VEUILLEZ NE PAS TENIR COMPTE DU B 193 INTITULé "ON PEUT UTILISER C A CONDITION", QUI AURAIT DÛ ÊTRE EFFACé DU BLOG, MAIS QUI NE L'A PAS ETE.

Comme vous pouvez le constater, il s'agit d'ailleurs d'un brouillon.

Pourquoi ce blog, pourtant toujours aussi actif, peine-t-il autant à publier de nouveaux articles ?

Parce que j'applique la démarche scientifique habituelle : j'essaie de ramener des choses nouvelles à des choses mieux connues et plus familières. J'ai un cerveau animal doté d'un néo-cortex, je raisonne par analogies.

Nous basons notre raisonnement sur la recherche de nouvelles lois physiques capables d'expliquer les comportements nouveaux. Mais, si TOUT devenait réalisable ? Absolument tout ? Alors, il n'y aurait plus besoin de lois.

J'ai fait une comparaison hier soir. Dans l'ensemble des nombres réels, il y a un "interdit" : les carrés négatifs. Dans R, les carrés de nombres doivent toujours rester positifs ou nuls, en raison de la règle des signes. Il y a une REGLE. Une LOI. Une loi énonce ce qui est réalisable et ce qui ne l'est pas. A contrario, dans l'ensemble des nombres complexes, cet interdit est LEVé : les carrés de nombres sont autorisés à être négatifs. La règle des signes NE S'APPLIQUE PLUS, elle n'a même plus d'objet. La loi régissant R DISPARAIT dans C. Tout nombre y est constructible, envisageable, réalisable. TOUT nombre. Tous ceux de R et tous ceux qui n'existent pas dans R.

Vous pourrez m'objecter qu'il subsiste au moins une loi, celle de la multiplication de deux nombres complexes, qui doit respecter une règle. Mais QUELLE REGLE ? A partir du moment où l'on ACCORDE i² = -1, tout complexe z = x + iy multiplié par un autre, z' = x' + iy', donne AUTOMATIQUEMENT, par la règle de multiplication USUELLE :

zz' = z'z = (x + iy)(x' + iy') = xx' + ixy' + iyx' + i²yy'
                (distributivité de la multiplication vis-à-vis de l'addition)
                                      = xx' - yy' + i(xy' + yx')
                (regroupement des termes communs)

Toutes ces opérations existent déjà dans R. On a juste ajouter la possibilité i² = -1. C'est la seule nouvelle règle qu'il y ait. Mais ce n'est pas une loi, c'est un ELARGISSEMENT. Elle ne fixe plus un interdit, c'est le contraire.

Du coup, je me suis posé la question suivante : si TOUS les nombres sont réalisables dans C, à quoi bon chercher à construire des "hypercomplexes", des nombres "plus vastes que les nombres complexes" ? Les seuls nombres qui soient plus généraux encore que les complexes sont les MATRICES DE COMPLEXES. Dans ces ensembles M_n(C) avait été posée une règle drastique, celle du produit matriciel, heureusement levée par le produit holoriel, car elle imposait la perte de commutativité (et même d'associativité, comme dans le cas des algèbres de Lie).

Le produit zz' de deux complexes n'est pas une règle, c'est un MECANISME. Un mécanisme ne fixe aucun interdit, il explique comment les choses s'articulent.

De l'arithmétique à la physique, il n'y avait qu'un pas. Une "interpolation", dirons-nous. Le "classique", c'est de la géométrie réelle. Le "quantique", c'est de la géométrie complexe. On fait un rapprochement : si des interdits sont fixés en physique classique (et ils sont nombreux !), ces interdits, ces "lois physiques" et autres "règles de sélection", SONT CERTAINEMENT LEVéS EN PHYSIQUE QUANTIQUE. Et, là aussi, les exemples abondent.

J'en ai déjà parlé : vous coupez un corps solide en deux, vous obtenez deux moitiés de corps ; vous coupez une onde en deux, vous la dédoublez. En ondulatoire, DIVISER par deux revient à MULTIPLIER par deux... C'est paradoxal mais c'est comme ça. Le paradoxe en question est CLASSIQUE. Il n'y a pas de paradoxe en quantique.

Vous envoyez une particule quantique contre une barrière de potentiel infranchissable. La particule se DEMATERIALISE, TRAVERSE la barrière et se REMATERIALISE à la sortie. On a fait le distinguo entre la particule en amont et une "quasi-particule" en aval. Parce qu'on avait du mal à se représenter une capacité typiquement quantique de se dématérialiser pour se rematérialiser ensuite à l'identique. Mais ce n'est PAS un "exciton", un état excité de la particule de départ : C'EST LA MÊME PARTICULE. Si la barrière est assez fine, cette particule a le don D'UBIQUITé : se trouver à deux endroits à la fois. Si vous y ajoutez le concept de temps, elle pourra même se trouver A DEUX INSTANTS DIFFERENTS A LA FOIS. En physique classique, si vous vous trouvez simultanément dans le passé ET dans le futur, c'est que vous ne pouvez vous trouver qu'au présent. En physique quantique, vous pouvez être A LA FOIS dans le passé ET dans le futur SANS POUR AUTANT VOUS TROUVER DANS LE PRESENT. Classiquement, cette faculté donne lieu à des paradoxes temporels inextricables. Pas en quantique. En quantique, vous pouvez modifier le passé et le futur sans que cela ne génère de paradoxes. C'est peut-être difficile à conceptualiser, mais c'est comme ça.

La physique classique, c'est aussi le domaine de la matière VISQUEUSE. Plus la physique quantique, qui mêle matière visqueuse et matière NON visqueuse. La visqueuse y apparaît "particulaire" ; la non visqueuse, "ondulatoire". La première est le siège de frottements, engendrant la dissipation de l'énergie et l'usure du matériau. La seconde ne présente pas ces inconvénients. Comme conséquence immédiate de cette différence essentielle entre les deux formes de matière, la compacte et la non compacte, la particule matérielle et l'onde de matière, le mouvement perpétuel est INTERDIT pour la visqueuse, AUTORISé pour la non visqueuse.

La cohérence et la décohérence,... je vous l'ai dit : les exemples ne manquent pas, de tous les interdits imposés par la classique LEVéS par la quantique. La causalité (irréversibilité de la flèche du temps), le déplacement dans l'espace (la "téléportation", c'est un mode de déplacement typiquement quantique où l'on se rend d'un point à un autre SANS BOUGER), les systèmes AUTO-REGENERATIFS, etc, etc, etc.

Tout ça n'est pas de la magie, c'est de la physique. C'est observé tous les jours dans les labos. On sort des particules "ex nihilo" en comprimant le vide quantique... Classiquement, cela reviendrait à créer de la substance à partir du néant...

Alors, je tourne et je vire à essayer de me représenter mentalement à quoi peut bien ressembler une "dimension quantique", de manière à me faire une idée du cadre. Je vois bien l'objet en question :

x = |x|e^iksi  

mais je ne fais pas LA BONNE DEDUCTION. Parce que je me suis efforcé de le ramener à une notion classique beaucoup plus familière. Je suis donc même allé jusqu'à envisager l'existence d'une "dimension interne", disons y, telle que la phase :

ksi = 2piy/r_pl  

soit le rapport d'une distance y dans cette dimension au rayon de Planck. Mais ce raisonnement est CLASSIQUE : |x| comme y représentent des dimensions CLASSIQUES (ce sont des nombres REELS)... Je ne vois pas l'objet x tel qu'il est en réalité : non plus une dimension, mais seulement UN SIGNAL DE DIMENSION...

IL N'Y A MÊME PLUS, A PROPREMENT PARLER (i.e. au sens classique du terme), DE DIMENSION EN QUANTIQUE, IL N'Y A PLUS QU'UN SIGNAL INDIQUANT LA PRESENCE D'UNE DIMENSION...

C'est pour ça que les "composantes classiques" :

x⁰ = |x|cos(ksi)  et  x¹ = |x|sin(ksi)

peuvent aller jusqu'à s'annuler ; la première, en ksi = pi/2 et 3pi/2 radians ; la seconde, en 0 et pi radians. Parce que ce ne sont plus des dimensions "rigides" au sens classique du terme. ON NE PEUT MÊME PLUS APPELER CELA DES "DIMENSIONS" ! Ce sont des SIGNAUX. Et un champ F(x) transforme le "signal dimensionnel" en un signal d'une autre nature... On n'a plus affaire qu'à des signaux, des informations. En physique quantique, il n'y a plus ni espace, ni temps, ni matière, il n'y a que des signaux spatiaux, temporels et matériels. Qui peuvent être compactifiés et décompactifiés. Placés en cohérence ou, au contraire, décohérés. L'espace tel qu'on l'observe autour de nous est CLASSIQUE. C'est une version "compactifiée" du SIGNAL d'espace. Il n'est même pas question de déformation, ça n'a rien à voir, en fin de compte, avec une courbure de l'espace conventionnel. C'est pour ça qu'en tentant cette approche, la RG me renvoyait invariablement une courbure NULLE... Je me disais : "mais c'est aberrant ! on voit bien que l'espace ondule et la géométrie de Riemann m'affirme qu'il reste plan...". Maintenant, je comprends : j'ai tenté une description CLASSIQUE... échec garanti. En voici d'ailleurs une preuve mathématique. L'équation du cercle de rayon r fixé est :

x² + y² = r²

Si vous posez que r = 0, vous vous retrouvez face à une situation géométriquement singulière, celle d'un cercle de rayon nul. L'approche classique fondée sur les nombres réels dit que l'unique solution à x² + y² = 0 est le point (x = 0, y = 0). L'approche quantique fondée sur les complexes dit qu'il existe UNE TOUTE AUTRE SOLUTION, qui est y = +/-ix. Et, en effet, si vous prenez x et y complexes, l'équation de votre cercle complexe de rayon (complexe) nul (i.e. d'amplitude nulle) est (en polaire) :

|x|²e^2iksi + |y|²e^2iups = 0

entraînant de facto,

|y| = |x|   (quantités réelles non négatives)
ups = ksi +/- pi/2

Ce sont les solutions NON NULLES (donc, non réduites à un point) de x² + y² = 0. Elles sont inaccessibles au classique et même interdites. Conclusion :

A partir du moment où TOUT est résoluble, alors TOUT devient réalisable. Ce n'est plus qu'une question de production de signaux et de transformations de signaux en d'autres, de même nature ou de nature différente.

Et là, on rejoint la magie, où TOUT est possible... :)


 

A l'instar de ce que nous avions noté dans B187 au sujet de M₂(R), l'algèbre M₂(C) des matrices 2x2 à coefficients complexes est plus vaste que l'espace quantique C⁴. Nous allons donc commencer par apporter des compléments à M₂(R) qui ne figurent pas dans cette algèbre, mais dans M₂(C). C'est essentiellement relatif aux puissances fractionnaires des unités s¹ et s⁰. On note tout de suite une circonstance fort générale : toute matrice de la forme,

M = as⁰ + bs¹ + c(s¹)²

a pour carré,

M² = 2acs⁰ + 2bcs¹ + (b² + c² - a²)(s¹)²

étant donné que s⁰ et s¹ anti-commutent. Par conséquent, on ne pourra avoir M² = s¹ (resp. s⁰) que ssi a = 0 (resp. b = 0) et b² + c² = 0 (resp. c² - a² = 0). Autrement dit :

(1a)     Mⁿ = s¹   =>   M = a_n(s¹)² + b_ns¹  
(1b)     Mⁿ = s⁰   =>   M = a_n(s¹)² + b_ns⁰  

pour tout n dans N*, avec a_n et b_n dans C. Toute autre combinaison ferait apparaître s⁰ dans (1a) et s¹ dans (1b), en raison du fait que (s⁰)² = -(s¹)² => (s⁰)³ = -s⁰ et (s⁰)²s¹ = -s¹.

On démarre avec les racines n-ièmes de s¹. On a :
 
M_n = a_n(s¹)² + b_ns¹  =>  M_nⁿ = S_p=0ⁿ C_pⁿa_n^n-pb_n^p(s¹)^p  

M_2n²ⁿ = S_p=0²ⁿ C_p²ⁿa_2n^2n-pb_2n^p(s¹)^p = [S_p=0ⁿ C_2p²ⁿa_2n^2n-2pb_2n^2p](s¹)² +
            + [S_p=0^n-1 C_2p+1²ⁿa_2n^2n-2p-1b_2n^2p+1]s¹ 
          = ½ [(a_2n + b_2n)²ⁿ + (a_2n - b_2n)²ⁿ](s¹)² + ½ [(a_2n + b_2n)²ⁿ - (a_2n - b_2n)²ⁿ]s¹  

M_2n+1²ⁿ⁺¹ = S_p=0²ⁿ⁺¹ C_p²ⁿ⁺¹a_2n+1^2n+1-pb_2n+1^p(s¹)^p  
                = [S_p=0ⁿ C_2p²ⁿ⁺¹a_2n+1^2n+1-2pb_2n+1^2p](s¹)² +
                   + [S_p=0^n-1 C_2p+1²ⁿ⁺¹a_2n+1^2n-2pb_2n+1^2p+1]s¹   
                = ½ [(a_2n+1 + b_2n+1)²ⁿ⁺¹ + (a_2n+1 - b_2n+1)²ⁿ⁺¹](s¹)² +
                   + ½ [(a_2n+1 + b_2n+1)²ⁿ⁺¹ - (a_2n+1 - b_2n+1)²ⁿ⁺¹]s¹  

soit,

(1c)     M_nⁿ = ½ [(a_n + b_n)ⁿ + (a_n - b_n)ⁿ](s¹)² + ½ [(a_n + b_n)ⁿ - (a_n - b_n)ⁿ]s¹  

Pour avoir M_nⁿ = s¹, il faut donc que :

(a_n + b_n)ⁿ = -(a_n - b_n)ⁿ   et   (a_n + b_n)ⁿ = (a_n - b_n)ⁿ + 2

c'est-à-dire,

(a_n + b_n)ⁿ = 1   et   (a_n - b_n)ⁿ = -1

Il en découle,

a_n + b_n = e^2ipi/n   et   a_n - b_n = e^ipi/n  

Par conséquent :

(1d)     (s¹)^1/n = ½ [(e^2ipi/n + e^ipi/n)(s¹)² + (e^2ipi/n - e^ipi/n)s¹]
(1e)     Tr[(s¹)^1/n] = e^2ipi/n + e^ipi/n  ,  Det[(s¹)^1/n] = e^3ipi/n  ,  Diag[(s¹)^1/n] = (e^2ipi/n,0,0,e^ipi/n)

Pour n = 1, on retrouve bien Tr(s¹) = 0, Det(s¹) = -1 et Diag(s¹) = s². Pour n = 2, on trouve :

(1f)     (s¹)^1/2 = -½ [(1 - i)(s¹)² + (1 + i)s¹]
         Tr[(s¹)^1/2] = -(1 - i)  ,  Det[(s¹)^1/2] = -i  ,  Diag[(s¹)^1/2] = (-1,0,0,i)
(1g)     [(s¹)^1/2]* = -½ [(1 + i)(s¹)² + (1 - i)s¹] = (s¹)^3/2  
          Tr{[(s¹)^1/2]*} = -(1 + i)  ,  Det{[(s¹)^1/2]*} = -i  ,  Diag{[(s¹)^1/2]*} = -(1,0,0,i)

Les diagonalisées de la racine carrée de s¹ et de sa conjuguée redonnent, au signe près, les unités de C.

A comparer à 1^1/2 = +/-1 chez les réels. Les matrices (1d) étant toutes inversibles,

(1h)     (s¹)^-1/n = [(e^2ipi/n + e^ipi/n)(s¹)² - (e^2ipi/n - e^ipi/n)s¹]/2e^3ipi/n  
                     = ½ [(e^-2ipi/n + e^-ipi/n)(s¹)² + (e^-2ipi/n - e^-ipi/n)s¹]
                     = [(s¹)^1/n]*

Pour les racines n-ièmes de s⁰ :

M_2n²ⁿ = S_p=0²ⁿ C_p²ⁿa_2n^2n-pb_2n^p(s⁰)^p = [S_p=0ⁿ C_2p²ⁿa_2n^2n-2p(-1)^pb_2n^2p](s¹)² +
            + [S_p=0^n-1 C_2p+1²ⁿa_2n^2n-2p-1(-1)^pb_2n^2p+1]s⁰   
         = [S_p=0ⁿ C_2p²ⁿa_2n^2n-2p(ib_2n)^2p](s¹)² - i[S_p=0^n-1 C_2p+1²ⁿa_2n^2n-2p-1(ib_2n)^2p+1]s⁰   
          = ½ [(a_2n + ib_2n)²ⁿ + (a_2n - ib_2n)²ⁿ](s¹)² - ½ i[(a_2n + ib_2n)²ⁿ - (a_2n - ib_2n)²ⁿ]s⁰ 

Idem pour M_2n+1²ⁿ⁺¹. Donc :

(2a)     M_nⁿ = ½ [(a_n + ib_n)ⁿ + (a_n - ib_n)ⁿ](s¹)² - ½ i[(a_n + ib_n)ⁿ - (a_n - ib_n)ⁿ]s⁰  

Pour avoir M_nⁿ = s⁰, il faut, cette fois, que :

(a_n + ib_n)ⁿ = -(a_n - ib_n)ⁿ   et   (a_n + ib_n)ⁿ = (a_n - ib_n)ⁿ + 2i

c'est-à-dire,

(a_n + ib_n)ⁿ = i   et   (a_n - ib_n)ⁿ = -i

Il en découle,

a_n + ib_n = e^ipi/2n   et   a_n - ib_n = e^-ipi/2n  

En conséquence :

(2b)     (s⁰)^1/n = ½ [(e^ipi/2n + e^-ipi/2n)(s¹)² - i(e^ipi/2n - e^-ipi/2n)s⁰]
                     = cos(pi/2n)(s¹)² + sin(pi/2n)s⁰  
(2c)     Tr[(s⁰)^1/n] = 2cos(pi/2n)  ,  Det[(s⁰)^1/n] = 1  ,  Diag[(s⁰)^1/n] = (e^ipi/2n,0,0,e^-ipi/2n)

Contrairement aux racines de s¹, qui sont toutes dans M₂(C), celles de s⁰ restent toutes dans M₂(R). Assez pittoresque de constater que (s¹)^1/n est complexe dès n = 2, alors que s1 joue le rôle de 1 dans R, tandis que (s⁰)^1/n reste réelle, alors que s⁰ joue le rôle de i dans C. On note également que toutes les racines entières de s⁰ ont déterminant +1. Leurs inverses sont donc :

(2d)     (s⁰)^-1/n = cos(pi/2n)(s¹)² - sin(pi/2n)s⁰  

Soit maintenant e_A le covecteur de composantes (1,i). Si x est une quantité complexe, alors x = e_Ax^A = x⁰ + ix¹ et on a :

x² = e_Ae_Bx^Ax^B = (s²_AB + is¹_AB)x^Ax^B  
|x|² = e_Ae*_Bx^Ax^B = (s³_AB - is⁰_AB)x^Ax^B = s³_ABx^Ax^B  

par antisymétrie de s⁰, qui montre que,

(3a)     e_Ae_B = s²_AB + is¹_AB  ,  e_Ae*_B = s³_AB - is⁰_AB  

Le covecteur e_A est donc isotrope et d'amplitude 2^½ :

(3b)     s₃^ABe_Ae_B = e_Ae^A = 0  ,  s₃^ABe_Ae*_B = e_Ae*^A = 2

Une position dans C⁴ peut donc être répertoriée par :

(3c)     xⁱ = e_Cx^Ci = 2^-½sⁱ_ABx^AB = 2^-½e_Csⁱ_ABx^C,AB  

avec les x^Ci réels et les x^C,AB dans M₂(R) x_c M₂(R). Il en résulte que :

(3d)       x^AB = e_Cx^C,AB  

est une position dans M₂(C). La structure de cette algèbre est néanmoins plus riche que celle de C⁴, d'une part, parce que la matrice position [x] possède deux invariants (sa trace et son déterminant, tous deux a priori complexes) et, d'autre part, que le produit holoriel est beaucoup plus général que le produit de nombres (qu'il soit réel ou même complexe). On a, de ce fait, tout intérêt à s'immerger dans M₂(C) plutôt que dans C⁴ pour analyser la situation avec plus d'acuité. En effet :

(3e)     x^ABx_BC = (x²)^A_C = e_De^Ex^D,ABx_E,BC = (s² + is¹)_D^Ex^D,ABx_E,BC  

ne donne déjà plus un unique carré complexe, mais une matrice de carrés complexes. En développant les matrices position [x^C] sur la base des unités de M₂(R),

[x^C] = a^Cs⁰ + b^Cs¹ + c^Cs⁰s¹ + d^C(s¹)²

on aura,

[x] = as⁰ + bs¹ + cs⁰s¹ + d(s¹)²

avec a = e_Ca^C, b = e_Cb^C, c = e_Cc^C et d = e_Cd^C dans C, d'où, déjà :

(3f)     [x]² = (-a² + b² + c² + d²)(s¹)² + c(2d - a)s⁰s¹ + (2bd - ac)s¹ + 2ads⁰   
(3g)     Tr([x]²) = 2(-a² + b² + c² + d²) = 2[(ia)² + b² + c² + d²]

Ensuite, on utilise la propriété des invariants de matrices 2x2,

Tr([x]²) = Tr²([x]) - 2Det([x]) => Det([x]) = ½ {Tr²([x]) - Tr([x]²)}

pour obtenir directement :

(3h)     Det([x]) = a² + d² - (b² + c²)   et   Det([x]²) = Det²([x]).

Ainsi, en place du carré invariant complexe xⁱx_i dans C⁴ se retrouve-t-on avec (3g) + (3h). Un gain notable d'informations géométriques, complètement masquées dans C⁴.

L'intérêt des "sous-structures" spinorielles... :)

Le fait d'avoir affaire à des coefficients matriciels complexes permet d'identifier -a² au carré du a déphasé de pi/2 radians. Plus besoin de distinction entre un "genre espace" et un "genre temps". Quant à Det²([x]), il est généralement complexe et n'a donc, à ce titre, plus aucune raison d'être >= 0.

On s'aperçoit également d'autre chose. Dans C⁴, le produit xⁱx*_i donne l'impression que l'amplitude du vecteur x est réelle, puisque son carré est somme de 4 carrés d'amplitudes. Dans M₂(C), en revanche, le produit contracté de la matrice [x] avec sa conjuguée [x*] = [x]* est généralement complexe et, même si l'on ne retient que la partie réelle de ce produit pour définir "le carré de la matrice amplitude" [|x|]² = ½ ([x][x*] + [x*][x]), la "matrice amplitude" [|x|] = ([|x|]²)^½, racine carrée de [|x|]², reste généralement complexe : l'exemple de s¹ est caractéristique. Ainsi :

Dans M₂(C), les amplitudes quantiques sont quantiques.

Ce constat remet complètement en cause la notion "d'amplitude". C⁴ donne une fausse idée de la chose : la représentation vectorielle dit "|x|² = Id_ijxⁱx*^j >= 0, donc |x| est réelle, en raison du fait que C⁴ est euclidien", la représentation matricielle dit le contraire. Il ne sert donc plus à rien d'essayer de passer en "diagrammes amplitudes - phases", ça ne fera que compliquer les calculs, vu que le produit holoriel est une somme de composantes. A noter qu'en plus de [|x|]², on a encore, dans M₂(C), le commutateur ½ ([x][x*] - [x*][x]) de [x] et de sa conjuguée, qui n'a aucune raison d'être nul en général et qui apporte une information supplémentaire qui n'apparait évidemment pas dans C⁴.

Je ne vais pas m'apesantir plus longuement sur ces aspects, ça ferait un trop long article. Nous allons plutôt passer à la première application de ces résultats.

Non. Et ce qui me permet d'être aussi affirmatif, c'est que ce n'est pas ce que nous disent, ni les mathématiques, ni la physique. Les physiciens le savent très bien. Même s'ils se sont par la suite spécialisés en bio- et neuro-physique, le tronc commun comporte quand même l'étude de la physique quantique.

Je suis d'accord avec celles et ceux qui réfutent l'idée de se faire taxer de "matérialisme". Cessons ce schisme. C'est un faux débat. Que l'on soit médecin réanimateur, spécialiste du comportement ou "spiritualiste", nous sommes tous d'accord sur les FAITS CLINIQUES. C'est sur leur INTERPRETATION que nous divergeons : les "matérialistes" estiment qu'en recréant les conditions d'une EMI "naturelle", on démontre que les "constantes universelles" ne sont que des "productions fantasmagoriques" d'un cerveau placé en conditions "toxiques" et n'ont aucune réalité autre que celles d'objets mentaux fruits de l'imagination du patient. En d'autres termes, que l'EMI se résume à un ensemble de processus BIOLOGIQUES de type "TOXICOLOGIQUE". Les "spiritualistes" rétorquent que non, c'est, au contraire, l'ouverture sur "un autre monde".

Je suis désolé, mais ce sont bel et bien les "spiritualistes" qui ont raison : quand vous replacez le SNC en situation d'EMI, vous le REOUVREZ sur le "monde quantique". Et, en pensant autrement, vous risquez de passer à côté de quelque chose d'essentiel.

On va reprendre les principes de la physique des ondes.

Lorsque vous superposez un nombre quelconque d'ondes :

(1)     x_n(ksi₀) = |x|_nexp(inksi₀)

où n est un entier signé et ksi₀ une phase, vous obtenez une onde résultante,

(2)     [x(ksi₀)][ksi(ksi₀)] = |x|(ksi₀)exp[iksi(ksi₀)] = S_n x_n(ksi₀)

dont l'amplitude est donnée par,

(3)     |x|²(ksi₀) = S_nS_n' |x|_nexp(inksi₀)|x|_n'exp(-in'ksi₀)
                      = S_n (|x|_n)² + 2S_nS_n'<>n |x|_n|x|_n'cos[(n - n')ksi₀]

et la phase, par

(4)     tan[ksi(ksi₀)] = [S_n |x|_nsin(nksi₀)]/[S_n |x|_ncos(nksi₀)]

Amplitude et phase varient suivant la valeur donnée à la phase initiale ksi₀. Au niveau de l'amplitude résultante apparaissent des interférences de nature ondulatoire. Au niveau de la phase résultante, on constate un effet de distortion.

Ça, ce sont des résultats LOCAUX, établis pour CHAQUE valeur de ksi₀. C'est-à-dire que leur domaine de validité est MICROSCOPIQUE.

Mais, si vous prenez LA MOYENNE de (3) sur un tour complet de cercle, vous obtenez un nombre indépendant de ksi₀, autrement dit, une "constante topologique" :

(5)     (2pi)^-1S₀^2pi |x|²(ksi₀)dksi₀ =
         = (2pi)^-1S₀^2pi {S_n (|x|_n)² + 2S_nS_n' |x|_n|x|_n'cos[(n - n')ksi₀]}dksi₀  
         = S_n (|x|_n)² + 2(2pi)^-1S₀^2pi {S_nS_n' |x|_n|x|_n'cos[(n - n')ksi₀]}dksi₀ 
         = S_n (|x|_n)² + 2(2pi)^-1{S_nS_n' |x|_n|x|_n'sin[(n - n')ksi₀]/(n - n')}₀^2pi  
         = S_n (|x|_n)² = < |x|²(ksi₀) > = |x|²

et les termes d'interférence DISPARAISSENT parce qu'ils se détruisent alors mutuellement.

Voilà un résultat GLOBAL, établi POUR TOUTES LES VALEURS DE ksi₀ et dont le domaine de validité est MACROSCOPIQUE.

Tout cela est bien connu des physiciens depuis près de deux siècles et a même donné lieu à une méthode, celle dite de la théorie du champ moyen. Une méthode d'ailleurs considérée comme "approximative" au sens où elle ne tient pas compte des fluctuations (des changements) autour de la valeur moyenne.

Pourquoi serait-elle "approximative" ? On en vient à notre propos : parce que, tant qu'un système physique est en mode de fonctionnement "normal", "nominal", le modèle se justifie ; par contre, lorsqu'il se retrouve en mode "anormal", des EFFETS DE COHERENCE apparaissent, qui AMPLIFIENT les fluctuations et les TRANSFERENT du niveau microscopique au niveau MACROSCOPIQUE. Là, le modèle de champ moyen TOMBE EN DEFAUT. C'est normal.

C'est de la physique statistique bien connue depuis Boltzmann : là non plus, rien de nouveau. Les ondes, qui se trouvent au départ distribuées de manière totalement aléatoire ("incohérente"), prennent une "orientation" commune déterminée, c'est la "cohérence d'états".

Le fait est qu'à l'échelle microscopique, |x|(ksi₀) ne représente que l'amplitude du signal résultant en chaque valeur de la phase initiale. A proprement parler, CE N'EST PAS CE QUI EST MESURABLE. Ce qui est mesurable, c'est l'intensité du signal résultant et elle est donné par (5). D'ailleurs, le praticien se fiche de connaître l'ensemble des fluctuations d'un signal, ce qui l'intéresse avant tout, c'est sont intensité. La tendance moyenne de toutes ses amplitudes. Il ne commencera à s'intéresser aux fluctuations elles-mêmes que lorsque celles-ci se mettront à adopter un comportement collectif. Tant qu'elles restent au niveau microscopique, elles sont négligeables.

Quel est le lien avec notre propos ?

Ça me paraît clair : tant que vous allez analyser l'activité cérébrale d'un patient en conditions normales de fonctionnement, vous n'allez trouver que du "classique". Statistique, peut-être, mais classique. Les rythmes cérébraux n'ont rien à voir là-dedans. Ils ne font que traduire, macroscopiquement, un mode d'activité cérébrale. C'est justement dans ce cadre-là que vous pourrez parler "d'effets hallucinatoires" en rythmes alpha ou thêta. Mais, dès que vous allez reproduire les conditions d'une EMI, en abaissant la température corporelle, en ralentissant le pouls, en plaçant le patient en état d'oxygènation raréfiée ou d'hypo-glycémie sévère, vous allez forcer le SNC à adopter un comportement CRITIQUE, vous allez le sortir de ses conditions normales de fonctionnement. Si le patient se trouve en arrête cardio-respiratoire, ses rythmes cérébraux vont S'ESTOMPER jusqu'à DISPARAITRE : donc, ils ne peuvent pas être en cause...

Alors, que va-t-il se passer ?

Ce que nous disent les mathématiques, c'est que l'animal n'est pas plongé dans un espace classique R⁴ de dimension 4, mais dans un espace QUANTIQUE C⁴, de même dimension. Et je vais même vous en apporter une preuve supplémentaire.

Dans les espaces physiques de spins demi-entiers, comme C², C⁸,... les points de l'espace obéissent à la statistique de Fermi-Dirac et ne peuvent donc former un continuum que si ET SEULEMENT SI ils peuvent s'associer en PAIRES DE COOPER : ces espaces doivent reproduire les conditions des "superfluides". Deux points voisins, considérés comme des "particules d'espace" doivent se trouver EN OPPOSITION DE SPIN pour pouvoir s'associer et reproduire une "particule de Bose". Ensuite, pour AGGLOMERER ces "paires de Cooper", il faut des conditions drastiques : température ambiante extrêmement proche du 0 Kelvin, pressions cosmologiques gigantesques, des conditions de ce genre. Seules de pareilles conditions peuvent permettre de créer des COHERENCES D'ETATS et créer un continuum spatial. Sinon, ces espaces restent DISCONTINUS.

Tout le contraire se passe pour les espaces de spin ENTIERS, comme C⁴, C¹⁶,... qui, eux, obéissent à la statistique de Bose-Einstein et n'ont pas besoin de telles conditions pour former NATURELLEMENT des continuums spatiaux, par "condensation de Bose". Or, C⁴ est de spin 1, au contraire de R⁴, qui est isomorphe à C² et donc, de spin ½. Ainsi, si l'on tient compte du "spin universel", comme les mathématiques ET la physique nous invitent très fortement à le faire, on se rend compte que l'espace classique à 4 dimensions serait DISCONTINU, sauf s'il était soumis à des conditions démentielles. Et seulement sous de telles conditions pourrait apparaître un continuum A GRANDE ECHELLE. Ce n'est clairement pas ce que l'on peut observer tout autour de nous : il faudrait procéder par SAUTS pour se rendre d'un point à un autre... ce n'est pas le cas.

Ce qui se produit, en réalité, c'est que la structure C⁴ est MICROSCOPIQUE : LOCALEMENT, vous avez des diagrammes amplitudes - phases. Et c'est d'ailleurs ce que prônait la "mécanique ondulatoire" avant la découverte des états cohérents : que la théorie des quanta AFFINERAIT les résultats établis en physique classique, en précisant le fonctionnement des systèmes au niveau MICROSCOPIQUE. C'est surtout la découverte du laser, issue des travaux théoriques d'Einstein sur le rayonnement de photons (1905), qui a fait apparaître cette notion "d'états cohérents". GLOBALEMENT, on constate que C⁴ SE REDUIT A R⁴, parce que les interférences ondulatoires S'AUTO-DETRUISENT. C'est encore et toujours, sous de multiples versions, le fameux problème de "l'effrondrement du paquet d'ondes", la "réduction de la mesure quantique".

Par conséquent, si les effets quantiques sont perceptibles AU NIVEAU DE LA CELLULE NERVEUSE, ils disparaissent AU NIVEAU DU SNC. Une première "salve auto-destructrice" se produit au niveau du groupe de neurones, elle s'accentue au niveau supérieur de l'assemblée de neurones pour disparaître totalement à l'échelle du cerveau et, a fortiori, du système nerveux dans son ensemble (cerveau + système moteur).

C'EST L'INTER-CONNEXION DES NEURONES QUI DETRUIT LES INTERFERENCES.

Et cela pourrait expliquer pourquoi les enfants semblent plus "réceptifs" aux phénomènes dits "paranormaux".

On sait très bien que les enfants se construisent un imaginaire et que cela est même bénéfique à leur développement intellectuel : compagnons de jeux imaginaires, scènes ludiques imaginaires, etc. Il n'en reste pas moins que, sur le plan neuro-biologique, si le système nerveux est complet dès la naissance, les neurones au sein du SNC ONT ENCORE BESOIN DE S'INTER-CONNECTER. Et ce processus de complétion prend, en moyenne, 7 ans. Donc, entre 0 et 7 ans, des interférences ondulatoires, i.e. des effets "quantiques" SUBSISTENT. A L'INTERIEUR DU CERVEAU. En d'autres termes, l'enfant est PLUS EN CONTACT AVEC C⁴ QUE L'ADULTE. Mais il est encore bien trop jeune pour l'interpréter (même chez l'adulte, c'est loin d'être évident. Alors...). Il peut être amené à développer des "peurs infantiles" parce qu'ils ne comprend pas ce contact avec l'univers quantique.

Je donne l'air d'extrapoler ? Pas tant que ça : lorsque vous provoquez volontairement des COHERENCES D'ETATS au sein de la machinerie cérébrale, c'est VOUS qui interprétez ça comme autant de "comportements pathologiques". Or, si ces comportements paraissent effectivement SIMILAIRES à de la schizophrénie, vous ne retrouvez PAS les dysfonctionnements biologiques inhérents à cette classe de maladies.

Je sais bien que la définition légale de la "mort clinique" peut différer d'un pays à l'autre, mais quand vous n'avez plus de signal sur votre IRM cérébral et que le patient vous rapporte les mêmes constantes que les autres à son réveil, vous ne pouvez pas vous limiter à mettre ça sur "la biochimie du cerveau". Vous avez en fait créés un CONDENSAT BOSIEN qui a permis le transfert de processus ONDULATOIRES du neurone au système nerveux tout entier. Vous avez donc bien OUVERT le patient sur C⁴. Et, pendant son "expérience", il rencontre des "Etres de Lumière". Il a des visions RAYONNANTES : c'est normal, il se retrouve plongé dans un espace DE RAYONNEMENT... Vous lui avez fait quitté un espace DE MATIERE...

La question n'est pas là. Elle est d'essayer de comprendre comment les choses fonctionnent DANS C⁴. Parce que c'est ça le véritable univers.

Vous oubliez aussi une chose, au passage : que le cerveau animal est une FRACTALE CIRCONVOLUEE. Du coup, lorsque vous allez le placer en situation "critique", les effets quantiques éminemment locaux vont se diffuser BEAUCOUP PLUS FACILEMENT au niveau macroscopique en raison du fait que le système cérébral est CHAOTIQUE... Vous allez donc passer très rapidement d'une logique chaotique classique à une logique chaotique quantique...

Un mode de raisonnement complètement différent, avec des percepts, concepts et objets de mémoire complètement différents. Mais qui n'ont rien D'ARTIFICIEL, contrairement à ce que vous pourriez penser.

Si vous pensez comme ça, ce n'est pas compliqué : vous entrez inévitablement en conflit direct avec la physique ondulatoire et la physique du chaos. Ce n'est pas le fait d'injecter du "machin truc bidule" dans les veines du patient qui va le faire "délirer" : tout comme les psychotropes ouvrent sur "une autre réalité perceptive", BIOCHIMIQUE celle-là, les EMIs "contrôlées" ouvrent sur la réalité QUANTIQUE. On va AU-DELà, si je puis dire, des simples processus biochimiques.

Ou, si vous préférez en rester à ce type de processus, on passe à de la biochimie QUANTIQUE.

Du côté de la géométrie, on le voit tout de suite en comparant (2) à (5) : LOCALEMENT, vous êtes en présence d'une géométrie COMPLEXE, donnée par le carré,

(6)     [x(ksi₀)]²[ksi(ksi₀)] = [S_n x_n(ksi₀)]² = [S_n |x|_nexp(inksi₀)]²
         = S_n (|x|_n)²exp(2inksi₀) + 2S_nS_n'<>n |x|_n|x|_n'exp[i(n + n')ksi₀] ;

GLOBALEMENT, vous passez à une géométrie HERMITIENNE, donnée par,

(7)     < |x|²(ksi₀) > = S_n (|x|_n)² ,

la conjugaison complexe,

(8)     [x(ksi₀)]*[ksi(ksi₀)] = [x(ksi₀)][-ksi(ksi₀)]

assurant la symétrie miroir. La différence est flagrante : la topologie locale est quantique ; la topologie globale est classique. On voit bien la DEQUANTIFICATION lors du passage du niveau microscopique de description au niveau macroscopique. Pas besoin d'arguments sophistiqués pour cela.

Je souhaiterais conclure cette discussion en alertant la communauté comportementaliste sur un point.

Le passage du classique au quantique révèle que le concept de "polarité" est "subsidiaire" : la vision classique donne un sens du "positif" et du "négatif", c'est la question du signe. Rien de tel n'existe dans le monde quantique : on n'y a à faire qu'à des phases et des oppositions de phases. Il n'y a pas plus de "positif" que de "négatif", il n'y a que des valeurs et des valeurs opposées. C'est loin d'être du pinaillage : IL N'EXISTE, A PROPREMENT PARLER, AUCUN CONCEPT DE "BIEN" NI DE "MAL" DANS LE MONDE QUANTIQUE, AU CONTRAIRE DU MONDE CLASSIQUE.

Partout où cela est éthiquement et légalement autorisé, vous pratiquez des "simulations" de "mort clinique" sur des volontaires. Vous tentez de reproduire artificiellement les phénomènes rapportés lors d'EMIs "spontanées". Néanmoins, vous ne savez jamais A L'AVANCE si l'expérience en question sera "positive" ou "négative". Or, nous venons de le voir, ce que vous pensez être "artificiel" est, en réalité, BIEN REEL. Les stimuli biochimiques que vous envoyez dans l'organisme animal pour le remettre en état d'EMI ne se réduisent PAS à de simples "simulations". VOUS OUVREZ DES PORTES.

Je vous suggèrerais donc de prendre garde à ce que vous faites. Car vous pouvez tout aussi bien ouvrir des portes sur le "positif", sur des valeurs "en phase", comme sur le négatif, sur des valeurs "EN OPPOSITION de phase", même si ces dernières s'avèrent plus rares que les premières. Vous ne savez pas ce qui se trouve "derrière" parce que vous n'avez aucune idée de la manière dont fonctionnent les choses dans C⁴. Vous expérimentez "à l'aveugle". Tout ce que vous savez, c'est ce que vous rapportent les volontaires EN FIN d'expérience (au réveil). Et ce qu'ils vous rapportent TOUS, c'est qu'il y a des choses "positives" et d'autres, "négatives". S'il ne s'agit plus du simple fruit de leur imagination, cela veut dire que ces choses SONT BIEN PRESENTES. Elles ne sont que dissimulées à notre perception en état normal, non critique.

Je ne fais pas dans le "spiritualisme", je fais dans la PHYSIQUE. La physique QUANTIQUE.

Vous avez très bien compris l'essence de mon message : ne tentez pas le Diable... sachez d'abord où vous vous aventurez.

C'est tout l'objet de ce blog : essayer de savoir Où L'ON MET LES PIEDS.

Le cerveau est une machine merveilleuse, mais ce peut aussi être une "porte" sur un monde physique qui nous dépasse totalement. Tant que ses propensions restent négligeables, on n'est, au pire, que dans le domaine psychiatrique. Mais, si vous l'amplifiez au point de le rendre perceptible à grande échelle, on QUITTE le domaine psychiatrique. Et on ne sait pas du tout ce que l'on va trouver. En bon comme en mauvais.

Je comprends tout à fait que les groupes pharmaceutiques voient en l'étude des EMIs des possibilités thérapeutiques nouvelles. Et de nouvelles voies de marché aussi, en plus de celles apportées par les psychotropes. Mais elles ouvrent également une Boite de Pandore. Qui pourraient tout aussi bien se transformer en Hellraiser...

Alors, pas de précipitation : l'argent, c'est bien, mais le savoir, c'est mieux...

J'ai démarré ce blog il y a maintenant 11 ans dans quel but ? 1) tenter de répondre à mes propres interrogations ; 2) DISSUADER LES CONFLITS ARMéS. Partant du principe que, tant que l'on CROIT, le doute est permis. Tandis que, lorsque l'on SAIT, il n'y a plus de doute. On est alors fixé sur le prix à payer pour ses actes. Et ça, ça fait réfléchir beaucoup plus que la seule croyance...

REFLECHIR A 2 FOIS AVANT D'AGIR. PARCE QUE TOUT ACTE A SES CONSEQUENCES.

On assiste à quoi depuis le début de ce siècle et de nouveau millénaire ? A un EMBALLEMENT. Une accélération significative des conflits armés. D'accord, c'est le meilleur moteur qu'on ait trouvé jusqu'ici pour faire avancer la science à grands pas. Je trouve cela FORT DOMMAGEABLE. Il y a d'autres moyens, plus pacifistes. Quand on ne sait résoudre le chômage de masse qu'en générant de nouveaux conflits, je dis que ce sont LES ECONOMISTES qu'il faudrait pendre haut et court, pas RESORBER son chômage en fabriquant de la chair à canon... Mais, comme il n'y a pas moyen de raisonner les gens, il faut les mettre devant LE FAIT ACCOMPLI : la vie biologique est une chose, éphémère, ensuite ? Ensuite, ON NE SAIT PAS. Tout ce que l'on sait, c'est qu'on devra RENDRE COMPTE DE SES ACTES. Et ça, ça peut prendre BEAUCOUP PLUS DE TEMPS, d'autant plus QUE LE TEMPS NE COMPTE PAS DANS LE MONDE QUANTIQUE...

Sommes-nous bien d'accord sur le principe ?

Il existe une multitude d'autres moyens de prospérer et de faire avancer les connaissances. Pour ceux qui se montrent incapables de maîtriser leur égo, il y a la psychiatrie pour ça... pas des charniers où l'on fait payer les autres.

Les travaux qui suivent vont s'intéresser à la structure et à la dynamique de C⁴. On va essayer de tirer ça au clair. Pas seulement au niveau microscopique.


 

Reprenons la méthodologie d'usage : on commence par collecter des données d'observation, ensuite, on cherche un modèle théorique qui rende compte de ces données du mieux possible. Cela a été le cas, notamment, pour la diffusion moléculaire dans R³. L'étude de la collision des molécules au sein d'un gaz a montré que ce comportement était imprévisible à l'avance du fait que le système perdait très rapidement la mémoire des collisions précédentes et que le modèle correspondant, dû à Maxwell, était une répartition gaussienne : la vitesse des molécules du gaz à l'étude se distribue de manière "aléatoire". On a, bien sûr, confronté en retour ce modèle à l'expérience, les résultats se sont avérés relativement corrects. On l'a ensuite amélioré, en le généralisant (Boltzmann).

Dans le cas de la température, c'est pareil : partant d'une source de chaleur Q(x,t) se répartissant dans un volume limité de l'espace classique 3D au cours du temps, on a établi un modèle représentatif du champ de température T(x,t) vérifiant l'équation aux dérivées partielles du second ordre de type parabolique :

(1a)     dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx^adx_a + Q(x,t)          (a = 1,2,3)

où D est un "coefficient de diffusion", en m²/s. A l'extérieur de cette source de chaleur, le modèle correspondant est :

(1b)     dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx^adx_a  

au sens des fonctions et

(1c)     dT(x,t)/dt = Dd²T(x,t)/dx^adx_a + q(t)d(x)

au sens des distributions. Autrement dit, du point de vue fonctionnel, on pose dans (1a) que la source est nulle (puisqu'on étudie la propagation du champ de température hors de celle-ci), alors que, du point de vue plus large des distributions, on se contente de considérer que tout se passe comme si la source était "ponctuelle", de quantité de chaleur q(t) toute entière concentrée en un point référence "x = 0", point de départ de l'observation. Etant donné que d(x) = 0 en tout autre point, on rejoint le point de vue fonctionnel hors de la source.

La solution de (1b) est :

(1d)     T(x,t) = S_R3 T(x',0)(2piDt)^-3/2exp(-|x - x'|²/4Dt)d³x'

avec |x|² = Id_abx^ax^b le carré de la norme du vecteur position x (topologie !) et d³x' = dx'¹dx'²dx'³, l'élément de volume 3D. Le produit Dt est en m². La "fonction-densité" (2piDt)^-3/2exp(-|x - x'|²/4Dt), en m^-3, est le "noyau de la chaleur" : c'est elle qui va diffuser le champ de température hors de sa source d'émission en agissant par convolution sur la valeur initiale T(x',0) de ce champ à l'instant t = 0 choisi comme début de l'observation en tous les points de l'espace autres que le point d'observation x. La "concaténation" de tous ces résultats par intégration, ou "superposition continue" [l'équation (1a) est linéaire], fournira la valeur T(x,t) du champ au point d'observation x à l'instant futur t > 0 (D étant généralement pris > 0, l'exponentielle ne converge que pour t > 0).

Il n'est pas question de remettre en doute ce modèle, ce serait contraire au protocole car cela reviendrait à nier le fait qu'il représente assez fidèlement la diffusion de la température dans l'espace au cours du temps. Mais vous avez déjà un autre modèle de diffusion, celui de Schrödinger, où le coefficient de diffusion est imaginaire pur, conduisant à une gaussienne "oscillante", toujours dans R³ (on ne change rien au cadre physique ; on ne modifie même pas la dynamique, qui reste galiléenne) :

(1e)     T(x,t) = S_R3 T(x',0)(2piDt)^-3/2exp(-|x - x'|²/4Dt)d³x'   avec   D = ih/2pim

où m est la masse au repos d'une "particule". On appelle (1d) diffusion "corpusculaire" et (1e), diffusion "ondulatoire". Les deux comportements sont si éloignés l'un de l'autre, (1d) ayant un noyau hyperbolique alors que (1e) a un noyau elliptique, borné, sans divergence, hormis à t = 0, que toute tentative de regroupement des deux relèverait de ce que j'appelerais de la "diffusion crépusculaire"... ("twilight scattering"...). (1e) est pourtant l'expression de la "fonction d'onde" qui correspond aux observations "quantiques" dans l'espace galiléen R³.

On ne peut pas plus nier l'acuité de (1e) que celle de (1d) pour la diffusion "classique". Ce que je soutiens, c'est que toutes ces observations et leurs apparentes "incompatibilités contextuelles" relèvent du fait qu'elles sont effectuées dans un cadre physique trop restreint, qui ne correspond pas à la réalité. Ce n'est pas parce que c'est "la réalité à laquelle nos sens de perception ont accès" que c'est la véritable réalité : nos sens sont biologiquement limités. Aussi, quand nos instruments de mesure nous donnent des résultats apparemment "aberrants", comme c'est couramment le cas de la "mesure quantique" comparée à la "classique", nous nous retrouvons face à des "contradictions de principe", des "paradoxes", parce que notre cerveau, ultime étape de l'analyse de notre environnement naturel, est habitué à raisonner d'une toute autre manière.

Quand il n'est plus capable de percevoir directement les phénomènes physiques, la seule solution est d'aller en fouiller les structures mathématiques, logiques, abstraites et de se placer dans une physique HORS observateur. C'est la seule manière de le libérer de ses sens de perception qui l'influencent. Il se met alors à raisonner différemment. Et à accepter ce que les structures lui révèlent. Il n'est plus dépendent de données d'observation, de mesures : je n'ai pas l'astuce inventive des praticiens, mais je ne vois pour l'instant aucun moyen de vérifier le spin de l'univers, même de sa partie observable. Pourtant, ce spin existe, parce que l'analyse de la structure du monde physique le prouve. Et là, on se met à devancer l'observation, on se met à prédire des choses qu'on n'a pas encore observées.

Nous en avons déjà longuement parlé : l'espace R³ n'est pas le bon cadre physique. C'est R⁴. Or, nous ne percevons pas directement les effets de R⁴. Encore moins de C² et encore moins de M₂(R). Pourtant les mathématiques nous disent que toutes ces structures sont de même dimension (mais évidemment pas de même nature) et qu'elles sont même en correspondance les unes avec les autres. Or, l'équation mathématique d'une structure du second ordre garde peut-être la même allure pour toutes les structures, mais ne conduit certainement pas aux même résultats. Ainsi, dans R³, cette équation s'écrit-elle :

(2a)     C_ab(x^a - x₀^a)(x^b  - x₀^b) = 0     avec     C_ba = C_ab  ,  x₀^a = ctes.

Dans R⁴, c'est déjà :

(2b)     C_ij(xⁱ - x₀ⁱ)(x^j  - x₀^j) = C_ab(x^a - x₀^a)(x^b  - x₀^b) + 2C_a0(x^a - x₀^a)(x⁰  - x₀⁰) + C₀₀(x⁰ - x₀⁰)² = 0

avec toujours C_ji = C_ij. Dans C², elle prend l'allure :

(2c)     C_AB(x^A - x₀^A)(x^B  - x₀^B) = 0     ,     C_BA = C_AB  ,  x₀^A = ctes

mais avec x^A = x^0A + ix^1A et C_AB = C⁰_AB + iC¹_AB. Quant à M₂(R), c'est (2b) avec la conversion xⁱ = 2^-½sⁱ_ABx^AB, qui donne :

½ C_ijsⁱ_ABs^j_CD(x^AB - x₀^AB)(x^CD - x₀^CD) = 0

soit,

(2d)     C_AB,CD(x^AB - x₀^AB)(x^CD - x₀^CD) = 0     avec C_AB,CD = ½ C_ijsⁱ_ABs^j_CD = C_CD,AB    

Avec des x et des x₀ sans unité, l'équation (2a) autorise le paraboloïde mais en dimension classique 3 seulement. Sinon, avec C_a0 = C_abx₀^b et C₀₀ = C_abx₀^ax₀^b, elle se réduit à l'équation homogène C_ijxⁱx^j = 0, moins générale que (2b). La diffusion dans R⁴ sera donc d'ors et déjà différente de celle dans R³, tout en restant "corpusculaire", puisque d'une part, il faudra y introduire une nouvelle échelle l dont le carré l² remplacera Dt, d'autre part, |x|² = Id_ijxⁱx^j = Id_abx^ax^b + (x⁰)² ; enfin, le terme pré-exponentiel passera en (2pil)^-4 et l'élément de volume 4D sera d⁴x = d³xdx⁰. Bref, tout est modifié, le noyau de la chaleur se mesure en m^-4 et non plus en m^-3. Pour le même type de diffusion, la portée de celle-ci est plus courte en dimension 4 qu'en dimension 3.

Depuis Einstein, on a pris l'habitude de considérer que les effets physiques de la dimension 4 se font percevoir lors de déplacements dans l'espace 3D à des vitesses comparables à celle de la lumière. Néanmoins, depuis les travaux de Penrose, on s'aperçoit que la dimension 4 est plutôt lié à l'existence du spin ½ qu'à un "effet de vitesse". Les deux sont cinématiques : le spin est issu du moment cinétique, produit vectoriel (en dimension 3) de la position d'un corps avec son impulsion. Mais, s'il "suffit", chez Einstein, de "rejetter c à l'infini", ce qui revient à se déplacer à des vitesses très inférieures à celle de la lumière, pour ne plus percevoir "d'effet de 4ème dimension" et retrouver la relativité de Galilée, il s'avère impossible de négliger le spin sans toucher immédiatement à l'espace physique lui-même. Nous en avons déjà parlé : le seul fait de poser que h = 0 implique l'absence de spin. Or, le spin ½, sa plus petite valeur non nulle, n'est pas seulement lié à la dimension 4, il l'est tout autant à la dimension 3 : les "spineurs de Pauli" sont les "équivalents galiléens" des "spineurs de Dirac" en relativité d'Einstein. Aussi, si l'on peut se permettre de poser c = +oo dans la plupart des phénomènes de la vie quotidienne, il est beaucoup plus difficile, contrairement aux apparences, de poser que h = 0, car cela réduirait le spin universel à la valeur zéro, ce qui aurait pour conséquence de limiter le monde physique à la dimension classique 2 : nous serions tous des êtres bidimensionnels dans un monde bidimensionnel. L'absurdité d'une telle affirmation me semble évidente... C'est ce que nous disions dans une bidouille précédente : c ne touche qu'à la dynamique des corps dans l'espace, alors que h touche à la dimension de l'espace lui-même [h = 0 <=> s = 0 <=> D(0) = 2]. Tant que l'on n'appliquait la théorie du spin qu'aux champs physiques à support dans l'espace 3D ou 4D, on pouvait négliger la constante de Planck. Mais ce n'est pas la conclusion à laquelle aboutit Penrose : lui a établi une correspondance mathématique, c'est-à-dire formelle, entre l'espace-temps de Minkowski R^1,3 (genre temps), soit le cadre, et les matrices de spin de Pauli. Cette correspondance s'avère bi-univoque, c'est à dire qu'elle agit dans les deux sens. C'est une équivalence : l'espace-temps de Minkowski possède une structure spinorielle sous-jacente ; les quadrivecteurs correspondent à des spineurs ½ et réciproquement.

Ce n'est pas important, c'est essentiel, parce que les propagateurs sont particulièrement sensibles au nombre de dimensions du cadre physique, même les plus simples d'entre eux : le propagateur newtonien de Id^abd_ad_b = 0 est :

(3a)     N₃(x¹,x²,x³) = 1/[(x¹)² + (x²)² + (x³)²]^½  

celui de Id^ijd_id_j = 0 est

(3b)     N₄(x⁰,x¹,x²,x³) = 1/[(x⁰)² + (x¹)² + (x²)² + (x³)²]

Le rapport entre les deux est de :

(3c)     N₄(x⁰,x¹,x²,x³) = [N₃(x¹,x²,x³)]²/{1 + [N₃(x¹,x²,x³)x⁰]²}

Même pour x⁰ = 0, on n'obtient que :

(3d)     N₄(0,x¹,x²,x³) = [N₃(x¹,x²,x³)]²

Pour que les deux noyaux coïncident, il faut se placer sur les hypersurfaces :

(3e)     x⁰ = +/-[N₃(x¹,x²,x³) - 1]^½/N₃(x¹,x²,x³)   avec   N₃(x¹,x²,x³) >= 1.

Mais x⁰ n'est alors plus une variable indépendante. On voit bien la différence de comportement entre la dimension 3 et la dimension 4 : non seulement N₄ est inversement proportionnel au carré de la distance au centre, alors que N3 n'est inversement proportionnel qu'à celle-ci, mais (x⁰)² + (x¹)² + (x²)² + (x³)² est toujours supérieur ou égal à (x¹)² + (x²)² + (x³)². Deux bonnes raisons pour que la portée de la propagation dans R⁴ soit beaucoup plus courte que celle dans R³.

Voilà un exemple caractéristique de décalage (et donc, d'erreur d'appréciation) que l'on commet inévitablement quand on néglige ne serait-ce que l'extrême petitesse de h (qui n'est pourtant présente nulle part dans les calculs)...

C'est consternant, voire même décourageant : on pensait être dans le vrai, même après l'apparition de la relativité du temps, ce n'est pas le cas... Du coup, on se demande : à quand la découverte d'une nouvelle constante physique fondamentale qui remettra tout en question une fois encore ?...

Je ne sais pas. Tout ce que je peux dire, c'est qu'il faudrait que la recherche fondamentale accorde un peu plus de temps à fouiller les structures jusque dans leurs moindres détails afin d'éviter les approximations de ce genre, qui faussent tout...

On va trop vite en besogne : on n'est pas en sciences appliquées où c'est la course aux résultats pour des questions de compétitivité. En sciences fondamentales, on prend le temps qu'il faut... ça évite d'avoir à revenir en arrière et de tout remettre en cause...

Je sais que beaucoup d'entre vous se disent "les résultats affichés dans ce blog n'ont rien à voir avec ceux que l'on connait". Bin, non... et c'est justement là le problème...


 

Considérons maintenant une source dans R, toujours hors observation. C'est une distribution q(x)dx, de densité q(x). Dans les modèles linéaires d'interaction, cette source va diffuser ses informations à l'aide d'un champ de transmission F(x). La relation entre densité de source et champ sera intégrale et utilisera le "noyau de diffusion" D(x). Celui-ci se couplera à la distribution source via la formule de convolution :

(1a)     F_int(x) = KS_R D(x - x')q(x')dx'

où K est un coefficient de proportionnalité > 0. Cette expression fournira l'allure du champ à l'intérieur de la source. Ce n'est plus ce qui nous intéresse. Nous voulons le champ à l'extérieur de la source. Pour l'obtenir, il faut poser :

(1b)     q_ext(x)dx = qd(x)dx

On trouve alors :

(1c)     F_ext(x) = KqD(x)

Cette partie du champ qui transmet les informations de la source à l'extérieur de celle-ci est le produit de la constante de proportionnalité K, de la "charge topologique" q contenue dans la source et du "diffuseur" D(x). Dans M₂(R), ce dernier a généralement pour expression :

(1d)     Dⁱ(x) = (d/dx){exp[S(x)sⁱ/h]} = [p(x)/h]exp[S(x)sⁱ/h]sⁱ  

pour la matrice unité sⁱ.

Il est possible de regrouper les formules [B187, (4a) et (4b)] en une seule, à condition de faire intervenir l'unité imaginaire i. Pour éviter d'éventuelles confusions entre elle et l'indice entier i qui parcourt les valeurs de 0 à 3, nous allons réindexer les matrices s au moyen d'indices binaires C et D formant le mot 2C + D. Les expressions [B187, (4a) et (4b)] nous disent que la puissance de i doit être nulle pour s⁰ et égale à 1 pour les 3 autres unités. Le facteur commun doit donc être de la forme i^{(1 - 2C - D)(2 - 2C - D)(3 - 2C - D)/3!}. Comme C et D sont des binaires, on a :

(1 - 2C - D)(2 - 2C - D)(3 - 2C - D) = [2 + (2C + D)² - 3(2C + D)](3 - 2C - D)
                                                 = 2(1 - C - D + 2CD)(3 - 2C - D)
                                                 = 6(1 - C + CD - D) = 6(1 - C)(1 - D)

Ce facteur commun est donc simplement i^{(1 - C)(1 - D)} :

(1e)     exp[S(x)s^CD/h] = ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² + i^{-(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD  

Il en résulte après dérivation :

(1f)     D^CD(x) = [p(x)/h]{i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² + ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD}

Le champ de transmission correspondant est donc :

(1g)     F_ext^CD(x) = KD^CD(x)q

L'opérateur de diffusion D^CD(x) étant à valeurs matricielles, la charge topologique q doit être un nombre à deux composantes q⁰ et q¹, conformément au spin 0. Le champ résultant est alors également à 2 composantes :

(1h)     F_ext^CD,A(x) = KD^CD,A_B(x)q^B  

Le support, lui, par contre, reste R (pour le moment). Soient u^B, les coefficients directeurs de la charge topologique :

(2a)     q^B = |q|u^B  

D'après (1f), on a :

(2b)     F_ext^CD,A(x) = K|q|[p(x)/h]{i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² +
                                               + ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD}^A_Bu^B  
                            = (K/h)|qp(x)|U^CD,A(x)

Les coefficients directeurs du champ F_ext^CD(x) sont alors :

(2c)     U^CD,A(x) = {i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h](s¹)² + ch[i^{(1 - C)(1 - D)}S(x)/h]s^CD}^A_Bu^B  

Ils sont tous réels. Au signe de p(x) près :

(2d)     U^00,A(x) = {-sin[S(x)/h](s¹)² + cos[S(x)/h]s⁰}^A_Bu^B  
(2e)     U^CD,A(x) = {sh[S(x)/h](s¹)² + ch[S(x)/h]s^CD}^A_Bu^B     [(C,D) <> (0,0)]

On souhaiterait que le champ de transmission ait même intensité :

(2f)     |F_ext|(x) = (K/h)|qp(x)|

dans les 4 cas de figure et que ce soit plutôt la topologie qui s'adapte d'une unité à l'autre. Dans le cas de s⁰,

(3a)     U^00,0(x) = -{sin[S(x)/h]u⁰ - cos[S(x)/h]u¹}
(3b)     U^00,1(x) = -{sin[S(x)/h]u¹ + cos[S(x)/h]u⁰}

Dans le cas de s¹,

(3c)     U^01,0(x) = sh[S(x)/h]u⁰ + ch[S(x)/h]u¹  
(3d)     U^01,1(x) = sh[S(x)/h]u¹ + ch[S(x)/h]u⁰  

Dans celui de s²,

(3e)     U^10,0(x) = exp[S(x)/h]u⁰  
(3f)     U^10,1(x) = -exp[-S(x)/h]u¹  

et dans celui de s³,

(3g)     U^11,A(x) = exp[S(x)/h]u^A  

On aimerait que les paramétrisations sur les coefficients directeurs mènent à des identités. Pour s⁰, s'agissant de fonctions du cercle, on a :

(4a)     s¹¹_ABU^00,A(x)U^00,B(x) = s¹¹_ABu^Au^B = (u⁰)² + (u¹)²

Le choix de :

(4b)     u^A = cos(ups - Api/2) = ½ [e^{i(ups - Api/2)} + (1 - 2A)e^{-i(ups + Api/2)}]

mènera donc automatiquement à,

(4c)     s¹¹_ABU^00,A(x)U^00,B(x) = s¹¹_ABu^Au^B = 1
(4d)     U^00,A(x) = cos[S(x)/h - ups + (3 - A)pi/2]

Pour s¹, on est en présence des fonctions de l'hyperbole, suggérant l'utilisation de s² :

(5a)     s¹⁰_ABU^01,A(x)U^01,B(x) = -s¹⁰_ABu^Au^B = -[(u⁰)² - (u¹)²]

Cette fois, c'est le choix de :

(5b)     u^A = ½ [e^ups + (1 - 2A)e^-ups]

qui conduira à,

(5c)     s¹⁰_ABU^01,A(x)U^01,B(x) = -s¹⁰_ABu^Au^B = -1
(5d)     U^01,A(x) = ½ {e^{S(x)/h + ups} - (1 - 2A)e^{-[S(x)/h + ups]}}

Pour s², c'est le produit bilinéaire :

(6a)     ½ s⁰¹_ABU^10,A(x)U^10,B(x) = -½ s⁰¹_ABu^Au^B  

qui, via la paramétrisation,

(6b)     u^A = exp[(1 - 2A)ups] = ch(ups) + (1 - 2A)sh(ups)

va donner l'identité,

(6c)     ½ s⁰¹_ABU^10,A(x)U^10,B(x) = -½ s⁰¹_ABu^Au^B = -1

Enfin, pour s³, c'est :

(7)     s⁰⁰_ABU^11,A(x)U^11,B(x) = s⁰⁰_ABu^Au^B = 0

qui constitue l'identité, étant donné que le coefficient exp[S(x)/h] est commun aux deux composantes.

Ces formules de trace sont invariantes et peuvent être regroupées en la formule unique :

(8)     s^CD_AB{U^1-C,1-D,A(x)U^1-C,1-D,B(x) + [1 - 2(C IAND D)]u^Au^B} = 0

Ainsi, à l'aide de ces topologies associées aux unités de M₂(R), les éventuelles divergences des facteurs exponentiels dans les coefficients directeurs du champ de transmission peuvent être "gommées" au niveau de l'intensité des divers champs, qui conserve alors une valeur commune donnée par (2f) et qui ne dépend plus que de la charge topologique et de l'impulsion p(x). Or, dans les diffuseurs physiques, celle-ci est amenée à diminuer (en valeur absolue) au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la source d'émission, puisque le champ de transmission est de moins en moins énergétique.

Des divergences peuvent toutefois persister dans les composantes du champ. Mais de quoi venons-nous de parler ? De paramétrisations. Il ressort nettement de (2b) et (2c) que les F_ext^CD,A(x) sont des paramétrisations du champ F_ext^CD(x) relatif à l'unité s^CD, tout comme  les q^A sont des paramétrisations de la charge topologique. Dès lors, il est tout aussi normal de trouver des facteurs divergents dans une topologie hyperbolique qu'il est normal de trouver des facteurs bornés dans une topologie circulaire. Ce ne sont pas tant les projections du champ sur ses axes de coordonnées que leur "hypothénuse" qui est importante. C'est pourquoi j'ai insisté sur l'amplitude du champ : à moins que p(x) ne présente des pôles, celle-ci ne diverge nulle part. Que les composantes F_ext^CD,A(x) puissent diverger n'a donc pas de réelle importance, l'essentiel est que les identités (8) soient satisfaites partout, dans et hors de la source. Pour présenter les choses sous un angle légèrement différent, disons que les divergences apparaissent du fait de la topologie : dans la topologie circulaire (4b) et (4d), il n'y a pas de divergences ; dans (5b) et (5d), il y en a.

En introduisant un paramètre "temps" t, le rapport de phase S(x)/h peut être remplacé par le rapport d'inerties I(x)/ht. Comme exemple d'application des résultats établis ci-dessus dans le cas de la diffusion "libre", considérons le modèle gaussien I(x) = -½ mx², où m est la "masse topologique" de la source. On a alors :

(9a)     D^CD(x,t) = (d/dx){exp[I(x)s^CD/ht]} = (d/dx)[exp(-mx²s^CD/2ht)]
                       = (mx/ht){i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht](s¹)² - ch[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht]s^CD}

(9b)     F_ext^CD,A(x,t) = K|q|(mx/ht){i^{(1 - C)(1 - D)}sh[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht](s¹)² -
                                                 - ch[i^{(1 - C)(1 - D)}mx²/2ht]s^CD}^A_B(x)q^B  
(9c)     |F_ext|(x,t) = (K/h)|qmx/t| = (K/h)|qm<v>|
(9d)     <v> = x/t = vitesse moyenne

Il est inutile d'aller plus loin car on se rend immédiatement compte que l'intensité du champ de diffusion va augmenter avec la distance à la source. Conclusion très différente (et même à l'antipode, on peut le dire) de celle à laquelle le modèle (d/dx)[exp(-mx²/2ht)] aboutissait dans R. L'amplitude n'était pas du tout calculée de la même manière, puisqu'elle tenait compte du facteur exponentiel, convergent. Dans M₂(R), on se retrouve, au contraire, avec un "effet de rappel" d'impulsion moyenne m<v> et donc de force m<a> = mx/t². Le malheur est que la structure de M₂(R) prédomine largement sur celle de R et même de C ou du corps H des quaternions d'Hamilton, parce qu'elle est beaucoup plus riche. Il semble donc que l'on ait un petit problème d'approximation dû à la vision restrictive des choses. Je ne cherche pas à imposer ma conclusion sur celle de Gauss, je ne fais que constater les différences fondamentales de comportement d'un environnement à l'autre. L'amplitude (9c) converge sur la durée, mais diverge sur la distance. A contrario, l'amplitude de Gauss (m<v>/h)exp(-mx²/2ht) convergeait sur la distance comme sur la durée (à condition de rester dans le sens présent -> futur) en raison du facteur exponentiel. Ce n'était qu'aux alentours de "l'instant présent" t = 0 qu'elle se "rétrécissait" en une "fonction densité de Dirac". Rien de tel ne se produit dans M₂(R), pas même dans le cas de s³, puisque (3g) n'est qu'une paramétrisation. Autrement dit, Gauss utilise une paramétrisation exponentielle, d'où la présence du facteur exp(-mx²/2ht), que l'on retrouve d'ailleurs dans D¹¹(x,t) et qui est commun aux deux composantes de champ F_ext^11,A(x,t). Alors :

a) on a fini par prendre la constante de Planck h en compte dans les calculs "quantiques", mais sans tenir compte du spin du cadre, qui mène, non pas à R, mais à R² (même pour un spin 0...) et à une algèbre d'opérateurs M₂(R) ;
b) on pensait que s³ était "l'unité" de M₂(R), semblable au "1" dans R, c'est en réalité s¹ ;
c) on pensait également que le facteur exponentiel était "indispensable" à l'amplitude du champ de diffusion, alors qu'il ne s'agit en fait que d'une paramétrisation.

Beaucoup d'a priori et d'omissions qui conduisaient à des conclusions fort éloignées des résultats actuels. Il est tout à fait possible (et c'est même le cas) que l'on observe une diffusion gaussienne en -(mx/ht)exp(-mx²/2ht) dans R, sauf que CE N'EST PAS LE BON CADRE PHYSIQUE : IL EST TROP RESTREINT...