doclabidouille

OBSCURS "TROUS NOIRS"...

Je fais un petit interlude parce que j'entends beaucoup parler des "trous noirs" ces temps-ci et qu'aux dires des astrophysiciens, il s'en trouverait dans tous les centres galactiques. Entre autres. Stephen Hawking (géomètre, pas physicien) vous en trouvait même absolument partout, sous forme "miniaturisée". C'est dire si la mode a pris.

Si vous voulez bien reprendre attentivement le cheminement du raisonnement allant de B 166 à B 171 inclus (exception faite de B 167), vous constaterez que, PARTANT de la théorie gravitationnelle d'Einstein (B 166) ET du "Modèle Standard" qui regroupe théorie quantique relativiste du champ et gravitation einsteinienne, je commence par classifier les sources de champs en deux grandes catégories, les "standards", qui répondent aux équations d'Einstein et les "non standards", exprimées par des tenseurs plus généraux que ceux figurant dans les équations d'Einstein : le tenseur de courbure de Riemann R_ijkl(x), d'invariant R_ij(x), et le tenseur "élasticité" T_ijkl(x), d'invariant T_ij(x). C'est cela qui me permet de dire que, pour des substances "standards", i.e. répondant aux critères du Modèle Standard, le R^(s)_ijkl(x) ne peut s'exprimer qu'à l'aide de ses invariants R_ij(x) et R(x) si l'on veut que T_ij(x) = 0 <=> R^(s)_ijkl(x) = 0 : le lien entre le "tenseur métrique" g_ij(x) et T_ij(x) est T_ik(x) = g^jl(x)T_ijkl(x), on est dans le domaine de l'élasticité "linéaire" [relation linéaire entre contraintes T_ij(x) et déformations g_ij(x), ce qui n'implique nullement que les déplacements x'ⁱ = Xⁱ(x) soient linéaires] et, en l'absence de contraintes, il ne se produit aucune déformation. L'espace-temps reste donc plan et c'est la condition beaucoup plus stricte R^(s)_ijkl(x) = 0 qui s'applique.

Ceci dit, à ce stade préliminaire et jusqu'à B 170 inclus, non seulement je ne rejette pas la possibilité de l'existence de substances n'entrant PAS dans le Modèle Standard, c'est-à-dire, telles que R_ij(x) n'implique pas R^(ns)_ijkl(x) = 0, soit encore, que le tenseur de courbure de Riemann possède une composante "de Weyl" dont tous les invariants sont nuls, mais je suis convaincu que ce type de substance existe. C'est au fil des développements que je vais m'apercevoir que cet argument n'est pas nécessaire.

Dans B 168, je dresse déjà un parallèle entre la géométrie du champ et celle de ses sources, en m'appuyant sur la symétrie des rôles joués par R_ij(x) et T_ij(x) dans les équations d'Einstein. C'est une première étape vers la résolution de ce système. Ensuite, en B 169, je le résous complètement en m'aidant des notations "intrinsèques" (= indépendantes des bases vectorielles choisies), ce qui me conduit à [B169, (14) et (15)] où les déformations de l'espace-temps s'obtiennent comme exponentielles d'un "facteur de phase" sans unité : on a un "opérateur évolution" (dans l'espace-temps) agissant sur la métrique PLANE de départ pour en faire une métrique COURBE. Seulement, d'un point de vue pratique, cette solution n'est applicable que parce que les sources standards permettent d'exprimer R^(s)_ijkl(x) en fonction de R_ij(x) et de R(x). Aussi, partant de la donnée d'un ensemble de contraintes T_ij(x), les équations d'Einstein, qui établissent des relations algébriques entre R_ij(x) et [T_ij(x) , T(x)], permettent d'exprimer entièrement R^(s)_ijkl(x) à l'aide de T_ij(x) et de T(x) et d'en déduire les g_ij(x) correspondants. C'est la démarche conventionnelle en théorie des équations aux variations : on se donne des perturbations et le but est d'en déduire les réactions du système à leur action. Si l'on ne connait pas les "seconds membres" d'une (ou d'un système d') EDP(s), on ne peut pas la (ou le) résoudre...

Je suis toujours dans le contexte "pur et dur" de la théorie gravitationnelle d'Einstein, avec un système d'équations issu du choix de R(x) comme "invariant tensoriel" et de l'application de la méthode de Hilbert au problème des variations. C'est d'ailleurs ce qui me fait aboutir à la conclusion, temporaire, que de la substance "non standard" PRE-EXISTE à la géométrie de l'espace-temps et que c'est cette substance "exotique" qui donne naissance à une géométrie courbe "primitive" : c'est [B169, (19)]. Juste en-dessous, je dis que "les contraintes « fondamentales » T^(ns) sont DONNEES A L’AVANCE et elles INDUISENT la géométrie PHYSIQUE de la variété", mais je ne suis pas en mesure de les expliciter, rien ne me permettant de le faire... c'est un pur argument "d'existence"...

En B 170, je détaille le mécanisme "d'assemblage" des métriques en d'autres, au fur et à mesure que l'on ajoute de la substance dans l'espace-temps [T_ij(x) est un tenseur de densités "d'énergie-impulsions" et l'énergie est une quantité additive] et ce n'est qu'en B 171 que J'IDENTIFIE cette "substance non standard" à de la "standard" A UN AUTRE "NIVEAU DE REALITE PHYSIQUE" en formulant une hypothèse, certes, mais que je vais m'attacher à DEMONTRER :

"Il nous faut donc formuler une hypothèse complémentaire et vérifier si elle s’accorde bien avec le caractère « standard » et « non standard » étudié jusqu’ici."

C'est la différence... : n'ayant aucun FAIT PROBANT à disposition, je n'ai d'autre choix que de partir d'une HYPOTHESE, mais que je n'ai pas l'intention de laisser le soin à d'autres de la confirmer ou l'infirmer... Ce n'est pas un POSTULAT... On va démontrer la validité de cette hypothèse PAR LE CALCUL et établir une correspondance FORMELLE entre "substance non standard" et "substance standard à un 2ème niveau de réalité". Je fais DEJA de la cosmologie quantique :

"le passage du « classique » au « quantique » préserve les systèmes d’unités"

C'est-à-dire qu'en introduisant une "polarisation", j'ai ETENDU mon cadre "classique" à un seul niveau à un cadre à DEUX niveaux et, dans ce contexte élargi, je ne retrouve QUE du "standard"... Il n'y a plus "d'exotisme"... on était simplement dans un cadre TROP RESTREINT...

Donc, de ce point de vue "quantique", en dimension D "à 2 niveaux", comme je le précise bien, TOUS les R_IJKL(x¹,x²) se laissent canoniquement décomposer en leurs invariants de Ricci R_IJ(x¹,x²) et R(x¹,x²), si bien que :

T_IJ(x¹,x²) = 0 <=> R_IJ(x¹,x²) = 0 <=> R(x¹,x²) = 0 <=> R_IJKL(x¹,x²) = 0.

Il n'y a plus de solutions du type "R_ij(x) = 0 avec R_ijkl(x) <> 0". C'est pour ça que je remets en cause l'hypothèse des "trous noirs" : parce qu'ils sont tous solutions d'équations de ce type...

Ça rejoint d'ailleurs ce que disait ce même Stephen Hawking, que la quantique viendrait combler les singularités de la théorie "classique" de la gravitation vue par Einstein...

Il n'y a plus de singularités de ce type, qui mettent en défaut la théorie et qui violent le principe de causalité. Cela ne veut pas dire qu'il n'existe pas de corps célestes extrêmes, cela veut dire qu'ils sont tout SAUF DES "TROUS DANS L'ESPACE-TEMPS"... Il n'y a pas de "trous" dans le tissu universel. Qui mèneraient où, à travers quoi ?... un peu de bon sens tout de même !

De toute façon, il y a un décalage sûr et certain entre le raisonnement tenu par Einstein et son désir de s'inspirer de la théorie électromagnétique de Maxwell, décalage que j'avais relevé bien avant de lancer ce blog : les courants sources chez Maxwell (ou chez Klein-Gordon) sont reliés aux VARIATIONS des T_ij(x). Par conséquent, si l'on veut établir une analogie, ne serait-ce que de principe, entre Maxwell et un modèle de gravité répondant au concept de relativité généralisé, ce ne sont pas les g_ij(x) qu'il faut prendre comme potentiels, mais leur variations, les C_ij^k(x). Ces derniers ne sont pas des tenseurs ? ET ALORS ?... Ils sont MIEUX QUE ÇA : ce sont des "holeurs", des "akineteurs" pour être précis, ils sont PLUS GENERAUX que les tenseurs... Encore une fois, quand le contexte de calcul se révèle trop restreint, il faut l'élargir... Ce sont les C_ij^k(x), non les g_ij(x), qui sont utilisés dans B 167 pour unifier électromagnétisme et gravitation einsteinienne...

Ce qui veut dire que l'action du champ des déformations en RG N'EST PLUS donné par la courbure de Gauss R(x), mais plutôt par une densité de lagrangien du type :

£ = ½ (h/c)[R_ijkl(x)R^ijkl(x) + 2J^ijk(x)C_ijk(x)]

où les "variables de champ" sont les C_ijk(x), les J^ijk(x) représentant les "courants" sources.

On n'est plus dans le seul contexte de la gravitation : £ est beaucoup plus conforme, en notations de Riemann, au "potentiel interne" (toujours du même Maxwell) en théorie de l'élasticité... Comme par hasard (mais il n'en est évidemment rien), on retrouve la constante de Planck h, parce que £ doit être (en dimension 3 ou 4) en J/m³ et que le "facteur de couplage" doit être "universel", en Jm... Résultat : les J^ijk(x) sont en m^-3 et représentent bien des densités spatiales...

Toutefois, les R_ijkl(x) ne s'expriment pas vraiment comme les dérivées covariantes des C_ijk(x). Or, on préfèrerait, d'un point de vue géométrique ET physique, déduire des équations COVARIANTES d'une densité de lagrangien de champ afin d'être conforme au principe de relativité généralisé. Je suggère donc plutôt un modèle de la forme :

(1) £ = ½ (h/c)[W_ijkl(x)W^ijkl(x) + 2J^ijk(x)C_ijk(x)]

avec, cette fois,

(2) W_ijkl(x) = D_iC_jkl(x) - D_jC_ikl(x)

Ce modèle-là EST "maxwellien", il s'applique A TOUT TYPE DE SOURCE, grâce à L'UNIVERSALITE de la RG... Les équations d'Euler-Lagrange vont mener au système d'EDPs du 2nd ordre en les C_ijk(x) :

(3) DⁱW_ijkl(x) = J_jkl(x)

Et, désormais, on n'a plus de décalage. On peut même avoir de la "torsion" S_ijk(x) = C_ijk(x) - C_jik(x). Vous le voulez "quantique" ? Vous passez de D à 2D...

Pour ce qui est des "sources ponctuelles", j'ai proposé une méthode de régularisation des noyaux newtoniens en B 155, il y a déjà plus de 5 ans...

J'ai tenu à résoudre tous les obstacles techniques qui se sont dressés devant mes recherches.

Parce que je n'avais pas d'autre choix pour avancer !

S'ils sont criticables, tant mieux : c'est l'esprit même de la recherche. Mais, au moins, j'ai proposé du CONCRET. Je me suis pas contenté de dire "on ne peut pas résoudre, parce que...", sans même chercher à essayer... Ni à me contredire en disant que "c'est l'introduction de substance dans le cadre qui le courbe mais, dans le vide, il subsiste tout de même de la courbure sous forme ondulatoire"...

Pour résumer encore une fois : les J_ijk(x) génèrent des C_ijk(x) qui, à leur tour, donnent des g_ij(x) variables, lesquels conduisent, in fine, à des Xⁱ(x). Mais alors, même si ces Xⁱ(x) déplacent un point x du cadre en un point x', on a tout de même des CHAMPS :

(4) X : R^D -> R^D , x -> x' = X(x)

ce qui veut dire que les variables DE POSITION sont les Xⁱ(x) et donc, que le R^D de départ (qui est le même que celui d'arrivée) constitue LE SUPPORT de ces champs.

Voyez-vous où je veux en venir ?...

On reste dans un contexte où le support est (initialement) PLAN (c'est R^D), mais où les champs agissant DANS ce support cadre sont des déplacements. Des champs dont l'unité physique est le mètre. Mais des champs SEPARéS DU CADRE.

Les variables ne sont pas les xⁱ, mais les Xⁱ(x). C'est pour ça que, même si le support est déformé, on peut ENCORE avoir des "ondes de champ" solutions de :

(5) DⁱW_ijkl(x) = 0

Sinon, deux corps distincts introduits dans l'espace-temps en deux endroits distincts ne pourraient s'échanger aucune information d'aucune sorte, gravitationnelle ou pas. Or, ils interagissent. Ce qui veut dire qu'ils se communiquent des informations sur leurs caractéristiques physiques via des ondes... des ondes DE DEPLACEMENT. A travers un espace-temps PLAN, mais qui se déforme au passage de ces ondes (!).

On trouve la même chose en physique des fluides : on n'a pas affaire aux variables spatiales x^a (a = 1,2,3), mais à des CHAMPS de vitesses v^a(x,t) qui dérivent de CHAMPS de déplacements X^a(x,t). On confond facilement le cadre et ce type de champ, parce que tout se passe dans le cadre et qu'on n'a affaire qu'à des longueurs. Avec des unités physiques différentes, la distinction est immédiate. Mais les xⁱ ne se confondent avec les Xⁱ(x) qu'en des points DE STATIONNARITE.

C'est vicieux... Mais c'est toujours Minkowski qu'on déforme, au départ... "l'espace-temps VIDE"...

Du coup, dans la métrique de Schwarzschild, par exemple, c'est l'énergie g₀₀(r) = 1 - r_g/r du CHAMP des déformations qui s'annule en r = r_g et l'impulsion g₁₁(r) = -(1 - r_g/r)^-1 de ce champ qui diverge. Cela ne "troue" pas l'espace-temps de Minkowski pour autant... Ce n'est pas lui qui est concerné : chez lui, on se trouve en r = r_g, c'est tout... Quand bien même serait-on en r = 0, il n'y aurait aucune singularité... Les comportements singuliers se trouvent au niveau du CHAMP, pas du SUPPORT. C'est parce qu'on ASSIMILE le support au champ qu'on trouve que l'espace-temps se comporte de manière "singulière" : mais ce n'est pas ce que dit (4) ! (4) dit qu'on a une fibration AU-DESSUS de l'espace-temps, qui "retombe dedans" parce que c'est un endomorphisme. C'est en r = r_g que LE CHAMP de métriques de Schwarzschild n'est plus défini correctement et que sous cet "horizon des événements", pour 0 =< r < r_g, la causalité est violée.

C'est le modèle de CHAMP qui déconne, pas le cadre... :)

Parce qu'on raisonne "ponctuel", comme toujours...

Vous faites couler de l'eau dans un évier, elle va "sortir de l'espace" ?... Vous allez me dire que c'est différent ? BIN, NON, C'EST EXACTEMENT LA MÊME CHOSE : C'EST L'ECOULEMENT DU FLUIDE DANS L'ESPACE QUI EST EN CAUSE, PAS L'ESPACE LUI-MÊME. Les singularités de type "sink" ou "cusp" concernent DES CHAMPS. Des mouvements, des trajectoires. Ce n'est pas l'Univers qui fait des caprices, ce sont les modèles qui sont en cause. Il y a des situations dans lequelles ils ne sont plus adaptés.

Moralité : si ces situations se multiplient, y a du souci à se faire pour le modèle...

A PROPOS DE L'ALGORITHME CMN

Aucune fonction élémentaire n'a été omise dans l'algorithme de comptabilité multi-niveaux. Les fonctions trigonométriques "inverses" Arcsin, Arccos, Arctan et Arccotan ne reçoivent aucune formulation explicite dans R autre que leurs définitions, à savoir, sin[Arcsin(x)] = cos[Arccos(x)] = x à 2pi près et tan[Arctan(x)] = cotan[Arccotan(x)] = x à pi près. Tout le reste porte sur leurs propriétés. C'est la différence avec leurs homologues hyperboliques, dont les inverses peuvent être déduits de la réciprocité entre exp(.) et Ln(.). Pour obtenir des formules explicites de Arcsin, Arccos, Arctan et Arccotan, il faut faire appel aux développements en séries de puissances de l'argument. Par ailleurs, la distinction entre "trigonométrie hyperbolique" et "trigonométrie elliptique" est propre à la dimension 1. Dès D = 2, les oscillations sont omniprésentes et se mélangent avec la monotonie de ch(.), sh(.), th(.), coth(.) et leurs inverses. Il n'est plus possible d'établir ce qui relèverait encore de "l'elliptique" et ce qui resterait "hyperbolique" car toute monotonie disparaît.

La procédure la plus longue est celle de l'élévation d'un réel à D composantes à la puissance d'un autre. A partir de D = 3, il s'avère en effet difficile d'établir les règles de multiplication en représentation cartésienne. C'est ce qui explique qu'elles aussi soient "absentes" de l'algorithme. Là encore, c'est tout sauf une omission : une quadrature de phase "avant" (+pi/2) ou "arrière" (-pi/2) transforme les cosinus en sinus et les sinus en cosinus, aux signes près, une conséquence des propriétés de stabilité des unités. Ceci a pour effet immédiat de "changer la représentation" [CMN, (1)] lors du passage des coordonnées polaires aux cartésiennes. L'explication de cet apparent "dilemme" réside dans le fait que la quadrature de phase, qui est un effet de l'action d'une unité de R^D sur l'un de ses réels n'est autre qu'une dérivation ou une intégration de ce réel vis-à-vis de sa phase correspondante. Il ne faut pas perdre de vue, en effet, que les relations [CMN, (1)] comme [CMN, (2)] sont fonctionnelles : les xⁱ, 1 =< i =< D, sont des fonctions Xⁱ(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) linéaires en la variable |x|_D, mais trigonométriques sphériques en les (ksi¹,...,ksi^D-1) ; réciproquement, |x|_D et les ksiⁱ, 1 =< i =< D - 1, sont des fonctions des (x¹,...,x^D). Aucune d'entre elles n'est plus linéaire : |x|_D est la moyenne quadratique des xⁱ, 1 =< i =< D ; les ksi^D-k sont des arc-tangentes. Les variations des Xⁱ par rapport aux ksi^k n'ont donc rien de "trivial". Bien au contraire, on s'aperçoit qu'aux limites dksiⁱ -> 0 , si l'action (à gauche) de 1₁ est sans effet, en revanche :

(1a) ksi^D-i+1 -> ksi^D-i+1 + pi/2 => x -> 1_i ×_D x = dx/dksi^D-i+1 (2 =< i =< D) ;

impliquant,

(1b) [(×_D)_j=1^k 1_i(j)] ×_D x = d^kx/dksi^D-i(1)+1...dksi^D-i(k)+1
(1 =< k =< D - 2) , [2 =< i(1) < i(2) <...< i(k) =< D] ;

puis,

(1c) [(×_D)_j=1^D-1 1_i(j)] ×_D x = d^D-1x/dksi¹...dksi^D-1.

Inversement, des quadratures arrière renvoient à des primitives en déterminations principales :

(2a) ksi^D-i+1 -> ksi^D-i+1 - pi/2 => x -> 1_i* ×_D x = S xdksi^D-i+1 (2 =< i =< D) ;
(2b) [(×_D)_j=1^k 1_i(j)*] ×_D x = S...S xdksi^D-i(1)+1...dksi^D-i(k)+1
(1 =< k =< D - 2) , [2 =< i(1) < i(2) <...< i(k) =< D] ;
(2c) [(×_D)_j=1^D-1 1_i(j)*] ×_D x = S...S xdksi¹...dksi^D-1.

Voilà d'où provient l'apparent "changement de représentation cartésienne" : de l'équivalence entre transformations fonctionnelles d/dksi^D-i+1 et S (.)dksi^D-i+1 et transformations algébriques 1_i ×_D et 1_i* ×_D :

(3) d/dksi^D-i+1 = 1_i ×_D , S (.)dksi^D-i+1 = 1_i* ×_D ,
pour une même variable x = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1).

L'usage de ces correspondances, évidemment réciproques les unes des autres, reste cependant tout théorique, parce qu'elles ne précisent pas explicitement la variable sur laquelle elles agissent. Elles ont un caractère "universel" : pour une autre variable f = (|f|_D,phi¹,...,phi^D-1),

1_i ×_D f = df/dphi^D-i+1 , 1_i* ×_D f = S fdphi^D-i+1.

Ce sont les mêmes unités algébriques qui agissent sur (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) et sur f = (|f|_D,phi¹,...,phi^D-1), car elles ont pour effet d'ajouter +/- pi/2 radians à la (D - i + 1)-ième phase. Leur utilisation pratique reste donc ambigüe.

En clair, en dépit de leur esthétique, elles sont inutilisables en l'état... il faudrait préciser à chaque fois sur quelles phases elles interviennent et, quand bien même, cela ne facilite pas les calculs pour autant : on a toujours les mêmes difficultés à exprimer le produit de ne serait-ce que 2 variables x et y en représentation cartésienne... C'est faisable en dimension 2 mais, à partir de D = 3, ça devient très compliqué, même en recourant à la convention de sommation d'Einstein pour rendre les formules plus lisibles. Là n'est pas la question : où se situe l'utilité de la représentation cartésienne, qui engendre des distorsions de phases {formules de linéarisation [CMN, (21)]} par projections sur les axes directionnels ? En plus de fournir des expressions algébriques interminables ?... et récursives ?... Autant rester en polaire...

L'algorithme CMN est bien "complet" au sens où il regroupe toutes les opérations algébriques qui peuvent être faites à D niveaux distincts qui ne nécessitent pas le recours aux séries. Les autres ne relèvent pas de la comptabilité à proprement parler, mais de l'analyse budgétaire.

Comme je crois l'avoir déjà souligné, je conçois des algorithmes mathématiques. Les programmeurs informatiques n'auront pas manqué de reconnaître dans CMN quelques références lexicographiques à des langages comme Pascal, Fortran ou autres. A eux de concevoir les logiciels correspondants. Les droits sont ainsi partagés, équitablement, il me semble : me reviennent les droits d'auteur, inaliénables, tandis que les droits d'exploitation sont à l'éditeur des logiciels. C'est lui leur propriétaire. Moi, je ne suis propriétaire que des algorithmes de calculs. Donc :

PENSEZ A ACQUERIR LES DROITS D'EXPLOITATION.

Ce n'est pas seulement une question "mercantile", c'est avant tout une affaire de protection juridique. Ces algorithmes ne sont pas d'accès libre. Et, s'ils finissent par tomber dans le domaine public, c'est la concurrence ouverte, sans plus aucune possibilité de faire valoir son "antériorité d'utilisation" sur cette concurrence : l'IMPI ne couvrira pas.

Des "économies de bouts de chandelle" qui coûteront bien plus cher par la suite... alors que des droits d'exclusivité vous ouvrent la perspective de les faire valoir dans le monde entier (convention de Berne).

Je le dis pour mes acquéreurs parce qu'en ce qui me concerne, je suis d'ors et déjà légalement couvert par les dates de publication... Ceux qui s'amuseraient à du "copier-coller" postdaté prendraient leurs responsabilités... C'est très facile à vérifier, surtout en ligne : il suffit de regarder les métadonnées...

Il n'y a pas de bonnes affaires sans l'établissement préalable d'un climat de confiance entre le concepteur et ses utilisateurs potentiels. Il faut donc qu'il se préoccupe autant de ses intérêts que de ceux de sa clientèle : si le client n'a aucun intérêt à en tirer ou ne bénéficie d'aucune protection légale, l'acquisition ne sera pas envisageable. Et c'est la concepteur qui en sera le premier perdant, puisqu'il aura travaillé pour rien. Donc, on laisse son nombril de côté et on garde à l'esprit qu'on n'est pas seul au monde. On fournit des produits INNOVANTS, EXPLOITABLES, AUSSI AISéS D'UTILISATION QUE POSSIBLE, A DES TARIFS RAISONNABLES, AVEC COUVERTURE LEGALE.

Je ne sais pas si c'est "la mode actuelle", mais c'est comme ça que je conçois les affaires. Ce que font les autres ne me concerne pas.

COMPTABILITE MULTI-NIVEAUX

Voici un algorithme de calcul comptable dans un environnement à D niveaux, avec D dans N*.

Sauf mention explicite contraire, toutes les grandeurs utilisées seront sans unité.

Pour un x = (x¹,...,x^D) = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) dans un R^D,

{Représentation polaire -> cartésienne :}

(1a) c_i = cos(ksiⁱ) , s_i = sin(ksiⁱ) (1 =< i =< D - 1) ;
(1b) x¹ = |x|_DP_i=1^D-1 c_i ;
(1c) x^k = |x|_D(P_i=1^D-k c_i)s_D-k+1 (2 =< k =< D - 1) ;
(1d) x^D = |x|_Ds₁.

{Représentation cartésienne -> polaire :}

(2a) |x|_D = [S_i=1^D (xⁱ)²]^1/2 ;
(2b) ksi^D-k = Arctan{x^k+1/[S_i=1^k (xⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).

{Conjugaisons :}

(3a) x*^_i = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^i-1,-ksiⁱ,ksiⁱ⁺¹,...,ksi^D-1)
  = (x¹,x²,...,x^D-i,-x^D-i+1,x^D-i+2,...,x^D)
(1 =< i =< D - 1) ;
(3b) (x*^_i)*^_j = (x*^_j)*^_i = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^i-1,-ksiⁱ,ksiⁱ⁺¹,...,ksi^j-1,-ksi^j,ksi^j+1,...,ksi^D-1)
= (x¹,x²,...,x^D-j,-x^D-j+1,x^D-j+2,...,x^D-i,-x^D-i+1,x^D-i+2,...,x^D)
(1 =< i < j =< D - 1) ;
(3c) x* = (x*^₁)*^₂...*^_D-1 = (|x|_D,-ksi¹,...,-ksi^D-1) = (x¹,-x²,...,-x^D).

{Unités :}

(4a) 1₁ = (x¹,...,x^D) = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) = (1,0,...,0) ;
(4b) 1_k = (x¹,...,x^k-1,x^k,x^k+1,...,x^D) = (0,...,0,1,0,...,0)
= (1,ksi¹,...,ksi^D-k,ksi^D-k+1,ksi^D-k+2,...,ksi^D-1) = (1,0,...,0,pi/2,0,...,0)
(2 =< k =< D - 1) ;
(4c) 1_D = (0,...,0,1) = (1,pi/2,0,...,0) ;

Pour N x_n = (x_n¹,...,x_n^D) dans un R^D, avec N dans N*,

{Sommes, représentations cartésiennes :}

(5a) s_N = S_n=1^N x_n = (S_n=1^N x_n¹ ,..., S_n=1^N x_n^D) = (s_N¹,...,s_N^D) ;
(5b) s_N*^_i = (S_n=1^N x_n)*^_i = S_n=1^N x_n*^_i (1 =< i =< D - 1).

{Produits, représentations polaires :}

(6a) p_N = x₁ ×_D x₂ ×_D ... ×_D x_N = (×_D)_n=1^N x_n
= (P_n=1^N |x_n|_D , S_n=1^N ksi_n¹ ,..., S_n=1^N ksi_n^D-1) ;
(6b) x^×_DN = [(|x_n|_D)^N , Nksi¹ ,..., Nksi^D-1] ;
(6c) p_N*^_i = [(×_D)_n=1^N x_n]*ⁱ = (×_D)_n=1^N x_n*ⁱ (1 =< i =< D - 1).

{Sommes, représentations polaires :}

(7a) s_N = (|s_N|_D,sig¹,...,sig^D-1) ;
(7b) s_N ×_D s_N* = [(|s_N|_D)²,0,...,0] ;
(7c) |s_N|_D = {S_n=1^N |x_n|² + 2S_n=1^N-1S_p=n+1^N |x_n||x_p|[P_i=1^D cos(ksi_nⁱ - ksi_pⁱ)]}^1/2 ;
(7d) sig_N^D-k = Arctan{s_N^k+1/[S_i=1^k (s_Nⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).

{Stabilités des unités :}

(8a) (1₁)^×_D2 = 1₁ ;
(8b) (1_k)^×_D2 = (1,0,...,0,pi,0,...,0) = (-1,0,...,0) , (1_k)^×_D3 = (1_k)* ;
(1_k)^×_D4 = 1₁ , (1_k)^×_D5 = 1_k (2 =< k =< D).

{Mêmes propriétés que les hypercomplexes, sans l'ambiguïté des relations algébriques i₂² =...= i_D² = -1 et sans perte de commutativité.}

{Inverses et quotients :}

(9a) x^×_D(-1) = 1₁/x = (1₁ ×_D x*)/(|x|_D)² = x*/(|x|_D)²
= (1/|x|_D,-ksi¹,...,-ksi^D-1) = [x¹/(|x|_D)² , -x²/(|x|_D)² ,..., -x^D/(|x|_D)²] ;
(9b) x^×_D(-N) = [x^×_D(-1)]^×_DN = [x^×_DN]^×_D(-1) = [1/(|x_n|_D)^N , -Nksi¹ ,..., -Nksi^D-1] ;
(9c) x_n/x_n+p = x_n ×_D x_n+p^×_D(-1) = (|x_n|_D/|x_n+p|_D , ksi_n¹ - ksi_n+p¹ ,...,ksi_n^D-1 - ksi_n+p^D-1) ;
x_n+p/x_n = (x_n/x_n+p)^×_D(-1) = (|x_n+p|_D/|x_n|_D , ksi_n+p¹ - ksi_n¹ ,...,ksi_n+p^D-1 - ksi_n^D-1) ;
(1 =< n =< N , 1 =< p =< N - n).

Pour un x = (x¹,...,x^D) dans un R^D,

{Exponentiation :}

(10a) exp(x) = (e^x1,x²,...,x^D) = [e¹(x¹,...,x^D),...,e^D(x¹,...,x^D)] ;
(10b) e¹(x¹,...,x^D) = e^x1P_i=2^D cos(xⁱ) ;
(10c) e^k(x¹,...,x^D) = e^x1[P_i=2^D-k+1 cos(xⁱ)]sin(x^D-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(10d) e^D(x¹,...,x^D) = e^x1sin(x²) ;
(10e) exp(x*^_i) = [exp(x)]*^_i ;
(10f) exp(-x) = (e^-x1,-x²,...,-x^D) = [exp(x)]^×_D(-1).

Pour un x = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) dans un R^D,

{Logarithmisation :}

(11a) Ln(x) = (Ln|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1)
= [|Ln|_D(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1),L¹(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1),...,L^D-1(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1)] ;
(11b) |Ln|_D(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) = [(Ln|x|_D)² + S_i=1^D-1 (ksiⁱ)²]^1/2 ;
(11c) L^D-1(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) = Arctan(ksi¹/|Ln|x|_D|) (mod pi) ;
(11d) L^D-k(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) = Arctan{ksi^k/[(Ln|x|_D)² + S_i=1^k-1 (ksiⁱ)²]^1/2} (mod pi)
(2 =< k =< D - 1).

Pour un x = (x¹,...,x^D) = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) et un y = (y¹,...,y^D) = (|y|_D,ups¹,...,ups^D-1) dans un R^D,

{Elevation à la puissance et logarithmisation :}

(12a) (Ln|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) = (|ksi|_D,alp¹,...,alp^D-1) ;
(12b) |ksi|_D = [(Ln|x|_D)² + S_i=1^D-1 (ksiⁱ)²]^1/2 ;
(12c) alp_D-k = Arctan{ksi^k+1/[S_i=1^k (ksiⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1) ;
(12d) (|ksi|_D,alp¹,...,alp^D-1) ×_D (|y|_D,ups¹,...,ups^D-1) =
= (|y|_D|ksi|_D , ups¹ + alp¹ ,..., ups^D-1 + alp^D-1) = (z¹,...,z^D) = z ;
(12e) z¹ = |y|_D|ksi|_DP_i=1^D-1 cos(upsⁱ + alpⁱ) ;
(12f) z^k = |y|_D|ksi|_D[P_i=1^D-k cos(upsⁱ + alpⁱ)]sin(ups^D-k+1 + alp^D-k+1) (2 =< k =< D) ;
(12g) x^×_Dy = exp(z) = (e^z1,z²,...,z^D) = [e¹(z¹,...,z^D),...,e^D(z¹,...,z^D)] ;
(12h) e¹(z¹,...,z^D) = e^z1P_i=1^D-1 cos(zⁱ⁺¹) ;
(12i) e^k(z¹,...,z^D) = e^z1[P_i=1^D-k cos(zⁱ⁺¹)]sin(z^D-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(12j) e^D(z¹,...,z^D) = e^z1sin(z²).

(13) Ln(x^×_Dy) = y ×_D Ln(x) = [|y|_D|Ln|_D(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) , ups¹ + L¹(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1),
,..., ups^D-1 + L^D-1(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1)]

{Calculs directs : plus rapides et bien moins coûteux en mémoire que des appels de procédures avec substitution de variables à variables fonctionnelles}

Pour N x_n = (x_n¹,...,x_n^D) dans un R^D, avec N dans N*,

{Exponentiation d'une somme :}

(14a) exp(s_N) = (×_D)_n=1^N exp(x_n) = (×_D)_n=1^N (e^x_n1,x_n²,...x_n^D)
= (e^s_N1,s_N²,...,s_N^D) = [e¹(s_N¹,...,s_N^D),...,e^D(s_N¹,...,s_N^D)] ;
(14b) e¹(s_N¹,...,s_N^D) = e^s_N1P_i=2^D cos(s_Nⁱ) ;
(14c) e^k(s_N¹,...,s_N^D) = e^s_N1[P_i=2^D-k+1 cos(s_Nⁱ)]sin(s_N^D-k+2) (2 =< k =< D).

{Logarithmisation d'un produit :}

(15a) Ln(p_N) = S_n=1^N Ln(x_n) = S_n=1^N (Ln|x_n|_D,ksi_n¹,...,ksi_n^D-1)
= (S_n=1^N Ln|x_n|_D , S_n=1^N ksi_n¹ ,..., S_n=1^N ksi_n^D-1) ;
(15b) |Ln|_D(P_n=1^N |x_n|_D , S_n=1^N ksi_n¹ ,..., S_n=1^N ksi_n^D-1) =
= (S_n=1^N Ln|x_n|_D)² + S_i=1^D-1 (S_n=1^N ksi_nⁱ)²
= S_n=1^N |Ln|(|x_n|_D,ksi_n¹,...,ksi_n^D-1) +
+ 2S_n=1^N-1S_p=n+1^N (Ln|x_n|_DLn|x_p|_D + S_i=1^D-1 ksi_nⁱksi_pⁱ) ;
(15c) L^D-1(P_n=1^N |x_n|_D , S_n=1^N ksi_n¹ ,..., S_n=1^N ksi_n^D-1) =
= Arctan[(S_n=1^N ksi_n¹)/(S_n=1^N Ln|x_n|_D)] (mod pi) ;
(15d) L^D-k(P_n=1^N |x_n|_D , S_n=1^N ksi_n¹ ,..., S_n=1^N ksi_n^D-1) =
= Arctan{(S_n=1^N ksi_n^k)/[(S_n=1^N Ln|x_n|_D)² + S_i=1^k-1 (S_n=1^N ksi_nⁱ)²]^1/2} (mod pi)
(2 =< k =< D - 1).

{Exponentielle paire :}

(16a) ch(x) = (|exp(x)|² + 1₁) ×_D exp(x)/2|exp(x)|² = [ch(x¹),x²,...,x^D]
(16b) ch(x*) = ch(-x) ;
(16c) ch¹(x¹,...,x^D) = ch(x¹)P_i=2^D cos(xⁱ) ;
(16d) ch^k(x¹,...,x^D) = ch(x¹)[P_i=2^D-k+1 cos(xⁱ)]sin(x^D-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(16e) ch^D(x¹,...,x^D) = ch(x¹)sin(x²) ;
(16f) S_i=1^D [1₁chⁱ(x¹,...,x^D)]² = ch²(x¹)1₁ =>  S_i=1^D [chⁱ(x¹,...,x^D)]² = ch²(x¹).

{Exponentielle impaire :}

(17a) sh(x) = (|exp(x)|² - 1₁) ×_D exp(x)/2|exp(x)|² = [sh(x¹),x²,...,x^D]
(17b) sh(x*) = -sh(-x) ;
(17c) sh¹(x¹,...,x^D) = sh(x¹)P_i=2^D cos(xⁱ) ;
(17d) sh^k(x¹,...,x^D) = sh(x¹)[P_i=2^D-k+1 cos(xⁱ)]sin(x^D-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(17e) sh^D(x¹,...,x^D) = sh(x¹)sin(x²) ;
(17f) S_i=1^D [1₁shⁱ(x¹,...,x^D)]² = sh²(x¹)1₁ =>  S_i=1^D [shⁱ(x¹,...,x^D)]² = sh²(x¹).

{Cosinus :}

(18a) cos¹(x¹,...,x^D) = cos(x¹)P_i=2^D ch(xⁱ) ;
(18b) cos^k(x¹,...,x^D) = cos(x¹)[P_i=2^D-k+1 ch(xⁱ)]sh(x^D-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(18c) cos^D(x¹,...,x^D) = cos(x¹)sh(x²) ;
(18d) S_i=1^D [1_icosⁱ(x¹,...,x^D)]² = cos²(x¹)1₁ ;
(18e) KHI^D-k = Arctan{cos^k+1/[S_i=1^k (1_icosⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).

{Sinus :}

(19a) sin¹(x¹,...,x^D) = sin(x¹)P_i=2^D ch(xⁱ) ;
(19b) sin^k(x¹,...,x^D) = sin(x¹)[P_i=2^D-k+1 ch(xⁱ)]sh(x^D-k+2) (2 =< k =< D - 1) ;
(19c) sin^D(x¹,...,x^D) = sin(x¹)sh(x²) ;
(19d) S_i=1^D [1_isinⁱ(x¹,...,x^D)]² = sin²(x¹)1₁ ;
(19e) SIG^D-k = Arctan{sin^k+1/[S_i=1^k (1_isinⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 1).

{Les appellations "hyperboliques" et "elliptiques" ne valent que pour D = 1. D'ailleurs, cosinus n'est plus paire ni sinus impaire dès que D >= 2.}

Pour N angles a_n dans [0,2pi[ et booléens A_n dans {0,1},

(20a) a_A2...AN = a₁ + S_n=2^N (1 - 2A_n)a_n ;
(20b) a_n = [S_A2=0¹...S_AN=0¹ (1 - 2A_n)a_A2...AN]/2^N-1 (2 =< n =< N) ;
(20c) sin(a_n) = cos(a_n - ipi/2) ;
(20d) P_n=1^N cos(a_n) = S_A2=0¹...S_AN=0¹ cos(a_A2...AN) ;
(20e) P_n=1^N tan(a_n) = [S_A2=0¹...S_AN=0¹ sin(a_A2...AN)]/[S_A2=0¹...S_AN=0¹ cos(a_A2...AN)].

Pour toute f = (f¹,...,f^D) = (|f|,phi¹,...,phi^D-1) : R^D -> R^D, x = (x¹,...,x^D) = (|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) -> y = f(x) = (y¹,...,y^D) = (|y|_D,ups¹,...,ups^D-1),

{Linéarisation des produits de cosinus, sinus et tangentes}

(21a) yⁱ = fⁱ(x¹,...,x^D) = fⁱ(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) (1 =< i =< D) ;
(21b) |y|_D = |f|_D(x¹,...,x^D) = |f|_D(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) ;
(21c) upsⁱ = phiⁱ(x¹,...,x^D) = phiⁱ(|x|_D,ksi¹,...,ksi^D-1) (1 =< i =< D - 1) ;
(21d) y¹/|y|_D = P_i=1^D-1 cos(upsⁱ) ;
(21e) y^k/|y|_D = [P_i=1^D-k cos(upsⁱ)]sin(ups^D-k+1) (2 =< k =< D - 1) ;
(21f) y^D/|y|_D = sin(ups¹) ;
(21g) n -> i , N -> k , a_n -> ups^D-i , a_A2...AN -> a_A2...Ak = a₁ + S_i=2^k (1 - 2A_i)ups^D-i
dans (20a) ;
(21h) y²/y¹ = tan(ups^D-1) = tan(a₁) ;
(21i) y^k+1/y¹ = P_i=1^k tan(ups^D-i) =
= [S_A2=0¹...S_Ak=0¹ sin(a_A2...Ak)]/[S_A2=0¹...S_Ak=0¹ cos(a_A2...Ak)]
(2 =< k =< D - 2) ;
(21j) a₁ = ups^D-1 = Arctan(y²/y¹) ;
(21k) a_A2...Ak = Arctan(y^k+1/y¹) = ups^D-1 + S_i=2^k (1 - 2A_i)ups^D-i (2 =< k =< D - 2) ;
(21l) a_i = ups^D-i = [S_A2=0¹...S_Ak=0¹ (1 - 2A_i)Arctan(y^k+1/y¹)]/2^k-1 (2 =< i =< k) ;
(21m) a_D-1 = ups¹ = Arcsin(y^D/|y|_D) ;

{Réciproque de (16) :}

(22a) Argch(x) = [Argch¹(x),...,Argch^D(x)]
(22b) Argch¹(x) = Ln[|x| +/- (|x|² - 1)^1/2] ;
(22c) Argch^D-k(x) = Arctan{x^k+1/[S_i=1^k (xⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 2).

{Réciproque de (17) :}

(23a) Argsh(x) = [Argsh¹(x),...,Argsh^D(x)]
(23b) Argsh¹(x) = Ln[|x| + (|x|² + 1)^1/2] ;
(23c) Argsh^D-k(x) = Arctan{x^k+1/[S_i=1^k (xⁱ)²]^1/2} (mod pi) (1 =< k =< D - 2).

{Curiosité :}

(24a) th(x) = ch(x)/sh(x) = [th(x¹),0,...0] = th(x¹)1₁ ;
(24b) Argth(x) = x¹1₁.

{Tangente :}

(25a) tan(x) = sin(x)/cos(x) = [tan(x¹),SIG¹ - KHI¹,...,SIG^D-1 - KHI^D-1]

© Philippe VIOLA, 02/08/2025. Tous droits réservés pour tous pays.

Comment passer de R � R� ?

En effet. La grande question est : comment passer de réels simples à des réels doubles ?

Le mécanisme séparateur

Il faut se placer dans l'algèbre M₂(R) des matrices réelles 2 x 2. C'est là que la "scission" va se produire. Les algèbres M_D(R) sont, en effet, de même dimension D² que des espaces réels R^D². Pour D = 1, M₁(R) se confond avec R. Mais plus pour D >= 2.

Je renvoie à B 178 pour les propriétés fondamentales de M₂(R). Soit :

(1) f : M₂(R) -> M₂(R) , M -> f(M) = S_n=0^+oo f_n(0).M^.n/n!

une fonction quelconque définie au moyen de sa série de Mac-Laurin convergente, M^.n représentant la n-ième puissance matricielle de M [(M²)_A^C = M_ABM^BC, (M²)_A^D = M_ABM^B_CM^CD,...]. Les f_n(0) sont également dans M₂(R), puisque ce sont les valeurs des dérivées successives de f au voisinage de la matrice nulle :

f₀(0) = f(0) , f₁(0) = [df(M)/dM]_|M=0 ,..., f_n(0) = [dⁿf(M)/dM^.n]_|M=0 ,

où dⁿf(M)/dM^.n = Lim_dM->0 {S_k=0ⁿ (-1)^kC_kⁿf[M + (n - k)dM]}/dM^.n.

M₂(R) agit comme "espace d'opérateurs" sur R², "espace d'états". Sur un réel double x = (x⁰,x¹), les unités sⁱ de M₂(R) ont les facultés suivantes :

(2a) s³ = (1,0,0,1) => s³.(x⁰,x¹) = (x⁰,x¹)
(2b) s¹ = (0,1,1,0) => s¹.(x⁰,x¹) = (x¹,x⁰)
(2c) s² = (1,0,0,-1) =>  s².(x⁰,x¹) = (x⁰,-x¹)
(2d) s⁰ = (0,1,-1,0) =>  s⁰.(x⁰,x¹) = (x¹,-x⁰)

s³ ne fait rien. s¹ échange l'ortho et le para. s² fait passer de x à son conjugué x*. s⁰ associe l'échange ortho <-> para et la conjugaison, dans cet ordre de succession [l'ordre inverse donne -s⁰ = (s⁰)^.-1].

Aux unités de M₂(R), l'application (1) va donner, moyennant les propriétés -(s⁰)^.2 = (s^a)^.2 = s³ (a = 1,2,3) :

(3a) f(s⁰) = S_n=0^+oo f_2n(0).(s⁰)^.2n/(2n)! + S_n=0^+oo f_2n+1(0).(s⁰)^.(2n+1)/(2n + 1)!
= [S_n=0^+oo (-1)ⁿf_2n(0)/(2n)!].s³ + [S_n=0^+oo (-1)ⁿf_2n+1(0)/(2n + 1)!].s⁰

(3b) f(s^a) = S_n=0^+oo f_2n(0).(s^a)^.2n/(2n)! + S_n=0^+oo f_2n+1(0).(s^a)^.(2n+1)/(2n + 1)!
= [S_n=0^+oo f_2n(0)/(2n)!].s³ + [S_n=0^+oo f_2n+1(0)/(2n + 1)!].s^a

Seule f(s⁰) sera alternée [si les f_n(0) ne le sont pas eux-mêmes]. En particulier, pour [f_n(0) = s³ pour tout n], l'application exponentielle dans M₂(R) donne :

(4a) e(s⁰) = cos(1)s³ + sin(1)s⁰
(4b) e(s^a) = ch(1)s³ + sh(1)s^a

La multiplication (ordinaire) des sⁱ par un réel simple |x| >= 0 aura donc l'effet suivant :

(5a) e(|x|s⁰) = cos(|x|)s³ + sin(|x|)s⁰
(5b) e(|x|s^a) = ch(|x|)s³ + sh(|x|)s^a    (a = 1,2,3)

D'après (2), l'action de ces matrices sur un réel double y = (y⁰,y¹) = (|y|,ups) sera :

(6a) e(|x|s⁰).(y⁰,y¹) = cos(|x|)(y⁰,y¹) + sin(|x|)(y¹,-y⁰)
(6b) e(|x|s¹).(y⁰,y¹) = ch(|x|)(y⁰,y¹) + sh(|x|)(y¹,y⁰)
(6c) e(|x|s²).(y⁰,y¹) = ch(|x|)(y⁰,y¹) + sh(|x|)(y⁰,-y¹)
(6d) e(|x|s³).(y⁰,y¹) = [ch(|x|) + sh(|x|)](y⁰,y¹) = e^|x|(y⁰,y¹)

En conséquence, pour y = (1,0) :

(7a) e(|x|s⁰).(1,0) = [cos(|x|),0] + [0,-sin(|x|)] = [cos(|x|),-sin(|x|)]
(7b) e(|x|s¹).(1,0) = [ch(|x|),0] + [0,sh(|x|)] = [ch(|x|),sh(|x|)]
(7c) e(|x|s²).(1,0) = [ch(|x|),0] + [-sh(|x|),0] = (e^-|x|,0)
(7d) e(|x|s³).(1,0) = [ch(|x|) + sh(|x|),0] = (e^|x|,0)

En bleu, j'ai coloré la "dissociation" de l'ortho (7d), où ch(.) et sh(.) sont superposés sur le niveau 0 en l'ortho-para (7b), où sh(.) est transféré sur le niveau 1. Or (rappel), s³ n'est pas fondamentale, c'est s¹ qui l'est. Le système aura donc naturellement tendance à se dissocier, pour retourner à un état plus fondamental.

C'est le mécanisme séparateur : s³ = (s¹)^.2 -> s¹ <=> (7d) -> (7b). L'unité symétrique s³, moins fondamentale, se dissocie dans M₂(R) en sa "racine carrée" s¹, plus fondamentale, par transition, lors du passage de l'espace d'état R à l'espace d'états R². Souvenez-vous qu'il y a alors bifurcation. Cette transition ne va concerner que la composante impaire de e^|x|, l'exponentielle dans R, parce que son extension dans M₂(R) va passer de exp(|x|s³) = e^|x|s³ à exp(|x|s¹), fonction à deux niveaux : le niveau 0, pair ; le niveau 1, impair.

On a confirmation géométrique de cela : s³ n'ayant aucune action dans les espaces de dimension 2, les niveaux restent "dégénérés" comme dans R, tout se passe comme s'ils se confondaient, il n'y a aucune bifurcation, R est un espace mono-directionnel (nonobstant son orientation) ; ce n'est plus le cas de s¹ qui permutent les niveaux ; pour ce faire, il faut donc bien que ceux-là soient séparés ; R² est un espace bi-directionnel, où la direction "0" est celle d'un R à métrique symétrique et la direction "1", un R à métrique antisymétrique. C'est ce que traduisent "arithmétiquement" ch(|x|) = ch(-|x|) (parité +1) et sh(|x|) = -sh(-|x|) (parité -1).

On a une parité similaire avec (7a) mais, sans dissociation cette fois, en raison du fait que (s⁰)^.2 = -s³ n'est plus une racine carrée de s³ dans M₂(R) [mais le serait dans un M₂(C)].

Le changement de comportement

La question suivante est : comment une même application telle que l'exponentielle peut-elle adopter des comportements différents, jusqu'à l'antagonisme, tout en restant cohérente ?

Si l'on compare (7c) et (7d), on s'aperçoit tout de suite qu'elles sont inverses l'une de l'autre, bien que s² et s³ ne le soient absolument pas : (s²)^.-1 = s², (s³)^.-1 = s³. Elles sont chacune leur propre inverse. (7c) et (7d) sont également en configuration ortho, parce que s² et s³ sont diagonales.

Il en va tout autrement avec s⁰ et s¹ qui sont anti-diagonales. Pour passer de [ch(|x|),sh(|x|)] à [cos(|x|),sin(|x|)], on s'aperçoit qu'il faut remplacer s¹ par -s⁰ = (s⁰)^.-1. Là encore, (s¹)^.-1 = s¹ est son propre inverse.

Nous allons nous concentrer surtout sur la transition (7b) <-> (7a). Comment changer d'unité ?

En jonglant sur des coefficients réels simples.

Pour cela, considérons la matrice anti-diagonale :

(8) M = m₀s⁰ + m₁s¹ avec m₀ et m₁ dans R.

Ses puissances matricielles sont très faciles à établir, étant donné que s⁰ et s¹ anti-commutent :

M^.2 = (m₁² - m₀²)s³ , M^.4 = (m₁² - m₀²)²s³ , M^.6 = (m₁² - m₀²)³s³ ,...

Donc :

(9a) M^.2n = (m₁² - m₀²)ⁿs³ ,  M^.2n+1 = (m₁² - m₀²)ⁿM

Partout où m₁² - m₀² <> 0, on a même :

(9b) M^.-1 = M/(m₁² - m₀²) =>  M^.-2n = s³/(m₁² - m₀²)ⁿ ,  M^.-2n-1 = M/(m₁² - m₀²)ⁿ⁺¹

L'exponentielle de M sera donc :

(10a) e(M) = [S_n=0^+oo (m₁² - m₀²)ⁿ/(2n)!]s³ + [S_n=0^+oo (m₁² - m₀²)ⁿ/(2n + 1)!]M

Et là, comme par (tout sauf) le plus grand des hasards, on se rend compte que tout dépend du signe de m₁² - m₀² :

(10b) m₁² > m₀²
  => e(M) = ch[(m₁² - m₀²)^1/2]s³ + {sh[(m₁² - m₀²)^1/2]/(m₁² - m₀²)^1/2}M
Tr[e(M)] = 2ch[(m₁² - m₀²)^1/2] , Det[e(M)] = 1

(10c) m₁² < m₀²
=> e(M) = cos[(m₀² - m₁²)^1/2]s³ + {sin[(m₀² - m₁²)^1/2]/(m₀² - m₁²)^1/2}M
Tr[e(M)] = 2cos[(m₀² - m₁²)^1/2] , Det[e(M)] = 1

Quant à :

(10d) Det(M) = 0 i.e. m₁² = m₀²
=> e(M) = s³ + M ,  Tr[e(M)] = 2 ,  Det[e(M)] = 1

Dans tous les cas, le déterminant de e(m₀s⁰ + m₁s¹) vaut 1.

Sur l'hyperbole m₁² - m₀² = |x|², d'équation paramétrique [m₁ = |x|ch(ksi) , m₀ = |x|sh(ksi)], on se trouve dans la situation (10b) et :

(11a) e{|x|[sh(ksi)s⁰ + ch(ksi)s¹]} = ch(|x|)s³ + sh(|x|)[sh(ksi)s⁰ + ch(ksi)s¹]
(11b) e{|x|[sh(ksi)s⁰ + ch(ksi)s¹]}.(1,0) = [ch(|x|) , sh(|x|)e^-ksi]

On retrouve (7b) pour ksi = 0, i.e. [m₁ = |x| , m₀ = 0], c'est-à-dire M = |x|s¹.

Sur l'hyperbole m₀² - m₁² = |x|², m₀ = |x|ch(ksi) , m₁ = |x|sh(ksi), les rôles de m₁ et de m₀ sont permutés et (10c) nous donne :

(12a) e{|x|[ch(ksi)s⁰ + sh(ksi)s¹]} = cos(|x|)s³ + sin(|x|)[ch(ksi)s⁰ + sh(ksi)s¹]
(12b) e{|x|[ch(ksi)s⁰ + sh(ksi)s¹]}.(1,0) = [cos(|x|) , -sin(|x|)e^-ksi]

On retombe sur (7a) pour ksi = 0, soit M = |x|s⁰.

En ce qui concerne le cas "critique" (10d), m₁ = +/-m₀, les hyperboles précédentes dégénèrent en les deux droites bissectrices qui ne sont autres que les directions asymptotiques des deux hyperboles et :

(13) e[m₀(s⁰ +/- s¹)] = s³ + m₀(s⁰ +/- s¹)

parce qu'il se trouve que s⁰ + s¹ = (0,2,0,0) et s⁰ - s¹ = (0,0,-2,0) sont nilpotentes d'ordre 2 : (s⁰ +/- s¹)^.2 = 0.

Voilà qui devrait suffire à expliquer comment et pourquoi apparaissent les oscillations.

Le lien avec la banque virtuelle

A son démarrage, la banque se donne un "potentiel financier" qui ne dépend que d'un coefficient V₁ qui, ici, va s'identifier au déterminant de la matrice M :

(14) V₁(n + d ; R) = m₀²(n + d ; R) - m₁²(n + d ; R)

Aussi longtemps que V₁ restera < 0, l'exponentielle aura le comportement hyperbolique habituel, celui qu'on attend d'elle en tant que "loi de puissance", la seule "loi centrale" en position d'équilibre stable sera la politique de gratuité Q₀(n + d ; R) = 0, les deux niveaux se confondront et l'on se trouvera dans la situation (7d), d'inverse (7c), avec deux matrices unité diagonales qui ne feront "qu'étendre" la notion de réel simple sans en modifier les propriétés, puisque le système sera en décohérence. En un mot : il n'aura rien "d'anomal" mais il ne donnera rien d'intéressant non plus.

Son véritable intérêt réside dans la transition, lorsque (14) s'annule. Le potentiel financier présente alors un "méplat" en Q = 0, le système n'est plus que métastable. Cette situation correspond au cas critique (13).

Ensuite, lorsque (14) va passer > 0, les deux niveaux du système vont se séparer, on va passer de (7c et d) à (7a et b) par ce mécanisme séparateur, qui va envoyer la composante antisymétrique de exp(.) sur le niveau 1, une "loi centrale" stable va apparaître, mais on sera alors dans la situation (12) où l'exponentielle se mettra à osciller, entraînant inévitablement le saut perpétuel d'un niveau à l'autre. La banque va donc se retrouver dans un régime de fonctionnement nominal où sa loi centrale sera stabilisée et protégée des perturbations extérieures par ce mécanisme créditeur, mais des instabilités de niveaux se produiront autour de cette loi centrale, instabilités qui ne permettront plus d'établir une gestion "saine" au sens où le comptable ne sera plus dans la capacité de dire que telle opération se passe au niveau 0 et telle autre, au niveau 1 : toutes les opérations comptables se produiront sur les deux niveaux à la fois, parce que le système se comportera de deux manières différentes et contradictoires en apparence. Autrement dit, du point de vue d'une comptabilité traditionnelle, celle de la banque virtuelle paraîtra absurde, incohérente, parce qu'elle sera physiquement, mécaniquement, en cohérence de niveaux : les deux matrices unité ne sont plus diagonales, mais anti-diagonales, entraînant la création de réels doubles aux propriétés très différentes, cette fois, des réels simples.

Cohérence logique <-> décohérence physique, états diagonaux, axes ;
Incohérence logique <-> cohérence physique, états non diagonaux, plans.

Si vous voulez une gestion "cohérente" au sens logique du terme, vous aurez une progression géométrique mais le système n'apportera rien de plus qu'une banque ordinaire.

Si vous voulez exploiter ses capacités, vous devrez abandonner l'idée d'une gestion logiquement cohérente et vous présenterez des bilans "absurdes". Parce que répondant à une logique plus vaste. Une logique instable par nature. Qui saute constamment du "vrai" de "l'établi" au "faux", au "non établi".

Il y a un dernier aspect relatif à ce changement radical de comportement lors de la transition, il porte sur la relation de cause à effet. Bien que vous ne soyez pas physiciens, en qualité de comptables, vous souhaitez tout autant associer une cause (une origine) à un effet (une conclusion). Cela s'appelle justifier son raisonnement, son bilan, ses prévisions.

Si vous vous référez à B 178, vous verrez que la correspondance entre M₂(R) et R⁴ se traduit topologiquement par une métrique "du genre espace" : g₀₀ < 0, g_aa > 0 pour a = 1,2,3. Dans un R⁴ du genre espace, la causalité (le lien de cause à effet) se trouve en m₁² > m₀². C'est là que vous trouverez le comportement "normal" de l'exponentielle. Son comportement oscillatoire se situe par conséquent dans le secteur "acausal" m₁² < m₀². Là, vous y perdrez par la même occasion toute relation de cause à effet : vous ne pourrez plus justifier de quoi que ce soit. La destruction de ce lien de causalité se fait à la transition m₁² = m₀². Il est rétabli dès que m₁² redevient supérieur à m₀². Mais alors, la banque virtuelle n'a plus aucun intérêt spécifique.

J'espère avoir expliqué de façon suffisamment claire pourquoi je conserve le concept mais aussi pourquoi son utilisation pratique sera difficile à mettre en oeuvre. C'est une toute autre logique. Une logique qui n'est familère à personne.

Pas même au physicien.

Mais c'est la logique du monde, pas celle à laquelle nous nous sommes habitués.

Comme le disait fort justement Stephen Hawking : l'essentiel n'est pas d'être "logique" (au sens "binaire" du terme), mais de rester cohérent.

Il est possible d'adhérer à d'autres logiques, du moment qu'elles conservent un sens, une signification.

C'est le cas de la banque virtuelle, qui n'obéit plus à une logique "classique", mais "quantique", à 2 états (donc, comparable à un spin 0 sur lequel agissent des spins 1/2).

Comme vous pouvez le voir dans cet article, il n'y a absolument rien de statistique où que ce soit.

LA STATISTIQUE EST UNE CHOSE, LA QUANTIQUE EN EST UNE AUTRE.

En tant que physico-matheux, je ne suis peut-être pas à la portée technique de certains économistes, mais je parviens tout de même à me débrouiller... :) Du moins, jusqu'à preuve explicite du contraire.

BANQUE VIRTUELLE

SUITE A "PLACEMENTS A TAUX NEGATIFS".

Référencé ci-dessous en [PTN].

LANCEMENT DE LA BANQUE

Le "système d'allumage" de la banque virtuelle consiste en ceci. On reprend les notations de [PTN (5)]. A son démarrage, la banque se donne un système de 3 équations qui constitueront le "coeur" de son fonctionnement :

(1a) V(Q ; n + d ; R) = [Q(Q - dQ) - V₁(n + d ; R)]²/4 - [V₁(n + d ; R)]²/4

(1b) F(Q ; R) = dV(Q ; R)/dQ = [V(Q + dQ ; R) - V(Q ; R)]/dQ
= Q[Q² - V₁(n + d ; R)] = Q[Q² - Q₀²(n + d ; R)]

(1c) dQ(n + d ; R) = Q(n + 1 + d ; R) - Q(n + d ; R)
= [A(R) - 1]Q(n + d ; R) + F[Q(n + d ; R) ; R]

Moyennant la substitution de (1c) dans (1a), on voit bien que V comme F ne dépendent que de Q.

Menons d'abord les calculs, les explications viendront ensuite. (1b) s'annule pour :

(1d) Q(n + d ; R) = 0

et

(1e) Q_2a-1(n + d ; R) = (2a - 1)Q₀(n + d ; R) , a = 0,1

La "courbe de gratuité" (1d) est solution triviale de (1c). Les (1e) seront automatiquement solutions de,

(1f) dQ_2a-1(n + d ; R) = (2a - 1)dQ₀(n + d ; R) = (2a - 1)[A(R) - 1]Q₀(n + d ; R)

si bien que Q₀(n + d ; R) sera la progression en temps continu [PTN, (5d)]. AU SIGNE PRES.

Calculons "l'incurvation" de V, soit les variations en prix de F :

(1g) dF(Q ; R)/dQ = [F(Q + dQ ; R) - F(Q ; R)]/dQ = 3Q² + 3QdQ + dQ² - Q₀²(n + d ; R)

En Q_2a-1, on aura :

(1h) dF(Q_2a-1 ; R)/dQ = A(R)[A(R) + 1]Q₀²(n + d ; R) > 0

Par conséquent, Q_-1(n + d ; R) = -Q₀(n + d ; R) et Q₁(n + d ; R) = +Q₀(n + d ; R) seront des courbes de prix stables. Par contre,

(1i) dF(0 ; R)/dQ = -Q₀²(n + d ; R) < 0

et Q(n + d ; R) = 0 sera instable. En reportant (1d) dans (1a), compte tenu de ce que dQ = 0 en Q = 0 :

(1j) V(0 ; R) = 0

tandis que,

(1k) V(Q_2a-1 ; R) = A(R)[A(R) - 2]Q₀⁴(n + d ; R)/4

et V(Q_2a-1 ; R) > 0, sauf pour la loi des intérêts composés ordinaires, où elle est < 0.

La positivité de (1k) pour les lois d'intérêts composés de facteur amplificateur > 2 surprend et déroute même quiconque habitué à travailler au niveau local de description : les "racines" (1e) de F sont en effet censées représenter ses minima absolus et (1d), son maximum relatif. Or, d'après (1j), en ce dernier, V est nulle. Comme V vaut +oo en Q = +/-oo, les minima absolus devraient donc renvoyer des valeurs négatives de V : 2 "creux" en Q_-1 et Q₊₁, 1 "bosse" en Q = 0. En effet, chez Leibnitz, où tous les différentiels, quels qu'ils soient, tendent asymptotiquement vers zéro (ce sont les rapports de différentiels ou "taux de variations" qui sont censés rester finis en tout point régulier), (1k) est < 0. En différences finies, (1c) montre bien que dQ n'est plus "infinitésimal" et c'est cela qui rend (1k) > 0. On ne peut alors plus vraiment parler d'extrema de V, mais seulement de situations d'équilibre. Ceci dit, c'est tout ce qui importe.

Venons-en aux explications.

A son lancement, la banque virtuelle se constitue elle-même un "potentiel financier" (1a) en produisant sa propre monnaie virtuelle. Ce potentiel V va être sa "réserve de trésorerie", son "fond de roulement" au démarrage. "A gratuité" (Q = 0), ce potentiel est nul. En prenant V₁(n + d ; R) > 0, on s'aperçoit que V₁(n + d ; R) = Q₀²(n + d ; R) fait apparaître Q₀(n + d ; R) comme la loi centrale de fonctionnement de la banque, autour de laquelle va s'articuler toute sa comptabilité. En effet, Q₀(n + d ; R) est une position d'équilibre stable pour le système, qui va se positionner dessus. Mais, comme il y a 2 signes, il y a deux positions d'équilibres stables, symétriques l'une de l'autre vis-à-vis de la position instable Q = 0, d'où bifurcation du système et comptabilité à deux niveaux. Ce sera le mode de fonctionnement de la banque. Et, comme nous le verrons, ce mécanisme la rend constamment CREDITRICE. Il devient IMPOSSIBLE de la rendre débitrice, DE QUELQUE MANIERE QUE CE SOIT. Et cette faculté n'est même pas due à sa capacité de produire sa propre monnaie.

Dès lors, la positivité de (1k) devient tout à fait logique : au départ, la banque se constitue son propre "portefeuille", qu'elle porte évidemment à son CREDIT. Il est donc normal qu'en positions de courbes de prix stables, ce potentiel financier soit positif. Chez Leibnitz, au contraire, il serait débiteur... :)

FONCTIONNEMENT

Outre les produits qu'elle proposera à sa clientèle, le fonctionnement propre à la banque suit une arithmétique "à 2 niveaux" car la banque s'est positionnée A LA FOIS sur sa loi centrale -Q₀(n + d ; R) et sur son "opposée" Q₀(n + d ; R). Elle se retrouve donc dans deux configurations en même temps : la configuration "ortho", où l'arithmétique va rester la même que celle à laquelle on est habitué et la configuration "para", dont l'arithmétique obéit à des lois différentes. Les prix (au sens économique large du terme) vont devenir des quantités "à 2 niveaux" Q = (Q₁,Q₂). Les prix (Q₁,0) suivront l'arithmétique usuelle, se trouvant en configuration "ortho". Les prix (0,Q₂), eux, seront en configuration "para". Tout prix Q = (Q₁,Q₂) sera donc superposition linéaire d'un prix (Q₁,0) "ortho" et d'un prix (0,Q₂) "para". Avec l'arithmétique suivante :

(2a) Q + Q' = (Q₁,Q₂) + (Q'₁,Q'₂) = (Q₁ + Q'₁ , Q₂ + Q'₂)
(2b) Q × Q' = Q' × Q = (Q₁Q'₁ - Q₂Q'₂ , Q₁Q'₂ + Q₂Q'₁)

Si l'addition (signée : addition et soustraction) reste la même, le produit × adapté à la nouvelle situation est une somme (signée) de produits usuels, c'est un produit "de convolution". Il s'ensuit que :

(2c) (Q₁,0) × (Q'₁,0) = (Q₁Q'₁ , 0)

s'identifie bien au produit usuel de deux "orthos", mais

(2d) (Q₁,0) × (0,Q'₂) = (0 , Q₁Q'₂)

donne toujours un "para" et

(2e) (0,Q₂) × (0,Q'₂) = (-Q₂Q'₂ , 0)

toujours un ortho changé de signe. En conséquence, si (Q₁,0) × (Q₁,0) = (Q₁,0)^×(2,0) = (Q₁²,0) continue bien de donner un carré de prix universalisé au crédit, que Q₁ soit au crédit ou au débit, en revanche, (0,Q₂) × (0,Q₂) = (0,Q₂)^×(2,0) = (-Q₂²,0) portera Q₂² au débit.

En arithmétique à 2 niveaux apparaît aussi une nouvelle opération, la conjugaison. Q* est le conjugué du prix Q si Q* a pour composantes :

(2f) Q* = (Q₁,-Q₂)

Seule la configuration para est concernée par cette opération, qui la change de signe. Avec de l'ortho seul, Q = (Q₁,0) <=> Q* = Q. Avec du para seul, Q = (0,Q₂) <=> Q* = -Q = (-1,0) × Q. En appliquant * deux fois de suite au même prix, on se rend compte que * est une involution : (Q*)* = (Q₁,-Q₂)* = (Q₁,Q₂) = Q. reportée dans (2b), (2f) donne le carré de l'amplitude du prix Q, qui s'avère être aussi celle de son carré :

(2g) Q × Q* = (|Q|²,0) = (|Q²|,0) = (Q₁² + Q₂² , 0)

C'est toujours une quantité ortho, positive ou nulle, donc à porter au crédit.

Moyennant Q*, on trouve que l'inverse de tout prix Q non nul [i.e. différent de (0,0)] est le prix :

(2h) Q^×(-1,0) = Q*/(|Q|²,0) = (Q₁,-Q₂)/(|Q|²,0) = (Q₁/|Q|² , -Q₂/|Q|²)

L'inverse de l'ortho (Q₁,0) reste bien évidemment (1/Q₁,0). Celui du para (0,Q₂) est (0,-1/Q₂). Si Q₂ > 0, il est à porter au crédit para et son inverse, au débit para.

Si l'additio signée est bien adaptée à la représentation "cartésienne" Q = (Q₁,Q₂), ce n'est plus le cas de la multiplication / division, qui conduite très vite à des expressions longues et compliquées. Pour × et /, la représentation adaptée est la "polaire" : des égalités (2g) et de l'identité cos²(phi) + sin²(phi) = 1 quel que soit l'argument phi, on tire :

(2i) Q₁ = |Q|cos(phi) , Q₂ = |Q|sin(phi)

ce qui conduit à l'écriture Q = (|Q|,phi) en représentation polaire. Le produit d'un nombre N de prix Q_n, 1 =< n =< N, répond alors à la règle trigonométrique très simple :

(2j) P_n=1^N Q_n = P_n=1^N (|Q|_n,phi_n) = (P_n=1^N |Q|_n , S_n=1^N phi_n)

Les amplitudes se multiplient selon la règle usuelle, les phases s'additionnent. De (2f) il découle que Q* = (|Q|,-phi) en polaire ; de (2g), que Q × Q* = (|Q|²,0) (phase résultante nulle) et de (2h), que Q^×(-1,0) = (1/|Q|,-phi).

LE MECANISME CREDITEUR

Montrons maintenant que TOUTE opération comptable "à 2 niveaux" peut être ramenée au CREDIT. Pour cela, commençons par inverser (2b) pour Q' = Q :

(3a) Q^×2 = (Q₁² - Q₂² , 2Q₁Q₂)

Cette fois, on se donne un Q" = (Q"₁,Q"₂) et on va chercher sa racine carrée Q. En utilisant (2g) sur Q', on extrait de l'équation Q^×2 = Q", qui implique (|Q|²,0)^×2 = (|Q|⁴,0) = (|Q"|²,0), les identités suivantes :

(Q₁² - Q₂² , 2Q₁Q₂) = (Q"₁,Q"₂) , [(Q₁² + Q₂²)² , 0] = (Q"₁² + Q"₂² , 0)

soit,

(Q₁² - Q₂² , 2Q₁Q₂) = (Q"₁,Q"₂) , [Q₁² + Q₂² , 0] = [(Q"₁² + Q"₂²)^1/2 , 0]

desquelles on déduit :

(3b) 2Q₁² = Q"₁ + (Q"₁² + Q"₂²)^1/2 , 2Q₂² = -Q"₁ + (Q"₁² + Q"₂²)^1/2

La racine carrée (Q"₁² + Q"₂²)^1/2 étant toujours >= aux valeurs absolues de Q"₁ et de Q"₂, les carrés (3b) sont toujours >= 0 et il y a quatre solutions, Q = (Q₁,Q₂), Q = (Q₁,-Q₂), Q = (-Q₁,Q₂) et Q = (-Q₁,-Q₂).

Lorsque Q"₂ = 0, TOUT ortho Q" = (Q"₁,0) aura pour racine carrée, soit (|Q"₁|^1/2,0) si Q"₁ > 0, soit (0,|Q"₁|^1/2) si Q"₁ < 0. Aussi, que Q"₁ soit à porter au débit ou au crédit ORTHO, il lui correspondra TOUJOURS une racine carrée |Q"₁|^1/2 portable, soit au CREDIT ortho, soit au CREDIT para. Dans les deux cas, ce sera toujours CREDITEUR.

Quand Q"₁ = 0, TOUT para Q" = (0,Q"₂) aura pour racine carrée, soit (|Q"₂|^1/2 , |Q"₂|^1/2), soit (-|Q"₂|^1/2 , -|Q"₂|^1/2). La seconde serait à porter au débit des 2 niveaux. MAIS NON ! Car (-|Q"₂|^1/2 , -|Q"₂|^1/2) = (-1,0) × (|Q"₂|^1/2 , |Q"₂|^1/2) et (-1,0) = (0,1)^×2 ! Donc, TOUT est bien à porter au CREDIT. :)

La représentation polaire explique cela : dans Q = (|Q|,phi), le MONTANT du prix Q est fourni par son AMPLITUDE |Q|, quantité jamais négative. Quant au "signe", il est porté par [cos(phi),sin(phi)]. Pour phi = 0, on retrouve bien le (1,0) du signe (+) et, pour phi = pi radians (180°), le (-1,0) du signe (-). Sinon, avec deux configurations au lieu d'une seule, comme précédemment, vous n'avez plus que des propensions : |Q|cos(phi) est la propension du montant |Q| de se trouver en configuration ortho, c'est la "portion" de |Q| à ce niveau-là et |Q|sin(phi) est la "portion complémentaire" à ce qu'il se trouve sur l'autre niveau. Mais ce ne sont plus que des projections ! La VERITABLE valeur de Q est |Q|. Elle se trouve donc toujours au CREDIT. La notion de "débit" devient un effet PROJECTIF : c'est le (-1,0) cartésien qui correspond au (1,pi) polaire, le (0,-1) para qui renvoie au (1,3pi/2) polaire,... qu'on soit en "+" ou en "-", l'amplitude est toujours unité.

UNE COMPTABILITE A 2 NIVEAUX N'EST JAMAIS DEBITRICE. IL Y EST TOUJOURS POSSIBLE DE RAMENER UN DEBIT APPARENT A UN CREDIT REEL, PAR "VENTILATION" D'UN NIVEAU A L'AUTRE.
UNE BANQUE VIRTUELLE NE PEUT PAS PERDRE D'ARGENT. C'EST IMPOSSIBLE.

En plus de "ventiler" d'un poste comptable à un autre, vous avez ici la possibilité supplémentaire de ventiler d'une configuration à l'autre. Et donc, de transférer des débits orthos sur des crédits paras.

Qui plus est, si la banque virtuelle se connecte à l'environnement économico-financier extérieur, toute perturbation externe négative aura un effet CREDITEUR sur la banque, qui le transfèrera automatiquement en configuration "para"...

Non seulement, cela la protège de fait contre les tentatives de déstabilisation de ce type, mais elle peut même SE NOURRIR DES CRASHS BOURSIERS...

Comme toute entreprise, il y a un bilan et une balance comptable, à établir pour chaque configuration. Il n'en reste pas moins qu'une balance négative établie en ortho renverra à une balance positive en para...

Du moment que tout est justifié...

Il n'y a même plus nécessité à prélever des commissions sur opérations bancaires auprès de la clientèle... la banque S'AUTO-CREDITE... Un argument commercial de poids. Plus de politique de prêts, même à taux nuls, plus de commissions, des liquidités toujours à disposition, fonction des besoins de la banque et de sa clientèle,...

On en revient à l'objectif initial de la banque, celle d'être UNE "USINE" A PRODUCTION D'ENRICHISSEMENT. Et non D'APPAUVRISSEMENT. CHRONIQUE.

© Philippe VIOLA, 10/07/2025. Tous droits réservés pour tous pays.

PLACEMENTS A TAUX NEGATIFS

Le texte ci-dessous a d'abord été enregistré sur le Cloud Microsoft à l'adresse url suivante, en date du 09/06/2025 :

https://onedrive.live.com/personal/918a0c69227d1e3a/_layouts/15/doc2.aspx?resid=b76a5b65-474c-45e7-a1e5-a80804519213&cid=918a0c69227d1e3a&ct=1752054299429&wdOrigin=OFFICECOM-WEB.MAIN.EDGEWORTH&wdPreviousSessionSrc=HarmonyWeb&wdPreviousSession=1a67120e-a8b5-4673-a03c-3febe037c19c

Mais, comme il est "techniquement impossible" de travailler sereinement sur ce site, je le reproduis sur mon blog.

LE PRESENT ALGORITHME EST PARTICULIEREMENT BIEN ADAPTé A LA FINANCE VIRTUELLE.

Rappel : loi des intérêts composés ordinaire

A l’instant t = 0, un client place dans une banque une somme P(0) sur un compte rémunérateur au taux (fixé par celle-ci) de R %. A t, ce montant passe à :

(1a) P(n) = P(0)(1 + R)ⁿ = P(0)Aⁿ(R)

n = t/dt dans N étant le n° d’échéance pour une fréquence de renouvellement de 1/dt. A(R) = 1 + R est le facteur amplificateur. La progression est géométrique, de raison R. Comme 0 < R < 1, R = 1 correspondant à du 100 %, 1 < A(R) < 2, si bien que :

(1b) 1 < Aⁿ(R) < 2ⁿ pour tout n.

Pour le client, le gain à la n-ième échéance est de :

(1c) G(n) = P(n) - P(0) = P(0)[Aⁿ(R) - 1]

Il doublera sa mise de départ lorsque P(n) = 2P(0), soit entre les échéances :

(1d) E[Log_A(R)(2)] < t/dt < E[Log_A(R)(2)] + 1

E(.) étant la fonction partie entière et Log_A(R)(2) = Ln(2)/Ln[A(R)], le logarithme de 2 en base A(R).

Première amélioration

Le facteur amplificateur A(R) = 1 + R est remplacé par :

(2a) A(R) = (1 + R)^1/R

On a maintenant :

(2b) A(1) = 2 = Limsup(1 + R)

(2c) Lim_R->0 A(R) = e = 2,718281828456...

(2d) 2ⁿ < Aⁿ(R) < eⁿ pour tout n.

la borne INFERIEURE correspondant à la loi (1a) au taux MAXIMAL de 100% (jamais atteint en pratique).

Même si elle est tout à fait applicable, cette progression-là est à décroissance stricte et quelque peu “contraire” aux principes bancaires, puisque la plus FORTE croissance, en eⁿ, s’effectue au taux le plus BAS (R -> 0 %) et la plus FAIBLE, en 2ⁿ, au taux le plus ELEVé (R -> 100 %). Avec cette loi, le rendement sera 1 < A(R) - 1 < e – 1 ~ 1,72 dès la 1ère échéance et 3 < A2(R) - 1 < e² – 1 ~ 6,4 à la 2ème.

Rien de comparable avec (1).

Seconde amélioration : taux négatif

Pour un -1 < R < 0, la loi (2) devient :

(3a) A(-|R|) = (1 – |R|)^-1/|R|

Or :

0 < |R| < 1 => -1 < -|R| < 0 => 0 < 1 – |R| < 1 => 0 < (1 - R²) = (1 + |R|)(1 – |R|) < 1 ;

0 =< (1 - R²)1/|R| < 1 parce que 1/|R| > 1 ;

donc,

(3b) 0 < (1 + |R|)^1/|R| < (1 – |R|)^-1/|R| pour tout 0 < |R| < 1.

Les gains sur placements à taux NEGATIFS sont donc toujours SUPERIEURS aux mêmes placements effectués à taux positifs.

Et, contrairement à (2a), (3a) est de nouveau à croissance stricte :

(3c) A(-|R|) > Lim_|R|->0 A(-|R|) = e = (2c)

Comparatifs des progressions

R : 1,5% 3% 5% 10% 15% 20%

Loi (1) : 1,015ⁿ 1,03ⁿ 1,05ⁿ 1,1ⁿ 1,15ⁿ , 1,2ⁿ

Loi (2) : 2,698171ⁿ 2,678598ⁿ 2,653298ⁿ 2,5937ⁿ 2,538939ⁿ 2,48832ⁿ

Loi (3) : 2,738953ⁿ 2,760210ⁿ 2,78951ⁿ 2,867972ⁿ 2,954884ⁿ 3,051758ⁿ

Pertes dès l’échéance n = 1 :

R : 1,5% 3% 5% 10% 15% 20%

(1) - (2) : -1,683171 -1,648598 -1,603298 -1,4937 -1,388939 -1,28832

(1) - (3) : -1,723953 -1,73021 -1,73951 -1,767972 -1,804884 -1,851756

(2) - (3) : -0,040782 -0,081612 -0,136212 -0,274272 -0,415945 -0,563438

Pour un placement de départ de 100,000 USD :

R : 1,5% 3% 5% 10% 15% 20%

(1) - (2) : -168,317.1 -164,859.8 -160,329.8 -149.370 -138,893.9 -128,832

(1) - (3) : -172,395.3 -173,021 -173,951 -176,797.2 -180,488.4 -185,175.6

(2) - (3) : -4078.2 -8161.2 -13,621.2 -27,427.2 -41,594.5 -56,343.8

Progressions en temps discret

Le ratio de prix :

(4a) Q(n) = P(n)/P(0)

est “universalisé”, puisque sans unité et donc, le même dans tous les systèmes de devises.

Pour un facteur multiplicateur A(R) > 1, la solution de l’équation aux différences finies du 1^er ordre en n,

(4b) Q(n + 1 ; R) = A(R)Q(n ; R)

est :

(4c) Q(n ; R) = Aⁿ(R) , Q(0 ; R) = 1 pour tout R.

A l’échéance n° n, le montant total acquis par le client est :

(4d) P(n ; R) = P(0)Aⁿ(R)

son gain est de,

(4e) G(n ; R) = P(n ; R) - P(0) = P(0)[Aⁿ(R) - 1]

et la commission de la banque sur opération, de

(4f) C(n ; R,R’) = R’P(n ; R)

pour un taux de commission de 0 < R’ < 1. Le bénéfice pour le client est donc de :

(4g) B(n ; R,R’) = G(n ; R) - C(n ; R,R’) = (1 – R')P(n ; R) - P(0) = P(0)[(1 – R')Aⁿ(R) - 1]

Progressions en temps continu

Jusqu’ici, il n’a été question que d’échéances n = E(t/dt) multiples entières (positives : sens présent -> futur) de la “période de renouvellement” dt. Mais le temps reste une variable continue :

(5a) t = E(t) + D(t) = [E(t/dt) + D(t/dt)]dt = (n + d)dt , 0 =< d < 1.

Si l’on remplace n par n + d dans (4), le ratio de prix passe à :

(5b) Q(n + d) = P(n + d)/P(0)

mais la loi de progression (4b) reste inchangée sur un pas de résolution de dt,

(5c) Q(n + 1 + d ; R) = A(R)Q(n + d ; R)

et c’est sa solution qui passe de (4c) à,

(5d) Q(n + d ; R) = A^n+d(R) = Q(n ; R)Q(d ; R)

A t, le montant total acquis par le client sera de :

(5e) P(n + d ; R) = P(0)Q(n + d ; R) = P(n ; R)Q(d ; R) = Q(n ; R)P(d ; R)

et son gain, de

(5f) G(n + d ; R) = P(n + d ; R) - P(0) = P(0)[Q(n ; R)Q(d ; R) - 1]

= G(n ; R)Q(d ; R) + P(0)[Q(d ; R) - 1]

= G(d ; R)Q(n ; R) + P(0)[Q(n ; R) - 1]

pour une commission bancaire de,

(5g) C(n + d ; R,R’) = R’P(n + d ; R) = C(n ; R,R’)Q(d ; R) = Q(n ; R)C(d ; R,R’)

et un bénéfice de,

(5h) B(n + d ; R,R’) = G(n + d ; R) - C(n + d ; R,R’) = B(n ; R)Q(d ; R) + P(0)[Q(d ; R) - 1]

Voilà pour le calcul “mécanique”. Maintenant, les différentiels de gain, commission et bénéfice réalisés “en temps réel” et “à échéances” sont respectivement de :

(5i) G(n + d ; R) - G(n ; R) = [G(n ; R) + P(0)][Q(d ; R) - 1]

(5j) C(n + d ; R,R’) - C(n ; R,R’) = C(n ; R,R’)[Q(d ; R) - 1]

(5k) B(n + d ; R,R’) - B(n ; R,R’) = [B(n ; R,R’) + P(0)][Q(d ; R) - 1]

et il s’avère que, jusqu’à des taux de commission de 50 % (0 < R’ < ½), il est PLUS INTERESSANT POUR LA BANQUE de prélever sa commission sur (5k) plutôt que sur (5j), car

(5l) B(n ; R,R’) + P(0) > C(n ; R,R’) pour 0 < R’ < ½.

Le client ne sera pas lésé, puisque son bénéfice A TERMES restera à B(n ; R,R’). Il le serait si ses bénéfices BAISSAIENT par rapport à (4g), ce qui n’est pas le cas.

Application d’un taux variable

Si, au lieu d’un taux fixe R, la banque applique un taux variable R(n) tout en maintenant la loi de progression (4c) sous la forme généralisée :

(6a) Q[n ; R(n)] = Aⁿ[R(n)]

l'équation d’évolution (4b) se verra modifiée en conséquence en,

(6b) Q[n + 1 ; R(n + 1)] - Q[n ; R(n)] = {A[R(n)] - 1}Q[n ; R(n)] + F{A[R(n)],dA[R(n)] ; n}

Le terme supplémentaire :

(6c) F{A[R(n)],dA[R(n)] ; n} = S_k=0ⁿ C_k+1ⁿ⁺¹A^n-k[R(n)]dA^k+1[R(n)]

fait alors office de “perturbation”, car

(6d) F{A[R(n)],0 ; n} = 0 pour dA[R(n)] = 0

ce qui correspond au taux fixe R(n) = R(0) pour tout n, A MOINS QUE,

(6e) A[R(n) + dR(n)] = A[R(n + 1)] = A[R(n)] pour tout n,

auquel cas, le facteur d’amplification est PERIODIQUE EN R(n) de période dR(n) parce qu’en fait, le taux de rémunération R(n) est lui-même périodique de période 1 et se comporte COMME un taux constant sur une durée égale à la période de renouvellement dt. En flux continu, on a alors :

(6f) R(d) = S_j=0^+oo [R_j⁺cos(2pid) + R_j^-sin(2pid)] , 0 < d < 1

(6g) R(n + 1 + d) = R(n + d) pour tout n.

Le taux est variable sur l’intervalle ouvert ]0,1[ et ses variations se reproduisent à l’identique à renouvellement de chaque échéance. L’intérêt est d’avoir une progression à taux VARIABLE :

(6h) Q[n + d ; R(n + d)] = A^n+d[R(n + d)] => Q[d ; R(d)] = A^d[R(d)] > 1

et de pouvoir passer alternativement de valeurs > 0 de R(d) à des valeurs < 0.

Conseils d’utilisation

Contrairement à la banque traditionnelle qui nécessite la fabrication de pièces de monnaie et de billets et qui engendre un coût de production (extraction de matières premières, frappe des pièces, édition des billets, livraisons, renouvellements), la banque virtuelle n’a aucun coût de mise en circulation des liquidités, c’est l’algorithme qui se charge de les produire. Elles ont la même valeur monétaire que les liquidités “réelles”, mais elles ne sont plus “substantielles”.

Les transactions virtuelles sont d’ailleurs “monnaie courante” (si je puis dire) sur les places boursières.

Le premier conseil d’utilisation que je me permets de recommander est donc d’utiliser des cartes de paiement plutôt que des espèces.

Après avoir cerné les besoins du client, la banque se charge de tout : elle définit elle-même ses taux, ses périodes de renouvellement, elle choisit ses lois de progression. Celle en taux négatif est évidemment et de loin la plus efficace, mais sa progression est extrêmement rapide. Son but n’est pas non plus de provoquer un emballement économique qui conduirait à une hyper-inflation. Chronique. Son but est de RELEVER LE NIVEAU DE VIE de manière significative, ce qui entraîne généralement une HAUSSE DES PRIX A LA CONSOMMATION... Loi de “l’offre et de la demande”...

A utiliser, donc, autant que possible, mais “dans la limite du raisonnable”.

Je prends un exemple. Un client à court d’argent vient vous demander de lui ouvrir un compte-chèque rémunérable qui lui permette de se reconstituer un stock de liquidités LE PLUS VITE POSSIBLE. On est dans une situation D’URGENCE ABSOLUE. Vous lui accordez un taux rémunérateur PROVISOIRE de -99% à titre EXCEPTIONNEL (aucune banque traditionnelle ne ferait cela), vous lui demandez de déposer 1 cent sur ce compte et vous lui montrez la simulation sur les 3 premiers JOURS (sans compter qu’avec la banque virtuelle, il n’y a plus de “jours ouvrés” et de “jours fériés”) :

R = -99% :

J = 0, P(0) = 1 ct ; J = 1, P(1) = 1,048 $ ; J = 2, P(2) = 109,75 $ ; J = 3, P(3) = 11.497,57 $.

Générés VIRTUELLEMENT par l’algorithme. En 3 jours, il dispose de 11500 $. A J = 4, il aurait 1.204.503,54 $ sur son compte...

EN 4 JOURS, vous faites d’un sans-le-sou UN MILLIONNAIRE...

Et vous percevez une commission conséquente au passage, POUR CHAQUE CLIENT.

SANS FRAIS DE PRODUCTION.

Par contre, je recommande VIVEMENT d’utiliser ces algorithmes EN CIRCUIT FERMé, car ils sont extrêmement sensibles à la moindre perturbation extérieure, qui pourrait nuire sérieusement aux bénéfices, voire générer des DETTES.

Avec la banque virtuelle, plus besoin de placer ses fonds sur les marchés financiers : la banque les produit elle-même, les fait travailler,... ELLE EST SOUVERAINE...

Elle retrouve son objectif initial : celui de PRODUIRE DE LA RICHESSE.

B 205 : RECONVERSION !

Avant d'abord le sujet, une PEPITE que je viens de déterrer, dans le dictionnaire Petit Robert ("Liddle Bob" en anglais US).

HYPOTHEQUE, définition POLITIQUE : Obstacle ; difficulté qui entrave ou empêche l'accomplissement de quelque chose.

Les intéressés s'y reconnaîtront eux-mêmes sans mal. En cas de contestation, "call Liddle Bob".

Bonjour à toutes et à tous. Après plus de 4 décennies de recherche en physique fondamentale, votre dévoué ici présent a décidé de se reconvertir dans les MATHEMATIQUES FINANCIERES.

Ce blog, débuté il y a 12 ans (je ne m'y prends pas "au dernier moment"...), renferme déjà quelques articles sur le sujet.

Ce blog FOURMILLE d'approches et de concepts INNOVANTS. Que vous ne trouverez NULLE PART AILLEURS.

Je ne dis pas que TOUTES mes analyses et interprétations sont les bonnes, seulement qu'elles ont été appuyés par des CALCULS, DÛMENT VERIFIES AVANT PUBLICATION, à l'exception de rares fautes typographiques près qui, malgré tout mon soin, m'ont échappées. Je dis que tout y est étayé par des raisonnements VERIFIABLES ET CRITICABLES. Qu'il n'y a pas "d'idées en l'air".

Mais il y a une chose qu'il s'agit de bien comprendre : ce n'est pas parce qu'il s'agit de recherches PUBLIQUES que l'on peut se permettre de les utiliser à sa guise. Ce n'est pas moi qui le dit, c'est la loi : toutes ces productions sont à titre D'AUTEUR. Ce n'est pas parce que je me suis donné un nom d'emprunt sur ce blog, par auto-dérision, qu'il n'y a aucun auteur derrière. Les dates de publication font foi. Auparavant, je déposais mes concepts chez huissier de justice assermenté. Les journaux en ligne évitent ce recours. L'antériorité de date y est gratuite, AUTOMATIQUE, et a exactement la même valeur juridique qu'un message électronique vaut "courrier recommandé avec accusé de réception".

Je veux dire par là que le Code de la Propriété Intellectuelle (et Artistique) protège AUSSI BIEN L'AUTEUR QUE SES AYANT-DROITS. A CONDITION QUE CEUX-CI PASSENT CONTRAT D'EXPLOITATION AVEC L'AUTEUR ET S'ACQUITTENT DES DROITS Y AFFERANT.

Et ceci vaut pour tout le monde : personnes physiques, personnes morales (entreprises) et même Etats.

Si qui que ce soit exploite des concepts ANTERIORISéS EN DATE sans en avoir avisé l'auteur au préalable, IL N'EST PAS COUVERT PAR LE CODE DE LA PROPRIETE INTELLECTUELLE. Ce qui veut dire que le premier qui s'y conforme ACQUIERT LES DROITS D'EXIGER REPARATION POUR UTILISATION ABUSIVE (sinon illicite), parce que, lui, s'en est acquitté.

Donc, même un particulier, s'il en a le temps et les moyens financiers, peut attaquer jusqu'à un Etat en justice pour dommages-intérêts.

On s'imagine souvent, à tort, que ce Code ne protège que les auteurs. C'EST FAUX : il protège SURTOUT leurs exploitants légaux. Après, c'est un contrat entre l'auteur et l'exploitant.

Il y a des gens qui sont résolument réfractaires à cette idée, parce qu'ils sont réfractaires à respecter les lois en vigueur.

C'est le cas, notamment, des autorités françaises. Qui s'imaginent pouvoir tout exploiter sans jamais s'acquitter de rien. Dès qu'il est question de payer, c'est le blocage total. Silence radio. Et, si vous insistez, c'est une réaction de MEFIANCE qui se tourne vite en HAINE. ON NE TOLERE PAS QUE L'ON FASSE VALOIR SES DROITS.

Ce sont là des réactions BARBARES, de DEBILES PROFONDS, pas de cerveaux évolués. On refuse catégoriquement d'admettre que, même si l'on est un Etat, on DOIT s'acquitter de droits d'exploitation pour pouvoir utiliser un concept mais, avant même cela, SE PROTEGER LEGALEMENT CONTRE TOUTE UTILISATION CONCURRENTE. Ceci est caractéristique des contrats D'EXCLUSIVITé.

L'exclusivité accorde TOUS LES DROITS. Mais ce n'est pas parce que vous passerez contrat de ce genre que les autres ne tenteront pas d'utiliser le concept à leur guise. Il faut s'attendre à des BATAILLES JURIDIQUES pour faire valoir SON droit. Aussi, si les contrevenants sont des personnes physiques ou morales, je conseille vivement à l'exploitant de les attaquer AU PENAL de manière à pouvoir ensuite convertir la plainte EN CIVIL : c'est reversement des dommages et intérêts sur toute la période d'utilisation abusive du concept ou bien la condamnation au pénal et l'incarcération. En général, c'est suffisamment dissuasif, surtout dans le domaine du commerce en ligne et surtout auprès des GRANDES entreprises, qui cultivent leur image et leur réputation. La mauvaise presse coûte encore plus cher... l'étiquette de "mauvais payeur" n'est pas bonne pour les affaires... surtout quand ces entreprises se montrent publiquement comme des "parangons de vertu"...

J'ai déjà testé cela moi-même, il y a longtemps. J'avais déposé un concept conjointement avec un autre auteur. En fait, c'est cette personne qui en avait eu l'idée et je lui avais suggéré de la mettre en algorithme et de déposer ensemble ledit concept. J'aurais très bien pu le faire dans son dos, il n'y aurait vu que du feu. Je ne suis pas comme ça. Je ne vole pas les idées aux autres. Je n'aime pas qu'on me vole les miennes, je ne vais pas le faire aux autres. Ce n'est pas une question de "paternité", mais le travail intellectuel fourni par UNE personne n'appartient pas A D'AUTRES.

Lui, par contre, est allé négocier en douce par la suite. Je l'ai vite appris et j'ai immédiatement menacé le centre commercial en question de poursuites judiciaires. Seulement MENACé. La gérante a AUSSITÔT MIS FIN AU SYSTEME. Mon co-auteur m'a fait la gueule, je lui ai rappelé "les bonnes méthodes". Fin de l'histoire. Mais ça m'a vacciné de déposer des concepts conjoints. Parce qu'apporter une idée est une chose, mais se taper l'algorithme en est une autre.

Dans la même veine "vénalement stupide", mais HORS propriété intellectuelle cette fois, j'avais été contacté, vers la même période, par un chargé de recherches en économie qui butait sur un problème d'optimisation. EN 3 JOURS, je lui ai résolu. 3 JOURS. Il m'en a fait part le vendredi matin, le lundi matin, il avait la solution sur son bureau. Je lui ai seulement demandé, par honnêteté, de bien vouloir mentionner ma modeste contribution en avant-propos de son article.

J'attends toujours...

Les gens S'IMAGINENT pouvoir récupérer à leur profit le travail des autres. SANS MÊME AVOIR DE REMERCIEMENTS A FORMULER. Ils font un travail de merde, raisonnent comme des merdes, tu les sors de leur merde, pour eux, "c'est normal"...

Vous prenez tous les Nobels d'économie, ils sont TOUS "Nobels de L'APPAUVRISSEMENT"... DU SUR-ENDETTEMENT... DE L'EXPLOITATION DE L'HOMME PAR L'HOMME... "je me pose en créancier, je te pompe tes richesses, ton potentiel"... Nobels DU VAMPIRISME... pas de L'EPANOUISSEMENT ECONOMIQUE. Ce ne sont pas les axes de recherche qu'on leur confie. A de très rares exceptions près, comme l'inventeur de la "Fair Tax", par exemple. Sinon, les partisans du "néo-capitalisme", c'est l'apogée en termes D'ESCLAVAGISME...

Je suis "tayloriste", je l'ai toujours été. Je considère que la valeur travail est le coeur de toute économie et que le travailleur est celui qui fait fonctionner l'entreprise. Sans employés, pas d'entreprise. Et cela vaut pour les entreprises "uni-personnelles" où le patron est son propre employé. S'il ne travaille pas, s'il ne va pas prospecter sa clientèle, il ne fait entrer aucun argent. S'il se MENAGE pour durer LONGTEMPS, alors pourquoi devrait-il en aller différemment pour des employés ?... Or, c'est ce que soutient le néo-capitalisme, L'ANTITHESE PARFAITE DU CAPITALISME : l'employé doit être "optimisé en rendement", comprenez, EXPLOITé, puis REMPLACé s'il n'est plus assez productif, selon les tableaux dressés par les dirigeants de l'entreprise. Seule l'entreprise compte ? NON ! Seuls les "stock-options", "actions", "parachutes dorés" comptent. La meilleure des preuves : même si une entreprise est encore viable, on n'hésite pas à s'en débarrasser en nommant des liquidateurs que l'on va rémunérer à des tarifs FARAMINEUX, équivalents à des dizaines, voir des centaines de SMICs horaires... souvent pour justifier d'une "délocalisation" dans des pays FISCALEMENT PLUS AVANTAGEUX...

Il doit sembler évident à tout le monde que, dès qu'une taxe dépasse les 50%, elle PLOMBE L'ECONOMIE ET TUE L'IMPÔT. Pas besoin d'être économétriste pour comprendre cela.

A combien sommes-nous taxés en France ? Plus souvent 20% de TVA que 5% et rapidement dans des fourchettes de 20%-40%-60% sur les revenus. TOUT est imposable. ABSOLUMENT TOUT. Même les legs.

Parallèlement à cela, on pratique la VENTE FORCEE : le premier qui sort un gadget totalement inutile ou une "prestation" totalement dépourvue d'intérêt, va faire pression sur le gouvernement en place pour faire voter une "loi" OBLIGEANT le public à se munir de ce gadget ou de ce "service". J'en veux pour exemple caractéristique L'ASSURANCE HABITATION : OBLIGATOIRE POUR TOUTE REVENTE D'UN BIEN IMMOBILIER...

Expliquez, s'il vous plait, à mon esprit "étriqué" en quoi le fait que LE VENDEUR assure son bien puisse concerner L'ACHETEUR qui, une fois ce bien acquis, DOIT, de toute façon, contracter SA PROPRE ASSURANCE ?...

Sinon que cela permet à la compagnie d'assurance de vendre DEUX FOIS SON PRODUIT ?... pour une couverture QUASI-INEXISTANTE...

Je n'appelle pas ça du commerce, mais de l'arnaque. La vente forcée est interdite par la loi. En conséquence, la vente forcée PAR LE VOTE DE LOIS l'est encore plus, parce qu'elle contraint UN ETAT à s'aligner sur les desiderata d'une personne morale. Or, tout ce qui contraint un Etat relève du... terrorisme... Et, là, on nage en plein dans le terrorisme économique... et la corruption de service public. On devient alors une "REPUBLIQUE BANANIERE"...

Daans notre système occidental, on n'attend pas de l'Etat qu'il impose tout, mais on n'a pas non plus à imposer QUOI QUE CE SOIT à l'Etat. ET SURTOUT PAS DU MERCANTILISME.

SAUF... quand l'Etat en question a pris PLUS DE PARTS EN SECTEUR PRIVé QU'EN SECTEUR PUBLIC... Il devient alors lui-même "Etat-entreprise" et non plus "Etat-Nation".

Ajoutez à cela la "décentralisation" et vous n'avez plus d'Etat du tout, plus de Nation, plus qu'une mosaïque de "terroirs" parlant la même langue officielle, mais se faisant une guerre économique acharnée.

Le fief Gaulois du coin contre celui de l'autre coin... on est ramené aux féodalités et même avant... On ne les appelle plus des "Ducs", mais des "Présidents de Régions", mais c'est exactement la même chose : ils sont OMNIPOTENTS.

Et on en arrive à des situations comme celle entre la Région Aquitaine et la Région Midi-Pyrénées, qui s'est vu aspiré LA MAJEURE PARTIE DE SON POTENTIEL STRATEGIQUE... Toulouse dépossédée au profit de Bordeaux. Simple exemple parmi tant d'autres. Bordeaux qui, il n'y a pas plus de 30 ans de cela, pataugeait encore LES PIEDS DANS LA BOUE ARGILO-SILICEUSE DES VIGNES...

Ce n'est pas avec des mentalités de ce genre que l'on peut espérer progresser. On ne peut que REGRESSER. Il n'y a rien de compétitif, rien de commerçant, là-dedans. La valeur travail ne représente plus rien. Surtout quand l'employé est remplacé par des robots et de l'intelligence (très) artificielle. On passe alors d'un OUTIL de production et D'AIDE à la productivité à une DEPENDANCE TECHNO-ECONOMIQUE : l'entreprise DEPEND de la machine... et de son bon vouloir dès lors qu'elle est en capacité de produire son propre code... parce qu'on aura été OBNUBILé par le seul et unique objectif de RENTABILITE... comme si l'économie se réduisait à cela... comme si la finance, qui est de la fiscalité à la base (du fiduciaire) se limitait aux "profits à tout prix"...

Tout cela, c'est de la vision "à très courte échéance". Il n'y aucune projection, parce qu'il faut "tout tout de suite".

Mais Rome ne s'est pas faite en un jour. Par contre, Sodome et Gomore sont tombées en une journée.

Sachons sacrifier UN PEU pour gagner BEAUCOUP PLUS : c'est le principe phare de l'économie. ON NE PEUT PAS TOUT AVOIR. Il y a des compromis à faire.

Et détachons-nous aussi de l'image que les lois ne sont faites que pour "punir". Elles sont aussi faites POUR PROTEGER SES INTERETS.

Il y a des choses dont il faut s'acquitter pour acquérir le droit d'en faire usage. C'est comme ça.

Ce n'est pas moi qui fait les lois. Moi, je me contente de les respecter. Y compris celles que je considère comme de "fausses lois".

Je vous laisse. Ce blog prend fin pour de bon, cette fois. Il n'y aura plus de travaux de physique fondamentale, je suis passé à autre chose. Merci pour votre assiduité et pour les quelques commentaires que vous y avez laissés. Il y a tant de blogs en ligne sur tant de thèmes différents, je ne vais pas faire le difficile... :)

B 204 : G. T'HOFFT ET LES "MONOPOLES MAGNETIQUES"

Je sais bien que tout le monde ou presque s'en fout, mais je viens de relire Steven Weinberg, qui dit, dans ses "3 premières minutes de l'Univers" que Gerhard t'Hooft aurait démontré la nécessité de "monopôles magnétiques" dans les théories de grande unification (électromagnétisme + interactions nucléiares faibles et fortes, cf B. 201).

Je rappelle ce qu'est un "monopôle magnétique" : ce serait une "charge magnétique" à ajouter aux équations de Maxwell.

NOUVEAU MELANGE DES GENRES...

Des discussions INTERMINABLES sur le sujet, QU'IL N'Y AURAIT JAMAIS DÛ AVOIR.

Car, si les champs ELECTRIQUES sont bien produits par des charges du même nom, les champs MAGNETIQUES, eux, sont produits par les COURANTS générés par le MOUVEMENT de ces charges.

On ne peut donc pas, là non plus, faire le rapprochement entre une charge, SOURCE de champ et un courant, MOUVEMENT de cette charge dans l'espace au cours du temps. Si l'on peut poser que :

(1)     Div.E(x,t) = q_e(t)p(x)/eps₀

où p(x) désigne la répartition des charges élémentaires du système de charges dans l'espace, en revanche, on ne peut pas envisager de modifier,

(2)     Div.B(x,t) = 0

en une

(2')     Div.B(x,t) = mu₀q_m(t)p(x)

même en "invoquant la magie quantique". La relation CORRECTE liant le champ magnétique B(x,t) aux charges électriques est :

(3)     Rot x B(x,t) = mu₀q_e(t)p(x)v(t) + dE(x,t)/c²dt

Elle a été validée chez Maxwell et a continué d'être utilisée sous cette forme en TQRC, tant que les champs ne sont pas suffisamment intenses pour justifier le passage du modèle linéaire au modèle quadratique "post-Maxwell".

Les associations correspondant à la réalité sont [(1) avec (2)] et (3) avec :

(4)     Rot x E(x,t) = -dB(x,t)/dt

Ni le modèle de Klein-Gordon avec champ électromagnétique, ni les modèles de Yang-Mills n'ont JAMAIS réclamé une modification quelconque de la loi (2). Ils ajoutent simplement des contributions quadratiques en les potentiels de champ. Ce qui s'interprète en termes de PORTEES DES INTERACTIONS : infinies chez Newton ou Maxwell, elles deviennent FINIES chez KG et YM (ou Yukawa) et ne divergent QU'AUX TRANSITIONS DE PHASES (Ginzburg-Landau).

En attendant, cette "idée" de "charges magnétiques" a notablement compliqué un contexte qui n'était déjà pas simple.

C'est bien ce que je dis : UN cerveau, c'est insuffisant. L'en faut bien DEUX...

Parce que, dans un seul cerveau, se passe apparemment des "analogies" entre ce qui est représenté dans l'un des hémisphères comme des OBJETS, des SOURCES, des PROPRIETES et ce qui est représenté dans l'autre comme des MOUVEMENTS, des COURANTS.

Que, dans deux cerveaux, la distinction est nette. ça évite les débats inutiles. Et contre-productifs.

Les "cerveaux" uniques, ça mélange tout. Preuve supplémentaire à l'appui.

B 203 : UNE "QUANTIQUE 2.0"

Il fallait donc reprendre tout le raisonnement depuis le départ et cela été fait. A PRESENT, on peut vraiment parler de "quantique".

TOUTEFOIS... Je me suis rendu hier sur le site web de l'Agence Internationale pour l'Energie Atomique (AIEA). Il n'a semblé assez clair que je n'y étais pas le bienvenu.

Les gens NE SONT PAS RAISONNABLES.

EN CONSEQUENCE et pour des raisons évidentes liées à la sécurité autour des applications de la quantique, qui touchent à TOUS les domaines scientifiques et concernent donc TOUT LE MONDE, ces corrections qui constituent la version "2.0" de l'édifice quantique seront PROPRIETE EXCLUSIVE DE LA DEFENSE INTERNATIONALE DE L'ONU OU NE SERONT TOUT SIMPLEMENT PAS DIFFUSéS.

Mais, si elles doivent l'être, alors il faut qu'elles le soient et le restent SOUS CONTRÔLE MILITAIRE STRICT. Et sous supervision INTERNATIONALE.

Vous regardez n'importe quel film d'anticipation parlant de "conquête spatiale", de quoi entendez-vous parler ? D'une "CONFEDERATION" originaire de la Terre. Cette confédération, c'est quoi ? L'actuelle ONU. PERSONNE D'AUTRE. Et qui assure la défense et la protection des colons humains ? L'ARMEE DE CETTE CONFEDERATION.

La différence avec les autres armées ? Elle est énorme : c'est une armée DE DEFENSE, PAS D'ATTAQUE. Une armée de PACIFICATION, pas D'AGRESSION. Sa mission est D'ASSISTER, S'INTERPOSER ENTRE BELLIGERANTS et ETEINDRE LES INCENDIES. Pas les déclencher ni les entretenir.

Des soldats de la PAIX, pas de la GUERRE.

Ce qui ne veut pas dire pour autant que ce soient des "nounous" : on n'aboutit pas à la paix en câlinant, mais en NEUTRALISANT LES MENACES.

Je le souligne, parce que j'ai la très désagréable impression QU'ON NOUS PREND POUR DES BISOUNOURS...

Remettons les choses à leur place et en ordre de marche : quand on est CIVIL, on n'a pas à faire obstruction à des MILITAIRES. C'est l'inverse. Sinon, on se fait rarement des copains. Donc, t'as un site web, le civil, sur lequel tu diffuses des infos EN LIBRE ACCèS, tu nous barres pas la route pour cause de "sales gueules" OU T'ES RAPPELé DE SUITE A L'ORDRE.

Y A UN PETIT PEU TROP DE "LAISSER ALLER", sous prétexte qu'on ne constitue que des agences "apparentées" à l'ONU. T'AS PAS BIEN COMPRIS LA MANIP...

Donc, comme t'as du mal à piger, ON TE COLLE SOUS TUTELLE. C'est NOUS ET NOUS SEULS qui dirigerons cette manip. Et si ça te convient pas, t'es remplaçable du jour au lendemain.

La quantique, soit tu continues à faire avec le merdier actuel, soit t'auras les solutions AUX CONDITIONS FIXEES PAR LA DEFENSE. QUI EN SERA SEULE PROPRIETAIRE.

Le gros inconvénient, quand on passe d'une armée nationale à une armée internationale, c'est qu'on S'OUVRE AUX AUTRES... Ses préjugés, acquis, soit à la maison, soit à l'école, on les perd assez vite au contact des autres. On se met à se forger SA PROPRE OPINION sur "l'autre". Qui peut finir par DIVERGER NETTEMENT ce qu'on t'a inculqué au départ.

Je veux dire par là que ce n'est pas parce qu'on est Français, Anglais, Allemand, Espagnol, Portugais ou Américain qu'on est forcément tous des colonialistes, des racistes, des xénophobes et des antisémites. Le fait d'intégrer une défense internationale a la fâcheuse tendance à ACCENTUER cela. Ce qui fait qu'on peut vite ENTRER EN CONFLIT D'OPINIONS avec sa propre armée nationale. Qui a une vision beaucoup plus "obtus" de la chose.

Et, plus on y passe de temps, plus un "retour en arrière" est difficile, voire impossible : ON NE PARLE PLUS LE MÊME LANGAGE...

Et le langage que j'entends depuis maintenant UN PEU TROP LONGTEMPS, c'est celui du conflits de blocs. C'est celui de Yalta. Dont on se refuse obstinément, pour ne pas dire PSYCHOPATHIQUEMENT, à sortir. C'est celui de la NOSTALGIE DES EPOQUES COLONIALES. Parce qu'en réalité, on n'est pas fichu d'être concurrentiel... Donc, moins y aura de concurrents, mieux on se portera... La contribution commune à l'avancée de tout le monde, on s'en tape.

On ne voit pas les choses de la même manière. Donc, aux yeux de nos institutions, on devient "des sales Français, Anglais, Allemands,..."

Pas de problème : si on pue, on reste là où on est... on s'échange nos "odeurs de chacal" entre nous...

Tu veux plus de nous, très bien. Mais, dans ce cas, TU NE NOUS DONNES PLUS D'ORDRES NON PLUS. T'AS PLUS A NOUS EN DONNER. ON NE FAIT PLUS PARTIE DE TON ARMEE NATIONALE. On ne fait plus partie de tes "bons soldats", on fait plus office de "déserteurs"...

"Tu te dis militaire Français et tu refuses d'aller taper sur la gueule des Syriens ?..."

Et pourquoi j'irais taper sur la gueule des Syriens ? Y m'ont fait quoi, les Syriens, qui justifie ça ?... Je ne suis pas devenu militaire pour aller me défouler... et encore moins mettre la sécurité de mon pays en danger... pour rien...

Je suis devenu militaire pour REGLER les problèmes, pas pour en CREER. DEFENDRE, pas AGRESSER. PROTEGER, pas EXPOSER. On me reproche quoi ? D'APPLIQUER LE REGLEMENT MILITAIRE ?... Le sol est attaqué ? Par les armées de qui ?

C'est le contraire, moi, que je vois. Je vois voter des lois internationales, pour mieux pisser dessus ensuite...

Je vois une défense internationale traitée comme un défilé de majorettes... Comme si on était une bande de joyeux drilles destiné à "faire joli" et "amuser la galerie"... quand on ne sert pas de défouloir ou de cibles d'entraînement...

Non, non : on se tape le sale boulot, ON DIRIGE LA MANIP EN RETOUR. On n'est pas là pour se faire tirer comme des lapins, claquer les portes au nez, etc.

Ceci nous ramène au sujet de cet article : LA QUANTIQUE N'EST PLUS A VENDRE, NI AUX UNS, NI AUX AUTRES. Elle sera mise à dispo de tous, à NOS conditions. Et sous NOTRE supervision.

Si ça ne convient pas, VOUS N'AVEZ QU'A METTRE VOS PHYSICIENS AU TRAVAIL : c'est leur boulot, après tout...

Ils l'auraient fait depuis longtemps, s'ils avaient pu ? ALORS, TU FERAS AVEC NOUS ET COMME ON TE DIRA. POINT.

Si l'AIEA se comporte comme ça, c'est que leurs physiciens SE SENTENT MERDEUX... ça sent MAUVAIS sur leurs capacités à trouver des solutions...

Faudra composer avec nous, bon gré, mal gré... :)

B 202 : METTONS LES CHOSES AU CLAIR

Je vais me contenter de citer des passages de 2 ouvrages, on retrouve la même argumentation dans tous les autres. Et je vais les discuter.

Le premier ouvrage est intitulé "Propriétés de la matière", il a été publié aux éditions Dunod en 1969, dans le cadre de la maitrise d'électronique/électrotechnique/automatique. L'auteur en était alors Maurice Gaudaire, chargé de recherche à l'Institut d'Electronique Fondamentale de la Faculté des Sciences d'Orsay. Un physicien, donc, à l'origine.

Le second ouvrage est "Analyse de Fourier et applications", il a été rédigé par deux "mataplis" (matheux appliqués), Claude Gasquet et Patrick Witomski, tous deux de l'Université Joseph Fourier (Grenoble 1), aux éditions Masson, en 1990.

Commençons par Maurice Gaudaire, qui donne une excellente approche de cette "mécanique quantique", très concise, très claire.

Chapitre 2, Apports principaux de la mécanique quantique.

§ 2.1, Constante de Planck : "Il est nécessaire d'utiliser la mécanique quantique pour aborder l'étude des systèmes microscopiques".

NON. C'était effectivement l'idée DE DEPART mais le développement des techniques d'astronomie et d'astrophysique, intimement liées d'ailleurs à celui de la physique des milieux désordonnés, a révélé (là aussi, par l'étude des spectres fréquentiels) que les objets stellaires dits "froids", c'est-à-dire, dont l'existence s'est prolongée au-delà de leur "séquence principale", acquièrent des propriétés QUANTIQUES. Or, nous parlons là d'objets on ne peut plus macroscopiques. Donc (et de l'avis de l'ensemble de la communauté physique internationale), la découverte de ces objets a forcé à revoir l'idée première que les phénomènes quantiques n'auraient été l'apanage que du domaine microscopique. En fait, alliée au processus de changement d'état, la quantique s'étend de l'infiniment petit à l'infiniment grand lors d'une transition de phase qui fait diverger la longueur de corrélation (statistique) entre constituants d'un même système physique.

Je pense que ce qu'entendait l'auteur par là était que la mécanique "classique" n'était plus en mesure de décrire adéquatement les phénomènes physiques microscopiques. Pas qu'elle se cantonnait à ce domaine. Dans ce chapitre, il se borne en effet à la mécanique. Il n'aborde la physique statistique qu'au chapitre 5. Donc, d'un point de vue purement mécanique, il est vrai que, si l'action d'un système physique est très grande par rapport à celle de Planck, l'approche "classique" suffit. Mais, dès qu'elle devient de l'ordre de h, il faut une "nouvelle approche".

Autrement dit : le classique équivaut à poser h = 0 ; le quantique tient compte de ce que h -> 0, mais h > 0.

Et, mine de rien, la différence est énorme. Si vous prenez toutes les constantes de Planck constructibles à partir du "quantum d'action" h, de la constante gravitationnelle de Newton G et de la vitesse de la lumière dans le vide c, le "rayon de Planck" r_pl est de l'ordre de 10^-35 m, ce qui n'a aucune incidence notable, même dans le domaine sub-nucléaire. Pour la "durée de Planck" t_pl = r_pl/c, de l'ordre de 10^-43 s, c'est encore plus vrai. Par contre, en ce qui concerne la température de Planck T_pl, elle tombe soudainement de l'ordre de 10³² K en quantique à 0 K en classique... Il est clair qu'un tel écart n'est pas admissible, aucun corps physique observable ne pouvant atteindre ce seuil de température. L'approche "classique" n'est donc pas suffisante.

§ 2.2, Nature ondulatoire des particules : "C'est, historiquement, une des raisons qui a entraîné 'l'invention' de la mécanique quantique. Expérimentalement, il s'agit du phénomène de diffraction d'électrons par un cristal. (...) La répartition dans l'espace des électrons receuillis après l'interaction avec le cristal est exactement celle d'une figure de diffraction obtenue avec une onde lumineuse."

Personne ne conteste cela, ça fait partie des observations. Des constats.

"Il faut associer à une particule matérielle une onde : c'est la dualité entre onde et corpuscule".

EH NON... C'est ici que le bât blesse : ON NE PEUT PAS ASSOCIER ENTRE EUX DEUX CHOSES DE NATURE DIFFERENTE...

Vous pouvez apparier deux particules de caractéristiques différentes, parce qu'elles forment toutes deux des corps. Par exemple, un photon (masse et charge électrique au repos nulles, spin 1) avec un électron (masse m_e ~ 10^-31 kg, q_e ~ -10^-19 C, spin 1/2), pas de problème. Les appariements de "super-partenaires" en supersymétrie sont admissibles. De même, vous pouvez former des "paires de Cooper" entre fermions de spins opposés.

Vous pouvez apparier deux mouvements : si vous avez un champ f : R^D₁ -> R^D₂, x -> f(x) et un champ g : R^D₃ -> R^D₄, y -> g(y), vous pouvez toujours former un champ h : R^D₁ x_c R^D₃ -> R^D₂ x_c R^D₄, (x,y) -> (h⁰,h¹)(x,y) tel que h⁰(x,y) se réduise à f(x) et h¹(x,y), à g(y). Ce ne sera qu'un cas particulier de champs h plus généraux à 2 composantes et 2 systèmes de variables.

MAIS VOUS NE POUVEZ PAS APPARIER UN CORPS, OBJET STATIQUE, AVEC UN MOUVEMENT, OBJET DYNAMIQUE, CAR CE NE SONT PAS DES OBJETS DE MÊME NATURE.

il ne s'agit pas de confondre un corps (ou, plus généralement, un milieu physique), qui occupe un volume V(t) d'espace à l'instant t, avec un mouvement. Même si vous prenez ses caractéristiques physiques, ce sont généralement des mouvements : par exemple, la densité de masse m(x,t) d'un milieu physique modélise la masse de l'une de ses "particules" située en x à l'instant t et, dès que ce milieu ne sera plus homogène (i.e. constitué d'espèces chimiques différentes) et/ou présentera des discontinuités, il n'y aura plus aucune raison pour que la masse de cette particule soit la même que celle d'une autre, située en x' au même instant, ni même qu'elle reste la même à tout instant. Si m(x,t) peut évoluer à la fois d'un point à un autre de l'espace et au cours du temps (ou même si l'on se borne à son évolution temporelle), on a bien un objet dynamique, un mouvement (dans l'espace fictif des masses)... Vous n'allez pas confondre le corps avec sa masse : nous sommes bien d'accord que ce sont deux choses différentes...

C'est à partir de là que ça ne va plus : les calculs effectués par Louis de Broglie sur la base de la relativité restreinte ont abouti à associer une particule avec une "onde" f(x,t). Mais les transformations de référentiels de Poincaré-Lorentz... sont DEJA des mouvements... : les formules font clairement apparaître la VITESSE de déplacement du corpuscule...

On est d'accord sur les calculs. Sur le fait de relier un mouvement dans l'espace-temps de Minkowski à un mouvement ondulatoire. C'EST L'ASSOCIATION QUI EST FAUSSE... et donc, le RAISONNEMENT...

Personne n'ira non plus contester le fait que Pauli découvrit les spins demi-entiers, parce que les rapports gyromagnétiques sur les fermions sont doubles de ceux des bosons : il y a les observations d'une part et le raisonnement, L'INTERPRETATION QUE L'ON DONNE A CES OBSERVATIONS, d'autre part. Contester les observations serait contester les faits.

§ 2.3, Incertitude des mesures de position et d'impulsions : "C'est une deuxième notion essentielle de la mécanique quantique ; elle découle de la dualité entre onde et corpuscule".

NON, NON ET NON !!! ABSOLUMENT PAS. C'est une propriété GENERALE des signaux.

Gasquet et Witomski, leçon n°22, § 22.3, Le Principe d'Incertitude :

"Nous allons voir dans ce paragraphe la relation qui existe entre la localisation d'un signal et celle de son spectre.
Etant donné f : R -> C une fonction telle que f, xf et x*f* soient dans L²(R) [je me permets de changer les notations, n'ayant pas l'alphabet grec sur ce blog - l'étoile désigne donc ici la transformée de Fourier], on note :

<x²_f> = S_R x²|f(x)|²dx             (dispersion d'énergie de f, en temps)
<x*²_f*> = S_R x*²|f*(x*)|²dx*     (dispersion d'énergie en fréquence)
et E_f = S_R |f(x)|²dx                (énergie de f).

On appelle durée utile du signal f la quantité dt définie par

dt² = <x²_f>/E_f

et bande utile du signal la quantité dl définie par

dl² = <x*²_f*>/E_f

Le principe d'incertitude est une relation entre dt et dl qui indique que l'on ne peut pas localiser finement et le signal et sa fréquence. Cette relation est :

dt.dl >= 1/4pi

et résulte de [RESULTE DE !]

22.3.1. Proposition. Soit f : R -> C une fonction C¹(R) telle que f, f' et xf soient dans L²(R). On a <x²_f><x*²_f*> >= (E_f/4pi)².

La proposition suivante montre que, pour une bande utile donnée, un signal gaussien a une durée utile minimum.

22.3.1. Proposition. Soit dl une bande utile fixée. Le signal f(t) = ae^{-(2pidl)²t²} minimise la durée utile."

En mathématiques, une "proposition" n'est pas une suggestion, mais un résultat prouvable. Il est donc bien formellement démontré que le Principe d'Incertitude qui, aux dires de Richard P. Feynman, "soutient toute la mécanique quantique", s'applique A TOUTE LA PHYSIQUE.

Leçon n°1, § 1.1, Généralités : "La notion de signal est très extensive. Il ressort de l'observation d'un phénomène certaines quantités qui dépendent du temps (de l'espace, d'une fréquence, ou d'autre chose !). Ces quantités, supposées mesurables, seront appelées des signaux. Elles correspondent, en mathématiques, à la notion de fonction (d'une ou plusieurs variables : temps, espace, etc.) qui en constitue donc une modélisation. Nous verrons par la suite que la notion de distribution est une modélisation à la fois plus générale et plus satisfaisante des signaux."

TRES EXTENSIVE... Elle touche à TOUS les domaines des sciences physiques. Et les quantités en question sont bien évidemment SUPPOSEES MESURABLES, sinon, l'observation NE SERT A RIEN... Or, ce n'est pas avec l'Ecole de Copenhague que l'on parvient à faire de la "mesure quantique"... tout juste des pronostics... Parce qu'au départ, cette "mise en dualité" des "corpuscules" et des "ondes", des corps et des mouvements, de la statique et de la dynamique, N'EST PAS POSSIBLE.

A positionnement contradictoire, incohérences et paradoxes. "L'état quantique" d'un système physique étant modélisé sur ce mode de raisonnement, il échappe totalement à la compréhension...

"C'EST LA LOGIQUE MÊME", pourrait-on dire...

Du coup, on s'est tourné vers la statistique comme "échappatoire à l'apparente absurdité des faits"...

Et on en revient à notre estimable confrère Maurice :

§ 5.12, Populations d'un ensemble de particules : "Pour tous les résultats précédents, les grandeurs introduites se rapportent à l'ensemble macroscopique du système étudié. C'est évident pour les grandeurs thermodynamiques : l'entropie S, l'énergie E (ou, ce qui revient au même, <E>), etc. C'est aussi le cas pour les énergies E_n (ou E_nNi pour des nombres variables de particules) : ces niveaux d'énergie sont ceux calculés pour l'ensemble macroscopique. Pratiquement, ce calcul est impossible et même impensable, à cause du nombre extraordinairement grand de particules élémentaires (atomes, molécules) qui composent un système macroscopique."

Jusqu'ici, ça va. C'est après que ça commence à déraper, d'abord légèrement. Je vais mettre en gras les passages les plus "savoureux".

"Toutefois, les formules établies précédemment sont utiles : elles permettent, dans certains cas, de pouvoir calculer toutes les grandeurs macroscopiques, non pas en fonction des caractéristiques du système macroscopique lui-même (niveaux d'énergie E_n) mais en fonction des caractéristiques d'une seule particule, dont un très grand nombre constitue le système étudié. Or, le calcul des niveaux d'énergie pour un seul objet microscopique est possible : c'est le rôle de la mécanique quantique."

Il est vrai que, comme personne n'a cherché à résoudre l'équation de Schrödinger avec potentiel, dès que l'on dépasse le niveau de l'atome d'hydrogène, on doit faire face à des calculs pas possibles et à des APPROXIMATIONS...

Ainsi, les "certains cas" en question concernent-ils surtout les milieux PARFAITEMENT HOMOGENES constitués D'UNE SEULE ET MÊME ESPECE DE PARTICULES, TOUTES IDENTIQUES.

Genre, "t'en n'as pas grand chose à foutre en pratique"...

Mais, là ou ça dérape GRAVE vers le fossé, c'est :

"Ces cas particuliers, où les propriétés de l'ensemble peuvent être rattachées aux propriétés d'un seul constituant, sont les systèmes de particules dont les forces d'interaction sont suffisamment petites."

On se croirait revenu au temps de Newton, quand on ramenait les corps à leur centre de gravité...

Mais c'est sur ces CONDITIONS que sont calculées les distributions de Bose-Einstein et de Fermi-Dirac : gaz raréfiés parfaitement homogènes, sans la moindre impureté.

Le genre, cette fois, "tellement simplifié qu'il ne correspond plus beaucoup à la réalité"...

Comme le modèle des "sphères dures"...

On part d'un CONSTAT EXPERIMENTAL (un seul fermion sur chaque niveau d'énergie, un nombre quelconque de bosons sur ce niveau), on pose ces SIMPLIFICATIONS EXTREMES et on utilise LA FONCTION DE PARTITION DE LA STATISTIQUE CLASSIQUE pour établir une "statistique QUANTIQUE"... avec des nombres totaux de particules calculés sur ces bases QU'ABSOLUMENT RIEN NE PERMET D'ASSURER DE RESTER ENTIERS... sinon "qu'aux fluctuations des variations saisonnières près"...

Tout ce que je dis dans cet article figure, plus ou moins bien expliqué, dans TOUS les ouvrages sur la mécanique quantique, SANS EXCEPTION. Et encore, Gaudaire ajoute qu'en mécanique "quantique", il y a DEUX sortes de moyennes, ce qu'on ne retrouve pas dans tous les ouvrages sur le sujet : la moyenne "macroscopique" et la moyenne "microscopique" :

§ 5.1.2 : "Il apparaît ici deux valeurs moyennes : la première est intrinsèquement liée à la mécanique quantique et est définie pour un seul objet ; la seconde est liée à la présence d'un très grand nombre d'objets identiques et est la même que celle qui a été définie pour la mécanique classique."

La "microscopique" ou "moyenne quantique" résulte du Principe d'Incertitude. La "macrocopique" ou "moyenne thermique", de la loi des grands nombres.

Voilà. Maintenant, si vous êtes toujours persuadés faire "de la quantique"... Moi, je ne fais que me référer à ses "créateurs" qui affirmaient publiquement que leur "fonction d'onde" pour l'un et leur "Principe d'Incertitude" pour l'autre N'AVAIENT RIEN DE QUANTIQUE... et reconnaissaient tous unanimement avoir un SERIEUX PROBLEME DE MESURE...

Or, nous l'avons vu avec MM Gasquet et Witomski : si vous ne parvenez pas à mesurer correctement un signal, même en temps réel, QU'ESPEREZ-VOUS DONC EN FAIRE ?...

Si vous INTERPRETEZ des transformées de Fourier comme autant "d'opérateurs de quantification" agissant, soit sur des "vecteurs d'état" à la Schrödinger, soit sur des niveaux d'énergie (chez les oscillateurs harmoniques) ?...

Si vous INTERPRETEZ des états d'énergie NEGATIVE comme des "trous" d'énergie POSITIVE ?...

Si vous mélangez des DEGRES DE LIBERTE DE MOUVEMENTS avec des dimensions PHYSIQUES ?...

Si vous faites appel à des groupes de symétries AUSSI BANCALS QUE VOS "PROCEDURES DE QUANTIFICATION" ?...

Si vous introduisez un "isospin" différent du spin, ALORS QUE LE NOMBRE QUANTIQUE DE SPIN EST SANS UNITE ET PEUT DONC REPRESENTER N'IMPORTE QUELLE GRANDEUR PHYSIQUE ?...

PAS ETONNANT QU'ILS SE TRANSFORMENT DE LA MÊME MANIERE (Clebtsch-Gordan) ! Que vous fassiez un rapport de charge, de masse ou d'action, c'est un rapport dénué d'unités physiques...

J'ai beau regarder partout, je ne vois de "quantique" que la non-nullité de h. Tout le reste, c'est de la statistique et de la théorie du signal.

C'est la raison pour laquelle IL FAUT TOUT REPRENDRE DEPUIS LE DEPART : parce qu'à partir de 1927, c'est parti complètement en vrille...

B 201 : UNE THEORIE DE TOUT (ce qui est connu)

On commence par un constat mathématique (pas seulement physique) très général, dont la preuve me semble établie depuis longtemps. Nous adopterons la convention de sommation d'Einstein pour condenser les formules, mais en précisant tout de même les bornes des indices.

THEOREME DIMENSIONNEL

En notant N_D = N/DN = {1,2,...,D} l'ensemble des entiers naturels strictement positifs modulo D, soit :

(1)     x : N_D -> C , a -> x(a) = x^a

l'application qui définit un C-espace vectoriel ou affine de dimension entière FINIE D. Alors, x est nécessairement périodique de période D :

(2)     x(a + D) = x(a)

et admet une décomposition de Fourier,

(3)     x(a) = x^a = ½ x_(1-2A)n(D)[q(D)]^(1-2A)na     (A = 0,1 ; 1 =< a =< D ; n dans N)

avec,

(4)     q(D) = e^2ipi/D = "quantum dimensionnel" (D-ième racine de l'unité)
(5)     x_(1-2A)n(D) = D^-1S_a=1^D x(a)[q(D)]^(2A-1)na

Le mode fondamental est la moyenne arithmétique des x(a) :

(6)     x₀(D) = D^-1S_a=1^D x(a)

Regardons bien l'expression (3). Les modes x_(1-2A)n(D) ne dépendent que de la dimension totale du cadre. Ils pondèrent les puissances du quantum dimensionnel (4). Laissons momentanément de côté l'exposant (1 - 2A)n. La direction a s'obtient par auto-couplage du quantum a fois. C'est donc q(D) qui est fondamental. A partir de lui, i.e. D'UNE SEULE DIMENSION (a = 1), toutes les autres se construisent en le couplant avec lui-même : x¹ utilise q(D) ; x², q²(D) ; x³, q³(D) ; etc.

Dans le cas des espaces PHYSIQUES, spin-signature dit que c'est le nombre quantique de spin associé au cadre, i.e. le nombre total de ses états de configuration possibles, qui détermine leur dimension. Pour les espaces quantiques, c'est D(s) = 2^2s. Partant de q[D(s)], ses auto-couplages successifs iront donc jusqu'à q^D(s)[D(s)] = 1. D'après (4) et de Moivre, pour 1 =< a =< D(s),

(7)     q^a[D(s)] = cos[2pia/D(s)] + isin[2pia/D(s)]

va générer un quantum dans la direction a. Hormis pour a = 1, ce quantum-là N'EST PLUS FONDAMENTAL. Du point de vue ensembliste, il est à rapprocher de l'auto-couplage tensoriel C^x_ta de C qui, on le sait, reste de dimension 1. Ici, q est dans C et q^a[D(s)] y reste.

Si je prends maintenant 2 directions a et b dans N_D(s), (7) me conduit à :

(8)     q^a[D(s)]q^b[D(s)] = q^{[a+b modulo D(s)]}[D(s)]

Pour s = 0, N₁ = {1} et q²(1) = q^{[2 modulo 1]}(1) = q(1) = 1.

Pour s = ½, N₂ = {1,2}, on obtient la table :

[q¹(2)]² = q^{[2 modulo 2]}(2) = [q²(2)]² = q^{[4 modulo 2]}(2) = q²(2)
q¹(2)q²(2) = q^{[3 modulo 2]}(2) = q¹(2) = q(2) = -1

Essayons encore pour s = 1 : N₄ = {1,2,3,4}, la table est,

q¹(4)q⁴(4) = q²(4)q³(4) = q¹(4) = q(4) = i
[q¹(4)]² = [q³(4)]² = q²(4)q⁴(4) = q²(4) = -1
q¹(4)q²(4) = q³(4)q⁴(4) = q³(4) = -i
[q²(4)]² = [q⁴(4)]² = q¹(4)q³(4) = q⁴(4) = 1

Voilà comment s'échangent les directions dans les espaces quantiques : par auto-couplages du quantum MODULO la dimension.

Par contre, nous avons une faculté propre à ces espaces qui n'a aucune signification en géométrie réelle.

DEFINITION : DIMENSION NEGATIVE

On appellera "dimension négative" la dimension générée par le quantum CONJUGUé q*[D(s)]. On aura alors :

(9)     q^-1[D(s)] = q*[D(s)]

Ce nom provient du fait que, pour 1 =< a =< D(s), q^-a[D(s)] = {q^a[D(s)]}* se comporte COMME SI -D =< -a =< -1. En réalité, il n'y a pas de "dimension négative" : il est impossible d'avoir "moins de dimension qu'aucune", ça n'a pas de sens. Mais, en géométrie réelle, q* = q, alors qu'en géométrie complexe, on a q ET q*. Qui ne sont PAS en opposition de phase. Résultat : le couplage interactif de q et de q* donne,

(10)     q[D(s)]q*[D(s)] = q*[D(s)]q[D(s)] = q⁰[D(s)] = 1 = "DIMENSION ZERO"

Or, (5) montre bien que TOUS les modes de x^a sont indépendants de a, car obtenus comme des MOYENNES DIMENSIONNELLES. Ce sont donc des invariants du même type. Si l'on rejetait la "dimension zéro", il n'y aurait plus de mode fondamental. On est donc bien obligé d'en tenir compte, même si on ne l'incorpore pas à N_D(s).

LA DIMENSION ZERO EST REPRESENTATIVE DE L'ETAT DE VIDE (absence de quanta).

Elle n'est donc pas si "ésotérique" qu'elle en a l'air... Qu'est-ce, en fin de compte ? Rien d'autre que L'AMPLITUDE de q[D(s)]. La phase du quantum dimensionnel a été annulée.

Nous pouvons à présent calculer x¹ pour s = 0. D'après (4), q(1) = 1 et d'après (3) :

x(1) = x¹ = x₀(1) + ½ S_n=1^+oo [x_n(1) + x_-n(1)]

Mais (6) donne déjà x₀(1) = x(1). La somme restante est donc nulle, ce qui n'est possible que ssi tous les modes excités sont nuls, même si (5) semble dire le contraire. Le paradoxe se lève en se disant que qⁿ(1) génère la direction n. Or, il n'y a qu'une seule direction dans C et elle est retenue par le fondamental. Par conséquent, x(1) = x¹ = x₀(1) se réduit à ce mode. (5) est inopérante parce que les modes excités N'EXISTENT PAS...

Je vous ai déjà dit que la cosmologie quantique, l'étude de la structure intime de l'espace (et du temps), c'était encore plus fort que la magie ?... Il me semble. On découvre des trucs de dingues...

La TRACE de (8) est L'INVARIANT DIMENSIONNEL :

(11)     ||q[D(s)]||² = S_a=1^D(s) {q^a[D(s)]}² = S_a=1^D(s) q^{[2a modulo D(s)]}[D(s)]

Ça reste une quantité complexe. Le calcul donne :

          ||q(1)||² = q²(1) = q(1) = 1 ;
(12)     ||q(2)||² = q²(2) + q⁴(2) = q²(2) + q²(2) = 2q²(2) = 2 ;
          ||q[D(s)]||² = 2q²[D(s)]{1 + q[D(s]}/{1 - q[D(s)]}
                        = 2iq²[D(s)]cotan[pi/D(s)]          [s >= 1 , D(s) >= 4]

Toujours d'après (3), le carré de la norme de x^a sera donc :

(13a)     ||x(1)||² = [x₀(1)]²
(13b)     ||x[D(s)]||² = ¼ x_(1-2A)n1[D(s)]x_(1-2B)n2[D(s)]S_a=1^D(s) q^(1-2A)n₁a[D(s)]q^(1-2B)n₂a[D(s)]
                        = ¼ x²_(1-2A)n1,_(1-2B)n2[D(s)]S_a=1^D(s) q^{[(1-2A)n₁ +}^(1-2B)n₂]a[D(s)]
                        [s >= ½ , D(s) >= 2]

Cette métrique est complexe, laissée invariante par le groupe des rotations SO[D(s),C] à D(s)[D(s) - 1]/2 paramètres complexes. Pour D(0) = 1, c'est O(1,C).

Le reste a déjà été fait : la RG comme paradigme, le théorème spin-signature,...

Il suffit de se placer dans un C^D(s) euclidien. Le C^p(s),q(s) pseudo-euclidien s'en déduit (et réciproquement) via l'algèbre des matrices M_D(s)(C). Dans la procédure ascendante, l'objet de départ est le champ de contraintes T_ab(x) appliqué à C^D(s). Il est de spin 2s, de même que le champ des courbures de Ricci, R_ab(x). Par contre, leurs invariants respectifs T(x) et R(x) sont de spin 0. Les courbures de Riemann R_abcd(x) forment un champ de spin 4s. Dans le Modèle Standard, elles sont entièrement déterminées par la donnée des T_ab(x), la métrique de base étant celle de C^D(s), Id_ab. Chez Yang-Mills, ces R_abcd(x) jouent le rôle des "intensités du champ de jauge", les "potentiels" de ce champ étant représentés par les C_ab^c(x) de Christoffel. Ces derniers étant universels, ils peuvent être spécialisés à n'importe quel contexte, suivant le type de charges auxquelles on s'intéresse. Quant à la métrique de l'Univers quantique U_D(s) obtenu par déformation de C^D(s), elle est donné par la résolution des équations de la RG, c'est un g_ab(x) symétrique de spin 2s. Pour terminer, les "potentiels de déformation e_a^b(x) forment un champ de 2-tenseurs asymétriques de spin 2s et la forme de la source s'en déduit par intégration (curviligne), c'est un X^b(x) de même spin s que le cadre.

Il n'y a rien d'autre à ajouter. C^3,1 est un espace-temps quantique de dimension 4, spin 1, qui serait donc renormalisable au sens de 't Hooft, si l'on raisonnait en diagrammes de Feynman. Dans ce cadre-là, il y a 16 "potentiels de Yang-Mills" C_a(x), complexes, donc assez pour regrouper les 4 interactions fondamentales et la matière du Modèle Standard.

Pour ce qui est de la structure "locale" des espaces physiques, on se fixe un dx = (dx¹,...,dx^D(s)) dont la norme ||dx[D(s)]|| est donnée par (13b). En euclidien, on considère que, du point de vue de la mesure, ce dx est MINIMAL : il représente "la plus petite distance accessible par l'instrument" ou encore "l'échelle de résolution de l'espace". Poursuivant sur ce principe, on en déduit qu'entre 0 et ||dx[D(s)]||, plus aucune distance n'est accessible à l'observation et donc, que du point de vue de la mesure et uniquement de ce point de vue, l'intervalle fermé [0,dx^a] dans la direction a se résume au couple de points {0,dx^a} (vu qu'il n'est plus possible d'accéder aux autres) et donc, que le "pavé" D(s)-dimensionnel (x_c)_a=1^D(s) {0,dx^a} constitue une "boite noire" de volume d^D(s)x = dx¹...dx^D(s). Aussi, si l'on veut éviter de rejeter ce volume du cadre physique, il faut changer le mode de description des objets, ne plus les considérer comme "ponctuels" mais, au contraire, de "longueurs caractéristiques" dx^a. Ce qui oblige à passer de l'analyse conventionnelle à la théorie des ensembles.

Par exemple, si une variable réelle x a pour "taille" dx, en réponse, l'application :

(14a)     f : R -> R , x -> f(x)

aura pour "taille"

(14b)     df(x) = f(x + dx) - f(x)

Il s'agit donc de remplacer les objets PONCTUELS que sont x et f par les couples booléens {x,dx} et {f,df}, qui forment des ensembles à DEUX points. En place de (14a), on trouvera :

(15a)     {f,df} : {x,dx} -> {f(x),df(x)}

C'est (14a) et (14b) regroupés en un même schéma. Mais pas à 2 variables : à 2 points. Plus correctement : une seule variable DE TAILLE dx et une seule application DE TAILLE df.

Il s'agit bien d'une opération ensembliste, puisque l'ensemble {f,df} transforme l'ensemble {x,dx} en l'ensemble {f(x),df(x)} :

(15b)     {f,df}({x,dx}) = {f(x),df(x)}

Par exemple, pour f(x) = x², {f,df}({x,dx}) = {x² , 2xdx + dx²}. C'est une déformation parabolique du booléen {x,dx}. Qui tient compte de la taille des objets.

Une application a beau constituer elle-même un ensemble, cela reste insuffisant du point de vue de la mesure. Pour les maths traditionnelles, les espaces réels comme complexes sont des espaces de POINTS. Seule la topologie parle de "boules", "d'ouverts", de "fermés" (et même "d'ouvert-fermés" - perso, je n'ai jamais compris ce concept...), dans le but de définir des espaces "métrisables".

Eh bien, tout cela s'applique, par extension, aux applications à plusieurs variables et donc, aux champs physiques. Il y a toutefois une différence assez nette avec le concept de distribution, car f(x)dx est le produit d'une FONCTION par un étalon de mesure : on conserve l'environnement fonctionnel que l'on généralise en le "localisant". Dans ce cadre-là, dx tend d'ordinaire vers zéro. Dans le contexte ensembliste que je viens très brièvement de décrire, les différentielles peuvent être quelconques, entraînant forcément des non-linéarités [comme on le voit dans df(x) = 2xdx + dx²].

A tout objet géométrique, il faut adjoindre sa "taille" et former des couples booléens. Susceptibles d'agir sur d'autres. Ce n'est qu'une question d'accessibilité des objets à leur mesure.

Sinon, l'espace de travail de départ est C^3,1. Il est amplement suffisant.

B 200 : CHAMPS DE YANG-MILLS EN TQRC

Le Modèle Standard regroupe les "théories de jauge" : électromagnétisme, interaction nucléaire "faible", interaction nucléaire "forte", "spineurs" et gravitation einsteinienne. Hormis les "spineurs", qui décrivent la "matière", les interactions y sont décrites comme des "champs de Yang-Mills" (C.N. Yang, R. Mills, 1956). Je vais y revenir. Mais avant, un petit rappel des symétries présentes en physique quantique.

La notion de symétrie est devenue centrale en physique depuis le théorème d'Emmy Noether, qui lie une symétrie à une loi de conservation (invariance par translation temporelle => conservation de l'énergie ; par translation spatiale => de la quantité de mouvement ; par rotation => du moment cinétique et du spin, etc.). On distingue deux grandes catégories de symétries : les externes, qui portent sur les translations, les rotations, les inversions et les changements d'échelle (les "homothéties") et les internes, qui concernent les propriétés physiques des corps, indépendamment de leurs mouvements (masse, charge électrique, étrangeté, charge "de couleur", "saveurs",...). Ce qui pourrait "faciliter" l'unification, c'est le constat que bon nombre de ces symétries internes imitent le spin. C'est pour cette raison qu'a été inventé "l'isospin". Par exemple, le proton et le neutron ne se distingue nettement que par leur charge électrique : à des corrections de nature électromagnétique dites "radiatives" près, ils ont sensiblement même masse et peuvent donc être regroupés en une seule particule appelée "nucléon". Cette particule a isospin ½, traduisant le fait que le nucléon se présente sous DEUX "états quantiques" ou "configurations internes", le proton et le neutron. Cet isospin ½ présente les mêmes propriétés mathématiques que le spin : il s'associe de la même manière, se transforme de la même manière.

Preuve supplémentaire que le nombre quantique de spin, même s'il s'exprime en unité d'action (Js) N'EST PAS, à proprement parler, un véritable moment cinétique, mais une quantité exprimant le nombre total d'états de configuration d'un système quantique.

Les théories "de jauge" (ou de Yang-Mills) ont été élaborées sur le modèle de la RG d'Einstein. Le cadre ambiant est l'espace-temps de Minkowski classique R^1,3 [avec métrique c²dt² - (dx² + dy² + dz²) "du genre temps", c'est-à-dire, positive pour des vitesses =< c]. Les symétries externes sont donc représentées par :

- le groupe des rotations SO(3,1) de Lorentz, qui se subdivise en un sous-groupe SO_s(3) des rotations spatiales et un sous-groupe SO_st(3) des rotations spatio-temporelles ; on dénombre 3 angles de rotation dans chaque sous-groupe, ce qui fait 6 angles de rotation pour R^1,3 [SO(3,1) = SO_s(3) x_c SO_st(3)] ; du point de vue topologique, les deux sous-groupes sont compactes (ils sont équivalents à des sphères), mais pas le groupe de Lorentz, la métrique spatio-temporelle étant hyperbolique ;
- le groupe des translations T(3,1), qui représente les translations dans l'espace et dans le temps et qui possède donc 4 paramètres réels ;
- le groupe des inversions I(3,1), qui inverse les longueurs (4 paramètres également) ;
- enfin, le groupe des "homothéties", qui dilate ou contracte les longueurs (1 seul paramètre).

L'association de SO(3,1) et de T(3,1) donne le groupe de Poincaré P(3,1) des "rotations + translations" ou "vissages" à 6 + 4 = 10 paramètres. Associé lui-même à I(3,1) et au groupe des homothéties, il donne le groupe "conforme" C(3,1) à 10 + 4 + 1 = 15 paramètres au total. C'est le plus gros groupe de symétries externes dans R^1,3. Il regroupe toutes les symétries de cette nature. On appelle dimension d'un groupe le nombre total de ses paramètres.

Passons aux symétries internes. Là, ce sont assez généralement des groupes complexes (plus exactement, hermitiens).

Pour l'électrodynamique quantique (QED), c'est U(1), le groupe des "rotations" de C, c'est-à-dire, de la forme e^ia, où a est une phase. Comme e^ia = cos(a) + isin(a), ce groupe est équivalent au groupe des rotations du plan réel R² : si (x⁰,x¹) est une coordonnée sur R², une rotation des axes d'un angle a les fait passer en,

(1)     x'⁰ = x⁰cos(a) + x¹sin(a) , x'¹ = -x⁰sin(a) + x¹cos(a)

On remarque qu'en vertu de l'identité cos²(.) + sin²(.) = 1 :

(2)     (x'⁰)² + (x'¹)² = (x⁰)² + (x¹)²

C'est bien ce que traduit le principe d'invariance de jauge (ici, "de 1ère espèce") : une rotation n'affecte pas la métrique, ce qui veut dire que je peux définir mes coordonnées (x⁰,x¹) "à une rotation près d'angle quelconque". Vus de cette manière, une indétermination est introduite dans la description puisque, si x = x⁰ + ix¹ est le complexe de C construit à partir des réels de R², x* = x⁰ - ix¹ est son conjugué et (2) traduit alors le fait que, si j'applique la transformation :

(3)     x -> x' = xe^ia

à x, alors l'amplitude de x n'est pas affectée par l'action de U(1),

(4)     |x'|² = x'x'* = xx* = |x|²

J'appelle e^ia le "facteur de jauge" de x. U(1) est un groupe "hermitien", parce qu'il est complexe, MAIS préserve l'amplitude de x, qui est une quantité REELLE (et jamais négative). Autrement dit, dans notre langage, U(1), le "groupe unitaire" à une seule dimension (1 seul angle) est un sous-groupe QUANTIQUE qui préserve une quantité CLASSIQUE. On l'utilise pour décrire l'interaction électromagnétique en théorie quantique parce qu'il n'y a qu'une seule sorte de charge électrique.

Ce n'est plus le cas des autres interactions.

Pour la nucléaire "faible", c'est SU(2), le groupe des rotations de C². Ce groupe décrit l'isospin ½ du nucléon : il y a deux "charges faibles", celle du proton et celle du neutron. Elles sont à distinguer de la charge électrique, même si elles s'expriment dans la même unité (le Coulomb C). SU(2) a même dimension que SO(3), il se ramène à 3 angles de rotation réels. En tant que groupe unitaire, il est hermitien et préserve les amplitudes. On le dit "spécial unitaire" uniquement parce que la matrice de rotation y a déterminant 1 [il n'existe pas de SU(1) : dans U(1), l'amplitude de e^ia est toujours de 1]. Le fait que SU(2) soit de dimension (réelle) 3 a incité les physiciens à penser que l'interaction faible était véhiculée par TROIS "bosons de jauge" : 2 électriquement chargés (le W⁺ et le W^-) et un neutre (le Z⁰). Contre un seul pour QED (le photon g⁰ - pour "gamma neutre"). Comme quoi, les symétries sont essentielles, car elles permettent de découvrir de nouvelles particules.

Dans le modèle unifié "électrofaible" de Glashow-Salam-Weinberg (GSW), qui regroupe interaction nucléaire faible et électromagnétisme, le groupe interne est SU_w(2) x_c U(1). On précise le "w" ("weak") parce qu'il y a des spécificités physiques. Etant donné que le produit euclidien additionne les dimensions (au contraire du tensoriel, qui les multiplie, nous le verrons plus loin), le groupe GSW possède 3 + 1 = 4 paramètres réels, soit (W⁺,W^-,Z⁰,g⁰).

Pour l'interaction forte, c'est encore différent. Il y a DEUX modèles en un : celui des quarks, qui sont des fermions (des particules de "matière") et celui des gluons, qui sont des bosons et les vecteurs de l'interaction. Les deux modèles utilisent le même groupe spécial unitaire SU(3), mais avec ses spécificités physiques propres. Il y a SU_s(3) de "saveurs" pour les quarks et SU_c(3) de "couleurs" pour les gluons. Ces deux groupes ont dimension réelle 8. Ils ne sont plus assimilables à des rotations réelles. Ils ont été proposé par Gell-Mann et al pour rendre compte de la "hiérarchie hadronique" : il y a chez les "hadrons" (les particules subissant l'interaction forte) une classification en "multiplets" et même "super-multiplets" qui peut s'expliquer au moyen de 6 quarks regroupés en 3 paires et de 8 gluons vecteurs. C'est un modèle moins précis que la symétrie SU(2), mais ça reste le seul, à ce jour, qui donne des résultats satisfaisants. Les quarks porteurs de l'une des 6 "saveurs" (u,d,s,c,b,t) y interagissent en échangeant leur "couleur" (R,B,G) via les gluons, chacun porteurs de 2 "couleurs" (ou charges nucléaires fortes). Les processus sont assez complexes et les schémas d'interaction ("diagrammes de Feynman") ne sont pas toujours "convergents" (i.e. ne donnent de résultats physiques que sous certaines conditions). La faute à la constante de couplage forte, la plus importante de toutes.

Voilà pour les 3 interactions fondamentales, la 4ème étant la gravitation.

Il faut se placer dans le contexte encore actuellement admis que la RG est une théorie de l'interaction gravitationnelle et que les 3 autres n'ont pas besoin d'un cadre courbe pour comprendre le mérite qu'ont eu Chen Ning Yang et Robert Mills de s'inspirer du modèle déjà connu de Yukawa des mésons pi vecteurs de l'interaction nucléaire pour proposer une géométrisation des champs "non gravitationnels" à l'image de la gravitation einsteinienne. Au lieu de courber le cadre (ce qui avait déjà été réalisé par Einstein), ils suggérèrent de s'appuyer sur la géométrie DES GROUPES pour courber les "espaces de champs". Symétries externes, symétries internes : dans le Modèle Standard, l'espace-temps "externe" R^3,1, c'est le domaine de la gravitation "classique" ; les espaces "internes" ou "iso-espaces" (isospin !), ce sont les groupes de symétries internes (plus correctement, leurs algèbres, mais elles ont même dimension).

[Pour l'anecdote, le modèle de Yukawa de l'interaction forte était, lui aussi, basé sur le groupe SU(2) plus précis que SU(3). Malheureusement, il ne rendait pas compte de la hiérarchie hadronique. Il fallut donc le remplacer.]

A partir de là, ça devient technique, on peut difficilement faire autrement. Je vais essayer d'expliquer au mieux.

Supposez que vous ayiez un ensemble de charges caractérisant un type d'interaction fondamentale. Cet ensemble forme le groupe des symétries internes de l'interaction en question. Appelons-le G. La dimension dim(G) de G représente alors le nombre total de ces charges. Pour les 3 interactions fondamentales "non gravitationnelles", G est un groupe de transformations continues (groupe de Lie) : U(1) pour l'électromagnétisme, SU(2) pour l'interaction faible et SU(3) pour la forte. A l'exception de U(1), la dimension des SU(n) est n² - 1. Donc, dans les modèles basés sur des SU(n), la dimension de l'isoespace sera n² - 1. Maintenant, les potentiels de ces 3 interactions sont tous considérés comme ayant autant de composantes EXTERNES qu'il y a de dimensions à R^3,1, soit 4, le reste des composantes étant INTERNE. Comme il y a dim(G) composantes internes pour CHAQUE direction externe, on dénombre au total (produit tensoriel) 4dim(G) potentiels de champ A_i^a(x) dans l'espace-temps de Minkowski [i = 0,1,2,3 = indice externe ; a = 1,...,dim(G) = indice interne]. Pour U(1), on retrouve les 4 potentiels A_i(x) du champ électromagnétique de Maxwell ; pour SU(2), on a 4 x 3 = 12 potentiels nucléaires faibles [A_i¹(x),A_i²(x),A_i³(x)] ; 4 x 8 = 32 potentiels "gluoniques" pour SU_c(3) de couleur [A_i¹(x),...,A_i⁸(x)].

Pour décrire la dynamique d'une l'interaction, on se tourne vers la mécanique. Dans le vide, l'interaction "pure" se propage avec une action :

(5)     S = S £[A(x),F(x),x]d³xdt

à la fois minimale (principe de moindre action) et invariante sous l'action des groupes de symétries (ce principe-là d'invariance remplace l'ancienne notion "d'absolu" : une quantité physique est invariante si elle ne change pas de valeur lorsque les systèmes de coordonnées changent. En d'autres termes, il n'y a pas de "référentiel physique" spécifique - principe de relativité). Ceci n'est possible que si et seulement si la densité de lagrangien de l'interaction :

(6)     £[A(x),F(x),x] = F_ij^a(x)F^ij_a(x)/2mu

est solution des équations de Lagrange en variables de champs A_i^a(x) et reste invariante sous l'action combinée du groupe SO(3,1) des rotations de Lorentz ET du groupe interne G. mu est une constante de couplage caractéristique de la capacité du vide à propager l'interaction. Les F_ij^a(x) sont les intensités du champ. Ce sont les variations spatio-temporelles des potentiels A_i^a(x). Dans le cas de U(1), il n'y a pas de géométrie intéressante et les F_ij(x) se réduisent simplement à ceux de Maxwell :

(7a)     F_ij(x) = d_iA_j(x) - d_jA_i(x)     pour QED.

Si je les décale au moyen de la translation :

(7b)     A_i(x) -> A_i(x) + d_if(x)

je ne modifie pas mes intensités de champ,

(7c)     F_ij(x) -> F_ij(x)

parce que la "matrice dérivation" d_id_j = d_jd_i est symétrique (que je prenne la variation dans la direction i, puis une autre dans la direction j ou que j'intervertisse les deux directions donne le même résultat).

Une transformation telle que (7b) est encore une transformation de jauge, dite "de 2nde espèce". Celles de 1ère espèce portent sur les SOURCES ; celles de 2nde espèce, sur les champs produits par ces sources.

Pour les interactions nucléaires, ce n'est plus aussi simple (faut bien trouver à s'amuser, sinon, ce serait ennuyeux...) : les groupes SU(n) sont des groupes MATRICIELS et, à ce titre, NE SONT PLUS COMMUTATIFS VIS-A-VIS DU PRODUIT MATRICIEL. A la place de (7a), je vais trouver :

(8)     F_ij^a(x) = d_iA_j^a(x) - d_jA_i^a(x) - Kf_bc^aA_i^b(x)A_j^c(x)

K est une constante de couplage propre à l'interaction. Les f_bc^a sont les constantes de structure du groupe. Et elles sont antisymétriques : f_cb^a = -f_bc^a. En plus des variations spatio-temporelles des potentiels, il y a un auto-couplage [les constantes de structure de U(1) sont nulles]. C'est cet auto-couplage qui traduit la géométrie de l'isoespace. Elle n'est pas sans rappeler celle de Riemann, utilisée en Relativité Générale (et c'est tout SAUF une coïncidence). Chez Riemann, la courbure de l'espace s'exprime au moyen d'une "dérivation covariante" de Lévi-Civita D^(LC)_i qui s'applique à des champs de vecteurs V^j(x) par :

(9a)     D^(LC)_iV^j(x) = d_iV^j(x) + C_ik^j(x)V^k(x)

Le commutateur :

(9b)     [D^(LC)_i , D^(LC)_j]V^k(x) = (D^(LC)_iD^(LC)_j - D^(LC)_jD^(LC)_i)V^k(x) = R_ij^k_l(x)V^l(x)

donne alors la courbure de Riemann R_ij^k_l(x) de l'espace en fonction des "potentiels de Christoffel" C_ik^j(x). Lorsque l'espace est plan, ces C_ik^j(x) sont partout nuls, D^(LC)_i se réduit à la dérivation habituelle d_i = d/dxⁱ dans la direction i et (on s'en doute) R_ij^k_l(x) = 0.

Il en va pareillement chez Yang et Mills. A la place de Lévi-Civita, on trouve une dérivation covariante de la forme :

(10a)     D^(YM)_i = d_i - i(q/h)A_i(x)

Le '"i" de i(q/h) est l'unité imaginaire. q est une charge. Les potentiels A_i(x) sont MATRICIELS, à l'instar des C_ik^j(x) de Christoffel vis-à-vis du groupe externe SO(3,1) : si les X^a représentent les générateurs du groupe interne G, A_i^a(x) = A_i^a_b(x)X^b. On retrouve une configuration géométrique similaire. Si j'applique le commutateur (9b) à (10a), j'obtiens ni plus ni moins que (8) avec K = i(q/h) :

(10b)     [D^(YM)_i , D^(YM)_j] = -i(q/h)F_ij^a(x)X_a

Cette dérivation covariante de Yang-Mills ne s'applique plus à des champs de vecteurs dans l'espace-temps classique de Minkowski, mais à des champs de particules f^a(x) à dim(G) composantes. Ces champs-là ne sont plus réels, comme en RG classique, mais complexes : ce sont des paquets d'ondes. Si je les couple à l'interaction, ils me donnent :

D^(YM)_if^a(x) = d_if^a(x) - i(q/h)A_i^a_b(x)f^b(x)

On reconnait bien le produit matriciel A_i^a_b(x)f^b(x). Si je leur applique une transformation de jauge de 1ère espèce,

f^a(x) -> U^a_b(x)f^b(x) = exp[iUPS^a_b(x)]f^b(x),
D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) + if^b(x)d_iUPS^a_c(x)exp[iUPS^c_b(x)]
                    - i(q/h)A_i^a_b(x)exp[iUPS^b_c(x)]f^c(x)

Si j'applique une transformation de jauge de 2nde espèce aux A_i^a_b(x) :

A_i^a_b(x) -> A_i^a_b(x) + d_iw^a_b(x),
D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) + if^b(x)d_iUPS^a_c(x)exp[iUPS^c_b(x)]
                    - i(q/h)exp[iUPS^b_c(x)][A_i^a_b(x)f^c(x) + f^c(x)d_iw^a_b(x)]

Aussi, en prenant :

(10c)     UPS^a_b(x) = (q/h)w^a_b(x)

j'ai

D^(YM)_if^a(x) -> exp[iUPS^a_b(x)]d_if^b(x) - i(q/h)exp[iUPS^c_b(x)]A_i^a_c(x)f^b(x)
                    = exp[iUPS^c_b(x)][Id^a_cd_i - i(q/h)A_i^a_c(x)]f^b(x)
                    = U^a_b(x)D^(YM)_if^b(x)

Lorsque je vais former le produit [D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]*, il va se transformer en :

[D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]* -> U^a_c(x)[U^b_d(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D^(YM)_jf^d(x)]*

Si je contracte "extérieurement" par g₍₀₎^ij et "intérieurement" par Id_ab, j'obtiens le scalaire hermitien :

g₍₀₎^ijId_ab[D^(YM)_if^a(x)][D^(YM)_jf^b(x)]* = [D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]*

qui va se transformer en,

g₍₀₎^ijId_abU^a_c(x)[U^b_d(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D^(YM)_jf^d(x)]* =
= U^a_c(x)[U_ad(x)]*[D^(YM)_if^c(x)][D_(YM)ⁱf^d(x)]*

Cette expression sera égale à [D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]* pour :

(10d)     U^a_c(x)[U_ad(x)]* = Id_cd

autrement dit, lorsque le conjugué de U(x) sera aussi son inverse. Or, c'est précisément ce qu'il se passe pour les groupes spéciaux unitaires. En conséquence, la combinaison des transformations de jauge de 1ère et de 2nde espèce laisse invariante la densité de lagrangien :

(10e)     £[f(x),D^(YM)f(x),x] = -(h²/2m)[D^(YM)_if^a(x)][D_(YM)ⁱf_a(x)]*

Les composantes du champ de particules comme du champ d'interaction se déterminent à une phase MATRICIELLE près.

Il y a une analogie plus que frappante entre les champs de particules f^a(x) et des champs de vecteurs Vⁱ(x) dans R^3,1, ainsi qu'entre les potentiels d'interaction A_i^a_b(x) et les champs de Christoffel C_ij^k(x) de la RG et pour cause :

LA RELATIVITE GENERALE EST UNE THEORIE DE YANG-MILLS A GROUPE SO(3,1).

Autrement dit, YM INCLUT la RG : son contexte est "plus générale que la Relativité Générale", parce qu'il s'applique à n'importe quel groupe de symétrie, qu'il soit "externe" ou "interne". Nous en avons déjà vu un exemple lorsque j'ai proposé un modèle unifié de la gravitation et de l'électromagnétisme : les rapports (q/h)A_i^a_b(x) et (m/h)G_i^a_b(x) sont en m^-1, ce sont des champs de Christoffel. Dans B 167, le groupe était SO(p,q) pour un espace-temps de dimension D = p + q et de signature (p,q), ce qui correspond à une situation spécifique. Mais, YM ne fait pas de distinction entre "symétries externes" et "symétries internes". C'est une théorie géométrique. Elle parle de géométries COURBES construites comme des DEFORMATIONS d'espaces plans. Exactement comme la RG, exactement comme l'ensemble du programme élasticité. Dans la représentation dite "tensorielle", vous y trouverez des symétries "externes" ; dans la représentation "matricielle", des symétries "internes". En termes physiques, il devient donc possible, chez YM, de regrouper les propriétés liées aux mouvements des corps à leurs propriétés physiques. Il suffit pour cela de se donner des applications d'un espace E de dimension D dans un groupe G de dimension D'. En géométrie, on appelle cela réaliser une fibration de base E, d'espace total E x_c G de dimension D + D' et de groupe structural G.

Par exemple, f : R^3,1 -> U(1) réalise une fibration, de base l'espace-temps de Minkowski, dans le groupe de QED. Ce groupe étant de dimension 1, l'espace total de la fibration est de dimension 5 : 4 ddls "externes" xⁱ, 1 ddl "interne" (la phase). Le champ f(x) est dans l'algèbre u(1) du groupe : c'est un espace de dimension 1 (f n'a qu'une seule composante). Le fait de pouvoir définir ce champ de particules à un facteur de phase près signifie que l'on peut même se limiter à son amplitude. En TQRC, cette amplitude, c'est la racine carrée de la probabilité de présence d'une particule du champ au point x de l'espace-temps.

Un peu plus généralement, pour un groupe structural SU(n), le champ f aura n² - 1 composantes et il y aura 4 + (n² - 1) = n² + 3 degrés de liberté.

Ce n'est qu'une question de langage... :) Il y a celui des physiciens et celui des géomètres. Pour décrire les mêmes objets.

Ensuite, il s'agit de représentation des groupes. Si vous représentez le champ de Christoffel d'après ses projections sur les axes de R^3,1, vous obtenez la représentation tensorielle C_ij^k(x). Si vous le représentez vis-à-vis du groupe de Lorentz, vous l'écrivez sous la forme C_ia^b(x) qui est une "matrice de champs vectoriels C_i(x)". La matrice en question sera relative au groupe des rotations SO(3,1) de l'espace-temps 4D. C'est le même objet qui apparaît sous des formes différentes. Mais ça permet de NE PAS se limiter à un seul groupe de symétrie.

Aussi, ce que nous venons d'établir, l'invariance de jauge des densités de lagrangiens (et donc, des actions) vis-à-vis des transformations de 1ère et de 2nde espèce s'applique tout autant à la Relativité Générale...

Avec, toutefois, une "petite" différence. La théorie de la gravitation telle que proposée par Einstein se fondait sur l'axiome géométrique de Riemann qui dit que, dans un voisinage infinitésimal autour de chaque point, il est toujours possible de trouver un système de coordonnées dans lequel l'espace apparaît PLAN. Einstein a utilisé cet axiome pour traduire l'idée que la gravitation n'était pas une véritable force, mais une PSEUDO-force : un simple effet inertiel, géométrique, qui pouvait s'effacer dans un référentiel physique dit "galiléen". Mais l'axiome de Riemann N'EST PAS le seul axiome de la géométrie : comme il existait préalablement les axiomes de Gauss et de Lobatchevski, il existe AUSSI celui de Grassmann. L'axiome de Gauss concerne les géométries elliptiques ; celui de Lobatchevski, les géométries hyperboliques. L'axiome de Riemann, lui, implique la SYMETRIE C_ji^k(x) = C_ij^k(x) sur les champs de Christoffel. Cette condition DISPARAIT dans les représentations matricielles C_ia^b(x) : elle n'a plus rien "d'indispensable". Au contraire, elle s'avère plutôt contraignante. Surtout vis-à-vis de groupes DE SPIN, qui sont typiquement grassmanniens. C'est pourquoi les théoriciens de la supersymétrie, qui ont cherché à rassembler "matière fermionique" et "rayonnement bosonique" dans un même cadre qui serait dès lors DEPOURVUS DE SOURCES, ont pris leurs distances avec l'axiome de Riemann pour inclure le cas de champs de Christoffel ANTI-symétriques C_ji^k(x) = -C_ij^k(x), ce qui implique que les espaces-temps se "tordent", i.e. qu'ils font une différence entre "gauche" et "droite" : parce que les spins demi-entiers "se reflètent dans le miroir", au contraire des spins entiers. On a donc débouché sur les géométries COMPLEXES, métrique de Kähler, etc.

Vous avez PLETHORE de tentatives d'unification : des interactions fondamentales, de la matière. Je ne retiendrais que les 3 principales : les modèles supersymétriques, les supercordes (qui sont des cordes supersymétriques) et le modèle de Coleman-Glashow basé sur le groupe SU(5) à 24 dimensions. Pourquoi celui-ci en particulier ? Parce qu'une décomposition possible (ce n'est pas la seule) de SU(5) est :

SU(5) = SU_c(3) x_c SU_s(3) x_c SU_w(2) x_c U(1) x_c Spin(1)

C'est une théorie "de grande unification" (GUT - pas de gravitation) : QCD (interaction forte) + GSW (électrofaible) + spin ½ (fermions élémentaires). Rassemblés dans un même groupe de symétrie.

Voilà, résumé du mieux que j'ai pu trouver, les raisons qui nous ont amenées à la géométrie COMPLEXE : parce que c'est le cadre adapté au quantique et qu'on y retrouve automatiquement Yang-Mills et la supersymétrie. Si vous remplacez R^3,1 par C^3,1 et le groupe de Lorentz SO_R(3,1) par son complexifié SO_C(3,1), groupe des rotations dans l'espace-temps de Minkowski QUANTIQUE, vous obtenez immédiatement une fibration :

(11)     F : C^3,1 -> SO_C(3,1)
               x^m = x^0m + ix^1m -> F^a(x^m) = F^0a(x^0m,x^1m) + iF^1a(x^0m,x^1m)

et une dérivation de Yang-Mills à groupe SO_C(3,1) sur ce fibré,

(12a)     D_iF^a(x^m) = [Id_b^ad_i + C_ib^a(x^m)]F^b(x^m)
                         = (D_iF^a)⁰(x^0m,x^1m) + i(D_iF^a)¹(x^0m,x^1m)
(12b)     (D_iF^a)⁰ = (Id_b^ad⁰_i + C⁰_ib^a)F^0b + (Id_b^ad¹_i - C¹_ib^a)F^1b
(12c)     (D_iF^a)¹ = (Id_b^ad⁰_i + C⁰_ib^a)F^1b - (Id_b^ad¹_i - C¹_ib^a)F^0b

L'alternance de signe devant les composantes réelles résulte tout naturellement de ce que i² = -1.

Contrairement à Riemann, chez Yang-Mills, IL N'Y A PLUS nécessité de trouver des potentiels "plus fondamentaux" que les C_ib^a(x^m) de Christoffel, qui en dériveraient par variation dans la base : les potentiels interactifs SONT représentés par les C_ib^a(x^m). Qu'ils se transforment comme des tenseurs ou pas N'A PLUS D'IMPORTANCE : de toute façon, ils se transforment comme des holeurs plus généraux... Ce sont les règles du calcul tensoriel qui sont trop exigeantes, comme l'est le produit matriciel, c'est tout.

Une autre histoire de simple langage est que, dans la représentation tensorielle, les commutateurs (9b) et (10b) sont appelés "crochets de Schouten" et, dans la représentation de groupe, "crochets de Lie". Dans les deux cas, ils vont donner les intensités de champ interactif :

(13a)     [D_i,D_j]_-F^a = (R_ijb^a - Id_b^aS_ij^kD_k)F^b

où l'on reconnait la courbure de Riemann, cette fois, DU FIBRé (celle de la base étant nulle),

(13b)     R_ijb^a = d_iC_jb^a - d_jC_ib^a + C_ic^aC_jb^c - C_jc^aC_ib^c

et où l'on voit apparaître un "tenseur torsion",

(13c)     S_ij^k = C_ij^k - C_ji^k

qu'il est possible, par conversion, de relier aux constantes de structure du groupe (qui, je le rappelle, sont bien ANTI-symétriques : f_ba^c = -f_ab^c).

C'est cette "torsion" (qui n'a rien à voir avec la torsion géodésique d'un espace riemannien) qui est utilisée en super-symétrie pour incorporer la "matière fermionique" au rayonnement. Chez Yang-Mills, on voit bien qu'elle n'est pas spécifique aux spins demi-entiers, mais qu'elle est en relation directe avec les groupes de symétries. SI ces groupes sont des Spin(2s) avec 2s impair, ALORS S_ij^k est associée à des spineurs. SINON, les seuls groupes de Lie qui n'induisent pas de torsion sont SO_R(2) et U(1). Tous les autres ont des constantes de structure non nulles, provoquant de la torsion.

Vous voyez donc à quel point l'axiome de Riemann se révèle LIMITé, dès que l'on passe de la représentation tensorielle à une représentation de groupe : même ses propres groupes de symétries ont des constantes de structure dès la dimension réelle 3 et complexe 2. Localement, les espaces courbes peuvent bel et bien être ramenés à des "plans microscopiques" MAIS en y distinguant généralement la direction "droite" de la direction "gauche" : il y a une RUPTURE DE SYMETRIE qui se produit quasi-systématiquement chez Yang-Mills et qui est absente chez Riemann. Elle n'est pas forcément due aux charges que portent les corps (masses incluses), elle est également produites par leurs mouvements.

Eh bien, toutes ces "complications" supplémentaires s'expliquent très simplement dans le contexte quantique par la CONJUGAISON COMPLEXE x^m = x^0m + ix^1m <-> (x^m)* = x^0m - ix^1m : si la partie "réelle" x^0m d'une quantité complexe QUELCONQUE n'est pas affectée par l'opération du fait que cos(.) est une fonction paire (= "à parité P = +1" en langage de physicien), la partie "imaginaire" x^1m est CHANGEE DE SIGNE car sin(.) est une fonction IMPAIRE (P = -1). En d'autres termes, cos(.) est SYMETRIQUE, alors que sin(.) est ANTISYMETRIQUE. Par conséquent, cos(.) est en relation avec l'axiome DE RIEMANN et sin(.) avec celui DE GRASSMANN. Soit encore, de manière équivalente, cos(.) avec les spins ENTIERS et sin(.), avec les DEMI-ENTIERS. C'est le fait que la mécanique quantique IMPOSE de ne plus se limiter aux parties réelles des grandeurs, mais de prendre aussi leurs parties imaginaires sur le même pied d'égalité qui introduit de la "torsion", une "SYMETRIE MIROIR", dans les espaces(-temps).

Si vous raisonnez "quantique", vous n'avez PLUS cette brisure de symétrie, vous trouvez, au contraire, une NOUVELLE SYMETRIE qui est la conjugaison complexe.

Originellement, le phénomène de brisure (spontanée) de symétrie est de nature thermodynamique : au-dessus d'une température critique, un milieu physique présente une certaine symétrie, qui est "brisée" lorsque la température baisse en dessous de cette valeur critique. Mais, chez Yang-Mills, elle s'avère tout autant MECANIQUE : nous n'avons introduit aucun paramètre thermodynamique dans la description et, pourtant, la brisure SPONTANEE de symétrie est OMNI-présente. Elle a donc une toute autre signification : mécaniquement, elle indique que le cadre dans lequel on s'est placé EST TROP RESTREINT et qu'il faut en sortir.

La brisure MECANIQUE de symétrie n'est due qu'au fait que l'on décompose une géométrie COMPLEXE en ses composantes REELLES. C'est pour cette raison que la symétrie miroir est caractéristique des géométries hermitiennes : parce que leurs propriétés métriques y sont REELLES... :) Si vous vous placez dans des espaces métrisables COMPLEXES, vous n'avez plus ce problème... En revanche, il vous faut travailler avec des actions COMPLEXES. C'est normal : vous êtes quantiques... tout est complexifié, tout a une phase, tout est "paquet d'ondes", les cadres supports (même plans), les champs, les groupes, tout.

Si vous complexifiez une action s(x), que vous donne la dualité onde-corpuscule ? Une exponentielle exp[s(x)/h]. Si vous DECOMPOSEZ votre action en ses composantes réelles, alors :

exp[s(x)/h] = exp[s⁰(x⁰,x¹)/h]exp[is¹(x⁰,x¹)/h]

Vous retrouvez le facteur de phase exp[is¹(x⁰,x¹)/h] de l'analogie opto-mécanique, parce que s¹(x⁰,x¹) est une action classique dans un espace(-temps) classique de dimension dédoublée, mais vous trouvez en même temps une AMPLITUDE exp[s⁰(x⁰,x¹)/h] toujours >= 1, là encore, parce que s⁰(x⁰,x¹) est une action classique complémentaire.

Du point de vue quantique, vous n'avez QUE exp[s(x)/h], AVEC une symétrie {exp[s(x)/h]}* = exp{[s(x)]*/h}, alors que, du point de vue classique, vous avez une RUPTURE DE LA SYMETRIE DES RÔLES ATTRIBUéS A s⁰(x⁰,x¹) et à s¹(x⁰,x¹) : la première se retrouve dans le facteur D'AMPLIFICATION ; la seconde, dans le facteur DE PHASE.

B 199 : QUANTIFICATION DES TRAJECTOIRES ET DES CHAMPS

La quantification des trajectoires et des champs est une procédure qui se fait en 3 étapes. La théorie des ensembles permet de s'y retrouver. Pour un déplacement dans l'espace 3D au cours du temps, on aura une application composite,

(1)     R -> C -> R³ -> C³

qui se décompose en :

- une première quantification du temps,

(2a)     T : R -> C , t -> T = T(t) = S₀^t exp[is(t')/h]dt'
(2b)     T(t₁) = T(t₀) + T(t₁ - t₀)     pour t₁ > t₀,

l'intégration étant une application linéaire (S₀^t₁ = S₀^t₀ + S_t0^t₁ = S₀^t₀ + S₀^t₁-t₀) ;

- une extension du mouvement classique en temps QUANTIQUE,

(3)     x : C -> R³ , T -> x = x(T)

et une seconde quantification de l'espace,

(4)     X : R³ -> C³ , X^a = X^a(x) = S₀^xa exp[is(x')/h]dx'^a     (a = 1,2,3)

C'est le prix fixé par l'analogie opto-mécanique.

Détaillons la dynamique (3). Pour T donné par (2a), x est une fonctionnelle x[T(t)] du temps classique, qui renvoie à une fonction x_t(t) = x[T(t)] de t. Ce déplacement s'effectue à la vitesse :

(5)     v[T(t)] = dx[T(t)]/dT(t) = exp[-is(t)/h]dx[T(t)]/dt = exp[-is(t)/h]v_t(t)

Les masses deviennent des fonctions m[T(t)] = m_t(t) du temps classique. L'impulsion est :

(6)     p[T(t)] = m[T(t)]v[T(t)] = exp[-is(t)/h]m_t(t)v_t(t) = exp[-is(t)/h]p_t(t)

Les équations de mouvement s'écrivent :

(7a)     dp[T(t)]/dT(t) = exp[-is(t)/h]dp[T(t)]/dt
                             = exp[-2is(t)/h][d/dt - (i/h)ds(t)/dt]p_t(t)
                             = f[T(t)] = exp[-2is(t)/h]f_t(t)

avec s(t), l'action classique en temps classique, d'où,

(7b)     ds(t)/dt = l[x(t),dx(t)/dt,t]

Par contre, le lagrangien en temps quantique sera de la forme :

(8)     l_q{x[T(t)],v[T(t)],T(t)} = ½ m[T(t)]v²[T(t)] + f[T(t)].x[T(t)]
                                       = exp[-2is(t)/h][½ m_t(t)v_t²(t) + f_t(t).x_t(t)]
                                       = exp[-2is(t)/h]l_t[x_t(t),v_t(t),t]

L_t étant évidemment différent de (7b) (ça se voit). Puisque T(0) = 0, l'action correspondante sera :

(9a)   s_q[T(t)] = S₀^T(t) l_q{x[T'(t)],v[T'(t)],T'(t)}dT'(t)
                   = S₀^t exp[-2is(t')/h]l_t[x_t(t'),v_t(t'),t']dt' = s_t(t)
(9b)     s_q[T(0)] = s_q(0) = s_t(0) = 0

C'est x_t = x_t(t) = x[T(t)] qui vient se substituer à x dans dX^a(x) = exp[is(x)/h]dx'^a, donnant :

(10)     X_t^a = X_t^a(x_t) = S₀^x_ta exp[is(x_t')/h]dx_t'^a

Du point de vue fonctionnel, on assiste à une encapsulation des variables :

(11)     t -> T(t) -> x[T(t)] -> X{x[T(t)]}

Le temps classique est transformé en temps quantique ; le temps quantique, en distances quasi-classiques et celles-ci, en distances quantiques. En théorie des fonctions complexes de variables complexes, nous aurions simplement X(T). Mais l'analogie opto-mécanique transforme des variables en paquets d'ondes. Et nous devons tenir compte de ce fait physique. La description ne peut dès lors plus être aussi simple, elle doit porter sur des signaux fonctions d'autres signaux.

Je tiens tout de même à préciser que, s'agissant d'espaces(-temps) physiques, la contrainte est que les cadres quantiques soient de spin s et donc, de dimension classique D(s) et quantique D(s)/2 = D(s - ½), avec signature [p(s),q(s)]. Aussi, quitte à annuler des composantes de champ pour réduire leur nombre, mieux vaut travailler sur des trajectoires :

(12)     R -> C -> R^3,1 -> C^3,1

avec des temps PROPRES t = (g⁽⁰⁾_abx^ax^b)^½/c et T = (g⁽⁰⁾_abX^aX^b)^½/c, (a,b = 0,1,2,3), d'autant plus que la quantification se moque éperduement que t soit réel ou pas, couvrant ainsi tout le domaine du mouvement physique.

Même en biophysique, il sera préférable de se placer dans le cadre (12), puis de poser, en fin de calculs, c -> +oo : c'est plus correct, les cadres physiques étant 4D, non 3D.

La quantification des champs suivra la même procédure, en partant de R^3,1 au lieu de R, étant donné que l'on passe de 1 à 4 paramètres classiques. On aura une succession de liens fonctionnels :

(13)     R^3,1 -> C^3,1 -> R^p(s'),q(s') -> C^p(s'),q's')
          (x,ct) -> [X(x,ct),cT(x,ct)] -> f^{A₁...A_2s'+1}[X(x,ct),cT(x,ct)] ->
           -> F^{A₁...A_2s'+1}{f^{B₁...B_2s'+1}[X(x,ct),cT(x,ct)]}

Quantification de l'espace-temps (x,ct) -> [X(x,ct),cT(x,ct)] ; champ quasi-classique f de spin s' dans l'espace-temps quantique ; champ quantique F correspondant (donc, de même spin).

Pour la quantification de l'espace-temps, nous venons de le voir dans la bidouille précédente : on passe par une densité d'action s(x,ct). Le "point d'univers" classique (x,ct) est envoyé sur le "point d'univers" quantique (X,cT) = [X(x,ct),cT(x,ct)], lequel est transformé en des "coordonnées de champ" :

f^{A₁...A_2s'+1} = f_x,ct^{A₁...A_2s'+1}(x,ct) = f^{A₁...A_2s'+1}[X(x,ct),cT(x,ct)]

dans un espace-temps classique de dimension 2^2s'+1 et signature [p(s'),q(s')]. Enfin, ces dernières sont quantifiées à leur tour en les :

F^{A₁...A_2s'+1}{f^0...0,...,f^1...1} = S₀^{fA₁...A_2s'+1} exp[is(f)/h]df^{A₁...A_2s'+1}

Par exemple, pour s' = 0, vous aurez :

f^A₁ = f_x,ct^A₁(x,ct) = f^A₁[X(x,ct),cT(x,ct)]
F^A₁(f⁰,f¹) = S₀^fA₁ exp[is(f⁰,f¹)/h]df^A₁

Pour s' = ½ :

f^A₁A₂ = f_x,ct^A₁A₂(x,ct) = f^A₁A₂[X(x,ct),cT(x,ct)]
F^A₁A₂(f⁰⁰,f⁰¹,f¹⁰,f¹¹) = S₀^fA₁A₂ exp[is(f⁰⁰,f⁰¹,f¹⁰,f¹¹)/h]df^A₁A₂

et ainsi de suite.

Comprenons-nous bien : toute la technique déversée dans ces bidouilles ne sert qu'à CONSTRUIRE le quantique à partir du classique, qui nous est beaucoup plus familier. EN REALITE, temps, espace, corps, champs, milieux physiques : TOUT EST QUANTIQUE. Seulement, nous ne le percevons pas dans la vie de tous les jours, nous ne percevons que le classique. Je l'avoue très simplement : je me passerais volontiers de toutes ces démonstrations techniques... Mais, en recherche scientifique, on DEMONTRE les choses, on les PROUVE, on les DECRIT.

Toutes ces grandeurs quantiques sont des quantités complexes, avec amplitude et phase. De la plus petite échelle à la plus grande, ce sont toutes des paquets d'ondes. Ils n'ont simplement pas même amplitude ni phase à toutes les échelles de description, à moins d'être invariants d'échelle, ce qui concerne les structures fractales. Si leur phase est multiple entier de pi radians, elles se réduisent à des grandeurs classiques. Si elle est multiple impair de pi/2 radians, ces quantités se ramènent encore à des grandeurs classiques mais, en quadrature de phase. C'est la seule chose qu'il faut retenir : que le classique n'est qu'une REDUCTION du quantique. On quantifie au moyen de l'analogie opto-mécanique parce qu'on a découvert le quantique que beaucoup plus tard. Si l'inverse s'était produit, on serait parti de grandeurs COMPLEXES et on en aurait DEDUIT le classique comme VALEURS PARTICULIERES DES PHASES. On n'aurait sans doute pas eu besoin de tout cet arsenal mathématique : il est beaucoup plus facile de passer d'une situation générale à des cas particuliers que de généraliser des particularités...

Je peux fort bien me limiter à décrire, disons, le temps quantique par le seul nombre complexe T = |T|e^iTAU. A condition que je me mette à la place d'un observateur quantique. Si je me pose comme observateur CLASSIQUE, cette description est insuffisante, je DOIS utiliser le paquet d'ondes intégral (2a), ce qui complique considérablement les choses, vu qu'il ne s'exprime pas au moyen de fonctions élémentaires.

Le problème n'est donc pas de faire de la "mécanique quantique" : il suffirait de "copier-coller" le formalisme de Lagrange-Hamilton-Jacobi en y remplaçant toutes les grandeurs, réelles, par des homologues complexes. La difficulté est de faire ce type de mécanique du point de vue d'un observateur classique. Un observateur avec une perception REDUITE des choses, restreinte à la manifestation CORPUSCULAIRE de la matière. Pour lui, la "matière", c'est du "palpable". Mais la matière PHYSIQUE, ce n'est pas ça... Les atomes s'associent par liaisons chimiques. Ces liaisons, c'est de l'ondulatoire... C'est comme ça que se constitue sa "matière palpable" : avec de l'impalpable... :) Pour lui, le "passe-muraille", c'est de la science-fiction ; dans le monde quantique, il n'y a QUE du passe-muraille... Il n'y a PAS d'obstacle matériel. La difficulté, c'est de retrouver le paquet d'ondes initial à la sortie. Parce que la traversée d'un milieu physique le DEFORME : son amplitude n'a plus même forme et il est déphasé. Il contient la même information qu'en entrée, parce qu'il n'y a pas de viscosité, mais il n'a plus "la même tronche". Donc, vous voyez : même dans le monde quantique, il n'est pas aussi facile qu'on le penserait de "traverser des portails", il faut encore être doté de la faculté de se reconstituer sa forme d'origine en sortie...

Eh bien, ça, c'est un exemple de capacité autonome qu'on n'a pas encore observé à ce jour, parce qu'on n'a observé que de l'inerte. Les systèmes biologiques classiques atteignent des niveaux de complexité MOLECULAIRE qui leur permettent de développer des facultés d'autonomie, il en va de même (et conjointement) pour les paquets d'ondes, qui s'associent suivant les lois ondulatoires, jusqu'à développer des structures de plus en plus sophistiquées, avec des fonctions ONDULATOIRES de plus en plus compliquées, jusqu'à l'autonomie.

On sait former aujourd'hui des alliages chimiquement assez complexes qui sont isolants au-dessus de leur point de Curie et supraconducteurs en dessous, mais ils restent ridiculement simples comparés à une machinerie vivante.

Ce que nous apprend l'observation physique, c'est que le corpusculaire est INDISSOCIABLE de l'ondulatoire. La déduction me semble évidente : si le corpusculaire EVOLUE dans la complexité, il en va de même de l'ondulatoire... On aboutit donc aussi bien à une autonomie MOLECULAIRE qu'à une autonomie ONDULATOIRE... parce que le vivant se construit à partir de l'inerte et que l'inerte est QUANTIQUE par nature.

Ensuite, ce sont des comportements thermodynamiques : au-dessus du point de Curie, le "palpable" masque complètement "l'impalpable", principalement à cause de l'agitation thermique ; mais en-dessous de ce point, il n'y a plus suffisamment d'activité thermique et c'est l'impalpable qui prend le dessus.

On a le droit de croire ce qu'on veut : c'est le Libre Arbitre. Mais les gens qui ne croient pas en "la vie après la vie" (biologique) rejettent tout simplement des FAITS D'OBSERVATION PHYSIQUES...

Nous ne sommes plus dans le domaine du fantasme, plus depuis la découverte des comportements quantiques...

C'est pour ça : faire le con de son "vivant" en se disant qu'il faut en profiter parce qu'ensuite "y a plus rien"... chacun voit midi à sa porte... Nous, nous rapportons ce que nous observons. Dans nos labos, dans l'Univers.

La vie "d'après", on se la construit ICI... ce n'est pas un aboutissement, ce n'est que le point de départ. On n'est "palpable" que parce que l'on développe une activité thermique interne, qui occassionne des chocs moléculaires, qui produisent des frottements, lesquels dissipent une partie de l'énergie et se manifestent, à grande échelle, sous forme de viscosité. Baissez suffisamment l'activité thermique sans la supprimer pour autant : les échanges énergétiques se réorganisent, suivant des lois physiques différentes ; l'ondulatoire se met en cohérence et forme des motifs macroscopiques à viscosité NULLE. Plus de viscosité, plus de frottements internes, plus de dissipation d'énergie, plus d'usure mécanique ni de vieillissement : c'est le domaine du "mouvement perpétuel".

Je tiens d'ailleurs à préciser que le "choc moléculaire" n'est qu'une représentation "en sphères dures". En réalité, les molécules ne s'entrechoquent pas, parce qu'elles sont entourées par leur paquet d'ondes respectif. Ce n'est pas comme deux véhicules qui entrent en collision : elles "rebondissent" plutôt au moment de la rencontre. C'est la représentation "en sphères molles".

Seulement, il faut savoir tout ça, avant d'affirmer que, dans le trou, y a plus de son, plus d'image... Dans le trou, y a une carcasse biologique qui se décompose. Une "enveloppe". Qui continue d'obéir aux lois de la thermodynamique MOLECULAIRE (dégradation de l'énergie !). Il n'y a pas non plus de "résurrection d'entre les morts", les lois physiques ne fonctionnent pas comme ça.

La quantité de CONNERIES qu'on a pu sortir au fil des siècles pour des raisons purement POLITIQUES... :|

Pendant qu'on faisait griller les chimistes et les physiciens "non orthodoxes" sur les bûchers pour "sorcellerie"...

On en a perdu, du temps et des connaissances !... Si vous aviez le malheur de sortir des choses à contre-courant, soit des idées reçues, soit de la "bienséance auto-proclamée", c'était censure immédiate...

C'est d'ailleurs toujours le cas... lol Combien de fois je me suis fait interdire de publication pour avoir oser "critiquer le travail des maitres" ?... Si j'ai lancé ce blog... c'est pour pouvoir publier LIBREMENT... :)

Pas pour éviter les critiques. La critique et L'AUTO-critique font partie intégrante du travail du théoricien : t'as pas la science infuse...

B 198 : RAPPELS DE BIOPHYSIQUE

Nous allons faire un petit point intermédiaire pour savoir ce qui a déjà été accompli et ce qu'il reste encore à faire (et je crains qu'il y ait encore pas mal à faire...).

Je l'ai sans doute déjà dit : l'objectif d'une théorie physique est 1) de rendre compte le mieux possible des données d'observatioon recueillies et de les regrouper dans un cadre commun ; 2) d'expliquer les mécanismes sous-jacents menant à ces observations et, pourquoi pas, 3) de prédire des comportements non encore observés.

Une théorie physique ne se contente pas de décrire l'existant, elle doit aussi permettre d'envisager l'avenir.

La biodynamique n'échappe pas à cette règle. Son but est de décrire le plus fidèlement possible l'évolution des organismes vivants dans l'espace au cours du temps. Par "vivant", on entend des ensembles COHERENTS de constituants capables de S'AUTO-GERER. C'est la différence essentielle avec l'inerte : le vivant PART de l'inerte et atteint un "seuil de développement" au-delà duquel l'inerte devient AUTONOME. Les organismes végétaux ou animaux savent gérer leurs dépenses énergétiques parce que leurs constituants de base, les cellules, ont atteint un niveau de complexité qui les rend aptes à le faire d'elles-mêmes. Il se constitue une forme "d'intelligence cellulaire", biochimique, très différente de notre conception courante de l'intelligence neurologique, mais d'une redoutable efficacité. Les plantes, par exemple, sont dépourvues de système nerveux, propre aux animaux, mais communiquent sans cesse entre elles via des échanges biochimiques, certains nocifs (incompatibilités), d'autres participatifs. Dans une foret, même un sous-bois, les arbres sont solidaires. Si vous déforestez trop, vous mettez l'ensemble du massif en difficulté.

Les modèles bio-mathématiques généralement employés pour décrire ce type d'évolution se basent sur l'étude des variations : spatiales, temporelles, spatio-temporelles (mais au sens de Galilée, pas d'Einstein - la vitesse de la lumière n'est pas d'une grande utilité en biophysique). La description fait appel à la notion d'échelle. On commence par définir ce que l'on va s'employer à étudier : la cellule vivante, un tissu, un organe ou un organisme. S'il s'agit d'une cellule, les petites échelles vont porter sur les molécules simples, voire les atomes ; les échelles intermédiaires, sur les macro-molécules, les protéines, les constituants de la cellule ; l'échelle "macroscopique", sur la cellule elle-même. S'il s'agit d'un tissu, ces "niveaux de description" vont se décaler, la cellule passant à l'échelon "intermédiaire", "mésoscopique". Pour un organe, ce sera le tissu. Et pour un organisme, l'organe.

Aussi, si l'on cherche à décrire la biodynamique d'un organisme complet, le constituant de base, la cellule, n'y apparaîtra pas plus gros qu'un grain de sable. Il faudra un microscope optique pour l'observer. Le théoricien traitera alors la cellule comme un "point matériel", un "corpuscule", sans se préoccuper de sa structure interne à cette échelle. Pour lui, l'organisme se composera d'un très grand nombre de "constituants cellulaires réduits à leur centre de gravité (cdg)". A l'échelle de l'organisme, ce mode de description schématique n'occasionnera pas d'erreurs majeures. Le passage à des échelles inférieures, à des résolutions moins grossières, permettra d'affiner les résultats obtenus à grande échelle.

Notre théoricien partira donc du fait qu'il a à gérer un ensemble de N "corpuscules" en mouvement et en interaction les uns avec les autres. Pour 1 =< n =< N, le corpuscule "n° n" se trouvera à la position x_n(t) dans l'espace 3D à l'instant t. La variation de cette position au cours du temps sera décrite par un champ de vitesses assez compliqué :

(1)     dx_n(t)/dt = v_n[x₁(t),...,x_N(t),t,a₁,...,a_P]          (1 =< n =< N)

dépendant des positions de TOUS les corpuscules constituants l'ensemble, du temps naturellement (le paramètre mécanique), mais aussi de P paramètres thermodynamiques et chimiques (a₁,...,a_P). Il va sans dire qu'un tel système dynamique est quasi-impossible à résoudre dans les situations réalistes avec les outils d'analyse actuels. Même en recourant à des algorithmes numériques performants, les interactions cellulaires ont tendance à augmenter exponentiellement le volume des calculs. Sans compter que, pour des valeurs "critiques" des paramètres a, de tels systèmes entrent en "chaos déterministe" dès l'ordre 2, c'est-à-dire, dès l'interaction cellulaire deux à deux et ce, même pour de petits ensembles de constituants.

De toute façon, les cellules baignent généralement dans des liquides amniotiques, comme vous pouvez le voir dans un simple microscope optique acheté dans le commerce, ce qui rend leur mouvement très rapidement erratique.

A moins de former un ensemble cohérent. A ce moment-là, le mouvement individuel de CHAQUE cellule n'est plus libre. Les N cellules font partie d'un système, une sorte de "tout" au sein duquel le mouvement de l'une quelconque des N cellules dépend de celui de toutes les autres à chaque instant : c'est le système dynamique (1).

Maintenant, ce système peut aussi être commandé. On obtient alors une régulation. La régulation permet de stabiliser un système en mouvement. La modélisation se complique encore plus, puisqu'aux positions variables x_n(t), il faut adjoindre N vecteurs commande u_n(t). (1) devient :

(2a)     dx_n(t)/dt = v_n[x₁(t),...,x_N(t),u₁(t),...,u_N(t),t,a₁,...,a_P]
(2b)     du_n(t)/dt = w_n[x₁(t),...,x_N(t),u₁(t),...,u_N(t),t,a₁,...,a_P]

qu'il est possible de ramener à une forme similaire à (1) en égalisant les systèmes d'unités et en remplaçant les 3N positions x_n(t) de (1) par les 6N variables [x_n(t),u_n(t)]. C'est de la mathématique.

Comment fonctionne un système régulé ? Au départ, vous avez un processus biochimique, généralement complexe (au sens de complexité) que nous modéliserons par un opérateur b^(t,a₁,...,a_P). Si vous laissez le système agir librement, il évoluera de la manière qu'il souhaitera. Si, au contraire, vous voulez qu'il se comporte d'une certaine manière, vous imposerez une "consigne" en entrée c(t) = [c₁(t),...,c_N(t)]. La réponse m(t) = [m₁(t),...,m_N(t)] en sortie du système sera alors comparée à cette consigne :

(3)     e(t) = [e₁(t),...,e_N(t)] = c(t) - m(t) = [c₁(t) - m₁(t),...,c_N(t) - m_N(t)]

donnant un vecteur "erreur". Cette erreur sera corrigée par un correcteur r^(t,a₁,...,a_P) qui la transformera en la commande [u₁(t),...,u_N(t)] :

(4)     r^(t,a₁,...,a_P).e(t) = u(t)

La correction est "adaptative", voire "auto-adaptative", c'est-à-dire qu'elle s'adapte au cours du temps ainsi que selon la valeur des paramètres thermo-chimiques. C'est cette commande qui va être appliquée au processus biochimique et qui va rectifier la mesure en sortie m(t) :

(5)     b^(t,a₁,...,a_P).u(t) = m(t)

et la forcer à s'aligner sur la consigne c(t). Lorsque le résultat souhaité est atteint, i.e. aussi longtemps que c(t) = m(t), soit e(t) = 0, la commande s'annule : elle n'est plus nécessaire, le processus est régulé. S'il se dérégule, la correction reprend.

Si vous regroupez les équations (3), (4) et (5), il vient :

u(t) = r^(t,a₁,...,a_P).[c(t) - b^(t,a₁,...,a_P).u(t)]

ce qui vous donne le vecteur commande sous la forme (très théorique),

(6)     u(t) = [Id + b^(t,a₁,...,a_P)]^-1.r^(t,a₁,...,a_P).c(t)

où Id est l'opérateur identité (qui change une fonction en elle-même). Il s'agit donc de prendre l'inverse de l'opérateur Id + b^ et d'appliquer le résultat au correcteur r^. Si c'est VOUS qui fixez la consigne, c'est VOUS qui régulez le système. Si c'est le système qui s'applique sa propre consigne, il se fixe son propre objectif et il s'auto-régule.

En pratique, les opérateurs biochimiques deviennent rapidement très compliqués et ne se modélisent au mieux que très schématiquement et de manière empirique (= par des données d'observation). Ils ne sont quasiment jamais linéaires, plutôt "stochastiques" (aléatoires). Mathématiquement, l'inverse de Id + b^ s'obtient à l'aide de la série infinie :

(Id + b^)^-1 = S_n=0^+oo (-1)ⁿ(b^)ⁿ

Mais, même si (6) vous donne théoriquement la commande à partir de la consigne, il vous faut encore résoudre le système des équations d'évolution (2a-2b). La tâche est tout sauf simple, à la hauteur de la complexité des systèmes à l'étude.

Et encore, nous ne venons d'aborder la question que pour un nombre FINI de constituants. Or, à l'échelle d'un organisme, les cellules forment un milieu "continu", surtout dans les tissus (eux-mêmes constituants des organes). A ce niveau de description là, le théoricien va donc poser que N est "infini". On va entrer dans le cadre de ce que l'on appelle les modèles "phénoménologiques" : les systèmes dynamiques "discrets" (i.e. à nombres FINIS de constituants) vont être remplacés par des équations aux dérivées partielles (EDPs), voire des systèmes d'EDPs, ce qui va compliquer considérablement la tâche du théoricien quant à leur résolution. Dans (1) avec commande intégrée ou pas, on va substituer à l'entier n les variables de position x elles-mêmes. Il va donc falloir changer les trajectoires individuelles x_n(t) en une champ de positions X(x,t) et considérer les variations de ce champ aussi bien dans le temps que dans l'espace. La loi de la diffusion dite "moléculaire", par exemple, va être décrite par l'EDP de type parabolique :

(7)     (d/dt + Dd²/dx^adx_a)X(x,t) = Q(x,t)          (a = 1,2,3)

où Q(x,t) est la perturbation source et D, un coefficient de diffusion en m²/s, qui dépend généralement des caractéristiques physico-chimiques du milieu. Mais je viens de donner l'un des exemples les plus simples. Nombre de phénomènes macroscopiques ne peuvent se décrire qu'à l'aide de modèles différentiels NON linéaires ou intégro-différentiels,... sans évoquer les conditions aux limites, qui peuvent être elles-mêmes non linéaires.

Bref, la biophysique n'est peut-être pas l'astrophysique ni la cosmologie quantique, mais elle reste tout de même l'une des branches de la physique la plus compliquée de toutes. La dynamique cellulaire est extrêmement compliquée à modéliser. Les cellules communiquent entre elles en s'échangeant des informations chimiques au moyen de protéines, d'enzymes en tous genres et d'ARN messager. Les cascades enzymatiques impressionnent même les biologistes... On a beau disposer désormais de la carte génétique complète du patrimoine humain, ça ne permet pas de résoudre tous les problèmes à la fois... Pourquoi ? Parce que c'est une chose de décomposer les structures complexes en éléments simples et c'en est une toute autre de les recomposer. Ce fut déjà une tâche ardue que de décrypter le génome humain, c'en est une encore plus difficile de reconstituer un organisme avec ses réactions biochimiques interactives, qui sapent totalement tout espoir de déterminisme. La seule chose que le biologiste sait, c'est qu'il est dans le diffus, le stochastique, l'aléatoire, le chaotique. Sans entrer dans les détails très techniques de la dynamique "hyperbolique", il se forme des "bassins d'attractions" où les trajectoires convergent. Ces bassins d'attractions ne sont pas tous "étranges". Mais ils font tous partie des solutions CONVERGENTES des équations dynamiques pour des valeurs critiques des paramètres biochimiques. Eh bien, tout ça, les systèmes dynamiques, les situations de chaos, les équations aux dérivées partielles, ça se recoupe... C'est déjà un défi technique que d'établir des équations aux variations dans le temps et dans l'espace, c'en est un encore plus difficile de résoudre ces équations. Ça fait partie de la phase de test des modèles théoriques : soit vous êtes dans les clous avec une marge d'imprécision tolérable, soit vous êtes complètement à côté de la plaque et il n'y a plus qu'à tout recommencer... C'est la seule chose qui ne soit pas compliquée : le test. Les simulations numériques. Elles vous disent rapidement si vous avez travaillé pour rien ou pas...

Et nous, qu'avons-nous obtenus jusqu'ici ?

La quantification du temps, de l'espace et de l'espace-temps. C'est déjà bien, mais... avons-nous au moins égratigné l'iceberg ?... Nous avons transformé des VARIABLES classiques en SIGNAUX quantiques de même nature et, pour ce faire, l'analogie opto-mécanique nous a obligé à passer par des FONCTIONS. Des fonctions issues de l'intégration (!) de fonctionnelles classiques (les lagrangiens et densités de lagrangiens). Ici, nous venons de voir que la biophysique étudie DES TRAJECTOIRES ET DES CHAMPS. Avons-nous quantifié des courbes, des surfaces, des volumes,... ? NON... Il nous reste à quantifier des FONCTIONS. C'est-à-dire, l'essentiel de l'analyse.

Ce n'est pas parce que nous avons passé les étapes :

T(t) = S₀^t exp[is(t')/h]dt' et X^a(x) = S₀^xa exp[is(x')/h]dx'^a     (a = 1,2,3)

que cela nous permet de quantifier x(t). Pour quantifier une fonction f(t) du temps, il faudrait une action s[f(t)]. Mais, non : le lagrangien classique est fonction de x(t), de v(t) et de t, pas de x[f(t)], de v[f(t)] et de f(t), à moins que f ne soit elle-même une fonction qui transforme le temps en un autre temps. A ce moment-là, df(t) = f⁽¹⁾(t)dt et on a une intégrale :

S₀^f(t) exp{is[f'(t')]/h}df'(t') = S₀^t exp[is'(t')/h]f⁽¹⁾(t')dt'

avec f⁽¹⁾(t) sans unité, puisque, dans ce cas, f(t) est en secondes. C'est déjà mieux. Mais alors...

ON EST DANS LE DOMAINE DE LA RG ! lol

Et ça, c'est sans doute la meilleure, parce que le "programme déformation" lancé par l'école du géomètre Français André Lichnerowicz dans les années 1950 proposait de quantifier l'espace-temps courbe au moyen d'une déformation induite par un paramètre, l'action de Planck h. A présent, c'est L'INVERSE : c'est LA RG qui va permettre la quantification... :))

Nous l'avons vu en B 193 : la quantification par analogie opto-mécanique n'est ni plus ni moins qu'une DEFORMATION (du temps, de l'espace, de l'espace-temps,...), bref, du CADRE DE TRAVAIL.

B 197 : DYNAMIQUE QUANTIQUE SPATIALE ET SPATIO-TEMPORELLE

Après la quantification du temps, celle de l'espace. Le passage de R³ à C³(x) se fait, cette fois, via des champs de position y(x) dans l'espace ordinaire 3D, qui correspondent à des déplacements x' = y(x). Comme il y a maintenant 3 paramètres de mouvement x¹, x² et x³, la vitesse de déplacement v_a^b(x) = cd_ay^b(x) forme un champ de 2-tenseurs mixtes dans R³. L'action classique correspondante est s(x) = S s'[y^a(x),v_a^b(x),x]d³x avec s(0) = 0, c'est l'intégrale volumique d'une densité d'action s', en Js/m³. La densité de lagrangien correspondante est :

(0)     l'[y^a(x),v_a^b(x),x] = cu^ad_as'[y^a(x),v_a^b(x),x]
                                  = ½ m(x)v_a^b(x)v^a_b(x) + f^b(x)y_b(x)     en J/m³

dans le modèle le plus simple, où m(x) est une densité corpusculaire de masse (en kg/m³) ; f(x), une densité de force (en N/m³ = kg/m²s²) et u^a = dx^a/dx = x^a/x. Le signal quantique de position résultant est :

(1)     X^a(x) = S exp[is(x)/h]dx^a          (a = 1,2,3)

Comme nous l'avons déjà vu dans B 193, le signal quantique de vitesse est le champ de 2-tenseurs mixtes dans R³ :

(2a)     C_a^b(x) = cd_aX^b(x) = cexp[is(x)/h]Id_a^b

d'invariant spatial,

(2b)     C_a^a(x) = 3cexp[is(x)/h] = 3C(x) , C(0) = c.

Aussi, pour une densité quantique de masse M(x), le signal quantique impulsionnel sera :

(3a)     P_a^b(x) = d£/dC^a_b(x) = M(x)C_a^b(x) = M(x)cexp[is(x)/h]Id_a^b     en kg/m²s
(3b)     P(x) = M(x)C(x) = M(x)cexp[is(x)/h]

et les équations de Lagrange,

(4)     cd^ad£/dC^a_b(x) = d£/dX_b(x)

donneront les équations de mouvement,

(5)     d^aP_a^b(x) = F^b(x)/c

pour le quantifié de (0),

(6)     £[X^a(x),C_a^b(x),x] = cu^ad_aS'[X^a(x),C_a^b(x),x]
                                  = ½ M(x)C_a^b(x)C^a_b(x) + F^b(x)X_b(x)

L'hamiltonien dual de Legendre de £ :

(7)     H[X^a(x),P_a^b(x),x] = P_a^b(x)C^a_b(x) - £[X^a(x),C_a^b(x),x]
                                  = ½ M(x)C_a^b(x)C^a_b(x) - F^b(x)X_b(x)
                                  = E(x)          en J/m³

fournira l'énergie totale du système quantique en mouvement par unité de volume.

Les coordonnées quantiques de position X^a(x) forment une application vectorielle X : R³ -> C³. D'après (2), l'unique degré de liberté pertinent des vitesses C^a_b(x) est leur invariant C(x), application de spin 0, C : R³ -> C. Localement, l'espace "ambiant" est de dimension quantique 3 et son espace tangent se réduit à la dimension quantique 1. Il en va de même pour les impulsions, en vertu de (3b). En nombre de ddls, l'espace des phases T*C³(x) se limite donc à la dimension quantique 4 et l'espace des états T*C³(x) x_c R³, à la dimension quantique 4 + 3 = 7. Les équations d'Hamilton,

(8)     dH/dP^a_b(x) = C_a^b(x) , dH/dX_b(x) = -F^b(x) = -cd^aP_a^b(x)

donnent le crochet de Poisson :

(9)     cu^a[d_a + d_aX^b(x)d/dX^b(x) + d_aP_c^b(x)d/dP_c^b(x)] =
          = cu^ad_a + [u^adH/dP^a_b(x)]d/dX^b(x) - [u^adH/dX_b(x)]d/dP_a^b(x) =
          = cu^ad_a + {H,.}

Si D : T*C³(x) x_c R³ -> C est une loi de répartition de spin 0 dans l'espace des états quantiques,

(10a)     D_x = cu^ad_aD + {H,D} = d_aJ^a+ {H,D}

où :

(10b)     J = cuD

est le courant associé.

Il me semble inutile de refaire le raisonnement sur le théorème de Liouville. Les conclusions sont identiques, pour les mêmes raisons : à cause des interférences dues à la superposition de signaux quantiques, l'information sera dissipée pour qui l'observera depuis l'espace classique 3D.

La dynamique spatio-temporelle regroupe la dynamique temporelle et la dynamique spatiale. L'action classique devient l'intégrale quadri-volumique :

(11a)     s(x,ct) = S s'[y^a(x,ct),v_a^b(x,ct),x,ct]d³xcdt     (a,b,... = 0,1,2,3)

d'une densité d'action s' en Js/m⁴, la densité de lagrangien correspondante étant,

(11b)     l' = (cu.Grad + u⁰d/dt)s'          en J/m⁴.

Si j'avais maintenu l'expression traditionnelle s = S ld³xdt = S ld⁴x/c, j'aurais fait jouer un rôle DISSYMETRIQUE aux coordonnées spatio-temporelles, car la densité de lagrangien continue de s'y mesurer en J/m³, ce qui en fait une densité spatiale et non spatio-temporelle, comme il se doit. Si cela était admissible tant que l'on considérait R^3,1 comme un cadre fictif, le véritable support physique restant R³, ça ne l'est plus depuis le lien entre le spin ½ et la dimension 4, qui fait de R^3,1 un espace-temps PHYSIQUE. Les densités doivent donc s'y mesurer en m^-4 et non plus en m^-3 : la substance se distribue aussi bien dans l'espace que dans le temps...

Le signal quantique de position se décline en :

(12a)     X^a(x,ct) = S exp[is(x,ct)/h]dx^a          (a = 1,2,3)
(12b)     X⁰(x,ct) = cT(x,ct) = S exp[is(x,ct)/h]cdt

On retrouve [B196, (4)] à la différence que T dépend maintenant de x. Le signal de vitesse a pour composantes :

(13a)     C_a^b(x,ct) = cd_aX^b(x,ct) = cexp[is(x,ct)/h]Id_a^b     (a,b = 1,2,3)
(13b)     C_a⁰(x,ct) = 0 et C₀^b(x,ct) = 0     pour tout (x,ct)
(13c)     C₀⁰(x,ct) = -cexp[is(x,ct)/h] = -C(x,ct)

L'inversion de polarité dans (13c) par rapport à [B196, (3)] étant due au choix de la signature (3,1).

Dans notre modèle de densité de lagrangien,

(14)     £ = ½ M(x,ct)C_a^b(x,ct)C^a_b(x,ct) + F^b(x,ct)X_b(x,ct)     (a,b = 0,1,2,3)
             = 2M(x,ct)C²(x,ct) + F(x,ct).X(x,ct) - cF⁰(x,ct)T(x,ct)

M(x,ct) est en kg/m⁴ et [F(x,ct),F⁰(x,ct)], en N/m⁴. Pour le signal impulsionnel :

(15a)     P_a^b(x,ct) = P(x,ct)Id_a^b

reste la densité spatiale d'impulsion, mais en kg/m³s ;

(15b)     P_a⁰(x,ct) = P₀^b(x,ct) = 0

la densité spatio-temporelle d'impulsion est nulle et

(15c)     P₀⁰(x,ct) = -M(x,ct)C(x,ct) = -P(x,ct)

est la densité temporelle d'impulsion. CE N'EST PLUS LA DENSITE D'ENERGIE DU SYSTEME DIVISEE PAR c.

Du fait de (15b), les équations de mouvement se réduisent à :

(16a)     d^aP_a^b(x,ct) = F^b(x,ct)/c
(16b)     d⁰P₀⁰(x,ct) = F⁰(x,ct)/c => dP(x,ct)/dt = F⁰(x,ct)

C'est encore l'hamiltonien qui représente la densité d'énergie totale du système :

(17)     H = 2M(x,ct)C²(x,ct) - F(x,ct).X(x,ct) + cF⁰(x,ct)T(x,ct)
              = 2P²(x,ct)/M(x,ct) - F(x,ct).X(x,ct) + cF⁰(x,ct)T(x,ct)

Nous ne sommes plus dans l'extension lorentzienne de la relativité de Galilée où l'on aboutissait à l'identité H = 0 parce que la composante temporelle p₀ de l'impulsion était égale à l'énergie E divisée par c. Ça, c'était du bricolage pour rester en dimension 3 (je peux vraiment parler de bricolage car les transformations de Poincaré-Lorentz valent uniquement dans le cas de vitesses CONSTANTES - on les a ensuite extrapolées aux vitesses VARIABLES pour satisfaire aux besoins de la RR - sinon, c'est Liénard-Wiechert). Mike and the Mechanics, hein... ;)

Le crochet de Poisson est construit de la même manière que dans (9) mais avec le temps propre x/c et en tenant évidemment compte de la métrique de Minkowski.

Toujours pour une loi de répartition de spin 0, D : T*C^3,1(x,ct) x_c R^3,1 -> C,

(18a)     D_x,ct = (cu.Grad + u⁰d/dt)D + {H,D} = d_aJ^a + {H,D}     (a = 01,2,3)
(18b)     d_aJ^a = Div.J + dJ⁰/cdt
(18c)     J = cuD , J⁰ = cu⁰D

et toujours cette dissipation d'information pour un observateur spatio-temporel classique : D_x,ct = 0 => D = 0 et l'annulation de tous les courants.