui correspond à X²⁺ et ksi = 3pi/2 (« pôle sud »), qui correspond à X^2-. En règle générale, les positions quantiques x(ksi) et x(ksi + pi) = -x(ksi) sont en OPPOSITION DE PHASE. Leur amplitude est la même, soit |x|, mais leur orientations INTERNES sont opposées, nonobstant leur orientation externe. Lorsque l’on transpose cela aux probabilités, il s’agit donc de distinguer entre « événements » et « ANTI-événements » : événement et anti-événement sont en OPPOSITION DE PHASE. Il ressort bien de (2) que P¹ comme P² ont même amplitude |P|, 0 =< |P| =< 1. Par contre, si l’on décale la phase PI de pi, on INVERSE LE SIGNE des P^A. Une probabilité négative n’aurait donc pas de sens physique si elle ne se référait pas à un ANTI-événement. Dans ce cas, elle DOIT être comptée négativement, afin de tenir compte de l’orientation INTERNE des espaces quantiques. Cela ne revêt plus d’importance du moment que |P|, la probabilité de MELANGE, reste positive. -1 =< P^A =< 0 ne signifie donc pas qu’un événement est « encore moins probable qu’impossible », mais que L’ANTI-événement a une probabilité d’occurrence 0 =< -P^A =< 1.

 

Soit un événement quantique quelconque. P¹ mesure la probabilité que cet événement se produise dans l’état 1. Si la phase de cet événement est en 1⁺ (soit 0), 0 =< P¹ =< 1. Si elle est en 1^- (soit pi), 0 =< -P¹ =< 1. P² mesure la probabilité d’occurrence de l’événement dans l’état 2. Si la phase est en 2⁺ (soit pi/2), 0 =< P² =< 1. Si la phase est en 2^- (soit 3pi/2), 0 =< -P² =< 1. PARTOUT AILLEURS, i.e. hors de ces 4 pôles, on va trouver un MELANGE de ces deux probabilités « idéales », soit (1) ci-dessus, avec :

 

(3)               (P¹)² + (P²)² = |P|²             dans [0,1]

 

La phase PI de cette probabilité quantique est alors donnée par le rapport de probabilités :

 

(4)               PI = Arctan(P²/P¹) (mod pi)

 

C’est une grandeur qui n’a pas besoin d’être comprise dans un intervalle fermé. Par contre, |P| comme PI (et donc, P¹ comme P²) doivent suivre l’événement auquel elles sont associées. Si donc x = |x|exp(iksi) = x¹ + ix² est un événement quantique quelconque, la probabilité que cet événement se présente est P(x), qui est une fonction COMPLEXE de la variable COMPLEXE x. Du coup, |P| comme PI (et donc, P¹ comme P²) vont se présenter comme des fonctions de |x| et de ksi (ou de x¹ ET de x²) :

 

(5)               P(x) = |P|(|x|,ksi)exp[iPI(|x|,ksi)]

 

Il faut bien se dire que, si l’on introduit des probabilités QUANTIQUES, c’est que même un observateur QUANTIQUE n’est plus certain d’observer l’événement x, pour les raisons invoquées en début d’article. Il n’est donc à même de déterminer, ni |x|, ni ksi avec certitude. Dans le cas plus pratique qui nous intéresse tout particulièrement, un observateur limité à l’état 1 ne peut percevoir au mieux que ce qui est susceptible de se produire dans l’état 1. Donc, même si cet observateur-là sait avec certitude que l’événement x va se réaliser dans l’état 1 sous la forme x¹, IL NE PEUT PLUS AFFIRMER AVEC LA MEME CERTITUDE QU’IL NE VA PAS AUSSI SE REALISER SOUS LA FORME x² DANS L’ETAT 2, PARCE QU’IL N’Y A PAS DIRECTEMENT ACCES. On a là affaire à un MANQUE D’INFORMATION sur l’état quantique de l’événement qui nécessite, là encore, l’usage des probabilités : si on ne connaît que x¹, il est impossible d’en déduire à la fois |x| et ksi ; de même si l’on ne connaît que x². Cela veut dire que, même si l’on s’attend à observer un événement dans l’un des deux états, ON NE PEUT PAS EXCLURE QU’IL NE PUISSE PAS SE REALISER DANS L’AUTRE : la réalité physique, c’est bien le MELANGE D’ETATS PURS, qui inclut automatiquement chaque état séparément. Ainsi, l’observabilité de x sous la forme « pure » x¹ avec la probabilité de réalisation P¹(x¹) n’est pas suffisante pour affirmer que ksi = 0 ni même pi, donc qu’on a affaire à un événement ou un anti-évenement dans l’état 1. PI(|x|,ksi) introduit une DISTORSION DE PHASE. Quant à la proba de MELANGE |P|(|x|,ksi), elle doit bien tenir compte de TOUTES les possibilités. Il faut se dire en fait que, si x¹ (ou x², pour un observateur de l’état 2 n’ayant pas d’accès direct à l’état 1), est susceptible de se réaliser, c’est l’événement QUANTIQUE x qui est susceptible de l’être et avec la probabilité QUANTIQUE P. Par conséquent, x² (resp. x¹) est automatiquement susceptible de se réaliser (ou pas) : (5) nous informe que la probabilité de réalisation de l’événement quantique x dans l’état 1 est P¹(x¹,x²) et P²(x¹,x²) dans l’état 2. Et non P¹(x¹) ou P²(x²) : ces pronostics-là restent PARTIELS… Ils ne prennent pas en compte le caractère QUANTIQUE des choses.

 

Comme |P| et PI sont des grandeurs scalaires, les courbes implicites |P|(|x|,ksi) = |P| = cte et PI(|x|,ksi) = PI = cte vont donner lieu à deux familles de courbes explicites :

 

(6)               ksi = ksi_|P|(|x|)

 

et

 

(7)               ksi = ksi_PI(|x|)

 

dans le « plan événementiel » (|x|,ksi). Ainsi, tout le long de la courbe (6), la proba de mélange restera constante, fixée à une valeur |P|, tandis que, tout le long de la courbe (7), c’est la phase de mélange PI qui restera constante, égale à une valeur PI. Par exemple, |P| = 0, qui correspond à un événement impossible, renvoie à une courbe événementielle ksi = ksi_|P|=0(|x|); |P| = 1, qui correspond à un événement certain, à une courbe ksi = ksi_|P|=1(|x|). Maintenant, |P| = 1 donne P¹ = cos(PI), P² = sin(PI). Donc, à moins que PI ne soit situé sur l’un des quatre pôles, IL N’EST PAS CERTAIN que l’événement quantique se produise dans l’un quelconque des deux états purs. Ce n’est que le MELANGE de ces probabilités d’occurrence dans les deux états purs qui fournit un résultat certain. On est donc bien loin du déterminisme classique, non seulement parce qu’on a affaire à des mélanges généralisés d’états purs, mais parce que la certitude obtenue sur un mélange ne pronostique aucunement de ce qui est susceptible de se produire dans l’un ou l’autre de ces états purs. Il faut vraiment que PI (et non ksi) se situe à l’un des quatre pôles pour que la probabilité de mélange se réduise à la probabilité de réalisation dans l’un ou l’autre des états purs. Et encore, P¹ comme P² seront des fonctions du MELANGE EVENEMENTIEL |x| et non de l’un quelconque de ses états purs.

 

Ceci dit, si l’on étend la formule de Claude Shannon au contexte quantique, la quantité d’information quantique véhiculée par l’événement quantique x vaudra :

 

(8)               I[|x|,ksi] = -k_BLn P[|x|,ksi] = -k_B{Ln |P|[|x|,ksi] + iPI[|x|,ksi]}

 

où k_B est la constante de Boltzmann, en J/K. Il résulte de l’expression ci-dessus un MELANGE D’INFORMATIONS :

 

(9)               |I|[|x|,ksi] = k_B{Ln²|P|[|x|,ksi] + PI²[|x|,ksi]}^1/2 >= 0

 

(de nouveau, s’agissant d’un scalaire, I n’est pas orientable en externe) et une PHASE DE MELANGE,

 

(10)           IOT[|x|,ksi] = Arctan{PI[|x|,ksi]/Ln |P|[|x|,ksi]}                 (mod pi)

 

Il est évident que l’introduction de phases va apporter une information supplémentaire par rapport au classique. Les systèmes quantiques vont donc naturellement renfermer plus d’info que les systèmes classiques. Si l’événement est impossible, |P| = 0 et, le long de ksi = ksi_|P|=0(|x|), la quantité d’info est illimitée, quelle que soit PI : on retrouve le même résultat qu’en classique, moyennant quelques extensions. Par contre, si l’événement est CERTAIN, la théorie classique nous donnait une quantité d’information NULLE, alors que la théorie quantique nous donne :

 

(11)           |P|[|x|,ksi] = 1  =>  |I|[|x|,ksi] = k_B|PI[|x|,ksi]|

 

une quantité d’information PROPORTIONNELLE A LA VALEUR ABSOLUE DE LA PHASE DU MELANGE PROBABILISTE. L’événement quantique, même certain, CONTIENT DONC ENCORE DE L’INFORMATION, sauf au pôle est PI[|x|,ksi] = 0, c’est-à-dire, le long de la courbe ksi = ksi_PI=0(|x|).

 

Pour ce qui est des phases, un dernier aspect que nous n’avons pas abordé jusqu’ici : le choix du SENS DE ROTATION sur le cercle unité. La convention mathématique veut que les angles soient comptés positivement dans le sens trigonométrique et négativement dans le sens direct (sens des aiguilles d’une montre). Comme cos(.) est une fonction PAIRE, cela ne change rien aux premières projections. Par contre, sin(.) est IMPAIRE et le changement de sens INVERSE les secondes projections. Nous n’avions pas à nous en préoccuper plus avant pour les grandeurs déterministes, cependant, l’introduction des probabilités nécessite un éclaircissement. Lorsque nous avons introduit la notion de probabilité négative, nous avons, sans le dire, appliquer le sens trigonométrique.  Il va sans dire que, si nous inversons le sens de rotation, événements et anti-événements vont S’ECHANGER. C’est donc une simple question de CONVENTION : un « événement dans le sens DIRECT » va devenir un « ANTI-événement dans le sens trigo » et un « anti-événement dans le sens direct », un « événement dans le sens trigo ». Cela renforce en fait l’argument que nous avancions, selon lequel le signe des probas de réalisation dans chaque état pur n’a AUCUNE IMPORTANCE, du moment que les probas de MELANGE restent positive. Néanmoins, même si ces dernières apparaissaient, pour une raison ou une autre, négatives, il suffirait d’inverser le sens de rotation sur le cercle unité pour retrouver le « bon » signe (sinon, c’est qu’il y a une erreur de calcul quelque part).

 

Pourquoi tant de précisions ? Parce que, dans les FONCTIONS complexes de variables complexes, les angles sont déterminés modulo pi et que le nombre de tours est un entier RELATIF, donc SIGNé. Rappelons que, contrairement à l’exponentielle réelle, qui est une fonction univaluée (bijective), l’exponentielle complexe est une fonction MULTIvaluée (seulement surjective) : exp[i(ksi + 2npi)] = exp(iksi) pour tout n dans Z, de sorte que Tan[Arctan(.) + npi] = Tan[Arctan(.)]. Si donc, on regarde (10), on va trouver une infinité dénombrable de IOT[|x|,ksi] dans les DEUX sens de rotation, ce qui va induire un arbitraire sur le signe de I²[|x|,ksi]. Or, dans la théorie classique, l’information était présentée comme une quantité NON NEGATIVE. Dans le cas quantique, il est désormais possible de trouver des I¹ comme des I² des DEUX signes. Là encore, ça n’a pas d’importance, du moment que |I| reste positive ou nulle. Toutefois, dans le cas |P| = 1 d’un événement quantique certain, la formule (10) aboutit à :

 

(12)           |P| = 1  =>  ksi = ksi_|P|=1(|x|)  =>  IOT_n(|x|) = pi/2 + npi  ,  n dans Z

 

de sorte qu’en combinant (8) et (10), on obtient

 

(13)           I²(|x|) = |I|(|x|)sin[IOT_n(|x|)] = -k_BPI(|x|)

 

Si cette quantité est positive, pas de problème. Mais alors, PI(|x|) est NEGATIF, c’est-à-dire que l’on tourne dans le sens DIRECT dans le plan des probabilités. Pourquoi ? Parce que nous avons conservé le signe « -«  devant k_B de manière à le retrouver dans le cas classique. Si I²(|x|) > 0, cela signifie donc que l’on est, soit dans le secteur I, soit dans le secteur II du plan des INFORMATIONS et que la convention à adopter dans le plan des probas est le sens direct. Si I²(|x|) < 0, on est, soit dans le secteur III, soit dans le secteur IV du plan des informations et la convention à adopter dans le plan des probas est le sens trigo. Il est tout à fait possible de parler « d’anti-information » mais, ne se référant pas automatiquement à un anti-événement [il suffit de regarder (12) pour s’en convaincre : ksi ne se limite pas à pi, loin s’en faut], ça ne me semble plus aussi approprié que pour les probas. Il me parait préférable de jouer sur les CONVENTIONS DE SIGNES pour retrouver des quantités positives : événements comme anti-événements présentent de L’INFORMATION, pas de « l’anti-information », cela n’a plus beaucoup de sens physique.

 

Nous retrouverons d’ailleurs cet argumentaire dans la bidouille suivante à propos de l’entropie des systèmes quantiques. Il était donc nécessaire de bien fouiller l’interprétation physique à donner à ces quantités désormais signées.

 

Terminons cette bidouille-ci avec la FONCTION DE DISTRIBUTION ou « densité de proba dans l’espace des phases » d’un système physique. En classique, si X est un espace de configuration (incluant donc l’espace physique) de dimension D et T*X son espace des phases, la fonction de distribution est un champ scalaire p(x,q) mesuré en m^-D, où q représente ici le vecteur impulsion du système. En quantique, tout est complexifié, de sorte qu’on trouve une amplitude de densité de probabilité et une phase :

 

(14)           p(x,q) = |p|(|x|,ksi,|q|,thê)exp[ipi(|x|,ksi,|q|,thê)]

 

On voit immédiatement le rapport avec la fonction d’onde de Schrödinger en prenant la racine carrée de p(x,q) : ici aussi, |p| est le carré du module de cette fonction. Avec une amélioration, toutefois : la description proposée SANS DEMONSTRATION par Schrödinger ne tenait compte que de l’espace PHYSIQUE. Ici, nous sommes automatiquement dans l’espace DES PHASES.

 

Le calcul des valeurs moyennes va maintenant conduire à des intégrales oscillantes. Soit F(x,q) une fonction sur T*X, sa moyenne statistique sera :

 

(15)           <F(x,q)> = [S F(x,q)p(x,q)d^Dxd^Dq]/[S p(x,q)d^Dxd^Dq]

 

L’intégration peut s’effectuer, soit de manière étendue sur tout l’espace des phases, soit seulement sur un volume délimité de celui-ci. En classique, on avait la condition de normalisation S_T*X p(x,q)d^dxd^dq = 1. En quantique, seule L’AMPLITUDE |p| est normalisable :

 

(16)           S_T*X |p|(|x|,ksi,|q|,thê)d^d|x|d^d|q|dksidthê = 1

 

De toute façon, p(x,q) est bornée par cette amplitude :

 

|S_T*X p(x,q)d^Dxd^Dq| =< S_T*X |p(x,q)d^Dxd^Dq| = S_T*X |p|(|x|,ksi,|q|,thê)d^d|x|d^d|q|dksidthê

 

En vertu de (16), on a donc toujours :

 

(17)           |S_T*X p(x,q)d^Dxd^Dq| =< 1

 

Il est donc préférable de laisser le dénominateur dans (15). D’abord, parce que la moyenne ainsi obtenue est évidemment complexe (on est quantique…) ; ensuite, parce que l’amplitude de cette moyenne :

 

|<F(x,q)>| = |S F(x,q)p(x,q)d^Dxd^Dq|/|S p(x,q)d^Dxd^Dq|

 

et, d’après (17),

 

(18)           |<F(x,q)>| >= |S F(x,q)p(x,q)d^Dxd^Dq|

 

L’EGALITE NE SE PRODUISANT EN GENERAL QUE DANS LE CAS CLASSIQUE. Il faut donc s’attendre à ce que les moyennes quantiques soient généralement SUPERIEURES (en amplitude) aux moyennes classiques.

 

On obtient des résultats semblables pour les moyennes d’ordres supérieurs de Fⁿ(x,q) ou « moments statistiques d’ordre n » de F(x,q), ou bien de produits (convolutifs) de fonctions.

 

En mécanique ondulatoire, les états de polarisation complètement définie sont appelés « états purs ». Dans la réalité quotidienne, les choses s’observent rarement à l’état pur tout au long de leur existence, qu’il s’agisse de matière inerte ou vivante : tout n’est jamais « 100% positif » ou « 100% négatif », « droit » ou « gauche »,… on assiste plutôt à des MELANGES. C’est ce que semblent traduire les formules de décomposition de la bidouille précédente : on pourrait croire que les choses sont créées « en double ». Elles sont plutôt réalisées comme des ETATS MELANGéS. Pour assurer sa stabilité, par exemple, la matière ne peut se trouver dans un état de charge électrique complètement défini, positif ou négatif. Il doit, au contraire, s’établir un équilibre des charges de manière à ce que l’ensemble soit globalement neutre. Même les plasmas, qui sont des fluides parcourus par des courants électriquement chargés, sont globalement neutres. Les observations à toutes les échelles ne vont donc pas dans le sens d’objets physiques créés « en double » mais, au contraire, comme « mélanges simples » de deux états « idéaux ».

 

Dès lors, ce qui nous intéresse vraiment, ce n’est pas tant de connaître l’évolution des systèmes physiques dans CHACUN des états purs que comme MELANGES. A force de « décortiquer » les mécanismes de base du quantique, nous avons été amenés à conclure que le quantique est un MELANGE DE 2 ETATS « PURS », DE TYPE « CORPUSCULAIRE » OU « CLASSIQUE » et que les effets « ondulatoires » résultent en fait du REGROUPEMENT DE CES 2 ETATS. Et ceci s’applique A TOUT. Si on prend l’espace physique 3D, on a 2 états « purs », 2 « espaces idéaux » X₁ et X₂ et l’espace « effectif », celui qui est effectivement réalisé dans la Nature et un MELANGE de ces deux « cas extrêmes » :

 

(1)               |X| = e_A(ksi)X^A

 

où la somme contractée est directe, au sens de la théorie des ensembles, c’est-à-dire que les états purs sont supplémentaires. On a vu que, de là, on tirait chaque état pur comme le produit (d’échelle) de « l’espace de mélange » |X| par le « coefficient de mélange » correspondant :

 

(2)               X^A = e^A(ksi)|X|

 

et, finalement, que ce que l’on appelait l’espace « quantique » associé était la somme directe complexifiée :

 

(3)               X = |X|exp(iksi) = X¹ + iX² = [e₁(ksi) + ie₂(ksi)]|X|

 

ce qui ne revient qu’à transformer les distances dans |X| par un coefficient d’échelle OSCILLANT exp(iksi) = e₁(ksi) + ie₂(ksi).

 

On ne peut guère décomposer plus… On ne peut qu’ajouter que le « quantique » est en correspondance biunivoque avec les systèmes à 2 états purs et que le « classique » est précisément L’UN OU L’AUTRE DE CES « ETATS PURS ».

 

La physique « classique » était donc IDEALISTE ; la physique « quantique » est plus REALISTE. Néanmoins, la réalité physique semble plutôt être le MELANGE DE DEUX ETATS IDEALISTES.

 

On pourrait donc passer un peu de temps à développer une théorie dynamique des systèmes à deux états mais à quoi bon, en fin de compte, puisque cela ne TRADUIT PAS LA REALITE ? Il vaut bien mieux, à mon sens, comprendre l’évolution des systèmes QUANTIQUES, qui nous donnent les informations, à la fois sur « l’externe » (dans l’exemple ci-dessus, l’amplitude |X| de l’espace quantique X) et sur « l’interne » [le facteur d’échelle oscillant exp(iksi) associé à cet espace] et de chercher par la suite à comprendre pourquoi et comment cette dynamique est « filtrée » pour ne faire apparaître et percevoir que l’état « 1 » ou, au mieux, DEFORMEE, de manière à faire croire à une « dualité corpusculaire / ondulatoire », alors même que le concept « d’onde », on l’a vu dans les bidouilles précédentes, EST DEJA ET PUREMENT QUANTIQUE.

 

Autrement dit, on observait du quantique SANS LE SAVOIR et, une fois que nos instruments nous ont permis de détecter le quantique, EH BIEN, ON N’A PAS SU FAIRE LE RAPPROCHEMENT… :| On n’a pas sur faire le rapprochement, parce que les phénomènes constatées à l’échelle atomique et en deçà ne semblaient pas se reproduire à titre individuel aux échelles supérieures. On a donc invoqué la petitesse de h pour expliquer cela. Sauf qu’en fin de compte, h n’est qu’une ACTION, qui n’a RIEN DE « QUANTIQUE », ni au sens de Planck, ni au sens de de Broglie. Cette « explication » me parait donc manquer un peu d’argumentaire solide… En fait, on a expliqué « comme on pouvait »… pour, ensuite, ne tomber que sur des « paradoxes », des comportements « contradictoires », qu’on a fini par ACCEPTER TELS QUELS, parce qu’on ne parvenait pas à les comprendre…

 

Sans doute, parce que la LOGIQUE CARTESIENNE est ancrée bien trop profondément dans nos sociétés occidentales et que cette logique, dichotomique, ne fait, après tout, que DECOMPOSER LES CHOSES ET LES RAISONNEMENTS EN DEUX « ETATS PURS », IDEAUX… :). La logique cartésienne est « FILTRANTE », c’est du « tout-ou-rien ». C’était donc, soit « corpusculaire », soit « ondulatoire », mais certainement pas « tantôt l’un, tantôt l’autre » et encore moins « les 2 à la fois ».

 

Quand nous disons aujourd’hui que les choses sont réalisées comme des MELANGES, on n’est plus cartésien du tout, on n’est plus « BINAIRE », on devient PROPORTIONNEL.  Et là, comme par hasard, on se rend compte que le « quantique » n’a plus rien de paradoxal ni de contradictoire, que c’était plutôt le CARTESIANISME qui l’était, en DICTANT de manière un peu trop contraignante, en DECRETANT, sur la foi d’observations de l’époque, que les choses étaient conçues « soit sous telle forme, soit sous telle autre » A L’EXCLUSION DE TOUT « MELANGE DE GENRES »… :|

 

La logique cartésienne était EXCLUSIVE, la logique quantique ou 2 états est INCLUSIVE.

 

Et, sur un plan beaucoup plus SOCIAL, qui paraît à première vue bien loin des principes de physique fondamentale, je pense que c’est aussi et peut-être surtout pour cela que les sociétés INCLUSIVES semblent en telle « opposition de phase » avec les sociétés EXCLUSIVES, basées sur le raisonnement cartésien. Pourquoi les COMPORTEMENTS des sociétés inclusives paraissent si PARADOXAUX et CONTRADICTOIRES avec les principes des sociétés exclusives.

 

La culture occidentale, par exemple, c’est d’affirmer que, chez l’humain, IL NE PEUT EXISTER BIOLOGIQUEMENT QUE 2 SEXES, le « mâle » et la « femelle ». Et donc, que L’HERMAPHRODISME ne peut que résulter d’une PERTURBATION quelconque, génétique ou psychologique. On POLARISE : « mâle OU EXCLUSIF femelle ». Et on EDUQUE les gens comme cela, dès la naissance, c’est une croyance qui se transmet de génération en génération, en ajoutant que tout « mélange » est NOCIF A LA REPRODUCTION DE L’ESPECE, ce qui explique le REJET SYSTEMATIQUE DE L’HOMOSEXUALITE.

 

Les cultures chamaniques, au contraire, ont TOUJOURS INCLUS l’hermaphrodisme dans leurs sociétés. Et elles les qualifient de « DEUX ESPRITS » : MELANGE ! :) Le mélange est autorisé, toléré, est traité de la même manière que « l’état pur ». Il n’est pas taxé « D’IMPUR »…

 

La culture juive aussi, inclut l’homosexualité (mais pas l’orthodoxie juive). C’est sans doute la seule culture occidentale qui l’admette sans que cela amène à polémique.

 

Ces deux approches sont clairement EN CONTRADICTION. D’où CHOC DES CULTURES.

 

Vous voyez bien que le « quantique » S’APPLIQUE A TOUT… Il n’y a pas de « dualisme » : le dualisme est engendré par le CARTESIANISME. Si on ne SEPARAIT PAS systématiquement tout, par « principe », on n’aurait sans doute moins de difficultés à comprendre les REGROUPEMENTS…

 

Il n’est pas question de faire le procès de l’approche cartésienne, seulement de reconnaître que cette approche est REDUCTIVE PAR PRINCIPE. Qu’elle EXCLUT TOUTE POSSIBILITE DE SITUATION « INTERMEDIAIRE ». En théorie des ondes, tout mélange d’états de polarisation « purs » est considéré comme « impur » : ça ne figure dans aucun manuel, naturellement, néanmoins, on parle très souvent d’état « NON » ou « PARTIELLEMENT » polarisés… une manière « diplomatico-scientifique » de dire la même chose, partant du principe (cartésien là encore !) que tout ce qui n’est pas vu comme pur est forcément impur… :)

 

Continuons donc à être « IMPURISTES » car c’est cela qui devrait répondre à nos attentes.

 

Schrödinger se posait la question du chat « à la fois vivant et mort »… : comment pourrait-on être les 2 à la fois ou bien ni l’un ni l’autre ?...

 

Qu’est-ce que le « vivant » ? C’est de l’inerte devenu autonome.

Qu’est-ce que le « mort » ? C’est du vivant REDEVENU INERTE.

Mais inerte pour QUI ? Pour l’observateur CARTESIEN DE L’ETAT 1 (OU 2).

 

Qu’est-ce qui nous autorise à parler de « vie » ou de « mort » dans le cas de « MELANGES EXISTENTIELS » ? Ce découpage perd son sens strict… Tout ce que l’on peut dire, c’est que les systèmes physiques GERENT LEUR ENERGIE et qu’une FORME d’énergie se TRANSFORME en une autre. Quand on parle de « dégradation de l’ énergie », à la base de L’USURE des systèmes, il ne s’agit que de la transformation d’une énergie interne en énergie DE FROTTEMENT qui se « dissipe » PARCE QU’ELLE EST RESTITUEE A L’EXTERIEUR SOUS FORME DE « CHALEUR ». Si vous excluez l’environnement extérieur à un système, l’énergie de ce système se DISSIPE en général. Mais, si vous INCLUEZ l’extérieur, ainsi que TOUTES les formes d’énergie, l’énergie se CONSERVE… le bilan énergétique RESTE NUL… C’est ce que soutenait le Marquis de Lavoisier : « rien ne se crée, rien ne se perd, tout se transforme ». Il avait déjà compris, à mon sens et à sa façon sans doute, que la « thermodynamique » était une discipline INCLUSIVE. On aurait même tendance à dire, aujourd’hui, « holistique » : je ne suis pas trop d’accord avec ça. L’holistique est un TOUT. L’inclusif est différent, il consiste à prendre tous les ASPECTS en compte, de manière NON DISCRIMINATOIRE.

 

A défaut de faire de l’holistique, on va déjà commencer par faire de l’inclusif et on verra bien où ça nous mène. Il faut à présent se tourner vers la thermodynamique et la mécanique statistique. Ce n’est que de là que pourront émerger d’autres réponses.

 

D’après les considérations établies dans la bidouille précédente, nous avons donc, pour tout point x de l’espace X, de coordonnées x^a, et |x| de |X|, de coordonnées |x|^a :

 

(1)               |x|^a = x^Aae_A(ksi)  ,  x^Aa = |x|^ae^A(ksi)             [a = 1,…, dim(|X|)]

(2)               x^a = |x|^aexp(iksi) = |x|^a[e₁(ksi) + ie₂(ksi)]

(3)               tan(ksi) = x^2ax¹_a/||x¹||² = e₂(ksi)/e₁(ksi)

 

L’espace |X| restant orientable en externe, les coordonnées |x|^a sont des quantités SIGNEES. En interne, par contre, la signature est portée par les e_A(.). Il ressort clairement des développements ci-dessus que CHAQUE coordonnée EXTERNE |x|^a apparaît généralement sous la forme d’un MELANGE D’ETATS POLARISéS x^Aa. Les e_A(ksi) jouent le rôle de « coefficients de mélange ». Lorsque ksi = 0 ou pi, |x|^a est entièrement polarisé dans l’état 1 : pour ksi = 0, |x|^a = x^1a et, pour ksi = pi, |x|^a = -x^1a est simplement en OPPOSITION DE PHASE. Pour ksi = pi/2 (resp. 3pi/2), |x|^a est entièrement polarisé dans l’état 2 et les deux états |x|^a = x^2a et |x|^a = -x^2a sont en opposition de phase.

 

Ensuite, on voit on ne peut plus explicitement dans (2) le lien direct qu’il y a entre espace REEL |X| et espace COMPLEXE X et donc, de quelle manière le « quantique » se construit à partir du « classique » : on passe d’abord d’un espace à 1 seul état de polarisation e₁(ksi) = +/-1 pour tout ksi en vertu de la condition d’unitarité e₁²(ksi) = 1 à un espace A MEME NOMBRE DE DIMENSIONS EXTERNES, mais deux états de polarisation ; « l’angle de mélange » ksi est alors donné par le rapport des deux états, à pi près. Muni de ces trois données, x^1a, x^2a et ksi, on construit la coordonnée « quantique » x^a sans équivoque. L’espace « quantique » ainsi construit SEMBLE doubler de dimensions physiques : dim_R(X) = 2dim_R(|X|). En réalité, il n’en est rien : ce doublement apparent de dimensions réelles ne fait qu’indiquer le fait que l’espace physique présente 2 états de polarisation et non un seul, comme le prévoyait l’approche classique.

 

Il devient alors possible de se ramener à une géométrie REELLE et à une description « classique élargie » en remplaçant toutes les grandeurs physiques classiques par des mélanges de deux états complètement polarisés. C’est bien pratique, néanmoins, pour conserver le lien avec le quantique, il faut quand même pouvoir expliciter les angles de mélange, ce qui n’est pas toujours facile, comme on le verra un peu plus bas, avec la dérivation de fonctions.

 

Pour le moment, une aire |x|^a|x|^b avec a < b va se développer en :

 

(4)               |x|^a|x|^b = x^Aax^Bbe_A(ksi)e_B(ksi)

    = x^1ax^1bcos²(ksi) + (x^1ax^2b + x^2ax^1b)cos(ksi)sin(ksi) + x^2ax^2bsin²(ksi)

    = ½ [1 + e₂(2ksi) + e₁(2ksi)]x^1ax^1b + ½ [1 + e₂(2ksi) - e₁(2ksi)]x^2ax^2b

 

On voit que l’on a trois contributions au lieu d’une seul, comme précédemment. Pour ksi = 0, pi, on retombe sur |x|^a|x|^b = x^1ax^1b mais, pour ksi = pi/2, 3pi/2, on tombe sur |x|^a|x|^b = x^2ax^2b. Pour ksi = pi/4, on trouve ½ (x^1a + x^2a)(x^1b + x^2b) et pour ksi = 3pi/4, ½ (x^1a - x^2a)(x^1b - x^2b). L’aire |x|^a|x|^b connecte donc les aires dans chaque état et permet même une infinité non dénombrable de combinaisons possibles entre ces deux états, grâce au degré de liberté offert par l’angle continu de phase. Tout ceci est « dissimulé » dans |x|^a|x|^b et on serait loin de le soupçonner si l’analyse du quantique ne nous avait pas fait prendre conscience de l’existence du second état. Inversement, on trouve 4 aires complètement polarisées :

 

(5)               x^Aax^Bb = e^A(ksi)e^B(ksi)|x|^a|x|^b

 

Ainsi, lorsque l’on effectue le mélange (4), on DEGENERE le système des aires polarisées et on aboutit fatalement à une aire DEPOLARISEE ; par contre, quand on inverse le procédé, grâce à l’inversibilité des e_A(.), on LEVE LA DEGENERESCENCE SUR LES ETATS DE POLARISATION et on POLARISE l’aire de départ. Comme il y a 2 polarisations pour chaque direction de l’espace, on va aboutir à 4 possibilités pour une aire spatiale : c’est ce qu’exprime (5).

 

Le lien avec l’aire quantique a^ab = x^ax^b est le suivant :

 

a^ab = (x₁^a + ix₂^a)(x₁^b + ix₂^b) = (s₁^AB + is₂^AB)x_A^ax_B^b

a_C^ab = s_C^ABx_A^ax_B^b = a_C^ba = s_C^ABe_A(ksi)e_B(ksi)|a|^ab = e_C(2ksi)|a|^ab

|a|^ab = |x|^a|x|^b

 

On vérifie en effet facilement les propriétés linéarisantes suivantes, bien utiles, pour un même angle de phase :

 

(6)               s_C^ABe_A(ksi)e_B(ksi) = e_C(2ksi)

(7)               s_E^CDs_D^ABe_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi) = e_E(3ksi)

 

etc. tandis que la contraction par s_C+2 donne un résultat BINAIRE,

 

(8)               s₃^ABe_A(ksi)e_B(ksi) = 1  ,  s₄^ABe_A(ksi)e_B(ksi) = 0

 

le premier, en vertu de la condition d’unitarité ; le second, par antisymétrie.

 

Pour un volume |x|¹|x|²|x|³, même principe :

 

(9)               |x|¹|x|²|x|³ = x^Aax^Bbx^Cce_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi)

(10)           x^Aax^Bbx^Cc = e^A(ksi)e^B(ksi)e^C(ksi)|x|¹|x|²|x|³

 

On trouve un seul volume dépolarisé, mélange de HUIT volumes polarisés. Tous calculs faits :

 

(11)           x¹x²x³ = ¼ {[3e₁(ksi) + e₂(3ksi) + e₂(ksi) + e₁(3ksi)]x₁¹x₁²x₁³ +

+ [e₁(ksi) + e₂(3ksi) + e₂(ksi) - e₁(3ksi)]x₂¹x₂²x₁³ +

+ [e₂(ksi) + e₁(ksi) - e₁(3ksi) + e₂(3ksi)]x₁¹x₁²x₂³ +

+ [3e₂(ksi) + e₁(ksi) - e₁(3ksi) - e₂(3ksi)]x₂¹x₂²x₂³}

 

le lien avec le volume quantique V = x¹x²x³ étant,

 

V = a¹²x³ = (s₁^CD + is₂^CD)s_D^ABx_A¹x_B²x_C³

V_E = s_E^CDs_D^ABx_A¹x_B²x_C³ = s_E^CDs_D^ABe_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi)|V| = e_E(3ksi)|V|

|V| = |x|¹|x|²|x|³

 

Les formules établies ci-dessus, à l’exception de (6-8), ne valent évidemment que pour des aires et des volumes PLANS. Dans le cas d’aires et de volumes quelconques, il faut passer par les différentielles qui, elles, sont planes, par définition même :

 

d|x|^a = d[x^Aae_A(ksi)] = e_A(ksi)dx^Aa + [e₁(ksi)x^2a - e₂(ksi)x^1a]dksi

 

Comme le second terme s’annule identiquement,

 

(12)           d|x|^a = e_A(ksi)dx^Aa

 

Tout se passe donc comme si ksi restait constant. C’est ce qui fait la différence avec la différentielle quantique, dans laquelle le coefficient de la variation dksi de l’angle de phase ne s’annule plus :

 

dx^a = d[|x|^aexp(iksi)] = exp(iksi)[d|x|^a + i|x|^adksi]

dx^1a = e₁(ksi)d|x|^a - e₂(ksi)|x|^adksi

dx^2a = e₂(ksi)d|x|^a + e₁(ksi)|x|^adksi

 

Ceci conduit en fait à un 2-TENSEUR INTERNE de composantes :

 

(13)           e₁(ksi)dx^1a = ½ [1 + e₁(2ksi)]d|x|^a - ½ e₂(2ksi)|x|^adksi

(14)           e₁(ksi)dx^2a = ½ e₂(2ksi)d|x|^a + ½ [1 + e₁(2ksi)]|x|^adksi

(15)           e₂(ksi)dx^1a = ½ e₂(2ksi)d|x|^a - ½ [1 - e₁(2ksi)]|x|^adksi

(16)           e₂(ksi)dx^2a = ½ [1 - e₁(2ksi)]d|x|^a + ½ e₂(2ksi)|x|^adksi

 

dont seule la TRACE redonne (12). S’agissant d’un PRODUIT e_A(ksi)dx^Ba, le déterminant de ce tenseur est nul pour chaque a : le tenseur n’est donc pas inversible. Quant à sa norme, elle ne donne ni plus ni moins que le module de dx^a :

 

(17)           |dx^a| = [(d|x|^a)² + (|x|^adksi)²]^1/2        pour chaque a

 

On va donc trouver des aires et des volumes élémentaires :

 

(18)           |da|^ab = e_A(ksi)e_B(ksi)dx^Aadx^Bb                               (a < b)

(19)           |dV| = e_A(ksi)e_B(ksi)e_C(ksi)dx^Aadx^Bbdx^Cc

 

Notez que |da|^ab est différent de d|a|^ab et dV, de d|V| : l’aire (resp. le volume) infinitésimal(e) ne sont pas la différentielle de l’aire (resp. du volume). C’est normal : la différentiation est une opération linéarisante. Du développement de la différentielle quantique ci-dessus, on tire :

 

(20)           dksi = |x|^as₄^ABe_A(ksi)dx_Ba/|||x|||²  ,  |||x|||² = |x|^b|x|_b

 

qui permet de déterminer, par intégration, l’angle de phase ksi connaissant les états de position x^Aa, dans leur voisinage immédiat. Munis de tous ces résultats, on peut étendre les formules de densité au mélange d’états. Par exemple, la masse totale M d’un corps classique de volume V et de forme quelconque (déterminée par l’équation de sa surface) s’exprime comme l’intégrale volumique M = SSS_V m(x)dV. Dans le cas de 2 états, il faut partir de la formule quantique :

 

(21)           M = |M|exp(iMU)

    = SSS_|V|S_ksi |m|(|x|,ksi)exp{i[mu(|x|,ksi) + 3delksi(|x|,ksi)}|dV|

 

parce que l’intégration génère à présent des superpositions ondulatoires en continu et donc, des INTERFERENCES. On voit d’ailleurs bien les DISTORTIONS ANGULAIRES provoquées, d’abord par la localisation [de ksi à delksi(|x|,ksi)], ensuite par l’intégration [de mu(|x|,ksi) à MU]. Le MELANGE DE MASSES |M| va, de ce fait, résulter de deux contributions :

 

(22)           |M|² = SSS_|V|S_ksi |m|²(|x|,ksi)|dV|² + INTERFERENCES

 

où le terme « interférences » regroupe les contributions sommées en tous les points x et x’ DIFFERENTS du volume V du corps. On n’est donc plus linéaire, mais quadratique.

 

Einstein disait que c’était difficile de s’extirper d’un mode de pensée pour passer à un autre, mais c’est vrai : même si les choses vous crèvent les yeux, vous passez à côté !

 

Dans B 150, j’ai parlé « d’orientation interne », associée au groupe unitaire U(1). Cette « orientation interne » n’est autre qu’une POLARISATION… Autrement dit, partant d’un espace NON POLARISé |X| (mais qui possède encore une orientation « externe », propre à lui), on obtient un espace POLARISé X en multipliant |X| par un FACTEUR D’ECHELLE OSCILLANT exp(iksi) :

 

(1)               X := |X|exp(iksi) = |X|cos(ksi) + i|X|sin(ksi) = X₁ + iX₂  ,  ksi dans |0,2pi[

 

Le symbole « := » signifie que X est DEFINI comme tel. La 1^ère écriture est la « représentation quantique » de X ; la seconde, la « représentation polaire » ; la dernière, la « représentation planaire ». Les facteurs oscillants réels cos(.) et sin(.) sont les deux composantes de la polarisation interne. Ils forment une base orthonormée :

 

(2)               e₁(.) = cos(.)  ,  e₂ = sin(.)  ,  [e₁(.)]² + [e₂(.)]² = 1

 

Les deux « projections » X₁ et X₂ sont donc orthogonales entre elles. X₁ s’interprète comme la « polarisation longitudinale » de X ; X₂, comme la « polarisation latérale » de X. Bien entendu, toutes ces dénominations ne sont que des références à des orientations spatiales « externes » bien connues. Ce qu’il faut retenir c’est, d’une part que :

 

« CLASSIQUE » ET « QUANTIQUE » NE SONT EN FIN DE COMPTE QUE DES REPRESENTATIONS DE LA REALITE PHYSIQUE.

 

Et, d’autre part, que :

 

LES ESPACES « CLASSIQUES » NE SONT PAS POLARISABLES.

LES ESPACES « QUANTIQUES » PRESENTENT DEUX ETATS DE POLARISATION.

 

Il en résulte que :

 

LA REALITE PHYSIQUE PROFONDE N’EST PAS A UN, MAIS A DEUX ETATS.

 

C’est le message que nous a fait parvenir la découverte des « effets quantiques », dans la lumière comme dans la matière atomique.

 

Pourquoi cette réalité n’a-t-elle pas été perçue avant ? Parce que l’extrême petitesse de la constante de Planck ne permettait pas de le révéler à grande échelle, avant que l’on ne découvre, beaucoup plus tard, les « états quantiques cohérents » : laser, supraconductivité, superfluidité.

 

Pourquoi n’a-t-elle pas été saisie ensuite ? Parce que la petitesse des objets étudiés exigeait le développement de techniques spectrométriques et que les propriétés du signal ont orienté le problème de la « mesure quantique » vers le concept de « fonction d’onde » ou « amplitude de probabilité de présence » et ses généralisations à la relativité du temps et que les impératifs technologiques, tant militaires que civils, ont focalisé par la suite la microphysique sur la voie STATISTIQUE. La « double nature onde / corpuscule » des objets « quantiques » était acquises, bien qu’on ne sache pas pourquoi, mais ça fonctionnait bien et il fallait aller de l’avant. On n’a donc pas plus approfondi la question, faute de temps et sans doute, d’intérêts pratiques.

 

Il faut reconnaître en toute honnêteté que les choses en seraient sûrement restées là si l’application de la quantique à la cosmologie n’avaient pas aboutie à de tels écarts entre prévisions théoriques et observations, à la fin du siècle dernier. On a recommencé alors à se poser des questions sur les FONDEMENTS de la théorie des quanta et les difficultés liées à son association avec la relativité généralisée : pourquoi de tels écarts, jamais obtenus jusqu’ici, alors que l’approche statistique semblait si précise ? C’est qu’on avait dû rater quelque chose d’essentiel au passage… faute de temps, faute d’applications concrètes…

 

Le « classique » ne s’avère donc être, en fin de compte, qu’une REPRESENTATION d’une réalité physique réduite à UN SEUL ETAT DE POLARISATION ; le « quantique », une REPRESENTATION d’une réalité physique à DEUX ETATS DE POLARISATION.

 

DES LORS, ON COMPREND BEAUCOUP PLUS FACILEMENT POURQUOI LES PHENOMENES PHYSIQUES SE PRODUISANT, NON SEULEMENT DANS UN ETAT, MAIS DANS TOUS LES ETATS INTERMEDIAIRES, PEUVENT DEVENIR IMPERCEPTIBLES DANS L’AUTRE ETAT : PARCE QU’ILS SONT « FILTRéS ».

 

On reprend le principe du polariseur. J’ai une… ONDE qui se propage suivant une direction quelconque dans un plan (Oxy) où O est le point origine du dièdre. La direction de cette propagation se fait avec un angle thêta par rapport à l’axe Ox. Si je place un peu plus loin un polariseur ne laissant passer que la composante « longitudinale » de l’onde, je n’obtiendrai en sortie que la contribution en cos(.), tout le reste sera ABSORBé PAR LE POLARISEUR. Si, au contraire, je place un polariseur « latéral », j’obtiendrai la contribution en sin(.) et tout le reste sera absorbé.

 

Les états (1) et (2) sont des états de polarisation DEFINIE.

 

Quelque chose de physique polarise donc les espaces. On peut toujours invoquer le vide dans le cas de l’espace physique 3D mais je soupçonne plutôt très fortement notre CERVEAU et nos ORGANES SENSORIELS : quel que soit l’instrument utilisé pour détecter, mesurer, analyser, à l’arrivée, les données sont captées par nos organes et traitées par notre cerveau.

 

C’est donc notre propre cerveau qui décide de la réalité physique que nous percevons. Et des limitations qu’il convient d’y apporter.

 

Et j’irais même jusqu’à penser que c’est le cerveau HUMAIN, parce que toutes les espèces animales ne perçoivent pas la même réalité que nous…

 

Pas forcément une perte de temps, la lecture de cette bidouille, où je vais parler de la REGULARISATION DES NOYAUX NEWTONIENS.

 

L’équation de Laplace en dimension entière d > 2 et géométrie euclidienne :

 

(1)               D² = 0  ,  D² = d²/dx^adx_a                (x^a dans R)

 

admet pour solution COMPLETE le « noyau intégral »,

 

(2)               f(x) = ½ A_abx^ax^b + B_ax^a + C + 2Re[S_R c(k)exp(ikx)d^dk] + K/||x||^d-2

(3)               ||x||² = x^ax_a  ;  ||k||² = k^ak_a = 0  ;  A_a^a = 0

 

avec A_ab, B_a, C et K des constantes réelles. Toutes les contributions convergent en x = 0, sauf la dernière, la newtonienne, qui diverge en loi de puissance. Ce comportement bien connu est nommé « singularité essentielle » en mathématiques, parce qu’il n’y a aucun moyen de le supprimer. La conséquence est qu’en physique, la théorie générale des champs NE SAIT PAS décrire le comportement des champs près de l’origine, i.e. au centre de gravité même d’une source considérée comme « ponctuelle ». Il y a quelque part une contradiction (de plus ?...) car les équations de champs AVEC SOURCE sont censées décrire le champ A L’INTERIEUR DE CETTE SOURCE… sauf en son cdg… :| Or, pour des corps « rigides », la description newtonienne consiste JUSTEMENT à ramener la dynamique au cdg du corps. Nous allons donc procéder à une REGULARISATION de ce potentiel newtonien. Pour ce faire, nous partons de l’équation du potentiel en dimension d :

 

(4)               D_x²f(x) = s(x)

 

dont la solution newtonienne est,

 

(5)               f(x) = S_Rd-{x} s(x’)d^dx’/||x - x’||^d-2

 

En raison de la divergence du noyau en x = x’, on est obligé « d’épointer » l’intégrale volumique en supprimant le point d’observation {x} même. Introduisons d paramètres k_a et étendons un peu source et champ en des fonctions des x^a et des k_a et posons que :

 

(6)               S(x,k) = D_k²s(x,k)

 

Nous trouvons cette fois :

 

(7)               s(x,k) = S_Rd-{k} S(x,k’)d^dk’/||k - k’||^d-2

 

En reportant cette expression dans (5) étendue, on obtient :

 

(8)               f(x,k) = S_R2d S(x’,k’)d^dk’d^dx’/(||k - k’||||x - x’||)^d-2

 

Si l’on IMPOSE, à présent que le produit ||k||||x|| reste FINI ET NON NUL QUELS QUE SOIENT x^a et k_a, on n’a plus besoin d’épointer les intégrales en x et en k car, pour x’ = x, c’est l’écart k - k’ qui va DIVERGER EN NORME et, pour k’ = k, c’est l’écart x - x’ qui va diverger en norme ; dans les deux cas de figure, de manière à MAINTENIR LE PRODUIT ||k - k’||||x - x’|| FINI ET NON NUL. C’est exactement ce que nous démontre la théorie mathématique du signal : qu’il est impossible de localiser avec une précision absolue A LA FOIS la position dans l’espace et le vecteur d’onde. C’est SIMILAIRE à Heisenberg, à la différence que le principe d’incertitude d’Heisenberg porte plutôt sur la TRACE k_ax^a >= 2pi. Ici, ce sont les NORMES qui sont impliquées. Il n’empêche : les divergences newtoniennes sont bel et bien ELIMINEES et le champ S a les mêmes unités physiques que le champ f.

 

On serait tenté (et je l’ai été dans la version précédente de cette bidouille) de passer de l’espace ambiant des x^a à l’espace des phases des (x^a,k_a). Après approfondissent, il s’avère que le résultat n’est pas concluant, pour plusieurs raisons.

 

D’abord, si X désigne l’espace ambiant des x^a, alors K, l’espace des k_a, est attendu comme le dual de Laplace, Fourier ou Mellin (les 2) de X. Or, D_k² N’EST PAS le transformé de D_x². Il est toujours possible de construire les extensions f(x,k), etc. par convolution à partir de f(x,0), mais on a des difficultés à faire correspondre (4) à (6) d’une quelconque manière, ces transformations rendant ALGEBRIQUES des quantités FONCTIONNELLES.

 

Ensuite : la géométrie… On est euclidien sur X et sur K, mais projectif dans (X,K) = T*X. Donc, au mieux, concilier les deux ferait appel à de l’hermitien, mais alors, en coordonnées x^a et y^a = k^a/||k|| et, pour neutraliser le noyau intégral en 1/||x||^d-2, il faudrait un noyau en ||y||^d-2 qui ne correspond absolument pas à un laplacien dans le cas général. Là encore, ça ne va pas.

 

Mieux vaut RESTER DANS L’ESPACE AMBIANT, introduire un nombre égal de paramètres DIMENSIONNéS et construire un noyau intégral SANS UNITE PHYSIQUE, donc FORCEMENT UNIVERSEL qui gommera les divergences DES DEUX CÔTéS.

 

L’essentiel est que cela fonctionne. Si S(x,k) = S₀d(x)d(k) avec S₀ = cte non nulle, la formule (8) nous donne :

 

(9)               f(x,k) = S₀/(||k||||x||)^d-2

 

et

 

(10)           0 < ||k||||x|| < +oo

 

nous garantit alors que, pour x -> 0, k tend vers l’infini en norme et f(0,oo) reste finie et non nulle. De même, pour k -> 0, x tend vers l’infini en norme et f(oo,0) reste finie et non nulle. Si l’on posait ||k||||x|| = cte, on n’aurait que des champ f(x,k) partout constants. La condition (10), beaucoup plus souple, offre un choix bien plus vaste : celui d’une infinité non dénombrable d’hyperboles de la forme ||k||||x|| = cte.