doclabidouille
CC2 : LOGARITHMISATION DANS R2
Le 29/07/2025
Là, c'est plus "pauvre" que l'exponentiation, puisque, dans C :
(1a) Ln(x) = Ln|x| + iksi , Ln(xy) = Ln(x) + Ln(y) , Ln(x/y) = Ln(x) - Ln(y)
(1b) Ln(xy) = yLn(x) = y0Ln|x| - y1ksi + i(y0ksi + y1Ln|x|)
= |y|{cos(ups)Ln|x| - sin(ups)ksi + i[cos(ups)ksi + sin(ups)Ln|x|]}
= L(|x|,ksi,|y|,ups) + ieps(|x|,ksi,|y|,ups)
ce qui se voit tout de suite en polaire, x = |x|eiksi avec L et eps tirés de [CC1, (1b) et (1c)]. Dans R2, la retranscription sera donc :
(2) Ln(x) = [Ln|x|,ksi] (en cartésien !)
= [(Ln²|x| + ksi²)1/2 , Arctan(ksi/Ln|x|)] (en polaire)
Attention, donc : l'amplitude de Ln(x) n'est pas Ln|x|, mais (Ln²|x| + ksi²)1/2. La phase n'est pas non plus ksi, mais Arctan(ksi/Ln|x|).
On s'y laisserait très facilement prendre, du fait que ksi est la phase de x. Mais la logarithmisation transforme du polaire en cartésien : Ln0(|x|,ksi) = Ln|x| et Ln1(|x|,ksi) = ksi sont des projections de niveaux.
Du coup, on se retrouve avec :
(3a) Ln[(|x|,0)] = (Ln|x|,0) en cartésien comme en polaire ;
(3b) Ln[(|x|,pi)] = Ln[(-|x|,0)] = (Ln|x|,pi) en cartésien,
= [(Ln²|x| + pi²)1/2 , Arctan(pi/Ln|x|)] en polaire ;
Le logarithme accepte maintenant les valeurs négatives de l'argument et se distingue de (3a) par son amplitude et sa phase. Résultat :
(3c) Ln[(e,pi)] = Ln[(-e,0)] = (1,pi) = [(1 + pi²)1/2 , Arctan(pi)]
Alors que Ln[(e,0)] = (1,0) est d'amplitude 1 et de phase nulle, Ln[(-e,0)] est d'amplitude (1 + pi²)1/2 et de phase Arctan(pi) ~ 1,26263 radians (~ 89,6817°).
(4a) Ln[(|x|,pi/2)] = Ln[(0,|x|)] = (Ln|x|,pi/2) = [(Ln²|x| + pi²/4)1/2 , Arctan(pi/2Ln|x|)]
(4b) Ln[(e,pi/2)] = Ln[(0,e)] = (1,pi/2) = [(1 + pi²/4)1/2 , Arctan(pi/2)]
Avec Arctan(pi/2) ~ 1,00389 radians (~ 89,3634°).
(4c) Ln[(|x|,3pi/2)] = Ln[(0,-|x|)] = (Ln|x|,3pi/2) = [(Ln²|x| + 9pi²/4)1/2 , Arctan(3pi/2Ln|x|)]
(4d) Ln[(e,3pi/2)] = Ln[(0,-e)] = (1,3pi/2) = [(1 + 9pi²/4)1/2 , Arctan(3pi/2)]
Arctan(3pi/2) ~ 1,36169 radians (~ 89,7878°). Les différences sont dans les décimales.
Mais, au contraire du Ln|x| dans R, qui s'annule pour |x| = 1,
(5a) Ln[(1,ksi)] = (|ksi|,pi/2) = (0,|ksi|)
ce qui implique,
(5b) Ln[(1,pi)] = Ln[(-1,0)] = (pi,pi/2) = (0,pi)
L'ortho résultant est nul, mais pas le para.
Des résultats, là encore, assez déroutants par rapport à R, où ksi = 0 donne bien Ln(1) = 0 mais où Ln(-1) n'est pas défini parce que l'exponentielle y est strictement positive, alors qu'elle ne l'est plus dans R2.
La dérivation de Ln(x) donne :
(d/dx) × Ln(x) = (d0 , -d1) × {½ Ln[(x0)² + (x1)²] , Arctan(x1/x0)}
= {½ d0Ln[(x0)² + (x1)²] + d1Arctan(x1/x0) , d0Arctan(x1/x0) - ½ d1Ln[(x0)² + (x1)²]}
= (2x0/|x|² , -2x1/|x|²) = [2cos(ksi)/|x| , -2sin(ksi)/|x|] = (2/|x| , -ksi)
soit,
(6) (d/dx) × Ln(x) = (2/|x| , -ksi) en polaire.
La présence du facteur 2 en amplitude est normale. Certains auteurs préfèrent toutefois utiliser d/dx = ½ (d0 - id1) dans C pour pouvoir recoller avec dLn(x)/dx = 1/x dans R. On va encore me trouver "objecteur de conscience", mais je ne suis pas de cet avis : le multiplicateur 2 est lié au nombre de variables réelles simples, donc au nombre de configurations. L'éluder serait exactement comme si l'on avait supprimé sans aucune justification le "2" devant le facteur de Landé lors du calcul du moment magnétique des électrons : c'est justement ce "2" qui a permis d'identifier des spins 1/2... Si on s'en était débarrassé par une "pirouette recalibrante", on n'aurait jamais pu découvrir cette "anomalie". Les spins 1/2 sont des systèmes à 2 états (mais dans C, pas dans R). Ici, c'est pareil : il FAUT conserver le 2 pour tenir compte des 2 niveaux du R non dégénéré. On a 1/|x| dans R, parce que R est dégénéré. Mais, dans R2, pour ksi = 0, (6) doit donner (2/|x|,0) et non (1/|x|,0) : ce n'est pas parce qu'on fixe la valeur de ksi à 0 ou pi qu'on se retrouve dans R...
Comme quoi, hein : pas toujours inutile d'avoir un physicien pour éviter les erreurs de calculs...
Beaucoup de mathématiciens ont recours à d/dx = ½ (d0 - id1). A mon avis, c'est une erreur. D'appréciation.
Seulement, moralité : Ln(x) n'est plus la primitive de 1/x = e-iksi/|x| = (1/|x|,-ksi), mais celle de 2/x.
Et puisque j'en suis à une parenthèse analogique avec la physique, vous verrez dans les articles consacrés à la quantification par l'analogie opto-mécanique d'Hamilton que cette méthode donne l'impression que l'opération d'exponentiation "quantifie un système classique" (la phase est un rapport variable d'actions, une "fonction de Jacobi classique" sur la constante de Planck) et donc, que la logarithmisation, opération réciproque, correspondrait à une "déquantification", puisque l'on retrouverait cette action de Jacobi "classique". En fait, il n'en est rien : d'abord, parce que, dans C, l'unité imaginaire i est toujours présente et, dans R2, l'exponentielle comme le logarithme et comme toute autre application, sont définies d'un R2 dans un autre, pas d'un R dans un R2 ni d'un R2 dans un R. Ceci, parce que ce ne sont pas les applications qui sont quantiques, mais LE CADRE. Or, en "mécanique quantique", on a tendance à travailler dans un cadre "classique" et de ne quantifier que des fonctions prenant leurs valeurs dans un tel cadre, parce qu'on associe ce cadre à la théorie gravitationnelle d'Einstein et qu'à des distances supérieures à celle de Planck, on considère, dans ce contexte, que les champs de gravité ne sont pas suffisamment intenses pour justifier une quantification du cadre.
Ça n'a rien à voir... Le seul cadre qui puisse être qualifié de "classique", c'est R, parce que tous les niveaux y sont dégénérés et il n'y a pas d'ondulatoire. Après, il y a de l'ondulatoire partout.
Sans le savoir, sans même s'en douter, les mathématiciens font du calcul quantique depuis des siècles... dès qu'ils font de la trigonométrie, c'est-à-dire, dès la dimension 2. C'est le support qui est quantique. Et donc, tout le reste suit. L'espace-temps "classique" des physiciens n'a rien de classique du tout : c'est un espace quantique de dimension 4 à spin 1/2... on y fait de la trigonométrie à 3 angles...
Même en spin nul, on est quand même quantique : c'est R2... Il faudrait vraiment pousser artificiellement le nombre quantique de spin à -1/2 pour ne trouver qu'une seule configuration. Or, ce n'est pas possible, c'est un nombre POSITIF OU NUL, JAMAIS NEGATIF. Le plus petit environnement est donc R2, pas R... En mathématiques, on part de R, parce qu'on part de la dimension 1 et qu'on fait du calcul, pas de la physique. Mais, en réalité, R n'existe que comme une dégénérescence des niveaux de RDs... c'est un cadre "réduit"... on peut y faire du calcul stable parce qu'on a gommé toutes les oscillations... Vous ne pouvez même pas y faire de trigonométrie : il faut des cercles et des hyperboles pour ça, à tracer dans le plan R2... En fait, dans R, à part des translations (additions et soustractions) et des homothéties (dilatations / multiplications et contractions / divisions), on ne peut rien faire d'autre, vu que tout le reste nécessite des graphes...
Vous voyez donc que tout est lié, en fin de compte : ce n'est pas parce qu'on vient de la physique qu'on se trouve "aux antipodes de l'univers comptable"... On perçoit les environnements de travail d'une autre manière, c'est tout.
La conséquence d'un tel constat est néanmoins énorme, puisqu'elle signifie que :
Les applications monotones n'existent que dans R.
Même si vous ne travaillez que dans des espaces de calcul, ils restent tout de même vos environnements de travail. Aussi, dès que vous allez vous donner un "vecteur prix" constitué de D prix, vous allez vous placer dans un RD. Et vous allez utiliser ses propriétés d'espace vectoriel ou affine pour mener vos calculs. Vous n'allez pas faire du calcul arithmétique. Or, en comptabilité/gestion/analyse, vous êtes censés faire du calcul arithmétique, même si vous recourez à des méthodes graphiques pour illustrer vos calculs. Et, pour faire du calcul arithmétique, il faut disposer de la multiplication appropriée à l'environnement de travail... vous ne pouvez pas vous contenter des produits scalaires, vectoriels ou mixtes. Vous ne pouvez pas vous "limiter" au seul calcul matriciel ou tensoriel : c'est de la géométrie, pas de l'arithmétique... L'arithmétique, c'est la théorie mathématique des nombres. Dès que vous allez vous mettre à manipuler des nombres "à D composantes", même dans une analyse budgétaire tout à fait traditionnelle, vous allez avoir une répartition sur une sphère SD-1... Vous ne vous en apercevez pas... parce que vous travaillez en cartésien, avec des (Q1,...,QD)... mais vous allez vous en rendre tout de suite compte si vous passez en polaire, avec des (|Q|,phi1,...,phiD-1)... Le montant de votre "vecteur prix", c'est bien l'amplitude |Q| ? Vous avez bien le produit scalaire |Q|² = Si=1D (Qi)² ? Même si vous manipulez des vecteurs, il vous faut bien une longueur de vecteur prix... En conséquence, vos Qi se répartissent sur une sphère à D - 1 dimensions... vos composantes de prix... oscillent... Ça ne se sent pas si elles sont fixes mais, dès que vous prendrez une courbe de prix Q(t) = [Q1(t),...,QD(t)], je vous garantis qu'ils se baladeront sur cette sphère... puisque leurs projections Qi(t) bougent sur les axes... Seul votre amplitude de montant |Q|(t) ne variera qu'au cours du temps.
Dès que vous travaillez en architectures de réseaux, vous avez des topologies trigonométriques... Même si vous n'êtes qu'une entreprise de taille modeste mais qui prospecte de la clientèle en ligne, vous devez tenir compte de la position géographique, des fuseaux horaires, etc : vous travaillez aussi dans l'espace physique... et cet espace est une sphère S2. Dès lors, si vous fixez un tarif Q(x,t) dans une zone géographique donnée durant une période donnée, votre tarification ne sera pas forcément la même d'une zone géographique à une autre. Votre Q va varier avec x... et donc avec (|x|,ksi1,ksi2) :
Q(x,t) = Q(|x|,ksi1,ksi2,t) dépend bien de la distribution angulaire... c'est inévitable. Vous ne pourrez pas vous débarrasser des cos et des sin, parce que (x1 = |x|c1c2, x2 = |x|c1s2, x3 = |x|s1) avec ci = cos(ksii) et si = sin(ksii).
Que vous le vouliez ou non, qu'il s'agisse de vos environnements de travail ou de la surface terrestre, ils sont tous oscillants... Ils portent tous des phases. Dès que des valeurs changent, elles produisent des oscillations... parce qu'avec elles changent leurs amplitudes, mais aussi leurs phases. On ne s'aperçoit pas de ça, parce qu'on a fait de la trigonométrie un pur outil de calcul. Mais, il vous suffit de changer un "vecteur prix" Q = (Q1,Q2) = [|Q|cos(phi),|Q|sin(phi)] en un autre, Q' = (Q'1,Q'2) = [|Q'|cos(phi'),|Q|sin(phi')] pour vous en convaincre : entre phi et phi', vous avez des arcs de cosinus et de sinus... vous ne "sautez" pas de phi à phi' comme ça, il y a une continuité... qui passe complètement inaperçue.
Si vous pensiez votre "fonction prix" monotone, ça n'est le cas que pour une seule variable. Parce que (je vais me faire l'avocat du diable), même si vous ne prenez qu'une seule variable spatiale x, mais que vous incluez un paramètre temps t, vous pouvez ramener, soit x à une durée, soit t à une longueur, par simple conversion et vous vous retrouvez avec deux variables... Finie la monotonie, vous passez sur une "surface spatio-temporelle".
Ça ne change rien aux mathématiques, mais ça change tout quant à l'interprétation des résultats.
On le voit bien avec l'exponentielle comme avec le logarithme, qui ne sont plus monotones du tout. Ça devient impossible. Aucune application ne peut plus être monotone en dehors de la stricte dimension 1. Ça voudrait dire se limiter à des courbes. Sur des surfaces, vous avez des fonctons différentes. Dans des volumes, des fonctions encore différentes.
Vos applications doivent cadrer avec le nombre de "dimensions" que vous donnez à votre environnement de travail.
Sinon, vous commettrez inévitablement des erreurs, parce que vous continuerez à utiliser des fonctions inappropriées. Il n'y a vraiment que dans le cas EXCEPTIONNEL où une application est décomposable "en variables séparées" que l'on peut encore trouver, parmi sa décomposition en "facteurs", des fonctions monotones.
Vous travaillez dans C ou dans R2, peu importe : vous êtes adapté au cadre. Vous travaillez dans R3, vous pouvez aussi vous placer dans R4, C2 ou H (si vous aimez les quaternions et la non-commutativité), à condition d'y faire une restriction sur l'une des phases. Il vous est toujours possible de vous plonger dans un environnement plus vaste, quitte à poser des contraintes. Ce que vous ne pouvez pas faire, c'est reporter des produits d'un cadre plus restreint à un cadre plus vaste.
Après, pour les fonctions autres que l'exponentielle et le logarithme, on mène les calculs dans C, on les retranscrit dans R2, il n'y a rien de sorcier. Ce qui est dommage (mais c'est ainsi), c'est que le groupe multiplicatif ne s'avère stable qu'en dimension 1. Vous prenez l'unité ortho (1,0), elle est stable pour le produit × dans R2 :
(1,0)×2 = (1,0) => (1,0)×n = (1,0) pour tout n dans N.
Vous prenez l'unité para (0,1), elle n'est plus que penta-stable :
(0,1)×5 = (0,1) ; (0,1)×0 = (0,1)×4 = (1,0) , (0,1)×1 = (0,1) , (0,1)×2 = (-1,0) , (0,1)×3 = (0,-1)
Sans parler du fait qu'il ne s'agit que de puissances orthos. Pour les puissances paras, il faut faire intervenir l'exponentiation dans R2.
Vous prenez le produit matriciel dans M2(R), l'unité s3 est stable (s3)2 = s3, mais s1 et s2 ne sont plus que bi-stables, (s1)2 = s3 , (s1)3 = s1 et idem pour s2 ; quant à s0, elle est penta-stable.
La stabilité du groupe multiplicatif est donc SPECIFIQUE à la dimension (réelle) 1. Dans toute autre structure, non seulement peut-il y avoir plusieurs unités, mais ces unités ne sont pas toutes stables. C'est pour ça que j'avais suggéré d'élargir la notion de stabilité pour pouvoir tenir compte de cette généralité : on ne peut pas se contenter de a² = a, c'est de l'idempotence binaire...
(1a) Ln(x) = Ln|x| + iksi , Ln(xy) = Ln(x) + Ln(y) , Ln(x/y) = Ln(x) - Ln(y)
(1b) Ln(xy) = yLn(x) = y0Ln|x| - y1ksi + i(y0ksi + y1Ln|x|)
= |y|{cos(ups)Ln|x| - sin(ups)ksi + i[cos(ups)ksi + sin(ups)Ln|x|]}
= L(|x|,ksi,|y|,ups) + ieps(|x|,ksi,|y|,ups)
ce qui se voit tout de suite en polaire, x = |x|eiksi avec L et eps tirés de [CC1, (1b) et (1c)]. Dans R2, la retranscription sera donc :
(2) Ln(x) = [Ln|x|,ksi] (en cartésien !)
= [(Ln²|x| + ksi²)1/2 , Arctan(ksi/Ln|x|)] (en polaire)
Attention, donc : l'amplitude de Ln(x) n'est pas Ln|x|, mais (Ln²|x| + ksi²)1/2. La phase n'est pas non plus ksi, mais Arctan(ksi/Ln|x|).
On s'y laisserait très facilement prendre, du fait que ksi est la phase de x. Mais la logarithmisation transforme du polaire en cartésien : Ln0(|x|,ksi) = Ln|x| et Ln1(|x|,ksi) = ksi sont des projections de niveaux.
Du coup, on se retrouve avec :
(3a) Ln[(|x|,0)] = (Ln|x|,0) en cartésien comme en polaire ;
(3b) Ln[(|x|,pi)] = Ln[(-|x|,0)] = (Ln|x|,pi) en cartésien,
= [(Ln²|x| + pi²)1/2 , Arctan(pi/Ln|x|)] en polaire ;
Le logarithme accepte maintenant les valeurs négatives de l'argument et se distingue de (3a) par son amplitude et sa phase. Résultat :
(3c) Ln[(e,pi)] = Ln[(-e,0)] = (1,pi) = [(1 + pi²)1/2 , Arctan(pi)]
Alors que Ln[(e,0)] = (1,0) est d'amplitude 1 et de phase nulle, Ln[(-e,0)] est d'amplitude (1 + pi²)1/2 et de phase Arctan(pi) ~ 1,26263 radians (~ 89,6817°).
(4a) Ln[(|x|,pi/2)] = Ln[(0,|x|)] = (Ln|x|,pi/2) = [(Ln²|x| + pi²/4)1/2 , Arctan(pi/2Ln|x|)]
(4b) Ln[(e,pi/2)] = Ln[(0,e)] = (1,pi/2) = [(1 + pi²/4)1/2 , Arctan(pi/2)]
Avec Arctan(pi/2) ~ 1,00389 radians (~ 89,3634°).
(4c) Ln[(|x|,3pi/2)] = Ln[(0,-|x|)] = (Ln|x|,3pi/2) = [(Ln²|x| + 9pi²/4)1/2 , Arctan(3pi/2Ln|x|)]
(4d) Ln[(e,3pi/2)] = Ln[(0,-e)] = (1,3pi/2) = [(1 + 9pi²/4)1/2 , Arctan(3pi/2)]
Arctan(3pi/2) ~ 1,36169 radians (~ 89,7878°). Les différences sont dans les décimales.
Mais, au contraire du Ln|x| dans R, qui s'annule pour |x| = 1,
(5a) Ln[(1,ksi)] = (|ksi|,pi/2) = (0,|ksi|)
ce qui implique,
(5b) Ln[(1,pi)] = Ln[(-1,0)] = (pi,pi/2) = (0,pi)
L'ortho résultant est nul, mais pas le para.
Des résultats, là encore, assez déroutants par rapport à R, où ksi = 0 donne bien Ln(1) = 0 mais où Ln(-1) n'est pas défini parce que l'exponentielle y est strictement positive, alors qu'elle ne l'est plus dans R2.
La dérivation de Ln(x) donne :
(d/dx) × Ln(x) = (d0 , -d1) × {½ Ln[(x0)² + (x1)²] , Arctan(x1/x0)}
= {½ d0Ln[(x0)² + (x1)²] + d1Arctan(x1/x0) , d0Arctan(x1/x0) - ½ d1Ln[(x0)² + (x1)²]}
= (2x0/|x|² , -2x1/|x|²) = [2cos(ksi)/|x| , -2sin(ksi)/|x|] = (2/|x| , -ksi)
soit,
(6) (d/dx) × Ln(x) = (2/|x| , -ksi) en polaire.
La présence du facteur 2 en amplitude est normale. Certains auteurs préfèrent toutefois utiliser d/dx = ½ (d0 - id1) dans C pour pouvoir recoller avec dLn(x)/dx = 1/x dans R. On va encore me trouver "objecteur de conscience", mais je ne suis pas de cet avis : le multiplicateur 2 est lié au nombre de variables réelles simples, donc au nombre de configurations. L'éluder serait exactement comme si l'on avait supprimé sans aucune justification le "2" devant le facteur de Landé lors du calcul du moment magnétique des électrons : c'est justement ce "2" qui a permis d'identifier des spins 1/2... Si on s'en était débarrassé par une "pirouette recalibrante", on n'aurait jamais pu découvrir cette "anomalie". Les spins 1/2 sont des systèmes à 2 états (mais dans C, pas dans R). Ici, c'est pareil : il FAUT conserver le 2 pour tenir compte des 2 niveaux du R non dégénéré. On a 1/|x| dans R, parce que R est dégénéré. Mais, dans R2, pour ksi = 0, (6) doit donner (2/|x|,0) et non (1/|x|,0) : ce n'est pas parce qu'on fixe la valeur de ksi à 0 ou pi qu'on se retrouve dans R...
Comme quoi, hein : pas toujours inutile d'avoir un physicien pour éviter les erreurs de calculs...
Beaucoup de mathématiciens ont recours à d/dx = ½ (d0 - id1). A mon avis, c'est une erreur. D'appréciation.
Seulement, moralité : Ln(x) n'est plus la primitive de 1/x = e-iksi/|x| = (1/|x|,-ksi), mais celle de 2/x.
Et puisque j'en suis à une parenthèse analogique avec la physique, vous verrez dans les articles consacrés à la quantification par l'analogie opto-mécanique d'Hamilton que cette méthode donne l'impression que l'opération d'exponentiation "quantifie un système classique" (la phase est un rapport variable d'actions, une "fonction de Jacobi classique" sur la constante de Planck) et donc, que la logarithmisation, opération réciproque, correspondrait à une "déquantification", puisque l'on retrouverait cette action de Jacobi "classique". En fait, il n'en est rien : d'abord, parce que, dans C, l'unité imaginaire i est toujours présente et, dans R2, l'exponentielle comme le logarithme et comme toute autre application, sont définies d'un R2 dans un autre, pas d'un R dans un R2 ni d'un R2 dans un R. Ceci, parce que ce ne sont pas les applications qui sont quantiques, mais LE CADRE. Or, en "mécanique quantique", on a tendance à travailler dans un cadre "classique" et de ne quantifier que des fonctions prenant leurs valeurs dans un tel cadre, parce qu'on associe ce cadre à la théorie gravitationnelle d'Einstein et qu'à des distances supérieures à celle de Planck, on considère, dans ce contexte, que les champs de gravité ne sont pas suffisamment intenses pour justifier une quantification du cadre.
Ça n'a rien à voir... Le seul cadre qui puisse être qualifié de "classique", c'est R, parce que tous les niveaux y sont dégénérés et il n'y a pas d'ondulatoire. Après, il y a de l'ondulatoire partout.
Sans le savoir, sans même s'en douter, les mathématiciens font du calcul quantique depuis des siècles... dès qu'ils font de la trigonométrie, c'est-à-dire, dès la dimension 2. C'est le support qui est quantique. Et donc, tout le reste suit. L'espace-temps "classique" des physiciens n'a rien de classique du tout : c'est un espace quantique de dimension 4 à spin 1/2... on y fait de la trigonométrie à 3 angles...
Même en spin nul, on est quand même quantique : c'est R2... Il faudrait vraiment pousser artificiellement le nombre quantique de spin à -1/2 pour ne trouver qu'une seule configuration. Or, ce n'est pas possible, c'est un nombre POSITIF OU NUL, JAMAIS NEGATIF. Le plus petit environnement est donc R2, pas R... En mathématiques, on part de R, parce qu'on part de la dimension 1 et qu'on fait du calcul, pas de la physique. Mais, en réalité, R n'existe que comme une dégénérescence des niveaux de RDs... c'est un cadre "réduit"... on peut y faire du calcul stable parce qu'on a gommé toutes les oscillations... Vous ne pouvez même pas y faire de trigonométrie : il faut des cercles et des hyperboles pour ça, à tracer dans le plan R2... En fait, dans R, à part des translations (additions et soustractions) et des homothéties (dilatations / multiplications et contractions / divisions), on ne peut rien faire d'autre, vu que tout le reste nécessite des graphes...
Vous voyez donc que tout est lié, en fin de compte : ce n'est pas parce qu'on vient de la physique qu'on se trouve "aux antipodes de l'univers comptable"... On perçoit les environnements de travail d'une autre manière, c'est tout.
La conséquence d'un tel constat est néanmoins énorme, puisqu'elle signifie que :
Les applications monotones n'existent que dans R.
Même si vous ne travaillez que dans des espaces de calcul, ils restent tout de même vos environnements de travail. Aussi, dès que vous allez vous donner un "vecteur prix" constitué de D prix, vous allez vous placer dans un RD. Et vous allez utiliser ses propriétés d'espace vectoriel ou affine pour mener vos calculs. Vous n'allez pas faire du calcul arithmétique. Or, en comptabilité/gestion/analyse, vous êtes censés faire du calcul arithmétique, même si vous recourez à des méthodes graphiques pour illustrer vos calculs. Et, pour faire du calcul arithmétique, il faut disposer de la multiplication appropriée à l'environnement de travail... vous ne pouvez pas vous contenter des produits scalaires, vectoriels ou mixtes. Vous ne pouvez pas vous "limiter" au seul calcul matriciel ou tensoriel : c'est de la géométrie, pas de l'arithmétique... L'arithmétique, c'est la théorie mathématique des nombres. Dès que vous allez vous mettre à manipuler des nombres "à D composantes", même dans une analyse budgétaire tout à fait traditionnelle, vous allez avoir une répartition sur une sphère SD-1... Vous ne vous en apercevez pas... parce que vous travaillez en cartésien, avec des (Q1,...,QD)... mais vous allez vous en rendre tout de suite compte si vous passez en polaire, avec des (|Q|,phi1,...,phiD-1)... Le montant de votre "vecteur prix", c'est bien l'amplitude |Q| ? Vous avez bien le produit scalaire |Q|² = Si=1D (Qi)² ? Même si vous manipulez des vecteurs, il vous faut bien une longueur de vecteur prix... En conséquence, vos Qi se répartissent sur une sphère à D - 1 dimensions... vos composantes de prix... oscillent... Ça ne se sent pas si elles sont fixes mais, dès que vous prendrez une courbe de prix Q(t) = [Q1(t),...,QD(t)], je vous garantis qu'ils se baladeront sur cette sphère... puisque leurs projections Qi(t) bougent sur les axes... Seul votre amplitude de montant |Q|(t) ne variera qu'au cours du temps.
Dès que vous travaillez en architectures de réseaux, vous avez des topologies trigonométriques... Même si vous n'êtes qu'une entreprise de taille modeste mais qui prospecte de la clientèle en ligne, vous devez tenir compte de la position géographique, des fuseaux horaires, etc : vous travaillez aussi dans l'espace physique... et cet espace est une sphère S2. Dès lors, si vous fixez un tarif Q(x,t) dans une zone géographique donnée durant une période donnée, votre tarification ne sera pas forcément la même d'une zone géographique à une autre. Votre Q va varier avec x... et donc avec (|x|,ksi1,ksi2) :
Q(x,t) = Q(|x|,ksi1,ksi2,t) dépend bien de la distribution angulaire... c'est inévitable. Vous ne pourrez pas vous débarrasser des cos et des sin, parce que (x1 = |x|c1c2, x2 = |x|c1s2, x3 = |x|s1) avec ci = cos(ksii) et si = sin(ksii).
Que vous le vouliez ou non, qu'il s'agisse de vos environnements de travail ou de la surface terrestre, ils sont tous oscillants... Ils portent tous des phases. Dès que des valeurs changent, elles produisent des oscillations... parce qu'avec elles changent leurs amplitudes, mais aussi leurs phases. On ne s'aperçoit pas de ça, parce qu'on a fait de la trigonométrie un pur outil de calcul. Mais, il vous suffit de changer un "vecteur prix" Q = (Q1,Q2) = [|Q|cos(phi),|Q|sin(phi)] en un autre, Q' = (Q'1,Q'2) = [|Q'|cos(phi'),|Q|sin(phi')] pour vous en convaincre : entre phi et phi', vous avez des arcs de cosinus et de sinus... vous ne "sautez" pas de phi à phi' comme ça, il y a une continuité... qui passe complètement inaperçue.
Si vous pensiez votre "fonction prix" monotone, ça n'est le cas que pour une seule variable. Parce que (je vais me faire l'avocat du diable), même si vous ne prenez qu'une seule variable spatiale x, mais que vous incluez un paramètre temps t, vous pouvez ramener, soit x à une durée, soit t à une longueur, par simple conversion et vous vous retrouvez avec deux variables... Finie la monotonie, vous passez sur une "surface spatio-temporelle".
Ça ne change rien aux mathématiques, mais ça change tout quant à l'interprétation des résultats.
On le voit bien avec l'exponentielle comme avec le logarithme, qui ne sont plus monotones du tout. Ça devient impossible. Aucune application ne peut plus être monotone en dehors de la stricte dimension 1. Ça voudrait dire se limiter à des courbes. Sur des surfaces, vous avez des fonctons différentes. Dans des volumes, des fonctions encore différentes.
Vos applications doivent cadrer avec le nombre de "dimensions" que vous donnez à votre environnement de travail.
Sinon, vous commettrez inévitablement des erreurs, parce que vous continuerez à utiliser des fonctions inappropriées. Il n'y a vraiment que dans le cas EXCEPTIONNEL où une application est décomposable "en variables séparées" que l'on peut encore trouver, parmi sa décomposition en "facteurs", des fonctions monotones.
Vous travaillez dans C ou dans R2, peu importe : vous êtes adapté au cadre. Vous travaillez dans R3, vous pouvez aussi vous placer dans R4, C2 ou H (si vous aimez les quaternions et la non-commutativité), à condition d'y faire une restriction sur l'une des phases. Il vous est toujours possible de vous plonger dans un environnement plus vaste, quitte à poser des contraintes. Ce que vous ne pouvez pas faire, c'est reporter des produits d'un cadre plus restreint à un cadre plus vaste.
Après, pour les fonctions autres que l'exponentielle et le logarithme, on mène les calculs dans C, on les retranscrit dans R2, il n'y a rien de sorcier. Ce qui est dommage (mais c'est ainsi), c'est que le groupe multiplicatif ne s'avère stable qu'en dimension 1. Vous prenez l'unité ortho (1,0), elle est stable pour le produit × dans R2 :
(1,0)×2 = (1,0) => (1,0)×n = (1,0) pour tout n dans N.
Vous prenez l'unité para (0,1), elle n'est plus que penta-stable :
(0,1)×5 = (0,1) ; (0,1)×0 = (0,1)×4 = (1,0) , (0,1)×1 = (0,1) , (0,1)×2 = (-1,0) , (0,1)×3 = (0,-1)
Sans parler du fait qu'il ne s'agit que de puissances orthos. Pour les puissances paras, il faut faire intervenir l'exponentiation dans R2.
Vous prenez le produit matriciel dans M2(R), l'unité s3 est stable (s3)2 = s3, mais s1 et s2 ne sont plus que bi-stables, (s1)2 = s3 , (s1)3 = s1 et idem pour s2 ; quant à s0, elle est penta-stable.
La stabilité du groupe multiplicatif est donc SPECIFIQUE à la dimension (réelle) 1. Dans toute autre structure, non seulement peut-il y avoir plusieurs unités, mais ces unités ne sont pas toutes stables. C'est pour ça que j'avais suggéré d'élargir la notion de stabilité pour pouvoir tenir compte de cette généralité : on ne peut pas se contenter de a² = a, c'est de l'idempotence binaire...
Commentaires textes : Écrire
CC1 : EXPONENTIATION DANS R2
Le 28/07/2025
Les applications mathématiques du Calcul Comptable dans un environnement de travail à 2 niveaux se construisent en s'inspirant directement de celles dans le corps des nombres complexes, édifice cohérent à condition d'y préciser que les puissances entières de l'unité imaginaire i doivent être prises modulo 4, et en les retranscrivant dans R2.
Dans C, pour x = |x|eiksi en polaire y = y0 + iy1 en cartésien, x élevé à la puissance y vaut :
(|x|eiksi)y0+iy1 = [eLn(|x|)+iksi](y0+iy1) = e[Ln(|x| + iksi](y0 + iy1)
= ey0Ln(|x|) - y1ksi + i(y1Ln|x| + y0ksi) = ey0Ln(|x|) - y1ksiei(y1Ln|x| + y0ksi)
= |x|y0e-y1ksi[cos(y1Ln|x| + y0ksi) + isin(y1Ln|x| + y0ksi)]
C'est une expression assez compliquée, qui l'est encore plus avec y écrit en polaire |y|eiups,
(x0 + ix1)y0+iy1 = |e|(|x|,ksi,|y|,ups)eieps(|x|,ksi,|y|,ups)
avec,
|e|(|x|,ksi,|y|,ups) = |x||y|cos(ups)e-ksi|y|sin(ups)
l'amplitude du résultat et
eps(|x|,ksi,|y|,ups) = |y|[sin(ups)Ln|x| + ksicos(ups)]
sa phase, mais qui fait ressortir le phénomène de modulation de phase ("encapsulation" d'une phase dans une autre). Dans R2, cela donne :
(1a) (|x|,ksi)×(|y|,ups) = [eL(|x|,ksi,|y|,ups) , eps(|x|,ksi,|y|,ups)]
(1b) L|x|,ksi,|y|,ups) = |y|[cos(ups)Ln|x| - sin(ups)ksi]
(1c) eps(|x|,ksi,|y|,ups) = |y|[sin(ups)Ln|x| + cos(ups)ksi]
Cette formule montre que :
(2a) (|x|,0)×(|y|,0) = (|x||y|,0)
(2b) (|x|,0)×(|y|,pi) = (|x|-|y|,0)
(2c) (|x|,pi)×(|y|,0) = (|x||y|,|y|pi) = [(-|x|)|y|,0]
(2d) (|x|,pi)×(|y|,pi) = (|x|-|y|,|y|pi) = [(-|x|)-|y|,0]
comme attendu dans R, mais surtout que,
(3a) (|x|,pi/2)×(|y|,0) = (0,|x|)×(|y|,0) = (|x||y|,|y|pi/2)
(3b) (|x|,-pi/2)×(|y|,0) = (0,-|x|)×(|y|,0) = (|x||y|,-|y|pi/2) = [(|x|,pi/2)×(|y|,0)]*
(3c) (|x|,0)×(|y|,pi/2) = (1,|y|Ln|x|)
(3d) (|x|,0)×(|y|,-pi/2) = (1,-|y|Ln|x|) = [(|x|,0)×(|y|,pi/2)]*
Voilà pour l'essentiel. Il y aurait les valeurs pi et 3pi/2, mais elles donneraient des résultats similaires au signe près.
(3a) ne donnera un ortho que pour |y| un entier pair et un para que pour |y| un entier impair.
(3c) donnera un ortho pour |y|Ln|x| = kpi et un para pour |y|Ln|x| = (k + ½)pi, k dans Z.
Les oscillations (et donc, les instabilités systémiques) naissent du fait que :
(e,0)×(|y|,pi/2) = (1,|y|) = [cos(|y|),sin(|y|)]
C'est l'ortho (e,0) qui, élevé à la puissance du para (|y|,pi/2) = (0,|y|), donne un résultat (ortho/para) cyclique.
C'est ce qui explique qu'à partir de R2, les systèmes sont fondamentalement instables.
On a un peu de mal à se faire à cette idée si l'on regarde un RD du point de vue de sa structure d'espace vectoriel de dimension D. Mais, si l'on interprète l'entier > 0 D comme étant le nombre total de configurations de R, une fois la dégénérescence de niveaux levée et non plus comme une dimension, on reste en dimension 1, mais avec une "sous-structure fine" à D niveaux. Comme tous ces niveaux continuent évidemment de ne constituer qu'un seul et même environnement, ils s'échangent perpétuellement leurs informations : c'est ce "passage de relais" permanent, en alternance d'un niveau à l'autre, qui engendre ces oscillations. Si vous prenez (1,|y|) en polaire, vous n'avez pas, à proprement parler "d'oscillations" : l'exponentiation du para (0,|y|) transforme l'ortho (e,0) en un nombre d'amplitude 1 et d'inclinaison |y| dans le R à 2 configurations. C'est lorsque vous projetez ce (1,|y|) sur chaque niveau que vous trouvez des oscillations en [cos(|y|),sin(|y|)]. Ça ne veut pas dire qu'en polaire, ces oscillations "disparaissent", elles n'apparaissent pas explicitement, c'est tout. Mais elles sont bel et bien là. La représentation cartésienne les fait ressortir.
Géométriquement, ceci s'explique par le fait que R2 = R+ xc S1 est le produit cartésien de sa "diagonale" R+, partie non orientable de R, puisque "pointant" toujours vers les positifs par le cercle unité S1. Autrement dit, lorsque le R à configuration unique mais dégénérée "bifurque" en un R à 2 configurations distinctes, il se transforme en un disque de rayon |x| variable, allant de 0 à +oo, qui recouvre tout le plan R2. Ce disque, c'est la représentation polaire. Le plan, c'est la représentation cartésienne. Dans un RD, avec D >= 3, vous aurez de même RD = R+ xc SD-1 et une structure de sphère à D - 1 "dimensions". Pour D = 3, S2 est la sphère unité habituelle : c'est un objet de dimension 2. C'est la boule délimité par cette sphère qui est de dimension 3.
Ces sphères sont génériques ("genuine", en anglais), vous ne pouvez pas vous en "débarrasser" par quelque transformation que ce soit. Si vous cherchez à les "camoufler" dans une représentation directionnelle en axes, vous ferez ressortir des oscillations... manifestation différente de leur présence inévitable.
En calcul vectoriel, l'élévation d'un vecteur à la puissance d'un autre n'a pas de sens. Ça en a ici, parce que nous faisons du calcul algébrique, qu'on soit dans C ou dans R2.
En utilisant la relation :
(|x|eiksi)y0+iy1 = ey0Ln(|x|) - y1ksiei(y1Ln|x| + y0ksi)
on s'assure facilement qu'on a encore,
(4a) (|x|,ksi)×[(|y|,ups) + (|y'|,ups')] = (|x|,ksi)×[(|y|,ups) × (|x|,ksi)×[(|y'|,ups')
et en utilisant (1a), que
(4b) [(|x|,ksi)×(|y|,ups)]×(|y'|,ups') = [(|x|,ksi)×(|y'|,ups')]×(|y|,ups) = (|x|,ksi)×(|y||y'|,ups + ups')
Les propriétés de l'exponentiation sont préservées, mais la topologie (les propriétés métriques) d'un R2 n'étant plus du tout celles d'un R, cela se ressent sur toute application prenant ses valeurs dans cet environnement élargi.
Dans C, pour x = |x|eiksi en polaire y = y0 + iy1 en cartésien, x élevé à la puissance y vaut :
(|x|eiksi)y0+iy1 = [eLn(|x|)+iksi](y0+iy1) = e[Ln(|x| + iksi](y0 + iy1)
= ey0Ln(|x|) - y1ksi + i(y1Ln|x| + y0ksi) = ey0Ln(|x|) - y1ksiei(y1Ln|x| + y0ksi)
= |x|y0e-y1ksi[cos(y1Ln|x| + y0ksi) + isin(y1Ln|x| + y0ksi)]
C'est une expression assez compliquée, qui l'est encore plus avec y écrit en polaire |y|eiups,
(x0 + ix1)y0+iy1 = |e|(|x|,ksi,|y|,ups)eieps(|x|,ksi,|y|,ups)
avec,
|e|(|x|,ksi,|y|,ups) = |x||y|cos(ups)e-ksi|y|sin(ups)
l'amplitude du résultat et
eps(|x|,ksi,|y|,ups) = |y|[sin(ups)Ln|x| + ksicos(ups)]
sa phase, mais qui fait ressortir le phénomène de modulation de phase ("encapsulation" d'une phase dans une autre). Dans R2, cela donne :
(1a) (|x|,ksi)×(|y|,ups) = [eL(|x|,ksi,|y|,ups) , eps(|x|,ksi,|y|,ups)]
(1b) L|x|,ksi,|y|,ups) = |y|[cos(ups)Ln|x| - sin(ups)ksi]
(1c) eps(|x|,ksi,|y|,ups) = |y|[sin(ups)Ln|x| + cos(ups)ksi]
Cette formule montre que :
(2a) (|x|,0)×(|y|,0) = (|x||y|,0)
(2b) (|x|,0)×(|y|,pi) = (|x|-|y|,0)
(2c) (|x|,pi)×(|y|,0) = (|x||y|,|y|pi) = [(-|x|)|y|,0]
(2d) (|x|,pi)×(|y|,pi) = (|x|-|y|,|y|pi) = [(-|x|)-|y|,0]
comme attendu dans R, mais surtout que,
(3a) (|x|,pi/2)×(|y|,0) = (0,|x|)×(|y|,0) = (|x||y|,|y|pi/2)
(3b) (|x|,-pi/2)×(|y|,0) = (0,-|x|)×(|y|,0) = (|x||y|,-|y|pi/2) = [(|x|,pi/2)×(|y|,0)]*
(3c) (|x|,0)×(|y|,pi/2) = (1,|y|Ln|x|)
(3d) (|x|,0)×(|y|,-pi/2) = (1,-|y|Ln|x|) = [(|x|,0)×(|y|,pi/2)]*
Voilà pour l'essentiel. Il y aurait les valeurs pi et 3pi/2, mais elles donneraient des résultats similaires au signe près.
(3a) ne donnera un ortho que pour |y| un entier pair et un para que pour |y| un entier impair.
(3c) donnera un ortho pour |y|Ln|x| = kpi et un para pour |y|Ln|x| = (k + ½)pi, k dans Z.
Les oscillations (et donc, les instabilités systémiques) naissent du fait que :
(e,0)×(|y|,pi/2) = (1,|y|) = [cos(|y|),sin(|y|)]
C'est l'ortho (e,0) qui, élevé à la puissance du para (|y|,pi/2) = (0,|y|), donne un résultat (ortho/para) cyclique.
C'est ce qui explique qu'à partir de R2, les systèmes sont fondamentalement instables.
On a un peu de mal à se faire à cette idée si l'on regarde un RD du point de vue de sa structure d'espace vectoriel de dimension D. Mais, si l'on interprète l'entier > 0 D comme étant le nombre total de configurations de R, une fois la dégénérescence de niveaux levée et non plus comme une dimension, on reste en dimension 1, mais avec une "sous-structure fine" à D niveaux. Comme tous ces niveaux continuent évidemment de ne constituer qu'un seul et même environnement, ils s'échangent perpétuellement leurs informations : c'est ce "passage de relais" permanent, en alternance d'un niveau à l'autre, qui engendre ces oscillations. Si vous prenez (1,|y|) en polaire, vous n'avez pas, à proprement parler "d'oscillations" : l'exponentiation du para (0,|y|) transforme l'ortho (e,0) en un nombre d'amplitude 1 et d'inclinaison |y| dans le R à 2 configurations. C'est lorsque vous projetez ce (1,|y|) sur chaque niveau que vous trouvez des oscillations en [cos(|y|),sin(|y|)]. Ça ne veut pas dire qu'en polaire, ces oscillations "disparaissent", elles n'apparaissent pas explicitement, c'est tout. Mais elles sont bel et bien là. La représentation cartésienne les fait ressortir.
Géométriquement, ceci s'explique par le fait que R2 = R+ xc S1 est le produit cartésien de sa "diagonale" R+, partie non orientable de R, puisque "pointant" toujours vers les positifs par le cercle unité S1. Autrement dit, lorsque le R à configuration unique mais dégénérée "bifurque" en un R à 2 configurations distinctes, il se transforme en un disque de rayon |x| variable, allant de 0 à +oo, qui recouvre tout le plan R2. Ce disque, c'est la représentation polaire. Le plan, c'est la représentation cartésienne. Dans un RD, avec D >= 3, vous aurez de même RD = R+ xc SD-1 et une structure de sphère à D - 1 "dimensions". Pour D = 3, S2 est la sphère unité habituelle : c'est un objet de dimension 2. C'est la boule délimité par cette sphère qui est de dimension 3.
Ces sphères sont génériques ("genuine", en anglais), vous ne pouvez pas vous en "débarrasser" par quelque transformation que ce soit. Si vous cherchez à les "camoufler" dans une représentation directionnelle en axes, vous ferez ressortir des oscillations... manifestation différente de leur présence inévitable.
En calcul vectoriel, l'élévation d'un vecteur à la puissance d'un autre n'a pas de sens. Ça en a ici, parce que nous faisons du calcul algébrique, qu'on soit dans C ou dans R2.
En utilisant la relation :
(|x|eiksi)y0+iy1 = ey0Ln(|x|) - y1ksiei(y1Ln|x| + y0ksi)
on s'assure facilement qu'on a encore,
(4a) (|x|,ksi)×[(|y|,ups) + (|y'|,ups')] = (|x|,ksi)×[(|y|,ups) × (|x|,ksi)×[(|y'|,ups')
et en utilisant (1a), que
(4b) [(|x|,ksi)×(|y|,ups)]×(|y'|,ups') = [(|x|,ksi)×(|y'|,ups')]×(|y|,ups) = (|x|,ksi)×(|y||y'|,ups + ups')
Les propriétés de l'exponentiation sont préservées, mais la topologie (les propriétés métriques) d'un R2 n'étant plus du tout celles d'un R, cela se ressent sur toute application prenant ses valeurs dans cet environnement élargi.
- Commentaires textes : Écrire
MERCI POUR VOS COMMENTAIRES
Le 27/07/2025
Je tiens tout de même à marquer d'un court article le FLOT de commentaires que je reçois depuis peu, alors qu'en 12 ans de blog, j'ai dû en recevoir... 4, tous validés par ailleurs.
Incroyable... je ne m'attendais pas à un déferlement de propos élogieux, d'autant que j'ai lancé ce blog pour apporter une suite à mon livre "Para, c'est du normal !", à savoir, essayer de trouver des explications physiques cohérentes aux phénomènes dits "paranormaux". J'étais à des années-lumière de m'imaginer que, pour n'être qu'en mesure d'espérer faire mon travail, j'aurai autant de rectificatifs à apporter aux modèles physiques actuellement admis...
Ça se voit d'ailleurs : l'écrasante majorité des articles mis en ligne ne traitent pas de parapsychologie scientifique, mais de physique ou de mathématiques... J'ai passé mon temps à ça et continue même de le faire...
Alors, l'un d'entre vous m'a posé une question, publiée B4 à propos des maths financières : quels obstacles à prévoir ? J'avoue que j'ai été un peu pris de court sur le moment et je l'ai invité à parcourir le blog pour s'en faire une idée.
Les obstacles ? Je vais vous dire : si, déjà, vous parvenez à lire la plupart de ces articles, auquel j'apporte pourtant un soin particulier à une certaine "vulgarisation", c'est que vous disposez d'un bagage technique minimum... et donc que si, vous aussi, tenez un blog ou parcourez ce genre de blogs, c'est que, vous aussi, à un certain moment, avez rencontré des obstacles à la publication de travaux techniques dans des revues référencées. Il n'est pas possible, en effet, d'aborder certains sujets scientifiques de recherche en vulgarisant "à l'extrême", cela prendrait des encyclopédies entières à tout décortiquer pour le public dépourvu de tout bagage technique. On peut vulgariser, mais seulement jusqu'à un certain point.
Les obstacles, donc ? Ils ne peuvent provenir que de la communauté scientifique elle-même. Ce ne sont pas les praticiens qui bloquent : eux attendent des modèles aptes à reproduire et expliquer les observations qu'ils font en laboratoires. Ce ne sont pas non plus les financiers qui bloquent : eux perdent de l'argent. Par rapport à ce qu'ils pourraient gagner sur des modèles beaucoup plus efficaces et réalistes. Seulement, les modèles actuellement disponibles sont élaborés par des mathématiciens et des physiciens qui se sont accordés le monopole du Savoir. Bien qu'ils répètent à satiété "qu'ils ne savent pas", "ne comprennent pas", etc. En attendant, ils publient et on ne conteste pas leurs publications, point. Ils ne tolèrent aucune remise en cause. Il y a une clique internationale de "penseurs uniques" qui sévit depuis des siècles et qui "conseillent" les décideurs, politiciens ou industriels. Ce sont ceux-là qui barrent tout. Parce qu'il est hors de question de faire passer un (multi)-récompensé pour l'imbécile qu'il est en réalité... C'est inconcevable. Donc, ce genre de mec va faire jouer ses Prix, sa notoriété et son influence auprès de ceux qui ont le malheur de se baser sur ses "travaux", ni fait ni à faire par ailleurs, pour bloquer toute autre forme d'iinitiative que la sienne.
Allez donc tenter de faire valoir vos propres travaux auprès de politiciens s'ils vont à l'encontre de potentats tels que le CERN, le CNRS, le CEA et leurs équivalents européens : la lutte est inégale, perdue d'avance. Personne ne vous écoutera. Vous faites face à des mastodontes. Qui "concentrent" un PSEUDO-savoir scientifique. Si vous en faites partie et que vous contestez les idées imposées, on vous retire l'accès aux publications, aux budgets et vous n'avez plus qu'à croupir dans un bureau miteux d'une université "de cambrousse" jusqu'à ce que retraite s'ensuive. Vous aurez beau contacter les médias, rien n'y fera. Vous ne ferez qu'aggraver votre cas. Jusqu'à ce qu'on finisse par vous supprimer toute retraite pour "pratique pseudo-scientifique indigne de la profession"... Même à des fonctionnaires titularisés, ça arrive !...
Vous ne voulez pas d'obstacles ? FAISONS NOTRE TRAVAIL DANS NOTRE COIN. ET EUX, DANS LE LEUR.
Et nous verrons bien, à l'arrivée, qui l'emportera sur qui face aux FAITS. Et aux RESULTATS.
Vos commentaires prouvent que je ne rencontre plus aucun obstacle depuis que j'ai lancé ce blog. Je publie ce que je veux. A l'attention des autres, de ceux qui recherchent la rigueur, la cohérence face à l'absurdité, l'humilité face à la culture de l'égo surdimensionné, la sincérité (merci !) face à l'hypocrisie (qui consiste à prendre les autres pour plus con que soi), l'honnêteté (reconnaitre quand on se trompe et corriger, personne n'est infaillible), tout ce qui peut amener à des résultats tangibles. Du progrès. De l'amélioration. Et du GAIN.
Je me fiche complètement de tenter de convaincre les sectaristes, les claniques : ce blog ne leur est pas destiné. Il est destiné à tous ceux qui subissent leur sectarisme. Tous ceux qu'ils envoient dans le mur, en leur promettant toujours "monts et merveilles", "la panacée" et autres "remèdes miracles". Si cela existait, la recherche s'arrêterait immédiatement. Et le progrès avec. Ce sont des BONIMENTEURS, pas des chercheurs.
Mais ce sont ceux qui appliquent leurs boniments qui paient les factures... et elles s'alourdissent de plus en plus : comment pourrait-il en aller autrement ?...
Sur ce, si vous le permettez, je me remets au travail. Ce blog est majoritairement en français, mais certains articles ont été rédigés en anglais. Merci à vous tous de bien vouloir rédiger vos remarques dans l'une ou l'autre langue, ils seront tous acceptés, sauf propos insultants, naturellement : nous sommes entre gens civilisés... :) Les critiques sont les bienvenues, à condition qu'elles soient constructives. Je n'ai jamais prétendu au monopole de la compréhension. Je me contente de me baser sur des constats.
Incroyable... je ne m'attendais pas à un déferlement de propos élogieux, d'autant que j'ai lancé ce blog pour apporter une suite à mon livre "Para, c'est du normal !", à savoir, essayer de trouver des explications physiques cohérentes aux phénomènes dits "paranormaux". J'étais à des années-lumière de m'imaginer que, pour n'être qu'en mesure d'espérer faire mon travail, j'aurai autant de rectificatifs à apporter aux modèles physiques actuellement admis...
Ça se voit d'ailleurs : l'écrasante majorité des articles mis en ligne ne traitent pas de parapsychologie scientifique, mais de physique ou de mathématiques... J'ai passé mon temps à ça et continue même de le faire...
Alors, l'un d'entre vous m'a posé une question, publiée B4 à propos des maths financières : quels obstacles à prévoir ? J'avoue que j'ai été un peu pris de court sur le moment et je l'ai invité à parcourir le blog pour s'en faire une idée.
Les obstacles ? Je vais vous dire : si, déjà, vous parvenez à lire la plupart de ces articles, auquel j'apporte pourtant un soin particulier à une certaine "vulgarisation", c'est que vous disposez d'un bagage technique minimum... et donc que si, vous aussi, tenez un blog ou parcourez ce genre de blogs, c'est que, vous aussi, à un certain moment, avez rencontré des obstacles à la publication de travaux techniques dans des revues référencées. Il n'est pas possible, en effet, d'aborder certains sujets scientifiques de recherche en vulgarisant "à l'extrême", cela prendrait des encyclopédies entières à tout décortiquer pour le public dépourvu de tout bagage technique. On peut vulgariser, mais seulement jusqu'à un certain point.
Les obstacles, donc ? Ils ne peuvent provenir que de la communauté scientifique elle-même. Ce ne sont pas les praticiens qui bloquent : eux attendent des modèles aptes à reproduire et expliquer les observations qu'ils font en laboratoires. Ce ne sont pas non plus les financiers qui bloquent : eux perdent de l'argent. Par rapport à ce qu'ils pourraient gagner sur des modèles beaucoup plus efficaces et réalistes. Seulement, les modèles actuellement disponibles sont élaborés par des mathématiciens et des physiciens qui se sont accordés le monopole du Savoir. Bien qu'ils répètent à satiété "qu'ils ne savent pas", "ne comprennent pas", etc. En attendant, ils publient et on ne conteste pas leurs publications, point. Ils ne tolèrent aucune remise en cause. Il y a une clique internationale de "penseurs uniques" qui sévit depuis des siècles et qui "conseillent" les décideurs, politiciens ou industriels. Ce sont ceux-là qui barrent tout. Parce qu'il est hors de question de faire passer un (multi)-récompensé pour l'imbécile qu'il est en réalité... C'est inconcevable. Donc, ce genre de mec va faire jouer ses Prix, sa notoriété et son influence auprès de ceux qui ont le malheur de se baser sur ses "travaux", ni fait ni à faire par ailleurs, pour bloquer toute autre forme d'iinitiative que la sienne.
Allez donc tenter de faire valoir vos propres travaux auprès de politiciens s'ils vont à l'encontre de potentats tels que le CERN, le CNRS, le CEA et leurs équivalents européens : la lutte est inégale, perdue d'avance. Personne ne vous écoutera. Vous faites face à des mastodontes. Qui "concentrent" un PSEUDO-savoir scientifique. Si vous en faites partie et que vous contestez les idées imposées, on vous retire l'accès aux publications, aux budgets et vous n'avez plus qu'à croupir dans un bureau miteux d'une université "de cambrousse" jusqu'à ce que retraite s'ensuive. Vous aurez beau contacter les médias, rien n'y fera. Vous ne ferez qu'aggraver votre cas. Jusqu'à ce qu'on finisse par vous supprimer toute retraite pour "pratique pseudo-scientifique indigne de la profession"... Même à des fonctionnaires titularisés, ça arrive !...
Vous ne voulez pas d'obstacles ? FAISONS NOTRE TRAVAIL DANS NOTRE COIN. ET EUX, DANS LE LEUR.
Et nous verrons bien, à l'arrivée, qui l'emportera sur qui face aux FAITS. Et aux RESULTATS.
Vos commentaires prouvent que je ne rencontre plus aucun obstacle depuis que j'ai lancé ce blog. Je publie ce que je veux. A l'attention des autres, de ceux qui recherchent la rigueur, la cohérence face à l'absurdité, l'humilité face à la culture de l'égo surdimensionné, la sincérité (merci !) face à l'hypocrisie (qui consiste à prendre les autres pour plus con que soi), l'honnêteté (reconnaitre quand on se trompe et corriger, personne n'est infaillible), tout ce qui peut amener à des résultats tangibles. Du progrès. De l'amélioration. Et du GAIN.
Je me fiche complètement de tenter de convaincre les sectaristes, les claniques : ce blog ne leur est pas destiné. Il est destiné à tous ceux qui subissent leur sectarisme. Tous ceux qu'ils envoient dans le mur, en leur promettant toujours "monts et merveilles", "la panacée" et autres "remèdes miracles". Si cela existait, la recherche s'arrêterait immédiatement. Et le progrès avec. Ce sont des BONIMENTEURS, pas des chercheurs.
Mais ce sont ceux qui appliquent leurs boniments qui paient les factures... et elles s'alourdissent de plus en plus : comment pourrait-il en aller autrement ?...
Sur ce, si vous le permettez, je me remets au travail. Ce blog est majoritairement en français, mais certains articles ont été rédigés en anglais. Merci à vous tous de bien vouloir rédiger vos remarques dans l'une ou l'autre langue, ils seront tous acceptés, sauf propos insultants, naturellement : nous sommes entre gens civilisés... :) Les critiques sont les bienvenues, à condition qu'elles soient constructives. Je n'ai jamais prétendu au monopole de la compréhension. Je me contente de me baser sur des constats.
- Commentaires textes : Écrire
Comment passer de R à Rē ?
Le 23/07/2025
En effet. La grande question est : comment passer de réels simples à des réels doubles ?
Le mécanisme séparateur
Il faut se placer dans l'algèbre M2(R) des matrices réelles 2 x 2. C'est là que la "scission" va se produire. Les algèbres MD(R) sont, en effet, de même dimension D² que des espaces réels RD². Pour D = 1, M1(R) se confond avec R. Mais plus pour D >= 2.
Je renvoie à B 178 pour les propriétés fondamentales de M2(R). Soit :
(1) f : M2(R) -> M2(R) , M -> f(M) = Sn=0+oo fn(0).M.n/n!
une fonction quelconque définie au moyen de sa série de Mac-Laurin convergente, M.n représentant la n-ième puissance matricielle de M [(M2)AC = MABMBC, (M2)AD = MABMBCMCD,...]. Les fn(0) sont également dans M2(R), puisque ce sont les valeurs des dérivées successives de f au voisinage de la matrice nulle :
f0(0) = f(0) , f1(0) = [df(M)/dM]|M=0 ,..., fn(0) = [dnf(M)/dM.n]|M=0 ,
où dnf(M)/dM.n = LimdM->0 {Sk=0n (-1)kCknf[M + (n - k)dM]}/dM.n.
M2(R) agit comme "espace d'opérateurs" sur R2, "espace d'états". Sur un réel double x = (x0,x1), les unités si de M2(R) ont les facultés suivantes :
(2a) s3 = (1,0,0,1) => s3.(x0,x1) = (x0,x1)
(2b) s1 = (0,1,1,0) => s1.(x0,x1) = (x1,x0)
(2c) s2 = (1,0,0,-1) => s2.(x0,x1) = (x0,-x1)
(2d) s0 = (0,1,-1,0) => s0.(x0,x1) = (x1,-x0)
s3 ne fait rien. s1 échange l'ortho et le para. s2 fait passer de x à son conjugué x*. s0 associe l'échange ortho <-> para et la conjugaison, dans cet ordre de succession [l'ordre inverse donne -s0 = (s0).-1].
Aux unités de M2(R), l'application (1) va donner, moyennant les propriétés -(s0).2 = (sa).2 = s3 (a = 1,2,3) :
(3a) f(s0) = Sn=0+oo f2n(0).(s0).2n/(2n)! + Sn=0+oo f2n+1(0).(s0).(2n+1)/(2n + 1)!
= [Sn=0+oo (-1)nf2n(0)/(2n)!].s3 + [Sn=0+oo (-1)nf2n+1(0)/(2n + 1)!].s0
(3b) f(sa) = Sn=0+oo f2n(0).(sa).2n/(2n)! + Sn=0+oo f2n+1(0).(sa).(2n+1)/(2n + 1)!
= [Sn=0+oo f2n(0)/(2n)!].s3 + [Sn=0+oo f2n+1(0)/(2n + 1)!].sa
Seule f(s0) sera alternée [si les fn(0) ne le sont pas eux-mêmes]. En particulier, pour [fn(0) = s3 pour tout n], l'application exponentielle dans M2(R) donne :
(4a) e(s0) = cos(1)s3 + sin(1)s0
(4b) e(sa) = ch(1)s3 + sh(1)sa
La multiplication (ordinaire) des si par un réel simple |x| >= 0 aura donc l'effet suivant :
(5a) e(|x|s0) = cos(|x|)s3 + sin(|x|)s0
(5b) e(|x|sa) = ch(|x|)s3 + sh(|x|)sa (a = 1,2,3)
D'après (2), l'action de ces matrices sur un réel double y = (y0,y1) = (|y|,ups) sera :
(6a) e(|x|s0).(y0,y1) = cos(|x|)(y0,y1) + sin(|x|)(y1,-y0)
(6b) e(|x|s1).(y0,y1) = ch(|x|)(y0,y1) + sh(|x|)(y1,y0)
(6c) e(|x|s2).(y0,y1) = ch(|x|)(y0,y1) + sh(|x|)(y0,-y1)
(6d) e(|x|s3).(y0,y1) = [ch(|x|) + sh(|x|)](y0,y1) = e|x|(y0,y1)
En conséquence, pour y = (1,0) :
(7a) e(|x|s0).(1,0) = [cos(|x|),0] + [0,-sin(|x|)] = [cos(|x|),-sin(|x|)]
(7b) e(|x|s1).(1,0) = [ch(|x|),0] + [0,sh(|x|)] = [ch(|x|),sh(|x|)]
(7c) e(|x|s2).(1,0) = [ch(|x|),0] + [-sh(|x|),0] = (e-|x|,0)
(7d) e(|x|s3).(1,0) = [ch(|x|) + sh(|x|),0] = (e|x|,0)
En bleu, j'ai coloré la "dissociation" de l'ortho (7d), où ch(.) et sh(.) sont superposés sur le niveau 0 en l'ortho-para (7b), où sh(.) est transféré sur le niveau 1. Or (rappel), s3 n'est pas fondamentale, c'est s1 qui l'est. Le système aura donc naturellement tendance à se dissocier, pour retourner à un état plus fondamental.
C'est le mécanisme séparateur : s3 = (s1).2 -> s1 <=> (7d) -> (7b). L'unité symétrique s3, moins fondamentale, se dissocie dans M2(R) en sa "racine carrée" s1, plus fondamentale, par transition, lors du passage de l'espace d'état R à l'espace d'états R2. Souvenez-vous qu'il y a alors bifurcation. Cette transition ne va concerner que la composante impaire de e|x|, l'exponentielle dans R, parce que son extension dans M2(R) va passer de exp(|x|s3) = e|x|s3 à exp(|x|s1), fonction à deux niveaux : le niveau 0, pair ; le niveau 1, impair.
On a confirmation géométrique de cela : s3 n'ayant aucune action dans les espaces de dimension 2, les niveaux restent "dégénérés" comme dans R, tout se passe comme s'ils se confondaient, il n'y a aucune bifurcation, R est un espace mono-directionnel (nonobstant son orientation) ; ce n'est plus le cas de s1 qui permutent les niveaux ; pour ce faire, il faut donc bien que ceux-là soient séparés ; R2 est un espace bi-directionnel, où la direction "0" est celle d'un R à métrique symétrique et la direction "1", un R à métrique antisymétrique. C'est ce que traduisent "arithmétiquement" ch(|x|) = ch(-|x|) (parité +1) et sh(|x|) = -sh(-|x|) (parité -1).
On a une parité similaire avec (7a) mais, sans dissociation cette fois, en raison du fait que (s0).2 = -s3 n'est plus une racine carrée de s3 dans M2(R) [mais le serait dans un M2(C)].
Le changement de comportement
La question suivante est : comment une même application telle que l'exponentielle peut-elle adopter des comportements différents, jusqu'à l'antagonisme, tout en restant cohérente ?
Si l'on compare (7c) et (7d), on s'aperçoit tout de suite qu'elles sont inverses l'une de l'autre, bien que s2 et s3 ne le soient absolument pas : (s2).-1 = s2, (s3).-1 = s3. Elles sont chacune leur propre inverse. (7c) et (7d) sont également en configuration ortho, parce que s2 et s3 sont diagonales.
Il en va tout autrement avec s0 et s1 qui sont anti-diagonales. Pour passer de [ch(|x|),sh(|x|)] à [cos(|x|),sin(|x|)], on s'aperçoit qu'il faut remplacer s1 par -s0 = (s0).-1. Là encore, (s1).-1 = s1 est son propre inverse.
Nous allons nous concentrer surtout sur la transition (7b) <-> (7a). Comment changer d'unité ?
En jonglant sur des coefficients réels simples.
Pour cela, considérons la matrice anti-diagonale :
(8) M = m0s0 + m1s1 avec m0 et m1 dans R.
Ses puissances matricielles sont très faciles à établir, étant donné que s0 et s1 anti-commutent :
M.2 = (m12 - m02)s3 , M.4 = (m12 - m02)2s3 , M.6 = (m12 - m02)3s3 ,...
Donc :
(9a) M.2n = (m12 - m02)ns3 , M.2n+1 = (m12 - m02)nM
Partout où m12 - m02 <> 0, on a même :
(9b) M.-1 = M/(m12 - m02) => M.-2n = s3/(m12 - m02)n , M.-2n-1 = M/(m12 - m02)n+1
L'exponentielle de M sera donc :
(10a) e(M) = [Sn=0+oo (m12 - m02)n/(2n)!]s3 + [Sn=0+oo (m12 - m02)n/(2n + 1)!]M
Et là, comme par (tout sauf) le plus grand des hasards, on se rend compte que tout dépend du signe de m12 - m02 :
(10b) m12 > m02
=> e(M) = ch[(m12 - m02)1/2]s3 + {sh[(m12 - m02)1/2]/(m12 - m02)1/2}M
Tr[e(M)] = 2ch[(m12 - m02)1/2] , Det[e(M)] = 1
(10c) m12 < m02
=> e(M) = cos[(m02 - m12)1/2]s3 + {sin[(m02 - m12)1/2]/(m02 - m12)1/2}M
Tr[e(M)] = 2cos[(m02 - m12)1/2] , Det[e(M)] = 1
Quant à :
(10d) Det(M) = 0 i.e. m12 = m02
=> e(M) = s3 + M , Tr[e(M)] = 2 , Det[e(M)] = 1
Dans tous les cas, le déterminant de e(m0s0 + m1s1) vaut 1.
Sur l'hyperbole m12 - m02 = |x|2, d'équation paramétrique [m1 = |x|ch(ksi) , m0 = |x|sh(ksi)], on se trouve dans la situation (10b) et :
(11a) e{|x|[sh(ksi)s0 + ch(ksi)s1]} = ch(|x|)s3 + sh(|x|)[sh(ksi)s0 + ch(ksi)s1]
(11b) e{|x|[sh(ksi)s0 + ch(ksi)s1]}.(1,0) = [ch(|x|) , sh(|x|)e-ksi]
On retrouve (7b) pour ksi = 0, i.e. [m1 = |x| , m0 = 0], c'est-à-dire M = |x|s1.
Sur l'hyperbole m02 - m12 = |x|2, m0 = |x|ch(ksi) , m1 = |x|sh(ksi), les rôles de m1 et de m0 sont permutés et (10c) nous donne :
(12a) e{|x|[ch(ksi)s0 + sh(ksi)s1]} = cos(|x|)s3 + sin(|x|)[ch(ksi)s0 + sh(ksi)s1]
(12b) e{|x|[ch(ksi)s0 + sh(ksi)s1]}.(1,0) = [cos(|x|) , -sin(|x|)e-ksi]
On retombe sur (7a) pour ksi = 0, soit M = |x|s0.
En ce qui concerne le cas "critique" (10d), m1 = +/-m0, les hyperboles précédentes dégénèrent en les deux droites bissectrices qui ne sont autres que les directions asymptotiques des deux hyperboles et :
(13) e[m0(s0 +/- s1)] = s3 + m0(s0 +/- s1)
parce qu'il se trouve que s0 + s1 = (0,2,0,0) et s0 - s1 = (0,0,-2,0) sont nilpotentes d'ordre 2 : (s0 +/- s1).2 = 0.
Voilà qui devrait suffire à expliquer comment et pourquoi apparaissent les oscillations.
Le lien avec la banque virtuelle
A son démarrage, la banque se donne un "potentiel financier" qui ne dépend que d'un coefficient V1 qui, ici, va s'identifier au déterminant de la matrice M :
(14) V1(n + d ; R) = m02(n + d ; R) - m12(n + d ; R)
Aussi longtemps que V1 restera < 0, l'exponentielle aura le comportement hyperbolique habituel, celui qu'on attend d'elle en tant que "loi de puissance", la seule "loi centrale" en position d'équilibre stable sera la politique de gratuité Q0(n + d ; R) = 0, les deux niveaux se confondront et l'on se trouvera dans la situation (7d), d'inverse (7c), avec deux matrices unité diagonales qui ne feront "qu'étendre" la notion de réel simple sans en modifier les propriétés, puisque le système sera en décohérence. En un mot : il n'aura rien "d'anomal" mais il ne donnera rien d'intéressant non plus.
Son véritable intérêt réside dans la transition, lorsque (14) s'annule. Le potentiel financier présente alors un "méplat" en Q = 0, le système n'est plus que métastable. Cette situation correspond au cas critique (13).
Ensuite, lorsque (14) va passer > 0, les deux niveaux du système vont se séparer, on va passer de (7c et d) à (7a et b) par ce mécanisme séparateur, qui va envoyer la composante antisymétrique de exp(.) sur le niveau 1, une "loi centrale" stable va apparaître, mais on sera alors dans la situation (12) où l'exponentielle se mettra à osciller, entraînant inévitablement le saut perpétuel d'un niveau à l'autre. La banque va donc se retrouver dans un régime de fonctionnement nominal où sa loi centrale sera stabilisée et protégée des perturbations extérieures par ce mécanisme créditeur, mais des instabilités de niveaux se produiront autour de cette loi centrale, instabilités qui ne permettront plus d'établir une gestion "saine" au sens où le comptable ne sera plus dans la capacité de dire que telle opération se passe au niveau 0 et telle autre, au niveau 1 : toutes les opérations comptables se produiront sur les deux niveaux à la fois, parce que le système se comportera de deux manières différentes et contradictoires en apparence. Autrement dit, du point de vue d'une comptabilité traditionnelle, celle de la banque virtuelle paraîtra absurde, incohérente, parce qu'elle sera physiquement, mécaniquement, en cohérence de niveaux : les deux matrices unité ne sont plus diagonales, mais anti-diagonales, entraînant la création de réels doubles aux propriétés très différentes, cette fois, des réels simples.
Cohérence logique <-> décohérence physique, états diagonaux, axes ;
Incohérence logique <-> cohérence physique, états non diagonaux, plans.
Incohérence logique <-> cohérence physique, états non diagonaux, plans.
Si vous voulez une gestion "cohérente" au sens logique du terme, vous aurez une progression géométrique mais le système n'apportera rien de plus qu'une banque ordinaire.
Si vous voulez exploiter ses capacités, vous devrez abandonner l'idée d'une gestion logiquement cohérente et vous présenterez des bilans "absurdes". Parce que répondant à une logique plus vaste. Une logique instable par nature. Qui saute constamment du "vrai" de "l'établi" au "faux", au "non établi".
Il y a un dernier aspect relatif à ce changement radical de comportement lors de la transition, il porte sur la relation de cause à effet. Bien que vous ne soyez pas physiciens, en qualité de comptables, vous souhaitez tout autant associer une cause (une origine) à un effet (une conclusion). Cela s'appelle justifier son raisonnement, son bilan, ses prévisions.
Si vous vous référez à B 178, vous verrez que la correspondance entre M2(R) et R4 se traduit topologiquement par une métrique "du genre espace" : g00 < 0, gaa > 0 pour a = 1,2,3. Dans un R4 du genre espace, la causalité (le lien de cause à effet) se trouve en m12 > m02. C'est là que vous trouverez le comportement "normal" de l'exponentielle. Son comportement oscillatoire se situe par conséquent dans le secteur "acausal" m12 < m02. Là, vous y perdrez par la même occasion toute relation de cause à effet : vous ne pourrez plus justifier de quoi que ce soit. La destruction de ce lien de causalité se fait à la transition m12 = m02. Il est rétabli dès que m12 redevient supérieur à m02. Mais alors, la banque virtuelle n'a plus aucun intérêt spécifique.
J'espère avoir expliqué de façon suffisamment claire pourquoi je conserve le concept mais aussi pourquoi son utilisation pratique sera difficile à mettre en oeuvre. C'est une toute autre logique. Une logique qui n'est familère à personne.
Pas même au physicien.
Mais c'est la logique du monde, pas celle à laquelle nous nous sommes habitués.
Comme le disait fort justement Stephen Hawking : l'essentiel n'est pas d'être "logique" (au sens "binaire" du terme), mais de rester cohérent.
Il est possible d'adhérer à d'autres logiques, du moment qu'elles conservent un sens, une signification.
C'est le cas de la banque virtuelle, qui n'obéit plus à une logique "classique", mais "quantique", à 2 états (donc, comparable à un spin 0 sur lequel agissent des spins 1/2).
Comme vous pouvez le voir dans cet article, il n'y a absolument rien de statistique où que ce soit.
LA STATISTIQUE EST UNE CHOSE, LA QUANTIQUE EN EST UNE AUTRE.
En tant que physico-matheux, je ne suis peut-être pas à la portée technique de certains économistes, mais je parviens tout de même à me débrouiller... :) Du moins, jusqu'à preuve explicite du contraire.
- Commentaires textes : Écrire
L'INCONVENIENT MAJEUR DES SYSTEMES MULTI-NIVEAUX
Le 20/07/2025
Il faut tout de même que je l'évoque, parce que personne n'y peut rien, ni moi, ni qui que ce soit d'autre. On ne peut que se borner à constater que, dès la dimension 2, la trigonométrie est omniprésente et rien, absolument rien, aucun mécanisme, aucune transformation mathématique, ne peut l'annuler. Il faut faire avec : il est impossible "d'effacer" des sphères et des triangles...
Dès lors, tout environnement RD, avec D >= 2, se met à osciller. Même si ces oscillations sont imperceptibles, elles sont là et bien réelles. On peut tout au plus les "masquer" en représentation cartésienne, où les quantités sont décrites comme des grandeurs à D composantes (x1,...,xD). Mais en représentation polaire, le doute n'est plus permis : en notant, pour abréger, ci et si les cosinus et sinus de l'angle ksii, 1 =< i =< D - 1, en dimension 2, x1 est en c1 et x2, en s1 ; en dimension 3, x1 est en c1c2, x2 en c1s2 et x3 en s1, et ainsi de suite. Ce choix de paramétrisation n'est pas unique, l'essentiel étant que la relation quadratique xixi = Si=1D (xi)² = 1 soit vérifiée pour la sphère unité en dimension D. Il s'ensuit que :
Les espaces RD, D >= 2, sont tous foncièrement instables.
Aussi, quand on va chercher à mettre en oeuvre un concept comme la banque virtuelle, la question n'est pas de savoir si le comptable va devoir se mettre à la trigonométrie. Qu'il compte sous une forme ou sous une autre, cela reste des moyens de calcul. La vraie question est que le système va se trouver dans les deux configurations à la fois. Cela veut dire en réalité qu'il va osciller en permanence en passant alternativement d'une configuration à l'autre. Parce que, comme je l'ai dit, ce ne sont que des projections d'un seul et même système. Donc, c'est "un coup Dr Jekyll, un coup Mr Hide". Ce qui fera inévitablement osciller tarifications et flux monétaires.
C'est en cela que la représentation cartésienne est trompeuse, parce qu'elle renvoie à de simples "effets projectifs" sur des "axes de coordonnées" tous de dimension 1 : en conséquence, aucun de ces axes, aucun de ces "niveaux", n'est instable.
Il s'agit de bien faire la distinction entre situation d'équilibre et instabilités structurelles : suite à son "amorce", la BV va se trouver en équilibre autour de la loi centrale qu'on lui aura fixée. Mais, comme tout système "mécanique", ses activités vont se mettre à osciller autour de cette position d'équilibre. J'entends par là que vous pouvez fort bien vous trouver en état d'équilibre budgétaire, protégé des perturbations extérieures par le mécanisme créditeur et ne pas parvenir à stabiliser vos flux financiers, parce que cela est systémique de l'environnement. Or, si vous vous trouvez dans l'incapacité de contrôler ces instabilités, vous ne pourrez pas établir de bilans cohérents, justifier qui est à porter au crédit/débit de quel niveau, qui est à transférer d'un niveau à l'autre, ni fixer de tarifications sur quelque période que ce soit. Vous ne pourrez faire au mieux que des estimations basées, entre autres, sur les inégalités de Schwartz : vous prenez une expression comme [BV, (2j)], en cartésien (en niveaux), cela vous donne :
Pn=1N Qn = [(Pn=1N |Q|n)cos(Sn=1N phin) , (Pn=1N |Q|n)sin(Sn=1N phin)]
= [|Q|Ncos(phi) , |Q|Nsin(phi)]
Ça, ça se "balade"... ça saute constamment d'un niveau à l'autre, au gré de la valeur de l'angle résultant phi. Vous aurez beau dire que votre véritable prix sera |Q|, moyenne géométrique des |Q|n, vous ne parviendrez pas à le stabiliser. Vous ne pourrez même pas lui associer un signe ! Tout ce que vous pourrez dire, c'est que, comme 0 =< |cos(.) et |sin(.)| =< 1,
0 =< |Pn=1N Qn| =< |Q|N sur chaque niveau
et que, seulement sur les deux niveaux à la fois, |Pn=1N Qn| = |Q|N, parce que, là, cos²(phi) + sin²(phi) = 1...
Certes, le "surplus" sur l'un des niveaux correspondra à un "déficit" sur l'autre. Mais chaque phin varie, ce sont des paramètres (et libres, en plus), faisant varier la phase résultante phi. Vos deux niveaux s'échangeront donc alternativement les déficits... sans qu'il n'y ait besoin d'une dynamique spatiale ou temporelle...
Vous justifierez de quoi, où et à quel moment ?... Sans reparler du fait que vos cours ne seront, ni stables, ni stabilisables... On ne peut pas établir de comptabilité précise sur de telles bases, ni de prévisionnels...
Vous allez additionner des prix, ce sera encore pire : vous devrez faire face au phénomène d'interférence... Celui-là, sans exagérer, c'est une véritable nuisance : il est systématiquement destructeur. Il va vous diminuer vos montants par rapport à une comptabilité traditionnelle :
Q = Sn=1N Qn , Q* = Sn=1N (Qn)*
|Q|² = (Sn=1N |Q|n)² - 4Sn=1N-1Sp=n+1N |Q|n|Q|psin²[(phip - phin)/2]
phi = Arctan{[Sn=1N |Q|nsin(phin)]/Sn=1N |Q|ncos(phin)]} modulo pi.
La seule possibilité d'avoir un montant maximal |Q|max = Sn=1N |Q|n est que les N montants soient en phase : phi1 = phi2 =... = phiN. Il suffit qu'un seul des N montants soit déphasé par rapport à tous les autres, ne serait-ce que légèrement, votre résultat sera inférieur à ce que fournit la comptabilité traditionnelle... Les gains seront diminués pour tout le monde, le client comme la banque. Dans la situation la plus pessimiste, ils peuvent même aller jusqu'à s'annuler...
Des cours qui oscillent d'eux-mêmes, sans qu'on n'y puisse rien sinon l'observer, des résultats inférieurs à ceux de la banque traditionnelle... Pourquoi je maintiens ce concept ? Parce que l'idée d'un environnement bancaire sécurisé et en équilibre reste séduisante, malgré les inconvénients. Toute médaille a son revers, rien n'est "idéal"... La BV, comme tout le reste, présente ses avantages et ses inconvénients. Le principal étant qu'il faut y raisonner différemment et se dire qu'on évolue, bon gré, mal gré, dans des environnements instables. Et que cette instabilité inhérente n'a rien à voir avec la notion probabiliste de risque : il n'y a aucune imprédictibilité ici, il y a de l'indétermination.
Parce que, là encore, on est parti du principe que la stabilité "parfaite" existait, ce qui n'est pas le cas : même dans sa phase "solide", les atomes et molécules d'un milieu physique continuent de vibrer/tourner autour de leurs positions d'équilibre, toutes relatives.
Il n'existe pas d'équilibre "absolu" dans la Nature.
On s'est fait à cette fausse idée, une fois de plus, pour se simplifier la vie... C'est devenu une habitude, un mode de pensée : on voit un système ne pas bouger, on se dit qu'il est "stable". On le soumet à perturbation extérieure, il ne bouge toujours pas ou bien retourne rapidement à sa position d'équilibre, on le qualifie de "robuste". Synonyme peu éloigné de "rigide"...
Mais ce n'est qu'une perception d'ensemble. Un médecin légiste va constater une "rigidité cadavérique" tout en sachant qu'à l'échelle cellulaire, une intense activité de décomposition de "mort cellulaire" s'effectue... Derrière l'aspect d'ensemble de "mort", même biologique, il subsiste une forte activité thermodynamique au niveau des composants organiques... qui se traduit vite par des signes extérieurs.
S'il existait des structures réalistes en dimension 1, mais ce n'est pas le cas... Ce que vous appelez "comptabilité traditionnelle" n'est autre que du multi-niveaux dégénéré... Tous les niveaux se confondent en un seul, comme si toutes les dimensions se regroupaient en une seule, ce qui vous donne une impression de stabilité... Dès que vous "levez" cette dégénérescence, dès que vous séparez les niveaux, c'en est fini de la stabilité : ils se mettent à interagir entre eux, parce qu'ils font partie d'une seule et unique entité, ce qui implique un échange perpétuel d'informations.
On voit des "niveaux" uniquement parce qu'on veut se ramener à de la dimension 1, beaucoup plus familière. A quelque chose de connu, de maitrisé.
Alors, on voit de "l'ortho" et du "para". Mais, si chacun de ces niveaux correspondait bien à de la dimension 1, ils devraient obéir à la même arithmétique... et on retrouverait la même multiplication dans tous les RD. Effectivement, on la retrouve : mais sur les amplitudes seulement. Pas sur les phases, qui sont pourtant, comme les amplitudes, des grandeurs de dimension 1... Cela prouve bien que ce ne sont là que des représentations schématiques et que le véritable objet est le nombre "à D composantes" x = (x1,...,xD). Un nombre qui obéit à une règle multiplicative qui change avec la dimension.
Chaque espace RD possède sa propre loi multiplicative. Qui étend celle de tous les autres, de dimensions inférieures.
Celle de R2 englobe celle de R ; celle de R3, celle de R2 et donc aussi, celle de R, par voie de conséquence. Et ainsi de suite. Illustration.
Dès lors, tout environnement RD, avec D >= 2, se met à osciller. Même si ces oscillations sont imperceptibles, elles sont là et bien réelles. On peut tout au plus les "masquer" en représentation cartésienne, où les quantités sont décrites comme des grandeurs à D composantes (x1,...,xD). Mais en représentation polaire, le doute n'est plus permis : en notant, pour abréger, ci et si les cosinus et sinus de l'angle ksii, 1 =< i =< D - 1, en dimension 2, x1 est en c1 et x2, en s1 ; en dimension 3, x1 est en c1c2, x2 en c1s2 et x3 en s1, et ainsi de suite. Ce choix de paramétrisation n'est pas unique, l'essentiel étant que la relation quadratique xixi = Si=1D (xi)² = 1 soit vérifiée pour la sphère unité en dimension D. Il s'ensuit que :
Les espaces RD, D >= 2, sont tous foncièrement instables.
Aussi, quand on va chercher à mettre en oeuvre un concept comme la banque virtuelle, la question n'est pas de savoir si le comptable va devoir se mettre à la trigonométrie. Qu'il compte sous une forme ou sous une autre, cela reste des moyens de calcul. La vraie question est que le système va se trouver dans les deux configurations à la fois. Cela veut dire en réalité qu'il va osciller en permanence en passant alternativement d'une configuration à l'autre. Parce que, comme je l'ai dit, ce ne sont que des projections d'un seul et même système. Donc, c'est "un coup Dr Jekyll, un coup Mr Hide". Ce qui fera inévitablement osciller tarifications et flux monétaires.
C'est en cela que la représentation cartésienne est trompeuse, parce qu'elle renvoie à de simples "effets projectifs" sur des "axes de coordonnées" tous de dimension 1 : en conséquence, aucun de ces axes, aucun de ces "niveaux", n'est instable.
Il s'agit de bien faire la distinction entre situation d'équilibre et instabilités structurelles : suite à son "amorce", la BV va se trouver en équilibre autour de la loi centrale qu'on lui aura fixée. Mais, comme tout système "mécanique", ses activités vont se mettre à osciller autour de cette position d'équilibre. J'entends par là que vous pouvez fort bien vous trouver en état d'équilibre budgétaire, protégé des perturbations extérieures par le mécanisme créditeur et ne pas parvenir à stabiliser vos flux financiers, parce que cela est systémique de l'environnement. Or, si vous vous trouvez dans l'incapacité de contrôler ces instabilités, vous ne pourrez pas établir de bilans cohérents, justifier qui est à porter au crédit/débit de quel niveau, qui est à transférer d'un niveau à l'autre, ni fixer de tarifications sur quelque période que ce soit. Vous ne pourrez faire au mieux que des estimations basées, entre autres, sur les inégalités de Schwartz : vous prenez une expression comme [BV, (2j)], en cartésien (en niveaux), cela vous donne :
Pn=1N Qn = [(Pn=1N |Q|n)cos(Sn=1N phin) , (Pn=1N |Q|n)sin(Sn=1N phin)]
= [|Q|Ncos(phi) , |Q|Nsin(phi)]
Ça, ça se "balade"... ça saute constamment d'un niveau à l'autre, au gré de la valeur de l'angle résultant phi. Vous aurez beau dire que votre véritable prix sera |Q|, moyenne géométrique des |Q|n, vous ne parviendrez pas à le stabiliser. Vous ne pourrez même pas lui associer un signe ! Tout ce que vous pourrez dire, c'est que, comme 0 =< |cos(.) et |sin(.)| =< 1,
0 =< |Pn=1N Qn| =< |Q|N sur chaque niveau
et que, seulement sur les deux niveaux à la fois, |Pn=1N Qn| = |Q|N, parce que, là, cos²(phi) + sin²(phi) = 1...
Certes, le "surplus" sur l'un des niveaux correspondra à un "déficit" sur l'autre. Mais chaque phin varie, ce sont des paramètres (et libres, en plus), faisant varier la phase résultante phi. Vos deux niveaux s'échangeront donc alternativement les déficits... sans qu'il n'y ait besoin d'une dynamique spatiale ou temporelle...
Vous justifierez de quoi, où et à quel moment ?... Sans reparler du fait que vos cours ne seront, ni stables, ni stabilisables... On ne peut pas établir de comptabilité précise sur de telles bases, ni de prévisionnels...
Vous allez additionner des prix, ce sera encore pire : vous devrez faire face au phénomène d'interférence... Celui-là, sans exagérer, c'est une véritable nuisance : il est systématiquement destructeur. Il va vous diminuer vos montants par rapport à une comptabilité traditionnelle :
Q = Sn=1N Qn , Q* = Sn=1N (Qn)*
|Q|² = (Sn=1N |Q|n)² - 4Sn=1N-1Sp=n+1N |Q|n|Q|psin²[(phip - phin)/2]
phi = Arctan{[Sn=1N |Q|nsin(phin)]/Sn=1N |Q|ncos(phin)]} modulo pi.
La seule possibilité d'avoir un montant maximal |Q|max = Sn=1N |Q|n est que les N montants soient en phase : phi1 = phi2 =... = phiN. Il suffit qu'un seul des N montants soit déphasé par rapport à tous les autres, ne serait-ce que légèrement, votre résultat sera inférieur à ce que fournit la comptabilité traditionnelle... Les gains seront diminués pour tout le monde, le client comme la banque. Dans la situation la plus pessimiste, ils peuvent même aller jusqu'à s'annuler...
Des cours qui oscillent d'eux-mêmes, sans qu'on n'y puisse rien sinon l'observer, des résultats inférieurs à ceux de la banque traditionnelle... Pourquoi je maintiens ce concept ? Parce que l'idée d'un environnement bancaire sécurisé et en équilibre reste séduisante, malgré les inconvénients. Toute médaille a son revers, rien n'est "idéal"... La BV, comme tout le reste, présente ses avantages et ses inconvénients. Le principal étant qu'il faut y raisonner différemment et se dire qu'on évolue, bon gré, mal gré, dans des environnements instables. Et que cette instabilité inhérente n'a rien à voir avec la notion probabiliste de risque : il n'y a aucune imprédictibilité ici, il y a de l'indétermination.
Parce que, là encore, on est parti du principe que la stabilité "parfaite" existait, ce qui n'est pas le cas : même dans sa phase "solide", les atomes et molécules d'un milieu physique continuent de vibrer/tourner autour de leurs positions d'équilibre, toutes relatives.
Il n'existe pas d'équilibre "absolu" dans la Nature.
On s'est fait à cette fausse idée, une fois de plus, pour se simplifier la vie... C'est devenu une habitude, un mode de pensée : on voit un système ne pas bouger, on se dit qu'il est "stable". On le soumet à perturbation extérieure, il ne bouge toujours pas ou bien retourne rapidement à sa position d'équilibre, on le qualifie de "robuste". Synonyme peu éloigné de "rigide"...
Mais ce n'est qu'une perception d'ensemble. Un médecin légiste va constater une "rigidité cadavérique" tout en sachant qu'à l'échelle cellulaire, une intense activité de décomposition de "mort cellulaire" s'effectue... Derrière l'aspect d'ensemble de "mort", même biologique, il subsiste une forte activité thermodynamique au niveau des composants organiques... qui se traduit vite par des signes extérieurs.
S'il existait des structures réalistes en dimension 1, mais ce n'est pas le cas... Ce que vous appelez "comptabilité traditionnelle" n'est autre que du multi-niveaux dégénéré... Tous les niveaux se confondent en un seul, comme si toutes les dimensions se regroupaient en une seule, ce qui vous donne une impression de stabilité... Dès que vous "levez" cette dégénérescence, dès que vous séparez les niveaux, c'en est fini de la stabilité : ils se mettent à interagir entre eux, parce qu'ils font partie d'une seule et unique entité, ce qui implique un échange perpétuel d'informations.
On voit des "niveaux" uniquement parce qu'on veut se ramener à de la dimension 1, beaucoup plus familière. A quelque chose de connu, de maitrisé.
Alors, on voit de "l'ortho" et du "para". Mais, si chacun de ces niveaux correspondait bien à de la dimension 1, ils devraient obéir à la même arithmétique... et on retrouverait la même multiplication dans tous les RD. Effectivement, on la retrouve : mais sur les amplitudes seulement. Pas sur les phases, qui sont pourtant, comme les amplitudes, des grandeurs de dimension 1... Cela prouve bien que ce ne sont là que des représentations schématiques et que le véritable objet est le nombre "à D composantes" x = (x1,...,xD). Un nombre qui obéit à une règle multiplicative qui change avec la dimension.
Chaque espace RD possède sa propre loi multiplicative. Qui étend celle de tous les autres, de dimensions inférieures.
Celle de R2 englobe celle de R ; celle de R3, celle de R2 et donc aussi, celle de R, par voie de conséquence. Et ainsi de suite. Illustration.
Dans R :
x ×1 y = xy ;
Dans R2 :
x = (|x|2,ksi1) , x' = (|x'|2,ksi'1)
En polaire : x ×2 x' = (|x|2 ×1 |x'|2 , ksi1 + ksi'1)
x ×2 x' = x ×1 x' pour ksi1 + ksi'1 = 0 ou pi seulement ;
En cartésien : x1 = |x|2c1 , x2 = |x|2s1 , x'1 = |x'|2c'1 , x'2 = |x'|2s'1 ,
(x ×2 x')1 = |x|2|x'|2cos(ksi1 + ksi'1) = |x|2|x'|2(c1c'1 - s1s'1) = x1x'1 - x2x'2 ;
(x ×2 x')2 = |x|2|x'|2sin(ksi1 + ksi'1) = |x|2|x'|2(s1c'1 + c1s'1) = x1x'2 + x2x'1 ;
Puisque les angles sont définis à 2pi près, vous voyez bien que (ksi1 = ksi'1 = 0 ou pi) <=> (x2 = x'2 = 0) ramène au produit usuel dans R.
Dans R3 :
x = (|x|3,ksi1,ksi2) , x' = (|x'|3,ksi'1,ksi'2)
En polaire : x ×3 x' = [|x|3 ×1 |x'|3 , ksi1 + ksi'1 , ksi2 + ksi'2]
x ×3 x' = x ×2 x' pour ksi1 + ksi'1 = 0 ou pi seulement ;
x ×3 x' = x ×1 x' pour ksi1 + ksi'1 ET ksi2 + ksi'2 = 0 ou pi ;
En cartésien : x1 = |x|3c1c2 , x2 = |x|3c1s2 , x3 = |x|3s1 ,
x'1 = |x'|3c'1c'2 , x'2 = |x'|3c'1s'2 , x'3 = |x'|3s'1 ,
(x ×3 x')1 = |x|3|x'|3cos(ksi1 + ksi'1)cos(ksi2 + ksi'2)
= |x|3|x'|3(c1c'1 - s1s'1)(c2c'2 - s2s'2)
= |x|3|x'|3c1c'1c2c'2(1 - t1t'1)(1 - t2t'2)
= x1x'1(1 - t1t'1)(1 - t2t'2)
= {1 - x3x'3/[(x1)² + (x2)²]1/2[(x'1)² + (x'2)²]1/2}(x1x'1 - x2x'2)
= {1 - x3x'3/[(x1)² + (x2)²]1/2[(x'1)² + (x'2)²]1/2}(x ×2 x')1 ;
(x ×3 x')2 = |x|3|x'|3cos(ksi1 + ksi'1)sin(ksi2 + ksi'2)
= |x|3|x'|3(c1c'1 - s1s'1)(s2c'2 + c2s'2)
= x1x'1(1 - t1t'1)(t2 + t'2) = (x ×3 x')1(t2 + t'2)/(1 - t2t'2)
= (x ×3 x')1(x2x'1 + x1x'2)/(x1x'1 - x2x'2)
= {1 - x3x'3/[(x1)² + (x2)²]1/2[(x'1)² + (x'2)²]1/2}(x ×2 x')2 ;
(x ×3 x')3 = |x|3|x'|3sin(ksi1 + ksi'1)
= |x|3|x'|3(s1c'1 + c1s'1)
= |x|3|x'|3c1c'1(t1 + t'1) =
= x3[(x'1)² + (x'2)²]1/2 + x'3[(x1)² + (x2)²]1/2 ;
De même : (ksi1 = ksi'1 = 0 ou pi) <=> (x3 = x'3 = 0) ramène au produit dans R2 et (ksi1 = ksi'1 = 0 ou pi) ET (ksi2 = ksi'2 = 0 ou pi), à celui dans R.
Sans compter qu'il est nécessaire de préciser à quelle dimension on prend l'amplitude, puisqu'en dimension 1, |x|1 = |x| ; en dimension 2, |x|2 = [(x1)² + (x2)²]1/2 ; en dimension 3, |x|3 = [(x1)² + (x2)² + (x3)²]1/2 ; et, en dimension D,
|x|D = [Si=1D (xi)²]1/2
avec la relation d'ordre large |x|1 =< |x|2 =< ... =< |x|D. On ne peut donc malheureusement pas écrire qu'en dimension 3, [(x1)² + (x2)²]1/2 est encore égal à |x|2, en raison du fait que, pour D = 3, [(x1)² + (x2)²]1/2 = |x|3|c1|.
Il doit sembler flagrant que le produit est très différent d'une dimension à l'autre. Pour D = 3, par exemple, le produit arithmétique ici présent n'a pas grand chose à voir avec le produit vectoriel, un "amuse-gueule", à côté... :
(x x x')3 = (x1x'2 - x2x'1 , x2x'3 - x3x'2 , x3x'1 - x1x'3)
Vous devez trouver ça surprenant, ce n'est pas ma démarche habituelle : d'ordinaire, quand je réalise qu'un concept présente des inconvénients, je le retire. J'avoue que je me suis concentré sur les aspects équilibre et protection contre les perturbations de marchés. Je n'ai pas du tout pensé aux instabilités inhérentes qui en résulteraient. Il ne faut toutefois pas tout voir en négatif : les instabilités dotent les environnements et les fonctions opérant dans ces environnements de capacités hors de portée d'une "stabilité absolue". Ainsi, même s'il surgit des obstacles aux utilisations pratiques de systèmes multi-niveaux, ces systèmes conservent un intérêt indéniable, qui est celui-ci.
Toute application f d'un RD dans un autre RD, qui à x = (x1,...,xD) = (|x|D,ksi1,...,ksiD-1) associe :
f(x) = [f1(x1,...,xD),...,fD(x1,...,xD)]
= [f1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),...,fD(|x|D,ksi1,...,ksiD-1)]
= [|f|D(x1,...,xD),phi1(x1,...,xD),...,phiD-1(x1,...,xD)]
= [|f|D(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),phi1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1),...,phiD-1(|x|D,ksi1,...,ksiD-1)]
est déjà représentable sous 4 formes différentes, parfaitement équivalentes. Elle est aussi développable en série de puissances de sa variable :
f(x) = Sn=0+oo (fn ×D x×Dn)/(n!,0,...,0)
où la factorielle usuelle,
(n!,0,...,0) = (×D)i=1n (i,0,...,0) = (×1)i=1n (i,0,...,0)
Il est clair que la n-ième puissance de x en dimension D, x×Dn = [(|x|D)n,nksi1,...,nksiD-1) conduira inévitablement à une série de type Fourier multi-phasée : avec fn = (|fn|D,phi1,n,...,phiD-1,n) les valeurs des fn en polaire,
f(x) = Sn=0+oo [|fn|D(|x|D)n/n! , phi1,n + nksi1 ,..., phiD-1,n + nksiD-1]
Le résultat n'est plus "rigide" comme pour D = 1, où toutes les phases sont nulles à pi radians près. Bien au contraire : suivant les valeurs prises par les phases, une même fonction f(x) adoptera des comportements différents et extrêmement variés. Vous ne trouvez pas cela dans les f : R -> R, c'est impossible : chaque fonction, chaque application, y a un rôle bien défini et un comportement unique. La stabilité, c'est bien, mais ça "fige"...
En dimension D >= 2, au contraire, même si vous fixez toutes les phases ksi de la variable, il vous reste encore les phases phi de la fonction... Il faut vraiment fixer les deux ensembles de phases pour retrouver la rigidité de la dimension 1.
Tout n'est donc pas "à jeter" dans les instabilités, même si elles rendent les systèmes inexploitables, même si elles ne peuvent faire que l'objet d'estimations. Il y a tout au moins un intérêt "académique" à les étudier et c'est ce que je vais faire dans les articles suivants, pour les fonctions élémentaires en dimension 2.
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