Revu et corrigé le 08 Août 2020

 

Soit maintenant V un espace(-temps) STANDARD de dimension D. Introduisons un ANGLE DE MELANGE ksi, 0 =< ksi < 2pi, complètement indépendant des points de V. Cette donnée supplémentaire étend V à V x [0,2pi[. Si x est un point de V de coordonnées xⁱ, alors, en introduisant les POLARISATIONS :

 

(1)               e⁽¹⁾ = e₍₁₎ = cos(ksi)  ,  e⁽²⁾ = e₍₂₎ = sin(ksi)

(2)               e_(A)e^(A) = 1                             pour tout ksi

 

on peut construire des COORDONNEES PROJECTIVES,

 

(3)               x^(A)i = e^(A)xⁱ                        (A = 1,2)

 

de POINT DE BASE x qui, une fois appliquées à L’ENSEMBLE des points x de V, va générer des VARIETES PROJECTIVES V^(A), de points x^(A), coordonnées x^(A)i.

 

L’introduction de l’angle de mélange ksi permet ainsi de construire, par projection, un espace(-temps) de dimension D à DEUX états V⁽¹⁾ et V⁽²⁾.

 

Lorsque ksi = 0 ou pi, V⁽¹⁾ coïncide avec V au signe près et V⁽²⁾ se contracte en un point {0}. Au contraire, lorsque ksi = pi/2 ou 3pi/2, c’est V⁽²⁾ qui coïncide avec V (au signe près) et V⁽¹⁾ qui se contracte en un point {0}. On n’a donc même pas besoin d’introduire une orientation sur V, celle-ci est automatiquement générée par les polarisations et ce sont les variétés projectives qui en héritent.

 

En utilisant (2), on peut inverser (3) et faire apparaître V comme un MELANGE D’ETATS :

 

(4)               xⁱ = e_(A)x^(A)i = x⁽¹⁾ⁱcos(ksi) + x⁽²⁾ⁱsin(ksi)

 

ce qui ne rend pas les xⁱ dépendant de l’angle de mélange ksi pour autant, en raison de (2). Cette identité permet d’ailleurs de montrer que la matrice produit e_(A)e^(B), dont le déterminant est automatiquement nul, est PROJECTIVE :

 

(5)               P_(A)^(B) = e_(A)e^(B)  =>  P_(A)^(B)P_(B)^(C) = P_(A)^(C)

 

Puisque ksi est un paramètre continu sur [0,2pi[, les propriétés de cos et sin aboutissent à :

 

(6)               e_(A)de^(A) = e^(A)de_(A) = 0

(7)               e^(A)d/de^(A) = e_(A)d/de_(A) = 0

 

Si nous désignons par J la matrice antisymétrique unité J_(A)(A) = 0, J₍₁₎₍₂₎ = -J₍₂₎₍₁₎ = +1, alors :

 

(8)               J^-1 = -J , J² = -Id , det(J) = +1

 

et il est facile de voir qu’on a, en plus,

 

(9)               de^(A) = J^(A)(B)e_(B)dksi  ,  de_(A) = -J_(A)(B)e^(B)dksi

 

et

 

(10)           d/de^(A) = -J_(A)(B)e^(B)d/dksi  ,  d/de_(A) = J^(A)(B)e_(B)d/dksi

 

Il en résulte que, si :

 

(11)           dx^(A)i = e^(A)dxⁱ + xⁱde^(A) = e_(B)(d^(A)(B)dxⁱ + xⁱJ^(A)(B)dksi)

(12)           dx_(A)ⁱ = e_(A)dxⁱ + xⁱde_(A) = e^(B)(d_(A)(B)dxⁱ - xⁱJ_(A)(B)dksi)

 

et,

 

(13)           d/dx^(A)i = e_(A)d/dxⁱ - k_iJ_(A)(B)e^(B)d/dksi = e^(B)(d_(A)(B)d/dxⁱ - k_iJ_(A)(B)d/dksi)

(14)           d/dx_(A)ⁱ = e^(A)d/dxⁱ + k_iJ^(A)(B)e_(B)d/dksi = e_(B)(d^(A)(B)d/dxⁱ + k_iJ^(A)(B)d/dksi)

 

avec

 

(15)           k_i = 1/xⁱ                 (i = 1,…,D)

 

en revanche,

 

(16)           dxⁱ = e_(A)dx^(A)i = e^(A)dx_(A)ⁱ

(17)           d/dxⁱ = e^(A)d/dx^(A)i = e_(A)d/dx_(A)ⁱ

 

Tous ces résultats vont nous être utiles car, si l’on connaît les variations dxⁱ et d/dxⁱ entre deux points immédiatement voisins de V, on ne connaît pas les variations dksi et d/dksi à partir de la seule donnée de V. Il nous faut donc formuler une hypothèse complémentaire et vérifier si elle s’accorde bien avec le caractère « standard » et « non standard » étudié jusqu’ici. Cette hypothèse complémentaire consiste à dire que le produit cartésien V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ des espaces(-temps) projectifs, qui forme une variété de dimension 2D, est à la fois RIEMANNIEN ET STANDARD.

 

On formule donc l’hypothèse que le Modèle Standard se laisse étendre à la dimension 2D, mais en conservant à l’esprit que l’espace(-temps) PHYSIQUE n’est PAS de dimension 2D, mais de dimension D A DEUX ETATS (au lieu d’un seul).

 

Cela veut dire que la variété produit V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ est PUREMENT ABSTRAITE (un simple espace de calculs) et que la VERITABLE VARIETE PHYSIQUE reste V. Sinon, on rencontre des décalages insolubles dans les unités physiques. Par exemple, en dimension spatiale 3, on ne trouve qu’un seul volume, x¹x²x³, et des densités en m^-3, alors qu’en dimension 6, on trouve C₃⁶ = 6!/3!3! = 20 volumes 3D, 1 seul HYPER-volume de dimension 6, x¹…x⁶, et des densités en m^-6…

 

Quoi qu’il en soit, les projections V^(A) sont CONTRACTABLES JUSQU'A UN POINT PAR SIMPLE EFFET GEOMETRIQUE (une rotation dans le plan des états) : comment des espaces(-temps) PHYSIQUES pourraient-ils correspondre à cela ? Il est clair, au contraire, que les V^(A) sont « INERTIELS », c’est-à-dire qu’ils ne sauraient constituer que des « PSEUDO-ESPACES(-TEMPS) » : un véritable espace(-temps) physique ne peut s’éliminer par aucune transformation géométrique, quelle qu’elle soit…

 

Pour éviter ces inconvénients, qui ne correspondent d’ailleurs PAS à la réalité (le passage du « classique » au « quantique » préserve les systèmes d’unités), on va transférer les ingrédients de la géométrie riemannienne à V⁽¹⁾ x V⁽²⁾, introduire des indices I,J,K,… à 2D dimensions, identifier chaque indice à une PAIRE (A)i, (B)j, (C)k,… polarisée et on obtiendra les comportements supplémentaires recherchés. On vérifiera ensuite si les résultats sont conformes ou pas avec l’extension du Modèle Standard au « non standard » en dimension D.

 

Les équations de champ pour une v.r. standard de dimension 2D sont (B166, 169 et 170) :

 

(18)           R_IK = (8pi k/c⁴)[T_IK - Tg⁽⁰⁾_IK/2(D - 1)]

(19)           R = -8pi kT/c⁴(D - 1)

(20)           T_IJKL = (T_IKg⁽⁰⁾_JL - T_JKg⁽⁰⁾_IL + T_JLg⁽⁰⁾_IK - T_ILg⁽⁰⁾_JK)/2(D - 1) -

      - T(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/2(D - 1)(2D - 1)

(21)           R_IJKL = (R_IKg⁽⁰⁾_JL - R_JKg⁽⁰⁾_IL + R_JLg⁽⁰⁾_IK - R_ILg⁽⁰⁾_JK)/2(D - 1) -

      - R(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/2(D - 1)(2D - 1) =

   = (8pi k/c⁴)[T_IJKL - T(g⁽⁰⁾_IKg⁽⁰⁾_JL - g⁽⁰⁾_JKg⁽⁰⁾_IL)/(D - 1)(2D - 1)]

(22)           e^K_I = exp(½ S_V(1)xV(2)S_V(1)xV(2) R_IJ^K_Ldx^Jdx^L)

 

Le lien entre les composantes 2D-dimensionnelles et les composantes D-dimensionnelles est simple. Pour un champ vectoriel, il s’agit d’une généralisation de (3) et (4) :

 

(23)           Fⁱ(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i(x,ksi)

(24)           F^(A)i(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)Fⁱ(x,ksi)

(25)           e_F,(1)(x,ksi) = e_F⁽¹⁾(x,ksi) = cos[PHI(x,ksi)]

(26)           e_F,(2)(x,ksi) = e_F⁽²⁾(x,ksi) = sin[PHI(x,ksi)]

(27)           e_F,(A)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi) = 1              pour tout (x,ksi)

 

avec l’identification F^(A)i = F^I, où e_F est le vecteur polarisation associé à Fⁱ. Pour un champ de 2-tenseurs contravariants, c’est :

 

(28)           F^ij(x,ksi) = e_F,(B)(x,ksi)e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i(B)j(x,ksi)

(29)           F^(A)i(B)j(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)e_F^(B)(x,ksi)F^ij(x,ksi)

 

Les produits e_F,(B)e_F,(A) et e_F^(A)e_F^(B) sont symétriques. Néanmoins, F^(A)i(B)j s’identifie à F^IJ et les parties symétrique et antisymétrique de ce dernier sont :

 

F₊^IJ = ½ (F^IJ + F^JI)  =>  F₊^(A)i(B)j = ½ (F^(A)i(B)j + F^(B)j(A)i) = F₊^(B)j(A)i

F_-^IJ = ½ (F^IJ - F^JI)  =>  F_-^(A)i(B)j = ½ (F^(A)i(B)j - F^(B)j(A)i) = -F_-^(B)j(A)i

 

On remarque cependant que :

 

F^ij NON symétrique en dim D  <=>  F^IJ NON symétrique en dim 2D

 

Pour que F^IJ soit symétrique, il faut donc que F^ij le soit (et réciproquement). Pour un champ de 2-tenseurs mixtes et covariants :

 

(30)           Fⁱ_j(x,ksi) = e_F^(B)(x,ksi)e_F,(A)(x,ksi)F^(A)i_(B)j(x,ksi)

(31)           F^(A)i_(B)j(x,ksi) = e_F^(A)(x,ksi)e_F,(B)(x,ksi)Fⁱ_j(x,ksi)

 

(32)           F_i^j(x,ksi) = e_F,(B)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi)F_(A)i^(B)j(x,ksi)

(33)           F_(A)i^(B)j(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)e_F^(B)(x,ksi)F_i^j(x,ksi)

 

(34)           F_ij(x,ksi) = e_F^(B)(x,ksi)e_F^(A)(x,ksi)F_(A)i(B)j(x,ksi)

(35)           F_(A)i(B)j(x,ksi) = e_F,(A)(x,ksi)e_F,(B)(x,ksi)F_ij(x,ksi)

 

Le procédé est évidemment identique pour les tenseurs d’ordre n :

 

(36)           F^i1…in = e_F,(A1)…e_F,(An)F^{(A1)i1…(An)in}

(37)           F^{(A1)i1…(An)in} = e_F^(A1)…e_F^(An)F^i1…in

 

et des formules analogues pour les tenseurs mixtes et covariants. Ainsi, pour R_ijkl(x,ksi), on aura (sans expliciter la dépendance en les variables) :

 

(38)           R_ijkl = e_R^(D)e_R^(C)e_R^(B)e_R^(A)R_{(A)i(B)j(C)k(D)l}

(39)           R_{(A)i(B)j(C)k(D)l} = R_IJKL

(40)           e_R⁽¹⁾(x,ksi) = e_R,(1)(x,ksi) = cos[RHO(x,ksi)]

(41)           e_R⁽²⁾(x,ksi) = e_R,(2)(x,ksi) = sin[RHO(x,ksi)]

(42)           e_R,(A)e_R^(A) = 1

 

Le champ de contraintes T_IJ(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) s’identifie à T_(A)i(B)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾). Il n’est symétrique qu’en la permutation des indices I et J, de sorte qu’on a seulement T_(A)i(B)j = T_(B)j(A)i. Les composantes T_(A)i(A)j sont donc systématiquement symétriques. La composante T_(1)i(2)j ne l’est pas. Elle présente une partie symétrique,

 

T_+(1)i(2)j = ½ (T_(1)i(2)j + T_(2)i(1)j) = T_+(2)i(1)j

 

et une partie antisymétrique,

 

T_-(1)i(2)j = ½ (T_(1)i(2)j - T_(2)i(1)j) = -T_-(2)i(1)j

 

La variété produit V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ n’est donc PAS riemannienne vis-à-vis de la permutation des axes de coordonnées ni des axes d’états, mais uniquement DES DEUX A LA FOIS.

 

La composante T_(1)i(1)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) fait référence à une substance standard sur V⁽¹⁾, à la différence qu’elle varie généralement d’un point à un autre de V⁽¹⁾ COMME DE V⁽²⁾. Il s’agit donc déjà d’une première EXTENSION du champ de matière T_(1)i(1)j(x⁽¹⁾) du Modèle Standard, qui ne dépend PAS des coordonnées x⁽²⁾ⁱ sur V⁽²⁾ : il y est GLOBAL. Ici, nous le localisons.

 

La composante T_(2)i(2)j(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) fait référence à une substance standard sur V⁽²⁾. Est-ce notre « substance non standard » recherchée ? Pour éviter les projections croisées T_(1)i(2)j et T_(2)i(1)j qui portent sur le PLAN d’état, on va diagonaliser la matrice d’état (asymétrique) T_(A)(B) de manière à ne conserver que les projections relatives à V⁽¹⁾ et V⁽²⁾ (et les notations). Les équations de champ (18) à (22) nous disent que, dans ce cas :

 

(43)           T = g₍₀₎^IKT_IK = g₍₀₎^(A)i(C)kT_(A)i(C)k = g₍₀₎^ik(T_(1)i(1)k + T_(2)i(2)k) = T₍₁₎ + T₍₂₎

(44)           R_(A)i(A)k = (8pi k/c⁴)[T_(A)i(A)k - Tg⁽⁰⁾_(A)i(A)k/2(D - 1)]

 

Pour T_(A)i(A)k = 0, on a R_(A)i(A)k = 0 et la variété V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ est plane : pas de substance, pas de géométrie.

 

Mais, pour T_(1)i(1)k = 0, on trouve :

 

(45)           T = T₍₂₎

(46)           R_(1)i(1)k = -(8pi k/c⁴)T₍₂₎g⁽⁰⁾_ik/2(D - 1)

(47)           R_(2)i(2)k = (8pi k/c⁴)[T_(2)i(2)k - T₍₂₎g⁽⁰⁾_ik/2(D - 1)]

 

LA COURBURE R_(1)i(1)k N’EST PAS NULLE, GRÂCE A L’INVARIANT T₍₂₎ ! :)

 

Elle s’exprime même entièrement à l’aide de T₍₂₎. Le résultat est que :

 

(48)           T_{(1)i(1)j(1)k(1)l} = -T₍₂₎(g⁽⁰⁾_ikg⁽⁰⁾_jl - g⁽⁰⁾_jkg⁽⁰⁾_il)/2(D - 1)(2D - 1)

(49)           R_{(1)i(1)j(1)k(1)l} = -(12pi k/c⁴)T₍₂₎(g⁽⁰⁾_ikg⁽⁰⁾_jl - g⁽⁰⁾_jkg⁽⁰⁾_il)/(D - 1)(2D - 1)

 

De plus, comme T₍₂₎ dépend généralement des x⁽¹⁾ et des x⁽²⁾, il en va de même pour les quantités ci-dessus. Même si T₍₂₎ est partout constant, on a quand même une courbure DE RIEMANN pour V⁽¹⁾. Il faut vraiment que T₍₂₎ soit partout nul pour que l’on ne trouve rien. Mais alors, ceci renvoie à V⁽¹⁾ x V⁽²⁾ plane. Si T₍₂₎ n’est partout constante que sur V⁽²⁾, la géométrie de V⁽¹⁾ RESTE LOCALE, puisque elle dépend encore des x⁽¹⁾. Mais, ce qui est encore plus intéressant, c’est le cas où T₍₂₎ est partout constante SUR V⁽¹⁾ : dans ce cas, T₍₂₎ ne dépend que des x⁽²⁾ et, SI L’ON NE PREND PAS LE 2EME ETAT EN COMPTE, ON EST BIEN EN MAL DE DIRE D’Où POURRAIT BIEN PROVENIR UNE TELLE SOURCE DE COURBURE…

 

C’est exactement la difficulté conceptuelle à laquelle nous nous sommes confrontés quand nous avons étendu la RG à la « substance non standard » : d’où pouvait bien provenir cette substance qui n’entrait PAS dans le Modèle Standard ? Mystère. Eh bien, le mystère semble résolu. La réciprocité en prime : si l’on permute les indices d’état, on s’aperçoit que, lorsque T_(2)i(2)k = 0, c’est V⁽²⁾ qui présente de la substance « non orthodoxe » provenant de T₍₁₎.

 

Ça veut dire quoi ? ça veut dire que la notion de « standard » et de « non standard » est, là encore, toute RELATIVE : la « substance non standard » observée dans V⁽²⁾ est tout à fait « standard » dans V⁽¹⁾. Donc, la réciproque est vraie :

 

LE « STANDARD » DANS V⁽¹⁾ APPARAIT « NON STANDARD » DANS V⁽²⁾.

LE « STANDARD » DANS V⁽²⁾ APPARAIT « NON STANDARD » DANS V⁽¹⁾.

 

Or, qu’est-ce que V ? D’après (4), c’est un MELANGE DE V⁽¹⁾ ET DE V⁽²⁾ :

 

(50)           V = e_(A)V^(A) = V⁽¹⁾cos(ksi) + V⁽²⁾sin(ksi)

 

Une somme directe algébrique de deux espaces(-temps). C’est ce qui donne l’impression qu’on est en présence de dimensions physiques supplémentaires (celles de V⁽²⁾). En fait, non seulement il n’en est rien, mais ce n’est même pas nécessaire. Il suffit simplement de passer d’un seul état physique à deux. Les variétés projectives V^(A) peuvent alors s’interpréter comme des « ETATS PURS » et la réalité D-dimensionnelle est un MELANGE de ces états purs.

 

Mis à jour le 08 Août 2020

 

 

Un modèle physico-mathématique, ça se travaille, ça se façonne, comme la glaise d’une poterie, jusqu’à obtenir la version la plus satisfaisante, même si ça ne reste qu’un modèle.

 

Conformément à ce qui a été dit en B169, on part donc d’un (hyper)plan V₀. La donnée d’une source PNS T^(ns)_ijkl(x) va donner naissance à une première courbure de Riemann-Christoffel,

 

(1)               R^(ns)_ij^k_l(x) = (8pi k/c⁴)T^(ns)_ij^k_l(x)

 

dépourvue de tout invariant géométrique :

 

(2)               R^(ns)_ijⁱ_l(x) = 0          pour tout x

 

La métrique de la variété PNS V_(ns) est donnée par [B169, (14-15)]:

 

(3)               g^(ns)_ij(x) = g⁽⁰⁾_kle^(ns)k_i(x)e^(ns)l_j(x) = e^(ns)_i(x).e^(ns)_j(x)

(4)               e^(ns)k_i(x) = exp[½ S_V0S_V0 R^(ns)_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

d’où l’importance de travailler à partir de R et non de sa duale R*.

 

Si l’on superpose maintenant à T^(ns)_ijkl(x) une source standard T^(s)_ijkl(x), la géométrie PNS va se trouver perturbée par cette source additionnelle et donc, modifiée.

 

De quelle manière ?

 

Le principe est simple : g^(ns)_ij(x) va remplacer le tenseur métrique constant g⁽⁰⁾_ij de V₀. En conséquence, les intervalles de distance dxⁱ de départ vont être remplacés par les intervalles e^(ns)i_m(x)dx^m sur V_(ns). Les invariants de T^(s)_ijkl(x) vont donc se calculer PAR RAPPORT AU TENSEUR METRIQUE g^(ns) et à son inverse g_(ns)^-1 :

 

(5)               T^(s)_ik(x) = g_(ns)^jl(x)T^(s)_ijkl(x)

(6)               T^(s)(x) = g_(ns)^ik(x)T^(s)_ik(x)

 

puisque c’est la source qui PRODUIT la nouvelle géométrie. On ne peut donc se baser que sur la géométrie DEJA EXISTANTE… :)

 

La suite s’énonce simplement. On utilise [B166, (8-10)] sur V_(ns), ce qui nous fournit R^(s)_ijkl(x) et ses invariants (qui n’ont pas besoin d’être étiquettés « s ») :

 

(7)               R^(s)_ijkl = (8pi k/c⁴)[T^(s)_ijkl - T(g^(ns)_ikg^(ns)_jl - g^(ns)_jkg^(ns)_il)/(D - 1)(D - 2)]

(8)               R_ik = (8pi k/c⁴)[T_ik - Tg^(ns)_ik/(D - 2)]

(9)               R = -16pi kT/c⁴(D - 2)

 

Ensuite, on généralise [B169, (13)] A LA NOUVELLE VARIETE V_(ns) :

 

(10)           R^(s) = D_(ns)²[Ln(g^(s))]

 

Cette équation a LA MEME SOLUTION QUE [B169, (13)] à condition d’y remplacer dx^j par e^(ns)j_m(x)dx^m :

 

(11)           g^(s)_ij(x) = g^(ns)_kl(x)e^(s)k_i(x)e^(s)l_j(x) = e^(s)_i(x).e^(s)_j(x)

(12)           e^(s)k_i(x) = exp[½ S_V(ns)S_V(ns) R^(s)_im^k_n(x)e^(ns)m_p(x)e^(ns)n_q(x)dx^pdx^q]

 

Naturellement, si l’on combine cette solution avec la solution de départ (2-3), on voit que le résultat est loin d’être simple et n’a rien à voir avec une superposition linéaire ni même un produit de métriques. Bien au contraire, le procédé est ITERATIF : à chaque fois qu’on va introduire une nouvelle source, on va modifier la géométrie précédente, qui va servir de base. On le voit clairement dans (11) : sur V₀, les vecteurs-repère ont toutes leurs composantes égales à 1 (au signe près) ; sur V_(ns), elles deviennent e^(ns)i_j(x) ; sur V_(s), e^(s)i_j ; etc. Si bien que, sur un « assemblage » de N + 1 variétés riemanniennes V₍₀₎,…,V_(N), on trouvera :

 

(13)           e^(A+1)k_i(x) = exp[½ S_V(A)S_V(A) R^(A+1)_im^k_n(x)e^(A)m_p(x)e^(A)n_q(x)dx^pdx^q]

 

pour 0 =< A =< N. Si l’un des R^(A+1) est nul, on en reste à la géométrie existante, puisque les e^(A+1) se réduisent à l’identité partout. La métrique locale de la variété V_(A+1) a pour expression :

 

(14)           ds_(A+1)² = g^(A+1)_ij(x)dxⁱdx^j = g^(A)_kl(x)e^(A+1)k_i(x)e^(A+1)l_j(x)dxⁱdx^j

 

Partant donc de e^(0)k_i(x) = d_i^k, on aboutit à un enchaînement de produits de vecteurs-repère.

 

Si l’on décompose canoniquement R^(s)* en ses invariants Ric et Gau :

 

(15)           R^(s)_ijkl(x) = [R_jl(x)g^(ns)_ik(x) - R_il(x)g^(ns)_jk(x) + R_ik(x)g^(ns)_jl(x) - R_jk(x)g^(ns)_il(x)]/(D - 2) - R(x)[g^(ns)_ik(x)g^(ns)_jl(x) - g^(ns)_jk(x)g^(ns)_il(x)]/(D - 1)(D - 2)

(16)           R_jl(x) = g_(ns)^ikR^(s)_ijkl(x)

(17)           R(x) = g_(ns)^jlR_jl(x)

 

On constate immédiatement que, pour R_jl(x) = 0, e^(s)k_i(x) = d^k_i, ce qui correspond bien à la variété PNS V_(ns) : on retombe sur [B169, (16-17)].

 

Un mot sur le mouvement libre des corps dans le champ d’un autre corps source. D’abord, les corps incidents sont de nature QUELCONQUE. Le corps physique le plus général possèdera une composante standard et une, non standard. Sur V₀ (métrique ds₀²), le mouvement s’effectue sur un (hyper)plan. Comme V₀ correspond à un « néant », cette situation est purement théorique. La première variété physique est V_(ns) : on la trouve dans les corps NON standards, c’est-à-dire, dans les VIDES STANDARDS. La seconde est V_(s), on la trouve A L’INTERIEUR des corps standards. A L’EXTERIEUR de ceux-ci, on retrouve une variété V_(ns).

 

Le mouvement libre sur V₀ correspond à :

 

(18)           du₍₀₎^k(s₀)/ds₀ = 0

(19)           u₍₀₎^k(s₀) = dx^k(s₀)/ds₀

(20)           ds₀² = g⁽⁰⁾_ijdxⁱdx^j

 

J’insiste sur le fait qu’il est purement idéaliste. Celui sur V_(ns) correspond à :

 

(21)           (D_(ns)/ds_(ns))u_(ns)^k(s_(ns)) = (d/ds_(ns))u_(ns)^k(s_(ns)) + C^(ns)_ij^k(x)u_(ns)ⁱ(s_(ns))u_(ns)^j(s_(ns)) = 0

(22)           u_(ns)ⁱ(s_(ns)) = dx^k(s_(ns))/ds_(ns)

(23)           ds_(ns)² = g^(ns)_ij(x)dxⁱdx^j = g⁽⁰⁾_kle^(ns)k_i(x)e^(ns)l_j(x)dxⁱdx^j

 

Il traduit donc le mouvement libre de corps incidents quelconques à l’intérieur d’une substance PNS, donc d’un « vide standard ». Enfin :

 

(24)           (D_(s)/ds_(s))u_(s)^k(s_(s)) = (d/ds_(s))u_(s)^k(s_(s)) + C^(s)_ij^k(x)u_(s)ⁱ(s_(s))u_(s)^j(s_(s)) = 0

(25)           u_(s)ⁱ(s_(s)) = dx^k(s_(s))/ds_(s)

(26)           ds_(s)² = g^(s)_ij(x)dxⁱdx^j = g^(ns)_kle^(s)k_i(x)e^(s)l_j(x)dxⁱdx^j

 

exprime le mouvement libre de ces corps à l’intérieur d’une substance standard. On voit que seul le point x est le même dans tous les cas. Toutes les autres données géométriques changent selon la variété considérée, impliquant le changement de la paramétrisation en s et donc, la trajectoire x(s).

 

 

Nous allons à présent fournir les solutions EXACTES des équations de la RG, car le système d’EDPs EST exactement résoluble. J’ai d’ailleurs du mal à comprendre pourquoi ça n’a pas été fait depuis longtemps, dès Hermann Weyl, en fait…

 

On reprend les ingrédients de base des variétés riemanniennes. Il s’agit de variétés munies d’un champ de tenseurs métriques symétriques g_ij(x) = g_ji(x), qui joue le rôle de « potentiels » en Relativité Générale. Ce champ est compatible avec la connexion de Lévi-Civita D sur la variété :

 

(1)               Dg_ij(x) = dg_ij(x) - [C_ik^l(x)g_lj(x) + C_jk^l(x)g_il(x)]dx^k = 0

 

En notation intrinsèque (i.e. indépendante du choix de la base vectorielle) :

 

(2)               Dg = dg - Cg = 0

 

où Cg désigne le produit holoriel habituel, montre que la connexion C de symboles de Christoffel C_ij^k(x) est la différentielle du logarithme népérien de g :

 

(3)               C_ij^k(x)  <->  C = (dg)g^-1 = d[Ln(g)]

 

En dépit des apparences liées à l’absence d’indices, C N’EST PAS une forme exacte, car g est tensoriel d’ordre 2, de même que Ln(g), de sorte que seul la TRACE PARTIELLE de C, de coefficients :

 

(4)               C_ij^j(x) = ½ g^jk(x)d_ig_jk(x) = d_iLn{Det[g(x)]}  <->  Tr(C)

 

constitue une 1-forme exacte. La connexion DUALE C* est donc, comme le montre (2), la différentielle de g :

 

(5)               C* = Cg = dg  <->  C_ij,k(x) = C_ij^l(x)g_lk(x)

 

Il s’agit de bien identifier les termes en présence, car la résolution des équations de Riemann-Christoffel (équations de la RG étendue) dépend essentiellement de cela. En effet, le champ de tenseurs courbure R_ij^k_l(x) sur la v.r. est défini à partir du commutateur :

 

(6)               [D_i,D_j]V^k(x) = R_ij^k_l(x)V^l(x)

 

appliqué à un champ de tenseurs CONTRAVARIANTS V^k(x). En coefficients :

 

(7)               R_ij^k_l(x) = d_iC_jl^k(x) - d_jC_il^k(x) + C_im^k(x)C_jl^m(x) - C_jm^k(x)C_il^m(x)

 

La 2-forme DUALE de R :

 

(8)               R* = gR

 

a, elle, pour composantes le champ de tenseurs COMPLETEMENT COVARIANT,

 

(9)               R_ijkl(x) = d_iC_jl,k(x) - d_jC_il,k(x) - g^mn(x)[C_ik,m(x)C_jl,n(x) - C_jk,m(x)C_il,n(x)]

 

En intrinsèque :

 

(10)           R* = dC* - Tr(g^-1[C*,C*])

 

où d agit ici comme différentielle EXTERIEURE et [C*,C*] est le crochet tensoriel de Schouten qui NE S’ANNULE PAS SUR UNE MEME FORME (c’est un produit tensoriel antisymétrique sur les coefficients). D’après (5), on trouve donc :

 

(11)           R* = d²g - Tr(g^-1[dg,dg])

 

Idem : le d²g ne s’annule pas, puisque C* est inexacte.

 

Regardez maintenant cette dernière expression. Ce n’est autre que :

 

(12)           R* = gd²[Ln(g)]

 

Par conséquent :

 

(13)           R = d²[Ln(g)]

 

C’EST CETTE EQUATION-Là QUE NOUS AVONS A RESOUDRE, PAS (12). On a de la chance, sa solution est immédiate, c’est, en coefficients :

 

(14)           g_ij(x) = g_0,kle^k_i(x)e^l_j(x) = e_i(x).e_j(x)

(15)           e^k_i(x) = exp[½ S_VS_V R_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

Pour R = 0, on retrouve bien la variété plane au sens de Riemann : g = g₀.

 

ATTENTION :

 

Bien que l’équation (13) soit linéaire en Ln(g), le principe de superposition NE S’APPLIQUE PAS, en raison du fait que, si g₃ = g₁g₂ est un 2-tenseur métrique produit des 2-tenseurs métriques g₁ et g₂, ce produit est CONTRACTé, de sorte qu’il s’agit en réalité d’une SOMME de produits et non d’un produit simple. Si l’on avait considéré le produit TENSORIEL (symétrique) de g₁ et de g₂, g₃ serait un tenseur d’ordre 4, de même que Ln(g₃) et d²[Ln(g₃)] serait un tenseur d’ordre 6 : là encore, ça ne cadrerait pas avec une somme R₁ + R₂ de tenseurs d’ordre 4.

 

Lorsque l’invariant de Ricci Ric = 0, R se réduit à sa composante non standard R^(ns) dont tous les invariants sont nuls. La solution, dans ce cas, s’exprime sous la forme :

 

(16)           g^(ns)_ij(x) = g_0,kle^(ns)k_i(x)e^(ns)l_j(x) = e^(ns)_i(x).e^(ns)_j(x)

(17)           e^(ns)k_i(x) = exp[½ S_VS_V R^(ns)_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

Le fait que cette composante irréductible R^(ns) EST COMPLETEMENT INDEPENDANTE DU TENSEUR METRIQUE RECHERCHé signifie qu’elle PRE-EXISTE A LA GEOMETRIE DE LA VARIETE. Cela paraît surprenant parce qu’on a l’habitude de traiter le problème DIRECT, qui consiste à DEDUIRE la courbure de la métrique (dérivation). Mais Einstein traite déjà le problème INVERSE : déduire LA METRIQUE à partir des données du tenseur des contraintes (intégration). Chez Einstein, le système boucle sur lui-même, puisque le tenseur des contraintes dépend lui-même de la métrique recherchée. Si l’on n’en connaît pas les coefficients, on ne peut donc espérer résoudre l’équation tensorielle d’Einstein, même par méthodes numériques (on ne sait pas ce que l’on cherche…). Dans le cadre étendu, on a de la « substance purement non standard (PNS) » de tenseur contraintes T^(ns). Le tenseur courbure correspondant lui est directement proportionnel [B166, système (4-5) où l’on a posé Ric = 0 => Gau = 0 - courbure scalaire nulle] :

 

(18)           R^(ns) = (8pi k/c⁴)T^(ns)

 

C’est donc CE tenseur des contraintes qui est pré-existant, puisqu’il va donner naissance à la géométrie de la variété :

 

(19)           e^(ns)k_i(x) = exp[(4pi k/c⁴) S_VS_V T^(ns)_im^k_n(x)dx^mdxⁿ]

 

On ne fait là qu’exprimer l’axiome de Riemann, rien de plus : qu’il faut un ENSEMBLE DE CONTRAINTES pour qu’une variété se courbe D’ELLE-MÊME (sous l’effet de ces contraintes), sans qu’il soit nécessaire de la plonger dans un espace de dimension supérieure à elle. C’est justement ça qui distingue les géométries de nature PHYSIQUE des géométries « INERTIELLES » où la courbure n’est QU’APPARENTE mais qui sont en réalité PLANES : dans une variété réellement courbe, aucun changement de représentation ne peut ramener sa géométrie à un (hyper)plan dans L’ENSEMBLE de la variété. Ceci n’est possible que LOCALEMENT, au voisinage immédiat de CHAQUE point.

 

Rien de « déroutant », donc, dans la formule (19) : les contraintes « fondamentales » T^(ns) sont DONNEES A L’AVANCE et elles INDUISENT la géométrie PHYSIQUE de la variété. S’agissant, sous l’intégrale seconde, d’une TRACE (ne serait-ce que partielle), (19), tout comme sa version complète (15), est INDEPENDANTE DU CHOIX DU REFERENTIEL LOCAL. La variable « x » y figurant fait donc bien référence à un POINT de l’espace (pseudo-)euclidien de dimension D, qui va se retrouver POINT DE LA VARIETE NAISSANTE : de T^(ns)_ij^k_l(x) dans E_p+q, avec p + q = D, à e^(ns)k_i(x) dans la v.r. V.

 

La variété se construit point par point. La question de la REPRESENTATION, i.e. du choix du système de coordonnées locales, est COMPLEMENTAIRE : dans (15), les champs de vecteurs-repère e_i(x) peuvent aussi bien exprimer de simples CHANGEMENTS DE REPRESENTATIONS comme de véritables DEPLACEMENTS PHYSIQUES. La formule est la même :

 

(20)           x’^k(x) = S e^k_i(x)dxⁱ

 

A partir de (14), l’expression du déterminant de g en dimension D donne lieu à une formule très agréable :

 

(21)           Det(g) = (D - 2)!(e₁…e_D)²S_i=1^D-1S_j=i+1^D sin²(f_i - f_j)

(22)           e_i² = e_i.e_i

(23)           f_i - f_j = (e_i,^,e_j) = angle entre e_i et e_j

 

On constate que Det(g) est maximal pour tous les e_i orthogonaux entre eux. Dans ce cas, g est diagonale. Etant donné que les e_i ne sont PAS colinéaires entre eux :

 

(24)           Det(g) = 0  <=>  (e₁…e_D)² = 0

 

Comme Det(g) NE PEUT PAS ETRE NEGATIF DANS LE CAS EUCLIDIEN, cette dernière valeur est MINIMALE dans ce cas et correspond à D’ vecteurs-repère de longueur nulle (1 =< D’ =< D - 2). Le problème est ainsi ramené à la dimension inférieure D - D’.

 

Il en va tout autrement dans le cas non-euclidien, car e_i² = 0 correspond, soit à un vecteur-repère de longueur nulle, comme précédemment, soit à :

 

(25)           (e¹_i)² +…+ (e^p_i)² = (e^p+1_i)² +…+ (e^D_i)²

 

en signature p + q = D. Dans le cas physique qui nous intéresse de prime abord (p = 1, q = 3), e_i est du genre lumière.

 

D = 1 + 3 :

D’ vecteurs-repère e_i du genre lumière (1 =< D’ =< D - 2) => Det(g) = 0

Det(g) = 0 => D’ vecteurs-repère e_i nuls ou du genre lumière

 

La nullité de e_i² n’exige absolument pas la divergence de l’intégrale seconde de la courbure, car il s’agit d’un produit SCALAIRE et donc, d’une SOMME d’exponentielles.

 

On conviendra d’appeler DOMAINES PHYSIQUES les régions d’une variété riemannienne dans lesquelles la métrique (15) est PARTOUT REGULIERE, i.e. renvoie une valeur (tensorielle) FINIE. Pour qu’une solution soit PHYSIQUE, il faut (et il suffit) en effet que TOUTES les composantes du tenseur métrique soit CONVERGENTES.

 

Et on appellera DOMAINES CRITIQUES les régions d’une v.r. où le DETERMINANT (24) de la métrique s’annule.

 

Donc, même les endroits où la v.r. se réduit à un POINT (g = 0) font partie d’un domaine physique. Seuls les points ou lieux géométriques qui font diverger L’UNE, seulement, des composantes de g sont exclus. On ne peut pas avoir, en effet, un potentiel tenseur qui converge dans certaines directions et diverge en même temps dans d’autres.

 

Quant aux domaines critiques, l’annulation du déterminant de la métrique fait automatiquement diverger TOUTES les composantes de l’inverse g^-1. Ceci n’est que le révélateur du fait que le problème réel se situe en dimension INFERIEURE. Rien de dramatique là-dedans : on aura simplement visé « un peu trop large »…

 

 

REMARQUE FINALE :

 

Le tenseur des contraintes est soumis à une condition plutôt drastique : pour qu’il puisse représenter quoi que ce soit de physique, même de la matière standard sous forme de poussière ou du vide standard, il FAUT qu’il reste COMPACT, c’est-à-dire, contenu, soit dans un volume d’espace, soit dans un hyper-volume spatio-temporel FINI. Si le problème direct conduit à des divergences de T dans quelque direction que ce soit, la métrique considérée N’EST PAS ADAPTEE à une situation physique réaliste.

 

C’est la seule exigence qu’il y ait, mais il faut en passer par là.

 

 

Non, ce qui suit n’est pas une blague… Reprenez les équations de la RG étendue,

 

(1)               R_ijkl - R(g_ikg_jl - g_jkg_il)/2(D - 1) = (8pi k/c⁴)T_ijkl

(2)               T_ijkl - T(g_ikg_jl - g_jkg_il)/(D - 1)(D - 2) = (c⁴/8pi k)R_ijkl

 

tirée de [B166, (4), (5) et (8)] : quelle belle symétrie, n’est ce pas ?... :) La première correspond à l’approche « directe » : à droite, un tenseur contraintes T_ijkl, considéré comme « source » d’une géométrie riemannienne. La seconde a l’air de dire L’INVERSE : à droite, un tenseur courbure riemannien, qui semble jouer le rôle de « source » d’un champ de contraintes, si l’on adopte le même sens de lecture (« à gauche, les variations de potentiels ; à droite, les sources, excitations ou perturbations »).

 

Peut-être cette symétrie serait-elle beaucoup plus évidente chez les invariants, en dimension D = 4 ?

 

(3)               R_ik - ½ Rg_ik = (8pi k/c⁴)T_ik

(4)               T_ik - ½ Tg_ik = (c⁴/8pi k)R_ik

 

Là, ça saute carrément aux yeux…

 

Commençons donc par mettre le tenseur contraintes sous une forme analogue à celle du tenseur de Riemann :

 

(5)               T_ijkl = W_ijkl - (c⁴/8pi k)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)                 en J/m³

 

Le f_ij est un tenseur FORCES (en N) et son inverse f^ij se mesurera en N^-1. Pour conserver le système d’unités physiques, les invariants du tenseur W_ijkl (qui, faut-il le préciser, présente les mêmes symétries que R_ijkl) devront être définis sous la forme suivante :

 

(6)               W_ik = (c⁴/8pi k)f^jlW_ijkl

(7)               W = (c⁴/8pi k)f^ikW_ik

 

En reportant (5) dans (1), il vient donc :

 

(8)               R_ijkl - R(g_ikg_jl - g_jkg_il)/2(D - 1) =

= (8pi k/c⁴)[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

 

Contractons des deux côtés par g^jl :

 

(9)               R_ik - ½ Rg_ik =

= (8pi k/c⁴)g^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

 

En vertu de (3), cette expression doit être égale à :

 

(10)           (8pi k/c⁴)T_ik = (8pi k/c⁴)[W_ik - ½ (8pi k/c⁴)²Wf_ik]

 

Il en résulte déjà que :

 

(11)           g^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)] = W_ik - ½ (8pi k/c⁴)²Wf_ik

 

Contractons de nouveau (9), cette fois par g^ik :

 

(12)           ½ (D - 2)R =

= -(8pi k/c⁴)g^ikg^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

 

Cette dernière expression devant être égale à :

 

(13)           -(8pi k/c⁴)T = ½ (D - 2)(8pi k/c⁴)W

 

il en découle que,

 

(14)           ½ (D - 2)R =

= -(8pi k/c⁴)g^ikg^jl[W_ijkl - (8pi k/c⁴)²W(f_ikf_jl - f_jkf_il)/2(D - 1)]

= ½ (D - 2)(8pi k/c⁴)W

 

On obtient donc :

 

(15)           R = (8pi k/c⁴)W

(16)           (8pi k/c⁴)W_ik = R_ik - ½ R[g_ik - (8pi k/c⁴)f_ik]

(17)           (8pi k/c⁴)W_ijkl =

= R_ijkl - R[g_ikg_jl - g_jkg_il - (8pi k/c⁴)(f_ikf_jl - f_jkf_il)]/2(D - 1)

 

de sorte qu’en DEFINISSANT f_ij par,

 

(18)           g_ij = (8pi k/c⁴)f_ij

 

l’inverse sera défini au moyen de

 

(19)           g^ik = (c⁴/8pi k)f^ik

 

et on obtiendra successivement,

 

(20)           W_ik = g^jlW_ijkl

(21)           W = g^ikW_ik

(22)           (8pi k/c⁴)W_ik = R_ik

(23)           (8pi k/c⁴)W_ijkl = R_ijkl

 

ce qui nous fera retomber sur (1). La conclusion s’impose d’elle-même :

 

LA SOLUTION DES EQUATIONS DE LA RG EST :

(24)           f_ij = (c⁴/8pi k)g_ij  ,  g_ij = (8pi k/c⁴)f_ij

 

Autrement dit :

 

1)      Le tenseur contraintes T_ijkl est ENTIEREMENT GEOMETRIQUE, il s’obtient par simple substitution du tenseur métrique riemannien g_ij par un tenseur « forces » f_ij, également SYMETRIQUE ;

2)      TOUTE géométrie (pseudo-)riemannienne OPTIMALE est solution des équations de la RG.

 

On sait déjà que les « variétés d’Einstein », solutions de (3), sont automatiquement optimales, puisqu’elle découle d’un principe variationnel. Les espaces-temps ainsi obtenus sont donc, soit minimaux, soit maximaux. Si :

 

(25)           S_champ = (c⁴/8pi k)S R(-g)^1/2d⁴x

 

représente l’action du champ et

 

(26)           d’ = d’g_ijd/dg_ij + d’(d_kg_ij)d/d(d_kg_ij) + d’(d_kd_lg_ij)d/d(d_kd_lg_ij)

 

la variation d’Euler, alors

 

(27)           (8pi k/c⁴)d’S_champ = S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x + S E_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x

 

avec

 

(28)           E_ik = R_ik - ½ Rg_ik

 

le tenseur de courbure d’Einstein. Si l’espace-temps est dépourvu de bord, alors :

 

(29)           S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x = 0

 

(condition isopérimétrique « pas de bord »). Or, E_ik est l’invariant de E_ijkl. En conséquence :

 

S E_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x = S E_ijklg^jld’g^ik(-g)^1/2d⁴x

= S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x - S E_ijklg^ikd’g^jl(-g)^1/2d⁴x

= S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x - S E_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x

= S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x + S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x - d’S

 

si bien que,

 

(30)           (8pi k/c⁴)d’S_champ = S g^ikd’R_ik(-g)^1/2d⁴x + ½ S E_ijkld’(g^ikg^jl)(-g)^1/2d⁴x

 

On obtient un résultat similaire pour :

 

(31)           S_subs = S T_ikd’g^ik(-g)^1/2d⁴x

 

qui montre que les équations de la RG étendue (1) résulte DU MÊME PRINCIPE VARIATIONNEL AVEC LES MÊMES CONDITIONS AU BORD. Il en résulte bien que :

 

LES ESPACES(-TEMPS) SOLUTIONS DE (1) SONT TOUS OPTIMAUX.

 

Or, ce critère d’optimalité se traduit géométriquement par le fait que tous ces espaces(-temps) ont une courbure MOYENNE :

 

(32)           <R> = ¼ (X₁ + X₂)²R² = 0

 

 où X₁ et X₂ sont les rayons de courbure principaux sur une variété optimale considérée et

 

(33)           R = 1/X₁X₂

 

est notre courbure scalaire.

 

La condition (32) a deux solutions. La première est :

 

(34)           X₂ = -X₁ = -X       FINI NON NUL

 

qui implique,

 

(35)           R = -1/X² < 0

 

Dans ce cas :

 

LES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE LA RG SONT DES ESPACES(-TEMPS) HYPERBOLIQUES (« OUVERTS »)

 

La seconde est :

 

(36)           <R> = ¼ (1/X₁ + 1/X₂)² = 0

 

qui, s’agissant d’une expression ELLIPTIQUE REELLE, ne peut être satisfaite que pour

 

(37)           X₁ = oo  ET  X₂ = oo  MAIS  X₂ <> -X₁

 

aux signes près. Dans ce cas :

 

LES SOLUTIONS DES EQUATIONS DE LA RG SONT DES ESPACES(-TEMPS) PARABOLIQUES (plans AU SENS DE GAUSS)

 

Les premiers, les hyperboliques, ne sont pas développables. Seuls les paraboliques le sont et peuvent être projetés SANS DEFORMATION sur l’espace-temps de Minkowski, plan AU SENS DE RIEMANN. Quant aux elliptiques, ils ne peuvent être solutions des équations de la RG, car ils ne satisfont pas le critère d’optimalité. En découlent les résultats suivants :

 

LES ESPACES(-TEMPS) PUREMENT NON STANDARDS (PNS) SONT TOUS PARABOLIQUES ET DONC, DEVELOPPABLES. ILS NE FERONT DONC PAS L’OBJET DE DISTORSIONS APRES PROJECTION DANS L’ESPACE-TEMPS DE MINKOWSKI.

 

Est automatiquement inclus le vide standard symétrique, puisque R^(ns)_ijkl a tous ses invariants nuls (de même que T^(ns)_ijkl). Exit, par la même occasion, les arguments concernant les « images brouillées » dans les témoignages sur des faits « paranormaux » :

 

Si des « manifestations paranormales » quelconques ne renvoient à rien de connu dans le Modèle Standard, alors les « projections paranormales » NE PEUVENT PAS APPARAÎTRE, SOIT « BROUILLEES », SOIT « DEFORMEES ».

 

« No-go theorem » : soit elles renvoient à du standard et elles n’ont alors rien de « supranaturel », soit elles renvoient à du non standard et alors, le témoignage ne peut qu’être bidon. Plus une déformation MENTALE de l’observateur qu’une manifestation paranormale.

 

Les espaces(-temps) possédant une composante PNS ET une composante standard DE TRACE NULLE (comme pour de la substance standard ultra-relativiste non visqueuse, par exemple) sont tout aussi plans au sens de Gauss et donc, développables.

 

Le critère de sélection se durcit encore plus. En fait :

 

Seuls les espaces(-temps) HYPERBOLIQUES apparaîtront déformés après projection. Mais ces espaces(-temps) ont automatiquement une composante standard de trace NON NULLE et c’est alors précisément cette composante-là qui EMPECHE toute projection conforme.

 

Si l’on veut progresser, il faut rester le plus objectif possible. Nous avons déjà étendu le cadre géométrique de la RG. Nous avons ensuite élargi son application au rang de paradigme. Il est difficile d’aller plus loin : non seulement TOUT ce qui est standard, « classique » ou « quantique » est inclus, mais tout ce qui n’est PAS spécifique à la gravitation l’est. Nous disposons donc désormais d’un cadre d’analyse suffisamment large pour réaliser des sélections objectives et METTRE EN DOUTE certains témoignages, pour ne RENFORCER que les autres.

 

Nous pouvons par exemple dès maintenant AFFIRMER, avec fort peu de marge d’erreur, que les histoires de « revenants » et autres « détecteurs d’activité électromagnétique », c’est du FOLKLORE… du « TOURISME PARANORMAL ». Il n’y a absolument RIEN de parapsychique là-dedans. Rien qui puisse trouver une justification physique quelconque.

 

Le « métaphysique » ne peut se trouver que dans le NON standard. B167 sur le champ unifié montre bien que l’électromagnétisme dont il est couramment question en parapsychologie ne représente que L’INVARIANT du pseudo-tenseur A_ij,k. Il existe donc un électromagnétisme ELARGI qui PEUT faire référence à du non standard. Mais, en aucun cas, celui de Maxwell.

 

Il existe, en fin de compte, un moyen assez simple d’unifier gravitation et électromagnétisme. Il suffit pour cela de remarquer que, dans un espace(-temps) courbe de tenseurs métriques g_ij(x), les symboles de Christoffel :

 

(1)               C_ij,k = ½ (-d_kg_ij + d_ig_jk + d_jg_ik)

(2)               C_ij^k = ½ g^kl(-d_lg_ij + d_ig_jl + d_jg_il)

 

ont pour invariants,

 

(3)               C_ik^k = ½ g^kld_ig_kl = d_i{Ln[(-g)^1/2]}

(4)               C_k = g^ijC_ij,k = C_kl^l + d^lg_kl

 

Le premier est une forme EXACTE, même en géométrie riemannienne, puisque son argument est un champ scalaire. En revanche, le terme d^lg_kl = g^lmd_mg_kl donne un rotationnel non nul :

 

(5)               d_nC_m - d_mC_n = d_ng^ijd_jg_im - d_mg^ijd_jg_in + g^ijd_j(d_ng_im - d_mg_in)

   = d_ng^ijd_jg_im - d_mg^ijd_jg_in + dⁱ(d_ng_im - d_mg_in)

 

qui, en géométrie riemannienne, est le même que le rotationnel covariant, puisque les symboles de Christoffel sont symétriques.

 

On peut donc se servir des C_k pour définir A LA FOIS un champ de gravitation :

 

(6)               G_k = (h/m)C_k                     en m/s

 

et un champ électromagnétique,

 

(7)               A_k = (h/q)C_k                      en Tm

 

On peut même GENERALISER ces « potentiels de champ » en des pseudo-tenseurs :

 

(8)               G_ij,k = (h/m)C_ij,k  ,  A_ij,k = (h/q)C_ij,k

 

Les caractéristiques physiques m et q figurant dans ces formules font référence à la masse et à la charge au repos d’un corps INCIDENT. Ça peut surprendre, mais c’est tout à fait en conformité avec l’idée initiale d’Einstein, qui s’est basé sur le Principe d’Equivalence de Newton (« tous les corps INCIDENTS se meuvent de la même manière dans le champ de gravité ») pour renvoyer le problème à la géométrie riemannienne et à des « potentiels métriques » g_ij(x) :

 

LE PRINCIPE D’EQUIVALENCE DE NEWTON S’EXPRIME DANS LES g_ij(x).

Il dit bien que tous les corps INCIDENTS s’y meuvent de la même manière.

 

On constate bien une « universalité » des C_ij,k VIS-A-VIS DES CORPS INCIDENTS. En revanche, les équations d’Einstein :

 

(9)               R_ij - ½ Rg_ij = (8pi k/c⁴)T_ij

 

montrent que les g_ij solutions physiques (c’est-à-dire, représentant réellement un champ de gravité) DEPENDENT DE LA MASSE AU REPOS m’ DE LA SOURCE. Il suffit, pour s’en assurer, de considérer le tenseur impulsion-énergie :

 

(10)           T_ij(x) = m’c²rhô(x)u_iu_j  ,  u_i = g_iju^j  ,  u^j = dx^j/ds

 

où rhô(x) est une distribution de matière donnée à l’avance. Dans le cas où m’ serait nulle, on prend la conversion m’c² = hf’, où f’ est une fréquence.

 

Les C_ij,k sont donc les mêmes pour tous les corps incidents et ce sont les G_ij,k et les A_ij,k qui se SPECIALISENT suivant la caractéristique physique considérée d’un corps incident : si cette caractéristique est la masse, on a affaire à un « champ de gravitation » ; si c’est la charge, à un « champ électromagnétique ».

 

NOUS VENONS D’UNIFIER ELECTROMAGNETISME ET GRAVITATION EN UTILISANT LA RELATIVITE GENERALE COMME PARADIGME PHYSIQUE

ET NON PLUS SEULEMENT COMME UNE THEORIE DE LA GRAVITATION.

 

En se basant sur les équivalences (8), les INTENSITES de champs deviennent directement proportionnelles au tenseur de courbure de Riemann :

 

(11)           W_ijkl = (h/m)R_ijkl  ,  F_ijkl = (h/q)R_ijkl

 

Elles DIFFERENT des expressions maxwelliennes W_ij = d_iG_j - d_jG_i et F_ij = d_iA_j - d_jA_i, mais cela n’a aucune importance, comme nous le verrons par la suite. Il en résulte évidemment des invariants qui n’apparaissent pas chez Maxwell :

 

(12)           W_ik = (h/m)R_ik  ,  F_ik = (h/q)R_ik                 (symétriques)

(13)           W = (h/m)R  ,  F = (h/q)R                           (scalaires)

 

En ce qui concerne le mouvement d’un corps incident de masse au repos m dans une géométrie courbe riemannienne, le lagrangien du système est :

 

(14)           L = ½ mc² + hcu^kC_k

 

Conformément au Principe d’Equivalence de Newton-Einstein, le terme de couplage est INDEPENDANT DE LA MASSE DU CORPS INCIDENT. En tenant compte du fait que :

 

(15)           u^ku_k = g_klu^ku^l = 1

 

les équations d’Euler-Lagrange en espace(-temps) courbe,

 

(16)           (D/ds)dL/duⁱ = D_iL

 

conduisent aux équations de mouvement

 

(17)           mc²Du_i/ds = hcu^j(D_iC_j - D_jC_i) = hcu^j(d_iC_j - d_jC_i)

 

ANALOGUES AUX EQUATIONS DE MAXWELL-POINCARé-LORENTZ. On peut même les écrire sous la forme :

 

(18)           mc²Du_i/ds = hcu^jg^kl(D_iC_kl,j - D_jC_kl,i)

 

qui montrent que le terme de droite entre parenthèse diffère bel et bien de R_ijkl, ce qui n’a, en soi, aucune importance. L’essentiel est que ce terme reste invariant sous la transformation de jauge :

 

(19)           C_kl,i -> C_kl,i + g_kld_iLn[(g)^1/2]

 

qui n’induit aucune courbure supplémentaire.

 

Les équations (17) diffèrent donc notablement des équations aux géodésiques Du_i/ds = 0 en ce que, dans l’espace-temps PLAN, tous les C_kl,i sont identiquement nuls et (17) se réduit à du_i/ds = 0, soit un mouvement rectiligne uniforme. A l’inverse, l’annulation du rotationnel se produirait pour C_kl,i = g_kld_iLn[(g)^1/2] qui, par la transformation de jauge (19), ramènerait tous les C_kl,i à zéro partout, d’où retour à la situation plane. C’est parfaitement normal : pas de champ, pas de courbure, donc des géodésiques rectilignes.

 

Dans un espace(-temps) VIDE, en revanche, le mouvement des corps incidents reste influencé par des ONDES solutions de R_ij = 0. Comme R_ijkl n’est pas nul mais que tous ses invariants le sont, il en va de même des intensités de champs spécifiques.

 

Les équations de mouvement (17) se spécialisent immédiatement en :

 

(20)           Du_i/ds = u^j(D_iC_j - D_jC_i)/c = u^j(d_iG_j - d_jG_i)/c

 

pour un corps soumis à un « champ de gravité » et en

 

(21)           Du_i/ds = (q/mc)u^j(D_iA_j - D_jA_i) = (q/mc)u^j(d_iA_j - d_jA_i)

 

pour un corps soumis à un « champ électromagnétique ».

 

Revenons au lagrangien (14) : la contribution mc² = mc²uⁱu_i est entièrement cinétique (terme de gauche dans les équations de mouvement) ; dans la contribution hcuⁱC_i, lorsque l’on se ramène à une géométrie SPATIALE, on s’aperçoit aussitôt que le SEUL terme potentiel est :

 

(22)           L_pot = hcu⁰C₀

 

Il ne fait donc intervenir que la composante du genre temps de C_i (le fameux « potentiel scalaire » en théorie de Maxwell). Le terme restant, hcu^aC_a est gyroscopique : il est associé à un référentiel tournant (Coriolis chez Newton). Il s’ensuit que, dans l’interprétation newtonienne des choses, i.e. en terme « d’attractivité » et de « répulsivité » du « champ de forces », tout va dépendre du SIGNE de L_pot. En effet, la « force newtonienne » est, à proprement parler, le gradient spatial de (22) :

 

(23)           f_a = d_aL_pot

 

Les autres contributions ne sont que des EFFETS de forces, qui peuvent être éliminés en se plaçant dans un référentiel en rotation synchrone. En multipliant f_a par u^a :

 

(24)           u^af_a = u^ad_aL_pot

 

la force newtonienne apparaîtra « ATTRACTIVE » si elle est orientée en sens INVERSE du déplacement (u^af_a < 0) et « REPULSIVE » si elle est orientée DANS LE MÊME SENS que le déplacement (u^af_a > 0). C’est donc un petit peu plus compliqué que chez Newton ou Coulomb : « l’attractivité » ou la « répulsivité » du champ ne dépend plus seulement du produit des masses mm’ (pour la gravitation) ou des charges qq’ (pour l’électromagnétisme), mais encore DES EFFETS GEOMETRIQUES INDUITS PAR LES C_ij,k, qui sont loin d’être toujours en 1/r. Alors, si cela explique facilement « l’effet catapulte » dans le cas de la gravitation newtonienne, en revanche, cela impose à considérer la possibilité d’un EFFET d’attraction mutuelle ENTRE CHARGES ELECTRIQUES DE MÊME SIGNE, dans le cas de l’électromagnétisme coulombien. Néanmoins, ce genre d’effet s’explique ici par son origine GEOMETRIQUE. Exactement comme pour l’effet catapulte gravitationnel. Ça ne devrait donc pas entrer en conflit avec les observations, seulement apporter des éléments nouveaux.